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§16.2 全称量词与存在量词
考纲·题型解读
1.理解全称量词与存在量词的意义.
2.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
[真题2] (2020·湖北)已知数列{an}和{bn}满足:a =λ,题源 全称量词与存在量词 12
an+1= an+n-4,bn=(-1)n(3 an-3n+21
),其中λ为实数,
解题模型 n为正整数.
1.短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常叫做 (1)对任意实数λ,证明:数列{an}不是等比数列;
全称量词(universalguantifier),用符号“ ”表示,含有全 (2)试判断数列{bn}是否为等比数列,并证明你的结论;
称量词的命题,叫做全称命题. (3)设02.将含有变量x 的语句用p(x),g(x),r(x),…表 λ,使得对任意正整数n,都有a示,变量x 的范围用M 表示,那么全称命题“对 M 中任意 围;若不存在,说明理由.
一个x,有p(x)成立”可用符号简记为 x∈M,p(x),读 [解析] (1)假设存在一个实数λ,使{an}是等比数列,则有
2
作对任意x∈M,使p(x)成立. 2 , (2 ) (4 ) 4 4a =aa 即 λ-3 =λ λ-4 λ2-4λ+9= λ22 1 3 -
3.短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做 3 9 9 9
存在量词(existentialguantifier),用符号“ ”表示,含有存 4λ 9=0
,矛盾.
{ }不是等比数列
在量词的命题,叫做特称命题. ∴ an .
()因为 ( )n+1[ ( ) ]4.特称命题“存在 M 中的一个x,使p(x)成立”可用 2 bn+1= -1 an+1-3n+1 +21
符号简 记 为 x∈M,p(x),读 作 存 在x∈M,使 p(x) =(-1)n+1 (23an-2n+14)
成立.
5.全称命题p: x∈M,p(x),
2
它的否定 p: x∈ =- (3 -1
)n(an-3n+21)
M, p(x),全称命题的否定是特称命题. 2
6.特称命题q: x∈M,q(x),它的否定 q: x∈ =- bn,又3 b1=-
(λ+18),所以当λ=-18时,bn=0(n
M, q(x),特称命题的否定是全称命题. ∈N*),此时{bn}不是等比数列;
bn+1
[真题1] (2021·宁海)有四个关于三角函数的命题: 当λ≠-18时,b1=-(λ+18)≠0,由上可知bn≠0,∴bn
: x x 1p1 x∈R,sin2 2+cos
2 2
2=2 =- (3 n∈N
*).
p2: x,y∈R,sin(x-y)=sinx-siny 2
故当λ≠-18时,数列{bn}是以-(λ+18)为首项,- 为
p3: x∈[,],
1-cos2x 3
0π 2 =sinx 公比的等比数列.
π
p (3)由(2)知,当λ=-18时,bn=0,Sn=0,不 满 足 题 目4:sinx=cosy x+y=2 要求.
其中的假命题是 ( ) 2 n-1
A.p1,p4 B.p ,p ∴λ≠-18,故得bn=-(λ+18)· (- ) ,于是可得2 4 3
C.p1,p3 D.p2,p3 3 n
x x Sn=-
(λ+18)[1- ( 2- ) ] .
[解析] 由 x∈R,sin2 +cos2 =1知命题 不正 5p 32 2 1 要使a确;取x=y=0可得sin(x-y)=sinx-siny=0,知命题p2 正 3 n
即a<- (λ+18)1- 2 ; [,], 1-cos2x 5
[ (-3 ) ]
确 x∈ 0π =sinx 成立,知命题p3 正确;2 sinx a 3 b
得
π 2 n<-
(
5 λ+18
)< 2 n
(n∈N*).
=cosy x±y= +2kπ,k∈Z,知命题p4 不正确.综上可得假2 1- (-3 ) 1- (-3 )
的命题为p1,p4,故应选A. ①
·346·
令 (n)=1- ( 2
n
f - ,
5 9 3 3
则当
3 ) n 为正奇数时,1当n 为正偶数时, -b-18<λ<-3a-18.
