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第31讲 三角形中最值与范围 · 分类练习（解析卷）
考点一：周长问题 1
考法1：求周长最值与范围 1
考点二：面积问题 2
考法2：利用基本不等式求面积最值 2
考法3：利用三角函数求面积最值 3
考法4：结合向量与四边形求面积最值 4
考法5：已知面积求边长或代数式最值 5
考点三：长度问题 6
考法6：利用三角函数求线段长度范围 6
考法7：利用基本不等式求线段长度最值 7
考法8：特殊线段长度范围求解 9
考点四：转化为角范围问题 10
考法9：化边为角求三角函数式或代数式范围 10
考点五：倍角问题 11
考法10：倍角条件下的最值与范围问题 11
考点六：角平分线与中线问题 12
考法11：角平分线相关最值与范围问题 12
考法12：中线相关最值与范围问题 12
考点七：四心问题 13
考法13：三角形四心相关最值与范围问题 13
考点八：坐标法与隐圆问题 13
考法14：建系法与代数式几何意义求最值 13
考法15：隐圆模型求最值 14
考点九：两边夹与正切最值问题 15
考法16：两边夹角关系求最值与范围 15
考法17：化简为正切函数求最值与范围 16
考点十：最大角与特殊点问题 17
考法18：最大角问题 17
考法19：新定义几何问题求解 18
考点十一：托勒密定理、旋转相似与等面积法 19
考法20：托勒密定理与旋转相似应用 19
考法21：等面积法与张角定理应用 19
考点十二：平方问题与基本不等式综合 21
考法22：平方和问题与基本不等式综合 21
答案速查表
1 2 3 4 5
A B A B
6 7 8 9 10
（1） （2） BD AC
11 12 13 14 15
C ACD ABC
16 17 18 19 20
（1） （2） A C （1）见解析 （2）
21 22 23 24 25
（1） （2）（i） （ii） A （1） （2） （1）见解析 （2）
26 27 28 29 30
（1）见解析 （2） （1）见解析 （2） ； C D
31 32
考点一：周长问题
考法1：求周长最值与范围
1.（2026·安徽A10联盟·模拟）在锐角中，角所对的边分别为，且，，则的取值范围为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由得，则，∵，∴，则，∴，，解得.∵是锐角三角形，∴，解得.由正弦定理得，由，得，∴，∴.故选A.
【点拨】利用基本不等式和三角函数有界性求出边角，再结合正弦定理将边转化为角求范围.
2.（2025·南阳一中·三模）已知的内角的对边分别为，且，若，则的取值范围是__．
【答案】
【解析】解：由正弦定理知，，，，即，，，，，当且仅当时，等号成立，，又，，的取值范围是.
【点拨】利用正弦定理和余弦定理将角化边，结合基本不等式及三角形两边之和大于第三边求范围.
考点二：面积问题
考法2：利用基本不等式求面积最值
3.（2026·菏泽·一模）记的内角，，的对边分别为，，，已知，，则的面积的最大值为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由余弦定理可得，又，，∴，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，∴，又，∴，，∴的面积，∴当时，的面积取最大值，最大值为.
【点拨】利用余弦定理和基本不等式求出角的余弦值的范围，进而得到正弦值的最大值，代入面积公式求解.
4.（2025·萍乡·二模）在中，内角所对的边分别为，若，，则面积的最大值为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】对进行化简，通分可得，即，又，解得；已知，由余弦定理，可得，根据基本不等式（当且仅当时取等号），则，可得，三角形面积，当且仅当时等号成立.
【点拨】先利用同角三角函数关系求出角的正余弦值，再结合余弦定理与基本不等式求出两边乘积的最大值.
考法3：利用三角函数求面积最值
5.（2026·郑州四中·适应性考试）在中，，，则的面积的最大值为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】在中，设，，.根据正弦定理，为三角形外接圆半径.将条件转化为边的关系：左边：，右边：，等式两边相等得：，化简得.结合余弦定理，代入上式得：，整理得.三角形面积.由，得，代入面积公式：，由基本不等式，得，即(当且仅当时取等号)，此时取得最大值，故.
【点拨】利用正弦定理将角化边，结合余弦定理得到边长平方和为定值，再将面积表示为两边乘积的函数求最值.
考法4：结合向量与四边形求面积最值
6.（2026·福漳南三市·4月适应性练习）在平面凸四边形中，，，，的面积为．当最大时，四边形的面积为__．
【答案】
【解析】在中，，，，由余弦定理可得，即，整理可得，解得或（舍去），所以，故，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则、、，则点在第一象限，设点，则，解得，则，因，而，，则，当且仅当时，即当时，等号成立，此时取最大值，则点，故.
【点拨】通过解三角形确定部分图形的形状，建立平面直角坐标系，利用两角差的正切公式及基本不等式求出角度最大时的动点坐标.
7.（2025·福九联盟·5月联考）在平面四边形中（在直线的两侧），，．
（1） 若，，求；
（2） 若，求四边形的面积的最大值．
【答案】（1） （2）
【解析】（1） 连接，在中，由余弦定理得，即．因为，，所以，又，所以．在中，由正弦定理得，所以，又，所以，所以；
（2） 设，则．在中，由余弦定理得，所以的面积，所以当时，取得最大值．所以四边形的面积的最大值为．
【点拨】将四边形分割为两个三角形，利用余弦定理将面积表示为边长的函数，再通过二次函数求最值.
考法5：已知面积求边长或代数式最值
8.（2026·黄山·一模）是的最大内角，且，，则下列结论正确的是（多选）（ 　　）
A. 可能为锐角三角形
B. 的最大值为
C. 面积的最小值为
D. 的最小值为
【答案】BD
【解析】对于A，由，则，即，所以，则，即，由于是的最大内角，则，所以，则，即，故为直角三角形，故A错误；对于B，由于，则，即，又，则，所以，则时，取得最大值为，故B正确；对于C，由于，，则面积为，故C错误；对于D，由于，则，即，又，则，所以，当且仅当，即时等号成立，则的最小值为.故选：BD.
【点拨】通过三角恒等变换判断出三角形为直角三角形，再利用两锐角互余关系将所求代数式转化为单一变量的函数求最值.
考点三：长度问题
考法6：利用三角函数求线段长度范围
9.（2025·深圳高级中学·二诊）在锐角三角形中，，外接圆的半径为，则（多选）（ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】AC
【解析】已知锐角中，，.
∵是锐角三角形，∴，.
又，∴.
由得，即.
由正弦定理.
∵，∴.
∵，∴.
∴，即，∴，C正确.
.
∵，∴.
∴，∴，A正确，B错误.
.
.
令，.
当即时，.
当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增.
∴.
又，.
∴的取值范围是.
∴.D错误.
所以选AC.
【点拨】利用正弦定理将边长转化为角的三角函数，根据锐角三角形的条件确定角的范围，再利用三角函数的性质求范围.
10.（2026·湖南新高考联盟·二模）如图所示，若，，点与分别在直线两侧，且，则长度的最大值为__．
【答案】
【解析】设，利用余弦定理及三角恒等变换将表示为的函数，再利用正弦函数的性质求出最大值.在中，，设，则，，在中，，则，由余弦定理得，因，则，故当，即时，，所以的最大值为.
【点拨】引入角度作为自变量，利用余弦定理将线段长表示为三角函数，再通过辅助角公式求最值.
考法7：利用基本不等式求线段长度最值
11.（2026·广州·一模）某公园里有一块边长分别为30米，40米，50米的三角形草坪（记为），点，在的边上，线段把草坪分成面积相等的两部分．如果沿铺设灌溉水管，则水管的最短长度为__米．
【答案】20
【解析】由，可得是直角三角形，其面积，不妨设，
①若在上，如图：
设，则有，解得，，即，当且仅当时等号成立；
②若在上，如图：
设，则有，解得，，即，当且仅当时等号成立；
③若在上，如图：
设，则有，解得，，即，当且仅当时等号成立；因为，所以的最小值为20，即水管的最短长度为20米.
【点拨】分类讨论线段端点所在边的情况，利用三角形面积公式得到两边乘积，再结合余弦定理与基本不等式求出线段长度的最小值.
12.（2025·黄冈·9月调研）已知的内角的对边分别为，其内切圆半径，则边长的最小值为___．
【答案】
【解析】由，得，由，得①，由余弦定理有，则②，显然．由①+②整理得，解得或（舍去），则，当时等号成立，则边长的最小值为.
【点拨】利用等面积法和余弦定理得到关于边长的等式，再结合基本不等式求出边长的最小值.
考法8：特殊线段长度范围求解
13.（2025·江西优创名校·4月联考）如图，在四边形中，，，，，则的最小值为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本题考查解三角形与三角恒等变换，考查数学建模与数学运算的核心素养.设，则，，所以，当，即时，取得最小值.
【点拨】引入角度作为自变量，利用解直角三角形和余弦定理将线段长表示为三角函数，再求最值.
14.（2026·浙江县域联盟·模拟）在等腰直角中，是边的中点，为斜边上的动点，则的可能值为（多选）（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】设，则，则由余弦定理，，经计算，设，则，令，得到，在上，函数单调递增，在上，函数单调递减；所以在内最大值为，又因为，，所以，所以，所以.
【点拨】设出线段长度，利用余弦定理将所求比值的平方转化为关于单一变量的函数，通过求导确定其值域.
考点四：转化为角范围问题
考法9：化边为角求三角函数式或代数式范围
15.（2026·湖北云学联盟·5月模拟）在锐角中,内角的对边分别为,满足.则（多选）（ 　　）
A. 的最大值为
B. 的最大值为
C. 的最大值为
D. 若,则的最小值为
【答案】ABC
【解析】由正弦定理，等价于用降幂公式化简整理得，和差化积由，代入得：，化简得 ().由锐角三角形条件，三个角均小于，，故，推得，A正确.对于选项B由积化和差公式:代入()得:令，，显然单调递减.因此的取值范围是，B正确.对于选项C由积化和差公式:代入等式(*)得令，显然单调递减.因此的取值范围是，C正确.对于选项D由，令(锐角三角形条件,加余弦定理代入齐次后解不等式),则，令，由对勾函数性质,，故，即.因此，即，当且仅当即时等号成立.即的最大值为2,无最小值,D错误.
