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25.2.1 配方法 暑假预习练 2026-2027学年
初中数学人教版（2024）九年级上学期
一、单选题
1．一元二次方程可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是，则另一个一元一次方程是（ ）
A． B． C． D．
2．代数式的值恒为（ ）
A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数
3．已知为实数，，，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4．已知，则的最小值是（ ）
A． B．0 C．2 D．4
5．关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”．如与就是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最大值是（ ）
A．2025 B．2026 C．2027 D．2028
二、填空题
6．若把代数式化为的形式，其中、为常数，则______．
7．把二次三项式化成的形式应为___________．
8．一元二次方程x2﹣6x＋9＝0的实数根是__________．
9．若将方程x2+6x=7化为(x+m)2=16，则m=______．
10．如图，已知点、、在数轴上位置如图，为原点，且为的中点，为的中点，若点表示的数为，点表示的数为，则的值是________．
11．某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤，如图．老师看后，发现有一名同学所负责的步骤是错误的，则这名同学是________．
12．新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是______．
三、解答题
13．解方程：x2﹣3x﹣1=0(用配方法)
14．如果求的值．
15．关于的方程有两个不相等的实数根，且为非负整数，求的值及此时方程的根．
16．阅读下面的解题过程，求y2+4y+8的最小值．
解：y2+4y+8＝y2+4y+4+4＝（y+2）2+4
∵（y+2）2≥0，即（y+2）2的最小值为0，
∴y2+4y+8的最小值为4．
仿照上面的解答过程，求x2+6x+13的最小值和6﹣a2+2a的最大值．
17．已知，．
(1)当a为何值时？．
(2)对于任意实数a，试比较A与B的大小．
18．问题：对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：
像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”，利用“配方法"，解决下列问题：
(1)分解因式：.
(2)比较代数式与的大小.
19．把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式：，解：原式
②，利用配方法求M的最小值：
解：
因为，所以当时，M有最小值5
请根据上述材料解决下列问题：
(1)在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式　　；
(2)用配方法因式分解；
(3)若，求M的最小值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5
答案 D A B D D
1．D
【详解】将两边开平方，得，则另一个一元一次方程是．
故选：D．
2．A
【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键．将原式整理为，即可获得答案．
【详解】解：∵，
又∵，
∴，
∴代数式的值恒为正数．
故选：A．
3．B
【分析】比较两个代数式的大小，采用作差法，对作差结果配方后，利用平方数的非负性判断差的符号，即可得到与的大小关系．
【详解】解：∵，，
∴，
去括号整理得：，
即：，
∵为实数，任意实数的平方非负，可得，
∴，即，
∴．
4．D
【分析】本题主要考查了配方法的应用．先根据题意得到，再利用配方法得到，当时，根据，推出，则，当时，根据，推出，则，据此可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴
；
当时，，
∴，
∴，
∴，
∴；
当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上所述，，当且仅当，即时，等号成立，
故选：D．
5．D
【分析】根据新定义求得a、b值，再利用配方得到，然后利用非负性求解即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，
∴一元二次方程的 “同族二次方程”为，即，
∴，，解得，
∴，
∵，
∴，即，
∴能取到最大值．
6．-7
【分析】利用配方法把变形为（x-2）-9，则可得到m和k的值，然后计算m+k的值．
【详解】x 4x 5=x 4x+4 4 5
=(x 2) 9，
所以m=2，k= 9，
所以m+k=2 9= 7.
故答案为-7
【点睛】此题考查配方法的应用，解题关键在于掌握运算法则.
