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第34讲 复数 · 分类练习（解析卷）
考点一：复数的概念 1
考法1：复数的分类与概念辨析 1
考法2：根据纯虚数或实数条件求参数 2
考法3：复数对应点所在象限的判断 2
考点二：复数的相等与共轭复数 3
考法4：利用复数相等求参数或复数 3
考法5：共轭复数的概念与性质判断 3
考法6：实系数一元二次方程的复数根 4
考点三：复数的运算 5
考法7：复数的代数形式四则运算 5
考法8：解复数方程 6
考法9：复数运算与共轭、模长的综合 6
考法10：复数幂的周期性与数列求和 7
考点四：复数的模 8
考法11：直接利用代数形式求模 8
考法12：利用复数方程求模 8
考法13：复数模的综合运算与性质 9
考法14：复数模的最值（非几何法） 9
考点五：复数的几何意义 10
考法15：复数运算与对应点所在象限 10
考法16：复数与平面几何及向量的结合 10
考法17：复数模的几何意义（距离与轨迹） 11
考点六：与复数有关的最值问题 12
考法18：转化为圆上点到定点距离的最值 12
考法19：复数新定义问题 12
考点七：复数的三角形式 14
考法20：复数三角形式的乘除运算与旋转 14
考法21：棣莫弗定理与欧拉公式的应用 15
考点一：复数的概念
考法1：复数的分类与概念辨析
1.（2026·湖北襄阳五中·检测）下列四种说法正确的是（ 　　）
A. 如果实数，那么是纯虚数．
B. 实数是复数．
C. 如果，那么是纯虚数．
D. 任何数的偶数次幂都不小于零．
【答案】B
【解析】对于 A 中，若，那么，所以 A 错误.
对于 B 中，由复数的概念，可得实数是复数，所以 B 正确.
对于 C 中，若且时，复数，所以 C 不正确.
对于 D 中，由虚数单位，可得 D 错误.
故选：B.
【点拨】本题考查复数的概念及分类，逐项判定即可求解.
2.（2026·江苏南京·一模）（多选）已知复数，，且，下列说法正确的是（ 　　）
A. 是纯虚数 B. 是实数
C. 是虚数 D. 若，则是实数
【答案】AD
【解析】A. 为纯虚数，故 A 正确.
B. ，只有时，才是实数，故 B 错误.
C. ，只有时为虚数，为实数，故 C 错误.
D. 为实数，故 D 正确.
故选：AD.
【点拨】本题考查复数的概念及运算，利用复数代数形式的运算法则逐一判断即可.
考法2：根据纯虚数或实数条件求参数
3.（2025·江西上饶·二模）已知复数，若为实数，则（ 　　）
A. 2 B. 5 C. 4 D. 1
【答案】C
【解析】由复数为实数，得，即，则，
所以.
故选：C.
【点拨】本题考查复数的概念，根据给定条件求出复数，进而求出其模.
4.（2025·江西·检测）已知复数满足，若为纯虚数，则＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】设，因为为纯虚数，所以，因为，所以，故.
【点拨】本题考查复数的概念及模长公式，设出复数的代数形式，结合条件求解即可.
考法3：复数对应点所在象限的判断
5.（2024·广东·检测）若，其中为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（ 　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】由可得，.
复数在复平面内对应的点为，该点横坐标大于，纵坐标大于，故位于第一象限.
故选：A.
【点拨】本题考查复数的除法运算及复数的几何意义，先求出复数的代数形式，再判断其对应点所在象限即可.
6.（2025·河南·检测）已知复数在复平面内对应的点分别为，则“在第二象限”是“在第三象限”的（ 　　）
A. 充要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】设，则.若在第二象限，则，则，所以在第三象限.反之亦成立，所以“在第二象限”是“在第三象限”的充要条件.
故选：A.
【点拨】本题考查复平面与充分必要条件，考查逻辑推理的核心素养.
考点二：复数的相等与共轭复数
考法4：利用复数相等求参数或复数
7.（2026·河南·检测）已知复数的实部与虚部相等，则实数（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】.
复数的实部与虚部相等，，解得.
故选：B.
【点拨】本题考查复数的除法运算及复数相等的概念，化简复数后令实部等于虚部即可求解.
8.（2025·安徽淮北·二模）若，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设，则，
所以，
由，所以，故，
所以，
故选：A.
【点拨】本题考查复数相等及复数模的计算，设，代入化简，由复数相等即可得出答案.
考法5：共轭复数的概念与性质判断
9.（2026·广东湛江·检测）设复数在复平面内的点关于实轴对称，，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，在复平面内的点关于实轴对称，；
.
故选：B.
【点拨】本题考查共轭复数的几何意义及复数的除法运算，根据对称性求出即可求解.
10.（2026·江苏南通·检测）（多选）设为复数（为虚数单位），下列命题正确的有（ 　　）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】AC
【解析】对于 A 选项，若，则，A 对.
对于 B 选项，若，不妨取，则，但，B 错.
对于 C 选项，若，则，故，C 对.
对于 D 选项，若，则，解得，D 错.
故选：AC.
【点拨】本题考查复数的概念与运算，利用共轭复数的定义可判断 A 选项；利用特殊值法可判断 B 选项；利用复数的除法化简复数，利用复数的模长公式可判断 C 选项；解方程，可判断 D 选项.
考法6：实系数一元二次方程的复数根
11.（2026·山东·一模）已知为实数，虚数是方程的根，则的值为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为实系数一元二次方程的虚根成对出现，且是方程的根，所以方程的另一个根为.
根据韦达定理可得，，解得.
且，解得.
所以.
故选：A.
【点拨】本题考查实系数一元二次方程的复数根性质及韦达定理，利用共轭根的性质求解即可.
12.（2026·广东茂名·一模）已知关于的方程的两根在复平面上对应的点分别为和，若是等边三角形，则＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】因为方程两根为，不妨设两根为，则两根在复平面上对应的点分别为.因为是等边三角形，则，则.
【点拨】本题考查实系数一元二次方程的复数根及复数的几何意义，求出方程的根并利用等边三角形的性质求解即可.
考点三：复数的运算
考法7：复数的代数形式四则运算
13.（2026·河北·检测）已知复数满足，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由可得，.
所以.
故选：A.
【点拨】本题考查复数的除法运算及共轭复数的概念，先求出复数，再写出其共轭复数即可.
14.（多选）（2025·安徽·一模）若为纯虚数，则复数可以为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】设，则，
所以.
对于 A 选项，由，可得，解得，合乎题意.
对于 B 选项，由，可得，此时不存在，不合乎题意.
对于 C 选项，由，可得，此时不存在，不合乎题意.
对于 D 选项，由，可得，解得，合乎题意.
故选：AD.
【点拨】本题考查复数的运算及纯虚数的概念，设出纯虚数，利用复数的运算化简可得出的表达式，即可得出合适的选项.
考法8：解复数方程
15.（2025·广东·联考）已知复数，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，.
故选：B.
【点拨】本题考查复数的乘法运算及共轭复数的概念，代入计算即可.
考法9：复数运算与共轭、模长的综合
16.（2026·山东日照·二模）（多选）设为复数（为虚数单位），下列命题正确的是（ 　　）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
【答案】AC
【解析】对于A选项，若，则，A对.
对于B选项，若，不妨取，则，但，B错.
对于C选项，若，则，解得，C对.
