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14. 解:(1)ξ的分布列为 P(
16
X=3)=1-P(X=1)-P(X=2)=25.
故取球次数X 的分布列为
ξ 0 1
X 1 2 3
P 0.4 0.6
1 4 16
由期望的定义可得Eξ=0×0.4+1×0.6=0.6.
P 5 25 25
由方差的定义可得 1 4 16 61
( )2 ( )2 EX=5×1+25×2+14×3=25.Dξ= 0-0.6 ×0.4+ 1-0.6 ×0.6
=0.36×0.4+0.16×0.6=0.144+0.096=0.24. 17. 解:(1)三人恰好买到同一只股票的概率P1
(2)由二项分布的期望公式得:Eη=np=5×0.6 1 1 1 1=10×10× × = .=3. 10 10 100
由二项分布的方差公式得 (2)解法1:三人中恰好有两人买到同一只股票
Dη=npq=5×0.6×0.4=1.2. 1 9 27的概率P 22=10×C3×( )2
:() , 10
×10=100.
15. 解 1 设5发子弹命中ξ发 则5发全部命 由(1)知,三人恰好买到同一只股票的概率P1=
中的概率是P(ξ=5)=C5
1
5×0.55=32. 1 ,所以三人中至少有两人买到同一只股票的概率
() 1002 ∵5发子弹命中ξ发的概率是Pξ=Cξ5×0.5ξ
5- 5, 27 1 7×0.5 ξ=Cξ5×0.5 P=P1+P2=100+100=25.
∴ξ的分布列为: 3
解法2:
A
P =1- 10
7
2 1 1 1 = .
ξ 0 1 2 3 4 5 C10×C10×C10 25
()每股当天获利钱数 的分布列为:
P 1 5 10 10 5 1
3 ξ
32 32 32 32 32 32 ξ 2 0 -1
∴P(ξ≤3)=P(ξ=0)+P(ξ=1)+P(ξ=2)+ P 0.5 0.2 0.3
( 26Pξ=3)= ,∴设游客在一次游戏中获得奖金32 η 所以,1000股在当天交易中获利钱数的数学期
元,则η的分布列为:
望为
1000Eξ=1000×[2×0.5+0×0.2+(-1)×0.3]
η -2 0 40 =700.
P 26 5 132 32 32 第十六章 常用逻辑用语
∴该游客在一次游戏中获得奖金的期望为 §16.1 逻辑联结词与四种命题
Eη=(-2)
26 5 1
× +0× +40× =-0.375, 五年高考母题原型训练32 32 32
1.D 【解析】 当同一平面内两直线平行时,结
∴该游戏规则对该游客不利.
论 错误;当三直线两两垂直时,结论 错误
16.解:(1)恰好摸到两个“ ”
① ③ .
心 字球的取法共有4
2.C 【解析】 将几何符号语言转换为文字语
种情形;开心心,心开心,心心开,心心乐.
言如下:
“ ” 5 3则恰好摸到2个 心 字球的概率是P=10×10 ①如果两条平行线中一条垂直于一个平面,则另
3 3 3 2 153 一条也必垂直于该平面,该命题正确;
×10×3+10×10×10=1000. ②分别在两个平行平面内的两条直线互相平行,
1 该命题不正确(还可异面);
( C 12)X=1,2,3,则P(X=1)= 21 = ,P(X=C10 5 ③两条平行线中一条平行于一个平面,则另一条
C1 C18 2 4 也必平行 于 该 平 面,该 命 题 不 正 确(还 可 在 该 平 面2)=
C1
·
C1
= ,
10 10 25 内);
·190·
④如果两条平行线中一条垂直于两平行平面中 【失分警示】 命题的否定形式概念不清.
的一个,则另一条直线必垂直于另一个平面,该命题
正确,综上可得正确的命题为①④,故应选C. 2012—2013高考题源拓展测试
【点评】 本题考查了几何语言转换求解开放题 1.D 2.B 3.D 4.A 5.D 6.C 7.C
的处理策略,对于空间想象及空间几何位置关系的推
8.C 9. 方程x2
1
+x+1=0没有实根 真 10.
