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§9.4 三角恒等变换
考纲·题型解读
三角函数式的化简和求值是高考考查的热点内容之一,所以考生需掌握最基本的化简、求值方法;掌握基本的三角变换思
想,如切割化弦、分式通分、降次、角的变换等;熟悉基本公式,如两角和差、倍角公式的灵活运用.考生需熟练掌握化简和求值问
题的解题规律、途径及常规技巧,以优化解题效果,做到事半功倍.预计在今后的高考中两角和与两角差的正弦、余弦、正切公
式,二倍角的正弦、余弦、正切公式将是考查的重点.
=l
题源1 三角函数式的化简 g
(sinx+cosx)2-lg(sinx+cosx)2=0.
[点评] 二倍角公式及两角和与差的三角函数是化简求值
的关键.
解题模型
题源2 三角函数的求值 解决三角函数式的化简问题的关键在于运用三角恒
等变换思想,三角函数式的化简问题实质上是一个开放的
问题, 解题模型也就是其答案不是唯一确定的,不过还是有其最简
标准:三角函数名称最少;次数最低;项数最少;尽可能地 1. 求值常用的方法:切割化弦法,升幂降幂法,和积互
求出其值. 化法,辅助元素法,“1”的代换法等.
在高考的三角函数的解答题中,首先考查的是三角函 2. 要熟悉角的拆拼、变换的技巧,倍角与半角的相对
数式的化 简,只 有 化 简 正 确,后 面 考 查 的 性 质 就 容 易 解 性,如:2α=(α+β)+(α-β),α=(α+β)-β=(α-β)+β,
决了. α 2α α α
是 的半角, 是 的倍角等
3 3 2 4 .
π
[真题1] (2019· 安 徽)已知0<α< ,β 为f(x)= 3. 要掌握求值问题的解题规律和途径,寻求角之间关4
系的特殊性,化非特殊角为特殊角,正确选用公式,灵活地
cos( π 12x+ 的 最 小 正 周 期, , ,8 ) a= (tan(α+4β) -1) b= 掌握各个公式的正用、逆用、变用等.
2 (
( ,), · 2cosα+sin2α+β
) 4. 求值题常见类型
cosα2 且a b=m.求 的值cosα-sinα . (1)“给角求值”:一般给出的角都是非特殊角,从表面
[解析] 因为 为 (x)=cos( πβ f 2x+ ) 的最小正周期,故 来看较难,但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系,8 解题时,要利 用 观 察 得 到 的 关 系,结 合 和 差 化 积、积 化 和
β=π.因a·b=m,又a·b=cosαtan( 1α+ β)-2, 差、升降幂公式转化为特殊角并且消去非特殊角的三角函4
数而得解
故cosαtan( 1 π
.
α+4β)=m+2.由0<α< ,4 (2)“给值求值”:给出某些角的三角函数式的值,求另
2cos2α+sin2(α+β) 2cos2α+sin(2α+2π) 外一些角的三角函数值,解题关键在于“变角”,使其角相所以
cosα-sinα = cosα-sinα 同或具有某种关系.
2cos2α+sin2α 2cosα(cosα+sinα)
= = (3)“给值求角”:实质上也转化为“给值求值”,关键也cosα-sinα cosα-sinα
是变角,把所求角用含已知角的式子表示,由所得的函数
1+tanα π
=2cosα =2cosαtan(α+ )=2(2+m)1-tanα 4 . 值结合该函数的单调区间求得角.
5.灵活运用角的变形和公式的变形,如:2α=α+β+(α
[真题2] ( · )
π
2022 上海 已知0( · 2 x ) [ π 的范围对三角函数值的影响
,因此要注意角的范围的讨论.
lgcosx tanx+1-2sin 2 +lg 2cos
(x- )]4
-lg(1+sin2x). [真题3] (2022·全国)
4
若cosα=- ,α 是第三象限的5
[解析] l x πg(cosx·tanx+1-2sin2 2 )+lg[2cos(x- )4 ] α1+tan
-lg(1+sin2x) 角,
2
则 ( )
α =
1-tan
=lg(sinx+cosx)+lg[2cos( πx-4 ) ]-lg(1+sin2x) 2
·224·
1 1 1
A.-2 B.
2
2 ∴sinφ+cos
2φ=5cos2φ-2 2cosφ+ 2=1 5cos
2φ-
C.2 D.-2 1
22cosφ-2=0.
[ 4解析] ∵cosα=- 且α是第三象限的角,5 2
解得cosφ= ,
2 π 2
cos
3 2 φ
=- , ,
, 10
∵0<φ<2 ∴cosφ=2.
∴sinα=-5
解法二: π π π∵0<θ,φ< ,2 ∴-2<θ-φ< .α 2
sin2 310
α 1+ α α α 所以cos(θ-φ)= 1-sin2(θ-φ)= 10 .1+tan2 cos2 cos2+sin2
α = α = α α 故cosφ=cos[θ-(θ-φ)]
1-tan2 sin2 cos2-sin2 =cosθcos(θ-
1- φ
)+sinθsin(θ-φ)
α
cos 52 = ·
3 10 25· 10 2
5 10 + 5 10 =2.
2
( α α 2cos2+sin2 ) 1+sinα 5 [真题6] (2020·天津)已知cos πx- =
= α α α α = cosα =
( 4 )
( 4cos2-sin2 ) (cos2+sin2 ) -5 2,
10x∈ (π,3π2 4 ) .1
=- .故选2 A. (1)求sinx 的值;
[真题4] (2020·广东)已知cos( πα-6 ) 4
π
+sinα= , (2)求sin2x+ 的值.5 3 ( 3 )
则sin( 7πα+ ) 的值是 ( ) [解析] (1)解法一:因为x∈ (π,3π6 2 4 ),
23 23 π所以x- ∈ (π,πA. - 5 B. ,5 4 4 2 )
4 4 π π 72
C. -5 D.
于是sin
5 (x- 24 )= 1-cos (x-4 ) =10.
π π
[ 3 1解析] 由cos( πα- )+sinα= cosα+ sinα+sinα= sinx=sin x- +6 2 2 ( ( 4 ) 4 )
3 3 4 1 3 4 π π π π
2cosα+2sinα= 3
,
5 ∴2cosα+ sinα=
, =sin(x-4 )cos4+cos(x-4 )sin2 5 4
( π即cosα- )
4
= .而sin( 7π) 72 2 2 2 43 5 α+6 =-sin( πα+ = ×6 ) = 10 2+10×2=5.
-cos(π π 4 2 2 2-α)=-cos(α- )=- .故选C. 解法 二:由 题 设 得5 2cosx+ 2sinx= ,即10 cosx+sinx3 3
[真题5] (2021·广东)已知向量a=(sinθ,-2)与b= 1=5.
(1,cosθ)互直垂直,其中θ∈ (0,π2 ) . 又sin2x+cos2x=1,从 而25sin2x-5sinx-12=0,解 得
(1)求sinθ和cosθ的值; 4 3sinx= 或5 sinx=-5.
(2)若sin(
10
θ-φ)= ,
π
0<φ< ,求10 2 cosφ
的值. 4
因为x∈ (π,3π),所以sinx=
[ ] () 5
.
解析 1 ∵a⊥b,∴sinθ×1+(-2)×cosθ=0 sinθ 2 4
=2cosθ. (2)因为x∈ (π,3π ,故2 4 ) cosx=- 1-sin2x=
∵sin2θ+cos2
1
θ=1,∴4cos2θ+cos2θ=1 cos2θ=5. - 1- (4
2
5 ) 3=-5.
∵θ∈ (0,π , 5 252 ) ∴cosθ=5 sinθ= 5 . 24 7sin2x=2sinxcosx=- ,25cos2x=2cos2x-1=-25.