对于D选项，若，则，故，D错.
故选：AC.
【点拨】本题考查复数的概念与运算，利用共轭复数的定义可判断A选项；利用特殊值法可判断B选项；解方程，可判断C选项；利用复数的除法化简复数，利用复数的模长公式可判断D选项.
17.（2026·广东佛山·二模）设，为复数，若，则（ 　　）（多选）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】对于 A，易知当，时，，但，故 A 错误.
对于 B，，，则，故 B 正确.
对于 C，易知当，时，，此时，故 C 错误.
对于 D，，，故 D 正确.
故选：BD.
【点拨】本题考查复数的运算及共轭复数、模长的性质，利用特例法可判断 A、C 选项，利用复数的模长及共轭复数的性质可判断 B、D 选项.
考法10：复数幂的周期性与数列求和
18.（2026·浙江嘉兴·二模）已知是由复数组成的数列，（为虚数单位），且，则（ 　　）（多选）
A.
B.
C.
D. 若，则的最小值为
【答案】BCD
【解析】化简得到.
进一步，即数列周期为2.
已知，计算得，，以此类推，奇数项都为，偶数项都为.
选项 A. ，A 错误.
选项 B. ，因此，B 正确.
选项 C. .因为，所以总和为，模长，C 正确.
选项 D. ，表示复平面上以为圆心、半径为1的圆，是圆上点到的距离，两定点距离为，因此的最小值为，D 正确.
故选：BCD.
【点拨】本题考查复数的运算、数列的周期性以及复数模的几何意义，化简递推关系得到数列的周期性是解题的关键.
19.（2026·浙江温州·二模）若为虚数单位，则＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】由，，
设，
则，
两式相减得，
，
所以.
【点拨】本题考查复数幂的周期性及错位相减法求和，利用错位相减法求得，进而求解即可.
考点四：复数的模
考法11：直接利用代数形式求模
20.（2026·安徽·二模）已知复数，，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】虚数不能比较大小，，，故.
故选：B.
【点拨】本题考查复数模的计算及虚数不能比较大小的性质.
21.（2026·安徽·检测）已知复数与分别对应向量与，其中为坐标原点，则＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】由题意得，，则，则.
【点拨】本题考查复数的几何意义及向量模长的计算，根据复数写出对应向量的坐标即可求解.
考法12：利用复数方程求模
22.（2026·安徽·检测）若，则的虚部为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设，则.
由得，
即，化简得，
所以，解得.
故的虚部为1.
故选：A.
【点拨】本题考查复数模的计算，设出复数的代数形式，利用模长公式列方程求解即可.
23.（2026·安徽·联考）已知虚数满足，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】法一：设复数，由已知，
从而，，；
法二：显然，则，则，则；设，从而，则.
故选：D.
【点拨】本题考查复数方程求模，设出复数的代数形式，利用复数相等列方程组求解即可.
考法13：复数模的综合运算与性质
24.（2025·河北保定·二模）若非零复数满足，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意，因为，所以.
故选：C.
【点拨】本题考查复数模的性质，利用结合条件即可求解.
25.（2025·江西·模拟）已知复数满足，则下列结论正确的是（ 　　）（多选）
A. 可能为
B.
C. 的实部与虚部之积不大于 3
D. 在复平面内对应的点可能是
【答案】BCD
【解析】当时，，A 错误.易知，B 正确.设，则，因为，所以，C 正确.因为，所以 D 正确.
故选：BCD.
【点拨】本题考查复数模的性质及基本不等式的应用，利用复数代数形式及模长公式逐一判断即可.
考法14：复数模的最值（非几何法）
26.（2026·湖北襄阳·二模）已知，若，则的最小值为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意可得，.
所以.
当时，取得最小值0，此时取得最小值.
故选：A.
【点拨】本题考查复数的运算及模长的最值，先求出复数的代数形式，再利用二次函数的性质求最值即可.
考点五：复数的几何意义
考法15：复数运算与对应点所在象限
27.（2025·广东·检测）在复平面内，对应的点位于（ 　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】对应的点坐标是位于第四象限.
故选：D.
【点拨】本题考查复数的除法法则计算结合复数的几何意义即可求解.
28.（2025·广东·检测）（多选）已知为虚数单位，复数满足，则（ 　　）
A. 的实部为3 B. 的虚部为2
C. D. 在复平面内对应的点在第四象限
【答案】ACD
【解析】由于，则的实部为3，的虚部为2，不是2，
由于，，在复平面内对应的点在第四象限.
故选：ACD.
【点拨】本题主要考查复数的概念，复数的基本运算.试题强调基础，注重对基本概念，基本思想方法的考查.
考法16：复数与平面几何及向量的结合
29.（2026·山东东营·一模）在复平面内，把复数对应的向量绕原点沿顺时针方向旋转，则旋转后的向量对应的复数为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】复数对应的向量绕原点顺时针旋转，相当于乘以复数.
所以旋转后的复数为.
故选：A.
【点拨】本题考查复数乘法的几何意义，将旋转转化为复数乘法运算即可求解.
30.（2026·山东潍坊·二模）（多选）已知复数，其中在复平面内对应的点为，则下列结论中正确的是（ 　　）
A. B.
C. 若，则 D. 若，则
【答案】BCD
【解析】由题意得.
对于 A，，故 A 错误.
对于 B，，故 B 正确.
对于 C，若，则，即，所以，故 C 正确.
对于 D，若，则，即，两边取共轭得，故 D 正确.
故选：BCD.
【点拨】本题考查复数的几何意义、共轭复数及复数模的性质，根据复数对应的点写出代数形式，逐一判断即可.
考法17：复数模的几何意义（距离与轨迹）
31.（2026·江西·检测）若复数满足，则在复平面内对应的点的坐标不可能为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设，则，当时，不满足题意，其余均满足题意，故在复平面内对应的点的坐标不可能为.
故选：C.
【点拨】本题考查复数模的几何意义，将复数模转化为两点间的距离，代入选项验证即可.
32.（2025·江西·联考）已知方程有且仅有一个复数解，则实数的可能取值有（ 　　）（多选）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】由，得，即复数对应的点在以为圆心，1为半径的圆上.
由，得复数对应的点在点和连线的中垂线上，即直线上.
因为方程组有且仅有一个复数解，所以直线与圆相切，
即，即，解得或.
故选：AC.
【点拨】本题考查复数模的几何意义及直线与圆的位置关系，将复数方程转化为几何图形，利用数形结合思想求解即可.
考点六：与复数有关的最值问题
考法18：转化为圆上点到定点距离的最值
33.（2026·湖北黄冈·检测）已知，且，为虚数单位，则的最大值是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】表示以为圆心，为半径的圆，
则圆心 C 到点的距离，
则的最大值为.
故选：A.
【点拨】本题考查复数模的几何意义，利用点与圆上点的距离的最大值去求的最大值即可.
考法19：复数新定义问题
34.（2025·河北保定·一模）数学中的数除了实数，复数之外，还有四元数.一般地，形如的数为四元数，其中都是实数，都是虚数单位，这些虚数单位满足.其中的模为，的共轭四元数记作．给定两个四元数，可以进行同复数类似的加减运算，例如：.对于四元数的乘法满足分配律和结合律，但不满足交换律，规定：，．
（1）若，求的值；
（2）已知四元数．
（i）若，求证：；
（ii）若数列均为正项数列，且（为常数），求证：．
【答案】见解析
【解析】（1）由，得，
所以
；
（2）（i）由题意
，
则
，
又因为，
所以，
，
或，
，
故，
所以；
（ii）由，
得，
又因为
，①
当且仅当时取等号，
同理，②
，③
，④
由①+②+③+④得
，
即，
又
，
所以，
所以.
