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第32讲 平面向量的概念与坐标运算 · 讲义（解析卷）
一、考情分析 1
二、知识清单 1
三、典题精讲 5
考点一：平面向量的基本概念 5
考点二：平面向量的线性表示 6
考点三：平面向量共线定理的应用 9
考点四：平面向量基本定理及应用 9
考点五：平面向量的直角坐标运算 12
考点六：向量共线的坐标表示 14
考点七：平面向量的新定义问题 16
四、高考真题 17
一、考情分析
1. 考查频次与题型
年份 题号与题型 分值 考察类型 考察内容
2026 第2题 单选题 5分 直接 平面向量基本定理
2025 第6题 单选题 5分 直接 向量的加减法运算及几何意义
2024 第3题 单选题 5分 直接 向量的坐标运算与垂直条件
近三年全国一卷中，平面向量的概念与坐标运算每年均有考查，题型均为单选题，分值为5分。考查内容涵盖了平面向量基本定理、向量的线性运算及其几何意义、向量的坐标运算与垂直条件，属于基础题。
2. 命题角度与特色
（1） 侧重基础与概念：主要考查向量的线性运算、坐标表示以及共线、垂直的充要条件，难度较低。
（2） 注重几何直观与实际情境：如2025年结合帆船比赛的实际情境，考查向量加减法的几何意义及模长计算，强调数学知识的实际应用能力。
3. 备考策略
（1） 熟练掌握平面向量的加减法、数乘运算的几何意义及坐标运算法则，确保基础运算零失误。
（2） 牢记向量共线与垂直的坐标表示公式，能够熟练进行代数与几何的相互转化。
（3） 深刻理解平面向量基本定理，能够利用基底准确表示未知向量，并能结合实际情境构建向量模型解决问题。
二、知识清单
1. 向量的有关概念
（1） 定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）.
（2） 向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，记作.
（3） 特殊向量：
① 零向量：长度为的向量，其方向是任意的.
② 单位向量：长度等于个单位的向量.
③ 平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共线向量.规定：与任一向量平行.
④ 相等向量：长度相等且方向相同的向量.
⑤ 相反向量：长度相等且方向相反的向量.
2. 向量的线性运算和向量共线定理
（1） 向量的线性运算
运算 定义 法则（或几何意义） 运算律
加法 求两个向量和的运算 三角形法则平行四边形法则 ①交换律 ②结合律
减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差 三角形法则
数乘 求实数与向量的积的运算 （1） （2） 当时，与的方向相同；当时，与的方向相反； 当时，
【易错提醒】
（1） 向量表达式中的零向量写成，而不能写成.
（2） 两个向量共线要区别于两条直线共线，两个向量共线满足的条件是：两个向量所在直线平行或重合，而在直线中，两条直线重合与平行是两种不同的关系.
（3） 要注意三角形法则和平行四边形法则适用的条件，运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合，和向量与差向量分别是平行四边形的两条对角线所对应的向量；运用三角形法则时两个向量必须首尾相接，否则就要把向量进行平移，使之符合条件.
（4） 向量加法和减法几何运算应该更广泛、灵活如：，，.
3. 平面向量基本定理和性质
（1） 共线向量基本定理
如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使.（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）.
（2） 平面向量基本定理
如果和是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量，都存在唯一的一对实数，使得，我们把不共线向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为，叫做向量关于基底的分解式.
① 推论1：若，则.
② 推论2：若，则.
【易错提醒】 由平面向量基本定理可知：只要向量与不共线，平面内的任一向量都可以分解成形如的形式，并且这样的分解是唯一的.叫做的一个线性组合.平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础.
（3） 线段定比分点的向量表达式
在中，若点是边上的点，且，则向量.在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌握.
（4） 三点共线定理
平面内三点共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点.此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握.
三点共线等价于以下任一条件：
① 存在唯一的实数，使得；
② 存在唯一的实数，使得；
③ 存在唯一的实数，使得；
④ 存在，使得.
（5） 中线向量定理
在中，若点是边的中点，则中线向量，反之亦正确.
4. 平面向量的数量积与投影
（1） 向量的夹角：已知两个非零向量和，作，，则叫做向量与的夹角.当时，两向量同向；当时，两向量反向；当时，两向量垂直，记作.
