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第十九章 选考内容
考纲·题型解读
1.几何证明选讲
(1)了解平行线截割定理,会证直角三角形射影定理.
(2)会证圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理.
(3)会证相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理.
(4)了解平行投影的含义,通过圆柱与平面的位置关系,了解平行投影.
(5)会证平面与圆柱的截线是椭圆(特殊的情形是圆).
2.坐标系与参数方程
(1)理解坐标系的作用;了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况;了解柱坐标系、球坐标系中表示空间
中点的位置的方法,并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较,了解它们的区别.
(2)了解参数方程;了解参数的意义;了解平摆线、渐近线的生成过程,并能推导出它们的参数方程;了解其他摆线的生成过
程;了解摆线在实际中的应用;了解摆线在表示行星运行轨道中的作用.
3.不等式选讲
(1)理解绝对值的几何意义,并能利用绝对值不等式的几何意义证明不等式.
(2)会利用绝对值的几何意义求解不等式.
(3)认识柯西不等式的几种不同形式,理解它们的几何意义.
(4)会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情况:
n n n
∑a2 2 2i·∑bi≥ (∑aibi ) .
i=1 i=1 i=1
(5)会用向量递归方法讨论排序不等式.
(6)了解数学归纳法的原理及其使用范围,会用数学归纳法证明一些简单的问题.
4.矩阵与变换
通过平面图形的变换讨论二阶方阵的乘法的性质、逆矩阵和矩阵的特征向量等概念,并以变换和映射的观点理解线性方程
组的意义.
题源1 几何证明选讲 性质定理2:相似三角形的面积比等于相似比的平方.
结论:相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似
解题模型 比,外接圆的面积比等于相似比的平方.
射影定理:直角三角形中,每一条直角边是这条直角
1.平行线等分线段定理及推论.
边在斜边上的射影和斜边的比例中项;斜边上的高是两条
2.平行线分线段成比例定理及推论.
直角边在斜边上的射影的比例中项
3. .相似三角形的概念和相似比的概念.
6.直线与圆的位置关系
4.相似三角形的判定
如果圆与直线没有公共点,这种情况我们说直线与圆
判定定理1:两角对应相等的两个三角形相似.
相离;
判定定理2:三边对应成比例的两个三角形相似.
如果圆心到一条直线的距离小于半径,则这条直线和
判定定理3:两边对应成比例,并且夹角相等的两个三
该圆一定相交于两点,这时我们说直线与圆相交,这条直
角形相似.
线叫做圆的割线;
5.相似三角形的性质定理
如果一条直线与圆只有一个公共点,则这条直线叫做
性质定理1:相似三角形对应边上的高、中线和它们周 这个圆的切线,公共点叫做切点.
长的比都等于相似比. 7.圆切线的判定定理、性质以及推论.
·372·
△ABC 的角平分线AD 的延长线交它的外接圆于点E.
8.圆周角、圆周角定理及推论. (1)证明:△ABE∽△ADC;
9.弦切角、弦切角定理及推论.
() 110.圆的切线,内接四边形,比例线段. 2 若△ABC 的面积S= AD·AE,求2 ∠BAC
的大小.
[ [解析] ()由 已 知 条 件,可 得真题1] (2022· 1北京)如图☉O
的弦ED,CB 的延长线交于点A.若BD ∠BAE=∠CAD.
因为 与 是同弧上的圆
⊥AE,AB=4.BC=2,AD=3,则 DE ∠AEB ∠ACB
; 周 角,所 以= CE= . ∠AEB = ∠ACD.
故
[解析] :AD· △ABE∽△ADC.由 割 线 定 理 可 知
AE=AB·AC. () AB2 因为△ABE∽△ADC,所以AE=
4×6
∵AD=3,AB=4,BC=2,AC=4+2=6,∴AE= ,3 =8 AD,即AB·AC=AD·AC AE.
∴DE=8-3=5. 1 1
3 又S= ·2AB ACsin∠BAC
,且S=2AD
·AE,故 AB·AC
在Rt△ABD 中,cosA= ,4 ·sin∠BAC=AD·AE.则sin∠BAC=1,
在△AEC 中,由于余弦定理可知:
又∠BAC 为三角形内角,所以∠BAC=90°.
EC2=AE2+AC2-2AE·AC·cosA [规律总结] 求解平面几何问题首先是能够用好相关的性
2 2 3=8+6-2×8×6×4=28
, 质、结论.其次是能够明确点、线、面之间的关系,将所求问题转
化为三角形、圆内的元素求解问题,要注意书写的准确性和步骤
∴EC=27.
的严谨性.
[真题2] (2022·天津)如图,
四边形 ABCD 是圆O 的内接四边 题源2 坐标系与参数方程
形,延长AB 和DC 相交于点P.若
PB 1,PC 1, BC= = 则 的值为PA 2 PD 3 AD
.
[解析] 由割线定理知PB·PA=PC·BD.令PB=x,则
PA=2x,PC=y,则PD=3y,
∴PB·PA=2x2,PC·PD=3y2,
2 2,y 2∴2x =3y x = 3 .
∵△PBC~△PDA,
BC PC y 1 2 6
∴DA=PA=2x=2 3 =6.
[真题 3] (2022· 广 东)如 图,
AB,CD 是半径为a 的圆O 的两条弦,
2a
它们相交于 AB 的中点P,PD= ,3
∠OAP=30°,则CP= .
[解析] ∵P 是 弦 AB 的 中 点,
∴OP⊥AB.
在Rt△AOP 中,∠OAP=30°,OA=a,
3
∴AP=2a=BP.
又∴CP·PD=PA·PB,
2
3a÷PA2 è2 9
∴CP=PD = 2 =8a.
3a
[真题4] (2022·辽宁)选修4 1:几何证明选讲.如图,
·373·
解题模型
6.圆的极坐标方程
1.直角坐标系. (1)圆心在极点,半径为R 的圆的极坐标方程为ρ=R.
2.空间直角坐标系. (2)圆心在极轴上的点(a,0)处,且过极点O 的圆的极
3.平面上的伸缩变换. 坐标方程为ρ=2acosθ.
4.极坐标系
在平面上取一个定点O,由O 点出发的一条射线Ox、 (3)圆心在点 ( πa, ) 处且过极点的圆的极坐标方程2
一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向), 为ρ=2asinθ,0≤θ≤π.
