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§9.3 三角函数的性质
考纲·题型解读
1.掌握三角函数的定义域、值域、最大(小)值等性质,会求三角函数的定义域、值域、最大(小)值等.了解周期函数和最小正
周期的意义, 2π π掌握y=sin(ωx+φ),y=cos(ωx+φ)的最小正周期T= ,y=tan(ωx+φ)的最小正周期|ω| T= .
掌握三角函
|ω|
数的奇偶性与单调性,并能用它们解决一些问题.
2.高考对函数y=Asin(ωx+φ)的性质考查主要集中在周期性、单调性、最值等方面.选择题、填空题、解答题三种题型均
有,难度以中等为主,部分为容易题.
1 1+cos2x 1
题源1 三角函数的定义域、值域(或最值) 所以f(x)=2sin2xsinφ+ 2 cosφ-2cosφ
1 1
解题模型 =2sin2xsinφ+2cos2xcosφ
1
1. 三角形的定义域 = (2 sin2xsinφ+cos2xcosφ
)
求三角函数的定义域既要注意一般函数求定义域的
1
规律,又要注意三角函数自身的特有属性. =2cos
(2x-φ).
在高考试题中,一般是在指定的定义域内讨论函数的 1 1
又函数图象过点 (π,1 ),所以 = cos( π2× ,即具体性质. 6 2 2 2 6-φ)
2. 函数的值域(或最值) π
, cos(π-φ)=1.又3 0<φ<π,所以φ=3.求三角函数的值域与最值 除了前面函数一章介绍的
判别式、重要不等式、单调性等方法之外,结合三角函数的 (2)由(
1
1)知f(x)= cos( π2x- ),将函数y=f(x)的图
特点,还有如下常用方法: 2 3
(1)利用sinx、cosx 的有界性: 1象上各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变,得到函数
2 y=
例如:y=acosx+bsinx= a2+b2sin(ω+φ),x∈ 1 π
R,则y2≤a2+b2,∈[- a2+b2, a2+b2]. g
(x)y 的图象
,可知g(x)=f(2x)=2cos(4x-3 ) .
若x 的范围有所限制,则y=acosx+bsinx 的值域还
因为x∈ ,π0
需进一步讨论,这正是高考试题的核心内容. [ 4 ],所以4x∈[0,π],
(2)换元法: π 1因此4x- ∈ π- ,
2π ,故- ≤cos π4x- ≤1.,
利用换元法求三角函数的值域或最值,要注意前后的 3 [ 3 3 ] 2 ( 3 )
等价性,不能只注意换元,不注意其等价性,例如:求函数y 1所以y=g(x)在 [ π0, ] 上的最大值和最小值分别为 和
=sin2x+sinx+1的值域时,可令sinx=t,转化为y=t2 4 2
+t+1,t∈[-1,1]的值域. 1-4.
1 [真题2] (2019·天津)已知函数f(x)=2cosx(sinx-
[真题1] (2022·山东)已知函数f(x)=2sin2xsinφ+ cosx)+1,x∈R.
(1)求函数 (x)的最小正周期;
cos2
1
xcosφ- sin(π+φ)(0<φ<π), f其图象过点 π,12 2 (6 2 ) . (2)求函数f(x)在区间
(1)求 的值; [
π,3π
8 4 ] 上的最小值和最大值.φ
(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的 [解析] (1)f(x)=2cosx(sinx-cosx)+1
1 =sin2x-cos2x,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求函数2 g
(x)在
= 2sin( π2x-4 ) .[ π0, 上的最大值和最小值4 ] . 因此,f(x)的最小正周期为π.
[解析] (1)因 为 f(x)
1
= sin2xsinφ+cos2xcosφ- (2)解法一:因为f(x)= 2sin( π2x- ) 在区间 [π,3π2 4 8 8 ] 上
1
sin(π+φ)(0<φ<π). 为增函数,在区间 [3π,3π2 2 8 4 ] 上为减函数,又
·215·
(π ) , (3π) , B.最小正周期为 的偶函数f 8 =0 πf 8 = 2 π
C.最小正周期为 的奇函数
(3πf )= 2sin(3π π π- )=- 2cos =-1, 24 2 4 4 π
D.最小正周期为 的偶函数
故函数f(x)在区间 [π,3π] 2上的最大值为 ,最小值为8 4 2
[解析] 因 为 =2cos2 π -1=cos π =
-1. y (x-4 ) (2x-2 )
2π
sin2x 为奇函数,T= =π,所以选2 A.
[真题5] (2022· 浙 江)函 数 f(x)=sin( π2x-4 ) -
22sin2x 的最小正周期是 .
[解析] 由f()
2
x =sin( π2x-4 )-22sin2x=2sin2x-
解法二:作函数f(x)= 2sin( π2x-4 ) 在长度为一个周期 2 1-cos2x 2 2
2cos2x-2 2× 2 = 2sin2x+ 2cos2x- 2=
的区间 [π,9π 上的图象如下:8 8 ] sin( π2x+4 )- 2,故最小正周期为π.
由图象得函数 π 3πf(x)在区间 [ , ] 上的最大值为8 4 2,最 [真题6] (2018·山东)已知函数f(x)=Asin2(ωx+φ)
(3π) (
π
A>0,W>0,0<φ< ),且 ()的最大值为 ,其图象相小值为f 4 =-1. 2
y=f x 2
[ ] ( · ) ,,, 邻两对称轴间的距离为2
,并过点(1,2).
真题3 2022 辽宁 在△ABC 中 abc 分别为内角
()
, , , ( ) ( ) 1 求
;
A B C 的对边 且2asinA= 2b+csinB+ 2c+bsinC. φ
(2)计算f(1)+f(2)+…() +
(2020).
1 求A 的大小; f
(2)求sinB+sinC 的最大值. [解析] (1)y=Asin2(ωx+φ)
A A
=2-2cos
(2ωx+2φ).
[解析] (1)由已知,根据正弦定理得2a2=(2b+c)b+(2c A A
+b)c,即 a2=b2+c2+bc.由 余 弦 定 理 得 a2=b2+c2- ∵y=f(x)的最大值为2,A>0,∴2+2=2
,A=2.
2bccosA,
1
cosA=- ,A=120°. 又∵其图象相邻对称轴间的距离为2
,
故 ω>0,
2 1 π
∴ 2π ,
3 2 (() () : ( ) 2ω )=2ω=4.2 由 1 得 sinB+sinC=sinB+sin60°-B =2cosB+
∴f(x)
2 2
=2- cos(π π2 2x+2φ)=1-cos(2+21 φ) .
2sinB=sin
(60°+B).
∵y=f(x)过(1,2)点,∴cos
π
故当B=30°时,sinB+sinC 取得最大值1. (2+2φ)=-1.
π π
题源2 三角函数的周期性和奇偶性 ∴2+2φ=2kπ+π,k∈Z,∴φ=kπ+ ,4 k∈Z,又∵0<φ
π, π
解题模型 <2 ∴φ=4.
() : π π π 1. 求三角函数的周期,通常应将函数式化为只有一个 2 解法一 ∵φ= ,4 ∴y=1-cos(2x+2 )=
函数名,且角度唯一,最高次数为一次的形式,然后借助于 π
常见三角函数的周期来求解. 1+sin x,2
y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ),y=Atan(ωx+ ∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+1+0+1=4.
),( 2π 2πA>0,ω≠0) T= ,T= , 又∵y=f() ,φ 的最小正周期分为 x
的周期为42008=4×502.
|ω| |ω| ∴f(1)+f(2)+…+f(2020)=4×502=2008.
π
T=|ω|. 解法二:∵f(x)=2sin2 (π4+φ)
2. 函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的
∴ (1)+ (3)=2sin2 (π 3必要条件.在判断函数奇偶性时,往往需要将函数化简、变 f f 4+φ)+2sin2 (4π+φ)=2,
形、整理,然后结合定义或图象来判定.
f(2)+f(4)=2sin2 (π+φ)+2sin2(π+φ)2 =2,
[真题4] (2021·广东)函数y=2cos2 ( πx- )-1是 ∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=4.4 又∵y=f(x)的周期为4,2008=4×502.
( ) ∴f(1)+f(2)+…+f(2020)=4×502=2008.
A.最小正周期为π的奇函数
·216·
1 [ ( π ) ] 1题源3 三角函数的单调性 =2 1+cos2x+6 +1+2sin2x
1
解题模型 =2 [cos( π 32x+6 )+sin2x]+2
函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的单调区间的确 1= 3 3 12 è2cos2x+ sin2x
÷+
, π
2 2
定 基本思想是把ωx+φ 看作一个整体,比如:由2kπ-2 1 3=2sin( π2x+ )+π 3 2.
≤ωx+φ≤2kπ+ (2 k∈Z
)解出x 的范围所得区间即为增 π π π
当2kπ-2≤2x+3≤2kπ+
,
π 3 2
区间,由2kπ+ ≤ωx+φ≤2kπ+ π(k∈Z)解出x 的范2 2 5π π
即kπ- ≤x≤kπ+ (k∈Z)时,
围,所得区间为减区间. 12 12
若函数y=Asin(ωx+φ)中A>0,ω<0,可用诱导公 () 1 3函数hx = sin( π2x+ )+ 是增函数.