(2)
10
解法一:由sin(θ-φ)= 有, 所以,sin( π ) π π10 2x+3 =sin2xcos3+cos2xsin3
10 2
sinθcosφ-cosθsinφ= 10 sinφ=2cosφ-
, 24+73
2 =- 50 .
·225·
(★代表高考出现的频次)
1
题源1 三角函数式的化简(★★★★) 5.(2021·全国Ⅰ)已知tanα=4,cotβ= ,则tan(3 α+β)等于
( )
1.(2019· )
cos2α 2
宁海 若 =- ,则cosα+sinα的值为 7 7
sin( π 2α- A. B.-4 ) 11 11
( ) 7 7C.13 D.-13
7 1 1 7
A.-2 B.-2 C.2 D.2 ( · )3-sin70°6.2020 宁海 2 等于 ( )2-cos10°
x x x
2.(2020·湖北)已知函数f(x)=sin2cos2+cos
2
2-2. 1 2A.2 B.( 21)将函数f(x)化简成Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,φ
∈[0,2π))的形式,并指出f(x)
3
的周期; C.2 D.2
(2)求函数f(x)在 [π,17π 上的最大值和最小值 α12 ] . 7.(2018·北京)已知tan =2,则tanα的值为 ,2
tan(
π
α+ )为值为4 .
8.(
1 3
2019·江 苏)若cos(α+β)= , ( ) ,则5 cosα-β = 5
tanα·tanβ= .
9.(2019·天津)在△ABC 中,已知AC=2,BC=3,cosA=
4
-5.
(1)求sinB 的值;
(2)求sin( π2B+ 的值6 ) .
题源2 三角函数的求值(★★★★★)
3.(2022·福建)计算sin43°cos13°-cos43°sin13°的结果等于
( )
1 3
A.2 B.3
2 3
C.2 D.2
4.(2018·江苏)若sin(
π 1
-α)= ,则cos(2π6 3 3+2α) 等于
( )
7 1
A.-9 B.-3
1 7
C.3 D.9
·226·
10.(2022·江西)已知函数f(x)=(1+cotx)sin2x+ 11.(2020·江苏)如图,在平面直角坐标系xOy 中,以Ox
msin( π ) 轴为始边作两个锐 ,x+ sin( π αx- ) . β,它们的终边分别与单位圆交于A、B 两4 4
、 2,25
(1)当m=0时,求 (x)的区间 [π 3π
点.已知A B 的横坐标分别为
f , ] 上的取值范围; 10 5 .8 4 (1)求tan(α+β)的值;
( 32)tanα=2时,f(α)= ,求m 的值. (2)求α+2β的值.5
2022-2023高考题源拓展测试
未来高考还会这样考
(测试时间:90分钟 总分:100分)
一、选择题(本题包括8小题,每小题2.5分,共20分。每小题 cos πα- 的值为 ( )
只有一个选项符合题意) ( 6 )
1.( 1)在△ABC 中,已知2sinAcosB=sinC,那么△ABC 3A.0 B.
一定是 ( ) 2
A.直角三角形 B.等腰三角形 1C.1 D.2
C.等腰直角三角形 D.正三角形
7.( 1.2)已知3cos(2α+β)+5cosβ=0,则tan(α+β)tanα
2.( 2)若cosα+2sinα=- 5,则tanα= ( ) 的值为 ( )
1
A.2 B. A.4 B.3 C.-4 D.-32 8.( 1.2)设A,B,C 是△ABC 三个内角,且tanA,tanB 是
1 2
C.- D.-2 方程3x -5x+1=0的两个实根,那么△ABC 是 ( )2 A.钝角三角形
( ) , ( 33. 2 已知α 是第二象限角 且sinπ+α)=- ,则 B.锐角三角形5
C.等腰直角三角形
tan2α的值为 ( )
D.以上均有可能
4 23 24 24
A. B.- C.- D.- 二、填空题(本题包括4小题,每小题5分,共5 7 7 9 20
分)
( 1 π 3π
( ) 1, sinα-cosα
)2
( ) 9.
( 2)已知sinθ+cosθ= ,且5 2≤θ≤
,则cos2θ的值
4. 1.2 已知tanα=- 则 等于 42 cos2α
是 .
A.2 B.-2 C.3 D.-3
3 π
1 1 10.( 2)已知sinα= ,5 α∈
( ,
2 π
),β∈(0,π),且tan(α+
5.( 2)已知tan(α+β)= ,3 tanβ=
,则
4 tanα
的值应是
1
( ) β)= ,则2 cosβ= .
1 1 7 12
A.12 B.13 C.13 D.13 11.( 1.2)化简 ( 1 1+ )(1-cosα)的结果是sinα tanα .
6.( 2)已知2tanαsinα=3( π-2<α<0),则 3 1212.( 1.2)若sin(π4-α) = ,5 sin(π+β) = ,其中4 13
·227·
π
0<α< ,
π 3 7π 7π
4 0<β<
,则
4 cos
(α+β)= . 16.( 1.2)已 知cos(π4+x) = ,且 ,求5 12三、解答题(本题包括5小题,每小题12分,共60分) sin2x+2sin2x
的值.
13.( 2)已知α为锐角,且sin2α+sinαcosα-2cos2α=0. 1-tanx
(1)求tanα的值;
(2)求sin( πα- ) 的值3 .
(
( ) :sinα+cosα-1
)(sinα-cosα+1)
14. 1.2 化简 sin2α .
17.( 1.2)(1)A、B、C 为斜三角形ABC 的三个内角,且
tanA+tanB+1=tanAtanB,求C;
(2)命题:“已知A、B、C∈(0,π),若tanA+tanB+tanC=
tanAtanBtanC,则A+B+C=π”请你判断该命题的真假并说明
理由.
( ) , 1515. 1.2 已 知α 为 第 二 象 限 角 且 sinα= ,求4
sin( πα+4 )
的值
sin2α+cos2α+1 .
·228·: , , 1 1 12第二步 i=3m=2n=2+
;
6 ∴cosα=- sinα
,
5
: , , 2 1 3第三步 i=4m=3n= + = ; 2 2 , 2 25又3 12 4 sinα+cosα=1 ∴sinα=169.
3
退出循环,输出结果为 5
4. ∵α是第四象限角
,∴sinα=- .故选13 D.
18.i>10 【解析】 由框图知,要经过10次 5.D 【解析】 本题考查解三角形,注意三角形
循环才能算出此表达式的值,∴i>10. 的条件和 同 角 关 系.由 钝 角 和 勾 股 数 可 得cosA=
19.20 【解析】 第一步执行后:S=5,a=4,满 12
- ,选D.
足a≥4,计 算 S=5×4=20,a=3,退 出 循 环,输 13
出20. 6.B 【解析】 考查三角函数的运算与转化能
20. 可以填写I>199 ,I>200 ,I≥200 ,I≥ 力,已知正弦和余弦的一个等量关系,可以结合正弦
201 【解析】 共计算100项的和,判断框中I> 余弦平方和等于1,联立方程组解得正弦余弦的值,
199,I>200,I≥200,I≥201都可以. sinα再利用tanα= 求得,运算量较大,作为选择题不cosα
第九章 基本初等函数Ⅱ 适合.也可以利用三角变换处理,原等式即 5sin(α+
§9.1 三角函数的概念、同角三角函数 φ)
1
=- 5,其中tanφ= ,
π
2 0<φ<
,
的关系式和诱导公式 2
∴sin(α+ )=-1,
五年高考母题原型训练 φ
3π
1.C 【解析】 ∵cosθtanθ<0, ∴α+φ=2kπ+ ,2 k∈Z
,∴tanα=cotφ=2.
{cosθ<0, ,∴ ( cosθ>0角θ为第三象限角)或 也可观察得到答案.tanθ>0 {tanθ<0 7. -2 【解析】 本题考查了同角三角函数间
(角θ为第四象限角),∴角θ为第三象限角或第四象
的相互关系.