【点拨】本题考查新定义运算及不等式的证明，理解四元数的运算规则，利用基本不等式放缩是解题的关键.
考点七：复数的三角形式
考法20：复数三角形式的乘除运算与旋转
35.（2026·山东淄博·检测）（多选）已知复数，，，，复数在复平面内对应的点分别为，则下列说法中正确的是（ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】AC
【解析】，，，.
A：，，所以，A正确.
B：.两者不一定相等，B错误.
C：.所以，C正确.
D：.两者不一定相等，D错误.
故选：AC.
【点拨】本题考查复数的三角形式及向量的数量积，将复数转化为向量坐标，利用向量运算逐一判断即可.
考法21：棣莫弗定理与欧拉公式的应用
36.（2026·江苏南京·二模）一般地，我们将棣莫弗定理总结成下面的公式：，设.
（1）证明：；
（2）若，求的值；
（3）证明：.
【答案】见解析
【解析】（1）设，
则，
，
，
则，而，
所以；
（2）已知，
则，
所以，
，
因为，所以，即，解得；
（3）由棣莫弗定理公式，
得，
；
，
；
，
，
则，，
所以.
【点拨】本题考查复数的三角形式及棣莫弗定理的应用，利用棣莫弗定理化简复数的幂是解题的关键.
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考点一：复数的概念 1
考法1：复数的分类与概念辨析 1
考法2：根据纯虚数或实数条件求参数 1
考法3：复数对应点所在象限的判断 1
考点二：复数的相等与共轭复数 2
考法4：利用复数相等求参数或复数 2
考法5：共轭复数的概念与性质判断 2
考法6：实系数一元二次方程的复数根 2
考点三：复数的运算 2
考法7：复数的代数形式四则运算 2
考法8：解复数方程 3
考法9：复数运算与共轭、模长的综合 3
考法10：复数幂的周期性与数列求和 3
考点四：复数的模 3
考法11：直接利用代数形式求模 3
考法12：利用复数方程求模 4
考法13：复数模的综合运算与性质 4
考法14：复数模的最值（非几何法） 4
考点五：复数的几何意义 4
考法15：复数运算与对应点所在象限 4
考法16：复数与平面几何及向量的结合 4
考法17：复数模的几何意义（距离与轨迹） 5
考点六：与复数有关的最值问题 5
考法18：转化为圆上点到定点距离的最值 5
考法19：复数新定义问题 5
考点七：复数的三角形式 6
考法20：复数三角形式的乘除运算与旋转 6
考法21：棣莫弗定理与欧拉公式的应用 6
考点一：复数的概念
考法1：复数的分类与概念辨析
1.（2026·湖北襄阳五中·检测）下列四种说法正确的是（ 　　）
A. 如果实数，那么是纯虚数．
B. 实数是复数．
C. 如果，那么是纯虚数．
D. 任何数的偶数次幂都不小于零．
2.（2026·江苏南京·一模）（多选）已知复数，，且，下列说法正确的是（ 　　）
A. 是纯虚数 B. 是实数
C. 是虚数 D. 若，则是实数
考法2：根据纯虚数或实数条件求参数
3.（2025·江西上饶·二模）已知复数，若为实数，则（ 　　）
A. 2 B. 5 C. 4 D. 1
4.（2025·江西·检测）已知复数满足，若为纯虚数，则＿＿＿＿＿＿
考法3：复数对应点所在象限的判断
5.（2024·广东·检测）若，其中为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（ 　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
6.（2025·河南·检测）已知复数在复平面内对应的点分别为，则“在第二象限”是“在第三象限”的（ 　　）
A. 充要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
考点二：复数的相等与共轭复数
考法4：利用复数相等求参数或复数
7.（2026·河南·检测）已知复数的实部与虚部相等，则实数（ 　　）
A. B. C. D.
8.（2025·安徽淮北·二模）若，则（ 　　）
A. B. C. D.
考法5：共轭复数的概念与性质判断
9.（2026·广东湛江·检测）设复数在复平面内的点关于实轴对称，，则（ 　　）
A. B. C. D.
10.（2026·江苏南通·检测）（多选）设为复数（为虚数单位），下列命题正确的有（ 　　）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
考法6：实系数一元二次方程的复数根
11.（2026·山东·一模）已知为实数，虚数是方程的根，则的值为（ 　　）
A. B. C. D.
12.（2026·广东茂名·一模）已知关于的方程的两根在复平面上对应的点分别为和，若是等边三角形，则＿＿＿＿＿＿
考点三：复数的运算
考法7：复数的代数形式四则运算
13.（2026·河北·检测）已知复数满足，则（ 　　）
A. B. C. D.
14.（2025·安徽·一模）（多选）若为纯虚数，则复数可以为（ 　　）
A. B. C. D.
考法8：解复数方程
15.（2025·广东·联考）已知复数，则（ 　　）
A. B. C. D.
考法9：复数运算与共轭、模长的综合
16.（2026·山东日照·二模）设为复数（为虚数单位），下列命题正确的是（多选）（ 　　）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
17.（2026·广东佛山·二模）设，为复数，若，则（多选）（ 　　）
A. B. C. D.
考法10：复数幂的周期性与数列求和
18.（2026·浙江嘉兴·二模）已知是由复数组成的数列，（为虚数单位），且，则（多选）（ 　　）
A.
B.
C.
D. 若，则的最小值为
19.（2026·浙江温州·二模）若为虚数单位，则＿＿＿＿＿＿
考点四：复数的模
考法11：直接利用代数形式求模
20.（2026·安徽·二模）已知复数，，则（ 　　）
A. B. C. D.
21.（2026·安徽·检测）已知复数与分别对应向量与，其中为坐标原点，则＿＿＿＿＿＿
考法12：利用复数方程求模
22.（2026·安徽·检测）若，则的虚部为（ 　　）
A. B. C. D.
23.（2026·安徽·联考）已知虚数满足，则（ 　　）
A. B. C. D.
考法13：复数模的综合运算与性质
24.（2025·河北保定·二模）若非零复数满足，则（ 　　）
A. B. C. D.
25.（2025·江西·模拟）已知复数满足，则下列结论正确的是（多选）（ 　　）
A. 可能为
B.