【点拨】利用正弦定理和三角恒等变换，将边长关系转化为角的三角函数关系，再结合锐角三角形的条件求出角的范围，最后利用函数的单调性求最值.
16.（2026·合肥·三模）记的内角，，的对边分别为，，，已知.
（1） 求；
（2） 若是锐角三角形，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】（1） 因为，由正弦定理得，因为，所以，所以，即，化简得，即，因为，所以.
（2）因为，所以，又.所以.又是锐角三角形，则，解得，所以，，所以的取值范围为.
【点拨】利用正弦定理将边转化为角，再利用辅助角公式化简，结合锐角三角形的内角范围求出整体的取值范围.
考点五：倍角问题
考法10：倍角条件下的最值与范围问题
17.已知的内角的对边分别为．若，且为锐角，则的最小值为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，，即，．为锐角，则，当且仅当，即时，等号成立，的最小值为．
【点拨】利用倍角公式和和角公式将用和表示，结合正弦定理化简所求代数式，再利用基本不等式求最小值.
考点六：角平分线与中线问题
考法11：角平分线相关最值与范围问题
18.（2026·镇江·零模）已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，角的角平分线交于点，则线段的最大值为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】方法一：即，，，，，，，，，，而，，，，，.
【点拨】利用正弦定理求出角，再利用等面积法求出角平分线长度表达式，结合余弦定理与基本不等式求最值.
考法12：中线相关最值与范围问题
19.（2025·河南TOP二十名校·5月联考）记的内角的对边分别为,已知.
（1） 证明:;
（2） 若边上的中线长为,求的最大值.
【答案】（1） 证明见解析
（2） 4
【解析】（1） 证明:由余弦定理,得,故,即.由正弦定理可得,又,故,即.
（2） 解:设为的中点,则.两边平方有,即.故,即,当且仅当时等号成立,故的最大值为4.
【点拨】利用向量的平方运算将中线长转化为边长关系，再结合基本不等式求出两边乘积的最大值.
考点七：四心问题
考法13：三角形四心相关最值与范围问题
20.设(是坐标原点)的重心、内心分别是，且，若，则的最小值是＿＿＿＿＿＿．
【答案】
【解析】因为重心、内心分别是，且，所以，(为内切圆的半径)，又.且.解得.所以.当且仅当时，即为等边三角形有最小值.
【点拨】利用重心和内心的性质，结合面积公式得出两边之和为定值，再利用余弦定理和基本不等式求余弦值的最小值.
考点八：坐标法与隐圆问题
考法14：建系法与代数式几何意义求最值
21.（2026·温州·二模）已知的内角，，所对的边分别为，，，且．
（1） 求；
（2） 若，点在上，直线上一点满足，在点和点的变化过程中，
（ⅰ）求的最小值；
（ⅱ）当最小时，求的值．
【答案】（1）
（2） （i） （ii）
【解析】（1） 在中，因为，所以，代入得到，由正弦定理得，由余弦定理得，化简得，又，，所以.
（2） （i）因为，所以，所以.如图，建立平面直角坐标系，此时，，设，，因为，所以，设，代入得，整理得，解得，，当且仅当取得等号，又因为，当且仅当取得等号，所以的最小值为.（ii）此时，所以直线，，所以直线，联立，解得，所以.
【点拨】建立平面直角坐标系，将几何条件转化为动点坐标满足的方程，再将所求代数式转化为坐标的函数求最值.
考法15：隐圆模型求最值
22.在平面四边形中，连接对角线，已知，，，，则对角线的最大值为（ 　　）
A. 27 B. 16 C. 10 D. 25
【答案】A
【解析】以为坐标原点，分别为轴建立如图所示直角坐标系，则，因为，，所以由平面几何知识得点轨迹为圆弧(因为为平面四边形，所以取图中第四象限部分的圆弧)，设圆心为，则由正弦定理可得圆半径为，，因此对角线的最大值为，故选：A.
【点拨】利用正弦定理确定动点轨迹为圆弧，建立坐标系求出圆心坐标，再利用圆的几何性质求出线段的最大值.
考点九：两边夹与正切最值问题
考法16：两边夹角关系求最值与范围
23.（2026·梅州·3月质检）在中，角所对的边分别为，已知.
（1） 求角的大小；
（2） 若为边上一点，满足，且，求的面积最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】（1） 解：因为，由正弦定理得，所以，又因为，所以，因为，所以，可得，所以，又因为，故.
（2） 解：因为为边上，满足，所以，所以，所以，所以，即有，即，所以，所以，即，当且仅当，即时，取等号，所以，即的面积最大值为.
【点拨】利用向量的平方运算将线段长转化为边长关系，再结合基本不等式求出两边乘积的最大值，代入面积公式求解.
24.（2026·山师大附中·3月检测）在中，角的对边分别为，已知.
（1） 求证：；
（2） 若是锐角三角形，求的取值范围.
【答案】（1） 证明见解析
（2）
【解析】（1） 证明：由得，由正弦定理得，即，所以，因为，所以，因为，所以或(舍去)，所以.
（2） 由（1）知，，由得，即，所以，因为是锐角三角形，所以，即，所以，所以，所以，所以，所以，解得或（舍去），所以，所以.
【点拨】利用正弦定理和余弦定理将边长比转化为角的三角函数，再结合锐角三角形的条件求出角的范围，最后解不等式求出比值的范围.
考法17：化简为正切函数求最值与范围
25.（2026·湖南师大附中·模拟）在中，内角的对边分别为，已知，且，则的最小值为＿＿＿＿＿＿．
【答案】
【解析】由且可知.设，由，可判断为钝角，为锐角，所以.又，因为，所以.所以，所以，，当且仅当时取等号，，满足题干条件.综上，的最小值为6.
【点拨】利用正弦定理将边长关系转化为三角函数关系，再通过换元法将所求代数式转化为关于单一变量的函数，利用基本不等式求最小值.
26.（2025·衡水·3月联考）记锐角内角的对边分别为，且.
（1） 证明：；
（2） 求的最大值.
【答案】（1） 见解析
（2）
【解析】（1） 证明：由正弦定理可得，，且，故，即，而均不为0，故.
（2） 解：由，知，易知，同理可得，故，由于为锐角三角形，所以，即，当且仅当时取等；故的最大值为1.
【点拨】利用正弦定理和三角恒等变换将边角关系化简，再利用基本不等式求出所求代数式的最大值.
考点十：最大角与特殊点问题
考法18：最大角问题
27.（2026·合肥·一模）记的内角，，的对边分别为，，，已知.
（1） 证明：；
（2） 求内角的最大值.
【答案】（1） 见解析
（2）
【解析】（1） 证明：由已知得，即，
由余弦定理可得，
所以．
（2） 解：由（1）知，所以，
所以，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以，的最小值为，即内角的最大值为.
【点拨】利用余弦定理将角的余弦值表示为边长的函数，再结合基本不等式求出余弦值的最小值，从而得到角的最大值.
考法19：新定义几何问题求解
28.（2026·金科大联考·2月联考）德国数学家克雷尔于1816年发现了三角形的布洛卡点，法国军官布洛卡于1875年将此特殊点重新发现，并以他的名字命名至今.已知任意的内部必存在点，使得(或)，则称为的布洛卡点，(或)称为布洛卡角.一般地，对于任意三角形均有两个布洛卡点及两个布洛卡角，当三角形为正三角形时，两个布洛卡点重合，且两个布洛卡角相等.已知点为的一个布洛卡点，且.则＿＿＿＿＿＿；当，且时，的面积的最大值为＿＿＿＿＿＿.
【答案】；
【解析】点为的一个布洛卡点，且，.即，故应填(或)；同理可知，不妨记，在中，由正弦定理得①，在中，由正弦定理得②，由①②两式作商，可得，所以，即，在中，由余弦定理得，又，故，，，即，的面积，易知当时取等号，即的面积最大值为1.
【点拨】根据新定义理解布洛卡点的几何性质，利用正弦定理和余弦定理将边角关系转化，再结合基本不等式求面积的最大值.
考点十一：托勒密定理、旋转相似与等面积法
考法20：托勒密定理与旋转相似应用
29.托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和. 其意思为：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积. 从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质. 已知四边形的四个顶点在同一个圆的圆周上，、是其两条对角线，，且为正三角形，则四边形的面积为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设，由托勒密定理可知，即，所以，，又因为，，因此，.故选：C.
【点拨】利用托勒密定理将对角线乘积转化为对边乘积之和，结合正三角形的性质求出两边之和，再利用面积公式求解.
考法21：等面积法与张角定理应用
30.（2025·江西三新联盟·5月模拟）在中，内角所对的边分别为.若，为边上的点，且，，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，，所以.由题意知，即，解得.
【点拨】利用等面积法将大三角形面积表示为两个小三角形面积之和，从而求出公共边（角平分线或特定线段）的长度.
31.（2025·青岛·一模）已知的内角对边分别为，边上的高为，，则的最小值为＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】在中，，
，
即；
又，，即，又；
故，
如图，在中，过作垂线，且使，则，
，即，可得，
，即，，
，
设，，在区间单调递减，
，即，
，当且仅当时，即三点共线时等号成立.
验证：如右图中，若时，满足，
此时，，
故存在这样的，使得成立.
因此的最小值为.
【点拨】解决此题关键有二，一是通过已知条件结合面积公式与余弦定理得到等量关系；二是构造几何图形求解的范围，进而利用二倍角公式求解的范围.
考点十二：平方问题与基本不等式综合
考法22：平方和问题与基本不等式综合
32.（2024·吉安六校·5月联考）已知的三个内角所对的边分别为，且，则的最小值为＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】由题意可得，由余弦定理可得，因为，所以，所以，所以根据基本不等式，当且仅当，即时等号成立.故答案为：.
