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第30讲 解三角形图形问题 · 讲义（解析卷）
一、考情分析 1
二、知识清单 2
三、典题精讲 3
考点一：妙用两次正弦定理 3
考点二：两角使用余弦定理 6
考点三：两边夹问题 8
考点四：角平分线问题 9
考点五：中线问题 14
考点六：高问题 21
考点七：外心及外接圆问题 22
考点八：内心及内切圆问题 24
考点九：重心性质及其应用 25
考点十：平面图形的翻折问题 28
四、高考真题 29
一、考情分析
1. 考查频次与题型
年份 题号与题型 分值 考察类型 考察内容
2024 第15题 解答题 13分 直接 利用正余弦定理进行边角互化，结合中线向量求解三角形
2025 — — — —
2026 第16题 解答题 15分 直接 利用正弦定理化边为角求角，结合中线条件求解三角形面积
近三年全国一卷对解三角形图形问题的考查频率较高，且均以解答题的形式出现，分值占比大.考查核心集中在正余弦定理的灵活运用以及对三角形中线等特殊线段的处理上.
2. 命题角度与特色
（1） 核心考点：重点考查正余弦定理的综合应用，常与三角形的面积、中线、角平分线等几何图形性质深度结合.
（2） 命题趋势：试题往往以复杂的边角关系等式为切入点，要求考生熟练进行边角互化，进而求解三角形的基本量，对代数恒等变形能力要求较高.
（3） 试题特点：注重基础知识与几何直观的融合，计算量适中，强调对三角形中线、高线等特殊线段处理方法（如向量法、几何法）的熟练掌握.
3. 备考策略
（1） 熟练掌握正弦定理、余弦定理及三角形面积公式，能够根据题目条件灵活选择“化边为角”或“化角为边”的策略.
（2） 重点突破三角形中的特殊线段（如中线、角平分线、高）问题，熟练掌握向量法、等面积法或构造平行四边形等常用处理技巧.
（3） 加强代数恒等变形与三角恒等变换能力的训练，特别是在处理复杂的边角关系式时，注意挖掘隐含的几何条件，提升解题的准确性与速度.
二、知识清单
1. 解决三角形图形类问题的方法
（1） 两次应用余弦定理.
（2）等面积法.
（3） 正弦定理和余弦定理相结合.
（4） 构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形确定边长比例关系.
（5）利用平面向量基本定理和向量的运算法则将其与余弦定理充分结合.
（6） 建立平面直角坐标系，数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.
2. 三角形中特殊线段的处理技巧
（1） 中线问题：已知为边上的中线.
① 向量法：，两边平方可得中线长公式.
② 倍长中线法：延长至，使，连接、，构造平行四边形，将中线转化为对角线求解.
（2） 角平分线问题：已知为的角平分线.
① 面积法：利用，即，可求得.
② 角平分线定理：，常结合正弦定理在与中进行边角互化.
（3） 高线问题：已知为边上的高.
① 面积法：利用求解.
② 射影定理：，常用于边角关系的化简.
3. 三角形中特殊“心”的几何性质
（1） 重心：三角形三条中线的交点.重心分中线的比为（如为重心，为中线，则）；向量性质为.
（2） 外心：三角形三条边垂直平分线的交点，即外接圆圆心.外心到三角形三个顶点的距离相等（均等于外接圆半径），常结合正弦定理求解.
（3） 内心：三角形三条角平分线的交点，即内切圆圆心.内心到三角形三条边的距离相等（均等于内切圆半径），常结合等面积法求解.
4. 复杂图形问题中的隐含条件
（1） 隐含的角关系：在处理多边形或拼接三角形时，需注意挖掘图形中的平角（相邻两角互补）、对顶角相等、三角形内角和为、四边形内角和为等隐含条件.
（2） 圆内接四边形：若题目涉及四点共圆或圆内接四边形，需优先联想“对角互补”（即，），从而得出，.
三、典题精讲
考点一：妙用两次正弦定理
考法1：结合面积条件求三角函数值
例1.（2026·湖南师大附中·五月模拟）在中，内角，，的对边分别为，，，的面积为，且.
（1）求的大小；
（2）已知点在边上，，且.证明：.
【答案】（1）
（2） 证明见解析
【思路】（1） 看到面积与边长平方和差的关系，应立即联想面积公式和余弦定理，通过代换消去边长，转化为关于角的三角方程求解.（2） 待证式中含有和，且已知它们所在三角形的公共边，提示我们在和中分别使用正弦定理，将角的关系转化为边的关系，再代入已知等式进行化简.
【解析】（1） ∵，又，
∴，即.
由余弦定理，即.
∴.
∴.
又，∴.
（2） 在中，由正弦定理得，则.
在中，由正弦定理得，则.
∵，
∴.
由正弦定理得，即.
∴.
∴，即.
【规律】在处理共底边或共顶点的两个相邻三角形问题时，分别在两个三角形中应用正弦定理，利用公共边（如本题的）或互补角作为桥梁，是实现边角互化、证明等式的有效手段.
考法2：结合正余弦定理求边角或面积
例2.（2026·河北衡水名校·学情调研）在中，，点满足，，，则的内切圆半径为____.
【答案】
【思路】题目给出了线段比例关系和角的关系，要求内切圆半径，最终目标是求出三角形的三边长.由可得和的长度.设，则，在和中分别应用正弦定理，结合外角定理寻找角之间的联系，求出的三角函数值，进而利用余弦定理求出未知边长，最后通过等面积法求内切圆半径.
【解析】∵，，∴，.
记，则.
在中，，即，∴.
∵，∴为锐角，∴.
在中，.
在中，，即.
∴，即.
∵，∴，∴.
在中，.
由余弦定理得，∴.
而，由为锐角得.
故的内切圆半径.
【规律】当图形被某条线段分割成两个三角形时，若已知分割线段两侧的角或边的关系，常在这两个三角形中分别使用正弦定理，通过公共边或互补角建立等式，这是求解复杂三角形边角关系的核心技巧.
考法3：结合四点共圆求最值
例3.（2025·燕博园联考·3月检测）在中，内角，，的对边分别为，，，且.
（1）求角的大小；
（2）若，，①求；②过上一点作，的垂线，垂足分别为，，求的最小值.
【答案】（1）
（2） ① ；②
【思路】（1） 看到边角混合的等式，优先考虑利用正弦定理将边化为角，再将正切化为弦，利用两角和的正弦公式化简求角.（2） ①已知两角一边，直接利用正弦定理求另一边.②分析图形特征，，，说明，从而得出，，，四点共圆且为直径.在圆内利用正弦定理将弦长转化为直径与已知角的关系，进而将的最值问题转化为求的最值问题.