C. 的实部与虚部之积不大于 3
D. 在复平面内对应的点可能是
考法14：复数模的最值（非几何法）
26.（2026·湖北襄阳·二模）已知，若，则的最小值为（ 　　）
A. B. C. D.
考点五：复数的几何意义
考法15：复数运算与对应点所在象限
27.（2025·广东·检测）在复平面内，对应的点位于（ 　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
28.（2025·广东·检测）（多选）已知为虚数单位，复数满足，则（ 　　）
A. 的实部为3 B. 的虚部为2
C. D. 在复平面内对应的点在第四象限
考法16：复数与平面几何及向量的结合
29.（2026·山东东营·一模）在复平面内，把复数对应的向量绕原点沿顺时针方向旋转，则旋转后的向量对应的复数为（ 　　）
A. B. C. D.
30.（2026·山东潍坊·二模）（多选）已知复数，其中在复平面内对应的点为，则下列结论中正确的是（ 　　）
A. B.
C. 若，则 D. 若，则
考法17：复数模的几何意义（距离与轨迹）
31.（2026·江西·检测）若复数满足，则在复平面内对应的点的坐标不可能为（ 　　）
A. B. C. D.
32.（2025·江西·联考）已知方程有且仅有一个复数解，则实数的可能取值有（多选）（ 　　）
A. B. C. D.
考点六：与复数有关的最值问题
考法18：转化为圆上点到定点距离的最值
33.（2026·湖北黄冈·检测）已知，且，为虚数单位，则的最大值是（ 　　）
A. B. C. D.
考法19：复数新定义问题
34.（2025·河北保定·一模）数学中的数除了实数，复数之外，还有四元数.一般地，形如的数为四元数，其中都是实数，都是虚数单位，这些虚数单位满足.其中的模为，的共轭四元数记作．给定两个四元数，可以进行同复数类似的加减运算，例如：.对于四元数的乘法满足分配律和结合律，但不满足交换律，规定：，．
（1）若，求的值；
（2）已知四元数．
（i）若，求证：；
（ii）若数列均为正项数列，且（为常数），求证：．
考点七：复数的三角形式
考法20：复数三角形式的乘除运算与旋转
35.（2026·山东淄博·检测）（多选）已知复数，，，，复数在复平面内对应的点分别为，则下列说法中正确的是（ 　　）
A.
B.
C.
D.
考法21：棣莫弗定理与欧拉公式的应用
36.（2026·江苏南京·二模）一般地，我们将棣莫弗定理总结成下面的公式：，设.
（1）证明：；
（2）若，求的值；
（3）证明：.
第 2 页，共 17 页第34讲 复数 · 讲义（解析卷）
一、考情分析 1
二、知识清单 1
三、典题精讲 3
考点一：复数的概念 3
考点二：复数的相等与共轭复数 5
考点三：复数的运算 6
考点四：复数的模 9
考点五：复数的几何意义 11
考点六：与复数有关的最值问题 13
考点七：复数的三角形式 15
四、高考真题 17
一、考情分析
1. 考查频次与题型
年份 题号与题型 分值 考察类型 考察内容
2026 第9题 多选题 6分 直接 复数的概念、模长、共轭复数及四则运算综合
2025 第1题 单选题 5分 直接 复数的乘法运算与虚部的概念
2024 第2题 单选题 5分 直接 复数的除法运算与解复数方程
近三年全国一卷对复数知识点的考查频率极高，每年均有一道独立的选择题直接考查.题目多出现在试卷的前段，整体难度较低，属于必拿的基础得分题.
2. 命题角度与特色
（1） 聚焦基本概念与核心运算.真题主要围绕复数的代数形式展开，重点考查四则运算（尤其是除法运算中的分母实数化）、虚部与实部的概念辨析、共轭复数以及模长的计算.
（2） 题型呈现多样化趋势.除了传统的单选题直接计算外，2026年出现了多选题形式，在一道题中综合考查了复数的多个基础概念与性质，对知识掌握的全面性提出了要求.
3. 备考策略
（1） 夯实基础概念.必须清晰界定复数的实部、虚部（注意虚部不含虚数单位）、共轭复数、模长等基本概念，避免概念混淆导致的失分.
（2） 熟练掌握代数运算.高度熟练复数的加、减、乘、除四则运算法则，特别是除法运算中分子分母同乘共轭复数的技巧，确保计算准确无误.
二、知识清单
1. 复数的概念
（1） 叫虚数单位，满足，当时，，，，.
（2） 形如的数叫复数，记作.
① 复数与复平面上的点一一对应，叫的实部，叫的虚部；，点组成实轴；，叫虚数；且，叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）.两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数.
② 两个复数，相等（两复数对应同一点）.
③ 复数的模：复数的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式为，显然，，.
2. 复数的加、减、乘、除的运算法则
（1） .
（2） .
① （注意）.
② .
③ 其中，叫的模；是的共轭复数.
（3） （）.
（4） 实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数.
（5） 常用复数运算结论：
① ，.
② ，，.
③ .
（6） 共轭复数与模的运算性质：
① ，，.
② ，，.
③ .
3. 复数的几何意义
（1） 复数对应平面内的点.
（2） 复数对应平面向量.
（3） 复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数.
（4） 复数的模表示复平面内的点到原点的距离.
4. 复数的三角形式
（1） 复数的三角表示式：一般地，任何一个复数都可以表示成形式，其中是复数的模；是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角.叫做复数的三角表示式，简称三角形式.
（2） 辐角的主值：任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差的整数倍.规定在范围内的辐角的值为辐角的主值.通常记作，即.复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式.
（3） 三角形式下的两个复数相等：两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等.
（4） 复数三角形式的乘法运算：
① 两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和，即.
② 复数乘法运算的三角表示的几何意义：复数对应的向量为，把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是积.
（5） 复数三角形式的除法运算：两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差，即.
5. 实系数一元二次方程的复数根
（1） 对于实系数一元二次方程，当时，方程在复数集内有两个互为共轭的虚数根，即.
（2） 韦达定理在复数集中依然成立：若为方程的两个根，则，.
三、典题精讲
考点一：复数的概念
考法1：复数的分类与概念辨析
例1.（2026·江苏南京·一模）（多选）已知复数，，且，下列说法正确的是（ 　　）
A. 是纯虚数 B. 是实数
C. 是虚数 D. 若，则是实数
【答案】AD
【思路】题目给出了复数的代数形式且虚部不为0，要求判断相关运算结果是实数还是纯虚数.切入点是将各个选项中的复数表达式用表示出来，再根据实部和虚部的情况进行判断，特别要注意这一隐含条件.
【解析】A选项中，为纯虚数，故 A 正确.
B选项中，，只有时，才是实数，故 B 错误.
C选项中，，只有时为虚数，为实数，故 C 错误.
D选项中，为实数，故 D 正确.
故选：AD.
【规律】处理复数概念辨析题，核心方法是设出复数的代数形式，进行代数运算后分离实部与虚部.判断纯虚数时必须强调实部为0且虚部不为0，判断实数时只需虚部为0.
考法2：根据纯虚数或实数条件求参数
例2.（2025·江西·检测）已知复数满足，若为纯虚数，则＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【思路】已知复数模长和其共轭复数为纯虚数，需先设出复数的代数形式.由共轭复数为纯虚数可直接得出实部为0，再结合模长公式即可求出虚部，从而确定复数.
【解析】设，∵为纯虚数，∴，∵，∴，故.
【规律】已知复数类型（实数、纯虚数）求参数或复数，通用步骤是：先将复数化为标准代数形式，再根据实数（虚部为0）或纯虚数（实部为0且虚部不为0）列出方程或方程组求解.
考法3：复数对应点所在象限的判断
例3.（2024·广东·检测）若，其中为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（ 　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【思路】题目给出了复数满足的方程，要求判断其对应点所在象限.破题关键是先利用复数的除法运算求出的标准代数形式，再提取实部和虚部作为点的横、纵坐标进行判断.
【解析】由可得，.
复数在复平面内对应的点为，该点横坐标大于，纵坐标大于，故位于第一象限.
故选：A.