式将函数变为y=-Asin(-ωx-φ),则y=sin(-ωx- 2 3 2
φ)的增区间为原函数的减区间;减区间为原函数的增区间. 故函数h(x)的 单 调 递 增 区 间 是 [ 5π, πkπ- kπ+ ](k∈
对于函数y=Acos(ωx+φ),y=Atan(ωx+φ)的单调
12 12
)
性的讨论同上. Z .
题源 三角函数性质的综合运用
[真题7] (2022·安徽)动点A(x,y)在圆x2+y2
4
=1上
绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,12秒旋转一周.已知时间t [真题9] (2022·天津)已知函数f(x)=23sinxcosx+
2
=0时,点A 的坐标是 1,3 ,
2cosx-1(x∈R).
÷ 则当0≤t≤12时,动点A 的纵
è2 2 (1)求函数f(x)的最小正周期及在区间 0,
π 上的最大
坐标y 关于t(单位:秒)的函数的单调递增区是 ( )
[ 2 ]
A.[0,1] B.[1,7] 值和最小值;
C.[7,12] D.[0,1]和[7,12] () ( 62 若f x0)= ,5 x ∈ [π,π0 ,求4 2 ] cos2x0 的值.
[ 2π π解析] 由题意角速度为 = , π π ,12 6 y=sin(6t+3 ) 0≤t [解析] (1)由f(x)=23sinxcosx+2cos2x-1,得
π π π π 3 π π 5 (x)= 3(2sinxcosx)+(2cos2x-1), = 3sin2x+cos2x≤12 ≤ t+ ≤ 或 π≤ t+ ≤ π,解得3 6 3 2 2 6 3 2 0≤t≤1
f
=2sin π ,
或7≤t≤12. (2x+6 )
∴单调递增区间是[0,1]和[7,12]. 所以函数f(x)的最小正周期为π.
[点评] 读题困难,函数性质掌握困难. 因为 πf(x)=2sin(2x+ ) 在区间 [ π0, ] 上为增函数,在6 6
[真题8] (2019·湖南)已知函数f(x)=cos2 ( πx+ ,12) 区间 [π,π 上为减函数,又 () ,6 2 ] f 0 =1f (π6 )=2, πf (2 )=
() 1g x =1+2sin2x. -1,所以函数f(x)在区间 [ ,π0 ] 的最大值为2,最小值为-1.
(1)设x=x0 是函数
2
y=f(x)图象的一条对称轴,求g
(x0)的值; (2)由(1)可知f(x0)=2sin( π2x0+6 ) .
(2)求函数h(x)=f(x)+g(x)的单调递增区间.
1 又因为f(
6 3
x0)= ,所以sin( π2x0+ )= .
[解析] (1)由题设知f(x)= [1+cos( π2x+ ) ] . 5 6 52 6
由 π,π , π得 2π,7π ,
因为x=x0 是函数y=f(x)图象的一条对称轴,所以2x x0∈ [4 2 ] 2x0+ ∈0 6 [3 6 ]
π
+6=kπ
, 从而cos( π2x0+6 )=- 1-sin2 ( π2x0+6 ) 4=-5.
π
即2x =kπ- (k∈Z). 所以cos2x =cos[ ( π π0 6 0 2x0+6 )-6 ]
所以g(
1 1
x0)=1+2sin2x0=1+
π
2sin(kπ- ) . ( π π π 3-436 =cos2x0+6 )cos π6+sin(2x0+6 )sin6= 10 .
,( ) 1 ( π 1 3当k 为偶数时 g x =1+ sin [- 真题10] (2022·安徽)设△ABC 是锐角三角形,a,b,c0 2 6 )=1-4=4.
分别是内角 , , 所对边长,并且
1 π 1 5 A B C sin
2A=sin(π+B )·
当k 为奇数时,g(x0)=1+2sin6=1+4=4.
3
π 2
(2)h(x)=f(x)+g(x)
sin(3-B )+sinB.
·217·
(1)求角A 的值; (2)由A→B·A→C=12可得cbcosA=12. ①
(2)若A→B·A→C=12,a=27,求b,c(其中b[解 析] (1)因 为 sin2A = 3 1
è2cosB+2sinB
÷ ·
由余弱定理知a
2=c2+b2-2cbcosA,将a=2 7及①代
3 1 入,
3 1
得
cosB- sinB÷+sin2B = cos2B - sin2B +sin2è2 2 4 4
B c2+b2=52, ③
3 ③+②×2,得(c+b)2=100,所以c+b=10.
= ,4 因此,c,b是一元二次方程t2-10t+24=0的两个根.
3 π 解此方程并由, c>b
知c=6,b=4.
所以sinA=± .又A 为锐角 所以2 A=3.
(★代表高考出现的频次)
A.2 B.23 C.4 D.43
题源1 三角函数的定义域、 ( · ) , ( ) sinx+a7.2018 安徽 设a>0 对于函数f x = (sinx 0值域(或最值)(★★★★★) <π),下列结论正确的是 ( )
A.有最大值而无最小值
1.(2020·宁海)函数f(x)=cos2x+2sinx 的最小值和最 B.有最小值而无最大值
大值分别为 ( ) C.有最大值且有最小值
A.-3,1 B.-2,2 D.既无最大值又无最小值
,3 3 sinxC.-3 2 D.-2
, 8.(2020·重庆)函数 (x)= (0≤x≤2π)的值
2 f 5+4cosx
2.(2020·湖南)函数f(x)=sin2x+ 3sinxcosx 在区间 域是 ( )
[π,π ] 1上的最大值是 ( ) A.[- ,1 1,14 2 4 4 ] B.[-3 3 ]
1+ 3 3 1,1 2,2
A.1 B. 2 C.2 D.1+ 3
C.[-2 2 ] D.[-3 3 ]
3.(2021·湖南)若函数f(x)=(1+ 3tanx)cosx,0≤x< 9.(2020·上海)函数f(x)= 3sinx+sin(π2+x) 的最大
π,则f(x)的最大值为 ( ) 值是 .2
10.(2021· 上 海)函 数 y=2cos2x+sin2x 的 最 小 值
A.1 B.2
是 .
C.3+1 D.3+2 11.(2022·北京)已知函数f(x)=2cos2x+sin2x-4cosx.
4.(2020·四川)设0≤α<2π,若sinα> 3cosα,则α的取值 (1)求f(
π)的值;
范围是 ( ) 3
(2)求f(x)的最大值和最小值.
A.(π,π3 2 ) B.(π,3 π)
C.(π,4π) D.(π,3π3 3 3 2 )
5.(
1
2018·浙江)函数y=2sin2x+sin
2x,x∈R的值域是
( )
A. [ 1 3- ,2 2 ] B. [ 3,1-2 2 ]
C. éê 2 1,2 1 úù D. êé 2 1,2 1ê ú
ù
-2+2 2+2 ú ê -2-2 2-2 ú
π
6.(2018· 全 国 Ⅰ)当 01+cos2x+8sin2x
的最小值为 ( )
sin2x
·218·
12.(2022·重庆)设函数f(x)=cos( 2x+ π)+2cos2 x, B. 最小正周期为π的偶函数3 2 π
C. 最小正周期为 的奇函数x∈R. 2
(1)求f(x)的值域; πD. 最小正周期为 的偶函数
(2)记△ABC 的内角A、B、C 的对边长分别为a、b、c,若 2
2
f(B)
( ·全国 ) ( ) 是 ( )
=1,b=1,c= 3,求a的值. 16.2020 Ⅰ y= sinx-cosx -1
A. 最小正周期为2π的偶函数
B. 最小正周期为2π的奇函数
C. 最小正周期为π的偶函数
D. 最小正周期为π的奇函数
17.(2019·广东)简谐运动f(x)=2sin(π3x+φ)
( π|φ|< ) 的图象经过点(0,1),则该简谐运动的最小正周期2 T
和初相φ 分别为 ( )
π π
A.T=6,φ=6 B.T=6
,φ=3
13.(2020· 四 川)求 函 数y=7-4sinxcosx+4cos2x- , π πC.T=6πφ=6 D.T=6π
,φ=
4cos4x 的最大值与最小值. 3
18.(2020·四 川)设f(x)=sin(ωx+φ),其中ω>0,则
f(x)是偶函数的充要条件是 ( )
A.f(0)=1 B.f(0)=0
C.f'(0)=1 D.f'(0)=0
19.(2020·江苏)若函数y=cos( πωx- )(ω>0)的最小6
π
正周期是 ,则
5 ω= .
20.(2018·湖北)函数y=|sinx|cosx-1的最小正周期与
最大值的和为 .
x x
14.(2020·天津)已知函数f(x)=2cos2ωx+2sinωxcosωx 21.(2020· 湖 南)已 知 函 数 f(x)=cos
2 -sin22 2
( π+1x∈R,ω>0)的最小正周期是 . +sinx.2 (1)求函数f(x)的最小正周期;
(1)求ω 的值;
(2)求函数f(x)的最大值,并且求使f(x)取得最大值的x () (,
π) ( ) 42 π2 当x0∈ 0 且 时,求4 f x0 = 5 f
(x0+ )的值6 .
的集合.
