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1.1.1比例的基本性质教学设计
学科 数学 年级 九 课型 新授课 单元 一
课题 1.1.1比例的基本性质 课时 1
课标要求 依据2022版义务教育数学课程标准,本节课隶属“图形与几何—图形的相似”主题,要求学生了解比例的基本性质、线段的比、成比例线段,能规范书写比例式并进行等积式互化；经历观察、猜想、推理、验证过程,发展逻辑推理、数学运算与几何直观素养；体会比例在生活、建筑、几何图形中的应用价值,建立模型观念与应用意识；能运用比例基本性质解决简单计算与比例变形问题,为后续相似三角形判定、性质及实际应用筑牢基础,落实“教—学—评”一致性要求。
教材分析 本节是湘教版九年级上册第一章《图形的相似》开篇内容,承接小学比例知识,衔接八年级全等与线段度量,是从“相等关系”到“比例关系”的关键过渡,为成比例线段、相似三角形、位似变换奠基。教材以“定义—性质推导—变式应用—拓展推广”编排,突出代数推理与几何直观融合,通过例题与练习强化比例式、等积式互化及合比、等比性质,注重数学思想渗透。内容兼具工具性与基础性,既是代数运算延伸,又是几何相似核心预备知识,对构建数形结合思维、提升推理能力至关重要。
学情分析 九年级学生已掌握小学比例概念、一元一次方程与线段运算,具备初步几何直观与代数推理能力,能进行简单等式变形。但易混淆比例内项、外项,忽视分母不为0的前提；对比例逆向推导、合比与等比性质的逻辑依据理解薄弱；习惯机械计算,缺乏几何意义关联意识。学生好奇心强,适合情境探究与小组合作,需通过生活化实例、阶梯式问题突破难点,实现从直观感知到严谨推理的提升。
教学目标 1.理解比例的基本性质,能准确判断四个数是否成比例,并能用比例的基本性质进行简单推理和计算。 2.经历从具体数值到一般形式的推理过程,培养代数变形能力和逻辑推理能力。 3.体会数学知识之间的内在联系,增强学习数学的兴趣和信心。 4.发展抽象能力、推理能力和模型意识,初步体会比例思想在几何学习中的应用价值。
教学重点 1.比例基本性质的理解、推导与规范应用。 2.比例式与等积式互化、简单比例变形及计算。
教学难点 比例性质的逆向推导与合比、等比性质的逻辑理解、灵活变形应用。
教学过程
教学步骤 教学主要内容 教师活动 学生活动 设计意图
环节一:依标靠本,独立研学 情境 学校制作同比例海报,小版长、宽,大版长,按相同比例缩放,大版宽度应为多少？请写出关系式并说明依据。 问题 1.如何用式子表示“同比例缩放”？ 2.若写成 ,怎样快速求？ 3.这样变形的依据是什么？ 答案 1.长与宽的比相等,即或。 2.交叉相乘得,解得。 3.依据:比例的基本性质(两外项之积等于两内项之积)。 创设海报缩放的生活情境,引导回顾比例的定义、内项外项概念,组织学生列式并说明等量关系。 独立思考写出比例式,准确识别比例内项与外项,结合实例说明比例的意义。 以生活实例激活旧知,搭建从具体到抽象的桥梁,为比例性质探究做好铺垫。
探究活动一:比例的基本性质 在小学,我们学习了比和比例,知道如果两个数的比值与另外两个数的比值相等,就说这四个数成比例. 注意:a,b,c,d成比例也可记作a:b=c:d. 即如果,那么称a,b,c,d成比例,其中b,c称为比例内项,a,d称为比例外项. 在式子两边同乘bd,得ad=bc. 由此得到比例的基本性质: 如果,那么. 做一做: 如果,其中为非零实数,成立吗？ 成立,原因如下: ∵a,b,c,d为非零实数, ∴bd≠0, , , 。 引导学生对比例式进行等式变形,共同推导基本性质,严格强调分母不为0的前提条件。 动手推导比例式与等积式的互化过程,验证逆向结论,口述严谨的推理过程。 让学生完整经历“观察—猜想—推理—验证—归纳”,落实逻辑推理与数学运算核心素养。
环节二:同伴分享,互助研学 探究活动二:比例的基本性质的应用 例1根据下列条件(其中为非零实数),求的值: (1);(2);(3). 解:(1)由于,因此由比例的基本性质得,. (2)由于,因此,即. (3)由于,因此,即,从而. 例2:已知四个非零实数成比例,即. 下列各式成立吗？若成立,请说明理由. (1);(2);(3). 解:(1)由于两个非零数相等,则它们的倒数也相等, 因此,由可以立即得到. (2)由得. 在上式两边同除以,得. (3)在两边都加上1,得 . 由此得到. 思考:还能推出吗？ 能推出,在两边都减1,得 . 由此得到. 方法总结: 核心依据:比例式与等积式可双向互化,是所有比例计算与变形的根本依据。 快速变形:熟练使用反比、更比、合比三种常用变形,简化运算步骤。 求值策略:已知等积式求比例,先转化为标准比例式；含和差结构优先用合比性质。 书写规范:变形过程要有理有据,注意分母不为0,保证推理严谨性。 规范讲解例题步骤,引导学生推导反比、更比、合比性质,组织小组交流并梳理变形思路。 独立完成例题求解,合作探究比例变形方法,规范书写解题过程并主动展示思路。 强化性质的熟练应用,规范解题格式,提升代数变形与严谨表达的能力。