【规律】判断复数对应点所在象限，必须先将复数化简为的形式，其对应点坐标为.根据的正负号即可确定象限，注意复平面与平面直角坐标系的一一对应关系.
【考点一 方法总结】
1. 概念辨析与参数求解：处理复数概念问题（如实数、纯虚数），核心方法是“设元法”或直接化简，将其化为标准代数形式.
（1） 若为实数，则.
（2） 若为纯虚数，则且（切记不可遗漏虚部不为0的条件）.
2. 几何意义与象限判断：复数与复平面内的点一一对应.判断所在象限时，必须先通过复数的四则运算化简为标准形式，再根据实部和虚部的正负号确定.
考点二：复数的相等与共轭复数
考法4：利用复数相等求参数或复数
例4.（2025·安徽淮北·二模）若，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【思路】方程中同时含有与，无法直接移项求解.常规切入点是设出复数的代数形式，代入方程后分离出实部和虚部，利用复数相等的充要条件列方程组求解.
【解析】设，则，
∴，
由，∴，故，
∴，
故选：A.
【规律】解决含有与的复数方程，最通用的方法是“设元法”，即设，转化为实数方程组求解.复数相等即实部等于实部，虚部等于虚部.
考法5：共轭复数的概念与性质判断
例5.（2026·江苏南通·检测）（多选）设为复数（为虚数单位），下列命题正确的有（ 　　）
A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则
【答案】AC
【思路】本题全面考查复数的概念、运算及共轭性质.判断命题真假时，对于全称命题可尝试代数推导或寻找反例，对于存在性或具体运算命题则直接进行化简计算.
【解析】对于 A 选项，若，则，A 对.
对于 B 选项，若，不妨取，则，但，B 错.
对于 C 选项，若，则，故，C 对.
对于 D 选项，若，则，解得，D 错.
故选：AC.
【规律】处理复数命题判断题，常利用特例法排除错误选项（如举纯虚数反例）.证明正确选项时，熟练运用共轭复数的性质（如）和模长公式是关键.
考法6：实系数一元二次方程的复数根
例6.（2026·山东·一模）已知为实数，虚数是方程的根，则的值为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【思路】已知实系数一元二次方程的一个虚根，根据实系数方程虚根成对出现的性质，可直接写出另一个根.随后利用韦达定理建立根与系数的关系，即可求出参数.
【解析】∵实系数一元二次方程的虚根成对出现，且是方程的根，∴方程的另一个根为.
根据韦达定理可得，，解得.
且，解得.
∴.
故选：A.
【规律】实系数一元二次方程若有虚根，则两根必互为共轭复数.解题时首选韦达定理（两根之和与两根之积）建立方程，避免直接代入虚根进行繁琐的复数运算.
【考点二 方法总结】
1. 复数相等方程的解法：处理含有与的方程，通用方法为“设元法”，设，代入化简后利用复数相等的充要条件（实部等于实部，虚部等于虚部）转化为实数方程组求解.
2. 共轭复数的性质应用：判断抽象复数命题时，可利用特例法（如取纯虚数、实数等）排除错误选项.推导时需熟记等核心性质.
3. 实系数方程的虚根性质：实系数一元二次方程若有虚数根，则两根必然成对出现且互为共轭复数.解题时优先利用韦达定理（两根之和与两根之积）建立实数方程，避免繁琐的复数代入运算.
考点三：复数的运算
考法7：复数的代数形式四则运算
例7.（2025·安徽·一模）（多选）若为纯虚数，则复数可以为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】AD
【思路】已知一个分式形式的复数为纯虚数，切入点是直接设该式等于（），然后通过代数变形反解出的表达式，再结合选项中的复数代入验证或比对系数.
【解析】设，则，
∴.
对于 A 选项，由，可得，解得，合乎题意.
对于 B 选项，由，可得，此时不存在，不合乎题意.
对于 C 选项，由，可得，此时不存在，不合乎题意.
对于 D 选项，由，可得，解得，合乎题意.
故选：AD.
【规律】遇到“某复数表达式为纯虚数”的条件，除了设硬算外，直接设整体为（）往往能简化运算过程.注意最后必须检验分母不为0或参数不为0.
考法8：解复数方程
例8.（2025·广东·联考）已知复数，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【思路】给出了复数的具体值，要求计算一个含有及其共轭复数的代数式.直接写出共轭复数，代入表达式中进行多项式乘法展开即可.
【解析】∵，∴.
故选：B.
【规律】对于已知具体复数求代数式值的题目，直接代入并利用进行化简是最高效的方法.注意复数乘法满足分配律.
考法9：复数运算与共轭、模长的综合
例9.（2026·广东佛山·二模）（多选）设，为复数，若，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】BD
【思路】已知两个复数乘积为纯虚数，要求判断它们之间的关系.由于没有给出具体复数，切入点是利用复数模的乘法性质和共轭复数的乘法性质进行整体推导，或者通过构造特殊的复数进行排除.
【解析】对于 A，易知当，时，，但，故 A 错误.
对于 B，∵，∴，则，故 B 正确.
对于 C，易知当，时，，此时，故 C 错误.
对于 D，∵，∴，故 D 正确.
故选：BD.
【规律】处理抽象复数的关系判断，特例法（取满足条件的特殊复数代入）是排除错误选项的利器；而证明正确选项则需熟练掌握模的性质（）和共轭的性质（）.
考法10：复数幂的周期性与数列求和
例10.（2026·浙江嘉兴·二模）（多选）已知是由复数组成的数列，（为虚数单位），且，则（ 　　）
A.
B.
C.
D. 若，则的最小值为
【答案】BCD
【思路】题目给出了复数数列的递推公式，首先应化简以简化递推关系.随后通过计算前几项寻找数列的周期性，再利用周期性处理大项数的求和与距离最值问题.
【解析】化简得到.
进一步，即数列周期为2.
已知，计算得，，以此类推，奇数项都为，偶数项都为.
选项 A 中，，A 错误.
选项 B 中，，因此，B 正确.
选项 C 中，.∵，∴总和为，模长，C 正确.
选项 D 中，，表示复平面上以为圆心、半径为1的圆，是圆上点到的距离，两定点距离为，因此的最小值为，D 正确.
故选：BCD.
【规律】遇到含有虚数单位高次幂的数列问题，第一步必定是利用的周期性（周期为4）进行降幂化简.发现数列递推关系后，通过列举前几项寻找周期是解决此类综合题的通用套路.
【考点三 方法总结】
1. 整体代换法：当已知某个复杂的复数分式为纯虚数（或实数）时，除了常规的设外，直接设该整体等于（）或，再反解往往能大幅简化运算.
2. 抽象复数运算技巧：判断抽象复数的模长、共轭关系时，特例法是快速排除错误选项的利器.严格证明则需熟练运用性质，如、等.
3. 周期性与降幂：遇到含有的高次幂或复数数列问题，第一步是利用的周期性（等）进行降幂化简.对于递推数列，常通过计算前几项寻找周期规律，进而解决大项数求和问题.
考点四：复数的模
考法11：直接利用代数形式求模
例11.（2026·安徽·检测）已知复数与分别对应向量与，其中为坐标原点，则＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【思路】题目给出了复数及其对应的向量，要求求两点间的距离（向量模长）.切入点是先根据复数的几何意义写出对应点的坐标，再利用向量减法求出目标向量的坐标，最后应用模长公式.
