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§16.3 充分条件和必要条件
考纲·题型解读
理解并掌握好充分条件、必要条件、充要条件的意义,能够判断给定的两个命题的充要条件.
为平面α内的一条直线,则“α⊥ ”是“m⊥ ”的 ( )
题源1 充分条件、必要条件概念 β βA. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
解题模型 C. 充要条件
1.若p q,但p q,则p 是q的充分不必要条件. D. 既不充分也不必要条件
2.若p q,但p q,则p 是q的必要非充分条件. [解析] 本题考查空间垂直关系的判定及性质定理与充分
3.若p q,但p q,则p 是q 的充分条件,也是必要 必要条件,属于对推理论证能力及空间想象能力的考查.由平面
条件,也是充要条件(一般要回答是充要条件). 与平面垂直的判定定理知如果 m 为平面α 内的一条直线,则 m
4.若p q,但p q,则p 是q 的既不充分也不必要 ⊥β α⊥β,反之若α⊥β,则其中一平面α 内的任意一直线m 与
条件. β的关系可平行或相交,故α⊥β 是m⊥β 的必要但不充分条件.
选B.
[真题1] (2022·北京)a,b 为非零向量.“a⊥b”是“函数 [真题4] (2021·陕西)“m>n>0”是“方程mx2+ny2=1
f(x)=(xa+b)·(xb-a)为一次函数”的 ( ) 表示焦点在y 轴上的椭圆”的 ( )
A.充分而不必要条件 A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 C.充要条件
D.既不充分也不必要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] f(x)=(xa+b)·(xb-a) [解析] 本小题主要考查了以椭圆焦点所在位置的判断为
=x2a·b+xb2-xa2-a·b 载体的充要条件,体现椭圆的标准方程和充要条件的理解和认
=x2a·b+x(b2-a2)-a·b. 识,坚持“来回推理”判断是防止出错的最有效的思维方法.要使
充分性:∵a⊥b,∴a·b=0,∴f(x)=x(b2-a2),若|a| x2 y22 2
≠|b|,则f(x)是一次函数,若|a|=|b|,则f(x)是常函数,∴ mx +ny =1即 1 + 1 =1
是 焦 点 在y 轴 上 的 椭 圆 须 有:
充分性不成立. m n
必要性:∵f(x)是一次函数,∴a·b=0且b2-a2≠0, ì 1>0 ü
∴a⊥b且|b|≠|a|,∴必要性成立.故选B. m
1
[ π真题2] (2021·北京)“α=6+2kπ
(k∈Z)”是“cos2α= ín>0 m>n>0
,故互为充要条件.选C.

1 1 1 ”的 (
2
) mA.充分而不必要条件 [真题5] (
π
2022·浙江)设0B.必要而不充分条件 2
C.充分必要条件 “xsinx<1”的 ( )
D.既不充分也不必要条件 A. 充分而不必要条件
[解析] 本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中 B. 必要而不充分条件
π C. 充分必要条件
充要条件的判断.属于基础知识、基本运算的考查.当α=6+ D. 既不充分也不必要条件
π 1 π
2kπ(k∈Z)时,cos2α=cos( π4kπ+ ) =cos = ,反 之,当 [解析] 若xsinx<1,∵x∈ (0,2 ),∴xsinx>xsin2x,由3 3 2
1 π π 此可得xsin2x<1,即 必 要 性 成 立;若xsin2x<1,由 于 函 数f
cos2α= 时,有2 2α=2kπ+ α=kπ+
(k∈Z),或3 6 2α=2kπ
(x)
π π π
=xsin2x 在 ( π0, ) 上为单调增函数,且2 2sin2=2>1.π π
- α=kπ- (k∈Z),故应选3 6 A.
[ 存在真题3] (2021· )已知α, 表示两个不同的平面,m ∴ x0∈ ( ,π0 ) 使得x 20sinx0=1,又2 x0sinx 2山东 0>x0sinx0=β
·350·
1,即x0sinx0>1,∴存在x'0∈(0,x'0),使得x'sin20 x'0<1,且 [真题7] (2022·山东)设{an}是等比数列,则“a1x' 20sinx'0≥1,故选B. a3”是“数列{an}是递增数列”的 ( )
A.充分而不必要条件
题源2 充分条件、必要条件常用判断法 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
解题模型 D.既不充分也不必要条件
1.定义法:判断B 是A 的什么条件,实际上就是判断 [解析] {a
n-1
n}为等比数列,an=a1·q ,由a12
B A 或A B 是否成立,只要把题目中所给条件按逻辑 得a10,q>1或a1<0,0关系画出箭头示意图,再利用定义即可判断; {an}为递增数列.反之也成立,故选C.
