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第35讲 数列的基本知识与概念 · 讲义（解析卷）
一、考情分析 1
二、知识清单 1
三、典题精讲 2
考点一：数列的周期性 2
考点二：数列的单调性 4
考点三：数列的最值项 6
考点四：数列中的规律问题 8
考点五：数列的恒成立问题 10
考点六：递推数列问题 11
四、高考真题 14
一、考情分析
1. 考查频次与题型
年份 题号与题型 分值 考察类型 考察内容
2024 第8题 单选 5分 直接 利用递推关系推断函数值（数列递推思想）
2025 — — — —
2026 — — — —
近三年全国一卷中，本讲知识仅在2024年以单选题形式直接考查过一次.题目主要将数列的递推关系融入函数背景中，侧重考查学生的赋值计算与逻辑推演能力.
2. 命题角度与特色
（1） 创新交汇：将数列的递推关系隐藏在抽象函数的性质中，以连续整数自变量的函数值更迭来替代传统的数列项，考查学生对递推思想的本质理解与灵活迁移.
（2） 侧重推演：弱化了对通项公式的刻板求解，更加注重通过逐项代入、逻辑推演来发现规律或确定数值的范围.
3. 备考策略
（1） 拓宽认知边界：在复习常规等差、等比数列的基础上，加强对斐波那契数列等特殊递推模型的理解，看透其本质特征.
（2） 强化推演能力：面对复杂或抽象的递推关系，要敢于并善于通过赋值法逐项推导，培养严密的代数推理与估算能力.
二、知识清单
1. 数列的概念
（1） 数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.
（2） 数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.
（3） 数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法.
2. 数列的分类
（1） 按照项数有限和无限分：有穷数列、无穷数列.
（2） 按单调性来分：
① 递增数列：.
② 递减数列：.
③ 常数列：（常数）.
④ 摆动数列.
（3） 按有无界限分：有界数列（存在正数，使得）、无界数列.
（4） 按周期性分：周期数列（存在正整数，使得对任意正整数都有）.
3. 数列的两种常用的表示方法
（1） 通项公式：如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.
（2） 递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.
三、典题精讲
考点一：数列的周期性
考法1：利用递推关系求周期与特定项
例1.（2026·湖北孝感·一模）设数列满足，且，则的值为（　　）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【思路】根据递推公式，由首项依次计算出数列的前几项，观察数值的变化，寻找是否存在周期性规律，进而求出高次项的值.
【解析】∵，且，∴，.∴数列的周期为2，故.故选A.
【规律】对于由分式形式给出的递推数列，求高次项时，首选策略是计算前几项寻找周期性.
考法2：结合周期性求数列前n项和
例2.（2025·河南·联考）（多选）记为数列的前项和，且，则（　　）
A. B. C. D.
【答案】AC
【思路】利用已知的递推关系和首项，逐项计算出，判断选项A、B的正误，并从中发现数列的周期性，进而求出和以判断选项C、D.
【解析】当时，，∵，∴，故A正确.当时，，∴，即.当时，，∴，即，故B错误.数列是周期为3的周期数列，∴，故C正确.，故D错误.故选AC.
【规律】处理非线性递推数列的项与前项和问题时，通过逐项递推发现周期性是破题的关键，求和时利用周期将大项数转化为整周期求和与零头项求和.
考法3：结合已知项求参数后利用周期性求值
例3.在数列中，已知，，，且，则（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【思路】由递推公式寻找项与项之间的联系，结合已知条件建立关于某一项的方程，解出该项后，再利用递推关系推导其他项的值.
【解析】由，可得.∵，∴，整理得.∵，解得，从而，.可知.∵，∴.
【规律】当递推关系跨越两项时，可通过代入法将条件转化为相邻项或同一项的方程.利用已知的高次项相等关系，可倒推求出数列的具体项.
考法4：利用函数迭代或三角函数求周期与特定项
例4.（2026·湖南·模拟）已知数列，若，则正整数的最小值为（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【思路】先利用诱导公式化简数列的通项公式，将其转化为余弦函数的形式，然后利用余弦函数的周期性来确定正整数的最小值.
【解析】此时.而，，且，可得正整数的最小值为2.故选B.
【规律】对于通项公式为三角函数形式的数列，其周期性直接由三角函数的周期性决定，化简通项公式是判断周期的前提.
