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2026暑 新高一数学讲义 （初升高）
2026暑 新高一数学讲义（初升高）
（学生版）
第 1讲 集合概念与应用 .................................................................................. 1
第 2讲 集合间基本关系 .................................................................................. 7
第 3讲 集合的基本运算 ................................................................................ 13
第 4讲 充分与必要条件 ................................................................................ 21
第 5讲 全称与存在量词 ................................................................................ 29
第 6讲 等式不等式性质 ................................................................................ 35
第 7讲 基本不等式应用 ................................................................................ 44
第 8讲 二次函数与方程 ................................................................................ 52
第 9讲 函数概念及表示 ................................................................................ 61
第 10讲 函数及其单调性 .............................................................................. 71
第 11讲 函数及其奇偶性 .............................................................................. 84
第 12讲 幂函数及其应用 .............................................................................. 92
第 13讲 指数与相关运算 .............................................................................. 98
第 14讲 指数函数及应用 ............................................................................ 108
第 15讲 对数及相关运算 ............................................................................ 118
第 16讲 对数函数及应用 ............................................................................ 128
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第 1讲 集合概念与应用
1．集合的概念
(1)含义：一般地，我们把所研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．
(2)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，即这两个集合中的元素完全相同，就称这两个集合相等．
[知识点拨] 集合中的元素必须满足如下性质：
(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属于这
个集合是确定的，要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一．
(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．
(3)无序性：集合中的元素是没有顺序的，比如集合{1,2,3}与{2,3,1}表示同一集合．
2．元素与集合的关系
关系 概念 记法 读法
如果 a是集合 A中的元素，就说 a属
属于 a∈A a属于集合 A
于集合 A
如果 a不是集合 A中的元素，就说 a
不属于 a A a不属于集合 A
不属于集合 A
[知识点拨] 符号“∈”和“ ”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向
性，左右两边不能互换．
3．集合的表示法
(1)自然语言表示法：用文字语言形式来表示集合的方法．例如：小于 3的实数组成的集合．
(2)字母表示法：用一个大写拉丁字母表示集合，如 A，B，C等，用小写拉丁字母表示元素，如 a，b，c等．常
用数集的表示：
非负整数集
名称 正整数集 整数集 有理数集 实数集
(自然数集)
符号 N N*或 N＋ Z Q R
(3)列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法．
(4)描述法：在花括号内先写上表示这个集合元素的
一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.这种用集合所
含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法．
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类型一：集合的基本概念
1．判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱
两可”的．如果是“确定无疑”的，就可以构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能构成集合．
2．判断集合中的元素个数时，要注意相同的对象归入同一集合时只能算作一个，即集合中的元素满足互异性．
【2026年暑假高一习题 1】下列各组对象能构成集合的有：①平面内到点 O(坐标原点)的距离等于 1的点；② 3
的近似值；③高一年级中年龄比较大的学生；④1，2，3，1．
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
【2026年暑假高一习题 2】下列对象能构成集合的是（ ）
A．高一年级全体较胖的学生 B． sin30 , sin45 , cos60 ,1
C．全体很大的自然数 D．平面内到 ABC三个顶点距离相等的所有点
【2026年暑假高一习题 3】下列集合表示正确的是( )
A． B．
C． D．{高个子男生}
类型二：元素和集合的关系
1．对于正整数集、自然数集、整数集、有理数集、实数集，在数学上分别用 N＋，N，Z，Q，R来表示，这些
符号是我们学习高中数学的基础，它大大简化了数集的表示方法，应当熟练掌握．
2．判断一个元素是不是某个集合的元素，关键是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征．
【2026年暑假高一习题 1】下列说法正确的是（ ）
1
A． 2 N B． 1 N C． N D．9 N2
2026 2 2【 年暑假高一习题 2】已知集合 A x，y x y 3，x Z，y Z ，则 A中元素的个数为
A．9 B．8 C．5 D．4
【2026年暑假高一习题 3】已知 x, y, z x y z
xyz
为非零实数，代数式 + + + 的值所组成的集合是M ，
| x | | y | | z | xyz
则下列判断正确的是（ ）
A．0 M B．2 M
C．- 4 M D． 4 M
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类型三：用列举法表示集合
1．用列举法表示集合，要注意是数集还是点集．
2．列举法适合表示有限集，当集合中元素个数较少时，用列举法表示集合比较方便，且使人一目了然．
因此，集合是有限集还是无限集，是选择恰当的表示方法的关键．
x y 3
【2026年暑假高一习题 1】方程组 的解构成的集合为（ ）
2x y 6
A． x 3, y 0 B． 3,0 C． 3,0 D． 0,3
M m | 10 【2026年暑假高一习题 2】用列举法表示集合 Z ,m Z ＝________．
m 1


【2026年暑假高一习题 3】用列举法表示下列集合：
（1）不大于 10的非负偶数集； （2）自然数中不大于 10的质数集； （3）方程 x2+2x–15=0的解．
类型四：用描述法表示集合
1．用描述法表示相应集合时，首先明确代表元素是点集还是数集，在此基础上，结合描述的定义给出集合表示．
2．用描述法表示集合时，其代表元素的范围务必明确，如果省略不写，则默认为 x∈R.
【2026年暑假高一习题 1】集合{(x, y) | xy 0, x R, y R}是指（ ）
A．第二象限内的所有点 B．第四象限内的所有点
C．第二象限和第四象限内的所有点 D．不在第一、第三象限内的所有点
【2026年暑假高一习题 2】平面直角坐标系中纵轴上的点的坐标组成的集合为________．
【2026年暑假高一习题 3】用描述法表示下列集合：①正偶数集；②被 3除余 2的正整数的集合；③平面直角
坐标系中坐标轴上的点组成的集合.
类型五：忽略集合中元素的互异性
在实际解答过程中，很多同学只是把答案算出来后就结束了，根本不考虑求解出来的答案是不是合乎题目要求，
有没有出现遗漏或增根．在实际解答中要根据元素的特征，结合题目要求和隐含条件，加以重视．
【2026年暑假高一习题 1】若 1 3,a2 a 1,a2 1 ，则 a=（ ）
A． 1 B．0 C．1 D．0或 1
【2026年暑假高一习题 2】已知 A 1,2, x3 ，且 x A，则实数 x的取值集合是______．
【2026 2年暑假高一习题 3】设集合 A a ,a 2, 3 ，B a 3,2a 1,a2 1 ，A B { 3}，求 a的值．
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类型六：解决集合的新定义问题的基本方法
集合命题中与运算法则相关的问题已经成为新课标高考的热点．这类试题的特点：通过给出新的数学概念或新
的运算方法，在新的情况下完成某种推理证明或指定要求是集合命题的一个新方向．常见的有定义新概念、新
公式、新运算和新法则等类型．
解决这类问题的基本方法：仔细审题，准确把握新信息，想方设法将新定义的问题化归为已经解决的熟悉问题，
从而使问题得到解决．也就是“以旧带新”法．
【2026年暑假高一习题 1】定义集合运算： A※B z︳z x x y ,x A, y B ，设集合 A 1,2 ，
B 2,3 ，则集合 A※B 的所有元素个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【2026年暑假高一习题 2】已知：集合M 0，2，3 ，定义集合运算 A※ A {x | x a b,a A,b A}，则
M ※M =
【2026年暑假高一习题 3】已知集合 A {x | x 2k,0 k 2且 k N}．定义集合 B {x | x ab,a A,b A}，
求集合 B．
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第 1讲 校考真题
【2026暑假高一校考真题 1】下列说法正确的是（ ）
A．联合国安理会常任理事国能组成一个集合
B．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合
C．由不大于 3的自然数组成的集合的所有元素为 1，2，3
D 1 3 6 1．数 1，0，5， ， ， ， 组成的集合中有 6个元素
2 2 4 4
【2026暑假高一校考真题 2】已知集合 A＝{﹣2，0，1，3}，集合 B＝{x|﹣x∈A且 3+x A}，则 B＝（ ）
A．{0，3} B．{﹣2，1} C．{2，﹣1} D．{0，1，3}
【2026暑假高一校考真题 3】下列集合中，与集合{1，2}表示同一个集合的是（ ）
A．{1，2，2} B．{x|x2﹣3x+2＝0}
C．{x|x＞1且 x＜2} D．{（1，2）}
12
【2026暑假高一校考真题 4】与集合 M={x|x∈N 且 ∈N }相等的集合是（ ）
x
A．{2，3，4，6} B．{1，2，3，4，6，12}
C．{2，3，4，6，12} D．{1，2，3，4，6}
【2026暑假高一校考真题 5】设集合为 N={x|x= k + 1，k∈Z}，M={x|x= k + 1，k∈Z}，则（ ）
2 4 4 2
A．M N B．N M C．M＝N D．M∩N＝
【2026暑假高一校考真题 6】下列五个写法：
①{0}∈{1，2，3}； ② {0}； ③{0，1，2} {1，2，0}； ④0∈ ； ⑤0∩ ＝ ．
其中写法正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【2026暑假高一校考真题 7】在整数集 Z 中，被 5 除所得余数为 k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]
＝{5n+k|n∈Z}，k＝0，1，2，3，4，则下面选项正确的为（ ）
A．2025∈[3] B．﹣2∈[2] C．Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]
D．整数 a、b属于同一“类”的充分不必要条件是“a﹣b∈[0]”
【2026暑假高一校考真题 8】已知集合 A＝{a，a2﹣2a，1}，B＝{2a+b，1，3}，若 A＝B，则 a﹣b＝（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣6 D．6
【2026暑假高一校考真题 9】设集合 A＝{2，a2﹣a+2，1﹣a}，若 4∈A，则 a的值为（ ）
A．﹣1，2 B．﹣3 C．﹣1，﹣3，2 D．﹣3，2
【2026暑假高一校考真题 10】已知集合 A＝{（x，y）|x2+y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则 A中元素的个数为（ ）
A．9 B．8 C．5 D．4
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【2026暑假高一校考真题 11】已知集合 A＝{0，1，2}，B＝{ab|a∈A，b∈A}，则集合 B中元素个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【2026暑假高一校考真题 12】已知集合 A＝{0，m，m2﹣3m+2}，且 2∈A，则实数 m的值为（ ）
A．3 B．2 C．0或 3 D．0或 2或 3
【2026暑假高一校考真题 13】若集合 A＝{x|ax2﹣ax+1≤0}＝ ，则实数 a的取值集合为（ ）
A．{a|0＜a＜4} B．{a|0≤a＜4} C．{a|0＜a≤4} D．{a|0≤a≤4}
【2026暑假高一校考真题 14】（多选）下列各组集合表示的不是同一集合的是（ ）
A．M＝{（3，2）}，N＝{（2，3）} B．M＝{3，2}，N＝{2，3}
C 1．M={x|y= }，N={y|y= 1 } D．M＝{3，2}，N＝{（3，2）}
x x
【2026暑假高一校考真题 15】（多选）定义集合 A、B的一种运算：A*B＝{x|x＝x1+x2，其中 x1∈A，x2∈B}，
若 A＝{1，2，3}，B＝{1，2}，则（ ）
A．A*B的子集个数为 15
B．A*B中的所有元素之积为 120
C．A*B中的所有元素之和为 14
D．A*B中的元素个数为 5
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第 2讲 集合间基本关系
1．Venn图的优点及其表示
(1)优点：形象直观．
(2)表示：通常用封闭曲线的内部表示集合．
2．子集、真子集、集合相等的相关概念
[知识点拨] (1)“A是 B的子集”的含义：集合 A中的任何一个元素都是集合 B的元素，即有任意 x∈A能推出
x∈B．
(2)不能把“A B”理解为“A是 B中部分元素组成的集合”，因为集合 A可能是空集，也可能是集合 B．
(3)特殊情形：如果集合 A中存在着不是集合 B中的元素，那么集合 A不包含于 B，或集合 B不包含集合 A．
(4)对于集合 A，B，C，若 A B，B C，则 A C；任何集合都不是它本身的真子集．
(5)若 A B，且 A≠B，则 A B．
3．空集
(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为 .