5 当a知,
9≤fn <1 不存在实数λ满足题目要求;
5
∴f(n)的最大值为f(1)= ,f(n)的最小值为f(2)= 当b>3a 时
,存在实数λ使得对任意正整数n,都有a3 5,于是,由 式得
9 ①
(★代表高考出现的频次)
( ) 5.(2022·辽宁)已知a>0,则x0 满足关于x 的方程ax=b题源 全称量词与存在量词 ★★★★ 的充要条件是 ( )
1.(2022·湖南)下列命题中的假命题是 ( ) 1 1
A. x∈R, ax2-bx≥ ax20-bx0
A. x∈R,2x-1>0 B. x∈N*,(x-1)2>0 2 2
C. x∈R,lgx<1 D. x∈R,tanx=2 1 1B. x∈R, ax2-bx≤ ax20-bx0
2.(2020·宁海)平面向量a,b共线的充要条件是 ( ) 2 2
A.a,b方向相同 1 1C. x∈R, 22ax -bx≥2ax
2
0-bx0
B.a,b两向量中至少有一个为零向量
1 1
C. λ∈R,b=λa D. x∈R, 22ax -bx≤2ax
2
0-bx0
D.存在不全为零的实数λ1,λ2,λ1a+λ2b=0 6.(2020·福建)如图,在四棱锥P-ABCD 中,侧面PAD
3.(2021·浙江)若函数f(x)=x2
a
+ (a∈R),则下列结x ⊥底面ABCD
,侧棱PA=PD= 2,底面ABCD 为直角梯形,其
论正确的是 ( ) 中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O 为AD 中点.
A. a∈R,f(x)在(, )上是增函数
() : ;
0 +∞ 1 求证 PO⊥平面ABCD
a ,(x)在(, )上是减函数 (2)B. ∈R 0 +∞ 求异面直线PB 与CD 所成角的大小;f
()
C. a∈R,(x)是偶函数 3 线段AD 上是否存在点Q,使得它到平面f PCD
的距离
D. a∈R,f(x)是奇函数 3 AQ为 若存在,求出 的值;若不存在,请说明理由.
4.(2021·辽宁)下列4个命题: 2 QD
1 x x
p1: x∈(0,+∞),(2 ) < (13 )
p2: x∈(0,1),log1x>log1x
2 3
x
p3: x∈(0,+∞),(12 ) >log1x2
x
p4: x∈ (0,1 ),(13 2 ) 其中的真命题是 ( )
A.p1,p3 B.p1,p4
C.p2,p3 D.p2,p4
2022-2023高考题源拓展测试
未来高考还会这样考
(测试时间:90分钟 总分:100分)
一、选择题(本题包括9小题,每小题6分,共54分。每小题只 D. x∈R,2x>0
有一个选项符合题意) 2.( 1)下列全称命题中是真命题的个数是 ( )
1.下列命题中的假命题是 ( ) ①所有偶数都能被2整除;
A. x∈R,lgx=0 ②所有的奇数都能被3整除;
B. x∈R,tanx=1 ③任意实数的平方都不小于零.
C. x∈R,x3>0 A.0
·347·
B.1 10.( 1)命题“ x∈R,x2+1<0”的否定是
C.2 (要求用数学符号表示).
D.3
11.( 1)
1
已知命题p:“ x∈R+,x> ”,命题p 的否定
3.( 1)全称命题“ x∈Z,2x+1是整数”的逆命题是 x
( ) 为命题q,则q是“ ”;q 的真假为 (填“真”或
A.若2x+1是整数,则x∈Z “假”).
B.若2x+1是奇数,则x∈Z 12.( 1)已知命题p:“ x∈[1,
1
2], x2-lnx-a≥0”与
C.若2x+1是偶数,则x∈Z 2
D.若2x+1能被3整除,则x∈Z 命题q:“ x∈R,x
2+2ax-8-6a=0”都是真命题,则实数a
1 的取值范围是 .
4.( 1)已知命题p: x∈R,x2-x+ <0;命题q:4 x 三、解答题(本题包括2小题,每小题14分,共28分)
∈R,sinx+cosx= 2.则下列判断正确的是 ( ) 13.( 1)用符号“ ”与“ ”表示下面含有量词的命题:
A.p 是真命题 (1)实数的平方大于等于0;
B.q是假命题 (2)存在一对实数对,使2x+3y+3<0成立;
C. p 是假命题 (3)勾股定理.
D. q是假命题
5.( 1)对于下列命题:
① x∈R,-1≤sinx≤1;② x∈R,sin2x+cos2x>1.下
列判断正确的是 ( )
A.①假,②真
B.①真,②假
C.①②都假
D.①②都真
6.( 1)有下列四个命题,其中真命题有 ( )
①“若x+y=0,则x、y 互为相反数”的逆命题;
②“全等三角形的面积相等”的否命题;
③“若q≤1,则x2+2x+q=0有实根”的逆命题;
④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题.