考法5：斐波那契数列的余数周期探究
例5.斐波那契数列可以用如下方法定义：，且，若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列，则数列的第100项为（　　）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】D
【思路】根据斐波那契数列的递推公式，依次写出原数列的前几项，并计算它们除以4的余数，观察新数列的循环节，从而确定其周期.
【解析】由题意有，且.若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列，则，，，，，，，，.则数列是以6为周期的周期数列.则.则数列的第100项为3.故选D.
【规律】研究数列各项除以某数的余数构成的数列时，由于余数的取值是有限的，该新数列必然呈现周期性，通过列举法找到循环节即可解决问题.
【考点一 方法总结】
1. 求解数列周期性问题的基本策略：先根据已知条件（如递推公式）计算出数列的前几项，观察并归纳出数列的周期.
2. 利用周期性求值：确定周期后，利用或的相关性质，将高次项或大项数的求和问题转化为首个周期内的项或和的计算.
3. 特殊数列的周期性：对于涉及三角函数的数列，可结合三角函数本身的周期性进行分析；对于取余构造的新数列，同样通过列举前几项寻找循环节.
考点二：数列的单调性
考法6：判断数列的单调性
例6.（2026·安徽马鞍山·一模）已知数列满足：，则（　　）
A. B.
C. D.
【答案】D
【思路】先通过对数函数的性质判断的符号，进而根据递推公式判断数列的单调性.对于选项中的不等式，可构造函数，利用导数研究函数的单调性与最值，从而证明数列不等式.
【解析】数列中，，∵函数是增函数，且当时，.∴，，，，，∴，AC错误.，令函数，求导得.∵函数在上单调递减，∴，又∵，∴.∴，∴，B错误，D正确.故选D.
【规律】判断由隐式递推关系给出的数列单调性时，常需先确定数列各项的符号.证明相邻项的不等关系，构造相应的连续函数并利用导数工具是通法.
例7.（2026·山东东营·一模）（多选）已知数列满足，则下列结论正确的是（　　）
A. 数列为递增数列 B.
C. D.
【答案】AC
【思路】将递推关系转化为函数，利用导数判断其单调性，结合图象（蛛网图）分析数列的单调性与有界性.对于不等式选项，同样构造函数，利用导数证明其恒成立.
【解析】对于A，∵，∴在上单调递增.作直线，与的其中两个相邻交点为和.∵，由蛛网图可知数列为递增数列，A选项正确.由图可知且，B选项不正确.要证，只需证.令，，∴，∴在上单调递增，∴，∴在上单调递减，∴，C选项正确.要证，只需证，即证在上恒成立.由图象可知上式不成立，D选项不正确.故选AC.
【规律】处理形如的数列问题，数形结合（蛛网图）能直观揭示数列的单调性与极限.证明数列不等式时，转化为证明对应的函数不等式在特定区间上恒成立.
考法7：由数列单调性求参数范围
例8.（2026·河北NT20·检测）已知数列的通项公式为，若是递增数列，则实数的取值范围是（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【思路】先由对数函数的真数大于0求出的初步范围.再将数列是递增数列转化为对应的函数随增大而增大，利用复合函数的单调性分析内层函数的单调性要求，从而求出的最终范围.
【解析】.由题知恒成立，当时，即，得.讨论单调性，若是递增数列，则函数随增大而增大.∵已知为正且随增大而增大，∴随增大而减小，故需，即.综上，实数的取值范围是.故选C.
【规律】已知数列单调性求参数范围时，将通项公式视为函数，利用函数的单调性列出关于参数的不等式.注意真数大于0这一隐含条件不可遗漏.
【考点二 方法总结】
1. 解决数列单调性问题的常用方法：
（1） 作差比较法：根据的符号判断数列是递增数列、递减数列或是常数列.
（2） 作商比较法：根据（或）与1的大小关系进行判断.
（3） 数形结合法：结合相应函数的图象直观判断.
2. 转化为函数单调性：将数列的通项公式看作关于的函数，利用导数或基本初等函数的单调性来判断数列的单调性.处理时需注意自变量为正整数的限制.
考点三：数列的最值项
考法8：利用作差法或作商法求数列最值项
例9.记为数列的前项和，若，则的最小值为＿＿＿＿＿＿.
【答案】-4
【思路】先根据等比数列求和公式求出，代入目标代数式化简.将化简后的表达式视为新数列，通过作差法判断其单调性，进而确定最小项.