(2)规定：空集是任何集合的子集．
4．集合间关系的性质
(1)任何一个集合都是它本身的子集，即 A A．
(2)对于集合 A，B，C，
①若 A B，且 B C，则 A C；
②若 A B，B C，则 A C．
(3)若 A B，A≠B，则 A B．
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类型一：集合间关系的判定
判断集合关系的方法有三种：
(1)一一列举观察．
(2)集合元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系．
一般地，设 A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，①若 p(x)推出 q(x)，则 A B；②若 q(x)推出 p(x)，则 B A；③若 p(x)，
q(x)互相推出，则 A＝B；④若 p(x)推不出 q(x)，q(x)也推不出 p(x)，则集合 A，B无包含关系．
(3)数形结合法：利用数轴或 Venn图．
对于连续实数组成的集合，通常用数轴来表示，这也属于集合表示的图示法．注意在数轴上，若端点值是集合
的元素，则用实心点表示；若端点值不是集合的元素，则用空心点表示．
【2026年暑假高一习题 1】已知集合 A {x | x是平行四边形}， B {x | x是矩形}，C {x | x是正方形}，
D {x | x是菱形}，则
A． A B B．C B C．D C D． A D
【2026年暑假高一习题 2】设集合 A={0，1，2}，B={m|m=x+y，x∈A，y∈A}，则集合 A与 B的关系为（ ）
A． A B B． A B C．B A D． A B
A={x|x= 1 (2k 1), k Z} B={x|x= 4 1【2026年暑假高一习题 3】已知集合 ， k , k Z}，则集合 A，B之
9 9 9
间的关系为________．
类型二：有限集合的子集确定问题
1．求解有限集合的子集问题，关键有三点：
(1)确定所求集合；
(2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出；
(3)注意两个特殊的集合，即空集和集合本身．
2．一般地，若集合 A中有 n个元素，则其子集有 2n个，真子集有 2n－1个，非空真子集有 2n－2个．
【2026年暑假高一习题 1】已知集合 A 0,1,2 ，则集合 A的子集的个数为（ ）
A．16 B．15 C．8 D．7
【2026 2年暑假高一习题 2】已知集合 A x∣x 2, x Z ，则 A的真子集共有（ ）个
A．3 B．4 C．6 D．7
*
【2026年暑假高一习题 3】集合 A x | 0 x 3, x N 的真子集的个数是 ．
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类型三：由集合间的关系求参数的值和范围
(1)弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集；
(2)看集合中是否含有参数，若含参数，应考虑参数使该集合为空集的情形；
(3)将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)，求出相关参数的值或取值范围．
【2026年暑假高一习题 1 2】已知集合 A x Z∣x x 2 ,B {1,a}，若 B A，则实数 a的取值集合为
（ ）
A．{ 1,1,0,2} B．{ 1,0,2} C．{ 1,1,2} D．{0,2}
【2026年暑假高一习题 2】集合 A {x |1 x 6},B {x | x a}，若 A B，则 a的取值范围为________.
【2026年暑假高一习题 3】已知集合 A {x | 1 x a,a 1且a R}， B {y | y 2x 1, x A}，
C {z | z x2 , x A} .是否存在 a，使C B？若存在，求出 a的取值范围；若不存在，说明理由.
类型四：误解集合间的关系而致错
判断集合之间的关系不能仅凭表面的理解，应当注意观察集合中的元素之间的关系．集合之间一般为包含或相
等、不等关系，但有时也可能为属于关系．解题时要思考两个问题：(1)两个集合中的元素分别是什么；(2)两集
合中元素之间的关系是什么．
【2026年暑假高一习题 1】已知集合 A {0,1,a2}， B {1,0, 2a 3}，若 A B，则 a等于（ ）
A． -1或 3 B．0或 -1 C．3 D． -1

【2026年暑假高一习题 2】设 x, y R，A {(x, y) | y x}，B (x, y) |
y
1 ，则 A，B的关系是________.
x
【2026年暑假高一习题 3】已知集合M 1，0，1 ，N x x ab,a,b M且a b ，则集合M 与集合N 的
关系是__________．
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类型五：分类讨论思想的应用
分类讨论，通俗地讲，就是“化整为零，各个击破”．分类讨论要弄清楚是依据哪个参数进行分类的，采用的标
准是什么．分类讨论的原则是：(1)不重不漏；(2)一次分类只能按所确定的同一个标准进行．
1．两个集合相等，则所含元素完全相同，与顺序无关，但要注意检验，排除与集合元素互异性或与已知相矛盾
的情形．
2．若两个集合中元素均为无限多个，要看两集合的代表元素是否一致，且看代表元素满足条件是否一致，若均
一致，则两集合相等．
【2026年暑假高一习题 1】集合 A x 1 x 1 ， B x a 1 x 2a 1 ，若 B A，则实数 a的取值
范围是（ ）
A．a 1 B． a 1 C．0 a 1 D． 0 a 1
【2026年暑假高一习题 2】已知集合 A x 1 ax 2 ，B x 1 x 1 ，求满足 A B的实数a的取值范
围.
【2026年暑假高一习题 3】已知集合 A {x |1 ax 2},B {x || x | 1}，是否存在实数 a，使得 A B .若存
在，求出实数 a的取值范围；若不存在，请说明理由.