合称为一个极坐标系.O 点称为极点,Ox 称为极轴.平面上 注:当圆心不在直角坐标系的坐标轴上时,要建立圆
任一点 M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的极坐标方程,通常把极点放置在圆心处,极轴与x 轴同
的角度θ来刻画(如图所示).这两个数组成的有序数对(ρ, 向,然后运用极坐标与直角坐标的变换公式.
θ)称为点 M 的极坐标ρ.称为极径,θ称为极角.
x x ρ
2=(x-x0)2+(y-= y
2
0),
{ 0+ρcosθ,或y=y0+ρsinθ { y-yθ 0tan =x-x .0
7.直线的参数方程
直线的参数方程可以从它的普通方程转化而来,设直
5.极坐标与直角坐标的互化 线的点斜式方程为y-y0=k(x-x0).
设 M 为平面上的一点,它的直角坐标为(x,y),极坐 其中k=tanα,α为直线的倾斜角,代入上式,得
标为(ρ,θ).由图可知下面的关系式成立: sinα π x-x y-y
2=x2+y2, y-y0=
( ),
cosαx-x0 α≠
, 0= 0即
x= cosθ, {ρ 2 cosα sinα
.
{ ρ 或 ,y=ρsinθ ytanθ= (x≠0), x=x0+tcosαx 记上式的比值为t,整理后得{y=y0+tsinα.
这是直线的参数方程,其中参数t有明显的几何意义.
在直角三角形 M0AM 中,|M0A|=|x-x0|,|MA|=|y
-y0|,|M0M|=|t|,即|t|表示直线上任一点 M 到定点
M0 的距离.
8.圆的参数方程
顺便指出,上式对ρ<0也成立. 若圆心在点 M0(x0,y0),半径为R,则圆的参数方程
这就是极坐标与直角坐标的互化公式. x=x0+Rcosθ,
为{ 0≤θ≤2π.y=y0+Rsinθ,
9.椭圆的参数方程
若椭圆的中心不在原点,而在点 M0(x0,y0),相应的
x=x0+acost,
椭圆的参数方程为{ ,0≤t≤2π.y=y0+bsint
[真题5] (2022·北京)极坐标方程(ρ-1)(θ-π)=0(ρ≥
0)表示的图形是 ( )
A.两个圆 B.两条直线
C.一圆和一条射线 D.一条直线和一条射线
[解析] ∵(ρ-1)(θ-π)=0(ρ≥0),∴ρ=1或θ=π(ρ≥
0)ρ.=1表示圆心在原点,半径为1的圆,θ=π(ρ≥0)表示x 轴
的负半轴,是一条射线,故选C.
[真题6] (2022·全国)选修4 4:坐标系与参数方程.已
x=1+tcosα,
知直线C1:{ (t为参数),y=tsinα
:{x=cosθ,C2 (θ为参数).y=sinθ
( π1)当α= 时,求C1 与C2 的交点坐标;3
(2)过坐标原点O 作C1 的垂线,垂足为A,P 为OA 的中
点.当α变化时,求P 点轨迹的参数方程,并指出它是曲线.
[ ] () π解析 1 当α= 时,C1 的普通方程为3 y= 3
(x-1),
C 的普通方程为x2+y22 =1.
·374·
{y= 3(x-1), A(1,0),故直线AM 的参数方程为联立方程组 x2+y2=1, ìx=1+ (π ,
6
-1)t
解得C 与C 的交点为(1,0),1, 3 . í (t为参数).1 2 ÷
è2 -2 3π y= t
(2)C1 的普通方程为xsinα-ycosα-sinα=0. 6
A 点坐标为(sin2α,-cosαsinα), [规律总结] 在求解过程中要能够熟练应用极坐标的相应
故当α变化时,P 点轨迹的参数方程为 知识,充分理解极坐标方程的含义.同时在一些问题的求解过程
1 中也要能够习惯将陌生问题化为熟悉问题进行解决ì .2
x=2sinα
,
í (α为参数). 题源3 不等式选讲
1
y=-2sinαcosα
,
2 1
P 点轨迹的普通方程为 ( 1x-4 ) +y2=16.
1
故P 点轨迹是圆心为 (1,4 0) 半径为 的圆4 .
,
[真题7] (2021·宁海)
x=-4+cost
已知曲线C1:{y=3+sint,
,
( ), x=8cosθt为参数 C2:{ (θ为参数).y=3sinθ,
(Ⅰ)化C1,C2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什
么曲线;
(Ⅱ)
π
若C1 上的点P 对应的参数为t= , 为2 Q C2
上的动
, :{x=3+2t,点 求PQ 中点M 到直线C3 (t为参数)距离的最y=-2+t
小值.
2 2
[解析] (Ⅰ)C :(x+4)2 2
x y
1 +(y-3)=1,C2:64+9=1.
C1 为圆心是(-4,3),半径是1的圆.
C2 为中心是坐标原点,焦点在x 轴上,长半轴长是8,短半
轴长是3的椭圆.
( πⅡ)当t= 时,2 P
(-4,4),Q(8cosθ,3sinθ),
故 M(
3
-2+4cosθ,2+ sinθ)2 .
C3 为直线x-2y-7=0,
5
M 到C3 的距离d=5|4cosθ-3sinθ-13|.
4 3 85
从而当cosθ= ,5 sinθ=-
时,d 取得最小值5 5 .
[真题8] (2022·辽宁)选修4 4:坐标系与参数方程.已
x=cosθ,
知P 为半圆C:{ (θ为参数,0≤θ≤π)上的点,点A 的y=sinθ
坐标为(1,0),O 为坐标原点,点 M 在射线OP 上,线段OM 与C
︵ π
在弧AP的长度均为3.
(1)以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求点
M 的极坐标;
(2)求直线AM 的参数方程.
[ π解析] (1)由已知,M 点的极角为 ,且 M 点的极径等于3
π,故点 M 的极坐标为 (π,π3 3 3 ) .
(2)M 点的直角坐标为 π,3π ÷,
è6 6
·375·
解题模型
4.绝对值不等式的解法
1.两实数大小比较的三种情况 (1)|ax+b|≤c、|ax+b|≥c型不等式的解法:
设a、b为两个实数,它们在实轴上的点分别记为 A、 ①c>0,则|ax+b|≤c的解集为-c≤ax+b≤c,|ax
B.如果A 落在B 的右边,则称a 大于b,记为a>b;如果A +b|≥c的解集为ax+b≥c或ax+b≤-c,然后根据a、b
落在B 的左边,则称a 小于b,记为a合,则称a 与b相等,记为a=b. ②c<0,则|ax+b|≤c解集为 .|ax+b|≥c的解集
2.不等式的基本性质 为 R.