（2） 数量积的定义：已知两个非零向量和，它们的夹角为，则数量叫做与的数量积（或内积），记作，即.规定：零向量与任一向量的数量积为.
（3） 投影：
① 投影量（数量投影）：叫做向量在向量上的投影量，计算公式为.
② 投影向量：向量在向量上的投影向量为.
（4） 数量积的性质：
① 或.
② 若为非零向量，则.
③ （当且仅当时等号成立）.
（5） 数量积的运算律：
① 交换律：.
② 数乘结合律：.
③ 分配律：.
5. 平面向量的坐标表示及坐标运算
（1） 平面向量的坐标表示
在平面直角坐标中，分别取与轴，轴正半轴方向相同的两个单位向量作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数使，我们把有序实数对叫做向量的坐标，记作.
（2） 向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有
向量 向量 点.
（3） 设，，则，，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.
若，为实数，则，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标.
（4） 设，，则，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标.
6. 平面向量的直角坐标运算
（1） 已知点，，则，.
（2） 已知，，则：
① 线性运算：，.
② 数量积：.
③ 模长：.
④ 夹角公式：.
⑤ 共线与垂直的充要条件：
；
（为非零向量）.
【防坑警示】
（1） 向量的数量积不满足结合律，即，因为前者是与共线的向量，后者是与共线的向量.
（2） 由且，不能推出，只能推出.
（3） 向量的模满足三角不等式：，当且仅当共线时等号成立.
三、典题精讲
考点一：平面向量的基本概念
考法1：辨析平面向量的基本概念
例1.（2026·山东济南·二模）已知为非零向量，则“与共线”是“与共线”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【思路】判断充要条件，需分别证明充分性和必要性.从已知向量共线的定义出发，利用待定系数法进行推导.
【解析】∵向量为非零向量，若与共线，则存在实数，使得，整理得.∵非零，∴与不同时为0，∴向量与共线.反之，若与共线，设，则，，显然与共线.∴“与共线”是“与共线”的充要条件.
【考点一 方法总结】
1. 证明向量共线的充要条件时，常设或利用线性组合的系数关系进行推导.
考点二：平面向量的线性表示
考法2：化简向量的线性表达式
例2.（2026·广东深圳·二模）在平行四边形中，，则
A. B.
C. D.
【答案】A
【思路】目标是求，已知条件是平行四边形和边上的比例关系.可以利用向量加法的三角形法则，将转化为，再逐步用基底和表示.
【解析】∵.
【规律】平面向量线性表示的核心是“目标拆解”，利用三角形法则或平行四边形法则，将未知向量向已知基底方向逐步转化.
考法3：利用基底表示目标向量
例3.（2026·江苏南京·二模）已知四边形为正方形，为线段上一点（不包括端点，），则
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】A
【思路】点在线段上，说明与同向共线，可设，再结合正方形的性质将用边向量表示.
【解析】∵为线段上一点（不包括端点，），如图，∴存在，使得.
【规律】点在线段上（不含端点）可转化为向量的数乘关系，系数.
考法4：利用向量线性表示求参数
例4.（2025·江西萍乡·一模）在中，是上一点，满足，是的中点，若，则
A. B. C. D.
【答案】A
【思路】已知的基底表示，需要求系数和.可从出发，利用中点性质将其转化为和的线性组合，再利用转化为基底.
【解析】∵，则，，∴.
【规律】利用平面向量基本定理求参数，通常从几何图形出发，推导目标向量的基底表示，对比系数即可求解.
例5.（2026·江西九江·二模）在平行四边形中，，分别是，的中点.若，则
A. B. C. D.
【答案】C
【思路】目标是求关于基底和的表达式.可先将用和表示，再将用和表示，代入即可.
【解析】∵是的中点，.又是的中点，，∴，，.
【规律】基底转换问题的关键是找到新旧基底之间的线性关系，通过代入消元实现基底的统一.
考法5：利用向量线性运算求模长
例6.（2026·浙江宁波·二模）已知正方形的边长为，则
A. B. C. D.
【答案】D
【思路】要求向量的模，先观察括号内的向量表达式能否化简.利用正方形的性质，将转化为，化简后再求模长.
【解析】∵在正方形中，∴，则.
【规律】求多个向量和差的模长，首选化简向量表达式，将其转化为单个已知模长的向量，再进行计算.