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第 2讲 校考真题
【2026暑假高一校考真题 1】已知集合 A＝{﹣1，0，2}，B＝{a|a2＝1}，则（ ）
A．{0}∈A B．0∈B C．{﹣1} B D．B A
【2026暑假高一校考真题 2】已知集合 A＝{1，3}，则集合 A的真子集有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【2026暑假高一校考真题 3】已知集合 A＝{x∈R|x2﹣3x+2＝0}，B＝{x∈N|0＜x＜6}，则满足条件 A C B的
集合 C的个数为（ ）
A．8 B．4 C．2 D．1
【2026暑假高一校考真题 4】集合 A＝{x|﹣1≤x≤1}，B＝{x|a﹣1≤x≤2a﹣1}，若 B A，则实数 a的取值范围是
（ ）
A．a≤1 B．a＜1 C．0≤a≤1 D．0＜a＜1
【2026暑假高一校考真题 5】集合 A＝{﹣1，0，1}，B＝{1，a}，若 B A，则 a＝（ ）
A．0 B．1 C．0或﹣1 D．0或﹣1或 1
【2026暑假高一校考真题 6】已知集合 A＝{1，3，a2}，B＝{3，a+2}，且 B A，则实数 a＝（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【2026暑假高一校考真题 7】已知集合 A＝{x|0＜x＜a+1}，B＝{x|x2﹣3x+2＜0}，若 B A，则实数 a的取值范
围为（ ）
A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，2] C．[1，+∞） D．（1，+∞）
【2026 暑假高一校考真题 8】已知集合 A＝{x|x＜m}，B＝{x|﹣2＜x＜3}，若 A B，则实数 m的取值范围为
（ ）
A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣∞，﹣2] C．（3，+∞） D．[3，+∞）
【2026暑假高一校考真题 9】已知集合 A={ 6 ∈N |x 6∈N }，B={x∈N | ∈N }，则（ ）
x 1 x 1
A．集合 A与集合 B没有包含关系
B．集合 A是集合 B的真子集
C．集合 B是集合 A的真子集
D．A＝B
【2026暑假高一校考真题 10】给出下列关系：
①π∈R； ②{2024，1}＝{x|x2﹣2025x+2024＝0}；
③ {0}； ④{（1，﹣2）} {（x，y）|y＝x2﹣x﹣2}．
其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
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【2026暑假高一校考真题 11】（多选）下列选项中正确的是（ ）
A．0∈
B．若命题 p： x∈R，使 x有意义，则￢p为假命题
C．若{1} A {1，2，3}，则满足条件的集合 A的个数为 3
D．A＝（1，4），B＝（a，5），A∪B＝（1，5），则 a的取值范围为[1，4）
【2026 暑假高一校考真题 12】已知集合 A＝{x|0＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，若 B A，则实数 a的取值范围
是 ．
【2026暑假高一校考真题 13】集合{（x，y）|x2+y2＜2，x∈Z，y∈Z}的真子集的个数是 ．
2026 14 a b R {1 a+b a} {0 b【 暑假高一校考真题 】设 ， ∈ ，集合 ， ， ， }，则 a+b＝ ．
a
【2026暑假高一校考真题 15】设 a，b∈R，P＝{1，a}，Q＝{﹣1，﹣b}．
（1）当 P＝Q时，求 a﹣b的值；
（2）已知集合 M＝{x|x2﹣5x﹣6＜0}，若 P M，求实数 a的取值范围．
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第 3讲 集合的基本运算
1．并集和交集的定义
定义 并集 交集
一般地，由所有属于集合 A或集合 B 一般地，由属于集合 A且属于集合 B
自然
的元素组成的集合，称为集合 A与 B 的所有元素组成的集合，称为集合 A
语言
的并集，记作 A∪B 与 B的交集，记作 A∩B
符号
A∪B＝{x|x∈A，或 x∈B} A∩B＝{x|x∈A，且 x∈B}
语言
图形
语言
[知识点拨] (1)简单地说，集合 A和集合 B的全部(公共)元素组成的集合就是集合 A与 B的并(交)集；(2)当集
合 A，B无公共元素时，不能说 A与 B没有交集，只能说它们的交集是空集；(3)在两个集合的并集中，属于集
合 A且属于集合 B的元素只显示一次；(4)交集与并集的相同点是：由两个集合确定一个新的集合，不同点是：
生成新集合的法则不同．
2．并集和交集的性质
并集 交集
简单 A∪A＝A； A∩A＝A；
性质 A∪ ＝A A∩ ＝
A∪B＝B∪A； A∩B＝B∩A；
常用 A (A∪B)； (A∩B) A；
结论 B (A∪B)； (A∩B) B；
A∪B＝B A B A∩B＝B B A
3．全集
文字 一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这
语言 个集合为全集
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4.补集
对于一个集合 A，由全集 U中不属于集合 A的所有元素组成的集合称为集合 A
文字语言
相对于全集 U的补集，简称为集合 A的补集，记作 UA
符号语言 UA＝{x|x∈U，且 x A}
图形语言
[知识点拨] (1)简单地说， UA是从全集 U中取出集合 A的全部元素之后，所有剩余的元素组成的集合．
(2)性质：A∪( UA)＝U，A∩( UA)＝ ， U( UA)＝A， UU＝ ， U ＝U， U(A∩B)＝( UA)∪( UB)，
U(A∪B)＝( UA)∩( UB)．
(3)如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的 Venn图表示．
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类型一：并集的概念及运算
并集运算应注意的问题
(1)对于描述法给出的集合，应先看集合的代表元素是什么，弄清是数集，还是点集……，然后将集合化简，再
按定义求解．
(2)求两个集合的并集时要注意利用集合元素的互异性这一属性，重复的元素只能算一个．
(3)对于元素个数无限的集合进行并集运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点的值能否取到．
【2026年暑假高一习题 1】已知集合 A {1, 2,3}， B {x | (x 1)(x 2) 0, x Z}，则 A B （ ）
A．{1} B．{1，2} C．{0，1，2，3} D．{ 1，0，1，2，3}
【2026年暑假高一习题 2】已知集合 E {x | x 3}， F {x | 1 x 4}，则 E F ________．
【2026年暑假高一习题 3】已知集合 A {0,1}，B {0,1,2,3}，则 A B中的元素个数为________.
类型二：交集的概念及其运算
求集合 A∩B的方法与步骤
(1)步骤①首先要搞清集合 A、B的代表元素是什么；
②把所求交集的集合用集合符号表示出来，写成“A∩B\”的形式；
③把化简后的集合 A、B的所有公共元素都写出来即可(若无公共元素则所求交集为 )．
(2)方法①若 A、B的代表元素是方程的根，则应先解方程，求出方程的根后，再求两集合的交集；若集合的代
表元素是有序数对，则 A∩B是指两个方程组成的方程组的解集，解集是点集．
②若 A、B是无限数集，可以利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实心点表
示，不含有端点的值用空心点表示．
2026 2 2【 年暑假高一习题 1】已知集合M x | x 3x 28 0 ，N x | x x 6 0 ，则M N 为（ ）
A．{x | 4 x 2或3 x 7} B．{x | 4 x 2或3 x 7}
C．{x | x 2或 x 3} D．{x | x 2或 x 3}
【2026 2年暑假高一习题 2】已知集合 A x | x x 0 ,B {x | x 0}，则 A B ________.
【2026年暑假高一习题 3】已知集合 A 1,2 ，B a,a2 3 ，若A B={1}则实数a的值为________
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类型三：集合交集、并集运算的性质及应用
利用集合交集、并集的性质解题的方法及关注点
(1)方法：利用集合的交集、并集性质解题时，常常遇到 A∪B＝B，A∩B＝A等这类问题，解答时常借助于交集、
并集的定义及已知集合间的关系去转化为集合间的关系求解，如 A∩B＝A A B，A∪B＝B A B．
(2)关注点：当集合 A B时，若集合 A不确定，运算时要考虑 A＝ 的情况，否则易漏解．
【2026年暑假高一习题 1】已知集合 A 1,3, m ，B 1,m ，若 A B A，则m （ ）
A． 0或 3 B． 0或3 C．1或 3 D．1或3
【2026年暑假高一习题 2】设集合 A 1,2,4 ，B x x2 4x m 0 ．若 A B 1 ，则 B ( )
A． 1, 3 B． 1,0 C． 1,3 D． 1,5
【2026年暑假高一习题 3 2】已知 A x | x 3x 2 0 ,B x | ax 2 0 ,若 A B B ,则实数 a的值为
( )
A．0或 1或 2 B．1或 2 C．0 D．0或 1
类型四：集合运算时忽略空集致错
A∩B＝B，B可能为空集，千万不要忘记．
【2026年暑假高一习题 1】集合 A {x | 1 x 2}， B {x | x a}．
（1）若 A B A，求实数 a的取值范围； （2）若 A B ，求实数 a的取值范围．
【2026年暑假高一习题 2】设集合 A {x | 2 x 4, x R}，集合B x | x 2 3ax 2a 2 0 ．求：
（1）实数 a在什么范围内取值时 B ，且 A B B；
（2）实数 a在什么范围内取值时， A B ．
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【2026年暑假高一习题 3】已知集合 A x | 2 a x 2 a ， B x | x 1或x 4 .
（1）当 a 3时，求 A B； （2）若 A B ，求实数 a的取值范围.
类型五：数形结合思想的应用
求解此类问题一定要看是否包括端点(临界)值．集合问题大都比较抽象，解题时要尽可能借助 Venn图、数轴等
工具利用数形结合思想将抽象问题直观化、形象化、明朗化，从而使问题获解．
【2026年暑假高一习题 1】已知集合 A {x |1 x 2}，集合B {x | x a}，若 A B ，则实数 a的取
值范围是________
【2026年暑假高一习题 2】设集合 A x | 4 x 1 5 ， B x | x2 4 ，则 A B （ ）
A． x | 2 x 6 B． x | 3 x 6
C． x | 2 x 2 D． x 3 x 2或2 x 6
【2026年暑假高一习题 3】某校一（1）班共有 18名学生参加了学校书法社或手工社，其中参加书法社的学生
有 15人，参加手工社的学生有 6人，则一（1）班这两个社团都参加了的学生共___________人.
类型六：补集的基本运算
求集合补集的基本方法及处理技巧
(1)基本方法：定义法．
(2)两种处理技巧：
①当集合用列举法表示时，可借助 Venn图求解．
②当集合是用描述表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解．
【2026年暑假高一习题 1】设U { 1,0,1,2}，集合 A {x | x2 1, x U}，则CU A （ ）
A．{0,1,2} B．{ 1,1,2} C．{ 1,0,2} D．{ 1,0,1}
2026 2【 年暑假高一习题 2】已知集合 A x x x 2 0 ，则 RA _____
【2026年暑假高一习题 3】设全集U {x | x≥2, x N}，集合 A {x | x2≥5, x N}，则CU A=__________．
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类型七：交集、并集、补集的综合运算
【2026年暑假高一习题 1】已知集合 A {x | (x 3)(x 1) 0}，B {x‖x 1| 1}，则 CRA B （ ）
A．[ 1,0) (2,3] B． (2,3] C． ( , 0) (2, ) D． ( 1,0) (2,3)
【2026年暑假高一习题 2】已知全集U 2, 1,0,1,2,3 ，集合 A 1,0,1 ， B 1,1,2 ，则
痧U A UB ______.