【点拨】利用余弦定理将角的余弦值表示为边长的函数，再结合基本不等式求出余弦值的最小值.
第 2 页，共 17 页第31讲 三角形中最值与范围 · 分类练习
考点一：周长问题 1
考法1：求周长最值与范围 1
考点二：面积问题 1
考法2：利用基本不等式求面积最值 1
考法3：利用三角函数求面积最值 1
考法4：结合向量与四边形求面积最值 2
考法5：已知面积求边长或代数式最值 2
考点三：长度问题 2
考法6：利用三角函数求线段长度范围 2
考法7：利用基本不等式求线段长度最值 3
考法8：特殊线段长度范围求解 3
考点四：转化为角范围问题 3
考法9：化边为角求三角函数式或代数式范围 3
考点五：倍角问题 4
考法10：倍角条件下的最值与范围问题 4
考点六：角平分线与中线问题 4
考法11：角平分线相关最值与范围问题 4
考法12：中线相关最值与范围问题 4
考点七：四心问题 5
考法13：三角形四心相关最值与范围问题 5
考点八：坐标法与隐圆问题 5
考法14：建系法与代数式几何意义求最值 5
考法15：隐圆模型求最值 5
考点九：两边夹与正切最值问题 6
考法16：两边夹角关系求最值与范围 6
考法17：化简为正切函数求最值与范围 6
考点十：最大角与特殊点问题 7
考法18：最大角问题 7
考法19：新定义几何问题求解 7
考点十一：托勒密定理、旋转相似与等面积法 7
考法20：托勒密定理与旋转相似应用 7
考法21：等面积法与张角定理应用 8
考点十二：平方问题与基本不等式综合 8
考法22：平方和问题与基本不等式综合 8
考点一：周长问题
考法1：求周长最值与范围
1.（2026·安徽A10联盟·模拟）在锐角中，角所对的边分别为，且，，则的取值范围为（ 　　）
A. B. C. D.
2.（2025·南阳一中·三模）已知的内角的对边分别为，且，若，则的取值范围是＿＿＿＿＿＿．
考点二：面积问题
考法2：利用基本不等式求面积最值
3.（2026·菏泽·一模）记的内角，，的对边分别为，，，已知，，则的面积的最大值为（ 　　）
A. B. C. D.
4.（2025·萍乡·二模）在中，内角所对的边分别为，若，，则面积的最大值为（ 　　）
A. B. C. D.
考法3：利用三角函数求面积最值
5.（2026·郑州四中·适应性考试）在中，，，则的面积的最大值为（ 　　）
A. B. C. D.
考法4：结合向量与四边形求面积最值
6.（2026·福漳南三市·4月适应性练习）在平面凸四边形中，，，，的面积为．当最大时，四边形的面积为＿＿＿＿＿＿．
7.（2025·福九联盟·5月联考）在平面四边形中（在直线的两侧），，．
（1） 若，，求；
（2） 若，求四边形的面积的最大值．
考法5：已知面积求边长或代数式最值
8.（2026·黄山·一模）是的最大内角，且，，则下列结论正确的是（多选）（ 　　）
A. 可能为锐角三角形
B. 的最大值为
C. 面积的最小值为
D. 的最小值为
考点三：长度问题
考法6：利用三角函数求线段长度范围
9.（2025·深圳高级中学·二诊）（多选）在锐角三角形中，，外接圆的半径为，则（ 　　）
A.
B.
C.
D.
10.（2026·湖南新高考联盟·二模）如图所示，若，，点与分别在直线两侧，且，则长度的最大值为＿＿＿＿＿＿．
考法7：利用基本不等式求线段长度最值
11.（2026·广州·一模）某公园里有一块边长分别为30米，40米，50米的三角形草坪（记为），点，在的边上，线段把草坪分成面积相等的两部分．如果沿铺设灌溉水管，则水管的最短长度为＿＿＿＿＿＿米．
12.（2025·黄冈·9月调研）已知的内角的对边分别为，其内切圆半径，则边长的最小值为＿＿＿＿＿＿．
考法8：特殊线段长度范围求解
13.（2025·江西优创名校·4月联考）如图，在四边形中，，，，，则的最小值为（ 　　）
A. B. C. D.
14.（2026·浙江县域联盟·模拟）（多选）在等腰直角中，是边的中点，为斜边上的动点，则的可能值为（ 　　）
A. B. C. D.
考点四：转化为角范围问题
考法9：化边为角求三角函数式或代数式范围
15.（2026·湖北云学联盟·5月模拟）在锐角中,内角的对边分别为,满足.则（多选）（ 　　）
A. 的最大值为
B. 的最大值为
C. 的最大值为
D. 若,则的最小值为
16.（2026·合肥·三模）记的内角，，的对边分别为，，，已知.
（1） 求；
（2） 若是锐角三角形，求的取值范围.
考点五：倍角问题
考法10：倍角条件下的最值与范围问题
17.已知的内角的对边分别为．若，且为锐角，则的最小值为（ 　　）
A. B. C. D.
考点六：角平分线与中线问题
考法11：角平分线相关最值与范围问题
18.（2026·镇江·零模）已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，角的角平分线交于点，则线段的最大值为（ 　　）
A. B. C. D.
考法12：中线相关最值与范围问题
19.（2025·河南TOP二十名校·5月联考）记的内角的对边分别为,已知.
（1） 证明:;
（2） 若边上的中线长为,求的最大值.
考点七：四心问题
考法13：三角形四心相关最值与范围问题
20.设(是坐标原点)的重心、内心分别是，且，若，则的最小值是＿＿＿＿＿＿．
考点八：坐标法与隐圆问题
考法14：建系法与代数式几何意义求最值
21.（2026·温州·二模）已知的内角，，所对的边分别为，，，且．
（1） 求；
（2） 若，点在上，直线上一点满足，在点和点的变化过程中，
（ⅰ）求的最小值；
（ⅱ）当最小时，求的值．
考法15：隐圆模型求最值
22.在平面四边形中，连接对角线，已知，，，，则对角线的最大值为（ 　　）
A. 27 B. 16 C. 10 D. 25
考点九：两边夹与正切最值问题
考法16：两边夹角关系求最值与范围
23.（2026·梅州·3月质检）在中，角所对的边分别为，已知.
（1） 求角的大小；
（2） 若为边上一点，满足，且，求的面积最大值.
24.（2026·山师大附中·3月检测）在中，角的对边分别为，已知.
（1） 求证：；
（2） 若是锐角三角形，求的取值范围.
考法17：化简为正切函数求最值与范围
25.（2026·湖南师大附中·模拟）在中，内角的对边分别为，已知，且，则的最小值为＿＿＿＿＿＿．
26.（2025·衡水·3月联考）记锐角内角的对边分别为，且.
（1） 证明：；
（2） 求的最大值.
考点十：最大角与特殊点问题
考法18：最大角问题
27.（2026·合肥·一模）记的内角，，的对边分别为，，，已知.
（1） 证明：；
（2） 求内角的最大值.
考法19：新定义几何问题求解
28.（2026·金科大联考·2月联考）德国数学家克雷尔于1816年发现了三角形的布洛卡点，法国军官布洛卡于1875年将此特殊点重新发现，并以他的名字命名至今.已知任意的内部必存在点，使得(或)，则称为的布洛卡点，(或)称为布洛卡角.一般地，对于任意三角形均有两个布洛卡点及两个布洛卡角，当三角形为正三角形时，两个布洛卡点重合，且两个布洛卡角相等.已知点为的一个布洛卡点，且.则＿＿＿＿＿＿；当，且时，的面积的最大值为＿＿＿＿＿＿.
考点十一：托勒密定理、旋转相似与等面积法
考法20：托勒密定理与旋转相似应用
29.托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和. 其意思为：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积. 从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质. 已知四边形的四个顶点在同一个圆的圆周上，、是其两条对角线，，且为正三角形，则四边形的面积为（ 　　）
A. B. C. D.
考法21：等面积法与张角定理应用
30.（2025·江西三新联盟·5月模拟）在中，内角所对的边分别为.若，为边上的点，且，，则（ 　　）
A. B. C. D.
31.（2025·青岛·一模）已知的内角对边分别为，边上的高为，，则的最小值为＿＿＿＿＿＿.
考点十二：平方问题与基本不等式综合
考法22：平方和问题与基本不等式综合
32.（2024·吉安六校·5月联考）已知的三个内角所对的边分别为，且，则的最小值为＿＿＿＿＿＿.
第 2 页，共 17 页第31讲 三角形中最值与范围 · 讲义（解析卷）
一、考情分析 1
二、知识清单 2
三、典题精讲 3
考点一：周长问题 3
考点二：面积问题 4
考点三：长度问题 7
考点四：转化为角范围问题 9
考点五：倍角问题 10
考点六：角平分线与中线问题 11
考点七：四心问题 12
考点八：坐标法与隐圆问题 13
考点九：两边夹与正切最值问题 15
考点十：最大角与特殊点问题 17
考点十一：托勒密定理、旋转相似与等面积法 19
考点十二：平方问题与基本不等式综合 20
四、高考真题 21
一、考情分析
1. 考查频次与题型
年份 题号与题型 分值 考察类型 考察内容
2024 第15题 解答 13分 直接 利用正余弦定理与面积公式解三角形
2025 第11题 多选 6分 直接 三角恒等变换与正余弦定理的综合应用
2025 第17题 解答 15分 间接 在立体几何中利用余弦定理求解三角形边长与夹角
2026 第16题 解答 15分 直接 利用正余弦定理求解平面几何图形中的线段长度
近三年全国一卷对解三角形相关知识的考查较为稳定，每年均有涉及.考查形式多样，既有作为独立解答题直接考查边角计算与线段长度，也有在多选题中考查综合判定，同时常作为核心工具在立体几何解答题中进行间接考查.