【解析】依题意，数列是首项为1，公比为2的等比数列，则.于是，令.则有.显然当时，，即，∴当时，数列是递增的.又，，∴的最小值为-4.
【规律】求数列的最值项，本质是研究数列的单调性.作差比较法是判断单调性的基本手段，找到数列由减转增的转折点即为最小值点.
考法9：结合函数性质求数列最值项
例10.已知数列满足，，则的最小值为＿＿＿＿＿＿.
【答案】9
【思路】利用累加法由递推公式求出数列的通项公式，然后写出的表达式，将其转化为对勾函数的形式，利用对勾函数的单调性求出最值.
【解析】由已知可得，.∴当时，有.则有，，，，.两边分别相加可得，.∴.当时，满足条件.∴，∴.设.根据对勾函数的性质可知，当时，单调递减；当时，单调递增.又，.∴当或时，有最小值为9.
【规律】形如的递推数列，求通项首选累加法.求分式型数列的最值时，常将其转化为对勾函数模型，借助函数的单调性求解，注意自变量为正整数.
考法10：由数列最值项求参数范围
例11.（2026·安徽A10联盟·检测）已知数列的通项公式为，若是数列的最大项，则（　　）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】D
【思路】由于数列各项均为正数，可采用作商比较法，令，解出的范围，从而确定数列的单调增减区间，找到最大项对应的序号.
【解析】由，得，解得.∵，∴当时，；当时，.∴，且.∴最大项为.故选D.
【规律】对于含有指数式和多项式乘积形式的正项数列，求最大项通常使用作商比较法，通过解不等式找到单调性的转折点.
【考点三 方法总结】
1. 求数列的最大项与最小项的常用方法：
（1） 函数法：将数列视为函数当时所对应的一列函数值，根据的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出的最值，进而求出数列的最大（小）项.
（2） 单调性法：通过通项公式研究数列的单调性，利用且（）确定最大项，利用且（）确定最小项.
（3） 比较法：若有或时，则，则数列是递增数列，最小项为；反之则为递减数列，最大项为.
考点四：数列中的规律问题
考法11：代数式与新定义中的数列规律探究
例12.（2026·浙江·联考）已知表示不超过的最大整数（例如），数列满足，，则下列说法正确的是（　　）
A.
B.
C. 对任意，恒成立
D. 存在，
【答案】C
【思路】先根据递推公式计算出前几项，观察数值范围，猜想，并用数学归纳法证明.利用取整函数的性质化简递推公式，进而判断各选项的正误.
【解析】∵，∴，，故A错误.，.猜想，下面用数学归纳法证明.当时，.假设当时，，则，∴.∴.∵，∴.∴对任意，.∴对任意，，即，∴恒成立，故C正确.由可知，若，则.∵，∴数列单调递增，故D错误.∵数列单调递增，∴，故B错误.故选C.
【规律】含有取整函数的递推数列，关键是确定数列各项的取值范围，从而去掉取整符号，转化为常规的递推关系.数学归纳法是证明数列有界性的有效工具.
考法12：图形、网格与分形几何中的数列规律探究
例13.（2025·河北衡水中学·一模）如图，一个粒子的起始位置为原点，在第一象限内于两正半轴上运动，第一秒运动到，而后它接着按图示在轴、轴的垂直方向来回运动，且每秒移动一个单位长度，如图所示，经过秒时移动的位置设为，那么经过2019秒时，这个粒子所处的位置的坐标是＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【思路】观察粒子运动轨迹，找出到达特殊点（如对角线上的点）所经过的时间规律，建立时间与坐标的关系.然后确定2019秒时粒子所处的线段，进而计算出具体坐标.
【解析】由图可知，粒子到达点时，经过了2秒；到达点时，经过了6秒；到达点时，经过了12秒；，归纳可得，粒子到达点时，经过了秒.当时，，即经过1980秒时，粒子到达点.观察粒子的运动轨迹可知，当为奇数时，粒子从点向下运动；当为偶数时，粒子从点向左运动.∵44为偶数，∴粒子从点开始向左运动.又∵，∴粒子从点向左运动39个单位长度，到达点，即.∴经过2019秒时，这个粒子所处的位置的坐标是.
【规律】处理平面内点的规律运动问题，应寻找特殊位置（如坐标轴上的点或上的点）的用时规律，将总时间进行拆分，定位到具体的运动线段上再进行微调.