【解析】由题意得，，则，则.
【规律】复数与平面向量一一对应，复数对应向量.求复平面上两点间的距离，本质上就是求两复数之差的模长，或对应向量的模长.
考法12：利用复数方程求模
例12.（2026·安徽·联考）已知虚数满足，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【思路】给出的方程中含有、和.常规思路是设转化为实数方程组；更巧妙的切入点是对方程进行整体变形，利用共轭复数的性质构造出关于或整体代数式的方程.
【解析】法一：设复数，由已知，
从而，解得，∴.
法二：显然，则，则，则.设，从而，则.
故选：D.
【规律】解复杂的复数方程，除了万能的“设元法”外，要注意观察方程结构.若能通过整体取模、两边同乘共轭复数等技巧进行变形，往往能大幅减少计算量.
考法13：复数模的综合运算与性质
例13.（2025·江西·模拟）（多选）已知复数满足，则下列结论正确的是（ 　　）
A. 可能为
B.
C. 的实部与虚部之积不大于 3
D. 在复平面内对应的点可能是
【答案】BD
【思路】已知复数的模长，要求判断其相关性质.切入点是利用模长公式以及性质.对于实部与虚部乘积的极值问题，自然联想到基本不等式.
【解析】当时，，A 错误.易知，B 正确.设，则，∵，∴，C 正确.∵，∴D 正确.
故选：BD.
【规律】复数模的平方等于该复数与其共轭复数的乘积，即，这是复数运算中极其重要的降次与转化工具.同时，复数的实部与虚部平方和常与基本不等式结合考查最值.
考法14：复数模的最值（非几何法）
例14.（2026·湖北襄阳·二模）已知，若，则的最小值为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【思路】要求一个含有实数参数的复数模的最小值.切入点是先将该复数按实部和虚部整理成标准代数形式，然后写出模长的表达式，将其转化为关于的二次函数求最值.
【解析】由题意可得，.
∴.
当时，取得最小值0，此时取得最小值.
故选：A.
【规律】求动复数模长的最值，若不便于使用几何意义，最直接的方法是代数化：将其转化为关于某个实数参数的函数（通常是二次函数），利用配方法或导数求最值.
【考点四 方法总结】
1. 模长计算与转化技巧：
（1） 熟练运用公式，它是复数方程中消去共轭符号、实现降次与转化的重要工具.
（2） 解复杂复数方程求模时，除了设元法，应优先观察方程结构，尝试两边同时取模长或同乘共轭复数进行整体变形.
2. 模长的最值求法（代数法）：当不便于使用几何意义时，将复数化为标准代数形式，写出模长的表达式，利用配方法（转化为二次函数最值）或基本不等式求解.
考点五：复数的几何意义
考法15：复数运算与对应点所在象限
例15.（2025·广东·检测）（多选）已知为虚数单位，复数满足，则（ 　　）
A. 的实部为3 B. 的虚部为2 C. D. 在复平面内对应的点在第四象限
【答案】ACD
【思路】题目给出了复数的分式表达式，要求分析其实部、虚部、模长及共轭复数的几何意义.首要任务是利用复数除法（分子分母同乘分母的共轭复数）将化为标准代数形式，后续判断即可迎刃而解.
【解析】由于，则的实部为3，的虚部为2，不是2.
由于，，在复平面内对应的点在第四象限.
故选：ACD.
【规律】解决复数综合概念题，第一步永远是“标准化”，即通过四则运算将复数化为的形式.注意虚部是一个实数，不包含.
考法16：复数与平面几何及向量的结合
例16.（2026·山东东营·一模）在复平面内，把复数对应的向量绕原点沿顺时针方向旋转，则旋转后的向量对应的复数为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【思路】题目要求将复数对应的向量进行旋转.切入点是利用复数乘法的几何意义：向量绕原点旋转角，等价于该复数乘以.注意顺时针旋转对应负角.
【解析】复数对应的向量绕原点顺时针旋转，相当于乘以复数.
∴旋转后的复数为.
故选：A.
【规律】复数乘法具有旋转放缩的几何意义.复数对应的向量绕原点逆时针旋转，得到的新向量对应的复数为；顺时针旋转则角度取.
考法17：复数模的几何意义（距离与轨迹）
例17.（2025·江西·联考）（多选）已知方程有且仅有一个复数解，则实数的可能取值有（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】AC
【思路】方程组包含两个复数模的等式，切入点是将其翻译为几何语言.第一个方程表示圆，第二个方程表示两定点连线的中垂线（直线）.“有且仅有一个复数解”即直线与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径求解.
【解析】由，得，即复数对应的点在以为圆心，1为半径的圆上.
由，得复数对应的点在点和连线的中垂线上，即直线上.
∵方程组有且仅有一个复数解，∴直线与圆相切，
即，即，解得或.
故选：AC.
【规律】复数模的几何意义是解题利器：表示以为圆心、为半径的圆；表示线段的中垂线.将复数方程转化为解析几何问题，能极大简化运算.
【考点五 方法总结】
1. 代数形式的标准化：分析复数的几何意义（如对应点所在象限）前，必须通过分母实数化等四则运算，将其化为最简的形式.
2. 模的几何意义转化：
（1） 表示复平面内以点为圆心、为半径的圆.
（2） 表示复平面内以为端点的线段的中垂线.
将复数方程转化为解析几何图形，结合数形结合思想可极大简化运算.
3. 乘法的旋转意义：复数对应的向量绕原点逆时针旋转角，得到的新向量对应的复数为；若顺时针旋转，则角度取.
考点六：与复数有关的最值问题
考法18：转化为圆上点到定点距离的最值
例18.（2026·湖北黄冈·检测）已知，且，为虚数单位，则的最大值是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【思路】已知复数满足圆的方程，求另一复数模的最大值.切入点是将目标式理解为圆上动点到定点的距离，利用平面几何中圆外一点到圆上点距离的最大值公式（）求解.
【解析】表示以为圆心，为半径的圆，
则圆心 C 到点的距离，
则的最大值为.
故选：A.
【规律】形如“已知，求的最值”问题，统一转化为圆上动点到定点的距离问题.最大值为，最小值为（其中为定点到圆心的距离）.
考法19：复数新定义问题
例19.（2025·河北保定·一模）数学中的数除了实数，复数之外，还有四元数.一般地，形如的数为四元数，其中都是实数，都是虚数单位，这些虚数单位满足.其中的模为，的共轭四元数记作．给定两个四元数，可以进行同复数类似的加减运算，例如：.对于四元数的乘法满足分配律和结合律，但不满足交换律，规定：，．
（1）若，求的值；
（2）已知四元数．
（i）若，求证：；
（ii）若数列均为正项数列，且（为常数），求证：．
【答案】见解析
【思路】本题引入了四元数的新定义.切入点是严格遵循题目给出的运算法则（特别是乘法不满足交换律）.对于第二问的证明，需将模长公式展开，并结合数列求和技巧与基本不等式进行放缩.
【解析】（1）由，得，
∴
.
（2）（i）由题意
，
则
，
又∵，
∴，
，
或，
，
故，
∴.
（ii）由，
得，
又∵
，①
当且仅当时取等号，
同理，②
，③
，④
由①+②+③+④得
，
即，
又
，
∴，
∴.
【规律】解答新定义问题，核心是“以新化旧”，严格按照题目定义的新法则进行运算，切忌主观臆断.遇到证明不等式时，常需结合基本不等式、放缩法等传统代数工具.