题源2 三角函数的周期性和
奇偶性(★★★★)
15.(2020·广东)已知函数f(x)=(1+cos2x)sin2x,x∈
R,则f(x)是 ( )
A. 最小正周期为π的奇函数
·219·
题源3 三角函数的单调性(★★★★★) 题源4 三角函数性质的综合
运用(
( · ) () ( [ ,]) ★★★★★) 22.2019 江苏 函数f x =sinx- 3cosx x∈ -π0
的单调递增区间是 ( ) 27.(2022·陕西)对于函数f(x)=2sinxcosx,下列选项中
5π 5π π 正确的是 ( )A. [-π,-6 ] B. [- ,6 -6 ] A.f(x)在 (π,π ) 上是递增的
[ π ] 4 2C. - ,3 0 D. [ π- ,6 0] B.f(x)的图象关于原点对称
( · ) () ( π ) C.f()的最小正周期为23.2018 函数 x =tan 的单调增区间为 x 2π全国 f x+4 D.f(x)的最大值为2
( )
28.(2022·江苏)设定义在区间 ( ,π0 上的函数
( π, π), 2
) y=6cosx
A. kπ-2 kπ+2 k∈Z 的图象与y=5tanx 的图象交于点P,过点P 作x 轴的垂线,垂
B.(kπ,(k+1)π),k∈Z 足为P1,直线PP1 与函数y=sinx 的图象交于点P2,则线段
( 3π πC. kπ- ,4 kπ+
),
4 k∈Z
P1P2 的长为 .
π 3π 29.
(2020· 辽 宁)已 知 f(x)=sin ( πωx+ )(ω>0),
D.(kπ- , ),4 kπ+4 k∈Z
3
π π
( · ) 2 ,且 ()在区间24.2020 天津 函数y=2cosx 的一个单调增区间是 f (6 )=f (3 ) f x (π,π ) 有最小值,无最大值,6 3
( ) 则ω= .
A. ( π- ,π ) B. (0,π ) 30.(2022·广东)已知函数f(x)=Asin(3x+φ)(A>0,4 4 2
( , ), ) π在 时取得最大值
C. (π,3π π
x∈ -∞ +∞ 0<φ<π x= 4.
4 4 ) D. ( ,2 π) 12(1)求f(x)的最小正周期;
25.(2019·
x
全国Ⅰ)函数f(x)=cos2x-2cos2 的一个单 (2)求f(x)的解析式;2
2 π 12
调增区间是 ( ) (3)若f ( α+ )= ,求3 12 5 sinα.
(π,2π) (π,πA. )3 3 B. 6 2
C.(0,
π) D.(
π π
3 -
, )
6 6
26.(2019·辽宁)函数f(x)=sin( π πωx+6 )+sin(ωx-6 )
ωx
-2cos2 , (其中 )2 x∈R ω>0.
(1)求函数f(x)的值域;
(2)若对任意a∈R,函数y=f(x),x∈(a,a+π]的图象与
直线y=-1有且仅有两个不同的交点,试确定ω 的值(不必证 31.(2020· 安 徽)已 知 函 数 f(x)=cos
π
2x- +
明),并求函数y=f(x),
(
x∈R的单调增区间. 3
)
2sin( π )sin( πx-4 x+4 ) .
(1)求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程;
(2)
π π
求函数f(x)在区间[- , ]上的值域12 2 .
·220·
·221·
2022-2023高考题源拓展测试
未来高考还会这样考
(测试时间:90分钟 总分:100分)
一、选择题(本题包括7小题,每小题3分,共21分。每小题只 则f(x)的值域是 ( )
有一个选项符合题意)
A.[-1,1] B.êé 2 ùê- ,1úú
1.( 1)函数f(x)=lg(sin2x+ 3cos2x-1)的定义域是 2
( ) C.êé ,2ùú D.êé , 2ùê -1 2 ú ê
ú
π π
-1 -2 ú
A.{x|kπ- }
二、填空题(本题包括4小题,每小题5分,共20分)
π π π π
B.{x|kπ-6,
2 k∈Z
} 8.( 2)函数y=sin(x+3 )sin(x+2 ) 的最小正周期T
{ π 11πxk x k ,k } = .C. |π-4< < π+12 ∈Z 9.( 2)定义在 R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函
π
D.{x|kπ2.( 2)函数f(x)=sinx(cosx-sinx)的最小正周期为
( ) sinx
,则f (5π) 的值为3 .
π π
A. B. ( ) ( ) 310. 4 已知函数y=a-bcosxb>0的最大值是 ,最小值4 2 2
C.π D.2π 1
是- ,则函数y=2asin(-3bx)的单调递减区间为2 .
3.( 2)若函数f(x)=sin2
1
x- (x∈R),则f(x)是2 11.( 4)有下列四个命题:①函数y=cos2x+sinx 的最小
( ) 1
值是 ;②函数y=sin( π π2x+ 的最小正周期π 4 3 )+sin(2x-3 )
A.最小正周期为 的奇函数2 是π;③已知函数f(x)=lg(|x-2|+1),则f(x+2)是奇函数;
B.最小正周期为π的奇函数
④函数y=tan
π
x+ 的定义域是 x
π
x≠ +kπ,k∈Z ,其
C.最小正周期为2π的偶函数 ( 4 ) { 4 }
D.最小正周期为π的偶函数 中正确命题的序号为 .
4.( 2)若函数f(x)=sin2x-2sin2x·sin2x(x∈R),则 三、解答题(本题包括5小题,12~15每题12分,16题11分,共
f(x)是 ( ) 59分)
A.最小正周期为π的偶函数 12.( 1.4)已知函数f(x)=sin2x+2sinxcosx+3cos2x,x
B.最小正周期为π的奇函数 ∈R.求:
C.最小正周期为2π的偶函数 (1)求函数f(x)的最大值及取得最大值的自变量x 的
π 集合;
D.最小正周期为 的奇函数2 (2)求f(x)的单调增区间.
( ) 1 π5. 3 函数y=2sin
(2x+ )3 -sinxcosx
的单调递减区
间是 ( )
A.[ 7πkπ- , πkπ- ](k∈Z)12 12
B.[ π 5πkπ- ,12kπ+ ](12 k∈Z)
C.[ π, πkπ- kπ+ ](6 3 k∈Z)
D.[ π, 5πkπ-3 kπ+6 ](k∈Z)
6.( 1.4)设函数f(x)=2cos2x+ 3sin2x+a(a 为实常
数) π在区间[0, ]上的最小值为-4,那么a的值等于 (2
)
A.4 B.-6 C.-4 D.-3
1 1
7.( 1)已知函数f(x)= (2 sinx+cosx
)-2|sinx-cosx|
,
·222·
( ) () 6cos
4x+5sin2x-4
13. 2.4 已知函数f x = . 15.( 4)设函数 (x)=sin(πcos2x f 3-ωx)(1+ 3tanωx)cosωx
(1)判断f(x)的奇偶数; (ω>0),若函数f(x)的最小正周期为π.
(2)求f(x)的最小正周期. (1)求ω 的值;
(2)求函数f(x)的最小值及取得最小值时的x 值的集合.
14.( 4)已 知 向 量a=(1-tanx,1),b=(1+sin2x+ 16.( 4)已知函数f(x)=cos
π
2x- +2sin2x,x∈R.
cos2x,-3),记f(x)=a·b. ( 3 )
(1)求f(x)的定域、值域及最小正周期; (1)求函数f(x)的最小正周期及图象的对称轴方程;
2
(2)若 (α )- (α π π
(2)设函数g(x)=[) ( ) f
(x)]+f(x),求g(x)的值域.
f f + = 6,其中 , ,求2 2 4 α∈ 0 2 α.
·223·: , , 1 1 12第二步 i=3m=2n=2+
;
6 ∴cosα=- sinα
,
5
: , , 2 1 3第三步 i=4m=3n= + = ; 2 2 , 2 25又3 12 4 sinα+cosα=1 ∴sinα=169.
3
退出循环,输出结果为 5
4. ∵α是第四象限角
,∴sinα=- .故选13 D.
18.i>10 【解析】 由框图知,要经过10次 5.D 【解析】 本题考查解三角形,注意三角形
循环才能算出此表达式的值,∴i>10. 的条件和 同 角 关 系.由 钝 角 和 勾 股 数 可 得cosA=
19.20 【解析】 第一步执行后:S=5,a=4,满 12
- ,选D.
足a≥4,计 算 S=5×4=20,a=3,退 出 循 环,输 13
出20. 6.B 【解析】 考查三角函数的运算与转化能
20. 可以填写I>199 ,I>200 ,I≥200 ,I≥ 力,已知正弦和余弦的一个等量关系,可以结合正弦
201 【解析】 共计算100项的和,判断框中I> 余弦平方和等于1,联立方程组解得正弦余弦的值,
199,I>200,I≥200,I≥201都可以. sinα再利用tanα= 求得,运算量较大,作为选择题不cosα
第九章 基本初等函数Ⅱ 适合.也可以利用三角变换处理,原等式即 5sin(α+
§9.1 三角函数的概念、同角三角函数 φ)
1
=- 5,其中tanφ= ,
π
2 0<φ<
,
的关系式和诱导公式 2
∴sin(α+ )=-1,
五年高考母题原型训练 φ
3π
1.C 【解析】 ∵cosθtanθ<0, ∴α+φ=2kπ+ ,2 k∈Z
,∴tanα=cotφ=2.
{cosθ<0, ,∴ ( cosθ>0角θ为第三象限角)或 也可观察得到答案.tanθ>0 {tanθ<0 7. -2 【解析】 本题考查了同角三角函数间
(角θ为第四象限角),∴角θ为第三象限角或第四象
的相互关系.