【解析】（1） 在中，，.
由及正弦定理得，，
整理得.
∵，，∴.
又，∴.
（2） ①在中，，
由正弦定理得，即，得.
②∵，，∴，，，四点共圆，且为该圆直径.
由正弦定理得，故求的最小值等价于求的最小值.
当时，最小，此时，
，故取得最小值为.
【规律】遇到“一点向两边作垂线”的几何结构，应敏锐地察觉到“对角互补”从而得出四点共圆.在圆内，弦长与直径的关系由正弦定理决定，这是将动线段长度转化为动直径（或动半径）长度的常用模型.
【考点一 方法总结】
1. 在处理多个三角形拼接的图形问题时，若已知面积比例关系或边长比例关系，常通过面积公式转化为边角关系，再在各个三角形中分别应用正弦定理或余弦定理进行求解.
2. 遇到四点共圆问题，需敏锐捕捉“同弧所对圆周角相等”或“对角互补”的几何性质，将线段的最值问题转化为圆的直径或弦长问题，结合正弦定理求解.
考点二：两角使用余弦定理
考法4：结合正余弦定理求边长或面积
例4.在梯形中，，.
（1）求证：；
（2）若，，求梯形的面积.
【答案】（1） 证明见解析
（2）
【思路】（1） 梯形中，连接对角线可构造内错角相等，即.在这两个包含相等角的三角形中分别使用正弦定理，即可建立与的联系.（2） 利用（1）的结论和倍角公式求出和的具体度数.然后在和中分别对公共边使用余弦定理，建立关于未知边长的方程，解出边长后即可求面积.
【解析】（1） 证明：连接.
∵，∴.
在中，由正弦定理得 ①，
在中，由正弦定理得 ②.
由，，结合①②可得.
（2） 由（1）知，，，
又，∴，则.
连接，在中，由余弦定理得；
在中，由余弦定理得，
∴，解得或.
当时，连接，在中，由余弦定理，得，
∴，而此时，故不满足题意，经检验满足题意.
此时梯形的高，
当时，梯形的面积.
∴梯形的面积为.
【规律】在处理四边形问题时，常通过连接对角线将其分割为两个三角形.若两个三角形有公共边，可分别在两个三角形中对公共边使用余弦定理，通过等量代换建立方程求解未知量.
考法5：结合正余弦定理求三角函数值或比值
例5.四边形中，，.
（1）求；
（2）若，求.
【答案】（1）
（2）
【思路】（1） 在中，已知两边比例及夹角余弦，可设出边长，利用余弦定理求出第三边，再利用正弦定理或直角三角形关系求.（2） 引入参数设出各边长，在和中分别利用余弦定理表示出和.利用得到这两个角的余弦与正弦的转换关系，结合平方关系建立方程，解出参数比例，最后求正切值.
【解析】（1） 中，设，则，解得.
∵，∴.
（2） 设，则.
设，，
中，.
中，.
∵，∴，
可得，化简得，即.
又∵，∴，即.
∴，解得，.
.
【规律】当已知两个角的和为特殊角（如或）时，可分别在两个三角形中应用余弦定理表示出这两个角的余弦值，再利用诱导公式和同角三角函数基本关系建立方程，这是处理角度拼接问题的有效手段.
【考点二 方法总结】
1. 在共底边或共顶点的两个三角形中，若已知某些角的关系（如互补、相等或和为特殊角），可分别在两个三角形中应用余弦定理，通过公共边或已知比例关系的边建立方程组.
2. 处理复杂的边角关系式时，优先考虑利用正弦定理或余弦定理进行统一的“化边为角”或“化角为边”，将代数式化简为基本的三角函数关系.
考点三：两边夹问题
考法6：利用两边夹求值或面积
例6.在中，角，，所对的边分别为，，，若，则的值是（ 　　）
A. 2 B. C. D. 1
【答案】C
【思路】观察已知等式，含有和的正余弦，通过去分母转化为乘积形式，展开后利用两角和与差的三角函数公式化简.得到后，利用正余弦函数的有界性求出和的具体值，最后利用正弦定理求边长比值.
【解析】∵，即，
∴，可得，
∴.
由正弦函数与余弦函数的性质，可得且.
∵，，且，
∴且，解得，∴.
又由正弦定理可得.
【规律】遇到“两边夹”形式的三角函数等式，常通过交叉相乘展开，利用两角和与差的三角函数公式化简为或的形式，再结合三角函数的有界性求出具体的角.
考法7：利用两边夹求角
例7.在中，若，则角____.
【答案】
【思路】直接将已知等式展开，重新组合各项，利用两角和的正弦公式和两角差的余弦公式化简.得到后，利用三角函数的最大值限制条件，求出和的关系，进而求出.
【解析】∵，
∴，即.
∵，，
∴，等价于且.
，为的内角，∴且，即.
则是等腰直角三角形，.
【规律】结合三角函数的有界性（如，），通过构造等式成立的临界条件，是解决此类“和为最大值”问题的通用方法.
【考点三 方法总结】
1. 遇到“两边夹”形式的三角函数等式（如），常通过交叉相乘展开，利用两角和与差的三角函数公式化简为或的形式.
2. 结合三角函数的有界性（如，），通过构造等式成立的临界条件，求出具体的角，进而求解三角形的其他基本量.
考点四：角平分线问题
考法8：利用角平分线定理求边长或比值
例8.（2025·广东江门·一模）在中，已知，是上的点，平分，，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【思路】由面积比可得底边比，进而利用角平分线定理得到两腰的比例关系.设出边长，利用等面积法求出角平分线的长度.然后在中利用余弦定理求出，最后利用正弦定理求出，进而求得.
【解析】∵平分，由角平分线的性质可知点到边，的距离相等.
∵，设，则.
由可得，可得.
在中，由余弦定理可得，故.
由正弦定理可得，∴.
易知为锐角，则.
∴.
【规律】处理角平分线问题，首选等面积法，即，利用面积公式可快速建立角平分线长与两邻边及夹角的关系.
考法9：利用等面积法求边长或面积
例9.（2026·河北沧州八校·二模）已知在中，，是边上一点，是的平分线，且.