理与论证,文字语言的转换可以降低该问题的符号理 2
解难度,增强空间想象思维处理几何论证问题. 23.C 【解析】 将符号语言的命题转化为文字 3
语言进行判断: 13. 解:p 为真,q 也为真,故“p 或q”、“p 且q”
,“ ”
如果两个平面互相垂直,那么其中一个平面内的 都是真命题 非p 为假.
一条直线垂直于另一个平面,该命题不正确,即 A不 【点评】 |x|正确; 讨论.
如果一个平面同时与另两个平面相交,且交线平 14.x≤-1或x≥4
行,则两个平面也平行,该命题不正确,即B不正确; 15. 解:若p 真,则0垂直于同一平面的两个平面互相垂直,该命题不 ; , {a>0, 1a≤0 若q真 则 得a> ;若 假,Δ=1-4a2 q正确,即D不正确; <0, 2
如果一条直线与一个平面垂直,而与另一个平面 1则a≤2.
平行,则 这 两 个 平 面 互 相 垂 直,该 命 题 正 确,故 应
又p 和q有且仅有一个正确,当p 真q假时,选C. 0<
4.C 【解析】 ①两函数定义域不同,所以不是 1a≤ ;2
同一函数.
当p 假q真时,a≥1.
②由已知,可得f(x)与g(x)互为反函数.
1 综上,得a∈ ,
1
0 ∪[1,+∞).
由y=f(2x),反 解 得2x=g(y),即x= g ( 2 ]2
16. 解:(1)命题p 的否命题:“若ac<0,则二次
() 、 ( ) 1y 互换xy 得y=f2x 的反函数为y= () 22g x . 方程ax +bx+c=0有实根.”
∴②正确.又③正确.故选C. (2)命题p 的否命题是真命题.证明如下:∵ac<
【失分警示】 反函数的性质不清. 0,∴-ac>0 Δ=b
2-4ac>0 二次方程ax2+bx
5.D 【解析】 本题考查全称命题及特称命题 +c=0有实根.
的概念. ∴该命题是真命题.
6.B 【解析】 写一个命题的逆否命题可分为 17. 解:从“三个方程中至少有一个方程有实根”
两步完成,即先写其逆命题,再写逆命题的否命题,也 的否定“三个方程都无实根”考虑.若三个方程都无实
可以倒过来,关键要注意写一个命题的否命题时, a
2
既 -16<0
, 2要否定条件 又要否定结论、原命题的逆命题是“若 根,则{(a-1)-64<0 -2loga2<0,则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定 4a -4(3a+10)<0
义域内是减函数”.再对其条件和结论分别否定,即得 ∴三个方程中至少有一个方程有实根时,a 的取
所求的逆否命题,故答案为B. 值范围是a≤-2或a≥4.
【易错警示】 本题在写逆命题的否命题时,容易 §16.2 全称量词与存在量词
与命题的否定混淆,只否定了结论而没有否定条件, 五年高考母题原型训练
从而错选答案A. 1.B
7. 存在x∈R,使得|x-2|+|x-4|≤3 2.D 【解析】 本题为向量共线概念的考查,
【解析】 对于“全称命题”与“存在命题”的否定 A:a,b共线 除 了 方 向 相 同,还 有 方 向 相 反,所 以 A
形式注意量词的变化. 错;a,b均不为零向量,但方向相同或者相反时也共
·191·
线,故B错;当a 为零向量,b 不为零向量,找不到实 2,AO=1,所以OP=1,在Rt△PBO 中,tan∠PBO
数λ,使得b=λa,故C错. PO 1 2 2
平时要加强课本概念的理解,本题属于中等题. = ,BO= =2 ∠PBO=arctan .2 2
3.C 【解析】 本题主要考查函数的奇偶性、单
2
调性以及全 称 命 题、特 称 命 题 等 知 识.因 为 当a=0 所以异面直线PB 与CD 所成的角是arctan2.
时,f(x)=x2 是偶函数.所以选C. (3)假设存在点 Q,使得它到平面 PCD 的距离
4.D 【解析】 本题考查指数函数和对数函数
3
的单调性和图象.由指数函数和对数函数的图象和单 为2.
调性易判断选择D.