2. 命题角度与特色
（1） 核心考点：重点考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式的综合应用，常与三角恒等变换（如降幂公式、和差化积等）深度结合.
（2） 命题趋势：命题逐渐摆脱单一的“套公式”模式，更加强调几何直观与代数变形的结合.常在多选题中考查边角关系的综合判断，或在解答题中结合平面几何图形（如平行线、垂线等）考查特定线段长度的计算.
（3） 试题特点：对代数变形能力要求较高，要求考生能在复杂的三角函数等式中敏锐地捕捉到边角转化的契机；同时注重知识交汇，要求考生具备在立体几何等复杂背景下剥离出基本三角形模型进行求解的能力.
3. 备考策略
（1） 熟练掌握正弦定理、余弦定理及面积公式，能够根据已知条件灵活选择“化角为边”或“化边为角”的解题策略.
（2） 强化三角恒等变换的基本功，特别是二倍角公式、诱导公式及两角和差公式在解三角形中的应用，提升代数式的化简与变形能力.
（3） 重视平面几何基本定理（如勾股定理、等腰三角形性质、圆的性质等）的复习，刻意培养在复杂图形中添加辅助线、构造直角三角形或基本解三角形模型的能力.
二、知识清单
1. 在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点.解决这类问题，通常有下列五种解题技巧：
（1） 利用基本不等式求范围或最值.
（2） 利用三角函数求范围或最值.
（3） 利用三角形中的不等关系求范围或最值.
（4） 根据三角形解的个数求范围或最值.
（5） 利用二次函数求范围或最值.
2. 解三角形中的范围与最值问题常见题型：
（1） 求角的最值.
（2） 求边和周长的最值及范围.
（3） 求面积的最值和范围.
3. 解三角形中最值与范围问题的必备基础知识：
（1） 三角形内角和定理及其推论：
① .
② ，，（当 时）.
③ ，.
（2） 三角形边角关系定理：
① 正弦定理：（ 为 外接圆半径）.
② 余弦定理：，.
③ 大边对大角：在 中，.
（3） 三角形面积公式：
① .
② （ 为 内切圆半径）.
4. 求最值与范围常用的代数与三角工具：
（1） 基本不等式：，（），当且仅当 时等号成立.在求面积最大值或周长最小值时常用于边长的放缩.
（2） 辅助角公式：（其中 ），常用于将双变量三角函数化为单变量三角函数求最值.
（3） 三角函数的有界性：，.结合角的实际范围，可确定三角函数值的具体取值区间.
三、典题精讲
考点一：周长问题
考法1：求周长最值与范围
例1.（2026·A10联盟·模拟）在锐角中，角所对的边分别为，且，，则的取值范围为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【思路】观察已知等式，右侧含有正弦函数，其最大值为1，而左侧关于a的代数式可通过基本不等式求出最小值，从而利用不等式链确定a与B的值.随后利用正弦定理将b转化为关于A的三角函数，结合锐角三角形的条件确定A的范围，进而求出整体代数式的取值范围.
【解析】∵，∴，则.∵，∴，则，∴，，解得.∵是锐角三角形，∴，解得.由正弦定理得，由，得，∴，∴.故选A.
【规律】处理含参或多变量的等式时，若一边有界（如正余弦函数），另一边可通过基本不等式或配方求极值，常利用“恰好取等”的极端情况破题.求范围时，务必注意“锐角三角形”这一隐含条件对三个内角的双重限制.
【考点一 方法总结】
1. 利用基本不等式和三角函数有界性求出边角，再结合正弦定理将边转化为角求范围.处理含参或多变量的等式时，若一边有界（如正余弦函数），另一边可通过基本不等式或配方求极值，常利用“恰好取等”的极端情况破题.
2. 利用正弦定理和余弦定理将角化边，结合基本不等式及三角形两边之和大于第三边求范围.
3. 求范围时，务必注意“锐角三角形”这一隐含条件对三个内角的双重限制.
考点二：面积问题
考法2：利用基本不等式求面积最值
例2.（2025·萍乡·二模）在中，内角所对的边分别为，若，，则面积的最大值为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【思路】已知条件中给出了关于角A的复杂三角函数方程，首先需通过通分和同角三角函数基本关系将其化简，求出角A的正弦和余弦值.接着利用余弦定理将已知边a与未知边b、c联系起来，结合基本不等式求出bc的最大值，最后代入面积公式求解.
【解析】对进行化简，通分可得，即.又，解得.已知，由余弦定理，可得.根据基本不等式（当且仅当时取等号），则，可得.三角形面积，当且仅当时等号成立.
【规律】已知一角及其对边求面积最大值是经典模型.通用步骤为：先求出该角的正余弦值，再写出余弦定理表达式，利用基本不等式放缩，求出两边乘积bc的最大值，最后代入面积公式得出结果.
考法3：利用三角函数求面积最值
例3.（2026·郑州四中·适应考试）在中，，，则的面积的最大值为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【思路】题目给出的等式全为正弦和余弦，首选正弦定理将角化为边，结合余弦定理可得到关于边长a、b的平方和关系.随后将面积公式中的正弦值用余弦值表示，转化为关于ab的函数，利用基本不等式求出ab的范围，进而求得面积的最大值.
【解析】在中，设，，.根据正弦定理，为三角形外接圆半径.将条件转化为边的关系：左边：，右边：.等式两边相等得：，化简得.结合余弦定理，代入上式得：，整理得.三角形面积.由，得.代入面积公式：.由基本不等式，得，即(当且仅当时取等号)，此时取得最大值，故.
【规律】遇到齐次三角函数等式，优先考虑正弦定理化角为边.若推导出边长的平方和为定值，可将面积S表示为两边乘积ab的解析式，再利用基本不等式求出ab的最大值，从而求得面积的最值.
考法4：结合向量与四边形求面积最值
例4.（2025·福九联盟·五月联考）在平面四边形中（在直线的两侧），，．
（1） 若，，求；
（2） 若，求四边形的面积的最大值．
【答案】（1） （2）
【思路】（1） 四边形问题常通过对角线分割为两个三角形.在△ADC中利用余弦定理求出对角线AC，进而得出∠DAC，结合已知求出∠BAC，最后在△ABC中利用正弦定理求∠ABC.（2） 设出BC的长度，在△ABC中利用余弦定理将cos∠ABC表示为边长的函数，再利用同角三角函数关系求出sin∠ABC，将面积转化为关于边长的函数，通过二次函数配方求最值.
【解析】（1） 连接，在中，由余弦定理得，即．∵，，∴.又，∴．在中，由正弦定理得，∴.又，∴，∴；
（2） 设，则．在中，由余弦定理得，∴的面积.∴当时，取得最大值．∴四边形的面积的最大值为．
【规律】处理四边形面积最值问题，核心思想是“分割与转化”.通常连接一条对角线，将四边形分为一个定三角形和一个动三角形.对于动三角形，若已知两边比例，可设出边长，利用余弦定理将夹角的余弦值表示出来，再代入面积公式转化为关于边长的一元函数，利用配方法或求导求最值.
考法5：已知面积求边长或代数式最值
例5.（2026·黄山·一模）（多选）是的最大内角，且，，则下列结论正确的是（ 　　）
A. 可能为锐角三角形
B. 的最大值为
C. 面积的最小值为
D. 的最小值为
【答案】BD
【思路】突破口在于处理三个正弦平方和等于2的等式，需利用降幂公式或将其中一个角替换为另外两角之和，通过三角恒等变换将其因式分解，从而判断出三角形的形状.确定为直角三角形后，利用两锐角互余的关系，将双变量代数式转化为单变量函数，再求最值.
【解析】对于A，由，则，即.∴，则，即.∵是的最大内角，则，∴，则，即.故为直角三角形，故A错误；对于B，∵，则，即.又，则，∴，则时，取得最大值为，故B正确；对于C，∵，，则面积为，故C错误；对于D，∵，则，即.又，则，∴，当且仅当，即时等号成立.则的最小值为.故选：BD.
【规律】遇到或类似结构，应立即联想到直角三角形的判定.证明过程常利用消去一个角，再通过展开、合并同类项提取公因式，最终化为连乘积等于0的形式.在直角三角形背景下求代数式最值，核心是利用互余关系消元.
【考点二 方法总结】
1. 已知一角及其对边求面积最大值是经典模型.通用步骤为：先求出该角的正余弦值，再写出余弦定理表达式，利用基本不等式放缩，求出两边乘积的最大值，最后代入面积公式得出结果.
2. 遇到齐次三角函数等式，优先考虑正弦定理化角为边.若推导出边长的平方和为定值，可将面积表示为两边乘积的解析式，再利用基本不等式求出乘积的最大值，从而求得面积的最值.
3. 处理四边形面积最值问题，核心思想是“分割与转化”.通常连接一条对角线，将四边形分为一个定三角形和一个动三角形.对于动三角形，若已知两边比例，可设出边长，利用余弦定理将夹角的余弦值表示出来，再代入面积公式转化为关于边长的一元函数，利用配方法或求导求最值.
4. 遇到三个正弦平方和等于2的等式，应立即联想到直角三角形的判定.证明过程常利用内角和定理消去一个角，再通过展开、合并同类项提取公因式.在直角三角形背景下求代数式最值，核心是利用互余关系消元.
考点三：长度问题
考法6：利用三角函数求线段长度范围
例6.（2026·湖南新高考·二模）如图所示，若，，点与分别在直线两侧，且，则长度的最大值为__．
【答案】
【思路】要求线段BD的最大值，考虑到D是动点且AD=DC=2，说明D在以AC为底的等腰三角形上运动.可引入变量角∠ACD，在△ACD中表示出AC，进而在直角△ABC中表示出BC.最后在△BCD中利用余弦定理将BD的平方表示为该角的三角函数，通过辅助角公式化简求最值.
【解析】设，利用余弦定理及三角恒等变换将表示为的函数，再利用正弦函数的性质求出最大值.在中，，设，则，.在中，，则.由余弦定理得.∵，则，故当，即时，，∴的最大值为.