考法6：结合几何性质解决向量综合问题
例7.（2026·福建厦门双十中学·检测）已知点是的重心，点是所在平面内一点.若，且（），则
A. B.
C. D.
【答案】C
【思路】已知点是重心，隐含条件为.将第二个表达式中的和用表示，再消去，对比系数.
【解析】∵已知点是的重心，则，即.又，∴，，∴.
【规律】三角形重心的向量性质是实现向量转化的重要桥梁.
【考点二 方法总结】
1. 平面向量的线性表示与化简：
（1） 平面向量线性表示的核心是“目标拆解”，利用三角形法则或平行四边形法则，将未知向量向已知基底方向逐步转化.
（2） 基底转换问题的关键是找到新旧基底之间的线性关系，通过代入消元实现基底的统一.
（3） 求多个向量和差的模长，首选化简向量表达式，将其转化为单个已知模长的向量，再进行计算.
2. 结合几何性质的向量问题：
（1） 点在线段上（不含端点）可转化为向量的数乘关系，系数.
（2） 利用平面向量基本定理求参数，通常从几何图形出发，推导目标向量的基底表示，对比系数即可求解.
（3） 三角形重心的向量性质是实现向量转化的重要桥梁.
考点三：平面向量共线定理的应用
考法7：利用向量共线定理求参数
例8.（2026·山东淄博·二模）已知向量，不共线，且，，若与共线，则实数的值为
A. B. C. 或 D. 或
【答案】C
【思路】已知两向量共线，可设，代入已知表达式，利用不共线，列出关于和的方程组求解.
【解析】∵与共线，∴存在实数，使得，即.∵，不共线，∴，消去得，解得或.
【考点三 方法总结】
1. 若不共线，且，则必有且.
考点四：平面向量基本定理及应用
考法8：利用平面向量基本定理求参数
例9.（2026·湖南邵阳·联考）在平行四边形中，点在线段上，且.若，其中，则
A. B. C. D.
【答案】D
【思路】目标是求的基底表示.利用三角形法则，再结合已知比例关系将用基底表示.
【解析】∵，∴，，.
【规律】向量的线性表示常以图形为载体，利用向量的加减法法则进行首尾相接的拆分.
考法9：利用平面向量基本定理与三点共线定理求参数
例10.（2026·河南濮阳·二模）如图，在等边三角形中，，点是靠近的三等分点，过的直线分别交射线于不同的两点，，，则下列选项中不正确的是
A. B.
C. D. 的最小值为
【答案】B
【思路】逐项分析.A项利用三等分点性质推导；B项利用余弦定理计算；C项利用三点共线定理推导系数关系；D项利用C项结论结合基本不等式求最值.
【解析】对于A，∵是靠近的三等分点，∴，A正确.对于B，在中，，，，由余弦定理得，B错误.对于C，由题意得，∵，，三点共线，∴，即，C正确.对于D，，当且仅当，即，时等号成立，D正确.
【规律】三点共线，若，则必有.
例11.（2026·浙江宁波十校·联考）（多选）如图所示，已知，点，满足，，与交于点，交于点，，则
A. B.
C. D.
【答案】D
【思路】已知交点比例，求向量的线性表示.可设和，联立方程组求出系数.
【解析】对于A，由共线，存在使，由共线，存在使，联立系数相等：，解得：，，因此：，故选项A错误.对于B，，，若，则：，显然系数不相等，选项B错误.对于C，由于，且在上，故设，则，结合，得：，解得，选项C错误.对于D，由，∴，故选项D正确.
【规律】“爪子型”图形中，利用双重三点共线列方程组是求解交点向量表示的通法.
考法10：利用平面向量基本定理与三点共线定理求最值
例12.（2026·安徽铜陵·模拟）在中，点为边的中点，过点的直线与，两边（或其延长线）分别交于点，，设，，则的最小值为
A. B. C. D.
【答案】C
【思路】已知三点共线，可利用三点共线定理得到的关系式，再利用乘“1”法结合基本不等式求最值.
【解析】∵是的中点，∴.由于三点共线，∴，其中，当且仅当，即时等号成立.∴的最小值为.
【规律】三点共线定理常与基本不等式结合，解题步骤为：找共线得关系式 乘“1”展开 用基本不等式求最值.
例13.（2026·山东济宁·二模）是的重心，过点且不过顶点的直线分别交边，于点，，记和的面积分别为，则的最小值是____.