A.①②
B.②③
C.①③ 14.( 1)若r(x):sinx+cosx>m,s(x):x
2+mx+1>0,
D.③④ 如果 x∈R,r(x)为假命题且s(x)为真命题,求实数m 的取值
7.( 1)下列四个命题,其中为真命题的是 ( ) 范围.
A. n∈R,n2≥n
B. n∈R, m∈R,m·n=m
C. n∈R, m∈R,m2D. n∈R,n28.( 1)下面结论中,正确结论的个数为 ( )
①命题p:“ x∈R,x2-3x+2≥0”的否定为 p:“ x∈
R,x2-3x+2<0”;
②命题:“ x∈M,p(x)”的否定为:“ x∈M,P(x)”;
③若 p 是q的必要条件,则p 是 q的充分条件;
④“M>N”是“log2M>log2N”的充分不必要条件.
A.1
B.2
C.3
D.4
9.( 1)已知命题p∶ x≥0,2x=3,则 ( )
A. p∶ x<0,2x≠3
B. p∶ x≥0,2x≠3
C. p∶ x≥0,2x≠3
D. p∶ x<0,2x≠3
二、填空题(本题包括3小题,每小题6分,共18分)
·348·
·349·14. 解:(1)ξ的分布列为 P(
16
X=3)=1-P(X=1)-P(X=2)=25.
故取球次数X 的分布列为
ξ 0 1
X 1 2 3
P 0.4 0.6
1 4 16
由期望的定义可得Eξ=0×0.4+1×0.6=0.6.
P 5 25 25
由方差的定义可得 1 4 16 61
( )2 ( )2 EX=5×1+25×2+14×3=25.Dξ= 0-0.6 ×0.4+ 1-0.6 ×0.6
=0.36×0.4+0.16×0.6=0.144+0.096=0.24. 17. 解:(1)三人恰好买到同一只股票的概率P1
(2)由二项分布的期望公式得:Eη=np=5×0.6 1 1 1 1=10×10× × = .=3. 10 10 100
由二项分布的方差公式得 (2)解法1:三人中恰好有两人买到同一只股票
Dη=npq=5×0.6×0.4=1.2. 1 9 27的概率P 22=10×C3×( )2
:() , 10
×10=100.
15. 解 1 设5发子弹命中ξ发 则5发全部命 由(1)知,三人恰好买到同一只股票的概率P1=
中的概率是P(ξ=5)=C5
1
5×0.55=32. 1 ,所以三人中至少有两人买到同一只股票的概率
() 1002 ∵5发子弹命中ξ发的概率是Pξ=Cξ5×0.5ξ
5- 5, 27 1 7×0.5 ξ=Cξ5×0.5 P=P1+P2=100+100=25.
∴ξ的分布列为: 3
解法2:
A
P =1- 10
7
2 1 1 1 = .
ξ 0 1 2 3 4 5 C10×C10×C10 25
()每股当天获利钱数 的分布列为:
P 1 5 10 10 5 1
3 ξ
32 32 32 32 32 32 ξ 2 0 -1
∴P(ξ≤3)=P(ξ=0)+P(ξ=1)+P(ξ=2)+ P 0.5 0.2 0.3
( 26Pξ=3)= ,∴设游客在一次游戏中获得奖金32 η 所以,1000股在当天交易中获利钱数的数学期
元,则η的分布列为:
望为
1000Eξ=1000×[2×0.5+0×0.2+(-1)×0.3]
η -2 0 40 =700.
P 26 5 132 32 32 第十六章 常用逻辑用语
∴该游客在一次游戏中获得奖金的期望为 §16.1 逻辑联结词与四种命题
Eη=(-2)
26 5 1
× +0× +40× =-0.375, 五年高考母题原型训练32 32 32
1.D 【解析】 当同一平面内两直线平行时,结
∴该游戏规则对该游客不利.
论 错误;当三直线两两垂直时,结论 错误
16.解:(1)恰好摸到两个“ ”
① ③ .