【考点六 方法总结】
1. 几何法求最值模型：形如“已知，求的最值”问题，应转化为圆上动点到定点的距离问题.设定点到圆心的距离为，则最大值为，最小值为.
2. 新定义问题的应对策略：核心是“以新化旧”，严格遵循题目定义的新运算法则（如不满足交换律等），切忌主观臆断.在证明不等式环节，常需回归传统的代数工具（如基本不等式、放缩法等）.
考点七：复数的三角形式
考法20：复数三角形式的乘除运算与旋转
例20.（2026·山东淄博·检测）（多选）已知复数，，，，复数在复平面内对应的点分别为，则下列说法中正确的是（ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】AC
【思路】题目给出了复数的三角形式，要求判断模长和向量数量积的关系.切入点是利用复数三角形式的模长特征直接求模，并将复数转化为坐标形式，利用向量的数量积坐标公式进行计算比对.
【解析】，，，.
A选项中，，，∴，A正确.
B选项中，.两者不一定相等，B错误.
C选项中，.∴，C正确.
D选项中，.两者不一定相等，D错误.
故选：AC.
【规律】复数的三角形式中，即为复数的模.处理涉及复数与向量数量积的综合题时，将复数写成坐标是沟通两者的桥梁.
考法21：棣莫弗定理与欧拉公式的应用
例21.（2026·江苏南京·二模）一般地，我们将棣莫弗定理总结成下面的公式：，设.
（1）证明：；
（2）若，求的值；
（3）证明：.
【答案】见解析
【思路】题目给出了棣莫弗定理.第一问利用三角形式的乘法法则证明；第二问将复数代入表达式，利用实数的虚部为0求解；第三问直接应用棣莫弗定理计算高次幂，再求模长.
【解析】（1）设，
则，
，
，
则，而，
∴.
（2）已知，
则，
∴，
，
∵，∴，即，解得.
（3）由棣莫弗定理公式，
得，
.
，
.
，
，
则，，
∴.
【规律】棣莫弗定理是处理复数高次幂的终极武器.使用时需先将复数化为标准的三角形式，然后直接应用公式.
【考点七 方法总结】
1. 三角形式与向量的桥梁：复数的三角形式直接给出了复数的模和辐角.在处理涉及向量数量积的综合题时，将其转化为坐标形式是解题的关键.
2. 棣莫弗定理的应用：棣莫弗定理是处理复数高次幂的终极武器.使用时需先将复数化为标准的三角形式，再直接应用公式进行化简.
四、高考真题
1.（2024·全国一卷·第2题）若，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵，∴，∴.故选：C.
2.（2025·全国一卷·第1题）的虚部为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵，∴其虚部为1.故选：C.
3.（2026·全国一卷·第9题）（多选）设，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】已知.对于A，共轭复数，故A正确.对于B，复数的模，故B错误.对于C，，故C正确.对于D，，故D正确.故选：ACD.
第 2 页，共 17 页第34讲 复数 · 讲义
一、考情分析 1
二、知识清单 1
三、典题精练 3
考点一：复数的概念 3
考点二：复数的相等与共轭复数 4
考点三：复数的运算 5
考点四：复数的模 6
考点五：复数的几何意义 7
考点六：与复数有关的最值问题 7
考点七：复数的三角形式 8
四、高考真题 9
一、考情分析
1. 考查频次与题型
年份 题号与题型 分值 考察类型 考察内容
2026 第9题 多选题 6分 直接 复数的概念、模长、共轭复数及四则运算综合
2025 第1题 单选题 5分 直接 复数的乘法运算与虚部的概念
2024 第2题 单选题 5分 直接 复数的除法运算与解复数方程
近三年全国一卷对复数知识点的考查频率极高，每年均有一道独立的选择题直接考查.题目多出现在试卷的前段，整体难度较低，属于必拿的基础得分题.
2. 命题角度与特色
（1） 聚焦基本概念与核心运算.真题主要围绕复数的代数形式展开，重点考查四则运算（尤其是除法运算中的分母实数化）、虚部与实部的概念辨析、共轭复数以及模长的计算.
（2） 题型呈现多样化趋势.除了传统的单选题直接计算外，2026年出现了多选题形式，在一道题中综合考查了复数的多个基础概念与性质，对知识掌握的全面性提出了要求.
3. 备考策略
（1） 夯实基础概念.必须清晰界定复数的实部、虚部（注意虚部不含虚数单位）、共轭复数、模长等基本概念，避免概念混淆导致的失分.
（2） 熟练掌握代数运算.高度熟练复数的加、减、乘、除四则运算法则，特别是除法运算中分子分母同乘共轭复数的技巧，确保计算准确无误.
二、知识清单
1. 复数的概念
（1） 叫虚数单位，满足，当时，，，，.
（2） 形如的数叫复数，记作.
① 复数与复平面上的点一一对应，叫的实部，叫的虚部；，点组成实轴；，叫虚数；且，叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）.两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数.
② 两个复数，相等（两复数对应同一点）.
③ 复数的模：复数的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式为，显然，，.
2. 复数的加、减、乘、除的运算法则
（1） .
（2） .
① （注意）.
② .
③ 其中，叫的模；是的共轭复数.
（3） （）.
（4） 实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数.
（5） 常用复数运算结论：
① ，.
② ，，.
③ .
（6） 共轭复数与模的运算性质：
① ，，.
② ，，.
③ .
3. 复数的几何意义
（1） 复数对应平面内的点.
（2） 复数对应平面向量.
（3） 复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数.
（4） 复数的模表示复平面内的点到原点的距离.
4. 复数的三角形式
（1） 复数的三角表示式：一般地，任何一个复数都可以表示成形式，其中是复数的模；是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角.叫做复数的三角表示式，简称三角形式.
（2） 辐角的主值：任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差的整数倍.规定在范围内的辐角的值为辐角的主值.通常记作，即.复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式.
（3） 三角形式下的两个复数相等：两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等.
（4） 复数三角形式的乘法运算：
① 两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和，即.
② 复数乘法运算的三角表示的几何意义：复数对应的向量为，把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是积.
（5） 复数三角形式的除法运算：两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差，即.
5. 实系数一元二次方程的复数根
（1） 对于实系数一元二次方程，当时，方程在复数集内有两个互为共轭的虚数根，即.
（2） 韦达定理在复数集中依然成立：若为方程的两个根，则，.
三、典题精练
考点一：复数的概念
考法1：复数的分类与概念辨析
例1.（2026·江苏南京·一模）（多选）已知复数，，且，下列说法正确的是（ 　　）
A. 是纯虚数 B. 是实数
C. 是虚数 D. 若，则是实数
考法2：根据纯虚数或实数条件求参数
例2.（2025·江西·检测）已知复数满足，若为纯虚数，则＿＿＿＿＿＿.
考法3：复数对应点所在象限的判断
例3.（2024·广东·检测）若，其中为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（ 　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【考点一 方法总结】
1. 概念辨析与参数求解：处理复数概念问题（如实数、纯虚数），核心方法是“设元法”或直接化简，将其化为标准代数形式.
（1） 若为实数，则.
（2） 若为纯虚数，则且（切记不可遗漏虚部不为0的条件）.