【规律】处理含动点的几何图形线段最值问题，首选“引角化边”策略.选取合适的角作为自变量，利用解直角三角形或正余弦定理将相关线段表示为该角的三角函数，再利用余弦定理将目标线段的平方转化为的形式，最后用辅助角公式求最值.
考法7：利用基本不等式求线段长度最值
例7.（2025·黄冈·九月调研）已知的内角的对边分别为，其内切圆半径，则边长的最小值为___．
【答案】
【思路】题目给出了内切圆半径，应立即联想到等面积法，从而建立起a+b+c与ab的关系.同时利用余弦定理建立另一个关于a、b、c的关系式.通过消去c，得到关于a+b和ab的方程，再利用基本不等式转化为关于a+b的不等式，求出a+b的范围，进而求出c的最小值.
【解析】由，得.由，得①.由余弦定理有，则②，显然．由①+②整理得，解得或（舍去）.则，当时等号成立，则边长的最小值为.
【规律】涉及内切圆半径的问题，等面积法是必用工具.解题时常将视为一个整体，将转化为，配合余弦定理构造出关于与的方程组，最后利用基本不等式消去求极值.
考法8：特殊线段长度范围求解
例8.（2026·浙江县域·模拟）（多选）在等腰直角中，是边的中点，为斜边上的动点，则的可能值为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【思路】点E在已知线段上运动，可设出相关线段的长度作为自变量.在直角三角形中，利用余弦定理或勾股定理分别将AE和DE的平方表示为自变量的函数，从而将所求比值的平方转化为一个分式函数，通过求导分析其单调性，求出值域.
【解析】设，则.则由余弦定理，.经计算.设，则.令，得到.在上，函数单调递增，在上，函数单调递减；∴在内最大值为.又∵，，∴.∴，∴.
【规律】求两条动线段比值的范围，代数化是首选.通过建系或设未知数，将两条线段的平方表示为同一变量的二次式，其比值即为“二次比二次”的函数模型.处理此类函数求值域，常采用求导法或分离常数结合判别式法.
【考点三 方法总结】
1. 处理含动点的几何图形线段最值问题，首选“引角化边”策略.选取合适的角作为自变量，利用解直角三角形或正余弦定理将相关线段表示为该角的三角函数，再利用余弦定理将目标线段的平方转化为三角函数形式，最后用辅助角公式求最值.
2. 涉及内切圆半径的问题，等面积法是必用工具.解题时常将两边之和视为一个整体，将平方和转化为和的平方减去两倍乘积，配合余弦定理构造出关于和与积的方程组，最后利用基本不等式消去积求极值.
3. 求两条动线段比值的范围，代数化是首选.通过建系或设未知数，将两条线段的平方表示为同一变量的二次式，其比值即为“二次比二次”的函数模型.处理此类函数求值域，常采用求导法或分离常数结合判别式法.
考点四：转化为角范围问题
考法9：化边为角求三角函数式或代数式范围
例9.（2026·云学联盟·五月模拟）（多选）在锐角中,内角的对边分别为,满足.则（ 　　）
A. 的最大值为
B. 的最大值为
C. 的最大值为
D. 若,则的最小值为
【答案】ABC
【思路】已知条件为边长的平方关系，利用正弦定理化为角的正弦平方关系，再通过降幂公式与和差化积将其转化为关于角C和A-B的等式.利用锐角三角形的条件限制，求出角C的范围.对于选项B和C，利用积化和差公式将其转化为关于cosC的函数求最值；对于选项D，利用齐次式设比值转化为单变量函数分析.
【解析】由正弦定理，等价于.用降幂公式化简，整理得.和差化积，由，代入得：，化简得 ().由锐角三角形条件，三个角均小于，，故，推得，A正确.对于选项B由积化和差公式:，代入()得:.令，，显然单调递减.因此的取值范围是，B正确.对于选项C由积化和差公式:，代入等式(*)得.令，显然单调递减.因此的取值范围是，C正确.对于选项D由，令(锐角三角形条件,加余弦定理代入齐次后解不等式),则.令，由对勾函数性质,，故，即.因此，即，当且仅当即时等号成立.即的最大值为2,无最小值,D错误.
【规律】遇到边长平方和关系求角的范围，标准化流程为：正弦定理化边为角，降幂公式降次，和差化积提取公因式，结合余弦函数有界性及三角形内角限制解不等式.涉及两角正弦乘积或余弦乘积的最值时，积化和差公式是降维打击的利器.
【考点四 方法总结】
1. 遇到边长平方和关系求角的范围，标准化流程为：正弦定理化边为角，降幂公式降次，和差化积提取公因式，结合余弦函数有界性及三角形内角限制解不等式.
2. 涉及两角正弦乘积或余弦乘积的最值时，积化和差公式是降维打击的利器.
考点五：倍角问题
考法10：倍角条件下的最值与范围问题
例10.已知的内角的对边分别为．若，且为锐角，则的最小值为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【思路】已知角之间的倍数关系，目标代数式中含有边长比值.首先利用正弦定理将边长比化为正弦比，再利用及倍角公式将分子分母统一化为关于角B或角A的三角函数，化简后利用基本不等式求最值.
【解析】∵，∴，即，∴．∵为锐角∴，则，当且仅当，即时，等号成立.∴的最小值为．
【规律】处理含倍角关系的三角形问题，核心是“统一角”.利用倍角关系和内角和定理，将所有三角函数转化为单一角的表达式.化简过程中熟练运用二倍角公式和辅助角公式，结合正弦定理化简所求代数式，最终转化为单变量函数利用基本不等式求极值.
【考点五 方法总结】
1. 处理含倍角关系的三角形问题，核心是“统一角”.利用倍角关系和内角和定理，将所有三角函数转化为单一角的表达式.
2. 化简过程中熟练运用二倍角公式和辅助角公式，结合正弦定理化简所求代数式，最终转化为单变量函数利用基本不等式求极值.
考点六：角平分线与中线问题
考法11：角平分线相关最值与范围问题
例11.（2026·镇江·零模）已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，角的角平分线交于点，则线段的最大值为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【思路】先处理已知等式，利用正弦定理将边b化为sinB，结合内角和定理化简求出角C的大小.对于角平分线CD，利用等面积法建立CD与边a、b的关系式.再结合余弦定理求出a、b的约束条件，利用基本不等式求出CD的最大值.
【解析】即，∴，∴，∴，∴，，∴，∴.而，∴，，∴，∴.
【规律】角平分线长度问题的通法是“等面积法”，即大三角形面积等于两小三角形面积之和，由此可推导出角平分线长度公式.结合余弦定理将条件转化为关于两边之和与两边乘积的方程，利用基本不等式求最值.
考法12：中线相关最值与范围问题
例12.（2025·河南TOP·五月联考）记的内角的对边分别为,已知.
（1） 证明:;
（2） 若边上的中线长为,求的最大值.
【答案】（1） 证明见解析
（2） 4
【思路】（1） 证明不等式，可从余弦定理出发，利用基本不等式放缩得到边长关系，再利用正弦定理转化为角的正弦关系.（2） 遇到中线长，首选向量法，利用中线向量等于两边向量和的一半，平方后结合余弦定理转化为边长关系，再用基本不等式求极值.
【解析】（1） 证明:由余弦定理,得,故,即.由正弦定理可得,又,故,即.
（2） 解:设为的中点,则.两边平方有,即.故,即,当且仅当时等号成立,故的最大值为4.
【规律】处理中线长度问题，最简捷的方法是向量平方法：中线向量等于两边向量和的一半，两边平方直接得到中线长与两边及夹角的关系式.随后结合基本不等式即可求出相关最值.
【考点六 方法总结】
1. 角平分线长度问题的通法是“等面积法”，即大三角形面积等于两小三角形面积之和，由此可推导出角平分线长度公式.结合余弦定理将条件转化为关于两边之和与两边乘积的方程，利用基本不等式求最值.
2. 处理中线长度问题，最简捷的方法是向量平方法：中线向量等于两边向量和的一半，两边平方直接得到中线长与两边及夹角的关系式.随后结合基本不等式即可求出相关最值.
考点七：四心问题
考法13：三角形四心相关最值与范围问题
例13.设(是坐标原点)的重心、内心分别是，且，若，则的最小值是＿＿＿＿＿＿．
【答案】
【思路】题目涉及重心和内心，且给出了平行关系.重心的纵坐标与三角形顶点的纵坐标有关，内心的纵坐标即为内切圆半径.利用平行条件推导出顶点坐标与内切圆半径的关系，结合等面积法得出两边之和为定值，最后利用余弦定理和基本不等式求余弦值的最小值.
【解析】∵重心、内心分别是，且，∴，(为内切圆的半径).又.且.解得.∴.当且仅当时，即为等边三角形有最小值.
【规律】四心问题常结合坐标系考查.重心的坐标是三个顶点坐标的算术平均数.内心到三边的距离相等（即内切圆半径），常结合等面积法使用.挖掘出边长关系后，代入余弦定理转化为基本不等式求极值.
【考点七 方法总结】
1. 四心问题常结合坐标系考查.重心的坐标是三个顶点坐标的算术平均数.
2. 内心到三边的距离相等（即内切圆半径），常结合等面积法使用.挖掘出边长关系后，代入余弦定理转化为基本不等式求极值.
考点八：坐标法与隐圆问题
考法14：建系法与代数式几何意义求最值
例14.（2026·温州·二模）已知的内角，，所对的边分别为，，，且．
（1） 求；
（2） 若，点在上，直线上一点满足，在点和点的变化过程中，
（ⅰ）求的最小值；
（ⅱ）当最小时，求的值．
【答案】（1）
（2） （i） （ii）
【思路】（1） 利用内角和定理化简左侧，再用正弦定理将左侧化为边长，结合余弦定理化简得出b、a、c的关系，求出角B.（2） 向量等式化简可得DB⊥CP，即PB⊥PC.由于涉及多个动点和垂直关系，建立平面直角坐标系，将几何条件转化为动点坐标满足的方程，再将所求代数式转化为坐标的函数，通过配方求最值.