(1)对称性:a>b b(2)传递性:a>b,b>c a>c. 等式的解法,解这类含绝对值的不等式的一般步骤:
(3)加(减):a>b a+c>b+c. ①令每个绝对值符号里的一次式为0,求出相应的根.
(4)乘(除):a>b,c>0 ac>bc;a>b,c<0 ac(5)乘方:a>b>0 an>bn,其中n 为正整数,且n 区间.
≥2. ③在所分区 间 上,根 据 绝 对 值 的 定 义 去 掉 绝 对 值 符
(6) n n开方(取算术根):a>b>0 a>b,其中n 为正 号,讨论所得的不等式在这个区间上的解集.
整数,且n≥2. ④这些解集的并集就是原不等式的解集.
(7)a>b,c>d a+c>b+d. 5.绝对值的三角不等式
(本性质说明两个同向不等式相加,所得的不等式和 定理1:若a、b为实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅
原不等式同向) 当ab≥0时,等号成立.
(8)a>b>0,c>d>0 ac>bd. 定理2:设a、b、c为实数,则|a-c|≤|a-b|+|b-
(本性质说明两边都是正数的同向不等式两边分别相 c|,
乘,所得的不等式和原不等式同向) 等号成立 (a-b)(b-c)≥0,即b落在a、c之间,
3.基本不等式 推论1:||a|-|b||≤|a+b|;
定理1:设a,b∈R,则a2+b2≥2ab.当且仅当a=b 推论2:||a|-|b||≤|a-b|.
时,等号成立. 6.不等式证明的基本方法
a+b ()
定理2:如果a、b 为正数,则 ≥ ab,当且仅当a 1 比较法.2 (2)综合法与分析法.
=b时,等号成立. (3)反证法与放缩法.
a+b
我们称 为正数a、b 的算术平均值, ab为正数2 [真题9] (2021·福建)解不等式|2x-1|<|x|+1.
a、b的几何平均值,因而这一定理可用语言叙述为:两个正 [解析] 当x<0时,原不等式可化为-2x+1<-x+1,
数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值. 解得x>0,又∵x<0,∴x 不存在;
定理3:
a+b+c
如果a、b、c , ≥ 3为正数 则 abc,当且 13 当0≤x< 时,原不等式可化为2 -2x+1,解得x
仅当a=b=c时,等号成立. >0,
a+b+c 3
我们称 为正数a、b、c的算术平均值, abc为 1, 13 又∵0≤x<2 ∴0;
2
正数a、b、c的几何平均值,定理3中的不等式为三个正数 1
的算术—几何平均值不等式,或简称为平均值不等式. 当x≥ 时,原不等式可化为2 2x-1解得x<2,
定理4:(一般形式的算术—几何平均值不等式)如果 1 1
又
… ∵x≥
,∴ ≤x<2.
a 、a 、…、
a +a
a n , 1 2
+ +an 2 2
1 2 n 为 个 正 数 则 n ≥ 综上,原不等式的解集为{x|0na1a2…an,当且仅当a1=a [2=…=an 时,等号成立. 真题10] (2022·福建)选修4 5:不等式选讲
已知函数f(x)=|x-a|.
(1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|-1≤x≤5},求实数a
的值;
(2)在(1)的条件下,若f(x)+f(x+5)≥m 对一切实数x
恒成立,求实数m 的取值范围.
[解析] 解法一:(1)由f(x)≤3得|x-a|≤3,解得a-3
≤x≤a+3.
又已知不等式f(x)≤3的 解 集 为{x|-1≤x≤5},所 以
{a-3=-1,解得a=2.a+3=5,
(2)当a=2时,f(x)=|x-2|.设g(x)=f(x)+f(x+
·376·
{-2x-1
,x<-3; 交点为(-7,2)和 5,2 .
5),于是g(x)=|x-2|+|x+3|= 5,-3≤x≤2; (3 )
2x+1,x>2. 所以|2x+1|-|x-4|>2 的 解 集 为 (- ∞,-7)
所以当x<-3时,g(x)>5; ∪ (5,+∞ ) .
当-3≤x≤2时,g(x)=5; 3
当x>2时,g(x)>5. (Ⅱ)
1
由函数y=|2x+1|-|x-4|的图象可知,当x=-2
综上可得,g(x)的最小值为5.
9
从而,若f(x)+f(x+5)≥m 即g(x)≥m 对一切实数x 时,y=|2x+1|-|x-4|取得最小值-2.
恒成立,则m 的取值范围为(-∞,5]. [真题13] (2022·全国)选修4 5:不等式选讲
解法二:(1)同解法一. 设函数f(x)=|2x-4|+1.
(2)当a=2时,f(x)=|x-2|. (1)画出函数y=f(x)的图象;
设g(x)=f(x)+f(x+5). (2)若不等式f(x)≤ax 的解集非空,求a的取值范围.
由|x-2|+|x+3|≥|(x-2)-(x+3)|=5(当且仅当-3
≤x≤2时等号成立)得,g(x)的最小值为5.
从而,若f(x)+f(x+5)≥m 即g(x)≥m 对一切实数x
恒成立,则m 的取值范围为(-∞,5].
[真题11] (2020·广东)已知a∈R,若关于x 的方程x2
+x+ 1a- +|a|=0有实根,则a的取值范围是4 .
[解析] 含有多个绝对值的不等式问题,解决的常规思路
是分类讨论,先由各个绝对值内取0时的变量取值划分区间再
1
进行变量讨论.当a<0时,原方程可化简为x2+x-2a+4=
[ ] () () -2x+5
,x<2,
0,若其有实根, ( 1 解析 由于则需Δ=1-4× -2a+4 )=8a≥0,解得a≥ 1 f x ={2x-3,x≥2,
1 1 则函数y=f(x)的图象如图所示.
0,矛盾,此时无解;当0≤a≤ 时,原方程可化简为x24 +x+4
1
=0,因为Δ=1-4× =0,显然此时有实根,满足题意;当4 a>
1
时,原方程可化简为x2
1
+x+2a- =0,若其有实根,则需4 4
Δ=1-4× ( 12a- )=-8a≥0,解得a≤0,矛盾,此时无解4 .综
1
上所述,得满足条件的a 的取值范围是[0, ]4 .