【2026年暑假高一习题 3】若全集U R， A x | x 3或 x 2 ， B x 1 x 5 ，则
C x 1 x 2 ______（用 A， B 或其补集表示）.
类型八：“正难则反”思想的应用
“正难则反”策略是指当某一问题从正面解决较困难时，我们可以从其反面入手解决．已知全集 U，求子集 A，
若直接求 A困难，可运用“正难则反”策略先求 UA，再由 U( UA)＝A求 A．
补集作为一种思想方法给我们研究问题开辟了新思路，今后要有意识地去体会并运用．在顺向思维受阻时，改
用逆向思维，可能“柳暗花明”．从这个意义上讲，补集思想具有转换研究对象的功能，这是转化思想的又一体
现．
【2026年暑假高一习题 1】已知集合 A x | x2 5x 6 0 ,B x | x2 ax a2 12 0 ，若 B A A .
求实数 a的取值范围.
【2026年暑假高一习题 2】已知集合 ,则实数 的值为__________.
【2026年暑假高一习题 3】设全集U 2,3,a2 2a 3 ， A 16 a , 2 ．若 A 5 ，求实数 a的值．
6 U
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第 3讲 校考真题
【2026暑假高一校考真题 1】已知集合 M＝{x∈N|x≤2}，N={x| x+6 ≤0}，则 M∩N＝（ ）
x 2
A．{1} B．{0，1} C．{1，2} D．{0，1，2}
【2026暑假高一校考真题 2】已知全集 M={x| x≤2}，N={x|x2 x 2＞0}，则 M∪N＝（ ）
A．（2，4] B．（﹣∞，﹣1）∪[0，+∞）
C．（﹣∞，﹣2）∪[0，+∞） D．（﹣1，4]
【2026暑假高一校考真题 3】已知集合 A＝{x|x＞﹣1}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则（ RA）∩B＝（ ）
A．{﹣2，﹣1} B．{﹣1，0，1，2} C．{0，1，2} D．{1，2}
【2026暑假高一校考真题 4】已知集合 A＝{﹣6，6}，B＝{x|ax﹣3＝0}，A∪B＝A，则实数 a的取值构成的集
合为（ ）
A { 1 } B { 1 } C { 1 1 } D { 1 0 1． ． ． ， ． ， ， }
2 2 2 2 2 2
【2026暑假高一校考真题 5】《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列 2025年我国暑期档票
房前三名．高一（1）班共有 28名同学，有 15人观看了《南京照相馆》，有 8人观看了《浪浪山小妖怪》，有
14人观看了《长安的荔枝》，有 3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有 3人同时观看了《南
京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影．只观看了《长安的荔枝》的人数为（ ）
A．6人 B．7人 C．8人 D．9人
【2026暑假高一校考真题 6】已知全集 U，集合 M，N满足 M N U，则下列结论正确的是（ ）
A．M∪N＝U B．（ UM）∩（ UN）＝
C．M∩（ UN）＝ D．（ UM）∪（ UN）＝
【2026暑假高一校考真题 7】已知 A＝{x|x2﹣2025＜0}，B＝{y|（10﹣y）（y﹣10）≥0}，则（ ）
A．A∩B＝A B．A∪B＝B C．A＝B D．（ RA）∩B＝
x x+3
【2026暑假高一校考真题 8】已知集合 A={x| + =0}，则 A∩Z＝（ ）
|x| |x+3|
A．{﹣2} B．{﹣2，﹣1，1，2} C．{﹣1，1} D．{﹣2，﹣1}
【2026暑假高一校考真题 9】已知集合 A＝{﹣1，0，2，m2}，B＝{x∈Z|x2≤3}，若 A∩B＝{﹣1，0，1}，则 m
＝（ ）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．0
【2026暑假高一校考真题 10 M={x| x 1】已知集合 ≤0}，Q＝{x∈N||x|≤2}，则 M∩Q＝ ．
x+2
【2026暑假高一校考真题 11】设 m为实数，集合 A＝{x|1≤x≤4}，B＝{x|m≤x≤m+2}，若 RB∪A＝R，则实数 m
的取值范围为 ．
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【2026暑假高一校考真题 12】已知命题 p：关于 x的方程 x2+4x+m＝0（m＞0）有两个不相等的实数根．
（1）若 p是真命题，求实数 m的取值集合 A；
（2）在（1）的条件下，集合 B＝{m|2a﹣1＜m＜a+1}，若 A∩（ RB）＝A，求实数 a的取值范围．
【2026暑假高一校考真题 13】已知全集 U＝{﹣4，﹣1，0，1，2，4}，M＝{x∈Z|0≤x＜3}，N＝{x|x2﹣x﹣2＝
0}．
（1）求 M∩N；
（2）求（ UM）∪（ UN）；
（3）写出集合 M的所有真子集．
【2026暑假高一校考真题 14】设全集 U＝R，集合 A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|a﹣1＜x＜2a+3}．
（1）若 a＝2时，求 A∪B，（ UA）∩B；
（2）若 A∪B＝B，求实数 a的取值范围；
（3）若 A∩B＝B，求实数 a的取值范围．
【2026暑假高一校考真题 15】已知全集为 R，集合 A＝{x|2m﹣1≤x≤m+1} B={x| 3， ≥2}．
2 x
1
（1）若 m= ，求：A∩（ B）；
2 R
（2）若 RB RA，求实数 m的取值范围．
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第 4讲 充分与必要条件
充分条件与必要条件
命题真假 “若 p，则 q”是真命题 “若 p，则 q”是假命题
推出关系 p q p / q
p是 q的充分条件 p不是 q的不充分条件
条件关系
q是 p的必要条件 q不是 p的不必要条件
充要条件
1．如果既有 p q，又有 q p，则 p是 q的充要条件，记为 p q．
2．如果 p / q且 q / p，则 p是 q的既不充分也不必要条件．
3．如果 p q且 q / p，则称 p是 q的充分不必要条件．
4．如果 p / q且 q p，则称 p是 q的必要不充分条件．
5．设与命题 p对应的集合为 A＝{x|p(x)}，与命题 q对应的集合为 B＝{x|q(x)}，
若 A B，则 p是 q的充分条件，q是 p的必要条件；
若 A＝B，则 p是 q的充要条件．
6．p是 q的充要条件是说，有了 p成立，就一定有 q成立．p不成立时，一定有 q不成立．
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类型一：充分条件
1.判断 p是 q的充分条件，就是判断命题“若 p，则 q”为真命题．
2．p是 q的充分条件说明：有了条件 p成立，就一定能得结论 q成立．但条件 p不成立时，结论 q未必不成立．
例如，当 x＝2 时，x2＝4 成立，但当 x≠2 时，x2＝4 也可能成立，即当 x＝－2 时，x2＝4 也可以成立，所以“x
＝2”是“x2＝4”成立的充分条件，“x＝－2”也是“x2＝4”成立的充分条件．
2 2
【2026年暑假高一习题 1】“ x 2017 ”是“ x 2016 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【2026年暑假高一习题 2】若“ x 3”是“ x a “的充分不必要条件，则实数 a的取值范围是_____.
【2026年暑假高一习题 3】 p ：二次函数 y ax2 bx c的图象与 x轴有交点；q：判别式 b2 4ac 0，
则q是 p的什么条件__________.（充分条件、必要条件）
类型二：必要条件
1.判断 p是 q的必要条件，就是判断命题“若 q，则 p”成立；
2．p是 q的必要条件理解要点：
①有了条件 p，结论 q未必会成立，但是没有条件 p，结论 q一定不成立．
②如果 p是 q的充分条件，则 q一定是 p的必要条件．
真命题的条件是结论的充分条件；真命题的结论是条件的必要条件．假命题的条件不是结论的充分条件，但是
有可能是必要条件．例如：命题“若 p：x2＝4，则 q：x＝－2”是假命题．p不是 q的充分条件，但 q p成立，
所以 p是 q的必要条件．
3．推出符号“ ” 只有当命题“若 p，则 q”为真命题时，才能记作“p q”．
【2026年暑假高一习题 1】已知 a、b R，下列条件中，使 a b成立的必要条件是（ ）
A．a b 1 B． a b 1 C． a b D． a2 b2
【2026年暑假高一习题 2】从“充分条件”“必要条件”中选出适当的一种填空：“ ax2 bx c 0(a 0)有实根”
是“ ac 0 ”的________．
【2026年暑假高一习题 3】生活中，我们还常用“水滴石穿”、“有志者，事竟成”、“坚持就是胜利”等熟语来勉
励自己和他人保持信心、坚持不懈地努力在这些熟语里，“石穿”、“事成”、“胜利”分别是“水滴”、“有志”、“坚
持”的______条件，这正是我们努力的信心之源，激励着我们直面一切困难与挑战，不断取得进步。（填“充分
不必要、必要不充分、充要或者既不充分也不必要”）
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类型三：充分条件与必要条件的应用
充分条件与必要条件的应用技巧：
(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题．
(2)求解步骤：先把 p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)