心 字球的取法共有4
2.C 【解析】 将几何符号语言转换为文字语
种情形;开心心,心开心,心心开,心心乐.
言如下:
“ ” 5 3则恰好摸到2个 心 字球的概率是P=10×10 ①如果两条平行线中一条垂直于一个平面,则另
3 3 3 2 153 一条也必垂直于该平面,该命题正确;
×10×3+10×10×10=1000. ②分别在两个平行平面内的两条直线互相平行,
1 该命题不正确(还可异面);
( C 12)X=1,2,3,则P(X=1)= 21 = ,P(X=C10 5 ③两条平行线中一条平行于一个平面,则另一条
C1 C18 2 4 也必平行 于 该 平 面,该 命 题 不 正 确(还 可 在 该 平 面2)=
C1
·
C1
= ,
10 10 25 内);
·190·
④如果两条平行线中一条垂直于两平行平面中 【失分警示】 命题的否定形式概念不清.
的一个,则另一条直线必垂直于另一个平面,该命题
正确,综上可得正确的命题为①④,故应选C. 2012—2013高考题源拓展测试
【点评】 本题考查了几何语言转换求解开放题 1.D 2.B 3.D 4.A 5.D 6.C 7.C
的处理策略,对于空间想象及空间几何位置关系的推
8.C 9. 方程x2
1
+x+1=0没有实根 真 10.
理与论证,文字语言的转换可以降低该问题的符号理 2
解难度,增强空间想象思维处理几何论证问题. 23.C 【解析】 将符号语言的命题转化为文字 3
语言进行判断: 13. 解:p 为真,q 也为真,故“p 或q”、“p 且q”
,“ ”
如果两个平面互相垂直,那么其中一个平面内的 都是真命题 非p 为假.
一条直线垂直于另一个平面,该命题不正确,即 A不 【点评】 |x|正确; 讨论.
如果一个平面同时与另两个平面相交,且交线平 14.x≤-1或x≥4
行,则两个平面也平行,该命题不正确,即B不正确; 15. 解:若p 真,则0垂直于同一平面的两个平面互相垂直,该命题不 ; , {a>0, 1a≤0 若q真 则 得a> ;若 假,Δ=1-4a2 q正确,即D不正确; <0, 2
如果一条直线与一个平面垂直,而与另一个平面 1则a≤2.
平行,则 这 两 个 平 面 互 相 垂 直,该 命 题 正 确,故 应
又p 和q有且仅有一个正确,当p 真q假时,选C. 0<
4.C 【解析】 ①两函数定义域不同,所以不是 1a≤ ;2
同一函数.
当p 假q真时,a≥1.
②由已知,可得f(x)与g(x)互为反函数.
1 综上,得a∈ ,
1
0 ∪[1,+∞).
由y=f(2x),反 解 得2x=g(y),即x= g ( 2 ]2
16. 解:(1)命题p 的否命题:“若ac<0,则二次
() 、 ( ) 1y 互换xy 得y=f2x 的反函数为y= () 22g x . 方程ax +bx+c=0有实根.”
∴②正确.又③正确.故选C. (2)命题p 的否命题是真命题.证明如下:∵ac<
【失分警示】 反函数的性质不清. 0,∴-ac>0 Δ=b
2-4ac>0 二次方程ax2+bx
5.D 【解析】 本题考查全称命题及特称命题 +c=0有实根.
的概念. ∴该命题是真命题.
6.B 【解析】 写一个命题的逆否命题可分为 17. 解:从“三个方程中至少有一个方程有实根”
两步完成,即先写其逆命题,再写逆命题的否命题,也 的否定“三个方程都无实根”考虑.若三个方程都无实
可以倒过来,关键要注意写一个命题的否命题时, a
2
既 -16<0
, 2要否定条件 又要否定结论、原命题的逆命题是“若 根,则{(a-1)-64<0 -2loga2<0,则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定 4a -4(3a+10)<0
义域内是减函数”.再对其条件和结论分别否定,即得 ∴三个方程中至少有一个方程有实根时,a 的取
所求的逆否命题,故答案为B. 值范围是a≤-2或a≥4.