限角,故应选C.
25 π
3 3 ∵sinα= 且 ≤α≤π,
2.1+ 【解析】 本题考查平面向量基 5 22 2
本定理、创新意识.以 A 为原点,以 AB 为x 轴,AC 5 sinα∴cosα=- ,5 tanα=cosα=-2.
为y 轴建立直角坐标系,且取单位长度为 AB,则问 7 π 3π
题转化为求D 点坐标(x,y),易知BC= 2,所以DE 8. - 【解析】 ,25 ∵2≤θ≤4 ∴π≤2θ≤
, 6 3π 1 24= 2 所以BD=DEsin60°= ,易知直线BD 的倾 ,由2 2 sinθ+cosθ=5 sin2θ=-
,
25
7
斜角是45°,
3
所以 D 点纵坐标y=BDsin45°= ,D 结合2θ范围 cos2θ=-2 25
.
3 9. 考查三角函数性质和同角三角函数的基本关
点的横坐标x=1+BDcos45°=1+2. 系、三角恒等变换等知识,考查化归与转化、数形结合
3.D 【解析】 本题解题思路是围绕着同角三 的数学思想方法,以及推理论证能力、运算能力.
角函数间的基本关系式进行化简.由(tanx+cotx)· 解:(1)∵f(x)=Asin(x+φ)(A>0,0<φ<π)
1 的最大值是1,
cos2x= (sinx cosx 2 · 2cosx+sinx )cosx=sinxcosx cosx= ∴A=1.
cosx
sinx=cotx
可知,选D. ∵f(x)的图象经过点 M (π,13 2 ),
4.D 【解析】 本小题主要考查同角三角函数 π 1∴sin = .
基本关系式及三角函数象限角符号特征. (3+φ) 2
sinα 5 π
∵tanα=cosα=-
,
12 ∵0<φ<π φ=2.
·120·
() 和二倍角公式∴f x =sin( πx+2 )=cosx. .π 3
(2)∵f(x)=cosx, ∵sin(2+θ)=cosθ= ,5
3 2
∴f(α)=cosα= ,f(β)
12
5 =cos
3 7
β=13. ∴cos2θ=2cos
2θ-1=2× (5 ) -1=-25.
2 15.B 【解析】 本小题主要考查了同角三角函
已知α,∈ ( πβ 0,2 ),所以sina= 1- (35 ) = 数的关系,将已知与求解合理沟通,从而达到有效求
4, (12
2
) 5 2sinα-cosα 2tanα-1 4-1 35 sinβ= 1- 解的目的.13 =13. sinα+2cosα=tanα+2=2+2=4.
故f(α-β)=cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ= 16.D 【解析】 本题考查三角函数求值和对
3 12 4 5 56 “” sin
2θ+sinθcosθ-2cos2θ
× + × = . 1 的应用问题.所求式5 13 5 13 65 = sin2θ+cos2θ =
10. 本小题主要考查角和差公式,用同角三角函 tan2θ+tanθ-2 4
= .
数关系等解斜三角形的基本知识以及推理和运算 1+tan2θ 5
能力. 2012—2013高考题源拓展测试
解:(1)∵C=π-(A+B). 1.D 2.D 3.D 4.B 5.A 6.C 7.A
1 3 8.D
4+5
∴tanC=-tan(A+B)=- 3 π1 3=-1. 9. 3 10.0
或
1- 44×5
4
, 3 11. 12. ③又∵03 13. 解:(1)∵角α的终边过点P(1,3),(2)∵C= π,∴AB 边最大,即4 AB= 17. 可设x=1,y= 3,则r=2,
又∵tanA∴角A 最小,BC 边为最小边.
sinA 1 ∴sin(π-α)-sin(π2+α)=sinα-cosα{tanA= ,由 cosA=4 且 A∈ ( ,π0 ,得2 ) sinA 3-1sin2A+cos2A=1, = 2 .
17
= 17 . (2)S={ πα|α=2kπ+ ,3 k∈Z}
AB BC sinA
由
sinC=
得:
sinA BC=AB
· 1 π π
sinC= 2. 14. 解:(1)f(α)=- ()2sinα 2 -6<α<3
所以,最小边BC= 2. : x15. 解 tan =2
11.D 【解析】 sin15°cos75°+cos15°sin105°= 2
sin15°cos75°+cos15°sin75°=sin(15°+75°)=sin90° x2tan
=1,故应选D. ( 2 41)tanx= x =-2 3
12.B 【解析】
A+B , 1-tan 由tan 可 求 出 22 =sinC
π cos
2x-sin2x 1-tan2x 1
∠C= , ,
(
②④ B. 2
)
验证出正确的 选
2 sinxcosx-sin
2x=tanx-tan2x=4
1 3+1 3
13. - 16. 解:(1) ()2 2
2 2
7 3 1 π π
14. - 【解析】 考查三角函数的诱导公式 (3)x1= ,x2= ,此时25 2 2 θ=
或
3 θ=6
·121·
: π, π 各 点 横 坐 标 伸 长 到 原 来 的 2 倍 得 y =17. 解 存 在α= 4 β=
使 两 个 等 式 同 时
6
成立. sin(1 πx- ),故选2 10 C.
§9.2 三角函数的图象 8.C 【解析】 本 题 考 查 三 角 函 数 图 象 变 换
五年高考母题原型训练 知识.
1.B 【解析】 方法一:y=1+cosx 的图象是 由y=sinx(x∈R)的图象上所有的点向左平行
由y=cosx 上移一个单位得到,由y=cosx 的图象 π移动 个单位长度得 π
3 y=sin(x+ ),再把所得图即得. 3
方法二:由y=1+cosx 的奇偶性得. 1象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不
2.A 【解析】 本题考查三角函数的图象变换 2
等知识. 变),得到的图象所表示的函数是 πy=sin(2x+3 ) .
函数y=sin( π2x- )=sin2( πx- ),它的周 此题属容易题.注意“先平移后伸缩”与“先伸缩3 6
后平移”的区别与联系
期T=π.可以看作函数f(x)=sin2x 的图象向右平 .
9.D 【π 解析
】 本题考查三角函数的图象和性
移 个单位得到的
6 .
所以可得答案A. 质,由函数的最小正周期为π,得ω=2,再由图象平移
3.D 【解析】 y=tanx+sinx-|tanx-sinx| π得φ=8.ì
2tanx
,x∈ (π,2 π], 3
= í 10. 【解析】 本题考查三角函数的图象和
2sinx,x∈ ( ,3π
2
π ),2 函数解析式.由图象可知三角函数的周期为 T=4×
其对应的图象如图所示,故选D. π 2π= ,
3
所以
3 ω ω=2.
11.B 【解析】 本题为三角函数题,从图象中
2π
可以读出周期为π,利用公式T= 可求得ω ω=2.
2π
本题考查学生的识图能力,以及公式 T= 的ω
4.A 【解析】 考查三角函数的图象及性质.
y 应用,属于容易题.
12.3 【解析】 本题考查了由三角函数图象求
π π 三角函数解析式问题 由图象可得该函数的周期为- O 2π 7π 5π x
. T
3 6 3 6 3 2π 2π
=3=
,
ω ∴ω=3.