, 1 , ()
【 】 : 1
设QD=x 则S△DQC= x 由 2 得CD=OB
5.C 解析 必要性 由ax 2 20=b 代入2ax
= 2,在 Rt△POC 中,PC= OC2+OP2 = 2,所
1 2 1 b2-bx≥ ax0-bx0 整理得 ax22 2 -bx+ ≥0
,
2a Δ= 3 3以PC=CD=DP,S△PCD = ·(2)2= ,由
2
2 1 ·b , 1
4 2
b -42a 2a=0
则知对 x∈R均有2ax
2+bx 1 1 1 3 3
VP-DQC=VQ-PCD,得 × ,解
1 3 2
x×1=3×2×2
≥ ax22 0-bx0
,
3 , , AQ得x= 所以存在点 满足题意 此 时
1 1 2
<2 Q QD
充分性:若 x∈R, 22ax0-bx-2ax
2
0+bx0≥ 1
= .
1 3
0,则Δ=b2-4×2×a( 1- 2 ,2ax0+bx0 )≤0 2012—2013高考题源拓展测试
即b2+a2x2-2abx ≤0,即(b-ax )20 0 0 ≤0. 1.C 2.C 3.A 4.D 5.B 6.C 7.B
∴b=ax0,∴x0 为ax=b 的根,也可直接排除, 8.B 9.B
故选C. 10. x∈R,x2+1≥0 【解析】 “ 的否定为
【失分警示】 充要条件论证过程或排除法用的 ”,“<”的否定为“≥”.
不准.
11. x∈R+,
1
x≤ 假 【解析】 x>1时,
6. 解:(1)在△PAD 中,PA=PD,O 为AD 中 x
点,所以PO⊥AD. 1x≤ 假.
又侧面PAD⊥底面 ABCD,平面 PAD∩平面 x
ABCD=AD,PO 平 面 PAD,所 以 PO ⊥ 平 12.(-∞,-4]∪ [-2,12 ] 【解析】 命 题
面ABCD.
(2)
1 1
连结BO,在直角梯形 ABCD 中,BC∥AD, p:a≤ x2-lnx 在[1,2]上恒成立,令f(x)2 =
2
2x
AD=2AB=2BC,有OD∥BC 且OD=BC,所以四 1 (x-1)(x+1)
边形OBCD 是平行四边形,所以OB∥DC. -lnx,f'(x)=x- ,当x = x 1时,f'(x)>0,∴f(x)min=f()
1, 11 =2 ∴a≤2.
命题q:Δ=4a2-4(-8-6a)≥0,∴a≥-2或
a≤-4.
1
由( : ( , ]1)知,PO⊥OB,∠PBO 为锐角, 综上 a 的取值范围为 -∞ -4 ∪ [-2,2 ] .
所以∠PBO 是异面直线PB 与CD 所成的角.因 13.(1) x∈R,x2≥0;
为AD=2AB=2BC=2,在 Rt△AOB 中,AB=1, (2) (x,y),x∈R,y∈R,2x+3y+3<0;
AO=1,所以OB= 2,在 Rt△POA 中,因为 AP= (3) a、b、c为直角三角形的三条边,且c 为斜
边,a2+b2=c2.
·192·
14. 解:sinx+cosx= 2sin( πx+ )∈[- 2, π=2kπ+ 是tanx=1的充分不必要条件4 4 .
2],所以,如果对任意的x∈R,r(x)为假命题,即对 9.A 【解析】 由命题p 可得-4任意的x∈R,不等式sinx+cosx>m 恒不成立,所 1 13 或x< ,∵-4以m≥ 2.又对任意的x∈R,s(x)为真命题,即对任 2 3
意的x∈R,不等式x2+mx+1>0,所以Δ=m2-4 1 1<-3或3 或x< ,∴p 是q 的充2 3
<0,即-2分而不必要条件,故应选A.
命题且s(x)为真命题,应有 2≤m<2.
10.D 【解析】 如果一个平面内有两条相交直
§16.3 充分条件和必要条件
线均与另一个平面平行,则两个平面平行,根据选项
五年高考母题原型训练
可得,当两条异面直线分别与另一个平面平行时,该
1.B 【解析】 若x=y,则|x|=|y|,反之不
两条异面直线所在的平面相互平行,故应选
, “ D.成立 即得 |x|=|y|”是“x=y”的必要不充分条件.