【答案】
【思路】利用重心性质和三点共线定理，设，，得到的关系.再将面积比转化为的表达式，利用换元法和基本不等式求最值.
【解析】设，，∵是的重心，∴.∵三点共线，∴，即.∵分别在边上，∴，解得.又(S_1=S{\triangle AMG}=\frac{1}{3}S{\triangle AMB}=\frac{1}{3}xS{\triangle ABC})，，∴.令，则，∴.∵，∴，当且仅当，即时等号成立.∴的最小值为.
【规律】面积比问题常转化为边长比（即向量的系数比），结合三点共线关系式，利用代数方法求最值.
【考点四 方法总结】
1. 平面向量基本定理与三点共线的综合应用：
（1） 向量的线性表示常以图形为载体，利用向量的加减法法则进行首尾相接的拆分.
（2） 三点共线，若，则必有.
（3） “爪子型”图形中，利用双重三点共线列方程组是求解交点向量表示的通法.
（4） 三点共线定理常与基本不等式结合，解题步骤为：找共线得关系式 乘“1”展开 用基本不等式求最值.
（5） 面积比问题常转化为边长比（即向量的系数比），结合三点共线关系式，利用代数方法求最值.
考点五：平面向量的直角坐标运算
考法11：进行平面向量的坐标线性运算
例14.（2026·广东华南师大附中·检测）在平面直角坐标系中，点的位置如图所示，则_____.（用坐标表示）
【答案】
【思路】根据图形写出各点的坐标，直接代入坐标进行向量的线性运算.
【解析】由图可得，∴，则.
【规律】网格图中的向量问题，首选建立直角坐标系，将几何运算转化为坐标的代数运算.
考法12：利用坐标运算求向量的模
例15.（2026·广东佛山·二模）设向量，，则
A. B. C. D.
【答案】D
【思路】已知两向量坐标，求差向量的模.先求出差向量的坐标，再代入模长公式.
【解析】∵，∴.
【规律】向量坐标运算中，是基础，需熟练掌握.
考法13：建系坐标化解决几何问题
例16.（2026·山东潍坊·二模）已知正方形的边长为，点满足，则_____.
【答案】
【思路】正方形背景，求向量模长.最直接的方法是建立直角坐标系，写出各点坐标，求出目标向量的坐标再求模长.
【解析】以为原点，，所在直线分别为轴，轴建立直角坐标系，则，，，，∴，，，即，∴，则.
【规律】对于规则的几何图形（如正方形、矩形等），建系坐标化是避免复杂几何推理的有效手段.
考法14：解决平面向量坐标运算的综合问题
例17.（2026·安徽淮北·一模）（多选）将平面向量绕起点逆时针旋转角得到的向量记为，已知向量，，，则
A.
B.
C.
D.
【答案】ABD
【思路】理解新定义“旋转向量”的坐标变换公式.利用旋转矩阵的性质判断A、B；通过递推关系依次写出前几项，发现周期性，从而判断C、D.
【解析】对于选项A，向量绕起点逆时针旋转角的变换是线性变换，对应复数乘法中的旋转因子，两次旋转角相当于旋转角，即，故选项A正确.对于选项B，旋转矩阵是线性变换，满足可加性，设，，则，则，，，，即，故选项B正确.对于选项C，，∴，∴，故选项C错误.对于选项D，，，，，，，，，∵，，∴，故是周期为的数列，，又，，故选项D正确.
【规律】新定义问题需紧扣定义，将其转化为熟悉的坐标运算，寻找规律（如周期性）是解题关键.
【考点五 方法总结】
1. 平面向量坐标运算的技巧：
（1） 网格图中的向量问题，首选建立直角坐标系，将几何运算转化为坐标的代数运算.
（2） 向量坐标运算中，是基础，需熟练掌握.
（3） 对于规则的几何图形（如正方形、矩形等），建系坐标化是避免复杂几何推理的有效手段.
（4） 新定义问题需紧扣定义，将其转化为熟悉的坐标运算，寻找规律（如周期性）是解题关键.
考点六：向量共线的坐标表示
考法15：判断向量共线或平行的坐标条件
例18.（2026·山东泰山教育联盟·模拟）已知向量，，则“”是“”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【思路】利用向量平行的坐标条件列方程，再判断充分必要性.