[真题12] (2019· 宁 海)设 函 数 f(x)=|2x+1|
-|x-4|. (2)由函数
( ) () ; y
=f(x)与函数y=ax 的图象可知,当且仅当a
Ⅰ 解不等式f x >2 1
(Ⅱ)求函数y=f(x)的最小值. ≥ 或a<-2时,函数y=f(x)与函数y=ax 的图象有交点2 .
故不等式f(x)≤ax 的解集非空时,a 的取值范围为(-∞,-2)
∪ [1,2 +∞ ) .
[方法归纳] 求解绝对值不等式关键是能够去掉绝对值符
号.求解绝对值不等式常用的方法有零点区间讨论法,即通过逐
一讨论零点区间去掉绝对值符号.还可以应用图象法,即画出各
区间段内函数的图象,从而利用图象进行求解有关的问题,最后
也可以应用绝对值的几何意义进行求解有关的最值问题.
[解析] (Ⅰ)令y=|2x+1|-|x-4|,则
题源
ì 1 4 矩阵与变换 -x-5,x≤-
2 [真题14] (2020·江苏)在平面直角坐标系xOy 中,设椭
y= í 1
3x-3,- é ù
êê úú 对应的变换下得到曲线
0 1
x+5,x≥4
F,求F 的方程.
作出函数y=|2x+1|-|x-4|的图象,它与直线y=2的 [解析] 设P(x0,y0)是椭圆上任意一点,点P(x0,y0)在
·377·
矩阵A 对应的变换下变为点P'(x'0,y'0),则有 及点A 的坐标.
[解析] 依题意得
éx'0ù 2 0 x x' =2x ,
x'
ê ú éê úù êé 0úù, { 0 0 {x 00=ê ú= ê 即 所以 2 . y'0 0 1 ú ê ú 2 -3 -1 3y0 y'0=y0, 由y =y' M= êé úù,得|M|=1,故 M-1= éê úùê ú ê ú .0 0 1 -1 -1 2
又因为点P 在椭圆上,故4x2 20+y0=1,
从而由 é2 -3ê úù êé
xù 13ú éê úù 得
从而(x'0)2+(y' 20)=1.
=
ê1 -1ú êy ú ê 5 ú
所以,曲线F 的方程为x2+y2=1. éxù é-1 3ù é13ù é-1×13+3×5ù é 2êê ú
ù
2 -3 ú= ê
ê úú êê úú= êê úú= êê úú,
[真题15] (2021·福建)已知矩阵 M= êé ùê úú 所对
y -1 2 5 -1×13+2×5 -3
1 -1 x=2,
故 即
应的线性变换把点A(x,)变成点A'(13,5),试求 M 的逆矩阵 { , A(2,-3)为所求.y y=-3
(★代表高考出现的频次)
︵ ︵
题源1 几何证明选讲(★★★★★) 4.(2022·全国)如图,已知圆上的弧AC=BD,过C 点的圆
的切线与BA 的延长线交于E 点,证明:
1.(2021·广东)(几何证明选讲选做题)如图,点A,B,C 是 (1)∠ACE=∠BCD;
圆O 上 的 点,且 AB =4,∠ACB =45°,则 圆 O 的 面 积 等 (2)BC2=BE·CD.
于 .
2.(2020·广东)(几何证明选讲选做题)已知PA 是圆O 的
切线,切点为A,PA=2,AC 是圆O 的直径,PC 与圆O 交于点
B,PB=1,则圆O 的半径R= .
3.(2022·江苏)选修4 1:几何证明选讲
如图,AB 是圆O 的直径,D 为圆O 上一点,过D 作点圆O
的切线交AB 的延长线于点C.若DA=DC,求证:AB=2BC.
5.(2022·辽宁)如图,△ABC 的角平分线AD 的延长线交
它的外接圆于点E.
(Ⅰ)证明:△ABE∽△ADC;
( 1Ⅱ)若△ABC 的面积S= · ,求2AD AE ∠BAC
的大小.
A
B D C
E
·378·
17. (2021·福 建)已知直线l:3x+4 -12=0与圆C:
题源2 坐标系与参数方程 y
{x=-1+2cosθ,(θ为参数),试判断它们的公共点个数6.(2022· .湖 南)极 坐 标 方 程 ρ=cosθ 和 参 数 方 程 y=2+2sinθ
{x=-1-t,(t为参数)所表示的图形分别是 ( )y=2+3t
A.圆、直线 B.直线、圆
C.圆、圆 D.直线、直线
7.(2020· 福 建)若 直 线 3x +4y + m =0 与 圆
{x=1+cosθ (θ为参数)没有公共点,则实数m 的取值范围是y=-2+sinθ
. 18.(2019·宁海)☉O1 和☉O2 的极坐标方程分别为ρ=
8.(2020·广东)(坐标系与参数方程选做题)已知曲线C1, 4cosθ,ρ=-4sinθ.
( )把 和 的极坐标方程化为直角坐标方程;
C2 的极坐标方程分别为ρcosθ=3,=4cosθ( , π ), Ⅰ ☉O ☉Oρ ρ≥00≤θ< 1 22 (Ⅱ)求经过☉O1,☉O2 交点的直线的直角坐标方程.
则曲线C1 与C2 交点的极坐标为 .
π
9.(2021·上海)在极坐标系中,由三条直线θ=0,θ= ,3
ρcosθ+ρsinθ=1围成图形的面积是 .
10. (2021· 广 东)(坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题)若 直 线
{x=1-2t(t 为 参 数)与 直 线 4x+ky=1 垂 直,则 常 数 ky=2+3t
= .
11.(2021·安徽)以直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半 19.(2020·宁海)已知曲线C1:{x=cosθ,(θ 为参数),曲y=sinθ
轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线的极 ì 2
π x=1+2cosα x= t- 2,
坐标方程为θ= (ρ∈R),它与曲线 { (α 为参数) 24 y=2+2sinα 线C2:í (t为参数). 2
相交于两点A 和B,则|AB|= . y=2t
,
12.(2021·
x=1+t
天津)设直线l1 的参数方程为{ (t为 (Ⅰ)指出C1,C2 各是什么曲线,并说明C1 与C2 公共点的y=1+3t 个数;
参数),直 线l2 的 方 程 为 y=3x+4,则l1 与l2 间 的 距 离 (Ⅱ)若把C1,C2 上各点的纵坐标都压缩为原来的一半,分
为 . 别得到曲线C'1,C'2.写出C'1,C'2 的参数方程.C'1 与C'2 公共
13.(2022·广东)(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系 点的个数和C1 与C2 公共点的个数是否相同 说明你的理由.