5.A 【解析】 考查三角函数图象平移.理解牢
9 3
记 平 移 口 诀:上 加 下 减,左 加 右 减.g (x)= 13. 【解析】 由图象可得 (10π T=22π-4
cos( πx+2 )=-sinx. π) 5 2π= π= , 4解之得ω= ,将 3 , 代入2 ω 5 (4π -1) y
6.B 【解析】 本题考查三角函数的图象变换 3
及诱导公式与二倍角公式.将函数y=sin2x 的图象 =sin(4x+φ) 可得5 sin(35π+φ)=-1,则5π+φ
π
向左平 移 个 单 位, π
4 f (x+4 ) =sin2( πx+ ) = 34 = π, 9可解得2 φ=10π.
sin( π2x+ )=cos2x,再向上平移1个单位,2 y=1+ 14.(1)解:由最低点为 M (2π,3 -2) 得A=2.
cos2x=1+2cos2x-1=2cos2x,选B. π T
【 】 由 轴上相邻两个交点之间的距离为 得7.C 解析 将函数y=sinx 的图象上所有 x 2 2
π
点向右平移 个单位得 =sin( πy x- ,再把所得 π10 10) =2
·122·
, 2π 2π 3即T=π ∴ω=T=π=2. ∴f
(x)∈ [- ,2 3]
(2π, ) 【失分警示】 求错w,注意x 的范围由点 M -2 在图象上得 .3 2012—2013高考题源拓展测试
2sin( 2π2× +φ)=-2. 1.D 2.B 3.A 4.D 5.D 6.A 7.C3
8.C
即sin(4π3+φ)=-1, 9. {θ π 5π≤θ≤6} 10.14π π
故 +φ=2kπ- ,
11π
3 2 k∈Z
,∴φ=2kπ- 6 . 11.5 12. ①③
( π ) π 13. 解:(1) (x)=2sinxcosx+ 3(2cos
2x-1)
又 φ ∈ 0, ,∴φ = ,故 f ( )
f
2 6 x =
=sin2x+ 3cos2x=2sin( π2x+ ) .
2sin( π 32x+6 ) .
(2)∵x∈ [π,π , π12 2 ] ∴2x+ ∈ [π,7π],6 3 6
π π, π当2x+ = 即x= 时,f(x)取得最大值 ;6 2 6 2
π 7π π
当2x+ ,即 时, ()取得最小值6=6 x=2 f x
-1,
故f(x)的值域为[-1,2].
π π
15.D 【解析】 令2x+3=kπ+
,k∈Z,可2
1 π
得x= kπ+ ,k∈Z,即得函数2 12 y=sin( π2x+ ) 的3
π
一条对称轴方程为x= ,故应选12 D.
16.A 【解析】 由题意得y=
3cos( 4π )=3cos(8π2×3+φ 3+φ) =3cos(2π3+φ) =0,
π π
φ=- ,|φ|= .本题属于简单题,考查三角函数的6 6
性质.
2π π
17.A 【解析】 T= ,ω ω=2
;将x= 代入3 y
=sin ( π π π2x+ ) 可 知 是3 y=sin (2× + ,3 3 ) =0
∴点 (π,0) 是函数y=sin( π2x+ ) 的对称中心,故3 3
应选A.
18. [ 3- ,2 3] 【解析】 由f(x)与g(x)对称
轴完全相同,可知ω=2
π
∵0≤x≤ ,2
π π 5
∴-6≤2x-6≤6π.
·123·
x π π π 7π 5π ()
π
- 把6 12 3 12 6 2 y=sinx
的图象上所有点向左平移 个
4
ωx+ 0 πφ 2 π
3
2π 2π 单 位 得 到 y=sin ( πx+ ) 的 图 象;再 把4 y=sin
f(x) 0 2 0 -2 0 ( π ) 1x+ 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ,4 2
图象如图.
纵坐标不变得到y=sin( π2x+ ) 的图象;再把4 y=sin
( π2x+ ) 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的4 2
倍,横坐标不变得到y= 2 ( π2x+ ) 的图象4 .
( π π3)x= 时,f(x)有最大值 2,x= 时,f( )8 2 x
有最小值-1.
() π π 3π2 由2kπ+2≤2x+3≤2kπ+
(
2 k∈Z
)得 16. 解:(1)依题意得f(0)=a+c=1,
π
π 7π f =a+b=1,
kπ+ ≤x≤kπ+ (
( )
12 12k∈Z
), 4
∴c=1-a,b=1-a,f(x)=a+ 2(1-a)·
故单调减区间为 [ π 7πkπ+ , ( )12kπ+12] k∈Z . sin( π2x+ ),4
注:( π, 7πkπ+ (12kπ+12) k∈Z)也可以. [ ,π ] π π 3π由x∈ 0 得 ,4 4≤2x+4≤4
14. 解:(1)由图象可知A=2,周期T=8,
2π π 2 π
∵T= =8,∴ω= . 2≤sin(2x+4 )≤1,ω 4
( ,), 当1-a>0时,f(x)的最大值为又∵图象经过点 -10
( )
( π ) a+ 21-a =22-1
,解得a=-1;
∴2sin -4+φ =0
,
当1-a=0时,f(x)的最大值为1,不符合题意,
π
∵||< ,
π 当
∴ = , 1-a<0时
,f(x)的最大值为a+ 2(1-a)φ 2 φ 4
2
(π π ) × =1
,不符题意,
∴f(x)=2sin 4x+4 .
2
故 () π
(2)y=f(x+2)+ 2 ( π πsin4x+cos4x)
f x =22sin(2x+4 )-1.
(2)将函数f(x)的图象按向量a=(m,n)平移
=2sin(π π π 后,得到的函数图象的解析式为:4x+2+4 )+
( π π π π y=22sin2(x-m)
π
+ -1+n
2sin ·4x cos +cos x
·sin ) [ 4 ]4 4 4
π
(π π ) (π π ) =22sin(2x-2m+=2cos 4 )-1+n,4x+4 =22 4x+4
π π π 由函数是奇函数知,
π
n-1=0,-2m+ =kπ,k
=22sin( , 44x+2 )=22cos4x ∈Z,
∴ π πy=f(x+2)+ 2 (sin4x+cos4x) 的最大 π又∵|m|< ,2
值为22,最小值为-22. 3
15. 解:(1)π ∴n=1
,m=- π,故a= ( 3- π,8 8 1) .
·124·
17. 解:(1)当x∈ [ π 2π T 2π 等题.- , ] 时, ,6 3 A=1 4=3 2.C 【解析】 本题是三角函数的最值求解问
π π
- = , , ( ) 2 1-cos2x 36 2 题 f x =sinx+ 3sinxcosx= 2 + 2
∴T=2π. 1
sin2x=sin( π )+ ,x∈ [π,π π2π 2x- ];∴2x-
∴ω=T=1
,f(x)=sin(x+φ). 6 2 4 2 6
∈ [π,5ππ ],
∵f(x)关于直线x= 对称,且取得最大值, 3 66
() 3π π ∴f x 的最大值为 .
∴6+φ=2kπ+
, 2
2 本题考查学生对三角公式的应用以及对三角函
π π π π
∴φ=2kπ+ .∵- <φ< ,∴φ= . 数最值问题的求解掌握情况.3 2 2 3
π 2π π 3.B
【解析】 y=(1+ 3tanx)cosx=cosx+
∴当x∈ [- , ] 时,(6 3 f x)=sin(x+ ,3 ) π π π3sinx=2sin( πx+ ),由6 0≤x<2 6≤x+
当x∈ [ , π 时, ( ) π
6
-π -6 ] f x =f (-3-π)= 2π π< ,故当3 x= 时有最大值为3 2,故选B.本题考查
sin( π π-3-x+3 )=sin(-x)=-sinx. 三角函数的化简与求最值的方法,是基础性题.