【解析】∵，∴，解得.∴“”是“”的充分不必要条件.
【规律】，注意判断充要条件时的逻辑方向.
例19.（2026·湖南师大附中·模拟）已知向量，，则， ()，则下列表述正确的是
A. 存在唯一的实数对，使得
B. 存在唯一的实数对，使得
C. 存在唯一的实数对，使得
D. 存在唯一的实数对，使得
【答案】C
【思路】利用向量平行和垂直的坐标条件分别列出关于的方程，分析方程的解的情况来判断各选项.
【解析】∵向量，，则，.对于A，当且仅当，即，即，由此可知存在无数组实数对，使得，故A错误.对于B，当且仅当，即，即，当时，该方程不成立，此时不存在实数对，使得，当时，此时，由此可知存在实数对，使得，当且时，此时存在无数对实数对，使得，故B错误.对于C，当且仅当，解得，故C正确.对于D，，即，进而可得，故当或者时，此时有无数组实数对，使得，故D错误.
【规律】向量平行与垂直的坐标条件是构建代数方程的桥梁，解方程组时要注意分类讨论.
考法16：利用向量共线的坐标表示求参数
例20.（2026·安徽临泉田家炳实验中学·二模）已知向量，，若，则
A. B. C. D.
【答案】A
【思路】表示与同向的单位向量.两单位向量相等，说明原向量同向共线，利用坐标比例关系求解.
【解析】∵，∴且方向相同，则，解得.
【规律】单位向量的定义及共线向量的坐标表示是解题基础，注意同向共线的隐含条件.
例21.（2026·浙江台州·二模）已知平面向量，，，若，则的最小值为_____.
【答案】
【思路】利用向量平行的坐标条件得到的关系式，代入转化为二次函数求最值.
【解析】∵，∴，即，，当时，取得最小值.
【规律】向量平行条件常用于消元，将二元最值问题转化为一元二次函数最值问题.
【考点六 方法总结】
1. 向量共线的坐标表示的应用：
（1） ，注意判断充要条件时的逻辑方向.
（2） 向量平行与垂直的坐标条件是构建代数方程的桥梁，解方程组时要注意分类讨论.
（3） 单位向量的定义及共线向量的坐标表示是解题基础，注意同向共线的隐含条件.
（4） 向量平行条件常用于消元，将二元最值问题转化为一元二次函数最值问题.
考点七：平面向量的新定义问题
考法17：结合新定义解决平面向量综合问题
例22.（2025·江西百万大联考·联考）（多选）设集合，且.定义运算：若满足①，且当且仅当时，，②，③这三个条件，则称为上的范数.下列结论正确的是
A. 若为上的范数，且，则
B. 若为上的范数，则
C. 定义运算：，则为上的范数
D. 定义运算：，则为上的范数
【答案】BD
【思路】逐个选项验证新定义“范数”的三个条件.A项举反例；B项利用绝对值不等式；C项举反例；D项利用代数恒等式证明三角不等式.
【解析】∵为上的范数，∴由，可得，取，可得，A不正确.∵为上的范数，∴由②③可得，B正确.取，则，不为上的范数，C不正确.由，可知，且当且仅当时，，满足①.，可得，满足②.设，且，则，，，则.∵，∴，满足③.故为上的范数，D正确.
【考点七 方法总结】
1. 平面向量的新定义问题要求严格按照给定的公理体系进行推导，举反例是判断命题错误的高效方法.