11.A 【解析】 本题主要考查充分条件、必要
故应选B.
【 】 条件
、不等式的基本性质和有关函数的性质.根据不
2.C 解析 本题主要考查充分条件和必要
等式的相加性可由“
a>0 a+b>0 a>b
且c>d”推出“a+c>b+
条件知识.因为{ { ,所以选C. d”,反之不真b>0 ab>0 .
—
3.C 【解析】 考查充分、必要条件;直线x+y 2012 2013
高考题源拓展测试
=0与x-ay=0互相垂直 a=1. 1.A 2.A 3.B 4.A 5.A 6.A 7.A
4.A 【解析】 本题考查了充要条件的问题.若 8.B 9.B 10.A 11.B 12.A
1 1 1 13. 解:(1)充分性:若ac<0,则Δ=b
2-4ac>0.
sinα= ,则2 cos2α=1-2sin
2α= .若2 cos2α=
,
2 方程ax2+bx+c=0有两个相异的实根,设为
则1-2sin2
1, 1α= sinα=± . 、 , c2 2 x1 x2.∵ac<0 ∴x1x2= 即a <0. x1
,x2 的符号相
5.A 反,方程有一个正根和一个负根.
6.B 【解析】 ∵an+1>|an|,∴an>0, (2)必要性:若方程ax2+bx+c=0有一个正根
∴an+1>|an| an+1>an {an}单调递增.
和一个负根,设为
{ } ; x1
,x2,且x1>0,x2<0,则x1x2
∴an+1>|an|是 an 为递增数列的充分条件
n c
当{a }为递增数列时,如a =- (1 ) . =a <0.∵ac<0,由(1)、(2)知ac<0是方程ax2+n n 2
1 1 bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件.
则a1=- ,2 a2=-
,
4 a2>|a1|
不成立, 14. 解法一:由|x-4|≤6可知,-2≤x≤10.
∴an+1>|an|不是{an}为递增数列的必要条件. ∴非p:x<-2或x>10.
故选B. 设集合A={x|x<-2或x>10}.
7.A 【解析】 本题考查简单不等式的解法、集 由x2-2x+1-m2>0(m>0)可求得x>1+m
合包含原理.先对集合A 求解,A={x|0判断A 真包含于B,由包含原理得A 是B 的充分不 设集合B={x|x>1+m 或x<1-m}.
必要条件. ∵非 p 是q 的 必 要 不 充 分 条 件,∴B A
π
8.A 【解析】 当x=2kπ+ 时,tanx=1,∴ {m>0
,
4
1-m≤-2 m≥9,
充分性成立.
1+m≥10.
又当tanx=1时,
π π
x=kπ+ , 不4 x∴=2kπ+4 解法二:∵非p 是q 的必要不充分条件,∴非q
π 是p 的 必 要 不 充 分 条 件,由 解 法 一 可 知 p:P=
成立,即x=2kπ+ 是tanx=1的不必要条件,4 ∴x {x|-2≤x≤10},非q:Q={x|1-m≤x≤1+m}.
·193·
{m>0
,
∴P Q 1-m≤-2 m≥9,
第十七章 推理与证明
1+m≥10. §17.1 合情推理与演绎推理
15. 解:a1=S1=p+q. 五年高考母题原型训练
当n≥2时,an=Sn-S n-1 3 3 3 3n-1=p (p-1). 1.1+2+3+4+53+63=212
a n
∵ ≠0, n+1
p (p-1) 1 2 1
p p≠1,∴ = =p. 2. (2 n +n
) 12 (2 n
3-3n2+2n)
a pn-1n (p-1)
a a 【解析】 凸多面体是n 棱锥,则下底面为凸n 边
若{a }为 等 比 数 列,则 2 = n+1n a =p
,∴
1 an 形的n 棱锥,其共有n+1个顶点,共可确定C2n+1=
p(p-1) (n+1)n 1
=p. = (n
2+n)条直线
p+q 2 2
.