限角,故应选C.
25 π
3 3 ∵sinα= 且 ≤α≤π,
2.1+ 【解析】 本题考查平面向量基 5 22 2
本定理、创新意识.以 A 为原点,以 AB 为x 轴,AC 5 sinα∴cosα=- ,5 tanα=cosα=-2.
为y 轴建立直角坐标系,且取单位长度为 AB,则问 7 π 3π
题转化为求D 点坐标(x,y),易知BC= 2,所以DE 8. - 【解析】 ,25 ∵2≤θ≤4 ∴π≤2θ≤
, 6 3π 1 24= 2 所以BD=DEsin60°= ,易知直线BD 的倾 ,由2 2 sinθ+cosθ=5 sin2θ=-
,
25
7
斜角是45°,
3
所以 D 点纵坐标y=BDsin45°= ,D 结合2θ范围 cos2θ=-2 25
.
3 9. 考查三角函数性质和同角三角函数的基本关
点的横坐标x=1+BDcos45°=1+2. 系、三角恒等变换等知识,考查化归与转化、数形结合
3.D 【解析】 本题解题思路是围绕着同角三 的数学思想方法,以及推理论证能力、运算能力.
角函数间的基本关系式进行化简.由(tanx+cotx)· 解:(1)∵f(x)=Asin(x+φ)(A>0,0<φ<π)
1 的最大值是1,
cos2x= (sinx cosx 2 · 2cosx+sinx )cosx=sinxcosx cosx= ∴A=1.
cosx
sinx=cotx
可知,选D. ∵f(x)的图象经过点 M (π,13 2 ),
4.D 【解析】 本小题主要考查同角三角函数 π 1∴sin = .
基本关系式及三角函数象限角符号特征. (3+φ) 2
sinα 5 π
∵tanα=cosα=-
,
12 ∵0<φ<π φ=2.
·120·
() 和二倍角公式∴f x =sin( πx+2 )=cosx. .π 3
(2)∵f(x)=cosx, ∵sin(2+θ)=cosθ= ,5
3 2
∴f(α)=cosα= ,f(β)
12
5 =cos
3 7
β=13. ∴cos2θ=2cos
2θ-1=2× (5 ) -1=-25.
2 15.B 【解析】 本小题主要考查了同角三角函
已知α,∈ ( πβ 0,2 ),所以sina= 1- (35 ) = 数的关系,将已知与求解合理沟通,从而达到有效求
4, (12
2
) 5 2sinα-cosα 2tanα-1 4-1 35 sinβ= 1- 解的目的.13 =13. sinα+2cosα=tanα+2=2+2=4.
故f(α-β)=cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ= 16.D 【解析】 本题考查三角函数求值和对
3 12 4 5 56 “” sin
2θ+sinθcosθ-2cos2θ
× + × = . 1 的应用问题.所求式5 13 5 13 65 = sin2θ+cos2θ =
10. 本小题主要考查角和差公式,用同角三角函 tan2θ+tanθ-2 4
= .
数关系等解斜三角形的基本知识以及推理和运算 1+tan2θ 5
能力. 2012—2013高考题源拓展测试
解:(1)∵C=π-(A+B). 1.D 2.D 3.D 4.B 5.A 6.C 7.A
1 3 8.D
4+5
∴tanC=-tan(A+B)=- 3 π1 3=-1. 9. 3 10.0
或
1- 44×5
4
, 3 11. 12. ③又∵03 13. 解:(1)∵角α的终边过点P(1,3),(2)∵C= π,∴AB 边最大,即4 AB= 17. 可设x=1,y= 3,则r=2,
又∵tanA∴角A 最小,BC 边为最小边.
sinA 1 ∴sin(π-α)-sin(π2+α)=sinα-cosα{tanA= ,由 cosA=4 且 A∈ ( ,π0 ,得2 ) sinA 3-1sin2A+cos2A=1, = 2 .
17
= 17 . (2)S={ πα|α=2kπ+ ,3 k∈Z}
AB BC sinA
由
sinC=
得:
sinA BC=AB
· 1 π π
sinC= 2. 14. 解:(1)f(α)=- ()2sinα 2 -6<α<3
所以,最小边BC= 2. : x15. 解 tan =2
11.D 【解析】 sin15°cos75°+cos15°sin105°= 2
sin15°cos75°+cos15°sin75°=sin(15°+75°)=sin90° x2tan
=1,故应选D. ( 2 41)tanx= x =-2 3
12.B 【解析】
A+B , 1-tan 由tan 可 求 出 22 =sinC
π cos
2x-sin2x 1-tan2x 1
∠C= , ,
(
②④ B. 2
)
验证出正确的 选
2 sinxcosx-sin
2x=tanx-tan2x=4
1 3+1 3
13. - 16. 解:(1) ()2 2
2 2
7 3 1 π π
14. - 【解析】 考查三角函数的诱导公式 (3)x1= ,x2= ,此时25 2 2 θ=
或
3 θ=6
·121·
: π, π 各 点 横 坐 标 伸 长 到 原 来 的 2 倍 得 y =17. 解 存 在α= 4 β=
使 两 个 等 式 同 时
6
成立. sin(1 πx- ),故选2 10 C.
§9.2 三角函数的图象 8.C 【解析】 本 题 考 查 三 角 函 数 图 象 变 换
五年高考母题原型训练 知识.
1.B 【解析】 方法一:y=1+cosx 的图象是 由y=sinx(x∈R)的图象上所有的点向左平行
由y=cosx 上移一个单位得到,由y=cosx 的图象 π移动 个单位长度得 π
3 y=sin(x+ ),再把所得图即得. 3
方法二:由y=1+cosx 的奇偶性得. 1象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不
2.A 【解析】 本题考查三角函数的图象变换 2
等知识. 变),得到的图象所表示的函数是 πy=sin(2x+3 ) .
函数y=sin( π2x- )=sin2( πx- ),它的周 此题属容易题.注意“先平移后伸缩”与“先伸缩3 6
后平移”的区别与联系
期T=π.可以看作函数f(x)=sin2x 的图象向右平 .
9.D 【π 解析
】 本题考查三角函数的图象和性
移 个单位得到的
6 .
所以可得答案A. 质,由函数的最小正周期为π,得ω=2,再由图象平移
3.D 【解析】 y=tanx+sinx-|tanx-sinx| π得φ=8.ì
2tanx
,x∈ (π,2 π], 3
= í 10. 【解析】 本题考查三角函数的图象和
2sinx,x∈ ( ,3π
2
π ),2 函数解析式.由图象可知三角函数的周期为 T=4×
其对应的图象如图所示,故选D. π 2π= ,
3
所以
3 ω ω=2.
11.B 【解析】 本题为三角函数题,从图象中
2π
可以读出周期为π,利用公式T= 可求得ω ω=2.
2π
本题考查学生的识图能力,以及公式 T= 的ω
4.A 【解析】 考查三角函数的图象及性质.
y 应用,属于容易题.
12.3 【解析】 本题考查了由三角函数图象求
π π 三角函数解析式问题 由图象可得该函数的周期为- O 2π 7π 5π x
. T
3 6 3 6 3 2π 2π
=3=
,
ω ∴ω=3.
5.A 【解析】 考查三角函数图象平移.理解牢
9 3
记 平 移 口 诀:上 加 下 减,左 加 右 减.g (x)= 13. 【解析】 由图象可得 (10π T=22π-4
cos( πx+2 )=-sinx. π) 5 2π= π= , 4解之得ω= ,将 3 , 代入2 ω 5 (4π -1) y
6.B 【解析】 本题考查三角函数的图象变换 3
及诱导公式与二倍角公式.将函数y=sin2x 的图象 =sin(4x+φ) 可得5 sin(35π+φ)=-1,则5π+φ
π
向左平 移 个 单 位, π
4 f (x+4 ) =sin2( πx+ ) = 34 = π, 9可解得2 φ=10π.
sin( π2x+ )=cos2x,再向上平移1个单位,2 y=1+ 14.(1)解:由最低点为 M (2π,3 -2) 得A=2.
cos2x=1+2cos2x-1=2cos2x,选B. π T
【 】 由 轴上相邻两个交点之间的距离为 得7.C 解析 将函数y=sinx 的图象上所有 x 2 2
π
点向右平移 个单位得 =sin( πy x- ,再把所得 π10 10) =2
·122·
, 2π 2π 3即T=π ∴ω=T=π=2. ∴f
(x)∈ [- ,2 3]
(2π, ) 【失分警示】 求错w,注意x 的范围由点 M -2 在图象上得 .3 2012—2013高考题源拓展测试
2sin( 2π2× +φ)=-2. 1.D 2.B 3.A 4.D 5.D 6.A 7.C3
8.C
即sin(4π3+φ)=-1, 9. {θ π 5π≤θ≤6} 10.14π π
故 +φ=2kπ- ,
11π
3 2 k∈Z
,∴φ=2kπ- 6 . 11.5 12. ①③
( π ) π 13. 解:(1) (x)=2sinxcosx+ 3(2cos
2x-1)
又 φ ∈ 0, ,∴φ = ,故 f ( )
f
2 6 x =
=sin2x+ 3cos2x=2sin( π2x+ ) .
2sin( π 32x+6 ) .