【解析】（1） 在中，∵，∴，代入得到.由正弦定理得，由余弦定理得，化简得.又，，∴.
（2） （i）∵，∴，∴.如图，建立平面直角坐标系，此时，，设，.∵，∴.设，代入得，整理得，解得，当且仅当取得等号.又∵，当且仅当取得等号，∴的最小值为.（ii）此时，∴直线，，∴直线.联立，解得，∴.
【规律】当题目中出现多个动点、垂直关系或求距离平方和的最值时，建系坐标法是降维打击的有效手段.将几何条件转化为代数方程，利用二次函数的配方法或不等式求极值，可避免复杂的纯几何推理.
考法15：隐圆模型求最值
例15.在平面四边形中，连接对角线，已知，，，，则对角线的最大值为（ 　　）
A. 27 B. 16 C. 10 D. 25
【答案】A
【思路】已知定线段BD的长度及其对角A的正弦值，这暗示点A的轨迹是定弦定角模型，即点A在一个圆弧上运动.建立直角坐标系，利用正弦定理求出圆的半径，确定圆心坐标.随后将求AC的最大值转化为圆上动点到定点C的距离最大值问题，利用圆的几何性质求解.
【解析】以为坐标原点，分别为轴建立如图所示直角坐标系，则.∵，，∴由平面几何知识得点轨迹为圆弧(因为为平面四边形，所以取图中第四象限部分的圆弧).设圆心为，则由正弦定理可得圆半径为，∴.因此对角线的最大值为，故选：A.
【规律】识别隐圆模型的关键信号：“定弦定角”（对应正弦定理求外接圆半径）、“动点到两定点距离平方和为定值”（对应阿波罗尼斯圆）或“直角对直径”.确定圆心和半径后，动点到定点的距离最值问题直接转化为定点与圆心距离加减半径.
【考点八 方法总结】
1. 当题目中出现多个动点、垂直关系或求距离平方和的最值时，建系坐标法是降维打击的有效手段.将几何条件转化为代数方程，利用二次函数的配方法或不等式求极值，可避免复杂的纯几何推理.
2. 识别隐圆模型的关键信号：“定弦定角”（对应正弦定理求外接圆半径）、“动点到两定点距离平方和为定值”（对应阿波罗尼斯圆）或“直角对直径”.确定圆心和半径后，动点到定点的距离最值问题直接转化为定点与圆心距离加减半径.
考点九：两边夹与正切最值问题
考法16：两边夹角关系求最值与范围
例16.（2026·山师附中·三月检测）在中，角的对边分别为，已知.
（1） 求证：；
（2） 若是锐角三角形，求的取值范围.
【答案】（1） 证明见解析
（2）
【思路】（1） 将已知等式化为，利用正弦定理化边为角，结合三角恒等变换证明角的关系.（2） 利用正弦定理将边长比转化为角的正弦比，再利用倍角公式化简为关于角B的函数.同时利用余弦定理将cosB表示为边长比，结合锐角三角形的条件求出cosB的范围，最终解出比值的范围.
【解析】（1） 证明：由得，由正弦定理得，即.∴，∵，∴.∵，∴或(舍去)，∴.
（2） 由（1）知，.由得，即，∴.∵是锐角三角形，∴，即，∴，∴，∴.∴，∴，解得或（舍去）.∴，∴.
【规律】求边长比值的范围，核心是“统一变量”.利用正余弦定理将比值转化为单一角的三角函数，或者将三角函数转化为边长比的代数式.处理锐角三角形条件时，必须列出三个内角均小于90度的不等式组，求出核心变量的精确范围.
考法17：化简为正切函数求最值与范围
例17.（2025·衡水·三月联考）记锐角内角的对边分别为，且.
（1） 证明：；
（2） 求的最大值.
【答案】（1） 证明见解析
（2）
【思路】（1） 看到边角混合等式，首选正弦定理化为纯角关系.利用倍角公式和和差化积公式化简，提取公因式完成证明.（2） 将第一问的结论两边同除以cosC，构造出正切函数的和式，再利用基本不等式求出正切乘积的最大值.
【解析】（1） 由正弦定理可得，，且.故，即.而均不为0，故.
（2） 由，知.易知，同理可得.故.由于为锐角三角形，∴，即，当且仅当时取等；故的最大值为1.
【规律】遇到证明或化简分式型三角恒等式，常通过通分或同除以某个余弦值构造正切函数.在锐角三角形中，正切值均为正，极易与基本不等式结合求最值.熟记结论：在非直角三角形中，三个内角的正切值之和等于它们的乘积.
【考点九 方法总结】
1. 求边长比值的范围，核心是“统一变量”.利用正余弦定理将比值转化为单一角的三角函数，或者将三角函数转化为边长比的代数式.处理锐角三角形条件时，必须列出三个内角均小于90度的不等式组，求出核心变量的精确范围.
2. 遇到证明或化简分式型三角恒等式，常通过通分或同除以某个余弦值构造正切函数.在锐角三角形中，正切值均为正，极易与基本不等式结合求最值.熟记结论：在非直角三角形中，三个内角的正切值之和等于它们的乘积.
考点十：最大角与特殊点问题
考法18：最大角问题
例18.（2026·合肥·一模）记的内角，，的对边分别为，，，已知.
（1） 求；
（2） 求内角的最大值.
【答案】（1）
（2）
【思路】（1） 利用内角和定理将cos(B+C)化为-cosA，再用正弦定理将边化为角，展开化简求出角A.（2） 根据第一问推导出的边角关系，利用余弦定理将cosC表示为边长a、b的函数，再利用基本不等式求出cosC的最小值，从而得到角C的最大值.
【解析】（1） ∵，∴.由正弦定理得，∴，即，∴.∵，∴，∴，∴.∵，∴，∴.又∵，∴，∴，∴.∵，∴，∴，∴，∴是钝角三角形.
（2） 由（1）知，∴.∴，当且仅当时，即时，等号成立.∴的最小值为，即内角的最大值为.
【规律】求某个角的最大值，通常转化为求该角余弦值的最小值.利用余弦定理将余弦值表示为边长的齐次分式，再利用基本不等式求极值.注意检验等号成立的条件是否满足三角形的构成要求.
考法19：新定义几何问题求解
例19.（2026·金科联考·二月联考）德国数学家克雷尔于1816年发现了三角形的布洛卡点，法国军官布洛卡于1875年将此特殊点重新发现，并以他的名字命名至今.已知任意的内部必存在点，使得(或)，则称为的布洛卡点，(或)称为布洛卡角.一般地，对于任意三角形均有两个布洛卡点及两个布洛卡角，当三角形为正三角形时，两个布洛卡点重合，且两个布洛卡角相等.已知点为的一个布洛卡点，且.则＿＿＿＿＿＿；当，且时，的面积的最大值为＿＿＿＿＿＿.
【答案】；
【思路】第一空根据新定义中角的相等关系，利用三角形内角和定理进行角度代换即可得出.第二空在两个小三角形中分别使用正弦定理，通过作商消去公共变量，推导出边长之间的比例关系，再结合余弦定理和基本不等式求出面积的最大值.
【解析】∵点为的一个布洛卡点，且，∴.即，故应填(或)；同理可知.不妨记，在中，由正弦定理得①.在中，由正弦定理得②.由①②两式作商，可得，∴，即.在中，由余弦定理得，又，故，∴，∴，即.∴的面积，易知当时取等号，即的面积最大值为1.
【规律】面对新定义几何题，首先要“翻译”新定义，将其转化为熟悉的边角关系.在处理三角形内部特殊点时，常在分割出的小三角形中反复使用正弦定理，通过公共边或相等的角作商，建立起大三角形边长之间的联系.
【考点十 方法总结】
1. 求某个角的最大值，通常转化为求该角余弦值的最小值.利用余弦定理将余弦值表示为边长的齐次分式，再利用基本不等式求极值.注意检验等号成立的条件是否满足三角形的构成要求.
2. 面对新定义几何题，首先要“翻译”新定义，将其转化为熟悉的边角关系.在处理三角形内部特殊点时，常在分割出的小三角形中反复使用正弦定理，通过公共边或相等的角作商，建立起大三角形边长之间的联系.
考点十一：托勒密定理、旋转相似与等面积法
考法20：托勒密定理与旋转相似应用
例20.托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和. 其意思为：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积. 从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质. 已知四边形的四个顶点在同一个圆的圆周上，、是其两条对角线，，且为正三角形，则四边形的面积为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【思路】题目直接给出了托勒密定理的内容，提示利用该定理破题.设正三角形的边长为a，代入定理公式可将对角线BD转化为四边形两边之和.再利用圆内接四边形的性质（同弧所对圆周角相等）确定角度，最后将四边形面积拆分为两个三角形面积之和求解.
【解析】设，由托勒密定理可知，即，∴.又∵，，因此，.故选：C.
【规律】圆内接四边形问题中，若已知对角线和对边关系，直接套用托勒密定理可大幅简化运算.同时，圆内接四边形隐含着“对角互补”和“同弧所对圆周角相等”两大核心性质，常用于面积的转化与计算.
考法21：等面积法与张角定理应用
例21.（2025·三新联盟·五月模拟）在中，内角所对的边分别为.若，为边上的点，且，，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【思路】已知大三角形的两边及夹角，且内部引出一条线段将夹角分为两个已知角，求该线段长度.最直接的方法是利用等面积法，即大三角形面积等于两个小三角形面积之和，列出关于未知线段长度的方程即可求解.
【解析】∵，，∴.由题意知，即，解得.
【规律】凡是涉及三角形内部一条射线分顶角为两部分，求该射线段长度的问题，首选“等面积法”构建方程.若题目未给出具体边长，也可推导出张角定理公式直接代入数据秒杀.
