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13.2.1 三角形的边 暑假预习练
2026-2027学年初中数学人教版（2024）八年级上学期
一、单选题
1．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．3，4，9 B．3，4，8 C．3，4，7 D．3，4，6
2．一个三角形的两边长分别是，，则第三边的长可能是下面的（ ）
A． B． C． D．
3．三角形的三边分别为、、，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知的三边长分别是a、b、c，化简的结果是（ ）
A．2a B． C． D．-2b
5．如图所示，小华测得一个圆规的一条支脚长为，另一只脚长为，则该圆规不可能画出圆的半径为（ ）

A． B． C． D．
6．设的三边分别为其中满足，则最长边c的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．优质的教育资源是社会民生问题，在侯马市委、市政府的关心和支持下，侯马市新二中建设如火如荼，预计今年9月份完工并投入使用，如图是建设中采用的三角形钢结构架，这其中蕴含的数学道理是（　　）
A．两点之间，线段最短
B．三角形任意两边之和大于第三边
C．垂线段最短
D．三角形具有稳定性
二、填空题
8．给出下列图形：其中具有稳定性的是________（把序号填在横线上）
9．已知的三条边长分别为5、7和x，则x的取值范围是________．
10．用一根长度为小木棒与两根长度分别为的小木棒组成一个三角形，那么这根小木棒的长度x可以是__________．
11．如图，__________（填“”，“”或“”）．
12．已知的三边长分别为，，，化简________．
三、解答题
13．已知三角形的三边长分别为6，10，，且为奇数，试求的值．
14．已知的边长a、b、c满足，且c是最长边，c是偶数，求的周长．
15．已知 、 是正整数，满足 ，且 、 、7是一个三角形的三边长，若 ， 也是一个三角形的三边长，求满足条件的 ．
16．已知的三边长为，，，且，，均为整数．
(1)若，，求边长的取值范围： ；
(2)在（1）的条件下，若为偶数，求的周长．
17．已知是方程组的解，且．试判断用a，b，m为长度能否构成一个三角形？若能，判断三角形的形状；若不能，说明理由．
18．阅读材料．
例题：若，求m和n的值．
解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，．
解决下列问题：
(1)若，求的值；
(2)若a，b，c是的三边长，且满足，求边长的取值范围．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 D C D B A C D
1．D
【分析】根据两边之和大于第三边判断即可．
本题考查了三角形三边关系定理，熟练掌握定理是解题的关键．
【详解】解：∵，与两边之和大于第三边不一致，
∴A不符合题意；
∵，与两边之和大于第三边不一致，构不成三角形，
∴B不符合题意；
∵,与两边之和大于第三边不一致，构不成三角形，
∴C不符合题意；
∵，与两边之和大于第三边一致，构成三角形，
∴D符合题意；
故选：D．
2．C
【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．根据三角形两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边即可得到答案．
【详解】解：设这个三角形第三边的长为，
这个三角形的两边长分别是，，
则由三角形的三边关系可得，，即，
它的第三边的长可能是．
故选：C．
3．D
【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，列出不等式解答即可求解，掌握三角形的三边关系是解题的关键．
【详解】解：由三角形三边关系可得，，
解得，
故选：．
4．B
【分析】本题考查了三角形三边关系，化简绝对值，整式的加减，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．根据三角形的三边关系得出，，进而化简绝对值，即可求解．
【详解】解：∵的三边长分别是a、b、c，
∴，，
∴，，
∴
，
故选：B.