ì [ π ] 4.C 【解析】 本题解题思路是先将不等式进 -sinx x∈ -π,- ,6 行转化,再借助于相关三角函数的图象来确定解集
∴f(
.
x)= í
sin( πx+ ) x∈ [ π- , 2π- ] . 由 sinα > 3cosα 得 sinα - 3cosα >0,2sin 3 6 3
( π ) π π 5π又[ π 2π] ( π ) α-3 >0. 0≤α<2π
,- ≤α- < ,因此
(2)当x∈ - , ,f(x)=sinx+ = 3 3 36 3 3
π
0<α- <π,
π 4π
2 3 3<α<
,选
3 C.,
2 5.C 【解析】 考查两角和差公式及三角函数
π
x1=- ,
5π
x2= 1 1-cos2x12 12. 的值域.由已知得y=2sin2x+ 2 =
由对称性, 2f(x)= 在x∈ [-π, π- ] 的解, 2 12 6 2sin ( π2x-4 ) + ∈ é 2 1 2 1 ù2 êê- + , ú,故 2 2 2+2 ú
π, 3πx =- x =- . 选3 4 C.4 4
6. C 【解 析 】 令 y = f (x)=
() 2 π∴f x = 的解为x1=- ,
5π
x2= ,x3= 1+cos2x+8sin2x 5-3cos2x2 12 12 = ,可 得sin2x sin2x ysin2x +
π, 3π- 54 x4=-4. 3cos2x=5,整理sin(2x+φ)= (其中tanφ=
y2+9
§9.3 三角函数的性质 3
五年高考母题原型训练 ),由|sin(2x+φ)|≤1,可求y≥4,故选C.y
1.C 【解析】 本题是关于三角函数最值的问 7.B 【解析】 令t=sinx,t∈(0,1],则 函 数
题,y=1-2sin2x+2sinx(sinx∈[-1,1]),当sinx
() sinx+a a
1 3 f x =
(
sinx 0)的值域为函数y=1+ ,t
= 时,4 y
取最大值 ,当
2 sinx=-1
时,y 取最小值
( a
-3. t∈ 0
,1]的值域,又∵a>0,所以y=1+ , (,t t∈ 0
本题是三角函数中的最值问题,注意运用cos2x 1]是一个减函数,故选B.
=1-2sin2x,以及sinx 的有界性即可,本题属于中 8.C 【解析】 本题解题思路是通过适当变形
·125·
去掉根号,确定相应式子的范围,得出答案.令t=5+ 【点评】 三角函数求最值方法常用两个.一是化
, , t-5, sinx
2 归转化成一个角,一个三角函数名称,再利用y=
4cosx 则1≤t≤9cosx= ÷4 =è 5+4cosx sinx 求最值,另就是转化为关于sinx 或cosx 的二次
t-5 21- ( ) 函数型.注意令t=cosx 换元必换域.sin2x 1-cos2x 4 1
5+4cosx=
9 2 2
5+4cosx= t =-16 (t+t )+ 12. 解:(1)f(x)=cosxcos3π-sinxsin3π+
5 () 9 9.记8 gt =t+
,
t t∈
[1,9],则g'(x)=1- ,当 cosx+1t2 t∈ 1 3
(1,3)时,g'(t)<0;当t∈(3,9)时,g'(t)>0,因此函数 =-2cosx-2sinx+cosx+1
() 9gt =t+ 在[1,3]上是减函数,在[3,9]上是增函数, 1 3t =2cosx-2sinx+1
注意到g(1)=g(9)=10,g(3)=6,于是有6≤g(t)
1 5 1 5 1 =sin( 5πx+ )+1,
≤10,-16×10+8≤-
9
16(t+t )+8≤- 616× 因此f(x)的值域为[0,2].
5, 1 9 5 16+ 即 , 5π8 0≤ - 16(t+t ) + 8 ≤ 4 0≤ (2)由 f(B)=1得sin (B+ ) +1=1,得6
sinx 2 1, 1 sinx 1 ÷ ≤ - ≤ ≤ ,即函 5π ,
è 5+4cosx 4 2 sinB+ =05+4cosx 2 ( 6 )
( ) sinx
π
数 f x = (0≤x≤2π)的 值 域 是 又因01 1 由余弦定理b
2=a2+c2-2accosB,得a2-3a+
[- , ],选2 2 C. 2=0,解得a=1或2.
13. 解:y=7-4sinxcosx+4cos2x-4cos4x
9.2 【解析】 f(x)= 3sinx+sin(π2+x)= =7-2sin2x+4cos2x(1-cos2x)
π π =7-2sin2x+4cos2xsin2x
3sinx+cosx=2sin( πx+ ),当6 x+6=2kπ+ ,2 =7-2sin2x+sin22x
, π ( )
2
k∈Z 即x=2kπ+ ,k∈Z时,3 f
(x)max=2×1=2. = 1-sin2x +6
令sin2x=u,u∈[-1,1]
10.1- 2 【解析】 y=2cos2x+sin2x=1+ 由于函数z=(u-1)2+6在[-1,1]中的最大
值为
cos2x + sin2x = 1 + 2 cos ( π2x- ,当4 ) zmax=(-1-1)2+6=10,
cos( π2x- )=-1时,y =1- 2. 最小值为最小值4 zmin=(1-1)2+6=6,
11. 解:(1)f (π3 ) 2π π π=2cos3+sin2 -4cos 故当sin2x=-1时y 取得最大值10;当sin2x3 3
=1时y 取得最小值6.
3 9
=-1+4-2=-4. :()() ·1+cos2ωx14. 解 1f x =2 2 +sin2ωx+1
(2)f(x)=2(2cos2x-1)+(1-cos2x)-4cosx =sin2ωx+cos2ωx+2
=3cos2x-4cosx-1
= 2 ( π π2 sin2ωxcos +cos2ωxsin +2
=3( 2cosx-3 ) 7- ,
)
3 x∈R.
4 4
π
因为cosx∈[-1,1],所以,当cosx=-1时, = 2sin(2ωx+4 )+2
() ; 2f x 取最大值6 当cosx= 时,f(x)取最小值 , π 2π3 由题设 函数f
(x)的最小正周期是 ,可得2 2ω
7
- . π= ,所以3 2 ω=2.
·126·
() () ,() ( π ) 21. 解:由 题 设 有 f ( )2 由 1 知 x = 2sin +2. x =cosx +sinx =f 4x+4
2sin π .
π π , π kπ
(x+ )
当4x+ = +2kπ 即x= + (
4
4 2 16 2 k∈Z
)
(1)函数f(x)的最小正周期是T=2π.
时,sin( π4x+ 取得最大值 ,所以函数 ( )的最 42 π 424 ) 1 f x (2)由f(x0)= 得5 2sin(x0+ ,4 )= 5
大 值 是 2 + 2, 此 时 x 的 集 合 4
即sin π = .
为{x π kπ
x0+
x=16+
,
2 k∈Z}
( 4 ) 5
.
因为 ,π , π所以 π,π
15.D 【解析】 求三角函数的最小正周期的一 x0∈ (0 4 ) x0+4∈ (4 2 ) .
般思路是先把三角函数化简为正弦型或余弦型、正切
从 而 cos π = 1-sin2 π =
型的形式,再利用最小正周期公式计算,因为f(x)= (x0+4 ) (x0+4 )
(1+cos2x)sin2x = (1+2cos2x -1)sin2x = 2 3
1- 4 = .
2 2 1 2 1 ·1-cos4x 1
(5 ) 5
2sinxcosx= 2sin2x= 2 2 = 4 -
于是 π = 2sin π π
1 , () 2π π
f (x0+6 ) (x0+6+4 )
4cos4x
所以f x 的最小正周期T= = ,可验4 2
= 2sin π π
( ) (), ( ) π
[ (x0+4 )+6 ]
证得f -x =f x 故f x 是最小正周期为 的2 π π π π
偶函数,答案为D. = 2 [sin(x0+4 )cos6+cos(x0+4 )sin6 ]
16.D 【解析】 本小题主要考查同角三角函数
4 3 3 1 46+32、 ÷基本关系式 二倍角公式及三角函数的有关性质. = 2 = .è5×2+5×2 10
y=(sinx-cosx)2-1=1-sin2x-1= - 22.D 【解析】 由f(x)=sinx- 3cosx=
sin2x,所以函数是最小正周期为π的奇函数,故选D. π
17. A 【解析】 将 点(0,1)代 入 f(x)= 2sin(x- ),3
1
2sin(πx+φ) 可得3 sinφ= , π2 ∵x∈[-π,0],∴x- ∈ [ 4- π, π3 3 - ,3 ]
π π 2π
∵|φ|< ,∴φ= ,2 6 T=π=6
,故应选A. π π π π令-2≤x- ≤-
,可解得
3 3 -6≤x≤0
,
3 π
18.D 【解析】 本题解题思路是先由偶函数的 即得该函数的单调递增区间为 [- , ,故应6 0]
定义确定φ 应满足的条件,再结合各选项得出答案. 选D.