【易错警示】 本题在写逆命题的否命题时,容易 §16.2 全称量词与存在量词
与命题的否定混淆,只否定了结论而没有否定条件, 五年高考母题原型训练
从而错选答案A. 1.B
7. 存在x∈R,使得|x-2|+|x-4|≤3 2.D 【解析】 本题为向量共线概念的考查,
【解析】 对于“全称命题”与“存在命题”的否定 A:a,b共线 除 了 方 向 相 同,还 有 方 向 相 反,所 以 A
形式注意量词的变化. 错;a,b均不为零向量,但方向相同或者相反时也共
·191·
线,故B错;当a 为零向量,b 不为零向量,找不到实 2,AO=1,所以OP=1,在Rt△PBO 中,tan∠PBO
数λ,使得b=λa,故C错. PO 1 2 2
平时要加强课本概念的理解,本题属于中等题. = ,BO= =2 ∠PBO=arctan .2 2
3.C 【解析】 本题主要考查函数的奇偶性、单
2
调性以及全 称 命 题、特 称 命 题 等 知 识.因 为 当a=0 所以异面直线PB 与CD 所成的角是arctan2.
时,f(x)=x2 是偶函数.所以选C. (3)假设存在点 Q,使得它到平面 PCD 的距离
4.D 【解析】 本题考查指数函数和对数函数
3
的单调性和图象.由指数函数和对数函数的图象和单 为2.
调性易判断选择D.
, 1 , ()
【 】 : 1
设QD=x 则S△DQC= x 由 2 得CD=OB
5.C 解析 必要性 由ax 2 20=b 代入2ax
= 2,在 Rt△POC 中,PC= OC2+OP2 = 2,所
1 2 1 b2-bx≥ ax0-bx0 整理得 ax22 2 -bx+ ≥0
,
2a Δ= 3 3以PC=CD=DP,S△PCD = ·(2)2= ,由
2
2 1 ·b , 1
4 2
b -42a 2a=0
则知对 x∈R均有2ax
2+bx 1 1 1 3 3
VP-DQC=VQ-PCD,得 × ,解
1 3 2
x×1=3×2×2
≥ ax22 0-bx0
,
3 , , AQ得x= 所以存在点 满足题意 此 时
1 1 2
<2 Q QD
充分性:若 x∈R, 22ax0-bx-2ax
2
0+bx0≥ 1
= .
1 3
0,则Δ=b2-4×2×a( 1- 2 ,2ax0+bx0 )≤0 2012—2013高考题源拓展测试
即b2+a2x2-2abx ≤0,即(b-ax )20 0 0 ≤0. 1.C 2.C 3.A 4.D 5.B 6.C 7.B
∴b=ax0,∴x0 为ax=b 的根,也可直接排除, 8.B 9.B
故选C. 10. x∈R,x2+1≥0 【解析】 “ 的否定为
【失分警示】 充要条件论证过程或排除法用的 ”,“<”的否定为“≥”.
不准.
11. x∈R+,
1
x≤ 假 【解析】 x>1时,
6. 解:(1)在△PAD 中,PA=PD,O 为AD 中 x
点,所以PO⊥AD. 1x≤ 假.
又侧面PAD⊥底面 ABCD,平面 PAD∩平面 x
ABCD=AD,PO 平 面 PAD,所 以 PO ⊥ 平 12.(-∞,-4]∪ [-2,12 ] 【解析】 命 题
面ABCD.
(2)
1 1
连结BO,在直角梯形 ABCD 中,BC∥AD, p:a≤ x2-lnx 在[1,2]上恒成立,令f(x)2 =
2
2x
AD=2AB=2BC,有OD∥BC 且OD=BC,所以四 1 (x-1)(x+1)
边形OBCD 是平行四边形,所以OB∥DC. -lnx,f'(x)=x- ,当x = x 1时,f'(x)>0,∴f(x)min=f()
1, 11 =2 ∴a≤2.
命题q:Δ=4a2-4(-8-6a)≥0,∴a≥-2或
a≤-4.
1
由( : ( , ]1)知,PO⊥OB,∠PBO 为锐角, 综上 a 的取值范围为 -∞ -4 ∪ [-2,2 ] .
所以∠PBO 是异面直线PB 与CD 所成的角.因 13.(1) x∈R,x2≥0;
为AD=2AB=2BC=2,在 Rt△AOB 中,AB=1, (2) (x,y),x∈R,y∈R,2x+3y+3<0;
AO=1,所以OB= 2,在 Rt△POA 中,因为 AP= (3) a、b、c为直角三角形的三条边,且c 为斜
边,a2+b2=c2.