【考点十一 方法总结】
1. 圆内接四边形问题中，若已知对角线和对边关系，直接套用托勒密定理可大幅简化运算.同时，圆内接四边形隐含着“对角互补”和“同弧所对圆周角相等”两大核心性质，常用于面积的转化与计算.
2. 凡是涉及三角形内部一条射线分顶角为两部分，求该射线段长度的问题，首选“等面积法”构建方程.若题目未给出具体边长，也可推导出张角定理公式直接代入数据秒杀.
考点十二：平方问题与基本不等式综合
考法22：平方和问题与基本不等式综合
例22.（2024·吉安六校·五月联考）已知的三个内角所对的边分别为，且，则的最小值为＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【思路】已知条件是关于三边平方的齐次等式，目标是求角A余弦值的最小值.自然想到利用余弦定理将cosA表示为三边的代数式，然后代入已知条件消去a的平方，化简后得到关于b和c的齐次分式，利用基本不等式求出最小值.
【解析】由题意可得，由余弦定理可得.∵，∴，∴.∴根据基本不等式，当且仅当，即时等号成立.故答案为：.
【规律】处理边长平方和的齐次等式求余弦最值问题，核心步骤是：第一步，用余弦定理写出目标角的表达式；第二步，将已知条件代入消去对边；第三步，分离常数化为对勾函数的形式；第四步，利用基本不等式求极值.
【考点十二 方法总结】
1. 处理边长平方和的齐次等式求余弦最值问题，核心步骤是：第一步，用余弦定理写出目标角的表达式；第二步，将已知条件代入消去对边；第三步，分离常数化为对勾函数的形式；第四步，利用基本不等式求极值.
四、高考真题
1.（2024·全国一卷）记内角、、的对边分别为，，，已知，．
（1）求；
（2）若的面积为，求．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由余弦定理有，对比已知，可得.∵，∴，从而.又∵，即，注意到，∴.（2）由（1）可得，，，从而，.而.由正弦定理有，从而，.由三角形面积公式可知，的面积可表示为.由已知的面积为，可得，∴.
2.（2025·全国一卷）（多选）已知的面积为，若，则（ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】ABC
【解析】对于A选项，，由二倍角公式，，整理可得，，A选项正确.由诱导公式，，展开可得，即.若，则可知等式成立.若，即，由诱导公式和正弦函数的单调性可知，，同理，又，于是，与条件不符，则不成立.若，类似可推导出，则不成立.综上讨论可知，，即.由，由，则，即，则，同理.注意到是锐角，则，不妨设，则，即.由两角和差的正弦公式可知，C选项正确.设，则，由，则，则，于是，B选项正确.由勾股定理可知，，D选项错误.故选ABC.
3.（2026·全国一卷）已知在中，，，．
（1）求；
（2）设，两点满足：在的延长线上，，．若，求．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）在中，由余弦定理得：.∴.∵，∴为等腰三角形，.∴.（2）∵，∴，.又，∴，∴为等腰三角形，.过点作于点，则.在中，，∴.∴.∵，∴.在中，由勾股定理得：.
4.（2025·全国一卷）如图所示的四棱锥中，平面，，．
（1）证明：平面平面；
（2），，，，在同一个球面上，设该球面的球心为．
（i）证明：在平面上；
（ii）求直线与直线所成角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）（i）证明见解析；（ii）.
【解析】（1）在四棱锥中，平面，，平面，平面，∴，.∵平面，平面，，∴平面.∵平面，∴平面平面.（2）（i）∵，，，在同一个球面上，∴球心到四个点的距离相等.在中，到三角形三点距离相等的点是该三角形的外心，作出和的垂直平分线.由几何知识得，，，，.∴，∴点是的外心.在中，，，由勾股定理得，.∴，∴点即为点，，，所在球的球心.此时点在线段上，平面，∴点在平面上.（ii）由几何知识得，，，，∴.在中，，，由勾股定理得，.过点作的平行线，交的延长线为，连接，，则，直线与直线所成角即为中或其补角.∵平面，平面，，∴.在中，，，由勾股定理得，.在中，，由勾股定理得，.在中，由余弦定理得，，即，解得.∴直线与直线所成角的余弦值为.
第 2 页，共 17 页第31讲 三角形中最值与范围 · 讲义
一、考情分析 1
二、知识清单 2
三、典题精练 3
考点一：周长问题 3
考点二：面积问题 3
考点三：长度问题 4
考点四：转化为角范围问题 5
考点五：倍角问题 6
考点六：角平分线与中线问题 6
考点七：四心问题 7
考点八：坐标法与隐圆问题 7
考点九：两边夹与正切最值问题 8
考点十：最大角与特殊点问题 8
考点十一：托勒密定理、旋转相似与等面积法 9
考点十二：平方问题与基本不等式综合 10
四、高考真题 10
一、考情分析
1. 考查频次与题型
年份 题号与题型 分值 考察类型 考察内容
2024 第15题 解答 13分 直接 利用正余弦定理与面积公式解三角形
2025 第11题 多选 6分 直接 三角恒等变换与正余弦定理的综合应用
2025 第17题 解答 15分 间接 在立体几何中利用余弦定理求解三角形边长与夹角
2026 第16题 解答 15分 直接 利用正余弦定理求解平面几何图形中的线段长度
近三年全国一卷对解三角形相关知识的考查较为稳定，每年均有涉及.考查形式多样，既有作为独立解答题直接考查边角计算与线段长度，也有在多选题中考查综合判定，同时常作为核心工具在立体几何解答题中进行间接考查.
2. 命题角度与特色
（1） 核心考点：重点考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式的综合应用，常与三角恒等变换（如降幂公式、和差化积等）深度结合.
（2） 命题趋势：命题逐渐摆脱单一的“套公式”模式，更加强调几何直观与代数变形的结合.常在多选题中考查边角关系的综合判断，或在解答题中结合平面几何图形（如平行线、垂线等）考查特定线段长度的计算.
（3） 试题特点：对代数变形能力要求较高，要求考生能在复杂的三角函数等式中敏锐地捕捉到边角转化的契机；同时注重知识交汇，要求考生具备在立体几何等复杂背景下剥离出基本三角形模型进行求解的能力.
3. 备考策略
（1） 熟练掌握正弦定理、余弦定理及面积公式，能够根据已知条件灵活选择“化角为边”或“化边为角”的解题策略.
（2） 强化三角恒等变换的基本功，特别是二倍角公式、诱导公式及两角和差公式在解三角形中的应用，提升代数式的化简与变形能力.
（3） 重视平面几何基本定理（如勾股定理、等腰三角形性质、圆的性质等）的复习，刻意培养在复杂图形中添加辅助线、构造直角三角形或基本解三角形模型的能力.
二、知识清单
1. 在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点.解决这类问题，通常有下列五种解题技巧：
（1） 利用基本不等式求范围或最值.
（2） 利用三角函数求范围或最值.
（3） 利用三角形中的不等关系求范围或最值.
（4） 根据三角形解的个数求范围或最值.
（5） 利用二次函数求范围或最值.
2. 解三角形中的范围与最值问题常见题型：
（1） 求角的最值.
（2） 求边和周长的最值及范围.
（3） 求面积的最值和范围.
3. 解三角形中最值与范围问题的必备基础知识：
（1） 三角形内角和定理及其推论：
① .
② ，，（当 时）.
③ ，.
（2） 三角形边角关系定理：
① 正弦定理：（ 为 外接圆半径）.
② 余弦定理：，.
③ 大边对大角：在 中，.
（3） 三角形面积公式：
① .
② （ 为 内切圆半径）.
4. 求最值与范围常用的代数与三角工具：
（1） 基本不等式：，（），当且仅当 时等号成立.在求面积最大值或周长最小值时常用于边长的放缩.
（2） 辅助角公式：（其中 ），常用于将双变量三角函数化为单变量三角函数求最值.
（3） 三角函数的有界性：，.结合角的实际范围，可确定三角函数值的具体取值区间.
三、典题精练
考点一：周长问题
考法1：求周长最值与范围
例1.（2026·A10联盟·模拟）在锐角中，角所对的边分别为，且，，则的取值范围为（ 　　）
A. B. C. D.
【考点一 方法总结】
1. 利用基本不等式和三角函数有界性求出边角，再结合正弦定理将边转化为角求范围.处理含参或多变量的等式时，若一边有界（如正余弦函数），另一边可通过基本不等式或配方求极值，常利用“恰好取等”的极端情况破题.
2. 利用正弦定理和余弦定理将角化边，结合基本不等式及三角形两边之和大于第三边求范围.
3. 求范围时，务必注意“锐角三角形”这一隐含条件对三个内角的双重限制.
考点二：面积问题
考法2：利用基本不等式求面积最值
例2.（2025·萍乡·二模）在中，内角所对的边分别为，若，，则面积的最大值为（ 　　）
A. B. C. D.
考法3：利用三角函数求面积最值
例3.（2026·郑州四中·适应考试）在中，，，则的面积的最大值为（ 　　）
A. B. C. D.
考法4：结合向量与四边形求面积最值
例4.（2025·福九联盟·五月联考）在平面四边形中（在直线的两侧），，．
（1） 若，，求；
（2） 若，求四边形的面积的最大值．
考法5：已知面积求边长或代数式最值
例5.（2026·黄山·一模）（多选）是的最大内角，且，，则下列结论正确的是（ 　　）
A. 可能为锐角三角形
B. 的最大值为
C. 面积的最小值为
D. 的最小值为
【考点二 方法总结】
1. 已知一角及其对边求面积最大值是经典模型.通用步骤为：先求出该角的正余弦值，再写出余弦定理表达式，利用基本不等式放缩，求出两边乘积的最大值，最后代入面积公式得出结果.
2. 遇到齐次三角函数等式，优先考虑正弦定理化角为边.若推导出边长的平方和为定值，可将面积表示为两边乘积的解析式，再利用基本不等式求出乘积的最大值，从而求得面积的最值.