进行求解．
【2026年暑假高一习题 1】已知集合 A x R 1 x 3 ，B x R x m 1 ，若 x B成立的一个充
分不必要条件是 x A，则实数m 的取值范围是（ ）
A． m m 2 B． m m 2 C． m m 2 D． m 2 m 2
【2026年暑假高一习题 2】已知 p : 4x m 0，q :1 3 x 4，若 p是q的一个必要不充分条件，则实数m
的取值范围为（ ）．
A． m m 8 B． m m 8 C． m m 4 D． m m 4
【2026年暑假高一习题 3】若 p : x2 x 6 0是 q : ax 1 0的必要不充分条件，且a 0，则实数 a的值为
______.
类型四：充要条件的判断
判断 p是 q的充分必要条件的两种思路
(1)命题角度：判断 p是 q的充分必要条件，主要是判断 p q及 q p这两个命题是否成立，若 p q成立，则 p
是 q的充分条件，同时 q是 p的必要条件；若 q p成立，则 p是 q的必要条件，同时 q是 p的充分条件；若二
者都成立，则 p与 q互为充要条件．
(2)集合角度：关于充分条件、必要条件、充要条件，当不容易判断 p q及 q p的真假时，也可以从集合角度
去判断，结合集合中“小集合 大集合”的关系来理解，这对解决与逻辑有关的问题是大有益处的．
【2026年暑假高一习题 1】a，b中至少有一个不为零的充要条件是（ ）
A．ab＝0 B．ab>0 C．a2＋b2＝0 D．a2＋b2>0
【2026年暑假高一习题 2】设 U为全集，A，B是集合，则“存在集合 C使得 A C，B UC ”是“ A B ”
的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【2026年暑假高一习题 3】“方程 x2 2x a 0没有实数根”的充要条件是________.
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类型五：利用充分条件和必要条件确定参数的取值范围
充要条件中的含参数问题，往往是通过集合的包含关系解答．
【2026年暑假高一习题 1】“不等式 在 上恒成立”的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
【2026年暑假高一习题 2】方程 ax2 2x 1 0至少有一个负根的充要条件是（ ）
A．0 a 1 B． a 1 C．a 1 D．0 a 1或 a 0
【2026年暑假高一习题 3】已知两个关于 x的一元二次方程mx2 4x 4 0和 x2 4mx 4m2 4m 5 0，
两方程的根都是整数的充要条件为_______________．
类型六：充要条件的证明
(1)充要条件的证明要确定命题中的条件和结论，要从两个方面进行证明，证充分性就是证原命题成立，证必要
性就是证原命题的逆命题成立．
(2)证明“充要条件”一般应分两个步骤，即分别证明“充分性”与“必要性”，但千万要注意“谁”是“谁”的充分条件，
“谁”是“谁”的必要条件．尽管证明充要条件问题中，前者可以是后者的充分条件，也可以是必要条件，但还是
不能把步骤颠倒了，一般地，证明“p成立的充要条件为 q”时，在证充分性时应以 q为“已知条件”，p是该步中
要证明的“结论”，即 q p；证明必要性时则是以 p为“已知条件”，q是该步中证明的“结论”，即 p q．
1 1
【2026年暑假高一习题 1】已知 x, y都是非零实数，且 x y，求证： 的充要条件是 xy 0 .
x y
【2026年暑假高一习题 2】已知 ab 0，求证： a b 1的充要条件是 a3 b3 ab a2 b2 0．
【2026年暑假高一习题 3】求证：方程 有两个同号且不相等的实根的充要条件是 ．
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类型七：充要条件的探求
(1)探求一个命题成立的充要条件一般有两种处理方法：①先由结论寻找使之成立的必要条件，再验证它也是使
结论成立的充分条件，即保证充分性和必要性都成立．②变换结论为等价命题，使每一步都可逆，直接得到使
命题成立的充要条件．
(2)求一个命题的充要条件时，往往要从两个方面进行求解：一是充分性，二是必要性．
【2026年暑假高一习题 1】下列各题中，哪些 p是 q的充要条件？
（1）p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分；
（2）p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例；
（3） p : xy 0， q : x 0， y 0；
（4） p : x 1是一元二次方程 ax2 bx c 0的一个根， q : a b c 0(a 0) .
【2026年暑假高一习题 2】指出下列各题中， p是q的什么条件，并说明原因．
（1） p :数 a能被6整除， q :数 a能被3整除；
（2） p : x 1， q : x2 1；
（3） p :四边形的对角线相等， q :四边形是平行四边形．
【2026年暑假高一习题 3】已知条件 p： x2 3x 4 0；条件 q： x2 6x 9 m2 0，若 p是 q的充分不必
要条件，则 m的取值范围是什么？
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第 4讲 校考真题
【2026暑假高一校考真题 1】已知一组数据为 2，4，6，5，m，4，3，则“3≤m≤5”是“这组数据的中位数为 4”
的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【2026暑假高一校考真题 2】已知命题 p：x2﹣x＜0，使命题 p为真命题的一个必要不充分条件可以是（ ）
A 1 1．﹣1＜x＜1 B．0＜x＜1 C． ＜x＜1 D． ＜x＜2
2 2
【2026暑假高一校考真题 3】已知命题 p：|x|≤3，q：﹣x2+3x﹣2≥0，则 p是 q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【2026暑假高一校考真题 4】已知集合 A＝{1，3，4}，B＝{1，a+2}，则“a＝2”是“A∪B＝A”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【2026暑假高一校考真题 5】已知两个非空集合 A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，若 B是 A的充分不必
要条件，则 m的取值范围是（ ）
A．[2，3] B．[2，3） C．（﹣∞，3] D．（2，3]
【2026 暑假高一校考真题 6】设 m为给定的一个实常数，命题 p： x∈R，x2﹣4x+2m≥0，则“m≥3”是“命题 p
为真命题”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件
【2026暑假高一校考真题 7】（多选）下列说法正确的是（ ）
A．命题“ x＞0，x2﹣3＞0”的否定是“ x≤0，x2﹣3≤0”
B．“a＞1，b＞1”是“ab＞1”成立的充分不必要条件
C．“|x|＞|y|”是“x＞y”的必要条件
D．“m＜0”是“关于 x的方程 x2﹣2x+m＝0有一正一负根”的充要条件
【2026暑假高一校考真题 8】（多选）在下列四个命题中，正确的是（ ）
A．命题“ x∈R，使得 x2+x+1＜0”的否定是“ x∈R，都有 x2+x+1≥0”
B．当 x＞1时，x+ 4 的最小值是 5
x 1
C 3．已知集合 A＝{m+2，2m2+m}，若 3∈A，则 m的值为
2
D．“a＞1”是“a2＞1”的必要不充分条件
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x 3
【2026暑假高一校考真题 9】设集合 A={x| ＜0}，B={x|x2 2ax+a2 1＞0}．
x 1
（1）若 a＝3，求 A∪B；
（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数 a的取值范围．
【2026暑假高一校考真题 10】已知全集 U＝R，集合 A＝{x|x2+2x＜3}，B＝{x|﹣3＜3x﹣a＜6}．
（1）若 a＝3，求 A∪（ UB）；
（2）若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，求 a的取值范围．
【2026 1暑假高一校考真题 11】若关于 x的不等式 ax2+3x﹣1＞0的解集是 A={x| ＜x＜1}．
2
（1）求 a的值；
（2）设集合 B＝{x|2m＜x＜2﹣m}，若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数 m的取值范围．
【2026暑假高一校考真题 12】已知集合 A＝{x|x2﹣8x﹣20≤0}，集合 B＝{x|﹣1+m≤x≤1+m}．
（1）当 m＝2时，求 A∩B；
（2）若 x∈A是 x∈B的必要条件，求 m的取值范围．
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【2026暑假高一校考真题 13】已知集合 P＝{x|a+1≤x≤2a+1}，且 P≠ ，Q＝{x|﹣2≤x≤5}．
（1）若 a＝3，求 P∩Q；
（2）若 x∈P是 x∈Q的充分不必要条件，求实数 a的取值范围．
2026 14 A {x|a≤x≤3a 1} B={x| x 5【 暑假高一校考真题 】已知集合 ＝ ﹣ ， ＞0}．
x+2
（1）若 a＝1，求（ RB）∩A；
（2）若“x∈A”是“x∈ RB”的充分不必要条件，求 a的取值范围．
【2026暑假高一校考真题 15】已知集合 A＝{x||2x﹣3|＜5}，B＝{x|x2﹣4mx+3m2＜0}，其中 m＞0．
（1）若 m＝1，求 A∩ RB；
（2）若 x∈A是 x∈B的必要不充分条件，求实数 m的取值范围．
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第 5讲 全称与存在量词
1．全称量词与全称命题
(1)短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示，含有全称量词的命题，叫
做全称命题．
(2)全称命题的表述形式：对 M中任意一个 x，有 p(x)成立，可简记为： x∈M，p(x)．
(3)常用的全称量词还有“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”，表示整体或全部的含义．
3．存在量词与特称命题
(1)短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示，含有存在量词的命题，叫
做特称命题．
(2)特称命题的表述形式：存在 M中的一个 x0，使 p(x0)成立，可简记为， x0∈M，p(x0)．
(3)存在量词：“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”，表示个别或一部分的含义．
4．命题的否定
(1)全称命题 p： x∈M，p(x)，它的否定 p： x0∈M， p(x0)，全称命题的否定是特称命题．
(2)特称命题 p： x0∈M，p(x0)，它的否定 p： x∈M， p(x)，特称命题的否定是全称命题．
5．常见的命题的否定形式有：
至少有 至多有 对任意 x∈A
原语句 是 都是 >
一个 一个 使 p(x)真
否定 一个也 至少有 存在 x∈A
不是 不都是 ≤
形式 没有 两个 使 p(x)假
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类型一：全称命题与特称命题的判定
1.判断一个语句是全称命题还是特称命题的步骤：
(1)首先判定语句是否为命题，若不是命题，就当然不是全称命题或特称命题．
(2)若是命题，再分析命题中所含的量词，含有全称量词的命题是全称命题，含有存在量词的命题是特称命题．
2．当命题中不含量词时，要注意理解命题含义的实质．
3．一个全称(或特称)命题往往有多种不同表述方法，有时可能会省略全称(存在)量词，应结合具体问题多体会．
【2026年暑假高一习题 1】判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断真假．
(1)对所有的实数 a，b，关于 x的方程 ax＋b＝0恰有唯一解．
1 3
(2)存在实数 x，使得
x2
.