(2)∵x∈ [π,π , π12 2 ] ∴2x+ ∈ [π,7π],6 3 6
π π, π当2x+ = 即x= 时,f(x)取得最大值 ;6 2 6 2
π 7π π
当2x+ ,即 时, ()取得最小值6=6 x=2 f x
-1,
故f(x)的值域为[-1,2].
π π
15.D 【解析】 令2x+3=kπ+
,k∈Z,可2
1 π
得x= kπ+ ,k∈Z,即得函数2 12 y=sin( π2x+ ) 的3
π
一条对称轴方程为x= ,故应选12 D.
16.A 【解析】 由题意得y=
3cos( 4π )=3cos(8π2×3+φ 3+φ) =3cos(2π3+φ) =0,
π π
φ=- ,|φ|= .本题属于简单题,考查三角函数的6 6
性质.
2π π
17.A 【解析】 T= ,ω ω=2
;将x= 代入3 y
=sin ( π π π2x+ ) 可 知 是3 y=sin (2× + ,3 3 ) =0
∴点 (π,0) 是函数y=sin( π2x+ ) 的对称中心,故3 3
应选A.
18. [ 3- ,2 3] 【解析】 由f(x)与g(x)对称
轴完全相同,可知ω=2
π
∵0≤x≤ ,2
π π 5
∴-6≤2x-6≤6π.
·123·
x π π π 7π 5π ()
π
- 把6 12 3 12 6 2 y=sinx
的图象上所有点向左平移 个
4
ωx+ 0 πφ 2 π
3
2π 2π 单 位 得 到 y=sin ( πx+ ) 的 图 象;再 把4 y=sin
f(x) 0 2 0 -2 0 ( π ) 1x+ 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ,4 2
图象如图.
纵坐标不变得到y=sin( π2x+ ) 的图象;再把4 y=sin
( π2x+ ) 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的4 2
倍,横坐标不变得到y= 2 ( π2x+ ) 的图象4 .
( π π3)x= 时,f(x)有最大值 2,x= 时,f( )8 2 x
有最小值-1.
() π π 3π2 由2kπ+2≤2x+3≤2kπ+
(
2 k∈Z
)得 16. 解:(1)依题意得f(0)=a+c=1,
π
π 7π f =a+b=1,
kπ+ ≤x≤kπ+ (
( )
12 12k∈Z
), 4
∴c=1-a,b=1-a,f(x)=a+ 2(1-a)·
故单调减区间为 [ π 7πkπ+ , ( )12kπ+12] k∈Z . sin( π2x+ ),4
注:( π, 7πkπ+ (12kπ+12) k∈Z)也可以. [ ,π ] π π 3π由x∈ 0 得 ,4 4≤2x+4≤4
14. 解:(1)由图象可知A=2,周期T=8,
2π π 2 π
∵T= =8,∴ω= . 2≤sin(2x+4 )≤1,ω 4
( ,), 当1-a>0时,f(x)的最大值为又∵图象经过点 -10
( )
( π ) a+ 21-a =22-1
,解得a=-1;
∴2sin -4+φ =0
,
当1-a=0时,f(x)的最大值为1,不符合题意,
π
∵||< ,
π 当
∴ = , 1-a<0时
,f(x)的最大值为a+ 2(1-a)φ 2 φ 4
2
(π π ) × =1
,不符题意,
∴f(x)=2sin 4x+4 .
2
故 () π
(2)y=f(x+2)+ 2 ( π πsin4x+cos4x)
f x =22sin(2x+4 )-1.
(2)将函数f(x)的图象按向量a=(m,n)平移
=2sin(π π π 后,得到的函数图象的解析式为:4x+2+4 )+
( π π π π y=22sin2(x-m)
π
+ -1+n
2sin ·4x cos +cos x
·sin ) [ 4 ]4 4 4
π
(π π ) (π π ) =22sin(2x-2m+=2cos 4 )-1+n,4x+4 =22 4x+4
π π π 由函数是奇函数知,
π
n-1=0,-2m+ =kπ,k
=22sin( , 44x+2 )=22cos4x ∈Z,
∴ π πy=f(x+2)+ 2 (sin4x+cos4x) 的最大 π又∵|m|< ,2
值为22,最小值为-22. 3
15. 解:(1)π ∴n=1
,m=- π,故a= ( 3- π,8 8 1) .
·124·
17. 解:(1)当x∈ [ π 2π T 2π 等题.- , ] 时, ,6 3 A=1 4=3 2.C 【解析】 本题是三角函数的最值求解问
π π
- = , , ( ) 2 1-cos2x 36 2 题 f x =sinx+ 3sinxcosx= 2 + 2
∴T=2π. 1
sin2x=sin( π )+ ,x∈ [π,π π2π 2x- ];∴2x-
∴ω=T=1
,f(x)=sin(x+φ). 6 2 4 2 6
∈ [π,5ππ ],
∵f(x)关于直线x= 对称,且取得最大值, 3 66
() 3π π ∴f x 的最大值为 .
∴6+φ=2kπ+
, 2
2 本题考查学生对三角公式的应用以及对三角函
π π π π
∴φ=2kπ+ .∵- <φ< ,∴φ= . 数最值问题的求解掌握情况.3 2 2 3
π 2π π 3.B
【解析】 y=(1+ 3tanx)cosx=cosx+
∴当x∈ [- , ] 时,(6 3 f x)=sin(x+ ,3 ) π π π3sinx=2sin( πx+ ),由6 0≤x<2 6≤x+
当x∈ [ , π 时, ( ) π
6
-π -6 ] f x =f (-3-π)= 2π π< ,故当3 x= 时有最大值为3 2,故选B.本题考查
sin( π π-3-x+3 )=sin(-x)=-sinx. 三角函数的化简与求最值的方法,是基础性题.
ì [ π ] 4.C 【解析】 本题解题思路是先将不等式进 -sinx x∈ -π,- ,6 行转化,再借助于相关三角函数的图象来确定解集
∴f(
.
x)= í
sin( πx+ ) x∈ [ π- , 2π- ] . 由 sinα > 3cosα 得 sinα - 3cosα >0,2sin 3 6 3
( π ) π π 5π又[ π 2π] ( π ) α-3 >0. 0≤α<2π
,- ≤α- < ,因此
(2)当x∈ - , ,f(x)=sinx+ = 3 3 36 3 3
π
0<α- <π,
π 4π
2 3 3<α<
,选
3 C.,
2 5.C 【解析】 考查两角和差公式及三角函数
π
x1=- ,
5π
x2= 1 1-cos2x12 12. 的值域.由已知得y=2sin2x+ 2 =
由对称性, 2f(x)= 在x∈ [-π, π- ] 的解, 2 12 6 2sin ( π2x-4 ) + ∈ é 2 1 2 1 ù2 êê- + , ú,故 2 2 2+2 ú
π, 3πx =- x =- . 选3 4 C.4 4
6. C 【解 析 】 令 y = f (x)=
() 2 π∴f x = 的解为x1=- ,
5π
x2= ,x3= 1+cos2x+8sin2x 5-3cos2x2 12 12 = ,可 得sin2x sin2x ysin2x +
π, 3π- 54 x4=-4. 3cos2x=5,整理sin(2x+φ)= (其中tanφ=
y2+9
§9.3 三角函数的性质 3
五年高考母题原型训练 ),由|sin(2x+φ)|≤1,可求y≥4,故选C.y
1.C 【解析】 本题是关于三角函数最值的问 7.B 【解析】 令t=sinx,t∈(0,1],则 函 数
题,y=1-2sin2x+2sinx(sinx∈[-1,1]),当sinx
() sinx+a a
1 3 f x =
(
sinx 0)的值域为函数y=1+ ,t
= 时,4 y
取最大值 ,当
2 sinx=-1
时,y 取最小值
( a
-3. t∈ 0
,1]的值域,又∵a>0,所以y=1+ , (,t t∈ 0
本题是三角函数中的最值问题,注意运用cos2x 1]是一个减函数,故选B.
=1-2sin2x,以及sinx 的有界性即可,本题属于中 8.C 【解析】 本题解题思路是通过适当变形
·125·
去掉根号,确定相应式子的范围,得出答案.令t=5+ 【点评】 三角函数求最值方法常用两个.一是化
, , t-5, sinx
2 归转化成一个角,一个三角函数名称,再利用y=
4cosx 则1≤t≤9cosx= ÷4 =è 5+4cosx sinx 求最值,另就是转化为关于sinx 或cosx 的二次
t-5 21- ( ) 函数型.注意令t=cosx 换元必换域.sin2x 1-cos2x 4 1
5+4cosx=
9 2 2
5+4cosx= t =-16 (t+t )+ 12. 解:(1)f(x)=cosxcos3π-sinxsin3π+
5 () 9 9.记8 gt =t+
,
t t∈
[1,9],则g'(x)=1- ,当 cosx+1t2 t∈ 1 3
(1,3)时,g'(t)<0;当t∈(3,9)时,g'(t)>0,因此函数 =-2cosx-2sinx+cosx+1
() 9gt =t+ 在[1,3]上是减函数,在[3,9]上是增函数, 1 3t =2cosx-2sinx+1
注意到g(1)=g(9)=10,g(3)=6,于是有6≤g(t)
1 5 1 5 1 =sin( 5πx+ )+1,
≤10,-16×10+8≤-
9
16(t+t )+8≤- 616× 因此f(x)的值域为[0,2].