5．A
【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．根据三角形的三边关系求解即可．
【详解】解：由一个圆规的一条支脚长为，另一只脚长为，不妨设，，如图所示：

那么，即．
由题意可知，圆规两脚间的距离就是所画圆的半径．
故选：A．
6．C
【分析】本题考查了非负数的性质，解二元一次方程组，三角形的三边关系，掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题关键．根据绝对值和平方的非负性，得到关于、的方程组，再根据三角形的三边关系求解即可．
【详解】解：，
，，
，，
又∵c为最长边
，
故选：C．
7．D
【分析】本题考查了三角形具有稳定性．根据三角形具有稳定性作答即可．
【详解】解：建设中采用的三角形钢结构架，这其中蕴含的数学道理是三角形具有稳定性．
故选：D．
8．②③
【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，解题的关键是熟练掌握三角形的稳定性质．
利用三角形的稳定性进行判断即可．
【详解】解：根据三角形具有稳定性可得，
具有稳定性的图形是②和③，
故答案为：②③．
9．/
【分析】本题考查了三角形的三边关系，已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知两边的差，而小于两边的和．根据三角形的三边关系：三角形第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可求出第三边长的范围．
【详解】解：，
则．
故答案为：．
10．4（答案不唯一）
【分析】本题考查构成三角形的条件，根据三角形的三边关系，确定的取值范围，进行求解即可．
【详解】解：由三角形三边关系得，
所以x的取值范围是．
故答案为：4（答案不唯一）．
11．
【分析】本题考查三角形三边关系的理解．根据题意利用两边之差小于第三边，两边之和大于第三边即可得到本题答案．
【详解】解：∵两边之和大于第三边，
∴，
故答案为：．
12．
【分析】此题主要考查了三角形三边关系以及绝对值的性质，整式的加减，正确得出的取值范围是解题关键．利用三角形三边关系进而得出的取值范围，进而利用绝对值的性质化简得出答案．
【详解】解：因为的三边长分别为，，，
所以．
解得．
∴，，
∴．
故答案为：．
13．的值为或或
【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形的三边关系求出的范围，进而确定的值即可．
【详解】解：∵三角形三边长分别为，且x为奇数，
∴，即：，
则的值为或或．
14．15或17
【分析】本题考查完全平方公式，平方的非负性，三角形的三边关系，根据三角形三边关系确定第三边的长度范围是关键．
首先利用完全平方公式将变形为，得到，，求出，然后分情况求解即可．
【详解】解：∵，
，
即，
∴，，
，
又∵是的三边，
，
又∵c是偶数，且c是最长边，
∴或8，
当时，周长为15，
当时，周长为17．
15．
【分析】本题考查三角形三边关系，考察推理能力与计算能力，属于中档题．
根据三角形三边关系可得 ， ， ， ，即可求出的值．
【详解】解： 、 、7是一个三角形的三边长，， 也是一个三角形的三边长，
， ，
， ，
a、b是正整数且，从开始分析．
当时，，即，同时，
所以，a可能取值9、10、11、12、13、14．
对于、、是三角形三边，需满足．
当，时，
，，．
，；
，，满足三边关系．
当，时，
，，．
，，不满足三边关系．
随着a增大，会更大，更不满足．
是正整数，
．
16．(1)、、、、
(2)或
【分析】本题主要考查了三角形三边之间的关系，解题的关键是掌握三角形三边之间的关系；
（1）根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，进而即可求解；
（2）将的值表示出来，分情况计算周长即可求解；
【详解】（1）的三边长为，，，
，，
，
即，且，，均为整数，
故的取值范围为：、、、、；
故答案为：、、、、
（2）解：为偶数，，
故可取，；
当时，的周长为；
当时，的周长为
17．a，b，m为长度能构成一个三角形，以a，b，m为长度构成一个三角形是等腰三角形
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，把代入，得出，结合可求出a，b，m的值，然后利用三角形三边关系和等腰三角形的定义判定即可．
【详解】解∶∵是方程组的解，
∴，
又，
∴联立方程组，解得，
∴，
∴，
∵，
∴a，b，m为长度能构成一个三角形，
以a，b，m为长度构成一个三角形是等腰三角形．
18．(1)
(2)
【分析】本题考查了完全平方公式、负整数指数幂、三角形的三边关系，熟练掌握完全平方公式是解题关键．
（1）先利用完全平方公式可得，从而可得，，再代入计算即可得；
（2）先利用完全平方公式可得，从而可得，，再根据三角形的三边关系求解即可得．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，．
∵是的三边长，
∴，即．
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