四、高考真题
1.（2026·全国一卷·第2题）已知平面向量，不共线，且，则（ 　　）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】A
【解析】∵平面向量，不共线，且，移项整理得。∵，不共线，∴必有且，解得，。
2.（2025·全国一卷·第6题）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反。左图给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系。已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如右图（风速的大小和向量的大小相同），单位（m/s），则真风为（　　 ）
A. 轻风 B. 微风 C. 和风 D. 劲风
【答案】A
【解析】由题意及图得，视风风速对应的向量为：。视风风速对应向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，船速方向和船行风速的向量方向相反，设真风风速对应的向量为，船行风速对应的向量为，∴，船行风速：。∴。。∴由表得，真风风速为轻风。
3.（2024·全国一卷·第3题）已知向量，，若，则（　　 ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵，∴。∴，即，故。
第 2 页，共 17 页第32讲 平面向量的概念与坐标运算 · 讲义
一、考情分析 1
二、知识清单 1
三、典题精练 5
考点一：平面向量的基本概念 5
考点二：平面向量的线性表示 6
考点三：平面向量共线定理的应用 7
考点四：平面向量基本定理及应用 7
考点五：平面向量的直角坐标运算 9
考点六：向量共线的坐标表示 10
考点七：平面向量的新定义问题 11
四、高考真题 11
一、考情分析
1. 考查频次与题型
年份 题号与题型 分值 考察类型 考察内容
2026 第2题 单选题 5分 直接 平面向量基本定理
2025 第6题 单选题 5分 直接 向量的加减法运算及几何意义
2024 第3题 单选题 5分 直接 向量的坐标运算与垂直条件
近三年全国一卷中，平面向量的概念与坐标运算每年均有考查，题型均为单选题，分值为5分。考查内容涵盖了平面向量基本定理、向量的线性运算及其几何意义、向量的坐标运算与垂直条件，属于基础题。
2. 命题角度与特色
（1） 侧重基础与概念：主要考查向量的线性运算、坐标表示以及共线、垂直的充要条件，难度较低。
（2） 注重几何直观与实际情境：如2025年结合帆船比赛的实际情境，考查向量加减法的几何意义及模长计算，强调数学知识的实际应用能力。
3. 备考策略
（1） 熟练掌握平面向量的加减法、数乘运算的几何意义及坐标运算法则，确保基础运算零失误。
（2） 牢记向量共线与垂直的坐标表示公式，能够熟练进行代数与几何的相互转化。
（3） 深刻理解平面向量基本定理，能够利用基底准确表示未知向量，并能结合实际情境构建向量模型解决问题。
二、知识清单
1. 向量的有关概念
（1） 定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）.
（2） 向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，记作.
（3） 特殊向量：
① 零向量：长度为的向量，其方向是任意的.
② 单位向量：长度等于个单位的向量.
③ 平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共线向量.规定：与任一向量平行.
④ 相等向量：长度相等且方向相同的向量.
⑤ 相反向量：长度相等且方向相反的向量.
2. 向量的线性运算和向量共线定理
（1） 向量的线性运算
运算 定义 法则（或几何意义） 运算律
加法 求两个向量和的运算 三角形法则平行四边形法则 ①交换律 ②结合律
减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差 三角形法则
数乘 求实数与向量的积的运算 （1） （2） 当时，与的方向相同；当时，与的方向相反； 当时，
【易错提醒】
（1） 向量表达式中的零向量写成，而不能写成.
（2） 两个向量共线要区别于两条直线共线，两个向量共线满足的条件是：两个向量所在直线平行或重合，而在直线中，两条直线重合与平行是两种不同的关系.
（3） 要注意三角形法则和平行四边形法则适用的条件，运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合，和向量与差向量分别是平行四边形的两条对角线所对应的向量；运用三角形法则时两个向量必须首尾相接，否则就要把向量进行平移，使之符合条件.
（4） 向量加法和减法几何运算应该更广泛、灵活如：，，.
3. 平面向量基本定理和性质
（1） 共线向量基本定理
如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使.（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）.
（2） 平面向量基本定理
如果和是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量，都存在唯一的一对实数，使得，我们把不共线向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为，叫做向量关于基底的分解式.
① 推论1：若，则.
② 推论2：若，则.
【易错提醒】 由平面向量基本定理可知：只要向量与不共线，平面内的任一向量都可以分解成形如的形式，并且这样的分解是唯一的.叫做的一个线性组合.平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础.
（3） 线段定比分点的向量表达式
在中，若点是边上的点，且，则向量.在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌握.
（4） 三点共线定理
平面内三点共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点.此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握.
三点共线等价于以下任一条件：
① 存在唯一的实数，使得；
② 存在唯一的实数，使得；
③ 存在唯一的实数，使得；
④ 存在，使得.
（5） 中线向量定理
在中，若点是边的中点，则中线向量，反之亦正确.
4. 平面向量的数量积与投影
（1） 向量的夹角：已知两个非零向量和，作，，则叫做向量与的夹角.当时，两向量同向；当时，两向量反向；当时，两向量垂直，记作.