由偶 函 数 的 定 义 知,要 使 f(x)是 偶 函 数,只 要 23.C 【解析】 本题考查了正切函数的单调区
f(-x)=f(x)对任意x∈R 都成立,由f(-x)= 间的求解及整体思想的掌握.
f(x)整理化简得sinωxcosφ=0,cosφ=0,而f'(x)
∵tanx 的单调增区间 π, π ,k∈Z,
=ω (ωx kπ- kπ+cos +φ),因此f'(0)=ωcosφ=0,f(x)是偶 ( 2 2 )
函数的充要条件是f'(0)=0,故选D. π∴x+ ∈ πkπ- ,
π
kπ+ ,k∈Z,解 之 得 x∈
【 】 2π π
4 ( 2 2 )
19.10 解析 ∵T= = ,ω 5 ∴ω=10. 3π
kπ- ,
π
kπ+ ,k∈Z,因此
π
f(x)=tanx+ 的
1 ( 4 4 ) ( 4 )
20.2π- 【解析】 可以采取尝试的方法2 .
单调增区间为 ( 3π πkπ- ,4 kπ+ ),4 k∈Z,故应选C.f(x+π)=|sin(x+π)|cos(x+π)-1≠f(x),
而f(x+2π)=|sinx|cosx-1=f(x). 24.D 【解析】 本小题主要考查三角变换(降
1 次公式)及三角函数的性质.
∴周期为2π,最大值显然为-2. ∴y=2cos2x=cos2x+1.又y=cos2x 的单增区
·127·
间为2kπ-π≤2x≤2kπ(k∈Z),
π π π
即kπ-2≤x≤kπ.
增区间为 [kπ- ,4 kπ+4 ],k∈Z.f(x)是奇函数,
,π 2π 2π当k=1时 ≤x≤π.故选D. 其图象 关 于 原 点 对 称.周 期 为2 T=ω =
,
2 =π
25.A 【解析】 本小题主要考查三角变换以及 [f(x)]max=1,故选B.
复合函数单调区间的求解. 2
28. 3
【解析】 由6cosx=5tanx,6cos2x=
f(x)=cos2x-2cos2
x
2=cos
2x-cosx-1.令t
2
5sinx,6sin2x+5sinx-6=0,sinx= .
=cosx∈[-1,1] 3
14
f(x)=g(t)=t2-t-1.则
1
g(t)在 [-1, ] 是 29. 【解 析】 由 函 数 ( )在 区 间2 3 f x
减函数. (π,π ) 有最小值,无最大值,且 π π6 3 f (6 )=f (3 ),
g(t)在 [1,1] 为增函数,若求 ( )的增区间,2 f x 2π π π可得T=ω>3- ,即得6 0<ω<12,①
则 求 t=cosx 的t∈ [-1,1 ] 的 减 区 间,2 t∈ ∵f (π6 ) = f (π ,3 ) ∴sin (π π6ω+1 3 ) =[ ,1] 的增区间2 . sin(π π ,
π 2π 3
ω+3 )
当x∈ ( , ) 时,t=cosx∈ ( 1- ,1 为减3 3 2 2 ) π π π π , π π∴ ω+ = ω+ +2kπk∈Z或 ω+
函数,符合题意.故选A. 6 3 3 3 6 3
π π
:() ( ) 3 1 3 =2kπ+π- ω-
,k∈Z,
26. 解 1f x = 2sinωx+
3 3
2cosωx+ 2
1 解之得ω=-12k,k∈Z(
2
舍去)或ω=4k+ ,
sinωx-2cosωx-
(cosωx+1) 3
k∈Z, ②
=2 3 1
è2sinωx-2cosωx
÷-1 又由 (π )= (π f f ) 可得函数 (6 3 fx)的对称轴为
=2sin( πωx-6 )-1. 1 πx=2 (π π+ ,且3 6 )=4 f (π4 )=sin(π π4ω+3 )=
由-1≤sin( πωx- )≤1,得6 -3≤2sin( πωx- )- -1,6
π π π
1≤1. ∴ ω+ =2nπ- ,n∈Z,解之得4 3 2 ω=8n-
可知函数f(x)的值域为[-3,1]. 10
(2)由题设条件及三角函数图象和性质可知, , ,3 n∈Z
2π
y=f(x)的周期为π,又由ω>0,得 =π,即得ω=2. 2 10ω 令4k+3=8n-
可得
3 k=2n-1
,③
于是有 πf(x)=2sin(2x- ,再由 146 )-1 2kπ- 由①②③可得n=k=1,ω=3.
π π π( ), π≤2x- ≤2kπ+ k∈Z 解得2 6 2 kπ-6≤x≤ 30. 解:(1)
2π
T=3.
π
kπ+ (3 k∈Z
). (2)由题设可知A=4且sin( π3×12+φ)=1,
所以y=f(x)的单调增区间为 π π π
则φ+ = +2kπ,得φ= +2kπ(k∈Z).
[ πkπ- , π ( ) 4 2 46 kπ+3 ] k∈Z . π π
27.B 【解析】 f(x)
, , ()
=2sinxcosx=sin2x, ∵0<φ<π ∴φ=4 ∴f x =4sin其 (3x+4 ) .
·128·
(3)∵ 2 πf (3α+12) =4sin ( π2α+2 ) =4cos2α 38.π 9. 2
12
= , 10. [2kπ π,2kπ π5 ( )3 -6 3 +6 ] k∈Z
3 1 1
∴cos2α= ,5 ∴sin
2α= (2 1-cos2α
)= , 11. ②④5 12. 解:(1)方法1:
5 1-cos2x 3(∴sinα=± . () 1+cos2x
)
5 ∵f x = 2 +sin2x+ 2
31. 解:(1)∵f(x)=cos( π2x-3 )+ =2+sin2x+cos2x=2+ 2sin( π2x+ ),4
2sin( π )sin( π π π πx-4 x+ ) ∴当4 2x+4=2kπ+ ,即x=kπ+ (k∈Z)2 8
1 3 时,f(x)取得最大值( )( 2+ 2.=2cos2x+ 2sin2x+ sinx-cosx sinx+ 因此,f(x)取得最大值的自变量x 的集合是
cosx) {x πx=kπ+ ,8 k∈Z)}1 3
=2cos2x+2sin2x+sin
2x-cos2x 方法 2:∵f(x)= (sin2x+cos2x)+sin2x
1 3 +2cos
2x
=2cos2x+2sin2x-cos2x =1+sin2x+1+cos2x=2+ 2sin( π2x+ ),4
=sin( π2x-6 ) . π π π∴当2x+4=2kπ+ ,即2 x=kπ+ ( )2π 8 k∈Z
∴周期T=2=π. 时,f(x)取得最大值2+ 2.
π π( ), kπ π( 因此,f(x)取得最大值的自变量x 的集合是由2x-6=kπ+
得
2 k∈Z x=2+3 k π
∈Z). {x x=kπ+ ,8 k∈Z}
kπ π π
∴函数图象的对称轴方程为x= + (k∈Z). (2)f(x)=2+ 2sin2 3 (2x+4 ) .