2x 3 4
【2026年暑假高一习题 2】把下列定理表示的命题写成含有量词的命题:
(1)勾股定理; (2)三角形内角和定理.
【2026年暑假高一习题 3】用符号“ ”与“ ”表示下列含有量词的命题,并判断真假：
(1)任意实数的平方大于或等于 0；
(2)对任意实数 a，二次函数 y x2 a的图象关于 y轴对称；
(3)存在整数 x，y，使得 2x 4y 3；
(4)存在一个无理数，它的立方是有理数.
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类型二：全称命题与特称命题的真假判断
1.全称命题的真假判断
要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合 M中的每个元素 x验证 p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，
只要能举出集合 M中的一个 x＝x0，使得 p(x0)不成立即可．
2．特称命题的真假判断
要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合 M中，找到一个 x＝x0，使 p(x0)成立即可；否则，这一特称命
题就是假命题．
【2026年暑假高一习题 1】写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假：
（1）任意实数都存在倒数；
（2）存在一个平行四边形，它的对角线不相等；
（3） x {x | x是三角形}, x的内角和是180 .
【2026年暑假高一习题 2】判断下列存在量词命题的真假：（1）存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直；
（2）至少有一个整数 n，使得 n2 n为奇数；（3） x {y | y是无理数}， x2是无理数.
【2026年暑假高一习题 3】判断下列全称量词命题的真假：
（1）每个四边形的内角和都是 360°；
（2）任何实数都有算术平方根；
（3） x {y | y是无理数}， x3是无理数.
类型三：利用全称命题和特称命题的真假求参数范围
【2026年暑假高一习题 1】若命题“ x R, x2 ax 1 0 ”是真命题，则实数 a的取值范围是（ ）.
A．{a | 2 a 2} B．{a |a 2或a 2}
C．{a | 2 a 2} D．{a |a 2或a 2}
【2026年暑假高一习题 2】若“ x R， x2 2x a 0 ”是真命题，则实数 a的取值范围是____．
【2026年暑假高一习题 3】已知命题 p : x R， ax2 2x 1 0， q : x R，ax2 ax 1 0 .若 p与 q均
为假命题，求实数 a的取值范围.
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类型四：全称命题、特称命题的否定
1.一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到量词及相应
结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论．
2．对于省略量词命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定．
【2026年暑假高一习题 1】命题“ x 0， x2 0 ”的否定是（ ）
A． x 0, x2 0 B． x 0, x2 0
C． x 0, x2 0 D． x 0, x2 0
【2026年暑假高一习题 2】命题： x R， x2 x 1 0的否定是______．
【2026年暑假高一习题 3】写出下列命题的否定：（1）分数是有理数；（2）三角形的内角和是 180°.
类型五：利用全称命题与特称命题求参数的取值范围
(1)利用全称命题、特称命题求参数的取值范围或值是一类综合性较强、难度较大的问题．主要考查两种命题的
定义及其否定.
(2)全称命题为真，意味着对限定集合中的每一个元素都具有某种性质，使所给语句为真．因此，当给出限定集
合中的任一个特殊的元素时，自然应导出“这个特殊元素具有这个性质”(这类似于“代入”思想)．
【2026年暑假高一习题 1】已知命题 p：“至少存在一个实数 x [1,2]，使不等式 x2 2ax 2 a 0成立”的
否定为假命题，试求实数 a的取值范围．
【2026年暑假高一习题 2】若命题“ 1 x 2，一次函数 y x m的图象在 x轴上方”为真命题，求实数m的
取值范围．
【2026年暑假高一习题 3】已知命题 p :存在实数 x R，使 x2 ax 1 0成立.
（1）若命题 P为真命题，求实数 a的取值范围；
（2）命题 q :任意实数 x 1,2 ，使 x2 2ax 1 0恒成立.如果 p，q都是假命题，求实数 a的取值范围.
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第 5讲 校考真题
【2026暑假高一校考真题 1】命题“ x∈R，有 x2+2x+2≤0”的否定是（ ）
A． x∈R，有 x2+2x+2＞0 B． x∈R，有 x2+2x+2≤0
C． x∈R，有 x2+2x+2＞0 D． x∈R，有 x2+2x+2≥0
【2026暑假高一校考真题 2】命题 p： x＞2，x2﹣1≥0，则￢p是（ ）
A． x＞2，x2﹣1＜0 B． x≤2，x2﹣1＜0
C． x≤2，x2﹣1＞0 D． x≤2，x2﹣1≤0
【2026暑假高一校考真题 3】已知命题 p： x＞1，x2+2x﹣3＞0，则￢p为（ ）
A． x＞1，x2+2x﹣3≤0 B． x≤1，x2+2x﹣3≤0
C． x＞1，x2+2x﹣3＜0 D． x＞1，x2+2x﹣3＞0
【2026暑假高一校考真题 4】命题“ x∈[1，2]，2ax+2﹣a＞0”为假命题的一个充分不必要条件为（ ）
A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣∞，﹣2] C．（﹣∞，2） D．（﹣∞，2]
【2026暑假高一校考真题 5】命题“ x＜﹣1，x2＞1”的否定是（ ）
A． x＜﹣1，x2≤1 B． x≥﹣1，x2≤1
C． x＜﹣1，x2≤1 D． x≥﹣1，x2≤1
【2026暑假高一校考真题 6】命题“ x∈R，x+|x|＞0”的否定是（ ）
A． x R，x+|x|≥0 B． x∈R，x+|x|≤0
C． x∈R，x+|x|≤0 D． x∈R，x+|x|＜0
【2026暑假高一校考真题 7/】命题 p x I x： ∈ ， ＞0，则 p是（ ）
x 1
A． x∈I x， ≤0 B x． x∈I， ≤0
x 1 x 1
C． x x x∈I， ≤0或 x﹣1＝0 D． x∈I， ≤0或 x﹣1＝0
x 1 x 1
【2026暑假高一校考真题 8】命题“ x∈R， n∈N*，使得 n x2”的否定是（ ）
A． x∈R， n∈N*，使得 n＜x2 B． x∈R， n∈N*，使得 n＜x2
C． x∈R， n∈N*，使得 n＜x2 D． x∈R， n∈N*，使得 n＜x2
【2026 9 1暑假高一校考真题 】已知命题“ x∈R，4x2+（a﹣2）x+ ＞0”是真命题，则实数 a 的取值范围
4
为 ．
【2026 暑假高一校考真题 10】命题“ x∈R，（a+2）x2+（a+2）x﹣1≥0”为假命题，测实数 a 的取值范围
为 ．
【 2026 暑 假高 一校 考 真题 11】 若 “ x∈R， x2 ﹣ ax﹣ 2a＞ 0”是假 命题，则 实数 a 的取 值范围
是 ．
【2026暑假高一校考真题 12】若“ x∈[1，2]，x2﹣ax+1＜0”为假命题，则实数 a的取值范围为 ．
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2026 13 x 1【 暑假高一校考真题 】已知集合 A={x|x2 x 6≤0}，B={x| ≥0}，C={x|2m＜x＜m+1}．
x+3
（1）求 RA，（ RB）∩A；
（2）若“ x∈A，x C”为真命题，求实数 m的取值范围．
【2026暑假高一校考真题 14】已知命题 p： x∈R，﹣x2+2x﹣a2＞0成立；命题 q：x2+ax+2＝0有两个负根．
（1）若命题 p为真命题，求 a的取值范围；
（2）若命题 p和命题 q有且只有一个是真命题，求 a的取值范围．
【2026暑假高一校考真题 15】已知命题 p： x∈R，ax2+ax+1 0 q 1 31＞ ，命题 ： x∈[﹣1，1]，( )x+2×3 x +a≥0．
9 2
（1）若 p为假命题，求实数 a的取值范围；
（2）若 p，q中有且仅有一个为真命题，求实数 a的取值范围．
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第 6讲 等式不等式性质
1．实数的大小
(1)数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大.
(2)对于任意两个实数 a和 b，如果 a－b是正数，那么 a>b；如果 a－b是负数，那么 a那么 a＝b.
2．不等关系与不等式
我们用数学符号“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些符号的
式子，叫做不等式.
3．不等式的性质
(1)性质 1：如果 a>b，那么 b如果 bb.
即 a>b b(2)性质 2：如果 a>b，b>c，那么 a>c.
即 a>b，b>c a>c.