∵p≠0,∴p-1=p+q,∴q=-1,这是{a }为 当n=4时,四棱锥中与每一条侧棱异面的底面n
等比数列的必要条件. 的边有6-3=3条,则四棱锥中有4×3=12对异面
下面证明q=-1是{a }为 等 比 数 列 的 充 分 直线,即f(4)=12.n
条件. 凸n 棱锥中与每一条侧棱异面的底面的直线共
( )
当q=-1时,Sn=pn-1(p≠0,p≠1),a =S nn-11 1 有 C2n - (n - 1)= - (n - 1)2 =
=p-1. (n-2)(n-1) (n-2)(n-1)
当n≥2时,a =S -S =pn-pn-1=pn-1 ,则n 棱 锥 中 共 有n n n-1 2 n× 2
(p-1),
a
∴a nn=pn-1(p-1)(p≠0,p≠1), = 1(3 2 ) , () 1a =2 n -3n +2n
对异面直线 即fn = (2 n
3-
n-1
pn-1(p-1) 2
n-2( )=p(p 为常数),∴ =-1时,数列{a }
3n +2n).
p p-1 q n 0 当n为偶数时
为等比数列. 3. {1 1- 当n为奇数时
即数列{an}是等比数列的充要条件为q=-1. 2n 3n
16. 解:充 分 性 即 证:xy≥0 |x+y|= k 【 】 1 24. 0 解析 由 = ,
1 3 1
= , =
|x|+|y|,必要性即证:|x+y|=|x|+|y| xy 12 6 12 4 12 3
≥0. 4,5,1 6 k可猜想得
1212 2=12 ak-1=
(
12k≥2
),而由第2
①充分性
与第3道等式中无第四项可得ak-2=0.
若xy=0,则有x=0或y=0,或x=0且y=0.
5.1∶8 【解析】 本题考查了推理与证明中合
此时显然|x+y|=|x|+|y|.
情推理之中类比推理的应用,由于相似的几何图形中
若xy>0,则x,y 同号.
面积比是边长的平方比,类比相似的几何体的体积比
当x>0且y>0时,|x+y|=x+y=|x|+|
是棱长的立方比,即若两个正四面体的棱长的比为
y|; 1∶2,则它们的体积比为1∶8.
当x<0且y<0时,|x+y|=-x-y=(-x) 6. 答案不唯一,如“图形的全等”、“图形的相
+(-y)=|x|+|y|. 似”、“非零向量的共线”、“命题的充要条件”等等
综上所述,xy≥0 |x+y|=|x|+|y|. 【解析】 利用命题的等价性或充要条件,找出一
②必要性 个具有自反性、对称性、传递性的命题即可,如“图形
∵|x+y|=|x|+|y|,且x、y∈R, 的全等”、“图形的相似”、“非零向量的共线”、“命题的
∴(x+y)2=(|x|+|y|)2,即x2+2xy+y2= 充要条件”等等.
x2+2|x||y|+y2 xy=|x||y| xy≥0. 7.CD DE 【解析】 ∵OD 的长度为a、b 的
因此|x+y|=|x|+|y| xy≥0. a+b
算术 平 均 数,
故x ≥0 |x+ |=|x|+||. ∴OD =
又
2 . ∵AB
为 直 径,∴
y y y
·194·第十六章 常用逻辑用语
§16.1 逻辑联结词与四种命题
考纲·题型解读
1.理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.
2.理解四种命题及其相互关系.
3.逻辑是研究思维形式及其规律的一门基础学科,基本的逻辑知识是认识问题、研究问题不可缺少的工具,以考查四种命
题、逻辑联结词等知识点为主,在难度上以容易题为主,今后高考命题上仍以基本概念为考查对象,并且以本节知识为工具考查
函数、方程、三角、立体几何、解析几何中的知识点,题型主要是选择题和填空题.
题源1 逻辑联结词 (3)p 或q形式复合:
命题真值表
解题模型 p q p 或q
1.命题:可以判断真假的语句叫做命题. 真 真 真
2.逻辑联结词:“或”、“且”、“非”这 些 词 叫 做 逻 辑 联 真 假 真
结词. 假 真 真
或:两个简单命题至少一个成立. 假 假 假
且:两个简单命题都成立.