（1）求；
（2）设，当为何值时，取得最大值？
【答案】（1）
（2）
【思路】（1） 先利用二倍角公式化简已知等式，得到与的关系，进而由正弦定理得到边长与的比例关系.再利用等面积法，结合，列出关于半角的三角方程，解出半角的余弦值，最后利用二倍角公式求.（2） 由前一问结论已知边角关系，引入参数表示.在和中分别应用余弦定理，表示出和.将目标比值转化为关于的函数，通过换元法化简，再利用基本不等式求出最大值及对应的值.
【解析】（1） ∵，∴.
∵，∴，则.
设的内角，，所对的边分别为，，，则由正弦定理得.
又是的平分线，∴.
又，，
∴，
即，
即.
∵，，解得.
∴.
（2） 由前一问知，，，.
∵，∴.
在中，由余弦定理得.
在中，由余弦定理得.
∴.
令，则，.
∴.
当且仅当，即时取等号.
所以当时，取得最大值.
【规律】灵活运用角平分线定理，将线段比例关系转化为边长关系，再结合正弦定理或余弦定理在分割出的两个小三角形中求解.求线段比值的最值时，常利用余弦定理将线段长度平方表示为含参的代数式，转化为分式型函数求最值，换元法结合基本不等式是核心运算手段.
考法10：结合余弦定理与基本不等式求最值
例10.（2026·湖北黄冈·一模）在中，内角，，的对边分别为，，，且.
（1）若的平分线交于点，，的面积为，求长；
（2）若，，求当周长最小时的值.
【答案】（1）
（2）
【思路】（1） 利用降幂公式处理半角的平方，化简已知等式，结合余弦定理求出角.再利用已知求出和，通过正弦定理得到与的比例.结合面积条件求出和的具体值，最后利用等面积法求角平分线的长.（2） 利用余弦定理将用表示，写出周长的表达式，通过换元转化为对勾函数形式，利用基本不等式求最值.
【解析】（1） 依题意有，即.
又由余弦定理有，∴，∴.
∴，又为中内角，∴.
又，∴，∴，而.
∵的面积为，∴，∴.
∴，.
在中，，∴，∴.
（2） 由（1）知，∴，，，∴.
设周长为，则.
令，∴.
当且仅当，时周长取最小值.
故当周长最小时.
【规律】当题目要求周长或线段比例的最值时，常通过余弦定理将目标转化为关于某一边或某参数的函数，利用基本不等式或二次函数性质求最值.
考法11：角平分线综合证明与计算
例11.（2025·河北张家口·二模）（多选）已知四面体中，，，，为四面体外接球的球心，则下列说法中正确的是（ 　　）
A. 若，则平面
B. 若，则的取值范围是
C. 若，则的取值范围是
D. 若，直线与所成的角为，则四面体外接球的表面积为
【答案】ABC
【思路】对于A，利用线面垂直的判定定理即可判断；对于B，利用向量的平方运算，将转化为已知边长和夹角的表达式，结合异面直线夹角范围求出取值范围；对于C，利用外心性质将数量积转化为边长平方差，再利用代数变形求范围；对于D，通过构造平行四边形将四面体补成三棱柱或放入圆柱中，利用外接球性质求半径.
【解析】对于A选项，若，又因为，，、平面，故平面，A对.
对于B选项，，由题意，所以.因为、互为异面直线，则，故，故，B对.
对于C选项，不妨取的中点，连接、，则，.同理可得，.所以，.因为，故，故，C对.
对于D选项，以、为邻边作平行四边形，则为矩形，故的各顶点都在球的球面上.则，又因为，，、平面，所以，平面，且.圆柱的底面圆直径为，母线长为，则的中点到圆柱底面圆上每点的距离都相等，则为圆柱的外接球球心.可将三棱锥置于圆柱内，使得的外接圆为圆.因为，故异面直线、所成的角为或其补角.当时，为等边三角形，则该三角形外接圆直径为，设球的半径为，则，此时，球的表面积为；当时，由于，则，则外接圆直径为，则，此时，球的表面积为.综上所述，球的表面积为或，D错.
【规律】在立体几何中处理线段长度或数量积的范围问题时，利用空间向量的平方运算或数量积的几何意义，将其转化为关于夹角或边长的代数式，是常用的降维打击方法.
例12.（2025·久洵杯·一月调研）记的内角，，的对边分别为，，.已知，外一点满足，且的角平分线交于点.
（1）求；
（2）证明：；
（3）若，，求.
【答案】（1）
（2） 证明见解析
（3） 或
【思路】（1） 利用正弦定理将边化角，结合和角公式化简，求出的三角函数值.（2） 假设不垂直，作垂线，利用三角函数定义求出垂足分线段的比例，再利用角平分线定理求出分线段的比例，两者一致从而证明重合，即垂直.（3） 设出未知边长，在两个三角形中分别应用余弦定理，利用互补角的余弦互为相反数建立方程求出未知量，最后在目标三角形中应用余弦定理求解.
【解析】（1） 由正弦定理有，则.
因，代入化简得：.
因，，故，又，即得，则.
故，解得.
（2） 如图，假设不垂直于，过点作，垂足为.
由（1）可得，则.
由角平分线定理有，故，重合，即.
（3） 由（2）知，，设.
在中，由余弦定理有，同理，故，解得.
注意到，故，且.
故或（如图1，图2），由余弦定理有.
当时，，解得；
当时，，解得.
故或.
【规律】角平分线定理不仅能求线段比例，还能用于证明点的位置重合.在处理共线三点构成的两个相邻三角形时，利用互补角的余弦值互为相反数建立方程，是求解边长的经典套路.
【考点四 方法总结】
1. 处理角平分线问题，首选等面积法，即，利用面积公式可快速建立角平分线长与两邻边及夹角的关系.
2. 灵活运用角平分线定理，将线段比例关系转化为边长关系，再结合正弦定理或余弦定理在分割出的两个小三角形中求解.
3. 当题目要求周长或线段比例的最值时，常通过余弦定理将目标转化为关于某一边或某参数的函数，利用基本不等式或二次函数性质求最值.
考点五：中线问题
考法12：利用中线长公式求边长或面积
例13.（2025·河北石家庄·三模）设的内角、、的对边分别为、、，已知.
（1）求角的大小；
（2）若，且，求边上中线的长.
【答案】（1）
（2）
【思路】（1） 利用正弦定理将边化角，结合和角公式化简求出角.（2） 利用正弦定理求出的值，再利用余弦定理求出的值.最后利用向量法，两边平方求出中线长.
【解析】（1） 在中，由及正弦定理得，即.
因为，，则，即，可得，故.
（2） 由正弦定理可得，所以.