(ρ,θ)(0≤θ<2π)中,曲线ρ=2sinθ与ρcosθ=-1的交点的极坐
标为 .
( · ) : :{x=3+4cosθ14. 2020 湖北 圆 C (θ为参数)的圆心y=-2+4sinθ
坐标为 ,和圆C 关于直线x-y=0对称的圆C'的普通
方程是 .
,
15.(2022·陕西) {x=cosα已知圆C 的参数方程为 (αy=1+sinα
为参数),以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线
l的极坐标方程为ρsin=1,则直线l与圆C 的交点的直角坐标 题源3 不等式选讲(★★★★★)
为 . 20.(2021·重庆)不等式|x+3|-|x-1|≤a2-3a 对任
16.(2022· 江 苏)在 极 坐 标 系 中,已 知 圆ρ=2cosθ 与 意实数x 恒成立,则实数a的取值范围为 ( )
3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切,求实数a的值. A.(-∞,-1]∪[4,+∞) B.(-∞,-2]∪[5,+∞)
C.[1,2] D.(-∞,1]∪[2,+∞)
21.(2020·上海)不等式|x-1|<1的解集是 .
22.(2019·浙江)不等式|2x-1|-x<1的解集是
.
23.(2021·广东)(
|x+1|
不等式选讲选做题)不等式
|x+2|≥1
的实数解为 .
24.(2022·陕西)(不等式选做题)不等式|x+3|-|x-2|
·379·
≥3的解集为 . 30.(2022·辽宁)已知a,b,c均为正数,证明:a2+b2+c2
25.(2020·山东)若不等式|3x-b|<4的解集中的整数有 + (1 1 1
2
+ + ) ≥63,并确定a,b,c为何值时,等号成立.且仅有1,2,3,则b的取值范围是 . a b c
26.(2019·广东)(不等式选讲选做题)设函数f(x)=|2x-1|
+x+3,则f(-2)= ;若f(x)≤5,则x 的取值范围是
.
27.(2019·安徽)解不等式(|3x-1|-1)(sinx-2)>0.
题源4 矩阵与变换(★★★★)
31.(2021·江苏)求矩阵A= êé
3 2ù
ê úú 的逆矩阵.
28.(2020·宁海)已知函数f(x)=|x-8|-|x-4|. 2 1
(Ⅰ)作出函数y=f(x)的图象;
32.(2022·江苏)在平面直角坐标第xOy 中,已知点A(0,
0), ( ,),
k 0
B -20 C(-2,1),设k 为非零实数,M= éê úùê ,N= 0 1 ú
(Ⅱ)解不等式|x-8|-|x-4|>2. é0 1ê ùê úú,点A、B、C 在矩阵MN 对应的变换下得到的点分别为 1 0
A1、B1、C1,△A1B1C1 的面积是△ABC 的 面 积 的2倍,求k
的值.
29.(2022· 江 苏)设 a,b 是 非 负 实 数,求 证:a3 +b3
≥ ab(a2+b2).
33.(2022·上海)在n行n列矩阵
é1 2 3 … n-2 n-1 nê ùú
ê2 3 4 … n-1 n 1 ú
ê3 4 5 … n 1 2 ú 中,记位于第i 行第j 列
ê ú
ê… … … … … …ê ú n 1 2 … n-3 n-2 n-1 ú
的数为aij(i,j=1,2,…,n).当n=9时,a11+a22+a33+…+
a99= .
·380·
2022-2023高考题源拓展测试
未来高考还会这样考
(测试时间:90分钟 总分:100分)
一、选择题(本题包括5小题,每小题4分,共20分。每小题只 距离是 .
有一个选项符合题意) 三、解答题(本题包括5小题,每小题11分,共55分)
( ) x=3t
2+2, 11.( 2)设点 P 在曲线 sinθ=2上,点 Q 在 曲 线 =
1. 2 参数方程{ (2 0≤t≤5)表示的曲线是 ρ ρy=t -1 -2cosθ上,求|PQ|的最小值.
( )
A.线段 B.双曲线的一支
C.圆弧 D.射线
2.( 2)已 知 动 圆 方 程 x2 +y2 -xsin2θ+2 2·
ì 4
ysin( πθ+ )=0(θ为参数),那么圆心的轨迹是 ( ) x=1+ t,4 12.( 2) 5求 直 线 í (t 为 参 数)被 曲 线ρ=
A.椭圆 B.椭圆的一部分 3 y=-1- t
C.抛物线 D.抛物线的一部分 5
( ) 9
π
3. 3 函数y=4x- ( 1x> ) 的最小值是 ( ) 2cos(θ+ ) 所截的弦长2-4x 2 4 .
A.8 B.6
C.9 D.4
4.( 3)不等式|x-1|+|x+2|≥5的解集为 ( )
A.(-∞,-2]∪[2,+∞) B.(-∞,-1]∪[2,+∞)
C.(-∞,-2]∪[3,+∞) D.(-∞,-3]∪[2,+∞) ( ) 1 113. 3 已知a、b、x、y 均为正实数,且a >
,
b x>y.
求
5.( 1)如图,AB 为☉O 的直径,C 为☉O 上一点,AD 和
x y
过C 点的切线互相垂直,垂足为D,∠DAB=80°,则∠ACO 等于 证:x+a> .y+b
( )
A.30° D
B.35° C
C.40° A O B
D.45° 14.( 1)如图,圆O 是△ABC 的外接圆,过点C 的切线交
二、填空题(本题包括5小题,每小题5分,共25分) AB 的延长线于点D,CD=2 7,AB=BC=3.求BD 以及AC
6.( 2)曲线ρ=4sinθ与ρ=2的交点坐标是 . 的长.
7.( 3)求 圆 心 在 (2,1),半 径 为 4 的 圆 在 直 线
{x=2+2t,上所截弦的长为 .y=1-t
8.( 1)如 图,四 边 形 ABCD 内 接 于☉O,BC 是 直 径,
MN 与☉O 相切,切点为A,∠MAB=35°,则∠D= .