考法13：数学文化与形数规律探究
例14.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1，3，6，10，第个三角形数为.记第个边形数为，以下列出了部分边形数中第个数的表达式：三角形数：；正方形数：；五边形数：；六边形数：，可以推测的表达式，由此计算（　　）
A. 4020 B. 4010 C. 4210 D. 4120
【答案】B
【思路】观察给出的几个特殊多边形数的表达式，寻找系数与多边形边数之间的关系，利用不完全归纳法猜想出的一般表达式，再代入具体数值计算.
【解析】由题意可得：，，，.由此可归纳.∴.故选B.
【规律】对于探索性规律问题，核心在于横向对比不同情况下的表达式，提取不变的结构，寻找变化的系数与参变量之间的函数关系，从而归纳出一般公式.
【考点四 方法总结】
1. 探究数列规律的基本步骤：从特殊到一般.先计算或观察前几项的具体数值或图形特征，归纳出一般性的递推关系或通项公式，再利用该公式求解特定项.
2. 处理新定义问题：紧扣题目给出的新概念或新规则，将其转化为熟悉的数列模型（如等差、等比数列或周期数列）进行求解.
3. 图形与实际情境中的数列：将图形的几何特征（如边长、坐标、点数等）或实际操作步骤转化为数列的项，寻找相邻项之间的递推关系.
考点五：数列的恒成立问题
考法14：数列不等式恒成立求参数范围
例15.（2026·河南新乡·三模）已知数列满足，其中.若对任意的恒成立，则实数的取值范围为（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【思路】将递推关系变形为，发现奇数项和偶数项分别构成等差数列.求出奇数项和偶数项的通项公式，再利用恒成立，分为奇数和偶数两种情况列出关于的不等式组求解.
【解析】由，得.当为偶数时，设，则，即.当为奇数时，设，则，即.由得，即，当时，成立；当时，，∴.由得，即，∴，∴.综上所述，实数的取值范围是.故选B.
【规律】当递推关系是跨项（如与）给出时，通常需要分奇偶项进行讨论.将恒成立问题转化为参数的不等式组，利用一次函数或数列的单调性求参数范围.
考法15：结合函数图象求数列最值
例16.已知数列的通项公式，前项和是，对于，都有，则＿＿＿＿＿＿.
【答案】5
【思路】要使前项和取得最大值，只需找出数列中所有大于0的项.通过计算前几项的值，并结合指数函数与一次函数的增长速度差异，判断数列各项的符号，从而确定最大时的值.
【解析】由题意，数列的前项和要取得最大值，只需找出所有大于0的项.∵，∴，，，，，.结合指数函数与一次函数的增长速度可知，当时，，即.∴当时，；当时，.∴当时，取得最大值，即.
【规律】求数列前项和的最大值，等价于寻找数列中所有正项的集合.对于混合型通项公式，可通过估算或比较增长率来确定正负项的分界点.
【考点五 方法总结】
1. 数列不等式恒成立问题的常用策略：分离参数法.将参数分离到不等式的一侧，转化为求数列的最值问题.即恒成立转化为；恒成立转化为.
2. 结合函数图象求最值：对于复杂的数列通项，可借助连续函数的图象和性质，先求出连续函数的最值点，再在其附近的整数点处比较大小，从而确定数列的最值.
考点六：递推数列问题
考法16：利用递推关系求特定项或通项
例17.（2026·浙江Z20联盟·检测）数列满足，且.若，则的最小值为（　　）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
【答案】B
【思路】先将递推关系式化简并因式分解，得到与的两种可能关系.为了使项数最小且达到100，需要数列增长最快，采用逆向推导的策略，从100倒推回首项2，确定最少的操作次数.
【解析】由得，即.分解因式得，即.∴或.∵，要使且最小，则数列的增长应尽可能快.逆向推导，从100倒推至2，每次操作为除以2（当结果为偶数时）或减2.要使操作次数最少，应尽可能多地除以2.100除以2得50，50减2得48，48除以2得24，24除以2得12，12除以2得6，6减2得4，4除以2得2（或4减2得2）.对应的正向序列为：，，，，，，，.共需7次操作，∴的最小值为8.故选B.
【规律】处理含有多种选择的递推关系求极值问题，逆向推导（从结果倒推初始状态）结合贪心策略（每次选择使变化最快的操作）是高效的解题方法.
考法17：探究递推数列的综合性质
例18.（2025·广东深圳中学·检测）（多选）已知数列的前项和为，若，且当时，则下列判断正确的有（　　）
A.