·192·
14. 解:sinx+cosx= 2sin( πx+ )∈[- 2, π=2kπ+ 是tanx=1的充分不必要条件4 4 .
2],所以,如果对任意的x∈R,r(x)为假命题,即对 9.A 【解析】 由命题p 可得-4任意的x∈R,不等式sinx+cosx>m 恒不成立,所 1 13 或x< ,∵-4以m≥ 2.又对任意的x∈R,s(x)为真命题,即对任 2 3
意的x∈R,不等式x2+mx+1>0,所以Δ=m2-4 1 1<-3或3 或x< ,∴p 是q 的充2 3
<0,即-2分而不必要条件,故应选A.
命题且s(x)为真命题,应有 2≤m<2.
10.D 【解析】 如果一个平面内有两条相交直
§16.3 充分条件和必要条件
线均与另一个平面平行,则两个平面平行,根据选项
五年高考母题原型训练
可得,当两条异面直线分别与另一个平面平行时,该
1.B 【解析】 若x=y,则|x|=|y|,反之不
两条异面直线所在的平面相互平行,故应选
, “ D.成立 即得 |x|=|y|”是“x=y”的必要不充分条件.
11.A 【解析】 本题主要考查充分条件、必要
故应选B.
【 】 条件
、不等式的基本性质和有关函数的性质.根据不
2.C 解析 本题主要考查充分条件和必要
等式的相加性可由“
a>0 a+b>0 a>b
且c>d”推出“a+c>b+
条件知识.因为{ { ,所以选C. d”,反之不真b>0 ab>0 .
—
3.C 【解析】 考查充分、必要条件;直线x+y 2012 2013
高考题源拓展测试
=0与x-ay=0互相垂直 a=1. 1.A 2.A 3.B 4.A 5.A 6.A 7.A
4.A 【解析】 本题考查了充要条件的问题.若 8.B 9.B 10.A 11.B 12.A
1 1 1 13. 解:(1)充分性:若ac<0,则Δ=b
2-4ac>0.
sinα= ,则2 cos2α=1-2sin
2α= .若2 cos2α=
,
2 方程ax2+bx+c=0有两个相异的实根,设为
则1-2sin2
1, 1α= sinα=± . 、 , c2 2 x1 x2.∵ac<0 ∴x1x2= 即a <0. x1
,x2 的符号相
5.A 反,方程有一个正根和一个负根.
6.B 【解析】 ∵an+1>|an|,∴an>0, (2)必要性:若方程ax2+bx+c=0有一个正根
∴an+1>|an| an+1>an {an}单调递增.
和一个负根,设为
{ } ; x1
,x2,且x1>0,x2<0,则x1x2
∴an+1>|an|是 an 为递增数列的充分条件
n c
当{a }为递增数列时,如a =- (1 ) . =a <0.∵ac<0,由(1)、(2)知ac<0是方程ax2+n n 2
1 1 bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件.
则a1=- ,2 a2=-
,
4 a2>|a1|
不成立, 14. 解法一:由|x-4|≤6可知,-2≤x≤10.
∴an+1>|an|不是{an}为递增数列的必要条件. ∴非p:x<-2或x>10.
故选B. 设集合A={x|x<-2或x>10}.
7.A 【解析】 本题考查简单不等式的解法、集 由x2-2x+1-m2>0(m>0)可求得x>1+m
合包含原理.先对集合A 求解,A={x|0判断A 真包含于B,由包含原理得A 是B 的充分不 设集合B={x|x>1+m 或x<1-m}.
必要条件. ∵非 p 是q 的 必 要 不 充 分 条 件,∴B A
π
8.A 【解析】 当x=2kπ+ 时,tanx=1,∴ {m>0
,
4
1-m≤-2 m≥9,
充分性成立.
1+m≥10.
又当tanx=1时,
π π
x=kπ+ , 不4 x∴=2kπ+4 解法二:∵非p 是q 的必要不充分条件,∴非q
π 是p 的 必 要 不 充 分 条 件,由 解 法 一 可 知 p:P=
成立,即x=2kπ+ 是tanx=1的不必要条件,4 ∴x {x|-2≤x≤10},非q:Q={x|1-m≤x≤1+m}.