非:对一个命题的否定. [真题1] (2022·全国)已知命题
x -x
3.简单命题与复合命题:不含逻辑联结词的命题叫做 p1:函数y=2 -2 在R为增函数,
; x -x简单命题 由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫做复合 p2:函数y=2 +2 在R为减函数,
命题. 则在命题q1∶p1∨p2,q2∶p1∧p2,,q3∶( p1)∨p2 和
4.表达形式 q4∶p1∧( p2)中,真命题是 ( )
用小写的拉丁字母p、q、r、s…来表示简单命题. A.q1,q3 B.q2,q3
复合命题有三类: C.q1,q4 D.q2,q4
(1)p 或q;(2)p 且q;(3)非p. [解析] ∵y=2x 在 R上是增函数,y=2-x 在 R上是减函
5.真值表:表示命题真假的表叫真值表. 数,∴y=2x-2-x 在 R上是增函数,所以p1:函数y=2x-2-x
(1)非p 形式复合: 在 R上为增函数为真命题.p2:函数y=2x+2-x 在 R上为减函
命题真值表 数为假真命,故q1∶p1∨p2 为真命题,q2∶p1∧p2 是假命题,
p 非p q3∶( p1)∨p2 为假命题,q4∶p1∧( p2)是真命题.故真命
真 假 题是q1、q4,故选C.
假 真 [真题2] (2021·江苏)设α和β为不重合的两个平面,给
() 出下列命题: 2p 且q形式复合:
(1)若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线,则命题真值表
α平行于β;
p q p 且q (2)若α 外一条直线l 与α 内的一条直线平行,则l 和α
真 真 真 平行;
()
真 假 假 3 设α和β相交于直线l,若α内有一条直线垂直于l,则α
和β垂直;
假 真 假 (4)直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线
假 假 假 垂直.
上面命题中,真命题的序号是 .(写出所有真命题
的序号)
·342·
[解析] 本题考查了平面与平面、直线与平面的平行与垂
直的理论推导,是高考中常见的开放题型之一.若α 内的两条相 逆否命题:若 q则 p( q p).
交直线分别平行于β内的两条直线,则α 平行于β,这是两个平 2.四种命题的关系
面平行的判定定理,即(1)正确;若α外一条直线l与α内的一条
直线平行,则l和α 平行,这是直线与平面平行的判定定理,即
(2)正确;设α和β相交于直线l,α 内有一条直线垂直于l,但该
直线不一定能够垂直β 内两条直线,即直线l不一定垂直于平
面β,平面α和β不一定垂直,即(3)不正确;直线l与α垂直的充
分必要条件是l与α内的两条相交直线垂直,即(4)不正确,综上
可得真命题的序号为(1)(2).
[真题3] (2019·山东)下列四个命题中,真命题的序号有 3.一个命题的真假与其他三个命题真假有如下四种
(写出所有真命题的序号). 关系:
①将函数y=|x+1|的图象按向量v=(-1,0)平移,得到 (1)原命题为真,它的逆命题不一定为真.
的图象对应的函数表达式为y=|x|; (2)原命题为真,它的否命题不一定为真.
1 (3)原命题为真,它的逆否命题一定为真.
②圆x2+y2+4x+2y+1=0与直线y=2x
相交,所得 (4)逆命题为真,否命题一定为真.
弦长为2; 4.命题的否定
( ) 1, ( ) 1, · ; 对“非”的理解.“非”是否定的意思 “ 是非整数”是③若sinα+β =2 sinα-β =
则 .0.5
3 tanα cotβ=5 对命题“0.5是整数”进行否定而得出的新命题.一般地,写
④如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1,P 为底面ABCD 一个命题的否定,往往需要对正面叙述的词语进行否定.
内一动点,P 到平面AA1D1D 的距离与到直线CC1 的距离相 应注意:如“x=1或x=2”的否定是“x≠1且x≠2”,
等,则P 点的轨迹是抛物线的一部分. 而不是“x≠1或x≠2”等.
[真题4] (2022· 天 津)命 题“若 f(x)是 奇 函 数,则
f(-x)是奇函数”的否命题是 ( )
A.若f(x)是偶函数,则f(-x)是偶函数
B.若f(x)不是奇函数,则f(-x)不是奇函数
C.若f(-x)是奇函数,则f(x)是奇函数
[ ] D.若
(-x)不是奇函数,则 (x)不是奇函数
解析 ①函数 =|x+1|按向量v=(-1,0)平移后所得 f fy [ ] , “
图象对应的函数为y=|( )
解析 原命题的否命题是既否定题设又否定结论 故 若
x+1 +1|=|x+2|故①错.
f(x)是奇函数,则f(-x)是奇函数”的否命题是B选项.