5, 1 9 5 16+ 即 , 5π8 0≤ - 16(t+t ) + 8 ≤ 4 0≤ (2)由 f(B)=1得sin (B+ ) +1=1,得6
sinx 2 1, 1 sinx 1 ÷ ≤ - ≤ ≤ ,即函 5π ,
è 5+4cosx 4 2 sinB+ =05+4cosx 2 ( 6 )
( ) sinx
π
数 f x = (0≤x≤2π)的 值 域 是 又因01 1 由余弦定理b
2=a2+c2-2accosB,得a2-3a+
[- , ],选2 2 C. 2=0,解得a=1或2.
13. 解:y=7-4sinxcosx+4cos2x-4cos4x
9.2 【解析】 f(x)= 3sinx+sin(π2+x)= =7-2sin2x+4cos2x(1-cos2x)
π π =7-2sin2x+4cos2xsin2x
3sinx+cosx=2sin( πx+ ),当6 x+6=2kπ+ ,2 =7-2sin2x+sin22x
, π ( )
2
k∈Z 即x=2kπ+ ,k∈Z时,3 f
(x)max=2×1=2. = 1-sin2x +6
令sin2x=u,u∈[-1,1]
10.1- 2 【解析】 y=2cos2x+sin2x=1+ 由于函数z=(u-1)2+6在[-1,1]中的最大
值为
cos2x + sin2x = 1 + 2 cos ( π2x- ,当4 ) zmax=(-1-1)2+6=10,
cos( π2x- )=-1时,y =1- 2. 最小值为最小值4 zmin=(1-1)2+6=6,
11. 解:(1)f (π3 ) 2π π π=2cos3+sin2 -4cos 故当sin2x=-1时y 取得最大值10;当sin2x3 3
=1时y 取得最小值6.
3 9
=-1+4-2=-4. :()() ·1+cos2ωx14. 解 1f x =2 2 +sin2ωx+1
(2)f(x)=2(2cos2x-1)+(1-cos2x)-4cosx =sin2ωx+cos2ωx+2
=3cos2x-4cosx-1
= 2 ( π π2 sin2ωxcos +cos2ωxsin +2
=3( 2cosx-3 ) 7- ,
)
3 x∈R.
4 4
π
因为cosx∈[-1,1],所以,当cosx=-1时, = 2sin(2ωx+4 )+2
() ; 2f x 取最大值6 当cosx= 时,f(x)取最小值 , π 2π3 由题设 函数f
(x)的最小正周期是 ,可得2 2ω
7
- . π= ,所以3 2 ω=2.
·126·
() () ,() ( π ) 21. 解:由 题 设 有 f ( )2 由 1 知 x = 2sin +2. x =cosx +sinx =f 4x+4
2sin π .
π π , π kπ
(x+ )
当4x+ = +2kπ 即x= + (
4
4 2 16 2 k∈Z
)
(1)函数f(x)的最小正周期是T=2π.
时,sin( π4x+ 取得最大值 ,所以函数 ( )的最 42 π 424 ) 1 f x (2)由f(x0)= 得5 2sin(x0+ ,4 )= 5
大 值 是 2 + 2, 此 时 x 的 集 合 4
即sin π = .
为{x π kπ
x0+
x=16+
,
2 k∈Z}
( 4 ) 5
.
因为 ,π , π所以 π,π
15.D 【解析】 求三角函数的最小正周期的一 x0∈ (0 4 ) x0+4∈ (4 2 ) .
般思路是先把三角函数化简为正弦型或余弦型、正切
从 而 cos π = 1-sin2 π =
型的形式,再利用最小正周期公式计算,因为f(x)= (x0+4 ) (x0+4 )
(1+cos2x)sin2x = (1+2cos2x -1)sin2x = 2 3
1- 4 = .
2 2 1 2 1 ·1-cos4x 1
(5 ) 5
2sinxcosx= 2sin2x= 2 2 = 4 -
于是 π = 2sin π π
1 , () 2π π
f (x0+6 ) (x0+6+4 )
4cos4x
所以f x 的最小正周期T= = ,可验4 2
= 2sin π π
( ) (), ( ) π
[ (x0+4 )+6 ]
证得f -x =f x 故f x 是最小正周期为 的2 π π π π
偶函数,答案为D. = 2 [sin(x0+4 )cos6+cos(x0+4 )sin6 ]
16.D 【解析】 本小题主要考查同角三角函数
4 3 3 1 46+32、 ÷基本关系式 二倍角公式及三角函数的有关性质. = 2 = .è5×2+5×2 10
y=(sinx-cosx)2-1=1-sin2x-1= - 22.D 【解析】 由f(x)=sinx- 3cosx=
sin2x,所以函数是最小正周期为π的奇函数,故选D. π
17. A 【解析】 将 点(0,1)代 入 f(x)= 2sin(x- ),3
1
2sin(πx+φ) 可得3 sinφ= , π2 ∵x∈[-π,0],∴x- ∈ [ 4- π, π3 3 - ,3 ]
π π 2π
∵|φ|< ,∴φ= ,2 6 T=π=6
,故应选A. π π π π令-2≤x- ≤-
,可解得
3 3 -6≤x≤0
,
3 π
18.D 【解析】 本题解题思路是先由偶函数的 即得该函数的单调递增区间为 [- , ,故应6 0]
定义确定φ 应满足的条件,再结合各选项得出答案. 选D.
由偶 函 数 的 定 义 知,要 使 f(x)是 偶 函 数,只 要 23.C 【解析】 本题考查了正切函数的单调区
f(-x)=f(x)对任意x∈R 都成立,由f(-x)= 间的求解及整体思想的掌握.
f(x)整理化简得sinωxcosφ=0,cosφ=0,而f'(x)
∵tanx 的单调增区间 π, π ,k∈Z,
=ω (ωx kπ- kπ+cos +φ),因此f'(0)=ωcosφ=0,f(x)是偶 ( 2 2 )
函数的充要条件是f'(0)=0,故选D. π∴x+ ∈ πkπ- ,
π
kπ+ ,k∈Z,解 之 得 x∈
【 】 2π π
4 ( 2 2 )
19.10 解析 ∵T= = ,ω 5 ∴ω=10. 3π
kπ- ,
π
kπ+ ,k∈Z,因此
π
f(x)=tanx+ 的
1 ( 4 4 ) ( 4 )
20.2π- 【解析】 可以采取尝试的方法2 .
单调增区间为 ( 3π πkπ- ,4 kπ+ ),4 k∈Z,故应选C.f(x+π)=|sin(x+π)|cos(x+π)-1≠f(x),
而f(x+2π)=|sinx|cosx-1=f(x). 24.D 【解析】 本小题主要考查三角变换(降
1 次公式)及三角函数的性质.
∴周期为2π,最大值显然为-2. ∴y=2cos2x=cos2x+1.又y=cos2x 的单增区
·127·
间为2kπ-π≤2x≤2kπ(k∈Z),
π π π
即kπ-2≤x≤kπ.
增区间为 [kπ- ,4 kπ+4 ],k∈Z.f(x)是奇函数,
,π 2π 2π当k=1时 ≤x≤π.故选D. 其图象 关 于 原 点 对 称.周 期 为2 T=ω =
,
2 =π
25.A 【解析】 本小题主要考查三角变换以及 [f(x)]max=1,故选B.
复合函数单调区间的求解. 2
28. 3
【解析】 由6cosx=5tanx,6cos2x=
f(x)=cos2x-2cos2
x
2=cos
2x-cosx-1.令t
2
5sinx,6sin2x+5sinx-6=0,sinx= .
=cosx∈[-1,1] 3
14
f(x)=g(t)=t2-t-1.则
1
g(t)在 [-1, ] 是 29. 【解 析】 由 函 数 ( )在 区 间2 3 f x
减函数. (π,π ) 有最小值,无最大值,且 π π6 3 f (6 )=f (3 ),
g(t)在 [1,1] 为增函数,若求 ( )的增区间,2 f x 2π π π可得T=ω>3- ,即得6 0<ω<12,①
则 求 t=cosx 的t∈ [-1,1 ] 的 减 区 间,2 t∈ ∵f (π6 ) = f (π ,3 ) ∴sin (π π6ω+1 3 ) =[ ,1] 的增区间2 . sin(π π ,
π 2π 3
ω+3 )
当x∈ ( , ) 时,t=cosx∈ ( 1- ,1 为减3 3 2 2 ) π π π π , π π∴ ω+ = ω+ +2kπk∈Z或 ω+
函数,符合题意.故选A. 6 3 3 3 6 3
π π
:() ( ) 3 1 3 =2kπ+π- ω-
,k∈Z,
26. 解 1f x = 2sinωx+
3 3
2cosωx+ 2
1 解之得ω=-12k,k∈Z(
2
舍去)或ω=4k+ ,
sinωx-2cosωx-
(cosωx+1) 3
k∈Z, ②
=2 3 1
è2sinωx-2cosωx
÷-1 又由 (π )= (π f f ) 可得函数 (6 3 fx)的对称轴为
=2sin( πωx-6 )-1. 1 πx=2 (π π+ ,且3 6 )=4 f (π4 )=sin(π π4ω+3 )=
由-1≤sin( πωx- )≤1,得6 -3≤2sin( πωx- )- -1,6
π π π
1≤1. ∴ ω+ =2nπ- ,n∈Z,解之得4 3 2 ω=8n-
可知函数f(x)的值域为[-3,1]. 10
(2)由题设条件及三角函数图象和性质可知, , ,3 n∈Z
2π
y=f(x)的周期为π,又由ω>0,得 =π,即得ω=2. 2 10ω 令4k+3=8n-
可得
3 k=2n-1
,③
于是有 πf(x)=2sin(2x- ,再由 146 )-1 2kπ- 由①②③可得n=k=1,ω=3.