2.转换法:当所给命题的充要条件不易判定时,可对 题源3 充分条件和必要条件的深入理解
命题进行等价转换,例如改用其逆否命题进行判断;如:要
判断“x≠3或y≠2”是“xy≠6”的必要条件,即判断“xy≠ 解题模型
6” “x≠3或y≠2”.转化判断“x=3且y=2” “xy=6”.
3.集合法:在命题的条件和结论间的关系判断有困难 所谓“条件是充分的”就是“条件” “结论”,“条件是
时,有时可以从集合的角度来考虑,记条件p、q 对应的集 必要的”就是“结论” “条件”.所以,判断条件是否充分或
合分别为A、B,则: 者必要,首先要分清题设中哪是“条件”,哪是“结论”.
若A B,则p 是q的充分条件;
若A B,则p 是q的充分非必要条件; [真题8] (2021·福建)设m,n是平面α内的两条不同直
若A B,则p 是q的必要条件; 线;l1,l2 是平面β内的两条相交直线,则α∥β的一个充分而不
若A B,则p 是q的必要非充分条件; 必要条件是 ( )
若A=B,则p 是q的充要条件; A.m∥β且l1∥α B.m∥l1 且m∥l2
若A B,且A B,则p 是q的非充分非必要条件. C.m∥β且n∥β D.m∥β且n∥l2
[解析] 本题考查立体几何基本的点、线、面的位置关系与
[真题6] (
1 , ,
2022·广东)“m< ”是“一元二次方程x2+x 命题的逻辑关系 考查学生的空间想象能力 属于容易题.4 选项为条件,“α∥β”为结论,要得出α∥β 的一个充分而不
+m=0有实数解”的 ( ) 必要条件,即是要找到这样的一个选项:选项 α∥β,且α∥β
A.充分非必要条件 选项.要得到α∥β,必须是一个平面内的两条相交直线分别与另
B.充分必要条件 外一个平面平行.但是两个平面平行,则一个平面内的任一直线
C.必在非充分条件 必平行于另一个平面.对于选项A,不是同一平面的两直线,显然
D.非充分非必要条件 既不充分也不必要;对于选项B,由于l1 与l2 是相交直线,而且
[解析] ∵x2+x+m=0有实数解,∴m=-x2-x, 由l1∥m 可得l1∥α,同理得l2∥α,故可得α∥β,充分性成立,
令 1
2 1
f(x)=-x2-x=- (x+ ) + , 而α∥β不一定能得到l1∥m,它们也可以是异面,故必要性不成2 4
立,故选B;对于选项C,由于m,n 不一定是相交直线,故是必要
∴ (x)的值域为 ( ,1f -∞ 4 ], 非充分条件;对于选项D,由n∥l2 可转化为C,故不符合题意,
1 综上选B.
∴x2+x+m=0有实数解时,m≤ ,4
1
∴m< 是x2+x+m=0有实数解的充分非必要条件4 .
选A.
(★代表高考出现的频次)
题源1 充分条件、必要条件概念(★★★★★) C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
1 1
1.(2020·江西)“|x|=|y|”是“x=y”的 ( ) 4.(2021·湖北)“sinα= ”是“2 cos2α=
”的 ( )2
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.(2021·浙江)已知a,b是实数,则“a>0且b>0”是“a+ 5.(2021·天津)设x∈R,则“x=1”是“x3=x”的 ( )
b>0且ab>0”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.(2022·陕西)对于数列{an},“an+1>|an|(n=1,2,…)”
3.(2020·福建)“a=1”是“直线x+y=0和直线x-ay= 是“{an}为递增数列”的 ( )
0互相垂直”的 ( ) A.必要不充分条件
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
·351·
B.充分不必要条件 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
D.既不充分也不必要条件 题源3 充分条件和必要
题源2 充分条件、必要条件 条件的深入理解(★★★)
常用判断法(★★★★) 10.(2019·北京)平面α∥平面β的一个充分条件是
( )
7.(2020·福建)设集合A={x x , { x-1<0 } B= x|0<3},那么“m∈A”是“m∈B”的 ( ) B.存在一条直线a,a α,a∥β
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.存在两条平行直线a,b,a α,b β,a∥β,b∥a
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 D.存在两条异面直线a,b,a α,b β,a∥β,b∥α
π
8.(2022·上海)“x=2kπ+ (k∈Z)”是“tanx=1”成立的 11.(2021·安徽)下列选项中,p 是q的必要不充分条件的是4 ( )
( ) A.p:a+c>b+d, q:a>b且c>d
A.充分不必要条件 B.p:a>1,b>1, q:f(x)=ax-b(a>0,且a≠1)的图
B.必要不充分条件 象不过第二象限