②∵圆心(
1 1
-2,-1)在直线y= x 上∴直线2 y=2x
被 [真题5] (2005·江苏)命题“若a>b,则2a>2b-1”的否
圆截得的弦长为2r=4,故②错. 命题为 .
[解析] 否命题为a≤b,则2a≤2b1 -1.注意否命题对条件
③由sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ= ,2 和结论都要否定.
1 [真题6] (2020·山东)命题“( ) , 对任意x∈R
,x3-x2+1≤
sinα-β =sinαcosβ-cosαsinβ=3 0”的否定是 ( )
5
解得sinαcosβ= ,
1 3 2
12cosαsinβ=
,
12 ∴tanαcotβ=5
即③对. A.不存在x∈R,x -x +1≤0
B.存在x∈R,x3-x2+1≤0
④根据正方体的性质,P 到平面AA1D1D 的距 离 与 直 线 C.存在x∈R,x3-x2+1>0
CC1 的距离相等 平面ABCD 上P 到直线AD 的距离与到点C D.对任意的x∈R,x3-x2+1>0
的距离相等. [解析] 本题考查命题的否定,对全称性命题的否定要注
由抛物线的定义可知:点P 的轨迹是以点C 为焦点以直线AD
意命题的量词之间的转换.选C.
为准线的抛物线在平面ABCD 内的部分,故④正确.应填③④.
题源2 四种命题
解题模型
1.一般地,用p 和q 分别表示原命题的条件和结论,
用 p 和 q分别表示p 和q 的否定,于是四种命题的形
式就是原命题:若p 则q(p q);逆 命 题:若q 则p(q
p);
否命题:若 p 则 q( p q);
·343·
(★代表高考出现的频次)
1 1-cosx x
题源1 逻辑联结词(★★★★) ①函数y= 与2ln1+cosx y=lntan 是同一函数;2
1.(2021·广东)给定下列四个命题: ②若函数y=f(x)与y=g(x)的图象关于直线y=x 对
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这 1称,则函数y=f(2x)与y= g(x)的图象也关于直线y=x
两个平面相互平行; 2
②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相 对称
;
互垂直; ③若奇函数f(x)对定域内任意x 都有f(x)=f(2-x),
③垂直于同一直线的两条直线相互平行; 则f(x)为周期函数.
④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直 其中真命题是
( )
的直线与另一个平面也不垂直. A. ①② B. ①③
其中,为真命题的是 ( ) C. ②③ D. ②
A.①和② B.②和③ 5.
(2021·天津)命题“存在x x00∈R,2 ≤0”的否定是
C.③和④ D.②和④ ( )
x0
2.(2019·江苏)已知两条直线 m,n,两个平面α,β.给出下 A.
不存在x0∈R,2 >0
x0
面四个命题: B.存在x0∈R,2 ≥0
x
①m∥n,m⊥a n⊥a;②α∥β,m α,n
对任意的 ,
β m∥n; C. x0∈R2 ≤0
x
③m∥n,m∥α n∥α;④α∥β,m∥n,m⊥α n⊥β. D.对任意的x0∈R
,2 >0
其中正确命题的序号是 ( ) 6.(2020·广东)命题“若函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在
A.①③ B.②④ 其定义域内是减函数,则loga2<0”的逆否命题是 ( )
C.①④ D.②③ A.若loga2<0,则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义
3.(2019·辽宁)若m、n是两条不同的直线,α、β、γ 是三个 域内不是减函数
不同的平面,则下列命题中的真命题是 ( ) B.若loga2≥0,则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义
A.若m β,α⊥β,则m⊥α 域内不是减函数
B.若α∩γ=m,β∩γ=n,m∥n,则α∥β C.若loga2<0
,则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义
C.若m⊥β,m∥α,则α⊥β 域内是减函数
D.若a⊥γ,α⊥β,则β⊥γ D.若loga2≥0
,则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义
域内是减函数
题源2 四种命题(★★★) 7.(2022·安徽)命题“对任何x∈R,|x-2|+|x-4|>3”
4.(2022·江西)给出下列三个命题: 的否定是 .