B. 数列为等比数列
C. 对任意
D. 若对于正整数，满足成等差数列，则
【答案】BCD
【思路】由递推公式计算前几项判断A；通过变形递推公式构造等比数列判断B；求出通项公式和前项和判断C；将等差数列的条件转化为关于的方程，结合整数条件求解判断D.
【解析】由，，代入计算得，，∴，A错误.∵，且，∴数列是以1为首项，为公比的等比数列，B正确.由，两边同乘，得，∴数列是公差为2的等差数列.又∵，∴，解得.求得，C正确.由成等差数列，得，即，整理得.∵，∴.又∵，当时，，故.此时，即.令，则，从而，显然，即.∴，D正确.故选BCD.
【规律】形如的二阶线性递推数列，常通过特征方程或待定系数法构造等比数列求通项.处理涉及整数变量的方程时，常利用不等式放缩缩小范围后枚举验证.
考法18：结合实际情境或排列组合构造递推关系
例19.（2026·湖南株洲·一模）某AI公司每天维护1000个训练任务节点，每星期一有A，B两种数据更新方案可选.统计显示，凡是在星期一选择A方案来维护训练任务节点，下星期一有20%会改用B方案；而选择B方案来维护训练任务节点，下星期一有30%会改用A方案.用分别表示在第个星期的星期一选择A方案和选择B方案来维护训练任务节点的个数，则与的关系可以表示为（　　）
A. B.
C. D.
【答案】A
【思路】根据题意分析第个星期一选择A方案的节点来源：一部分是上周选A且保留的，另一部分是上周选B且转为A的.利用消去，即可得到与的递推关系.
【解析】由题意可知，总维护节点数不变，即.对于第个星期一选择A方案的节点，一部分来源于第个星期一选择A方案且未改变方案的节点，占；另一部分来源于第个星期一选择B方案且改变为A方案的节点，占.因此，第个星期一选A方案的节点数.将代入，可得.故选A.
【规律】在实际情境中建立递推模型，核心是理清状态转移的过程.利用总量守恒（如总数不变）消去多余变量，是构建单一变量递推关系的关键步骤.
考法19：递推数列中的参数范围与开放性问题
例20.（2026·河北邯郸·一模）已知递增数列满足，且，则满足的关系式不可能是（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【思路】利用数列递增的定义得出参数满足的不等关系.对于选项，采用反证法或举反例的方法.假设某关系式成立，推导出与已知条件矛盾的结果，即可判定其不可能.
【解析】∵是递增数列，∴.又∵，∴，则.若，则，则.由，得，即，矛盾，故满足的关系式不可能是.取，则，满足是递增数列，此时.取，则，满足是递增数列，此时.故选D.
【规律】处理抽象递推数列的参数关系问题，反证法和特值法是常用的排除手段.通过构造满足条件的特殊数列来验证选项，可以快速排除错误答案.
【考点六 方法总结】
1. 递推数列求通项的常用技巧：对于形如的递推关系，常通过构造辅助数列使其成为等比数列；对于复杂的非线性递推关系，可通过换元、取倒数、取对数等方法转化为基本数列模型.
2. 递推数列的综合性质探究：结合递推公式，利用数学归纳法证明数列的单调性、有界性等性质；或者通过计算前几项寻找周期性.
3. 实际情境中的递推构造：仔细分析题目描述的操作过程或状态转移规则，找出第次状态与第次状态之间的数量关系，从而建立递推方程.
四、高考真题
1.（2024·全国一卷·第8题）已知函数的定义域为，，且当时，则下列结论中一定正确的是（　　）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】∵当时，∴.又∵，则，，，，，，则依次下去可知，则B正确.且无证据表明ACD一定正确.故选B.
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一、考情分析 1
二、知识清单 1
三、典题精练 2
考点一：数列的周期性 2
考点二：数列的单调性 3
考点三：数列的最值项 4
考点四：数列中的规律问题 5
考点五：数列的恒成立问题 6
考点六：递推数列问题 6
四、高考真题 7
一、考情分析
1. 考查频次与题型
年份 题号与题型 分值 考察类型 考察内容
2024 第8题 单选 5分 直接 利用递推关系推断函数值（数列递推思想）
2025 — — — —
2026 — — — —
近三年全国一卷中，本讲知识仅在2024年以单选题形式直接考查过一次.题目主要将数列的递推关系融入函数背景中，侧重考查学生的赋值计算与逻辑推演能力.