15.( 1)如图,自圆 O 外一点P 引切线与圆切于点A,
M 为PA 的中点,过 M 引割线交圆于B、C 两点.
求证:∠MCP=∠MPB.
A M P
第8题 第9题 B
9.( 1)如图,已知PC、DA 为☉O 的切线,C、A 分别为切
CD 1 O
点,AB 为☉O 的直径,若DA=2, ,则DP=2 AB= .
10.( 2)在极坐标系中,点A ( π1,4 ) C到直线ρsinθ=-2的
·381· 1+2+…+113 1 =[(-i)· 1 3 ]66 4.证 明:(1)
︵ ︵
因 为
+ i÷ - + i÷ AC =BD
,所 以 ∠BCD
è2 2 è 2 2 =∠ABC.
66
=(-i)66· 1 3 又因 为 与 圆 相 切 于 点 ,故 ÷ =-1. EC C ∠ACE =
è-2+2i ∠ABC,所以∠ACE=∠BCD.
第十九章 选考内容 (2)因为∠ECB=∠CDB,∠EBC=∠BCD,
BC CD
所以
五年高考母题原型训练 △BDC~ △ECB,故BE =
,即 2
BC BC
1.8π 【解析】 方法一:由正弦定理,得2R= =BE·CD.
AB 4 5. 解:(Ⅰ)由已知条件,可得, ∠BAE=∠CAD.那么圆 的面积
sin∠ACB= =42 R=22 O S2 因为∠AEB 与∠ACB 是同弧上的圆周角,所以
2 ∠AEB=∠ACD.
=R2π=8π. 故△ABE∽△ADC.
方法二:连 接 AO 并 延 长 交 圆 于D,连 BD,则
( ) , AB ADⅡ 因为△ABE∽△ADC 所以 = ,即
△ABD 是直角边等于4的等腰直角三角形,斜边即 AE AC
为圆的直径,显然,2R=42 R=22,那么圆O 的 AB·AC=AD·AE.
面积S=R2π=8π. 1 1又S=2AB
·ACsin∠BAC,且S=2AD
·
2. 3 【解析】 因为PA 是圆O 的切线,切点 AE,故AB·ACsin∠BAC=AD·AE.
为A,AC 为直径,所以AC⊥PA.因为PC 为圆O 的 则sin∠BAC=1,又∠BAC 为三角形内角,所以
一条割线,所以有PA2=PB·PC,即22=1×PC,解 ∠BAC=90°.
得 PC=4.在 直 角 三 角 形 PAC 中,可 得 AC = 【点评】 三角形相似是平面几何中的基本问题,
PC2-PA2=23,所以圆O 的半径R= 3. 相似的条件成为解题切入点.
6.A 【解析】 由ρ=cosθ得ρ2=ρcosθ,
2 1
∴x2+y2=x,整理得 ( 1x- ) +y2= ,∴所2 4
表示的图形为圆.
x=-1-t, x+1=-t,
由 得
3.证明:
{ {
连结OD、BD. y=2+3t, y-2=3t,
因为AB 是圆O 的直径, 消t得3x+y+1=0,
所以∠ADB=90°, ∴所表示的图形为直线,故选A.
AB=2OB. 7.(-∞,0)∪(10,+∞) 【解析】 考查参数
方程与普通方程的互化、直线与圆的位置关系.方法
有二:一是联立方程组,利用判别式;二是直接利用圆
心到直线的距离与半径的大小关系.判断交点个数,
利用法二;涉及交点坐标,利用法一.圆方程为(x-
1)2+ (y+2)2 =1,圆 心 到 直 线 的 距 离 为 d=
|3-8+m| |m-5|, |m-5|= 由 题 意d>r=1,∴
因为DC 是圆O 的切线, 32+42 5 5
所以∠CDO=90°. >1,解得m<0或m>10.
又因为DA=DC,所以∠A=∠C,
8. ( ,π23 ) 【解析】 本 题 要 求 曲 线C1 与于是△ADB≌△CDO,从而AB=CO, 6
即2OB=OB+BC,得OB=BC. C2 交点的极坐标,实质就是求同时满足极坐标方程
故AB=2BC. cosθ=3
ρcosθ=3和ρ=4cosθ 的点(ρ,θ).由 {ρ ,消去ρ=4cosθ
·203·
cosθ得ρ2=12,而ρ≥0,所 以ρ=2 3,代 入ρ= (3,-2)关于直线x-y=0对 称 的 点 坐 标 为(-2,
3),3 π π ∴圆C 关于直线x-y=0对称的圆C'的方程为
4cosθ,得cosθ= ,因为0≤θ≤ ,所以 故两 22 2 θ=6. (x+2)+(y-3)2=16.
π 15.(-1,1),(1,1)( )
【解析】 圆C 的直角坐标
曲线交点的极坐标为 23,6 . 方程为x2+(y-1)2=1,
3- 3 直线l的直角坐标方程为y=1.
9. 【解析】 当4 θ=0
时,可得ρ1=1;当 x2+(y-1)2=1, x=-1, x=1,
或
π , 1 2
{ {
θ= = = = 3-1, y=1 y=1
{y=1.时 可得
3 ρ2 π π
cos +sin 3+1 ∴l与☉C 的交点的直角坐标为(-1,1),(1,1).3 3 16.解:将极坐标方程化为直角坐标方程,得圆的
1 π
则三条直线所围成的图形的面积为S= sin 方程为x2+y2=2x,即(x-1)2 2ρ1ρ2 +y =1,直线的方2 3
程为3x+4y+a=0.
3- 3
= . 由题设知,圆心(1,0)到直线的距离为1,即有4
|3×1+4×0+a|
x=1-2t 3 =1,解得a=-8或a=2.故a 的
10.-6 【解析】 将{ 化为y=- x 322 +42y=2+3t
值为-8或2.
7
+ ,
3
斜率
2 k1=-
当 时,直线 的
2. k≠0 4x+ky=1 17. 解:圆的方程可化为(x+1)
2+(y-2)2=4,
4 3 4 其圆心为C
(-1,2),半径为2.
斜率k2=- ,由 ( ) ( )k k1k2= -2 × -k =-1
得 由于圆心到直线l的距离
3 7 |3×(-1)+4×2-12| 7
k=-6;当k=0时,直线y=- x+ 与直线2 2 4x
d= = <2,故直线
32+42 5
l
=1不垂直.综上可知,k=-6. 与圆C 的公共点个数为2.