2022-2023高考题源拓展测试
未来高考还会这样考
(测试时间:90分钟 总分:100分)
一、选择题(本题包括8小题,每小题2.5分,共20分。每小题 是(-∞,-1]∪[3,+∞),则 ( )
只有一个选项符合题意) A.“p 或q”为假 B.“p 且q”为真
1.( 2)命题“若x2<1,则-1( ) 4.( 2)若命题p∶x∈A∪B,则 p 是 ( )
A.若x2≥1,则x≥1或x≤-1 A.x A 且x B B.x A 或x B
B.若-1C.若x>1或x<-1,则x2>1 5.( 2)下列有关命题的说法正确的是 ( )
D.若x≥1或x≤-1,则x2≥1 A.命题“若x2=1,则x=1”的否命题为:“若x2=1,则x≠
2.( 2)若命题p:x∈A∩B,则 p 是 ( ) 1”.
A.x∈A 且x B B.x A 或x B B.“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件.
C.x A 且x B D.x∈A∪B C.命题“存在x∈R,使得x2+x+1<0”的否定是:“对任意
3.( 1)命题p:若a、b∈R,则|a|+|b|>1是|a+b|>1 x∈R,均有x2+x+1<0”.
的充分而不必要条件;命题q:函数y= |x-1|-2的定义域 D.命题“若x=y,则sinx=siny”的逆否命题为真命题.
·344·
6.( 1)已知命题p:函数y=loga(ax+2a)(a>0且a≠ x 14.( 1)已知命题p:lg(x2-2x-2)≥0;命题q:|1- |
1)的图象必过定点(-1,1);命题q:如果函数y=f(x-3)的图 2
象关于原点对称,那么函数y=f(x)的图象关于点(3,0)对称.则 <1.若p 是真命题,q是假命题,求实数x 的取值范围.
( )
A.“p 且q”为真 B.“p 或q”为假
C.p 真q假 D.p 假q真
7.( 1)如果命题“非p 或非q”是假命题,则在下列各结论
中,正确的为 ( )
①命题“p 且q”是真命题;②命题“p 且q”是假命题;③命题
“p 或q”是真命题;④命题“p 或q”是假命题.
A.②③ B.②④
x
C.①③ D.①④ 15.( 1)设p:关于x 的不等式a >1的解集是{x|x<0},
2
8.( 2)若命题p 的否命题为r,命题r的逆命题为s,则s q:函数y=lg(ax -x+a)的定义域为R,如果P 和Q 有且仅有
是p 的逆命题t的 ( ) 一个正确,求a的取值范围.
A.逆否命题 B.逆命题
C.否命题 D.原命题
二、填空题(本题包括4小题,每小题5分,共20分)
9.( 1)命题“方程 x2+x+1=0有实根”的否定形式
是 ,其为 命题.
10.( 1)已知命题p∶|x-1|+|x+1|≥3a 恒成立,命题
q∶y=(2a-1)x 为减函数,若p 且q 为真命题,则a 的取值范
围是 .
11.( 2)命题“若ab=0,则a、b中至少有一个为零”的逆否
命题是 . 16.( 2)已知命题p:“若ac≥0,则二次方程ax
2+bx+c
12.( 1)由命题p:4∈{2,3},q:2∈{2,3}构成的“p 或q” =0没有实根”.
“p 且q”“非p”形式的复合命题中,真命题有 个. (1)写出命题p 的否命题;
三、解答题(本题包括5小题,每小题12分,共60分) (2)判断命题p 的否命题的真假,并证明你的结论.
13.( 1)已知下列两个命题:
p:|x|>a(a>0)的解集是{x|x<-a|或x>a};
q:|x|分别判断“p 或q”“p 且q”“非p”形式的复合命题的真假.
17.( 1.2)若下列三个关于x 的方程x2-ax+4=0,x2+
(a-1)x+16=0,x2+2ax+3a+10=0中至少有一个方程有
实根,求实数a的取值范围.
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