2. 命题角度与特色
（1） 创新交汇：将数列的递推关系隐藏在抽象函数的性质中，以连续整数自变量的函数值更迭来替代传统的数列项，考查学生对递推思想的本质理解与灵活迁移.
（2） 侧重推演：弱化了对通项公式的刻板求解，更加注重通过逐项代入、逻辑推演来发现规律或确定数值的范围.
3. 备考策略
（1） 拓宽认知边界：在复习常规等差、等比数列的基础上，加强对斐波那契数列等特殊递推模型的理解，看透其本质特征.
（2） 强化推演能力：面对复杂或抽象的递推关系，要敢于并善于通过赋值法逐项推导，培养严密的代数推理与估算能力.
二、知识清单
1. 数列的概念
（1） 数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.
（2） 数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.
（3） 数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法.
2. 数列的分类
（1） 按照项数有限和无限分：有穷数列、无穷数列.
（2） 按单调性来分：
① 递增数列：.
② 递减数列：.
③ 常数列：（常数）.
④ 摆动数列.
（3） 按有无界限分：有界数列（存在正数，使得）、无界数列.
（4） 按周期性分：周期数列（存在正整数，使得对任意正整数都有）.
3. 数列的两种常用的表示方法
（1） 通项公式：如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.
（2） 递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.
三、典题精练
考点一：数列的周期性
考法1：利用递推关系求周期与特定项
例1.（2026·湖北孝感·一模）设数列满足，且，则的值为（　　）
A. B. C. D. 1
考法2：结合周期性求数列前n项和
例2.（2025·河南·联考）（多选）记为数列的前项和，且，则（　　）
A. B. C. D.
考法3：结合已知项求参数后利用周期性求值
例3.在数列中，已知，，，且，则（　　）
A. B. C. D.
考法4：利用函数迭代或三角函数求周期与特定项
例4.（2026·湖南·模拟）已知数列，若，则正整数的最小值为（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
考法5：斐波那契数列的余数周期探究
例5.斐波那契数列可以用如下方法定义：，且，若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列，则数列的第100项为（　　）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【考点一 方法总结】
1. 求解数列周期性问题的基本策略：先根据已知条件（如递推公式）计算出数列的前几项，观察并归纳出数列的周期.
2. 利用周期性求值：确定周期后，利用或的相关性质，将高次项或大项数的求和问题转化为首个周期内的项或和的计算.
3. 特殊数列的周期性：对于涉及三角函数的数列，可结合三角函数本身的周期性进行分析；对于取余构造的新数列，同样通过列举前几项寻找循环节.
考点二：数列的单调性
考法6：判断数列的单调性
例6.（2026·安徽马鞍山·一模）已知数列满足：，则（　　）
A. B.
C. D.
例7.（2026·山东东营·一模）（多选）已知数列满足，则下列结论正确的是（　　）
A. 数列为递增数列 B.
C. D.
考法7：由数列单调性求参数范围
例8.（2026·河北NT20·检测）已知数列的通项公式为，若是递增数列，则实数的取值范围是（　　）
A. B. C. D.
【考点二 方法总结】
1. 解决数列单调性问题的常用方法：
（1） 作差比较法：根据的符号判断数列是递增数列、递减数列或是常数列.
（2） 作商比较法：根据（或）与1的大小关系进行判断.
（3） 数形结合法：结合相应函数的图象直观判断.
2. 转化为函数单调性：将数列的通项公式看作关于的函数，利用导数或基本初等函数的单调性来判断数列的单调性.处理时需注意自变量为正整数的限制.
考点三：数列的最值项
考法8：利用作差法或作商法求数列最值项
例9.记为数列的前项和，若，则的最小值为＿＿＿＿＿＿.
考法9：结合函数性质求数列最值项
例10.已知数列满足，，则的最小值为＿＿＿＿＿＿.
考法10：由数列最值项求参数范围
例11.（2026·安徽A10联盟·检测）已知数列的通项公式为，若是数列的最大项，则（　　）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【考点三 方法总结】
1. 求数列的最大项与最小项的常用方法：
（1） 函数法：将数列视为函数当时所对应的一列函数值，根据的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出的最值，进而求出数列的最大（小）项.
（2） 单调性法：通过通项公式研究数列的单调性，利用且（）确定最大项，利用且（）确定最小项.