π π π( ), π≤2x- ≤2kπ+ k∈Z 解得2 6 2 kπ-6≤x≤ 30. 解:(1)
2π
T=3.
π
kπ+ (3 k∈Z
). (2)由题设可知A=4且sin( π3×12+φ)=1,
所以y=f(x)的单调增区间为 π π π
则φ+ = +2kπ,得φ= +2kπ(k∈Z).
[ πkπ- , π ( ) 4 2 46 kπ+3 ] k∈Z . π π
27.B 【解析】 f(x)
, , ()
=2sinxcosx=sin2x, ∵0<φ<π ∴φ=4 ∴f x =4sin其 (3x+4 ) .
·128·
(3)∵ 2 πf (3α+12) =4sin ( π2α+2 ) =4cos2α 38.π 9. 2
12
= , 10. [2kπ π,2kπ π5 ( )3 -6 3 +6 ] k∈Z
3 1 1
∴cos2α= ,5 ∴sin
2α= (2 1-cos2α
)= , 11. ②④5 12. 解:(1)方法1:
5 1-cos2x 3(∴sinα=± . () 1+cos2x
)
5 ∵f x = 2 +sin2x+ 2
31. 解:(1)∵f(x)=cos( π2x-3 )+ =2+sin2x+cos2x=2+ 2sin( π2x+ ),4
2sin( π )sin( π π π πx-4 x+ ) ∴当4 2x+4=2kπ+ ,即x=kπ+ (k∈Z)2 8
1 3 时,f(x)取得最大值( )( 2+ 2.=2cos2x+ 2sin2x+ sinx-cosx sinx+ 因此,f(x)取得最大值的自变量x 的集合是
cosx) {x πx=kπ+ ,8 k∈Z)}1 3
=2cos2x+2sin2x+sin
2x-cos2x 方法 2:∵f(x)= (sin2x+cos2x)+sin2x
1 3 +2cos
2x
=2cos2x+2sin2x-cos2x =1+sin2x+1+cos2x=2+ 2sin( π2x+ ),4
=sin( π2x-6 ) . π π π∴当2x+4=2kπ+ ,即2 x=kπ+ ( )2π 8 k∈Z
∴周期T=2=π. 时,f(x)取得最大值2+ 2.
π π( ), kπ π( 因此,f(x)取得最大值的自变量x 的集合是由2x-6=kπ+
得
2 k∈Z x=2+3 k π
∈Z). {x x=kπ+ ,8 k∈Z}
kπ π π
∴函数图象的对称轴方程为x= + (k∈Z). (2)f(x)=2+ 2sin2 3 (2x+4 ) .
(2)∵ x ∈ [ π,π , π π π π-12 2 ] ∴ 2x - ∈ 由题意得2kπ- (2 ≤2x+4 ≤2kπ+2 k∈6
[ π,5π] Z),-3 6 .因 为 f(x)=sin ( π2x- ) 在 区 间6 3 π
即kπ-8π≤x≤kπ+
(
8 k∈Z
),
[ π- ,π 上 单 调 递 增,在 区 间 π,π 上 单 调12 3 ] [3 2 ] 因此f(x)的单调增区间是
递减, 3 , πkπ- πkπ+
π [ 8 8 ](k∈Z).
所以当x= 时,3 f
(x)取得最大值1, π
13. 解:(1)由cos2x≠0得2x≠kπ+ ,
( π ) 3又∵ =- < π 1
2
f -12 2 f ( ,2 )=2 kπ π解得x≠ ,2+4 k∈Z,
π 3
∴当x=- 时,f(x)取得最小值12 -2. ∴ (x)的定义域为{ kπ πf x|x≠ ,2+4 k∈Z}.
∴函数f(x)在 [ π,π- ] 上的值域为 êé 3 ù12 2 ê- ,2 1ú . kπ π ú 当x≠2+ ,k∈Z时,4
2012—2013高考题源拓展测试
( ) 6cos
4x+5sin2x-4
1.A 2.C 3.D 4.D 5.B 6.C 7.C f x = cos2x
·129·
6cos4x-5cos2x+1 kπ π
= 函数图象的对称轴方程为x= + ( )cos2x 2 3 k∈Z
(2cos2x-1)(3cos2x-1)
= =3cos2x-1., (2)g(x)=[f(x)]2cos2x +f
(x)=sin2 ( π2x-6 )+
又f(x)的定义域关于原点对称, 2
3sin
() ( π 3
1
2x π-
∴f x 是偶函数. 6 )+2= [sin(2x- - .6 )+2 ] 4
(2) (
1+cos2x π
∵f x)=3cos2x-1=3× -1 当sin(2x-6 )=-1时,g(x)取得最小值0;2
1 3 当sin( π= + cos2x. 2x- )=1时,g(x)取得最大值6,2 2 6
2π 所以g(x)的值域为[0,6].
∴T=ω=π
,∴f(x)的最小正周期为π.
§9.4 三角恒等变换
14. 解:(1)定义域为{ πx|x≠kπ+ ,2 k∈Z},值 五年高考母题原型训练 π
域为(-5,-1],最小正周期为π. 1.C 【解析】 由sin( πα-4 )=sinαcos4-
( π 5π2) 或12 12. π 2cosαsin ( ),4=2 sinα-cosα
15. 解:(1)∵ (x)=sin (πf 3-ωx) · cos2α cos2α-sin2α所 以
π = =2
(1+ 3tanωx)cosωx sin(α-4 ) (2 sinα-cosα)
=sin(π ωx) - 3sinωx 1+ ÷cosωx cosα+sinα 2 13 è cosωx =- ,可得2 cosα+sinα=2 2.
(π -=sin 3-ωx) (cosωx+ 3sinωx) 2
π π π 2. 解:(1)f( )
1 1+cosx
x = sinx+ -2=
=2cos( -ωx)sin( -ωx) =sin(2ωx+ , 2 23 3 3 )
1 3 2 3
( ) π ,2 sinx+cosx -2=2sin(x+4 )-2
2π
∴函数f(x)的最小正周期为 =π,∴ω=1. 故f(x)的周期为2kπ(k∈Z且k≠0)2ω .
π () 17 5 π 5(2)由(1)得,f(x)
由
=sin(2x+ ), 2 π≤x≤ π,得 π≤x+ ≤ π.3 12 4 4 3
π π
∴当2x+ =2kπ- (k∈Z)时, 因为f(x)
2 3
=2sin( πx+4 )-3 2 2
5 5π 5π17π
即x=kπ- π(k∈Z)时,函数f(x)取得最小 在 [π, 上 是 减 函 数,在 , 上 是 增12 4 ] [4 12 ]
值-1, 函数.
∴函 数 f(x)取 得 最 小 值 时 的 x 值 的 集 合 5π 3+ 2故当x= 时,f(x)有最小值4 -
;而f(π)2
为{x 5x=kπ-12π,k∈Z}. 6+ 6
=-2, (17πf 12 )=- 4 <-2,所以当x=π时,1 3
16. 解:f(x)=2cos2x+2sin2x-cos2x+1 f(x)有最大值-2.
2π 【解析】
=sin( π )+1,∴最小正周期T= =π. 3.A sin43°cos13°-cos43°sin13°=2x-6 2
( 1
π π kπ π sin43°-13°
)=sin30°=2.
由2x- =kπ+ ( ),得6 2 k∈Z x=2+
(
3 k
∈Z) 4.A
【解析】 cos(23π+2α)=-cos
·130·
[π- (2π+2α) ] 9. 解:(1)在△ABC 中,sinA= 1-cos2A =3
( 4
2
) 3 BC AC1- = .由正弦定理得 = ,=-cos(π3-2α)=-cos[2(π-α) ] -5 5 sinA sinB6
AC 2 3 2
所以
=- [1-2sin2 (π α) ] sinB=BCsinA= × = .6- 3 5 5
2 4
[ (1 ) ] 7 (2)因为cosA=- ,所以角A 为钝角,从而角=- 1-2× 3 =-9 5
为锐角 于是
5.B 【解析】 tanα=4,tanβ=3,tan(α+β)=
B .
2
tanα+tanβ 4+3 7 2 2 21
· = =- .本题属于 简 单 题,
cosB= 1-sinB= 1- = ,
1-tanα ( )tanβ 1-4×3 11 5 5
考查三角函数和角公式等知识. 21 17cos2B=2cos2B-1=2× -1= ,
6. C 【解 析】 本 题 为 三 角 函 数 的 化 简, 25 25
3-sin70° 3-sin70° 3-sin70° 2 21 4 21sin2B=2sinBcosB=2× × = .