在中，由余弦定理可得，所以.
因为为边上的中线，所以，所以，故.
因此，边上的中线的长为.
【规律】遇到中线问题，优先考虑向量的平行四边形法则，即，两边平方可快速建立中线与三边的代数关系.
例14.（2026·湖南长郡二十校联盟·第二次联考）在中，已知，且.
（1）求角的大小；
（2）若，为中点，且，求的面积.
【答案】（1）
（2）
【思路】（1） 利用降幂公式和二倍角公式化简已知等式，结合辅助角公式求出角.（2） 方法一：在两个小三角形中分别应用余弦定理，利用互补角的余弦互为相反数建立方程，求出长，再利用正弦定理判断三角形形状求面积.方法二：直接在和中应用余弦定理，消去建立方程求解.
【解析】（1） ∵，
∴，即，
∴，
∴或，.
又∵，为三角形的内角且，∴，∴.
（2） 方法一：在中，由余弦定理，得，在中，由余弦定理，得.
又因为，为中点，所以，，所以，故.
在中，由正弦定理，得，所以，.
所以，.
方法二：在中，由余弦定理，得 ①.
在中，因为为中点，所以，由余弦定理，得 ②.
由②①，得 ③.
将，代入③式，解得，.
将，代入②式，解得.
所以的面积.
【规律】处理中线问题时，除了向量法，在被中线分割的两个小三角形中分别应用余弦定理，利用互补角的余弦值互为相反数（即）建立方程，也是非常经典且实用的方法.
例15.（2026·湖南衡阳八中·适应性测试）已知，，分别为三个内角，，的对边，且.
（1）求；
（2）若，是中点，，求的面积.
【答案】（1）
（2）
【思路】（1） 利用正弦定理将边化角，结合和角公式化简求出角.（2） 已知中线长和一边长，且两者相等，可构造等腰三角形.取底边中点构造直角三角形，利用勾股定理求出未知边长，进而求出面积.
【解析】（1） 由正弦定理知.
又，，，，所以，，即，所以.
所以，，故.
（2） 由，所以知为等腰三角形.
取中点，连接，则.
不妨设，则，，.
由勾股定理知.
即，，所以的面积为.
【规律】当三角形中出现等腰三角形结构时，作底边上的高构造直角三角形，利用勾股定理建立方程，往往比直接使用余弦定理更简便.
例16.（2026·湖南郴州·一模）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，是边上的中线，且，.
（1）求角的大小；
（2）求及的面积.
【答案】（1）
（2） ，
【思路】（1） 利用正弦定理将边化角，结合和角公式化简求出角.（2） 利用向量法处理中线条件，即，两边平方求出边，再利用余弦定理求出边，最后用面积公式求面积.
【解析】（1） 由正弦定理得：.
，再根据两角和的正弦公式展开得：，消去，整理得：.
，，两边同除以得：，由辅助角公式得：.
又，则，故，解得.
（2） 由题意得：，平方得：，化简得，解得(舍).
由余弦定理得：，.
的面积.
【规律】中线长公式（注意符号，若夹角为，则是号，若夹角为，则是号，本质是平行四边形对角线平方和等于四边平方和）是解决此类问题的利器.
考法13：结合向量法求中线长或面积
例17.（2026·湖北孝感·一模）在中，角，，对边分别为，，，若，，则边上的中线长为（ 　　）
A. B. C. 6 D. 10
【答案】B
【思路】已知向量数量积，可转化为.利用余弦定理将展开，代入数量积的值求出.再利用向量法表示中线，平方后代入已知量求解.
【解析】中，由余弦定理得.
又，所以，所以.
记边上的中点为，因为，所以，所以.
【规律】向量数量积常与余弦定理结合，用于整体求出的值，进而为求解中线长铺平道路.
考法14：结合坐标法或外心性质求最值或范围
例18.（2026·湖南邵阳·三月二模）（多选）在中，角，，所对的边分别为，，，且，，则下列选项正确的是（ 　　）
A.
B. 若是边的中点，则线段的长的最小值为
C. 的最大值为
D. 若点是的外心，且，，则
【答案】ACD
【思路】对于A，通分化简已知等式，利用正弦定理化边为角求出.对于B，利用正弦定理将已知条件转化为边长乘积，再利用向量法表示中线，结合基本不等式求最值.对于C，利用两角和差公式将三角函数式化为单一变量的函数求最值.对于D，利用外心性质，在向量等式两边分别点乘和，建立方程组求参数.
【解析】因为，所以，即.
因为，，得.又，故，所以选项A正确.
由正弦定理，得，，所以.又，所以.
因为是边的中点，所以，又因为，所以，当且仅当时取等号，所以，所以选项B错误.
.当时，的最大值为，此时，，所以选项C正确.
因为，，所以，，.因为，所以.又，即，得，所以选项D正确.
【规律】处理外心向量等式时，常用的技巧是在等式两边分别点乘和，利用外心性质建立关于的方程组求解.
考法15：结合正余弦定理求角或判断三角形形状
例19.（2026·河南华大新高考联盟·五月联考）（多选）设的三个内角分别为，，，重心为，则（ 　　）
A. 以，，的长度为边能构成三角形
B. 以的三条中线的长度为边能构成三角形
C. 以，，的长度为边能构成三角形
D. 若点到的三边，，的距离分别为，，，则以，，的长度为边能构成三角形
【答案】ABD
【思路】对于A，利用正弦定理将正弦值转化为边长判断.对于B，利用向量法表示中线，通过向量和为零证明可构成三角形.对于C，举反例（如直角三角形）判断.对于D，利用等面积法将距离转化为边长的倒数判断.
【解析】由正弦定理可知，所以以，，的长度为边能构成三角形，故A正确.
设三条中线分别为，，，则有，，.因为，所以，即三个向量，，可构成闭合回路，所以以的三条中线，，的长度为边能构成三角形，故B正确.
显然当时，，故C错误.
因为，所以，所以，所以以，，的长度为边能构成三角形，故D正确.
【规律】判断三条线段能否构成三角形，除了利用两边之和大于第三边外，若能证明这三条线段对应的向量之和为零向量，则它们必然能构成一个闭合的三角形.
例20.（2026·湖南湘一名校联盟·三月二模）如图，在中，为的中点，且.
（1）求；
（2）若，求.
【答案】（1）
（2）
【思路】（1） 利用中线平分面积的性质得到，展开面积公式，结合互补角的正弦值相等，即可求出边长比.（2） 设出未知边长，在和中分别应用余弦定理，利用公共角建立方程组求解.