(3)性质 3：如果 a>b，那么 a＋c>b＋c.
(4)性质 4：①如果 a>b，c>0那么 ac>bc.
②如果 a>b，c<0，那么 ac(5)性质 5：如果 a>b，c>d，那么 a＋c>b＋d.
(6)性质 6：如果 a>b>0，c>d>0，那么 ac>bd.
(7)性质 7：如果 a>b>0，那么 an>bn，(n∈N，n≥2)．
n n
(8)性质 8：如果 a>b>0，那么 a> b，(n∈N，n≥2)．
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类型一：用不等式表示不等关系
用不等式(组)表示实际问题中不等关系的步骤：
①审题．通读题目，分清楚已知量和待求量，设出待求量．找出体现不等关系的关键词：“至少”“至多”“不少于”“不
多于”“超过”“不超过”等．
②列不等式组：分析题意，找出已知量和待求量之间的约束条件，将各约束条件用不等式表示．
【2026年暑假高一习题 1】一家银行的信贷部计划年初投入 25000000元用于企业和个人贷款,希望这笔资金至
少可带来 30000元的收益,其中从企业贷款中获益 12%,从个人贷款中获益 10%.那么信贷部应该如何分配资金呢
用不等关系表示.
【2026年暑假高一习题 2】如图是在北京召开的第 24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵
爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客．你能在这个图案中找出一些相
等关系或不等关系吗？（教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系）．
【2026年暑假高一习题 3】日常生活中，在一杯含有 a克糖的b克糖水中，再加入m克糖，则这杯糖水变甜了.
请根据这一事实提炼出一道不等式，并加以证明.
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类型二：比较数或式子的大小
比较两个实数(或代数式)大小的步骤
(1)作差：对要比较大小的两个数(或式子)作差；
(2)变形：对差进行变形(因式分解、通分、配方等)；
(3)判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号；
(4)作出结论．这种比较大小的方法通常称为作差比较法．其思维过程：作差→变形→判断符号→结论，其中变
形是判断符号的前提．
【2026年暑假高一习题 1】已知 a b c，试比较 a2b b2c c2a与ab2 bc2 ca2的大小.
a b b a
【2026年暑假高一习题 2】已知 a 0，b 0，试比较M 与 N 的大小．
1 a 1 b 1 a 1 b
【2026年暑假高一习题 3】（1）比较 x6 1与 x4 x2 的大小，其中 x R ；
（2）设 x， y， z R，比较5x2 y2 z2与 2xy 4x 2z 2的大小.
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类型三：不等式性质的应用
不等式性质的应用主要有：判断不等式的真假，证明不等式，求参数的取值范围等．
1．判断不等式的真假．
(1)首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件．
(2)解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是
取值要简单，便于验证计算．
(3)若要判断某结论正确，应说明理由或进行证明，推理过程应紧扣有关定理、性质等，若要说明某结论错误，
只需举一反例．
2．证明不等式
(1)要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．
(2)应用不等式的性质进行推证时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能
随意构造性质与法则．
3．求取值范围
(1)建立待求范围的代数式与已知范围的代数式的关系，利用不等式的性质进行运算，求得待求的范围．
(2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就
有可能扩大其取值范围．
4．掌握各性质的条件和结论．在各性质中，乘法性质的应用最易出错，即在不等式的两边同时乘(除)以一个数
时，必须能确定该数是正数、负数或零，否则结论不确定．
【2026年暑假高一习题 1】若 a、b、 c R，且 a b，则下列不等式中一定成立的是（ ）
2
A c 2． a b b c B． ac bc C． 0 D． a b c 0
a b
【2026年暑假高一习题 2】若a b 0，则下列不等式中不成立的是（ ）
A． | a | | b | 1 1 1 1B． a2 b2 C． D． a b a b a
【2026年暑假高一习题 3】已知 a，b，c，d∈R，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A．若 a＞b，c＞d，则 ac＞bd B．若 a＞b，则 ac2 bc2
C．若 a＞b＞0，则（a﹣b）c＞0 D．若 a＞b，则 a﹣c＞b﹣c
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类型四：错用不等式的性质致错
c c
【2026年暑假高一习题 1】已知 a b 0， c 0，求证： .
a b
1 1
【2026年暑假高一习题 2】若 x y 0 2 2，试比较 , , x , y 的大小．
x y
【2026年暑假高一习题 3】对于实数 a,b,c，判断下列命题的真假．
（1）若 a b，则 ac bc．
（2）若 ac2 bc2 ，则 a b．
（3）若 a b 0，则 a2 ab b2．
（4）若 a b 0，则 | a | | b |．
a b
（5）若 c a b 0，则 ．
c a c b
1 1
（6）若 a b， ，则 a 0,b 0．
a b
类型五：待定系数法在不等式中的应用
x2 x3
【2026年暑假高一习题 1】设实数 x， y满足3 xy2 8，4 9，求 4 的最大值．y y
2
【2026年暑假高一习题 2】已知 f x ax c ,且－4≤f(1)≤－1,－1≤f(2)≤5,求 f(3)的取值范围.
【2026年暑假高一习题 3】已知 1 2a b 2，3 a b 4，求5a b的取值范围．
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类型六：不等式的证明
证明不等式的常用方法有：
(1)作差法．
(2)作商法．比较 a与 b的大小时，先判断 a与 b的符号，利用 a>b>0 a >1,0>a>b a <1.
b b
根据待求不等式的形式，多项式形式适用于作差法，比值形式、指数形式适用于作商法．
【2026年暑假高一习题 1】已知 a b c d 0， ad bc．
（Ⅰ）证明： a d b c；
（Ⅱ）证明： aabbcc abbcca．
e e
【2026年暑假高一习题 2】若 a b 0， c d 0， e 0，求证： a c 2

b d 2 .
2
【2026年暑假高一习题 3】下面的问题与著名的柯西不等式有关，请你比较 a2 b2 c2 d 2 与 ac bd 的
大小，并猜测更一般的结论（不必证明）．
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类型七：利用不等式的性质求取值范围
求取值范围的问题要注意解题方法是否符合不等式的性质，是否使范围扩大或缩小．
1 x y 3
【2026年暑假高一习题 1】已知实数 x，y满足 ，则 2x y的取值范围是__________．
1 x y 1
a
【2026年暑假高一习题 2】已知12 < a < 60 ,15< b < 36 ,则 的取值范围为__________.
b
【2026年暑假高一习题 3】已知实数 a、b，满足0 a b 2，则a b的取值范围是_____________.
类型八：不等式的实际应用
“最优方案”问题，首先要设出未知量，搞清楚比较的对象，然后把这个未知量用其他的已知量表示出来，通过
比较即可得出结论．
【2026年暑假高一习题 1】某学校组织老师去某地参观学习，需包车前往.甲车队说：“如领队买全票一张，其
余人可享受 7.5折优惠.”乙车队说：“你们属团体票按原价的 8折优惠.”这两车队的原价、车型都是一样的.试根
据去的老师人数，比较两车队的收费哪家更优惠.