（2） 数量积的定义：已知两个非零向量和，它们的夹角为，则数量叫做与的数量积（或内积），记作，即.规定：零向量与任一向量的数量积为.
（3） 投影：
① 投影量（数量投影）：叫做向量在向量上的投影量，计算公式为.
② 投影向量：向量在向量上的投影向量为.
（4） 数量积的性质：
① 或.
② 若为非零向量，则.
③ （当且仅当时等号成立）.
（5） 数量积的运算律：
① 交换律：.
② 数乘结合律：.
③ 分配律：.
5. 平面向量的坐标表示及坐标运算
（1） 平面向量的坐标表示
在平面直角坐标中，分别取与轴，轴正半轴方向相同的两个单位向量作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数使，我们把有序实数对叫做向量的坐标，记作.
（2） 向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有
向量 向量 点.
（3） 设，，则，，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.
若，为实数，则，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标.
（4） 设，，则，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标.
6. 平面向量的直角坐标运算
（1） 已知点，，则，.
（2） 已知，，则：
① 线性运算：，.
② 数量积：.
③ 模长：.
④ 夹角公式：.
⑤ 共线与垂直的充要条件：
；
（为非零向量）.
【防坑警示】
（1） 向量的数量积不满足结合律，即，因为前者是与共线的向量，后者是与共线的向量.
（2） 由且，不能推出，只能推出.
（3） 向量的模满足三角不等式：，当且仅当共线时等号成立.
三、典题精练
考点一：平面向量的基本概念
考法1：辨析平面向量的基本概念
例1.（2026·山东济南·二模）已知为非零向量，则“与共线”是“与共线”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【考点一 方法总结】
1. 证明向量共线的充要条件时，常设或利用线性组合的系数关系进行推导.
考点二：平面向量的线性表示
考法2：化简向量的线性表达式
例2.（2026·广东深圳·二模）在平行四边形中，，则
A. B.
C. D.
考法3：利用基底表示目标向量
例3.（2026·江苏南京·二模）已知四边形为正方形，为线段上一点（不包括端点，），则
A. ， B. ，
C. ， D. ，
考法4：利用向量线性表示求参数
例4.（2025·江西萍乡·一模）在中，是上一点，满足，是的中点，若，则
A. B. C. D.
例5.（2026·江西九江·二模）在平行四边形中，，分别是，的中点.若，则
A. B. C. D.
考法5：利用向量线性运算求模长
例6.（2026·浙江宁波·二模）已知正方形的边长为，则
A. B. C. D.
考法6：结合几何性质解决向量综合问题
例7.（2026·福建厦门双十中学·检测）已知点是的重心，点是所在平面内一点.若，且（），则
A. B.
C. D.
【考点二 方法总结】
1. 平面向量的线性表示与化简：
（1） 平面向量线性表示的核心是“目标拆解”，利用三角形法则或平行四边形法则，将未知向量向已知基底方向逐步转化.
（2） 基底转换问题的关键是找到新旧基底之间的线性关系，通过代入消元实现基底的统一.
（3） 求多个向量和差的模长，首选化简向量表达式，将其转化为单个已知模长的向量，再进行计算.
2. 结合几何性质的向量问题：
（1） 点在线段上（不含端点）可转化为向量的数乘关系，系数.
（2） 利用平面向量基本定理求参数，通常从几何图形出发，推导目标向量的基底表示，对比系数即可求解.
（3） 三角形重心的向量性质是实现向量转化的重要桥梁.
考点三：平面向量共线定理的应用
考法7：利用向量共线定理求参数
例8.（2026·山东淄博·二模）已知向量，不共线，且，，若与共线，则实数的值为
A. B. C. 或 D. 或
【考点三 方法总结】
1. 若不共线，且，则必有且.
考点四：平面向量基本定理及应用
考法8：利用平面向量基本定理求参数
例9.（2026·湖南邵阳·联考）在平行四边形中，点在线段上，且.若，其中，则
A. B. C. D.
考法9：利用平面向量基本定理与三点共线定理求参数
例10.（2026·河南濮阳·二模）如图，在等边三角形中，，点是靠近的三等分点，过的直线分别交射线于不同的两点，，，则下列选项中不正确的是
A. B.
C. D. 的最小值为
例11.（2026·浙江宁波十校·联考）（多选）如图所示，已知，点，满足，，与交于点，交于点，，则
A. B.
C. D.
考法10：利用平面向量基本定理与三点共线定理求最值
例12.（2026·安徽铜陵·模拟）在中，点为边的中点，过点的直线与，两边（或其延长线）分别交于点，，设，，则的最小值为
A. B. C. D.
例13.（2026·山东济宁·二模）是的重心，过点且不过顶点的直线分别交边，于点，，记和的面积分别为，则的最小值是_____.