（3） 比较法：若有或时，则，则数列是递增数列，最小项为；反之则为递减数列，最大项为.
考点四：数列中的规律问题
考法11：代数式与新定义中的数列规律探究
例12.（2026·浙江·联考）已知表示不超过的最大整数（例如），数列满足，，则下列说法正确的是（　　）
A.
B.
C. 对任意，恒成立
D. 存在，
考法12：图形、网格与分形几何中的数列规律探究
例13.（2025·河北衡水中学·一模）如图，一个粒子的起始位置为原点，在第一象限内于两正半轴上运动，第一秒运动到，而后它接着按图示在轴、轴的垂直方向来回运动，且每秒移动一个单位长度，如图所示，经过秒时移动的位置设为，那么经过2019秒时，这个粒子所处的位置的坐标是＿＿＿＿＿＿.
考法13：数学文化与形数规律探究
例14.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1，3，6，10，第个三角形数为.记第个边形数为，以下列出了部分边形数中第个数的表达式：三角形数：；正方形数：；五边形数：；六边形数：，可以推测的表达式，由此计算（　　）
A. 4020 B. 4010 C. 4210 D. 4120
【考点四 方法总结】
1. 探究数列规律的基本步骤：从特殊到一般.先计算或观察前几项的具体数值或图形特征，归纳出一般性的递推关系或通项公式，再利用该公式求解特定项.
2. 处理新定义问题：紧扣题目给出的新概念或新规则，将其转化为熟悉的数列模型（如等差、等比数列或周期数列）进行求解.
3. 图形与实际情境中的数列：将图形的几何特征（如边长、坐标、点数等）或实际操作步骤转化为数列的项，寻找相邻项之间的递推关系.
考点五：数列的恒成立问题
考法14：数列不等式恒成立求参数范围
例15.（2026·河南新乡·三模）已知数列满足，其中.若对任意的恒成立，则实数的取值范围为（　　）
A. B. C. D.
考法15：结合函数图象求数列最值
例16.已知数列的通项公式，前项和是，对于，都有，则＿＿＿＿＿＿.
【考点五 方法总结】
1. 数列不等式恒成立问题的常用策略：分离参数法.将参数分离到不等式的一侧，转化为求数列的最值问题.即恒成立转化为；恒成立转化为.
2. 结合函数图象求最值：对于复杂的数列通项，可借助连续函数的图象和性质，先求出连续函数的最值点，再在其附近的整数点处比较大小，从而确定数列的最值.
考点六：递推数列问题
考法16：利用递推关系求特定项或通项
例17.（2026·浙江Z20联盟·检测）数列满足，且.若，则的最小值为（　　）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
考法17：探究递推数列的综合性质
例18.（2025·广东深圳中学·检测）（多选）已知数列的前项和为，若，且当时，则下列判断正确的有（　　）
A.
B. 数列为等比数列
C. 对任意
D. 若对于正整数，满足成等差数列，则
考法18：结合实际情境或排列组合构造递推关系
例19.（2026·湖南株洲·一模）某AI公司每天维护1000个训练任务节点，每星期一有A，B两种数据更新方案可选.统计显示，凡是在星期一选择A方案来维护训练任务节点，下星期一有20%会改用B方案；而选择B方案来维护训练任务节点，下星期一有30%会改用A方案.用分别表示在第个星期的星期一选择A方案和选择B方案来维护训练任务节点的个数，则与的关系可以表示为（　　）
A. B.
C. D.
考法19：递推数列中的参数范围与开放性问题
例20.（2026·河北邯郸·一模）已知递增数列满足，且，则满足的关系式不可能是（　　）
A. B. C. D.
【考点六 方法总结】
1. 递推数列求通项的常用技巧：对于形如的递推关系，常通过构造辅助数列使其成为等比数列；对于复杂的非线性递推关系，可通过换元、取倒数、取对数等方法转化为基本数列模型.
2. 递推数列的综合性质探究：结合递推公式，利用数学归纳法证明数列的单调性、有界性等性质；或者通过计算前几项寻找周期性.
3. 实际情境中的递推构造：仔细分析题目描述的操作过程或状态转移规则，找出第次状态与第次状态之间的数量关系，从而建立递推方程.
四、高考真题
1.（2024·全国一卷·第8题）已知函数的定义域为，，且当时，则下列结论中一定正确的是（　　）
A. B.
C. D.
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