【解析】（1） 因为为的中点，所以，则，即.
因为，所以.
所以，即.
（2） 不妨令，则，，设，则.
在中，由余弦定理得，即 ①.
在中，由余弦定理得，即 ②.
①②联立，解得，，所以.
【规律】在处理共角（或互补角）的两个三角形时，分别应用余弦定理建立方程组，通过消元法求解未知量，是解三角形的常规且高效的策略.
【考点五 方法总结】
1. 遇到中线问题，优先考虑中线长公式或向量的平行四边形法则，即，两边平方可快速建立中线与三边的代数关系.
2. 若已知三角形的重心，需熟练运用重心分中线的比例性质，将重心到顶点的距离转化为中线长，再结合余弦定理求解.
3. 在建立坐标系处理中线或重心问题时，可利用坐标运算简化复杂的几何关系，特别是涉及多条线段交点或垂直关系时，解析法往往更为直接.
考点六：高问题
考法16：利用面积公式求高或边长
例21.已知的内角，，的对边分别为，，，，.
（1）若，证明：；
（2）若边上的高为，求的周长.
【答案】（1） 证明见解析
（2）
【思路】（1） 利用正弦定理将已知等式中的边化为角，结合二倍角公式求出.再利用已知边长求出，进而求出.最后利用诱导公式和两角和的余弦公式证明结论.（2） 利用面积公式求出面积，再利用求出.最后利用余弦定理求出，即可得到周长.
【解析】（1） 由已知可得，由正弦定理可得，，所以有.
又，所以，.
又，所以.
∵，∴.
∴，∴.
又，，函数在上单调递减，则.
（2） 由题意得的面积.
又，则.
由余弦定理，得，所以，.
所以，的周长为.
【规律】求解三角形的高，最直接的方法是利用面积公式，先求出三角形的面积和底边长，再反解出高.
考法17：结合向量法求高相关值
例22.在中，角，，的对边分别为，，，，，.
（1）求；
（2）若，边上的高线长，求.
【答案】（1）
（2）
【思路】（1） 利用向量数量积的坐标运算展开已知等式，结合两角和的三角函数公式化简，求出的值，两边平方即可求出.（2） 结合（1）的结论求出的值.利用面积公式将高线长转化为面积，再利用正弦定理将边长转化为正弦值，代入化简即可求出目标式.
【解析】（1） 由已知得.
∴.
∴.
（2） ∵，∴，∵，∴，∴，∴，
∵，∴，
∵，∴，又，∴，
∵，∴，∴，
∴.
【规律】若已知条件中包含向量的点乘（如），需先通过坐标运算或定义将其转化为边角关系，再结合正余弦定理求解基本量，进而求高.
【考点六 方法总结】
1. 求解三角形的高，最直接的方法是利用面积公式，先求出三角形的面积和底边长，再反解出高.
2. 若已知条件中包含向量的点乘（如），需先通过坐标运算或定义将其转化为边角关系，再结合正余弦定理求解基本量，进而求高.
考点七：外心及外接圆问题
考法18：利用正弦定理求外接圆半径或面积
例23.（2026·鼎尖联考·最后卷）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，且，是函数的两个不同的零点.若，则的外接圆半径为（ 　　）
A. B. 2 C. D.
【答案】D
【思路】利用诱导公式和二倍角公式将函数解析式化简为关于的二次函数.利用韦达定理求出和.进而求出，利用两角和的余弦公式求出，得到角.最后利用正弦定理求外接圆半径.
【解析】令，即，则，，则，因为，故，则，故，则，则，则的外接圆半径.
【规律】求解外接圆半径，核心是利用正弦定理.需先通过已知条件求出某一边及其对角，直接代入公式求解.
考法19：结合外心性质求面积或参数集合
例24.在中，内角，，的对边分别为，，，且，，是公差为的等差数列.
（1）若，求的面积.
（2）是否存在正整数，使得的外心在的外部？若存在，求的取值集合；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2） 存在，
【思路】（1） 利用正弦定理将正弦比例转化为边长比例，结合等差数列的性质求出三边长，再利用余弦定理求出角，最后用面积公式求解.（2） 外心在三角形外部等价于该三角形为钝角三角形.利用大边对大角，确定最大角为钝角，利用余弦定理列出不等式求解.
【解析】（1） ∵，∴由正弦定理得，
∵，，是公差为的等差数列，∴，，
∴，∴，∴，，
∴，
∵，且，∴，
故的面积为.
（2） 假设存在正整数，使得的外心在的外部，则为钝角三角形，
依题意可知，则为钝角，则，
所以，解得，
∵，∴，
∴，
∴存在正整数，使得的外心在的外部，此时整数的取值集合为.
【规律】若已知外心位置或涉及外心到各顶点的距离，需利用外心到三顶点距离相等的性质，结合余弦定理或向量数量积建立方程.外心在三角形外部，等价于三角形为钝角三角形.
【考点七 方法总结】
1. 求解外接圆半径，核心是利用正弦定理.需先通过已知条件求出某一边及其对角，直接代入公式求解.
2. 若已知外心位置或涉及外心到各顶点的距离，需利用外心到三顶点距离相等的性质，结合余弦定理或向量数量积建立方程.
考点八：内心及内切圆问题
考法20：利用内心性质求内切圆半径或边长周长
例25.在中，角，，所对的边分别为，，.已知.
（1）求的值；
（2）若的内切圆半径为，，求.
【答案】（1）
（2）
【思路】（1） 将正切化为弦，去分母后利用两角和的正弦公式化简，求出角.（2） 利用余弦定理建立关于的方程，再利用等面积法建立另一个关于的方程，联立求解.
【解析】（1） 因为，所以，即，又，所以，所以，又，即.
（2） 由余弦定理得，①
设的内切圆半径为，由等面积公式得.
即.整理得，②
联立①②，解得，，所以.
【规律】求解内切圆半径，首选等面积法，即.需先求出三角形的面积和周长，再代入公式反解出.
考法21：利用内心性质求面积或比值
例26.已知的内角，，的对边分别为，，，，，内切圆半径，则____.
【答案】
【思路】利用等面积法得到的值，利用余弦定理得到的值，两式相除得到半角的正切值，再利用二倍角公式求.
【解析】由，所以 ①.
，即 ②.
由①②得，，∴.
【规律】处理复杂的边角关系式时，若涉及半角（如），常利用二倍角公式或降幂公式进行转化，化简后求出角的大小，再结合面积法求解.