11. 14 【解析】 本题主要考查极坐标方程 18. 解:以极点为原点,极轴为x 轴正半轴,建立
与直角坐标方程的互化、参数方程与直角坐标方程的 平面直角坐标系,两坐标系中取相同的长度单位.
π (Ⅰ)x=ρcosθ,y=ρsinθ,由ρ=4cosθ 得ρ
2=
互化,是新增内容.直线的极坐标方程为θ= (4 ρ∈ 4ρcosθ,所以x2+y2=4x.
), {x=1+2cosα 即x
2+y2-4x=0为☉O1 的直角坐标方程.
R 则直角坐标方程是y=x.曲线 的直
y=2+2sinα 同理x2+y2+4x=0为☉O2 的直角坐标方程.
角方程是(x-1)2+(y-2)2=4.圆心(1,2)到直线y x2+y2( ) { -4x=0,Ⅱ 由 解得x2+y2|1-2| 2 1 +4y=0
=x 的距离是 = ,因此2 |AB|=2 4-2 2 {x1=0,{x2=2, 即☉O1,☉O2 交于点(0,0)和(2,;
= 14. y1=0 y2=-2.
-2),过交点的直线的直角坐标方程为y=-x.
3 10
12. 【解析】 本题考查消参方法及两 解:( )5 19. Ⅰ C1
是圆,C2 是直线.
C1 的普通方程为 2 2 ,圆心 (,),半平行线间距离公式. x +y =1 C1 00
径r=1.
13.( 2,3π 【解析】4 ) ∵ρ=2sinθ,∴x2+y2 C2 的普通方程为x-y+ 2=0.
=2y.∵ρcosθ=-1,∴x=-1,∴两曲线交点的直角 因为圆心C1 到直线x-y+ 2=0的距离为1,
( ,), ( ,3π) 所以 与 只有一个公共点坐标为 -11 ∴交点的极坐标为 2 4 . C2 C1 .(Ⅱ)压缩后的参数方程分别为
14.(3,-2) (x+2)2+(y-3)2=16 【解析】 x=cosθ,
由圆的 参 数 方 程 消 参 可 得 圆 的 普 通 方 程 为(x- C'2∶ 1 (θ为参数),
3)2+(y+2)2=16,其圆心的坐标为(3,-2),∵点 {y=2sinθ
·204·
ì 2 的解集中只含有1
,2,3三个整数解,
,
x=2t- 2 b-4
C'2∶ í (t为参数). ì 0< 3 <1 4,
2
y=4t
故 í
b+4
3< 3 <4 5化为普通方程为C' 2 21:x +4y =1,C'2:y=2x 26.6 [-1,1] 【解析】 由f(x)=|2x-1|
2 +x+3可得f(-2)=5-2+3=6.
+ ,联立消元得2x2+22x+1=0,其判别式2 Δ= 1若x≤ ,由f(x)≤5可得1-2x+x+3≤5,解之
(22)2
2
-4×2×1=0,所以压缩后的直线C'2 与椭
1 1
圆C'1 仍然只有一个公共点,和C1 与C2 公共点个 得-1≤x≤ ;若x> ,由f(x) 可得2 2 ≤5 2x-1+
数相同. 1
20.A 【解析】 本题主要考查将不等式恒成立 x+3≤5,解之得2;综上可得f(x)≤5时,x
问题转化为相关的最值问题的能力以及如何恰当利 的取值范围为[-1,1].
用绝对值不等式的性质求有关代数式的最值的处理 27. 解:因为对任意x∈R,sinx-2<0,所以原
能力.注意到|x+3|-|x-1|≤|(x+3)-(x-1)| 不等式等价于|3x-1|-1<0.即|3x-1|<1,-1<
=4,即|x+3|-|x-1|的最大值是4,因此依题意有
, , 2
a2-3a≥4,(a-4)(a+1)≥0,
故解为
a a , 3x-1<10<3x<2 0选A. 所以原不等式的解集为 2x|021.(0,
{ }
2) 【解析】 由|x-1|<1可得-1-1<1,即0(0,2). 28. 解:(Ⅰ)f(x)={-2x+12,422.{x|08.
|2x-1|<2.
3
23. (-∞,-2)∪(-2,- ) 【解析】 由2
|x+1| {|x+1|>|x+2|得|x+2| ≥ 1 |x+2|≠0
{(x+1)
2>(x+2)2 { 3x≤- 2,故 所 求 不 等 式 的x≠-2 x≠-2
解集为(-∞,-2)
3
∪(-2,- )2 .
24.{x|x≥1} 【解析】 当x≥2时,原不等式
化为x+3-(x-2)≥3.解得x≥2;
当-32,即f(x)>2,
≥3,解得1≤x<2; 由-2x+12=2得x=5.
当x≤-3时,原不等式化为-x-3-(2-x)≥ 由函 数 f(x)图 象 可 知,原 不 等 式 的 解 集
3,无解. 为(-∞,5).
综上,x 的取值范围为x≥1. 29.证明:由a,b是非负实数,作差得a3+b3-
25.(5,7) 【解析】 本题考查绝对值不等式的 ab(a2+b2)=a2 a(a- b)+b2 b(b- a)
解法,由题意知|3x-b|<4的解集为-4<3x-b< =(a- b)[(a)5-(b)5].
b-4 b+4
4 b-4<3x)5≥(b)5,得
·205·
(a- b)[(a)5-(b)5]≥0; é0 kù é0 kù é0ù é0 0 k -2êê úú .由 êê úú êê úú = ê
ùú, êé ùú éê ùú =
当aê0 ú ê1 0 ú ê 0 ú
(a- b)[(a)5-(b)5]
0
>0. éê ùú,é
0 k
ê ù
-2 k
ê ú ú
éê ù é ù
-2 ê 1 0 ú ê1 ú
ú = êê úú,可 知 A1 (0,0), -2
所以a3+b3≥ ab(a2+b2). B1(0,-2),C1(k,-2).