(2)∵ x ∈ [ π,π , π π π π-12 2 ] ∴ 2x - ∈ 由题意得2kπ- (2 ≤2x+4 ≤2kπ+2 k∈6
[ π,5π] Z),-3 6 .因 为 f(x)=sin ( π2x- ) 在 区 间6 3 π
即kπ-8π≤x≤kπ+
(
8 k∈Z
),
[ π- ,π 上 单 调 递 增,在 区 间 π,π 上 单 调12 3 ] [3 2 ] 因此f(x)的单调增区间是
递减, 3 , πkπ- πkπ+
π [ 8 8 ](k∈Z).
所以当x= 时,3 f
(x)取得最大值1, π
13. 解:(1)由cos2x≠0得2x≠kπ+ ,
( π ) 3又∵ =- < π 1
2
f -12 2 f ( ,2 )=2 kπ π解得x≠ ,2+4 k∈Z,
π 3
∴当x=- 时,f(x)取得最小值12 -2. ∴ (x)的定义域为{ kπ πf x|x≠ ,2+4 k∈Z}.
∴函数f(x)在 [ π,π- ] 上的值域为 êé 3 ù12 2 ê- ,2 1ú . kπ π ú 当x≠2+ ,k∈Z时,4
2012—2013高考题源拓展测试
( ) 6cos
4x+5sin2x-4
1.A 2.C 3.D 4.D 5.B 6.C 7.C f x = cos2x
·129·
6cos4x-5cos2x+1 kπ π
= 函数图象的对称轴方程为x= + ( )cos2x 2 3 k∈Z
(2cos2x-1)(3cos2x-1)
= =3cos2x-1., (2)g(x)=[f(x)]2cos2x +f
(x)=sin2 ( π2x-6 )+
又f(x)的定义域关于原点对称, 2
3sin
() ( π 3
1
2x π-
∴f x 是偶函数. 6 )+2= [sin(2x- - .6 )+2 ] 4
(2) (
1+cos2x π
∵f x)=3cos2x-1=3× -1 当sin(2x-6 )=-1时,g(x)取得最小值0;2
1 3 当sin( π= + cos2x. 2x- )=1时,g(x)取得最大值6,2 2 6
2π 所以g(x)的值域为[0,6].
∴T=ω=π
,∴f(x)的最小正周期为π.
§9.4 三角恒等变换
14. 解:(1)定义域为{ πx|x≠kπ+ ,2 k∈Z},值 五年高考母题原型训练 π
域为(-5,-1],最小正周期为π. 1.C 【解析】 由sin( πα-4 )=sinαcos4-
( π 5π2) 或12 12. π 2cosαsin ( ),4=2 sinα-cosα
15. 解:(1)∵ (x)=sin (πf 3-ωx) · cos2α cos2α-sin2α所 以
π = =2
(1+ 3tanωx)cosωx sin(α-4 ) (2 sinα-cosα)
=sin(π ωx) - 3sinωx 1+ ÷cosωx cosα+sinα 2 13 è cosωx =- ,可得2 cosα+sinα=2 2.
(π -=sin 3-ωx) (cosωx+ 3sinωx) 2
π π π 2. 解:(1)f( )
1 1+cosx
x = sinx+ -2=
=2cos( -ωx)sin( -ωx) =sin(2ωx+ , 2 23 3 3 )
1 3 2 3
( ) π ,2 sinx+cosx -2=2sin(x+4 )-2
2π
∴函数f(x)的最小正周期为 =π,∴ω=1. 故f(x)的周期为2kπ(k∈Z且k≠0)2ω .
π () 17 5 π 5(2)由(1)得,f(x)
由
=sin(2x+ ), 2 π≤x≤ π,得 π≤x+ ≤ π.3 12 4 4 3
π π
∴当2x+ =2kπ- (k∈Z)时, 因为f(x)
2 3
=2sin( πx+4 )-3 2 2
5 5π 5π17π
即x=kπ- π(k∈Z)时,函数f(x)取得最小 在 [π, 上 是 减 函 数,在 , 上 是 增12 4 ] [4 12 ]
值-1, 函数.
∴函 数 f(x)取 得 最 小 值 时 的 x 值 的 集 合 5π 3+ 2故当x= 时,f(x)有最小值4 -
;而f(π)2
为{x 5x=kπ-12π,k∈Z}. 6+ 6
=-2, (17πf 12 )=- 4 <-2,所以当x=π时,1 3
16. 解:f(x)=2cos2x+2sin2x-cos2x+1 f(x)有最大值-2.
2π 【解析】
=sin( π )+1,∴最小正周期T= =π. 3.A sin43°cos13°-cos43°sin13°=2x-6 2
( 1
π π kπ π sin43°-13°
)=sin30°=2.
由2x- =kπ+ ( ),得6 2 k∈Z x=2+
(
3 k
∈Z) 4.A
【解析】 cos(23π+2α)=-cos
·130·
[π- (2π+2α) ] 9. 解:(1)在△ABC 中,sinA= 1-cos2A =3
( 4
2
) 3 BC AC1- = .由正弦定理得 = ,=-cos(π3-2α)=-cos[2(π-α) ] -5 5 sinA sinB6
AC 2 3 2
所以
=- [1-2sin2 (π α) ] sinB=BCsinA= × = .6- 3 5 5
2 4
[ (1 ) ] 7 (2)因为cosA=- ,所以角A 为钝角,从而角=- 1-2× 3 =-9 5
为锐角 于是
5.B 【解析】 tanα=4,tanβ=3,tan(α+β)=
B .
2
tanα+tanβ 4+3 7 2 2 21
· = =- .本题属于 简 单 题,
cosB= 1-sinB= 1- = ,
1-tanα ( )tanβ 1-4×3 11 5 5
考查三角函数和角公式等知识. 21 17cos2B=2cos2B-1=2× -1= ,
6. C 【解 析】 本 题 为 三 角 函 数 的 化 简, 25 25
3-sin70° 3-sin70° 3-sin70° 2 21 4 21sin2B=2sinBcosB=2× × = .
2-cos210= 1+cos20°=3 1 =2. 5 5 252- 2 2-2cos20° π
因 此,sin π2B+ = sin2Bcos +
2 1+cos20°
( 6 ) 6
本题要注意利用降幂公式cos10°= 将2 π
cos2Bsin
角度化为20°,而cos20°与sin70°相等,可进行化简,从 6
而得解,属于容易题. 4 21 3 17 1
= × + ×
4 1 α 25 2 25 2
7. - - 【解析】3 7 ∵tan2=2
,
127+17
α = .
α 2tan
50
( ) 2 4∴tanα=tan 2× = = 10. 解:(1)当m=0时,f(x)=sin2x+sinxcosx2 2 α 1-4=1-tan 2 1 1= (2 sin2x-cos2x)+2
4
- ,3 2 1= π2sin(2x-4 )+π 2
π tanα+tan( 4 tanα+1 π 3π π 5π∵tanα+ ) = = 又由x∈ , 得2x- ∈ 0, ,所以4 · π 1-tanα= [8 4 ] 4 [ 4 ]1-tanα tan4
4 sin( π2x-4 )∈ é 2 ù êê- ,2 1ú ú,-3+1 1
4 =-7. 从 而 f (x)
2
1+ = sin ( π2x- ) 1+3 2 4 2
1 é 1+ 2ù
8. 【解析】2 ∵cos
(α+β)=cosαcosβ- ∈ êê0, úú . 2
1 m
sinαsinβ= , (2)f(x)=sin
2x+sinxcosx-
5 2
cos2x
1-cos2x 1 m
cos(
3
α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ= =5. 2
+2sin2x-2cos2x.
cos(α-β)+cos(α+ ) 2 1 1∴cosαcos= ββ = , = [2 sin2x-
(1+m)cos2x]+
2 5 2
cos(α-β)-cos(α+β) 1, 2sinαcosα 2tanαsinαsinβ= 由tanα=2,得sin2α= =2 =5 sin2α+cos2α 1+tan2α
sinαsin 1 4
∴tanαtanβ=
β
cosαcos = . =
,
β 2 5
·131·
cos2α-sin2α 1-tan2α 3
cos2α= 2 α 2 α
α
sin2α+cos2α=1+tan2α=-
,
5 (cos 2-sin 2 )sin2
=
3 1
所以
5 = 2 [4 3 1
α
5+
(1+m)5 ] + ,得2 m= cos2cosα
-2. αcosα·sin
【 】 2 α点评 解三角函数问题要合理利用公式,统一 = α =tan .