·193·
{m>0
,
∴P Q 1-m≤-2 m≥9,
第十七章 推理与证明
1+m≥10. §17.1 合情推理与演绎推理
15. 解:a1=S1=p+q. 五年高考母题原型训练
当n≥2时,an=Sn-S n-1 3 3 3 3n-1=p (p-1). 1.1+2+3+4+53+63=212
a n
∵ ≠0, n+1
p (p-1) 1 2 1
p p≠1,∴ = =p. 2. (2 n +n
) 12 (2 n
3-3n2+2n)
a pn-1n (p-1)
a a 【解析】 凸多面体是n 棱锥,则下底面为凸n 边
若{a }为 等 比 数 列,则 2 = n+1n a =p
,∴
1 an 形的n 棱锥,其共有n+1个顶点,共可确定C2n+1=
p(p-1) (n+1)n 1
=p. = (n
2+n)条直线
p+q 2 2
.
∵p≠0,∴p-1=p+q,∴q=-1,这是{a }为 当n=4时,四棱锥中与每一条侧棱异面的底面n
等比数列的必要条件. 的边有6-3=3条,则四棱锥中有4×3=12对异面
下面证明q=-1是{a }为 等 比 数 列 的 充 分 直线,即f(4)=12.n
条件. 凸n 棱锥中与每一条侧棱异面的底面的直线共
( )
当q=-1时,Sn=pn-1(p≠0,p≠1),a =S nn-11 1 有 C2n - (n - 1)= - (n - 1)2 =
=p-1. (n-2)(n-1) (n-2)(n-1)
当n≥2时,a =S -S =pn-pn-1=pn-1 ,则n 棱 锥 中 共 有n n n-1 2 n× 2
(p-1),
a
∴a nn=pn-1(p-1)(p≠0,p≠1), = 1(3 2 ) , () 1a =2 n -3n +2n
对异面直线 即fn = (2 n
3-
n-1
pn-1(p-1) 2
n-2( )=p(p 为常数),∴ =-1时,数列{a }
3n +2n).
p p-1 q n 0 当n为偶数时
为等比数列. 3. {1 1- 当n为奇数时
即数列{an}是等比数列的充要条件为q=-1. 2n 3n
16. 解:充 分 性 即 证:xy≥0 |x+y|= k 【 】 1 24. 0 解析 由 = ,
1 3 1
= , =
|x|+|y|,必要性即证:|x+y|=|x|+|y| xy 12 6 12 4 12 3
≥0. 4,5,1 6 k可猜想得
1212 2=12 ak-1=
(
12k≥2
),而由第2
①充分性
与第3道等式中无第四项可得ak-2=0.
若xy=0,则有x=0或y=0,或x=0且y=0.
5.1∶8 【解析】 本题考查了推理与证明中合
此时显然|x+y|=|x|+|y|.
情推理之中类比推理的应用,由于相似的几何图形中
若xy>0,则x,y 同号.
面积比是边长的平方比,类比相似的几何体的体积比
当x>0且y>0时,|x+y|=x+y=|x|+|
是棱长的立方比,即若两个正四面体的棱长的比为
y|; 1∶2,则它们的体积比为1∶8.
当x<0且y<0时,|x+y|=-x-y=(-x) 6. 答案不唯一,如“图形的全等”、“图形的相
+(-y)=|x|+|y|. 似”、“非零向量的共线”、“命题的充要条件”等等
综上所述,xy≥0 |x+y|=|x|+|y|. 【解析】 利用命题的等价性或充要条件,找出一
②必要性 个具有自反性、对称性、传递性的命题即可,如“图形
∵|x+y|=|x|+|y|,且x、y∈R, 的全等”、“图形的相似”、“非零向量的共线”、“命题的
∴(x+y)2=(|x|+|y|)2,即x2+2xy+y2= 充要条件”等等.
x2+2|x||y|+y2 xy=|x||y| xy≥0. 7.CD DE 【解析】 ∵OD 的长度为a、b 的
因此|x+y|=|x|+|y| xy≥0. a+b
算术 平 均 数,
故x ≥0 |x+ |=|x|+||. ∴OD =
又
2 . ∵AB
为 直 径,∴
y y y
·194·

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