【考点八 方法总结】
1. 求解内切圆半径，首选等面积法，即.需先求出三角形的面积和周长，再代入公式反解出.
2. 处理复杂的边角关系式时，若涉及半角（如），常利用二倍角公式或降幂公式进行转化，化简后求出角的大小，再结合面积法求解.
考点九：重心性质及其应用
考法22：利用重心性质求边长或面积
例27.记的内角，，的对边分别为，，，已知，，为的重心.
（1）若，求的长；
（2）若，求的面积.
【答案】（1）
（2）
【思路】（1） 利用正弦定理将边化角，结合和角公式化简求出角.再利用余弦定理求出边.（2） 利用重心性质将转化为中线的长，再利用向量法两边平方建立方程求出边，最后求面积.
【解析】（1） 因为，所以，，所以，.
因为，，所以，因为，所以，，因为，整理得，解得，所以.
（2） 由（1）知，记边的中点为.
因为为的重心，，所以，边上的中线长为，即，因为，所以，因为，所以，当为锐角时，，则由得，解得或，不满足题意，舍去；当为钝角时，，则由得，解得或，所以，当，的面积为.当，的面积为.
【规律】重心问题的核心是利用其分中线的性质，将重心到顶点的距离转化为中线长，再利用向量平方或余弦定理建立方程.
考法23：结合向量法求范围或内切圆半径
例28.在中，内角，，的对边分别为，，，且.
（1）求角的大小；
（2）若，点是的重心，且，求内切圆的半径.
【答案】（1）
（2）
【思路】（1） 利用正弦定理将边化角，结合和角公式化简求出角.（2） 利用重心向量性质，两边平方求出边，再利用余弦定理求出边.最后利用等面积法求内切圆半径.
【解析】（1） 因为，由正弦定理可得，即，又，所以，所以，即，又，所以，所以，解得.
（2） 因为点是的重心，所以，所以，即，解得或(舍).由余弦定理得，解得.设内切圆的圆心，半径为，则
即，即，解得，即内切圆的半径为.
【规律】利用向量法处理重心问题，是极为高效的公式，平方后可直接建立边长与重心距离的关系.
考法24：结合基本不等式求最值
例29.已知的内角，，的对边分别为，，，且.
（1）求的最小值；
（2）若为的重心，，求.
【答案】（1）
（2）
【思路】（1） 利用余弦定理将表示为边长的关系式，代入已知条件消去，再利用基本不等式求最值.（2） 利用重心分中线比例性质，结合直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到边长之间的关系.在两个小三角形中分别应用余弦定理求出角的余弦值，再转化为正弦值求比值.
【解析】（1） 因为，所以，当且仅当，即时，等号成立.
（2） 记边的中点为，边的中点为，边的中点为，
因为点为的重心，所以，在中，，为边的中点，所以，所以，设，，则，，在中，，即，在中，，即，在中，，即，消去，得，又，所以，，从而解得，，即，，在中，，所以，在中，，所以，所以.
【规律】涉及最值问题时，常通过余弦定理将目标式转化为关于某一边或某参数的函数，利用基本不等式求出最值，注意检验等号成立的条件.
【考点九 方法总结】
1. 重心问题的核心是利用其分中线的性质，将重心到顶点的距离转化为中线长，再利用向量平方或余弦定理建立方程.
2. 当题目要求两个角的正弦比值时，可利用正弦定理将正弦比转化为对边长之比，再在相应的三角形中求解边长.
3. 涉及最值问题时，常通过余弦定理将目标式转化为关于某一边或某参数的函数，利用基本不等式求出最值，注意检验等号成立的条件.
考点十：平面图形的翻折问题
考法25：矩形翻折求面积最值
例30.（2026·浙江七校联盟·二模）设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，则面积的最大值为___.
【答案】
【思路】设出矩形的边长，利用翻折前后的全等关系找到相等的角，进而证明为等腰三角形.在直角三角形中利用勾股定理求出各线段长，将面积表示为单变量函数，最后利用基本不等式求最值.
【解析】设，则，因为，所以.折叠后，，所以，又因为，所以，所以，所以.设，则，在中，，即，解得，所以.所以(S{\triangle ADP}=\frac{1}{2}AD \cdot PD=\frac{1}{2}x \cdot \frac{72-12x}{12-x}=\frac{36x-6x^2}{12-x}).令，则，因为，所以.因为，当且仅当，即，时等号成立.所以，即面积的最大值为.
【规律】处理平面图形的翻折问题，关键是抓住翻折前后的“不变量”，如线段长度、角的大小、图形的面积等.将空间问题转化为平面问题，通过引入变量，利用勾股定理或相似三角形建立函数关系，再利用基本不等式或导数求最值.
【考点十 方法总结】
1. 处理平面图形的翻折问题，关键是抓住翻折前后的“不变量”，如线段长度、角的大小、图形的面积等.
2. 将空间问题转化为平面问题，通过引入变量（如设某线段长为），利用勾股定理或相似三角形建立函数关系，再利用基本不等式或导数求最值.
四、高考真题
1.（2024·全国一卷）记的内角，，的对边分别为，，，已知.
（1）求的大小；
（2）若，且，求边上中线的长.
【答案】（1）
（2）
【解析】（1） 在中，由及正弦定理得，即.
因为，，则，即，可得，故.
（2） 由正弦定理可得，所以.
在中，由余弦定理可得，所以.
因为为边上的中线，所以，所以，故.
因此，边上的中线的长为.
2.（2026·全国一卷）已知，，分别为三个内角，，的对边，且.
（1）求；
（2）若，是中点，，求的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】（1） 由正弦定理知.
又，，，，所以，，即，所以.
所以，，故.
（2） 由，所以知为等腰三角形.
取中点，连接，则.
不妨设，则，，.
由勾股定理知.
即，，所以的面积为.
第 2 页，共 17 页第30讲 解三角形图形问题 · 讲义
一、考情分析 1
二、知识清单 2
三、典题精练 3
考点一：妙用两次正弦定理 3
考点二：两角使用余弦定理 3
考点三：两边夹问题 4
考点四：角平分线问题 5
考点五：中线问题 6
考点六：高问题 8
考点七：外心及外接圆问题 8
考点八：内心及内切圆问题 9
考点九：重心性质及其应用 9
考点十：平面图形的翻折问题 10
四、高考真题 10
一、考情分析
1. 考查频次与题型
年份 题号与题型 分值 考察类型 考察内容
2024 第15题 解答题 13分 直接 利用正余弦定理进行边角互化，结合中线向量求解三角形
2025 — — — —
2026 第16题 解答题 15分 直接 利用正弦定理化边为角求角，结合中线条件求解三角形面积
近三年全国一卷对解三角形图形问题的考查频率较高，且均以解答题的形式出现，分值占比大.考查核心集中在正余弦定理的灵活运用以及对三角形中线等特殊线段的处理上.