30.证明:证法一:因为a、b、c均为正数,由平均 计算得△ABC 的面积是1,△A1B1C1 的面积是
值不等式得a2
2
+b2+c2≥3(abc)3, ① |k|,则由题设知|k|=2×1=2.所以k 的值为-2
1 1 1
+ + ≥3(abc)-
1, 或2.3
a b c 33.45 【解析】 由矩阵的特征可得a11+a22+
所以 (1 1 1
2
+ + ) ≥9( 2abc)-3. ② …+a99=1+2+3+…+9=45.a b c 【失分警示】 对矩阵的特征把握不准,n=9时,
2
故a2+b2+c2+ (1 1 1 2+ + ) ≥3(abc)3 观察不到位.a b c
2012—2013高考题源拓展测试2
+9(abc)-3. 1.A 【解析】 消参后,得x-3y-5=0(-1≤
又3(abc)
2 2
3+9(abc)-3≥2 27=63, ③ y≤24),故选A.
所以原不等式成立. 2. D 【解 析】 圆 心 轨 迹 的 参 数 方 程 为
当且仅当a=b=c时,①式和②式等号成立.当 ì 1
2 2 x=2sin2θ
,
且仅当3(abc)3=9(abc)-3时,③式等号成立. {x=sinθcosθ,í 即 消 去
1 π y=-(sinθ+cosθ),
即当且仅当a=b=c=34时,原式等号成立. y=- 2sin(θ+4 )
证法二:因为a,b,c均为正数,由基本不等式得
2 1 1
a2+b2≥2ab,b2 c2 参数得
,故选
+ ≥2bc,c2+a2≥2ac,所以a2+ y =1+2x (-2≤x≤2 ) D.
b2+c2≥ab+bc+ac. ①
3.A 【
9 9
解析】 y=4x- =4x+ =
1 1 1 1 1 1 2-4x 4x-2
同理 2+ 2+ ,a b c2≥ab+bc+ac ② 9 14x-2+ , , ,
1 1 1 2( ) 4x-2
+2 ∵x>2 ∴4x-2>0 ∴y≥2
故a2+b2+c2+ a+b+c ≥ab+bc+ac 99+2=8,当且仅当4x-2= 时,“ ”成立,故
1 1 1 4x-2
=
+3ab+3bc+3ac≥63. ③ 选A.
所以原不等式成立, 4.D 【解析】 由|x-1|+|x+2|≥|(x-1)
当且仅当a=b=c时,①式和②式等号成立,当 -(x+2)|=3得在数轴上两个界点x=-3和x=
且仅当a=b=c,(ab)2=(bc)2=(ac)2=3时,③式 2,故x≤-3或x≥2,故选D.
等号成立. 5.C 【解析】 ∵CD 是☉O 的切线,∴OC⊥
1
即当且仅当a=b=c=3 时,原式等号成立. CD.又 ∵AD ⊥CD,∴OC∥AD,由 此 得 ∠ACO4
x =∠CAD.
31. 解:设 矩 阵 A 的 逆 矩 阵 为 êé
yù
ê úú,则 z w ∵OC =OA, ∴ ∠CAO = ∠ACO,∴ ∠CAD
é3 2ù éx yù é1 0ù, é3x+2z 3 +2w
=∠CAO.
êê úú êê úú = ê
y ù
ê
úú 即 ê ê
ú
ú
=
故AC 平 分∠DAB, ,2 1 z w 0 1 2x+z 2y+w ∴∠CAO=40°
又∠ACO
,
é1 0ù, {3x+2z=1,{3y+2w=0,
=∠CAO ∴∠ACO=40°.
êê úú 故 解得, , x=-1
,z=
0 1 2x+z=0 2y+w=1 6. (2,π ) 和 ( ,52 π) 【解析】 由已知6 6 4sinθ=2,
-1 2
2,y=2,w=-3,从而A的逆矩阵为A-1=
éê ù
ê
úú . 1, π 52 -3 sinθ=2 ∴θ=
或
6 θ= 6π
,故 交 点 坐 标 分 别 为
: ék 0ù é0 132. 解 由 题 设 得 MN = ê ù π 5ê ú ê ú 0 1 ú ê1 0 ú
= (2, ) 和6 (2,6π) .
·206·
{x=2+2t, 3x+4y+1=0,x
2
【 】 +y
2-x+y=0,圆 心
7.8 解析 由 消去参数t得.
y=1-t, (1, 1 ), 2, 1C - 半径为 圆心到直线的距离d= ,8.125° 2 2 2 10
2 1 1 7弦长=2 r -d2=2 2-100=5.
13.证明:证法一:(作差比较法)
x y
∵x+a-y+b
bx-ay , 1 1=( 又x+a)(+b) a>
且a、b∈R ,
y b +
9.43 【解析】 由CD=DA=2,∴DP=4. ∴b>a>0,又x>y>0,∴bx>ay
在Rt△ADP 中,AP= 42-22=23. bx-ay∴( )( )>0,
x y
即
由切割线定 理:PC2=PA·PB,∴62=2 3(2 x+a y+b x+a
> +b.y
证法二:(分析法)
3+AB),∴AB=43.
、、、 , x y2 ∵xy ab∈R+ ∴要证x+a>
,只需证
10.2+ 【解析】 点 A 化 为 直 角 坐 标 为 y+b2 明x(y+b)>y(x+a),即证xb>ya.

2,2 ÷,直 线 为 y= -2,点 A 到 直 线 的 距 离 1 1
è2 2 而由 > ,a b>0 ∴b>a>0.
又x>y>0,知xb
2 >ya,显然成立.故原不等式成立.为2+2. 14. 解:由 切 割 线 定 理 得:DB·DA=DC2,
11.解:以极点为原点,极轴所在直线为x 轴建 DB(DB+BA)=DC2,DB2+3DB-28=0,DB=4.
立直角坐标系. BC
∵∠A=∠BCD,∴△DBC∽△DCA,∴ =
将ρsinθ=22化为直角坐标方程,得直线方程y CA
=2. DB, BC
·DC 37
得AC= = .
将ρ=-2cosθ化为直角坐标方程,得圆方程(x DC DB 2
+1)2+y2=1. 15. 证明:∵PA 与圆相切于点A,∴MA
2=MB·MC.
所以圆心(-1,0)到直线距离为2,|PQ|的最小 ∵M 为PA 中点,∴PM=MA.
值为2-1=1. PM MB∵PM2=MB·MC,∴
4 MC
=PM.
ì
x=1+5t
, ∵∠BMP=∠PMC,∴△BMP∽△PMC,
12. 解:将方程 í
3 ∴∠MCP=∠MPB.
y=-1-5t
,
ρ= 2cos( πθ+ ) 分别化为普通方程为:4
·207·

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