【2026年暑假高一习题 2】火车站有某公司待运的甲种货物1530t，乙种货物1150t，现计划用 A，B两种型号
的货厢共 50节运送这批货物，已知 35t甲种货物和 15 t乙种货物可装满一节 A型货厢，25t甲种货物和 35 t乙
种货物可装满一节 B型货厢，据此安排 A，B两种货厢的节数，共有几种方案？若每节 A型货厢的运费是 0.5
万元，每节 B型货用的运费是 0.8万元，哪种方案的运费较少？
【2026年暑假高一习题 3】甲、乙两车从 A地沿同一路线到达 B地，甲车一半时间的速度为 a，另一半时间的
速度为 b；乙车一半路程的速度为 a，另一半路程的速度为 b．若 a b，试判断哪辆车先到达 B地．
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第 6讲 校考真题
【2026暑假高一校考真题 1】若 a，b，c∈R，则下列命题正确的是（ ）
A．若 a 1 1＞b，则 ac2＞bc2 B．若 a＞b＞c，则 ＜
a c b c
C．若 a＜b b b+c＜c＜0，则 ＞ D．若 a＞b，则 a2＞b2
a a+c
【2026暑假高一校考真题 2】某花店搞活动，6支红玫瑰与 3支黄玫瑰价格之和大于 24元，而 4支红玫瑰与 5
支黄玫瑰价格之和小于 22元，那么 2支红玫瑰与 3支黄玫瑰的价格比较的结果是（ ）
A．2支红玫瑰贵 B．3支黄玫瑰贵
C．相同 D．不能确定
【2026暑假高一校考真题 3】下列不等式中成立的是（ ）
A．若 a＞b＞0，则 ac2＞bc2 B．若 a＞b＞0，则 a2＞b2
C．若 a＜b＜0，则 a2 1 1＜ab＜b2 D．若 a＜b＜0，则 ＜
a b
【2026暑假高一校考真题 4】若 a＞b＞0，则下列不等式不一定成立的是（ ）
2 2
A b b +1． 2＜ 2 B．a2+b2＞aba a +1
C．a+ 1＞b+ 1 D a 1 b 1． ＞
a b a b
【2026暑假高一校考真题 5】下列命题是假命题的是（ ）
A．若 a＞b＞0＞c＞d，则 ab＞cd B．若 ac2＞bc2，则 a＞b
C．若 a＞b＞0且 c c c 1 1＜0，则 ＞
a2 b2
D．若 a＞b且 ＞ ，则 ab＜0
a b
【2026暑假高一校考真题 6】下列命题为假命题的是（ ）
A．若 a＞b＞0，则 ac2＞bc2
B．若﹣2＜a＜3，1＜b＜2，则﹣4＜a﹣b＜2
C．若 a＞b＞0 c c且 c＜0，则 ＞
a2 b2
D 1 1．若 c＞a＞b，则 ＞
c a c b
【2026暑假高一校考真题 7】《算经十书》是中国古代数学典籍的合集．书中记载（用现代文表达）：今有牛、
羊、猪各数头（各有至少 1头），已知猪的数量多于羊，羊的数量多于牛，牛的数量的 3倍多于猪、羊数量之
和，则牛、羊、猪的总头数至少为（ ）
A．12 B．15 C．18 D．21
【2026暑假高一校考真题 8】若 a，b，c∈R，且 a＞b＞c，a+b+c＞0，则下列命题正确的是（ ）
A 1 1 B b+1 b． ＞ ． ＜
a b a+1 a
C．c3＜a3 D．若 ac＜0，则 cb2＜ab2
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【2026暑假高一校考真题 9】（多选）已知 a＞b＞0，下列说法正确的是（ ）
A．若 c＞d，则 ac＞bd B．若 c＞0 a a+c，则 ＞
b b+c
C 2 a+b D a2+ 1 b2+ 1．1 1＞ ． ＞+ 2 b2 a2a b
【2026暑假高一校考真题 10】（多选）十六世纪中叶，英国数学教育家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”
作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不
等式的发展影响深远．下列关于不等式的命题，正确的是（ ）
A．如果 a＞b，c＜d，那么 a﹣c＞b﹣d
B 1 1．如果 a＞b＞0，那么
a2
＞
b2
C．若﹣1＜a＜5，2＜b＜3，则﹣2＜ab＜15
D a e e．如果 ＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，那么 ＞
a c b d
【2026暑假高一校考真题 11】若实数 x，y满足﹣2≤x≤1，2≤y≤4，则 y﹣2x的取值范围是 ．
【2026暑假高一校考真题 12】已知实数 x，y满足﹣1≤x+y≤3，4≤2x﹣y≤9，则 4x+y范围是 ．
【2026 暑假高一校考真题 13】已知实数 x、y 满足﹣3≤x﹣2y≤2，﹣4≤2x+y≤0，则 4x﹣3y 的取值范围
为 ．
2026 1 1 x y【 暑假高一校考真题 14】（1）已知 a，b，x，y∈（0，+∞）且 ＞ ，x＞y，试比较 与 的大小．
a b x+a y+b
（2）已知﹣1＜x+y＜4，2＜x﹣y＜3，求 3x+2y的取值范围．
【2026暑假高一校考真题 15】已知﹣2＜x﹣y＜0，1＜2x+y＜3．
（1）分别求 x与 y的取值范围； （2）求 8x+y的取值范围．
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第 7讲 基本不等式应用
1．重要不等式
当 a、b是任意实数时，有 a2＋b2≥2ab，当且仅当 a＝b时，等号成立．
2．基本不等式
当 a>0，b>0 ab≤a＋b时有 ，当且仅当 a＝b时，等号成立．
2
3．基本不等式与最值
已知 x、y都是正数．
(1)若 x＋y＝s(和为定值)，则当 x＝y时，积 xy取得最大值．
(2)若 xy＝p(积为定值)，则当 x＝y时，和 x＋y取得最小值．
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类型一：利用基本不等式求函数的最值
1.利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即
(1) a＋b一正：符合基本不等式 ≥ ab成立的前提条件，a>0，b>0；
2
(2)二定：化不等式的一边为定值；
(3)三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“＝”号成立．
以上三点缺一不可．
2．若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答技
巧是恰当变形，合理拆分或配凑因式．
4
【2026年暑假高一习题 1】(1)已知 x 0，求 y 2 x 的最大值；
x
1 x 1(2)已知 ，求 y 1 x 1 2x 的最大值．
2
【2026年暑假高一习题 2】（1）已知 x 0，求 f x 12 3x的最小值；
x
4
（2）已知 x 3，求 f x x的最大值.
x 3
4
【2026年暑假高一习题 3】（1）已知 x 0，求 y x 的最小值．并求此时 x的值；
x
3
（2）设0 x ，求函数 y 4x(3 2x)的最大值；
2
4
（3）已知 x 2，求 x 的最小值；
x 2
1 9
（4）已知 x 0， y 0，且 1，求 x y的最小值；
x y
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类型二：变形技巧：“1”的代换
1.应用基本不等式求最值时，经常要对所给式子进行变形，配凑，变形目标是能配凑出“和”或“积”为定值的条件．
2．若条件式是 ax＋by＝c(a，b 1 2，c都是正常数)，常常进行常数代换(或乘除常数)．如 x＋y＝1(x>0，y>0)求 ＋
x y
的最值时，可以将 1＝x＋y,2＝2(x＋y) 1 2 1 2 1 2代入，也可以变形 ＋ ＝( ＋ )·1＝( ＋ )·(xy)．两种方法本质相同，若已
x y x y x y
3 2 3 2 1 3 2
知条件为 2x＋y＝3(x>0，y>0)，求 ＋ 的最值时，可利用 ＋ ＝ ( ＋ )(2x＋y)变形．
x y x y 3 x y
3．求二元函数最值时，可以用代入消元法转化，但要注意根据被代换的变量的范围，对保留下的变量的范围加
以限制．
【2026年暑假高一习题 1】已知 a 0,b 0 1 2， 2，则 a b的最小值为_______________；
a b
1 9
【2026年暑假高一习题 2】若 x 0， y 0，且 1，则 x y的最小值是_____．
x y
9 1
【2026年暑假高一习题 3】设 a 0，b 1，若 a b 2，则 的最小值为__________．
a b 1
类型三：忽视等号成立的条件而致误
y x 1
1 1
【2026 2年暑假高一习题 1】已知四个函数① ；② y x ；③ y x 2 ；④
x x x2 2
y x 4 1，其中函数最小值是 2的函数编号为____________．
x 1
4
【2026年暑假高一习题 2】（1）已知 x 0，求 y 2 x 的最大值；
x
1
（2）已知 x 2，求 y x 的最小值；
x 2
1 1
（3）已知0 x ，求 y x(1 2x)的最大值；
2 2
x24 y 8（ ）求函数 (x 1)的最小值．
x 1
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【2026年暑假高一习题 3】已知 x 3，求 f x 4 x的最大值.
x 3
类型四：利用基本不等式比较数的大小
【2026年暑假高一习题 1】已知 a ,b , c为三角形的三边,且 S a2 b2 c2 , P ab bc ca ,则（ ）
A． S 2P B． P S 2P C． S P D． P S 2P
a c
【2026年暑假高一习题 2】已知 a b c，则 a b b c 与 的大小关系是______.
2
1
【2026年暑假高一习题 3】已知 a,b,c (0, )且 a b c 1，试比较 a2 b2 c2， ab bc ca， 的大3
小．
类型五：不等式的证明技巧—字母轮换不等式的证法
证明不等式时，要注意观察分析其结构特征选取相应的证明方法．若不等式中字母具有轮换对称关系，则常常
连用几个形式相同字母不同的不等式迭加获证．
【2026年暑假高一习题 1】已知 a，b，c为正数，且满足 abc=1．证明：
1 1 1
（1） a2 b2 c2； （2） (a b)3 (b c)3 (c a)3 24．
a b c
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1 1 1
【2026年暑假高一习题 2】（1）已知 a,b,c R ，且 a b c 1，证明： 9；a b c
（2）已知 a,b,c R 1 1 1 ，且 abc 1，证明： c b a .a b c
【2026年暑假高一习题 3】已知 a，b， c为正数，且满足 a b c 1 .证明：
2 2 2 2 2
1 a b b c c a
2 a2 b2 c2 1
（ ） 1； （2） .
2c 2a 2b b c a c a b 2
类型六：求参数的取值范围问题
1.恒成立问题求参数的取值范围，常用“分离参数”转化为函数最值问题求解；
2.解题思路来源于细致的观察，丰富的联想和充分的知识、技能的储备，要注意总结记忆．
【2026年暑假高一习题 1】已知 a 0,b 0
3 1 m
，若 恒成立，则m 的取值范围是_____．
a b a 3b
2 1
【2026年暑假高一习题 2】已知 x 0， y 0，且 1，若 x 2y m2 2m恒成立，则实数m的取值x y
范围是______.
x
【2026年暑假高一习题 3】已知不等式 a对任意的 x 1,3 恒成立,则实数 a的范围为_______．
x2 4
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类型七：均值不等式在实际问题中的应用
【2026年暑假高一习题 1】（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用
篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？
（2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是
多少？
【2026年暑假高一习题 2】经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内某公路汽车的车流量 y（千辆/时）与汽车
920v
的平均速度 v（千米/时）之间的函数关系为 y 2 v 0 .v 3v 1600
（1）在该时段内，当汽车的平均速度 v为多少时，车流量最大？最大车流量是多少（精确到0.1千辆/时）？
（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应该在什么范围内？
【2026年暑假高一习题 3】某单位修建一个长方形无盖蓄水池，其容积为1875立方米，深度为3米，池底每平
方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为120元，设池底长方形的长为 x米.
（1）用含 x的表达式表示池壁面积 S ；
（2）当 x为多少米时，水池的总造价最低，最低造价是多少？
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