名称、统一角. cos ·
2
2 cosα
11. 解:(1)由已知条件及三角函数的定义可知, 解法2:利用三角函数其他公式,
2, 25
[
α sinα+
(cosα-1)][sinα-(cosα-1)]
cos =10cosβ= .
原式
5 = sin2α
2
因α为锐角,故sinα>0,从而sinα= 1-cos2α sinα-cos
2α+2cosα-1 2cosα-2cos2α
= sin2α = 2sinαcosα
72
=10. 2 α
2cosα(1-cosα) 1-cosα 2sin 2
5 1 =
同理可得sin = .因此tanα=7,tan = . 2sinαcosα
= sinα = α α
β 5 β 2 2sin2cos2
1
7+ αtanα+tan 2 sin
所以tan(α+ )= β= =-3. 2 αβ 1-tanαtan 1 = =tan .β 1-7× α 22 cos2
(2)tan(α +2β)=tan[(α +β)+β]= 15
15. 解:∵α为第二象限角,1 sinα= 4 .
-3+2
1=-1.
1
∴cosα=- 1-sin2α=-
1-(-3)× 4
.
2
sin( π π ππ π 3π α+ ) sinαcos +cosαsin
又0<α< ,2 0<β<
,故
2 0<α+2β<
,从而 4 4 4
2 ∴sin2α+cos2α+1= 2sinαcosα+2cos2α
( ) 3π由tanα+2β =-1得α+2β= 15 2 1 24. 4 ×2-4×2
2012—2013高考题源拓展测试 = =- 2.15 1 2
1.B 2.A 3.C 4.C 5.B 6.A 7.C 2× 4 × (-4 )+2× ( 1-4 )
8.A 7π 7π
16. 解:∵ 5π π
12 4 ∴69. -25 10. 5 又cos( πx+4 ) 3= >0,56 5
11.sinα 12.65 3π π∴ 13.(1)2 ()
5 15
2 5- 10 ∴sin π+x = 1-cos2
π
+x
14. 解法1:
( ) ( )
利用二倍角公式,原式= 4 4
( α α α α α α 3
2 4
2sin2cos
2
2-2sin 2 ) (2sin2cos2+2sin2 2 ) =- 1- (5 ) =- ,5
α α
4sin2cos
π
2cosα sin(4+x) 4
tan(π4+xα α α α α )= =- ,( π 3cos2-sin2 ) (cos2+sin )sin cos +x2 2 (4 )
= α
cos2cosα sin2x=-cos(π2+2x)
·132·
2 (π ) 7, 1=1-2cos 4+x =25 +3b,故选B.
sin2x+2sin2x · (π ) 5.A 【解析】 由已知条件可得2(O
→C-O→A)
∴ 1-tanx =sin2x tan 4+x +(O→B-O→C)=0,化 简 可 得O→C=2O→A-O→B,故 应
7 28
=25× ( 4-3 )=-75. 选A. 1 1 1
17. 解:(1)∵C=π-(A+B), 6. a+ b+ c 【解析】 本题主要考查空2 4 4
∴tanC=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B) 间向量,属于综合知识能力的考查.O→E=O→A+A→E=
tanA+tanB
=- , → 1 → → 1(→ →) 1 → 11-tanAtanB OA+2AD=OA+ 2 AO+OD = 2OA+ 4
由已知,tanA+tanB=tanAtanB-1,
(→ →) 1 1 1π OB+OC =2a+4b+4c.所以tanC=1,又∵C∈(0,π),∴C=4. 7.A 【解析】 本题解题思路是根据向量的坐
(2)由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC, 标运算规 则 进 行 计 算.依 题 意 得a-2b=(3,5)-
①当tanAtanB≠1时,变形得 2(-2,1)=(7,3),选A.本题考查向量的坐标运算.
tan(A+B)(1-tanAtanB)=tanC(tanAtanB- 8.C 【解析】 a+b=(0,1+x2),由1+x2≠0
1) 及向量的性质可知,C正确.
∴tan(A+B)=-tanC, 9.D 【解析】 由4a+(4b-2c)+2(a-c)+d
∴A+B=kπ-C(k 为 整 数),即 A+B+C =0得d=(-2,-6).
=kπ, 10.A 【解析】 本题为向量的运算,由λa+b
因为A、B、C∈(0,π),故可以取得 A、B、C 的 与a 垂直,可得(λa+b)·a=0,即λ(a)2+b·a=0
值,使得A+B+C=2π,故该命题为假; 10λ+10=0 λ=-1.本题考查了向量垂直条件的
②若tanAtanB=1,这种情况不可能. 转化以及数量积的运算,属于容易题.
综上,该命题是假命题. 11.(-1,1)或(-3,1) 【解析】 设a=(x,
第十章 平面向量 1),那么a+b=(2+x,0),由|2+x|=1 x=-1或
x=-3.
§10.1 平面向量的加法、减法 12.2 【解析】 本题是向量的模的运算问题,
和实数与向量的积 考查学生对向量的坐标运算及模运算的掌握情况.
五年高考母题原型训练 13.D 【解析】 本题主要考查向量的共线(平
1.A 【解析】 本小题主要考查向量运算的三 行)、向量的加减法.属于基础知识、基本运算的考查.
角形法则. 取a=(1,0),b=(0,1),若k=1,则c=a+b=(1,
→ 2 2由AD=A→B+B→D=A→B+ B→C=A→B+ (A→C 1),d=a-b=(1,-1),显然,c与d 不平行,排除A、3 3
B.若k=-1,则c=b-a=(-1,1),d=a-b=-
-A→B) 2 → 1 2 1=3AC+3A
→B=3b+ ,故选3c A. (-1,1),即c∥d 且c与d 反向,排除C,故选D.
2.A 【解析】 本题考查平面向量的基本知识, 14.A 【解析】 不存在λ 使A
→B=λB→C,B→C=
属于基础知识、基本运算的考查.依次检验各选项,检 λC
→D,∴A、B、C;B、C、D 不共线,所以排除B、C.
→ → → → →
验A选项,由条件知B→E=D→F,C→F=F→A,可得A→D+ ∵AD=AB+BC+CD=3a+6b=3AB,
B→E+C→F=A→D+D→F+F→A=0,选A. ∴A、B、D 共线,选A.
3.A 【解析】 ∵点 D 是BC 的中点,∴O→B+ 15.D 【解析】 本题主要考查向量的坐标运算
O→C=2O→D,∵2O→A+O→B+O→C=0,∴2O→A+2O→D 规则以及两个向量共线的充要条件.依题意得a+b
=0,即得O→A=-O→D,∴A→O=O→D,故应选A. =(3,x+1),4b-2a=(6,4x-2),3(4x-2)=6(x
4.B 【解析】 设a=(1,0),b=(0,2) +1),由此解得x=2,选D.
→ 2 2 2 1 2 16.5 【解析】 由题可知a-c=(3-k,-6),则得CD= ( , )= (1,0)+ (0,2)3 3 3 3 =3a 又由(a-c)∥b 9-3k+6=0 k=5.本题考查向量
·133·

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