2. 命题角度与特色
（1） 核心考点：重点考查正余弦定理的综合应用，常与三角形的面积、中线、角平分线等几何图形性质深度结合.
（2） 命题趋势：试题往往以复杂的边角关系等式为切入点，要求考生熟练进行边角互化，进而求解三角形的基本量，对代数恒等变形能力要求较高.
（3） 试题特点：注重基础知识与几何直观的融合，计算量适中，强调对三角形中线、高线等特殊线段处理方法（如向量法、几何法）的熟练掌握.
3. 备考策略
（1） 熟练掌握正弦定理、余弦定理及三角形面积公式，能够根据题目条件灵活选择“化边为角”或“化角为边”的策略.
（2） 重点突破三角形中的特殊线段（如中线、角平分线、高）问题，熟练掌握向量法、等面积法或构造平行四边形等常用处理技巧.
（3） 加强代数恒等变形与三角恒等变换能力的训练，特别是在处理复杂的边角关系式时，注意挖掘隐含的几何条件，提升解题的准确性与速度.
二、知识清单
1. 解决三角形图形类问题的方法
（1） 两次应用余弦定理.
（2）等面积法.
（3） 正弦定理和余弦定理相结合.
（4） 构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形确定边长比例关系.
（5）利用平面向量基本定理和向量的运算法则将其与余弦定理充分结合.
（6） 建立平面直角坐标系，数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.
2. 三角形中特殊线段的处理技巧
（1） 中线问题：已知为边上的中线.
① 向量法：，两边平方可得中线长公式.
② 倍长中线法：延长至，使，连接、，构造平行四边形，将中线转化为对角线求解.
（2） 角平分线问题：已知为的角平分线.
① 面积法：利用，即，可求得.
② 角平分线定理：，常结合正弦定理在与中进行边角互化.
（3） 高线问题：已知为边上的高.
① 面积法：利用求解.
② 射影定理：，常用于边角关系的化简.
3. 三角形中特殊“心”的几何性质
（1） 重心：三角形三条中线的交点.重心分中线的比为（如为重心，为中线，则）；向量性质为.
（2） 外心：三角形三条边垂直平分线的交点，即外接圆圆心.外心到三角形三个顶点的距离相等（均等于外接圆半径），常结合正弦定理求解.
（3） 内心：三角形三条角平分线的交点，即内切圆圆心.内心到三角形三条边的距离相等（均等于内切圆半径），常结合等面积法求解.
4. 复杂图形问题中的隐含条件
（1） 隐含的角关系：在处理多边形或拼接三角形时，需注意挖掘图形中的平角（相邻两角互补）、对顶角相等、三角形内角和为、四边形内角和为等隐含条件.
（2） 圆内接四边形：若题目涉及四点共圆或圆内接四边形，需优先联想“对角互补”（即，），从而得出，.
三、典题精练
考点一：妙用两次正弦定理
考法1：结合面积条件求三角函数值
例1.（2026·师大附中·五月模拟）在中，内角，，的对边分别为，，，的面积为，且.
（1）求的大小；
（2）已知点在边上，，且.证明：.
考法2：结合正余弦定理求边角或面积
例2.（2026·衡水名校·学情调研）在中，，点满足，，，则的内切圆半径为____.
考法3：结合四点共圆求最值
例3.（2025·燕博园·三月检测）在中，内角，，的对边分别为，，，且.
（1）求角的大小；
（2）若，，①求；②过上一点作，的垂线，垂足分别为，，求的最小值.
【考点一 方法总结】
1. 在处理多个三角形拼接的图形问题时，若已知面积比例关系或边长比例关系，常通过面积公式转化为边角关系，再在各个三角形中分别应用正弦定理或余弦定理进行求解.
2. 遇到四点共圆问题，需敏锐捕捉“同弧所对圆周角相等”或“对角互补”的几何性质，将线段的最值问题转化为圆的直径或弦长问题，结合正弦定理求解.
考点二：两角使用余弦定理
考法4：结合正余弦定理求边长或面积
例4.在梯形中，，.
（1）求证：；
（2）若，，求梯形的面积.
考法5：结合正余弦定理求三角函数值或比值
例5.四边形中，，.
（1）求；
（2）若，求.
【考点二 方法总结】
1. 在共底边或共顶点的两个三角形中，若已知某些角的关系（如互补、相等或和为特殊角），可分别在两个三角形中应用余弦定理，通过公共边或已知比例关系的边建立方程组.
2. 处理复杂的边角关系式时，优先考虑利用正弦定理或余弦定理进行统一的“化边为角”或“化角为边”，将代数式化简为基本的三角函数关系.
考点三：两边夹问题
考法6：利用两边夹求值或面积
例6.在中，角，，所对的边分别为，，，若，则的值是（ 　　）
A. 2 B. C. D. 1
考法7：利用两边夹求角
例7.在中，若，则角____.
【考点三 方法总结】
1. 遇到“两边夹”形式的三角函数等式（如），常通过交叉相乘展开，利用两角和与差的三角函数公式化简为或的形式.
2. 结合三角函数的有界性（如，），通过构造等式成立的临界条件，求出具体的角，进而求解三角形的其他基本量.
考点四：角平分线问题
考法8：利用角平分线定理求边长或比值
例8.（2025·江门·一模）在中，已知，是上的点，平分，，则（ 　　）
A. B. C. D.
例9.（2026·黄冈·一模）在中，内角，，的对边分别为，，，且.
（1）若的平分线交于点，，的面积为，求长；
（2）若，，求当周长最小时的值.
考法9：利用等面积法求边长或面积
例10.（2026·沧州八校·二模）已知在中，，是边上一点，是的平分线，且.求.
考法10：结合余弦定理与基本不等式求最值
例11.（2026·沧州八校·二模）已知在中，，是边上一点，是的平分线，且.设，当为何值时，取得最大值？
考法11：角平分线综合证明与计算
例12.（2025·张家口·二模）（多选）已知四面体中，，，，为四面体外接球的球心，则下列说法中正确的是（ 　　）
A. 若，则平面
B. 若，则的取值范围是
C. 若，则的取值范围是
D. 若，直线与所成的角为，则四面体外接球的表面积为
例13.（2025·久洵杯·一月调研）记的内角，，的对边分别为，，.已知，外一点满足，且的角平分线交于点.