3. 处理四边形面积最值问题，核心思想是“分割与转化”.通常连接一条对角线，将四边形分为一个定三角形和一个动三角形.对于动三角形，若已知两边比例，可设出边长，利用余弦定理将夹角的余弦值表示出来，再代入面积公式转化为关于边长的一元函数，利用配方法或求导求最值.
4. 遇到三个正弦平方和等于2的等式，应立即联想到直角三角形的判定.证明过程常利用内角和定理消去一个角，再通过展开、合并同类项提取公因式.在直角三角形背景下求代数式最值，核心是利用互余关系消元.
考点三：长度问题
考法6：利用三角函数求线段长度范围
例6.（2026·湖南新高考·二模）如图所示，若，，点与分别在直线两侧，且，则长度的最大值为__．
考法7：利用基本不等式求线段长度最值
例7.（2025·黄冈·九月调研）已知的内角的对边分别为，其内切圆半径，则边长的最小值为___．
考法8：特殊线段长度范围求解
例8.（2026·浙江县域·模拟）（多选）在等腰直角中，是边的中点，为斜边上的动点，则的可能值为（ 　　）
A. B. C. D.
【考点三 方法总结】
1. 处理含动点的几何图形线段最值问题，首选“引角化边”策略.选取合适的角作为自变量，利用解直角三角形或正余弦定理将相关线段表示为该角的三角函数，再利用余弦定理将目标线段的平方转化为三角函数形式，最后用辅助角公式求最值.
2. 涉及内切圆半径的问题，等面积法是必用工具.解题时常将两边之和视为一个整体，将平方和转化为和的平方减去两倍乘积，配合余弦定理构造出关于和与积的方程组，最后利用基本不等式消去积求极值.
3. 求两条动线段比值的范围，代数化是首选.通过建系或设未知数，将两条线段的平方表示为同一变量的二次式，其比值即为“二次比二次”的函数模型.处理此类函数求值域，常采用求导法或分离常数结合判别式法.
考点四：转化为角范围问题
考法9：化边为角求三角函数式或代数式范围
例9.（2026·云学联盟·五月模拟）（多选）在锐角中,内角的对边分别为,满足.则（ 　　）
A. 的最大值为
B. 的最大值为
C. 的最大值为
D. 若,则的最小值为
【考点四 方法总结】
1. 遇到边长平方和关系求角的范围，标准化流程为：正弦定理化边为角，降幂公式降次，和差化积提取公因式，结合余弦函数有界性及三角形内角限制解不等式.
2. 涉及两角正弦乘积或余弦乘积的最值时，积化和差公式是降维打击的利器.
考点五：倍角问题
考法10：倍角条件下的最值与范围问题
例10.已知的内角的对边分别为．若，且为锐角，则的最小值为（ 　　）
A. B. C. D.
【考点五 方法总结】
1. 处理含倍角关系的三角形问题，核心是“统一角”.利用倍角关系和内角和定理，将所有三角函数转化为单一角的表达式.
2. 化简过程中熟练运用二倍角公式和辅助角公式，结合正弦定理化简所求代数式，最终转化为单变量函数利用基本不等式求极值.
考点六：角平分线与中线问题
考法11：角平分线相关最值与范围问题
例11.（2026·镇江·零模）已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，角的角平分线交于点，则线段的最大值为（ 　　）
A. B. C. D.
考法12：中线相关最值与范围问题
例12.（2025·河南TOP·五月联考）记的内角的对边分别为,已知.
（1） 证明:;
（2） 若边上的中线长为,求的最大值.
【考点六 方法总结】
1. 角平分线长度问题的通法是“等面积法”，即大三角形面积等于两小三角形面积之和，由此可推导出角平分线长度公式.结合余弦定理将条件转化为关于两边之和与两边乘积的方程，利用基本不等式求最值.
2. 处理中线长度问题，最简捷的方法是向量平方法：中线向量等于两边向量和的一半，两边平方直接得到中线长与两边及夹角的关系式.随后结合基本不等式即可求出相关最值.
考点七：四心问题
考法13：三角形四心相关最值与范围问题
例13.设(是坐标原点)的重心、内心分别是，且，若，则的最小值是＿＿＿＿＿＿．
【考点七 方法总结】
1. 四心问题常结合坐标系考查.重心的坐标是三个顶点坐标的算术平均数.
2. 内心到三边的距离相等（即内切圆半径），常结合等面积法使用.挖掘出边长关系后，代入余弦定理转化为基本不等式求极值.
考点八：坐标法与隐圆问题
考法14：建系法与代数式几何意义求最值
例14.（2026·温州·二模）已知的内角，，所对的边分别为，，，且．
（1） 求；
（2） 若，点在上，直线上一点满足，在点和点的变化过程中，
（ⅰ）求的最小值；
（ⅱ）当最小时，求的值．
考法15：隐圆模型求最值
例15.在平面四边形中，连接对角线，已知，，，，则对角线的最大值为（ 　　）
A. 27 B. 16 C. 10 D. 25
【考点八 方法总结】
1. 当题目中出现多个动点、垂直关系或求距离平方和的最值时，建系坐标法是降维打击的有效手段.将几何条件转化为代数方程，利用二次函数的配方法或不等式求极值，可避免复杂的纯几何推理.
2. 识别隐圆模型的关键信号：“定弦定角”（对应正弦定理求外接圆半径）、“动点到两定点距离平方和为定值”（对应阿波罗尼斯圆）或“直角对直径”.确定圆心和半径后，动点到定点的距离最值问题直接转化为定点与圆心距离加减半径.
考点九：两边夹与正切最值问题
考法16：两边夹角关系求最值与范围
例16.（2026·山师附中·三月检测）在中，角的对边分别为，已知.
（1） 求证：；
（2） 若是锐角三角形，求的取值范围.
考法17：化简为正切函数求最值与范围
例17.（2025·衡水·三月联考）记锐角内角的对边分别为，且.
（1） 证明：；
（2） 求的最大值.
【考点九 方法总结】
1. 求边长比值的范围，核心是“统一变量”.利用正余弦定理将比值转化为单一角的三角函数，或者将三角函数转化为边长比的代数式.处理锐角三角形条件时，必须列出三个内角均小于90度的不等式组，求出核心变量的精确范围.
2. 遇到证明或化简分式型三角恒等式，常通过通分或同除以某个余弦值构造正切函数.在锐角三角形中，正切值均为正，极易与基本不等式结合求最值.熟记结论：在非直角三角形中，三个内角的正切值之和等于它们的乘积.
考点十：最大角与特殊点问题
考法18：最大角问题
例18.（2026·合肥·一模）记的内角，，的对边分别为，，，已知.
（1） 求；
（2） 求内角的最大值.
考法19：新定义几何问题求解
例19.（2026·金科联考·二月联考）德国数学家克雷尔于1816年发现了三角形的布洛卡点，法国军官布洛卡于1875年将此特殊点重新发现，并以他的名字命名至今.已知任意的内部必存在点，使得(或)，则称为的布洛卡点，(或)称为布洛卡角.一般地，对于任意三角形均有两个布洛卡点及两个布洛卡角，当三角形为正三角形时，两个布洛卡点重合，且两个布洛卡角相等.已知点为的一个布洛卡点，且.则＿＿＿＿＿＿；当，且时，的面积的最大值为＿＿＿＿＿＿.
【考点十 方法总结】
1. 求某个角的最大值，通常转化为求该角余弦值的最小值.利用余弦定理将余弦值表示为边长的齐次分式，再利用基本不等式求极值.注意检验等号成立的条件是否满足三角形的构成要求.
2. 面对新定义几何题，首先要“翻译”新定义，将其转化为熟悉的边角关系.在处理三角形内部特殊点时，常在分割出的小三角形中反复使用正弦定理，通过公共边或相等的角作商，建立起大三角形边长之间的联系.
考点十一：托勒密定理、旋转相似与等面积法
考法20：托勒密定理与旋转相似应用
例20.托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和. 其意思为：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积. 从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质. 已知四边形的四个顶点在同一个圆的圆周上，、是其两条对角线，，且为正三角形，则四边形的面积为（ 　　）
A. B. C. D.
考法21：等面积法与张角定理应用
例21.（2025·三新联盟·五月模拟）在中，内角所对的边分别为.若，为边上的点，且，，则（ 　　）
A. B. C. D.
【考点十一 方法总结】
1. 圆内接四边形问题中，若已知对角线和对边关系，直接套用托勒密定理可大幅简化运算.同时，圆内接四边形隐含着“对角互补”和“同弧所对圆周角相等”两大核心性质，常用于面积的转化与计算.
2. 凡是涉及三角形内部一条射线分顶角为两部分，求该射线段长度的问题，首选“等面积法”构建方程.若题目未给出具体边长，也可推导出张角定理公式直接代入数据秒杀.
考点十二：平方问题与基本不等式综合
考法22：平方和问题与基本不等式综合
例22.（2024·吉安六校·五月联考）已知的三个内角所对的边分别为，且，则的最小值为＿＿＿＿＿＿.
【考点十二 方法总结】
1. 处理边长平方和的齐次等式求余弦最值问题，核心步骤是：第一步，用余弦定理写出目标角的表达式；第二步，将已知条件代入消去对边；第三步，分离常数化为对勾函数的形式；第四步，利用基本不等式求极值.
四、高考真题
1.（2024·全国一卷）记内角、、的对边分别为，，，已知，．
（1）求；
（2）若的面积为，求．
2.（2025·全国一卷）（多选）已知的面积为，若，则（ 　　）
A.
B.
C.
D.
3.（2026·全国一卷）已知在中，，，．
（1）求；
（2）设，两点满足：在的延长线上，，．若，求．
4.（2025·全国一卷）如图所示的四棱锥中，平面，，．
（1）证明：平面平面；
（2），，，，在同一个球面上，设该球面的球心为．
（i）证明：在平面上；
（ii）求直线与直线所成角的余弦值．
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