【考点四 方法总结】
1. 平面向量基本定理与三点共线的综合应用：
（1） 向量的线性表示常以图形为载体，利用向量的加减法法则进行首尾相接的拆分.
（2） 三点共线，若，则必有.
（3） “爪子型”图形中，利用双重三点共线列方程组是求解交点向量表示的通法.
（4） 三点共线定理常与基本不等式结合，解题步骤为：找共线得关系式 乘“1”展开 用基本不等式求最值.
（5） 面积比问题常转化为边长比（即向量的系数比），结合三点共线关系式，利用代数方法求最值.
考点五：平面向量的直角坐标运算
考法11：进行平面向量的坐标线性运算
例14.（2026·广东华南师大附中·检测）在平面直角坐标系中，点的位置如图所示，则_____.（用坐标表示）
考法12：利用坐标运算求向量的模
例15.（2026·广东佛山·二模）设向量，，则
A. B. C. D.
考法13：建系坐标化解决几何问题
例16.（2026·山东潍坊·二模）已知正方形的边长为，点满足，则_____.
考法14：解决平面向量坐标运算的综合问题
例17.（2026·安徽淮北·一模）（多选）将平面向量绕起点逆时针旋转角得到的向量记为，已知向量，，，则
A.
B.
C.
D.
【考点五 方法总结】
1. 平面向量坐标运算的技巧：
（1） 网格图中的向量问题，首选建立直角坐标系，将几何运算转化为坐标的代数运算.
（2） 向量坐标运算中，是基础，需熟练掌握.
（3） 对于规则的几何图形（如正方形、矩形等），建系坐标化是避免复杂几何推理的有效手段.
（4） 新定义问题需紧扣定义，将其转化为熟悉的坐标运算，寻找规律（如周期性）是解题关键.
考点六：向量共线的坐标表示
考法15：判断向量共线或平行的坐标条件
例18.（2026·山东泰山教育联盟·模拟）已知向量，，则“”是“”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
例19.（2026·湖南师大附中·模拟）已知向量，，则， （)，则下列表述正确的是
A. 存在唯一的实数对，使得
B. 存在唯一的实数对，使得
C. 存在唯一的实数对，使得
D. 存在唯一的实数对，使得
考法16：利用向量共线的坐标表示求参数
例20.（2026·安徽临泉田家炳实验中学·二模）已知向量，，若，则
A. B. C. D.
例21.（2026·浙江台州·二模）已知平面向量，，，若，则的最小值为_____.
【考点六 方法总结】
1. 向量共线的坐标表示的应用：
（1） ，注意判断充要条件时的逻辑方向.
（2） 向量平行与垂直的坐标条件是构建代数方程的桥梁，解方程组时要注意分类讨论.
（3） 单位向量的定义及共线向量的坐标表示是解题基础，注意同向共线的隐含条件.
（4） 向量平行条件常用于消元，将二元最值问题转化为一元二次函数最值问题.
考点七：平面向量的新定义问题
考法17：结合新定义解决平面向量综合问题
例22.（2025·江西百万大联考·联考）（多选）设集合，且.定义运算：若满足①，且当且仅当时，，②，③这三个条件，则称为上的范数.下列结论正确的是
A. 若为上的范数，且，则
B. 若为上的范数，则
C. 定义运算：，则为上的范数
D. 定义运算：，则为上的范数
【考点七 方法总结】
1. 平面向量的新定义问题要求严格按照给定的公理体系进行推导，举反例是判断命题错误的高效方法.
四、高考真题
1.（2026·全国一卷·第2题）已知平面向量，不共线，且，则（ 　　）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.（2025·全国一卷·第6题）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反。左图给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系。已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如右图（风速的大小和向量的大小相同），单位（m/s），则真风为（　　 ）
A. 轻风 B. 微风 C. 和风 D. 劲风
3.（2024·全国一卷·第3题）已知向量，，若，则（　　 ）
A. B. C. D.
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