（1）求；
（2）证明：；
（3）若，，求.
【考点四 方法总结】
1. 处理角平分线问题，首选等面积法，即，利用面积公式可快速建立角平分线长与两邻边及夹角的关系.
2. 灵活运用角平分线定理，将线段比例关系转化为边长关系，再结合正弦定理或余弦定理在分割出的两个小三角形中求解.
3. 当题目要求周长或线段比例的最值时，常通过余弦定理将目标转化为关于某一边或某参数的函数，利用基本不等式或二次函数性质求最值.
考点五：中线问题
考法12：利用中线长公式求边长或面积
例14.（2025·石家庄·三模）设的内角、、的对边分别为、、，已知.
（1）求角的大小；
（2）若，且，求边上中线的长.
例15.（2026·长郡联盟·二次联考）在中，已知，且.
（1）求角的大小；
（2）若，为中点，且，求的面积.
例16.（2026·郴州·一模）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，是边上的中线，且，.
（1）求角的大小；
（2）求及的面积.
考法13：结合向量法求中线长或面积
例17.（2026·孝感·一模）在中，角，，对边分别为，，，若，，则边上的中线长为（ 　　）
A. B. C. 6 D. 10
考法14：结合坐标法或外心性质求最值或范围
例18.（2026·邵阳·三月二模）（多选）在中，角，，所对的边分别为，，，且，，则下列选项正确的是（ 　　）
A.
B. 若是边的中点，则线段的长的最小值为
C. 的最大值为
D. 若点是的外心，且，，则
考法15：结合正余弦定理求角或判断三角形形状
例19.（2026·华大联盟·五月联考）（多选）设的三个内角分别为，，，重心为，则（ 　　）
A. 以，，的长度为边能构成三角形
B. 以的三条中线的长度为边能构成三角形
C. 以，，的长度为边能构成三角形
D. 若点到的三边，，的距离分别为，，，则以，，的长度为边能构成三角形
例20.（2026·湘一联盟·三月二模）如图，在中，为的中点，且.
（1）求；
（2）若，求.
【考点五 方法总结】
1. 遇到中线问题，优先考虑中线长公式或向量的平行四边形法则，即，两边平方可快速建立中线与三边的代数关系.
2. 若已知三角形的重心，需熟练运用重心分中线的比例性质，将重心到顶点的距离转化为中线长，再结合余弦定理求解.
3. 在建立坐标系处理中线或重心问题时，可利用坐标运算简化复杂的几何关系，特别是涉及多条线段交点或垂直关系时，解析法往往更为直接.
考点六：高问题
考法16：利用面积公式求高或边长
例21.已知的内角，，的对边分别为，，，，.
（1）若，证明：；
（2）若边上的高为，求的周长.
考法17：结合向量法求高相关值
例22.在中，角，，的对边分别为，，，，，.
（1）求；
（2）若，边上的高线长，求.
【考点六 方法总结】
1. 求解三角形的高，最直接的方法是利用面积公式，先求出三角形的面积和底边长，再反解出高.
2. 若已知条件中包含向量的点乘（如），需先通过坐标运算或定义将其转化为边角关系，再结合正余弦定理求解基本量，进而求高.
考点七：外心及外接圆问题
考法18：利用正弦定理求外接圆半径或面积
例23.在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，且，是函数的两个不同的零点.若，则的外接圆半径为（ 　　）
A. B. 2 C. D.
考法19：结合外心性质求面积或参数集合
例24.在中，内角，，的对边分别为，，，且，，是公差为的等差数列.
（1）若，求的面积.
（2）是否存在正整数，使得的外心在的外部？若存在，求的取值集合；若不存在，请说明理由.
【考点七 方法总结】
1. 求解外接圆半径，核心是利用正弦定理.需先通过已知条件求出某一边及其对角，直接代入公式求解.
2. 若已知外心位置或涉及外心到各顶点的距离，需利用外心到三顶点距离相等的性质，结合余弦定理或向量数量积建立方程.
考点八：内心及内切圆问题
考法20：利用内心性质求内切圆半径或边长周长
例25.在中，角，，所对的边分别为，，.已知.
（1）求的值；
（2）若的内切圆半径为，，求.
考法21：利用内心性质求面积或比值
例26.已知的内角，，的对边分别为，，，，，内切圆半径，则____.
【考点八 方法总结】
1. 求解内切圆半径，首选等面积法，即.需先求出三角形的面积和周长，再代入公式反解出.
2. 处理复杂的边角关系式时，若涉及半角（如），常利用二倍角公式或降幂公式进行转化，化简后求出角的大小，再结合面积法求解.
考点九：重心性质及其应用
考法22：利用重心性质求边长或面积
例27.记的内角，，的对边分别为，，，已知，，为的重心.
（1）若，求的长；
（2）若，求的面积.
考法23：结合向量法求范围或内切圆半径
例28.在中，内角，，的对边分别为，，，且.
（1）求角的大小；
（2）若，点是的重心，且，求内切圆的半径.
考法24：结合基本不等式求最值
例29.已知的内角，，的对边分别为，，，且.
（1）求的最小值；
（2）若为的重心，，求.
【考点九 方法总结】
1. 重心问题的核心是利用其分中线的性质，将重心到顶点的距离转化为中线长，再利用向量平方或余弦定理建立方程.
2. 当题目要求两个角的正弦比值时，可利用正弦定理将正弦比转化为对边长之比，再在相应的三角形中求解边长.
3. 涉及最值问题时，常通过余弦定理将目标式转化为关于某一边或某参数的函数，利用基本不等式求出最值，注意检验等号成立的条件.
考点十：平面图形的翻折问题
考法25：矩形翻折求面积最值
例30.设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，则面积的最大值为____.
【考点十 方法总结】
1. 处理平面图形的翻折问题，关键是抓住翻折前后的“不变量”，如线段长度、角的大小、图形的面积等.
2. 将空间问题转化为平面问题，通过引入变量（如设某线段长为），利用勾股定理或相似三角形建立函数关系，再利用基本不等式或导数求最值.
四、高考真题
1.（2024·全国一卷）记的内角，，的对边分别为，，，已知.
（1）求的大小；
（2）若，且，求边上中线的长.
2.（2026·全国一卷）已知，，分别为三个内角，，的对边，且.
（1）求；
（2）若，是中点，，求的面积.
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