2-cos210= 1+cos20°=3 1 =2. 5 5 252- 2 2-2cos20° π
因 此,sin π2B+ = sin2Bcos +
2 1+cos20°
( 6 ) 6
本题要注意利用降幂公式cos10°= 将2 π
cos2Bsin
角度化为20°,而cos20°与sin70°相等,可进行化简,从 6
而得解,属于容易题. 4 21 3 17 1
= × + ×
4 1 α 25 2 25 2
7. - - 【解析】3 7 ∵tan2=2
,
127+17
α = .
α 2tan
50
( ) 2 4∴tanα=tan 2× = = 10. 解:(1)当m=0时,f(x)=sin2x+sinxcosx2 2 α 1-4=1-tan 2 1 1= (2 sin2x-cos2x)+2
4
- ,3 2 1= π2sin(2x-4 )+π 2
π tanα+tan( 4 tanα+1 π 3π π 5π∵tanα+ ) = = 又由x∈ , 得2x- ∈ 0, ,所以4 · π 1-tanα= [8 4 ] 4 [ 4 ]1-tanα tan4
4 sin( π2x-4 )∈ é 2 ù êê- ,2 1ú ú,-3+1 1
4 =-7. 从 而 f (x)
2
1+ = sin ( π2x- ) 1+3 2 4 2
1 é 1+ 2ù
8. 【解析】2 ∵cos
(α+β)=cosαcosβ- ∈ êê0, úú . 2
1 m
sinαsinβ= , (2)f(x)=sin
2x+sinxcosx-
5 2
cos2x
1-cos2x 1 m
cos(
3
α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ= =5. 2
+2sin2x-2cos2x.
cos(α-β)+cos(α+ ) 2 1 1∴cosαcos= ββ = , = [2 sin2x-
(1+m)cos2x]+
2 5 2
cos(α-β)-cos(α+β) 1, 2sinαcosα 2tanαsinαsinβ= 由tanα=2,得sin2α= =2 =5 sin2α+cos2α 1+tan2α
sinαsin 1 4
∴tanαtanβ=
β
cosαcos = . =
,
β 2 5
·131·
cos2α-sin2α 1-tan2α 3
cos2α= 2 α 2 α
α
sin2α+cos2α=1+tan2α=-
,
5 (cos 2-sin 2 )sin2
=
3 1
所以
5 = 2 [4 3 1
α
5+
(1+m)5 ] + ,得2 m= cos2cosα
-2. αcosα·sin
【 】 2 α点评 解三角函数问题要合理利用公式,统一 = α =tan .
名称、统一角. cos ·
2
2 cosα
11. 解:(1)由已知条件及三角函数的定义可知, 解法2:利用三角函数其他公式,
2, 25
[
α sinα+
(cosα-1)][sinα-(cosα-1)]
cos =10cosβ= .
原式
5 = sin2α
2
因α为锐角,故sinα>0,从而sinα= 1-cos2α sinα-cos
2α+2cosα-1 2cosα-2cos2α
= sin2α = 2sinαcosα
72
=10. 2 α
2cosα(1-cosα) 1-cosα 2sin 2
5 1 =
同理可得sin = .因此tanα=7,tan = . 2sinαcosα
= sinα = α α
β 5 β 2 2sin2cos2
1
7+ αtanα+tan 2 sin
所以tan(α+ )= β= =-3. 2 αβ 1-tanαtan 1 = =tan .β 1-7× α 22 cos2
(2)tan(α +2β)=tan[(α +β)+β]= 15
15. 解:∵α为第二象限角,1 sinα= 4 .
-3+2
1=-1.
1
∴cosα=- 1-sin2α=-
1-(-3)× 4
.
2
sin( π π ππ π 3π α+ ) sinαcos +cosαsin
又0<α< ,2 0<β<
,故
2 0<α+2β<
,从而 4 4 4
2 ∴sin2α+cos2α+1= 2sinαcosα+2cos2α
( ) 3π由tanα+2β =-1得α+2β= 15 2 1 24. 4 ×2-4×2
2012—2013高考题源拓展测试 = =- 2.15 1 2
1.B 2.A 3.C 4.C 5.B 6.A 7.C 2× 4 × (-4 )+2× ( 1-4 )
8.A 7π 7π
16. 解:∵ 5π π
12 4 ∴69. -25 10. 5 又cos( πx+4 ) 3= >0,56 5
11.sinα 12.65 3π π∴ 13.(1)2 ()
5 15
2 5- 10 ∴sin π+x = 1-cos2
π
+x
14. 解法1:
( ) ( )
利用二倍角公式,原式= 4 4
( α α α α α α 3
2 4
2sin2cos
2
2-2sin 2 ) (2sin2cos2+2sin2 2 ) =- 1- (5 ) =- ,5
α α
4sin2cos
π
2cosα sin(4+x) 4
tan(π4+xα α α α α )= =- ,( π 3cos2-sin2 ) (cos2+sin )sin cos +x2 2 (4 )
= α
cos2cosα sin2x=-cos(π2+2x)
·132·
2 (π ) 7, 1=1-2cos 4+x =25 +3b,故选B.
sin2x+2sin2x · (π ) 5.A 【解析】 由已知条件可得2(O
→C-O→A)
∴ 1-tanx =sin2x tan 4+x +(O→B-O→C)=0,化 简 可 得O→C=2O→A-O→B,故 应
7 28
=25× ( 4-3 )=-75. 选A. 1 1 1
17. 解:(1)∵C=π-(A+B), 6. a+ b+ c 【解析】 本题主要考查空2 4 4
∴tanC=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B) 间向量,属于综合知识能力的考查.O→E=O→A+A→E=
tanA+tanB
=- , → 1 → → 1(→ →) 1 → 11-tanAtanB OA+2AD=OA+ 2 AO+OD = 2OA+ 4
由已知,tanA+tanB=tanAtanB-1,
(→ →) 1 1 1π OB+OC =2a+4b+4c.所以tanC=1,又∵C∈(0,π),∴C=4. 7.A 【解析】 本题解题思路是根据向量的坐
(2)由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC, 标运算规 则 进 行 计 算.依 题 意 得a-2b=(3,5)-
①当tanAtanB≠1时,变形得 2(-2,1)=(7,3),选A.本题考查向量的坐标运算.
tan(A+B)(1-tanAtanB)=tanC(tanAtanB- 8.C 【解析】 a+b=(0,1+x2),由1+x2≠0
1) 及向量的性质可知,C正确.
∴tan(A+B)=-tanC, 9.D 【解析】 由4a+(4b-2c)+2(a-c)+d
∴A+B=kπ-C(k 为 整 数),即 A+B+C =0得d=(-2,-6).
=kπ, 10.A 【解析】 本题为向量的运算,由λa+b
因为A、B、C∈(0,π),故可以取得 A、B、C 的 与a 垂直,可得(λa+b)·a=0,即λ(a)2+b·a=0
值,使得A+B+C=2π,故该命题为假; 10λ+10=0 λ=-1.本题考查了向量垂直条件的
②若tanAtanB=1,这种情况不可能. 转化以及数量积的运算,属于容易题.
综上,该命题是假命题. 11.(-1,1)或(-3,1) 【解析】 设a=(x,
第十章 平面向量 1),那么a+b=(2+x,0),由|2+x|=1 x=-1或
x=-3.
§10.1 平面向量的加法、减法 12.2 【解析】 本题是向量的模的运算问题,
和实数与向量的积 考查学生对向量的坐标运算及模运算的掌握情况.
五年高考母题原型训练 13.D 【解析】 本题主要考查向量的共线(平
1.A 【解析】 本小题主要考查向量运算的三 行)、向量的加减法.属于基础知识、基本运算的考查.
角形法则. 取a=(1,0),b=(0,1),若k=1,则c=a+b=(1,
→ 2 2由AD=A→B+B→D=A→B+ B→C=A→B+ (A→C 1),d=a-b=(1,-1),显然,c与d 不平行,排除A、3 3
B.若k=-1,则c=b-a=(-1,1),d=a-b=-
-A→B) 2 → 1 2 1=3AC+3A
→B=3b+ ,故选3c A. (-1,1),即c∥d 且c与d 反向,排除C,故选D.
2.A 【解析】 本题考查平面向量的基本知识, 14.A 【解析】 不存在λ 使A
→B=λB→C,B→C=
属于基础知识、基本运算的考查.依次检验各选项,检 λC
→D,∴A、B、C;B、C、D 不共线,所以排除B、C.
→ → → → →
验A选项,由条件知B→E=D→F,C→F=F→A,可得A→D+ ∵AD=AB+BC+CD=3a+6b=3AB,
B→E+C→F=A→D+D→F+F→A=0,选A. ∴A、B、D 共线,选A.
3.A 【解析】 ∵点 D 是BC 的中点,∴O→B+ 15.D 【解析】 本题主要考查向量的坐标运算
O→C=2O→D,∵2O→A+O→B+O→C=0,∴2O→A+2O→D 规则以及两个向量共线的充要条件.依题意得a+b
=0,即得O→A=-O→D,∴A→O=O→D,故应选A. =(3,x+1),4b-2a=(6,4x-2),3(4x-2)=6(x
4.B 【解析】 设a=(1,0),b=(0,2) +1),由此解得x=2,选D.
→ 2 2 2 1 2 16.5 【解析】 由题可知a-c=(3-k,-6),则得CD= ( , )= (1,0)+ (0,2)3 3 3 3 =3a 又由(a-c)∥b 9-3k+6=0 k=5.本题考查向量
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