环节三:全班展学,互动深入 探究活动三:比例的基本性质拓展 议一议:(1)若,,求. (2)若,则成立吗？为什么？ 解:(1)先统一公共项,把化为, 则。 (2)成立。 理由:设, 可得, 因此,与已知一致,故等式成立。 例3:已知,且,求的值. 解:因为, 所以. 于是. 总结归纳: 连比问题:统一公共项的份数,将多个单比转化为连比,保证中间量一致。 等比问题: 方法1:设参法,设比值为k,用k表示各量后代入计算。 方法2:等比性质,分子之和与分母之和的比等于原比值。 关键注意:使用等比性质必须满足分母之和不为0,不确定时要分类讨论。 复杂比例:先统一参数,再转化为等积式,最后代入求值。 引导探究连比统一方法,示范设参法解题,强调等比性质的使用条件并提醒分类讨论。 自主探究连比的统一技巧,运用设参法解决等比问题,归纳等比性质的适用条件。 拓展比例知识的深度与广度,强化模型思想,提升复杂比例问题的分析解决能力。
环节四:巩固内化,拓展延伸 课堂练习 1.已知,那么下列比例式中成立的是(　　) A. B. C. D. 2.已知:,则( ) A.8 B.4 C. D. 3.若,则k的值为( ) A.1 B. C.1或 D.2 4.已知,且,则的值是( ) A. B.3 C.1 D.0 5.已知,则的值为 . 6.如果,那么 . 7.已知,且,则的值为 . 8.已知. (1)求的值； (2)若,求a、b的值. 9.已知. (1)求出、、的值(用含代数式表示)； (2)求出的取值范围； (3)若,求它的最大值与最小值的差？ 1.B 2.B 3.C 4.A 5.2 6.4 7.或 8.解:(1) , 设, ； (2) , 设, , ,解得, . 9.(1)解:∵, ∴, ∴； (2)解:∵, ∴, 解得； (3)解: , ∵, ∴, ∴,即, ∴w的最大值为,最小值为, ∴它的最大值与最小值的差. 巡视课堂迅速掌握学情 当堂小测,用所学知识解决问题,学生代表回答。 学以致用,及时获知学生对所学知识的掌握情况,明确哪些学生需要在课后加强辅导,达到全面提高的目的
课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？ 知识点: 1.比例的定义
表示两个比相等的式子叫作比例；记作或,其中；、是外项,、是内项。 2.比例的基本性质(核心)
如果,那么(外项积＝内项积)；
反之,如果),那么。 3.比例的三种常用变形 反比性质:若,则 更比性质:若,则 合比性质:若,则 4.等比性质
若),
则。 5.连比处理方法
多个比相连时,统一公共项的份数,把两两之比化为三连比或多连比。 6.通用解题方法 设参法:设比值为,用参数表示各量,代入计算。 等积转化法:把比例式化为等积式,再变形为目标比例。 7.重要前提
所有比例变形中,分母不能为0；使用等比性质必须保证分母之和不为0。 教师以提问的形式小结 学生思考自由回答,自我小结 课堂小结可以帮助学生理清所学知识的层次结构,掌握其外在的形式和内在联系,形成知识系列及一定的结构框架。
板书设计 1.1.1比例的基本性质 1.比例定义:) 2.基本性质: 3.常用变形: 反比: 更比: 合比: 4.等比性质:
(分母和≠0) 5.常用方法:设参法、等积转化法 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知,可以帮助学生理解掌握知识,形成完整的知识体系。
作业设计 基础达标: 1.如果,则下列式子正确的是( ) A. B. C. D. 2.若,则=　. 3.若,求的值. 4.若,则下列各式中不正确的是( ) A. B. C. D. 5.如果=成立,那么下列各式一定成立的是( ) A. B. C. D. 6.若,则的值是　　. 能力提升: 7.已知,求的值. 8.已知,那么下列比例式中成立的是( ) A B. C. D. 9.若则=( ) A. B.1 C. D. 10.如果,那么的值是　　. 11.若,且,则a-b+c=　　. 12.已知实数x,y,z满足,则x:y:z=　. 拓展迁移: 13.已知,且. (1)求的值; (2)若,求的值. 14.已知,求的值. 1.A;2.; 3.解:, , . 4.D;5.D;6.; 7.解:设,则, 则. 8.B;9.D;10.5;11.9;12.1:(-5):4; 13.解(1),且, ,的值为; (2),, , , , 的值为. 14.解:, , 当时,, 当时,, , , 或.
教学反思 本小节作为相似三角形学习的知识起点,教学设计中我注重从学生已有经验出发,通过具体数值问题引出比例的基本性质,学生参与积极,课堂氛围良好。在“做一做”环节,学生通过逆推时,部分学生对非零条件理解不深,需要在后续教学中反复强调。例2的拓展题(如)对部分学生有一定挑战,今后可设计更多层次练习,帮助学生逐步建立比例变形的直觉。整体来看,学生在本节课中初步形成了比例推理的基本能力,为后续成比例线段和相似三角形的学习打下了良好基础。今后可进一步加强比例在实际问题中的应用训练,提升学生的数学建模意识。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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