7．
【分析】直接利用完全平方公式将原式进行配方得出答案．
【详解】．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了配方法的应用，正确应用完全平方公式是解题关键．
8．x1＝x2＝3
【分析】先把左边直接配方，得（x﹣3）2＝0，直接开平方即可．
【详解】解：配方，得（x﹣3）2＝0，
直接开平方，得x﹣3＝0，
∴方程的解为x1＝x2＝3，
故答案为：x1＝x2＝3．
【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
9．3
【详解】解：在方程x2+6x=7的两边同时加上一次项系数的一半的平方，得
x2+6x+32=7+32，
∴（x+3）2=16
∴m=3．
故答案为：3
10．2
【分析】利用中点公式可得，再求出的值即可．
【详解】解：为的中点，点表示的数为，
点表示的数是，
为的中点，
，
解得或，
，
，
故答案为：2．
【点睛】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，中点公式是解题的关键．
11．丁
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握用配方法解方程时，开平方要考虑正负两种情况，不能遗漏解是解题的关键．
依次检查配方法解一元二次方程的移项，配方，化简，求解四个步骤，找出错误的步骤．
【详解】解：甲的步骤：此步骤为移项，正确；
乙的步骤：此步骤为配方，两边同时加上一次项系数一半的平方，正确；
丙的步骤：此步骤为化简，正确；
丁的步骤
此步骤为求解 开平方，应得
当时，解得
当时，解得
所以方程的解应为，
丁同学只给出了一个解，遗漏了另一个解，因此步骤错误．
故答案为：丁．
12．
【分析】先根据题中的新定义，求出a，b的值，再将a，b的值代入代数式中，运用配方法求得其最小值．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，
∴应为，
∴，
∴，
∴，
∴，
代数式
，
∴代数式的最小值是．
故答案为：．
13．x=
【详解】试题分析：先移项，然后配方解出x即可.
试题解析：x2﹣3x﹣1=0,
移项，得x2－3x=1，
配方，得x2－3x+（）2=1+（）2，即（x－）2=，
解得，x－=±，
即x=.
14．．
【分析】将原式化为两个完全平方式,根据0+0式求出x,y,代入求值即可.
【详解】解：，
，，
则；．
．
【点睛】本题考查了二元一次方程的性质,属于简单题,将原式配方是解题关键.
15．．
【分析】由题意得到根的判别式，然后解此不等式得到，再根据为非负整数，得到m的值为0，代入原方程，得到方程为，再解此一元二次方程即可．
【详解】解：根据题意得，
因为方程有两个不相等的实数根，
所以
为非负整数，
此时方程为
．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、解一元二次方程等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键，，一元二次方程有两个不相等的实数根；，一元二次方程有两个相等的实数根；，一元二次方程没有实数根．
16．x2+6x+13的最小值为4,6﹣a2+2a的最大值是7
【分析】利用配方法把原式变形，根据偶次方的非负性解答．
【详解】x2+6x+13
＝x2+6x+9+4
＝（x+3）2+4，
∵（x+3）2≥0，即（x+3）2的最小值为0，
∴x2+6x+13的最小值为4；
6﹣a2+2a
＝﹣a2+2a﹣1+7
＝﹣（a﹣1）2+7，
∵（a﹣1）2≥0，
∴﹣（a﹣1）2≤0，即﹣（a﹣1）2的最大值是0，
∴6﹣a2+2a的最大值是7．
【点睛】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式和偶次方的非负性是解题的关键．
17．(1)或
(2)
【分析】本题考查了整式的加减、解一元二次方程、配方法的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）直接根据联立方程求出的数值即可；
（2）把两个整式作差，进一步配方，利用非负数的性质判断即可．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
整理得；，
解得：或；
（2）解：，
∵，
∴，
∴．
18．(1)a2-6a+8=(a-2)(a-4)；(2)x2-1>2x-3.
【分析】(1)前两项加9再减9，可以组成完全平方式；
(2)将与做差，对所得的差利用“配方法”进行求解即可得.
【详解】(1)a2-6a+8
=a2-6a+9-9+8
=(a-3)2-1
=(a-2)(a-4)；
(2)-()
=x2-1-2x+3
=x2-2x+2
=x2-2x+1-1+2
=(x-1)2+1，
不论x为何值，总有(x-1)2+1≥1>0，
所以x2-1>2x-3.
【点睛】本题考查了配方法，十字相乘法分解因式，偶次方的性质，因式分解的应用等，配方法是数学习题里经常出现的方法，应熟练掌握．
19．(1)16
(2)
(3)
【分析】（1）利用完全平方公式，加上一次项系数一半的平方即可；
（2）利用配方法分解因式即可；
（3）利用配方法得到，然后根据非负数的性质确定M的最小值．
【详解】（1）解：，
故答案为：16；
（2）解：
；
（3）解：
∵，
∴当时，M有最小值．
【点睛】本题考查了因式分解 配方法等，熟练掌握配方法和平方差公式及完全平方公式是解决问题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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