2. 几何意义与象限判断：复数与复平面内的点一一对应.判断所在象限时，必须先通过复数的四则运算化简为标准形式，再根据实部和虚部的正负号确定.
考点二：复数的相等与共轭复数
考法4：利用复数相等求参数或复数
例4.（2025·安徽淮北·二模）若，则（ 　　）
A. B. C. D.
考法5：共轭复数的概念与性质判断
例5.（2026·江苏南通·检测）（多选）设为复数（为虚数单位），下列命题正确的有（ 　　）
A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则
考法6：实系数一元二次方程的复数根
例6.（2026·山东·一模）已知为实数，虚数是方程的根，则的值为（ 　　）
A. B. C. D.
【考点二 方法总结】
1. 复数相等方程的解法：处理含有与的方程，通用方法为“设元法”，设，代入化简后利用复数相等的充要条件（实部等于实部，虚部等于虚部）转化为实数方程组求解.
2. 共轭复数的性质应用：判断抽象复数命题时，可利用特例法（如取纯虚数、实数等）排除错误选项.推导时需熟记等核心性质.
3. 实系数方程的虚根性质：实系数一元二次方程若有虚数根，则两根必然成对出现且互为共轭复数.解题时优先利用韦达定理（两根之和与两根之积）建立实数方程，避免繁琐的复数代入运算.
考点三：复数的运算
考法7：复数的代数形式四则运算
例7.（2025·安徽·一模）（多选）若为纯虚数，则复数可以为（ 　　）
A. B. C. D.
考法8：解复数方程
例8.（2025·广东·联考）已知复数，则（ 　　）
A. B. C. D.
考法9：复数运算与共轭、模长的综合
例9.（2026·广东佛山·二模）（多选）设，为复数，若，则（ 　　）
A. B. C. D.
考法10：复数幂的周期性与数列求和
例10.（2026·浙江嘉兴·二模）（多选）已知是由复数组成的数列，（为虚数单位），且，则（ 　　）
A.
B.
C.
D. 若，则的最小值为
【考点三 方法总结】
1. 整体代换法：当已知某个复杂的复数分式为纯虚数（或实数）时，除了常规的设外，直接设该整体等于（）或，再反解往往能大幅简化运算.
2. 抽象复数运算技巧：判断抽象复数的模长、共轭关系时，特例法是快速排除错误选项的利器.严格证明则需熟练运用性质，如、等.
3. 周期性与降幂：遇到含有的高次幂或复数数列问题，第一步是利用的周期性（等）进行降幂化简.对于递推数列，常通过计算前几项寻找周期规律，进而解决大项数求和问题.
考点四：复数的模
考法11：直接利用代数形式求模
例11.（2026·安徽·检测）已知复数与分别对应向量与，其中为坐标原点，则＿＿＿＿＿＿.
考法12：利用复数方程求模
例12.（2026·安徽·联考）已知虚数满足，则（ 　　）
A. B. C. D.
考法13：复数模的综合运算与性质
例13.（2025·江西·模拟）（多选）已知复数满足，则下列结论正确的是（ 　　）
A. 可能为
B.
C. 的实部与虚部之积不大于 3
D. 在复平面内对应的点可能是
考法14：复数模的最值（非几何法）
例14.（2026·湖北襄阳·二模）已知，若，则的最小值为（ 　　）
A. B. C. D.
【考点四 方法总结】
1. 模长计算与转化技巧：
（1） 熟练运用公式，它是复数方程中消去共轭符号、实现降次与转化的重要工具.
（2） 解复杂复数方程求模时，除了设元法，应优先观察方程结构，尝试两边同时取模长或同乘共轭复数进行整体变形.
2. 模长的最值求法（代数法）：当不便于使用几何意义时，将复数化为标准代数形式，写出模长的表达式，利用配方法（转化为二次函数最值）或基本不等式求解.
考点五：复数的几何意义
考法15：复数运算与对应点所在象限
例15.（2025·广东·检测）（多选）已知为虚数单位，复数满足，则（ 　　）
A. 的实部为3 B. 的虚部为2 C. D. 在复平面内对应的点在第四象限
考法16：复数与平面几何及向量的结合
例16.（2026·山东东营·一模）在复平面内，把复数对应的向量绕原点沿顺时针方向旋转，则旋转后的向量对应的复数为（ 　　）
A. B. C. D.
考法17：复数模的几何意义（距离与轨迹）
例17.（2025·江西·联考）（多选）已知方程有且仅有一个复数解，则实数的可能取值有（ 　　）
A. B. C. D.
【考点五 方法总结】
1. 代数形式的标准化：分析复数的几何意义（如对应点所在象限）前，必须通过分母实数化等四则运算，将其化为最简的形式.
2. 模的几何意义转化：
（1） 表示复平面内以点为圆心、为半径的圆.
（2） 表示复平面内以为端点的线段的中垂线.
将复数方程转化为解析几何图形，结合数形结合思想可极大简化运算.
3. 乘法的旋转意义：复数对应的向量绕原点逆时针旋转角，得到的新向量对应的复数为；若顺时针旋转，则角度取.
考点六：与复数有关的最值问题
考法18：转化为圆上点到定点距离的最值
例18.（2026·湖北黄冈·检测）已知，且，为虚数单位，则的最大值是（ 　　）
A. B. C. D.
考法19：复数新定义问题
例19.（2025·河北保定·一模）数学中的数除了实数，复数之外，还有四元数.一般地，形如的数为四元数，其中都是实数，都是虚数单位，这些虚数单位满足.其中的模为，的共轭四元数记作．给定两个四元数，可以进行同复数类似的加减运算，例如：.对于四元数的乘法满足分配律和结合律，但不满足交换律，规定：，．
（1）若，求的值；
（2）已知四元数．
（i）若，求证：；
（ii）若数列均为正项数列，且（为常数），求证：．
【考点六 方法总结】
1. 几何法求最值模型：形如“已知，求的最值”问题，应转化为圆上动点到定点的距离问题.设定点到圆心的距离为，则最大值为，最小值为.
2. 新定义问题的应对策略：核心是“以新化旧”，严格遵循题目定义的新运算法则（如不满足交换律等），切忌主观臆断.在证明不等式环节，常需回归传统的代数工具（如基本不等式、放缩法等）.
考点七：复数的三角形式
考法20：复数三角形式的乘除运算与旋转
例20.（2026·山东淄博·检测）（多选）已知复数，，，，复数在复平面内对应的点分别为，则下列说法中正确的是（ 　　）
A.
B.
C.
D.
考法21：棣莫弗定理与欧拉公式的应用
例21.（2026·江苏南京·二模）一般地，我们将棣莫弗定理总结成下面的公式：，设.
（1）证明：；
（2）若，求的值；
（3）证明：.
【考点七 方法总结】
1. 三角形式与向量的桥梁：复数的三角形式直接给出了复数的模和辐角.在处理涉及向量数量积的综合题时，将其转化为坐标形式是解题的关键.
2. 棣莫弗定理的应用：棣莫弗定理是处理复数高次幂的终极武器.使用时需先将复数化为标准的三角形式，再直接应用公式进行化简.
四、高考真题
1.（2024·全国一卷·第2题）若，则（ 　　）
A. B. C. D.
2.（2025·全国一卷·第1题）的虚部为（ 　　）
A. B. C. D.
3.（2026·全国一卷·第9题）（多选）设，则（ 　　）
A. B. C. D.
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