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4　正方形的性质与判定
第1课时　正方形的性质
1.理解正方形的概念，体会特殊平行四边形之间的关系．
2.通过观察、比较、动手操作探究正方形边、角、对角线、对称的性质，培养学生的归纳探究能力和数学表达能力．
3.利用正方形的性质定理进行计算或证明，培养学生分析问题和解决问题的能力．
重点：正方形性质的理解及其应用．
难点：正方形与平行四边形、矩形、菱形的区别与联系．
知识链接
　　前面我们学习了正方形的定义和菱形、矩形的性质，回顾一下相关知识．
　探究点：正方形的性质
问题1：（1）正方形是矩形吗？是菱形吗？
（2）你认为正方形具有哪些性质？与同伴交流．
归纳总结：正方形既是矩形，又是菱形，因此它具有矩形、菱形的所有性质．
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系：
问题2：我们根据前边的学习，正方形的边、角、对角线有哪些特点？并证明其中的一些结论．
归纳总结：
正方形 性质
边 两组对边平行，四条边相等
角 四个角都是直角
对角线 对角线相等且互相垂直平分
证明如下：
（1）已知：如图，四边形ABCD是正方形．求证：正方形ABCD四边相等，四个角都是直角．
证明：∵四边形ABCD是正方形．
∴∠A=90°，AB=AD（正方形的定义）．
又∵正方形是平行四边形，
∴正方形是矩形（矩形的定义），正方形是菱形（菱形的定义）．
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD．
（2）已知：如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O．求证：AO=BO=CO=DO，AC⊥BD．
证明：∵正方形ABCD是矩形，
∴AO=BO=CO=DO．
∵正方形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD．
根据图形所具有的性质，在下表相应的空格中打“√”．
　　　　图形 性质　　　　 平行四边形 矩形 菱形 正方形
边 对边平行且相等 √ √ √ √
四边相等 √ √
角 四个角都是直角 √ √
对 角 线 对角线互相平分 √ √ √ √
对角线互相垂直 √ √
对角线相等 √ √
每条对角线平分一组对角 √ √
如图，在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC边延长线上一点，且CE=CF．则BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由．
尝试 交流
如图，四边形ABCD是正方形．
（1）在图中画一个菱形，使菱形的两个顶点分别与点A，C重合，则菱形的另外两个顶点需要满足怎样的条件？试一试，并与同伴交流你画图的理由．
条件：另外两个顶点在正方形对角线BD上，且关于AC对称（或到AC与BD交点的距离相等）．
理由：菱形对角线互相垂直平分，正方形中BD⊥AC且互相平分，满足菱形性质．
（2）在图中画一个矩形EFGH，使矩形的四个顶点E，F，G，H依次在正方形ABCD的边AB，BC，CD，AD上，则矩形EFGH的四个顶点需要满足什么条件？试一试，并与同伴交流你画图的理由．
条件：AE=BF=CG=DH（或邻边互相垂直）．
理由：可证四边形EFGH是平行四边形且有直角，符合矩形定义．
1.正方形具有而菱形不具有的性质是(　C　)
A.对角线互相垂直平分
B.内角之和为360°
C.对角线相等
D.一条对角线平分一组对角
2.如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.
(1)∠ABO＝　45　°，∠AOB＝　90　°；
(2)若正方形ABCD的面积为9，则AB＝　3　，对角线BD的长为　3　；
(3)图中共有　8　个等腰直角三角形.
3.如图，正方形ABCD的顶点B，C都在x轴上，若点A的坐标是(－2，8)，点C的坐标是(6，0)，则点D的坐标是　(6，8)　.
　　
　　
　　
　　
　　

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