C.充要条件 C.p:x=1, q:x2=x
D.既不充分也不必要充件 D.p:a>1, q:f(x)=logax(a>0,且a≠1)在(0,+∞)
9.(2019·辽宁)设p、q是两个命题,p:log1(|x|-3)>0,
2 上为增函数
:2 5 1qx -6x+6>0
,则p 是q的 ( )
2022-2023高考题源拓展测试
未来高考还会这样考
(测试时间:90分钟 总分:100分)
一、选择题(本题包括12小题,每小题5分,共60分。每小题只 的充分不必要条件,则a的取值范围 ( )
有一个选项符合题意) A.a>1
1.( 1.2)已知p:|2x-3|<1,q:x(x-3)<0,则p 是q的 B.a≥1
( ) C.a<1
A.充分不必要条件 D.a≤1
B.必要不充分条件
6.( 1.2)“
2π
θ= ”是“3 tanθ=2cos
π
+θ
C.充要条件 (2 )”的 ( )
D.既不充分也不必要条件 A.充分不必要条件
2.( 1.2)“|x-1|<2”是“x<3”的 ( ) B.必要不充分条件
A.充分不必要条件 C.充分必要条件
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
C.充分必要条件 7.( 1.2)A,B,C 是三个集合,那么“A=B”是“A∩C=B
D.既不充分也不必要条件 ∩C”成立的 ( )
3.( 1.2)已知a、b、c为非零的平面向量.甲:a·b=a·c, A.充分非必要条件
乙:b=c,则 ( ) B.必要非充分条件
A.甲是乙的充分但不必要条件 C.充要条件
B.甲是乙的必要但不充分条件 D.既非充分也非必要条件
C.甲是乙的充要条件 8.( 1.2)条件p:“直线l在y 轴上的截距是在x 轴上的截
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 距的两倍”;条件q:“直线l的斜率为-2”,则p 是q的 ( )
4.( 1.2)“0≤a≤4”是“实系数一元二次方程x2+ax+a A.充分不必要条件
=0无实根”的 ( ) B.必要不充分条件
A.必要不充分条件 C.充要条件
B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
C.充要条件 9.( 1.2)α、β为平面,m 为直线.如果,α∥β,那么“m∥α”
D.既不充分也不必要条件 是“m β”的 ( )
5.( 1.2)条件p:|x-1|>x-1,条件q:x·352·
B. 必要非充分条件 15.( 1.2)已知数列{an}的前n 项和S nn=p +q(p≠0,
C. 充要条件 p≠1),求数列{an}是等比数列的充要条件.
D. 既不充分又不必要条件
1
10.( 1.2)“x>1”是“ <1”成立的 ( )x
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
11.( 1.2)命题p:A、B、C、D 四点共面,命题q:A、B、C、
D 四点中有三点共线,则p 是q的 ( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
12.( 1.2)“a=1”是“函数f(x)=|x-a|在区间[1,+
∞)上为增函数”的 ( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件 16.( 3)设x,y∈R,求证:|x+y|=|x|+|y|的充要条
二、解答题(本题包括4小题,每小题10分,共40分) 件是xy≥0.
13.( 1.2)已知a、b、c都是实数,证明ac<0是关于x 的
方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件.
14.( 3)已知:p:|x-4|≤6,q:x2-2x+1-m2>0(m>
0),若非p 是q的必要不充分条件,求实数m 的取值范围.
·353·14. 解:(1)ξ的分布列为 P(
16
X=3)=1-P(X=1)-P(X=2)=25.
故取球次数X 的分布列为
ξ 0 1
X 1 2 3
P 0.4 0.6
1 4 16
由期望的定义可得Eξ=0×0.4+1×0.6=0.6.
P 5 25 25
由方差的定义可得 1 4 16 61
( )2 ( )2 EX=5×1+25×2+14×3=25.Dξ= 0-0.6 ×0.4+ 1-0.6 ×0.6
=0.36×0.4+0.16×0.6=0.144+0.096=0.24. 17. 解:(1)三人恰好买到同一只股票的概率P1
(2)由二项分布的期望公式得:Eη=np=5×0.6 1 1 1 1=10×10× × = .=3. 10 10 100
由二项分布的方差公式得 (2)解法1:三人中恰好有两人买到同一只股票
Dη=npq=5×0.6×0.4=1.2. 1 9 27的概率P 22=10×C3×( )2
:() , 10
×10=100.
15. 解 1 设5发子弹命中ξ发 则5发全部命 由(1)知,三人恰好买到同一只股票的概率P1=
中的概率是P(ξ=5)=C5
1
5×0.55=32. 1 ,所以三人中至少有两人买到同一只股票的概率
() 1002 ∵5发子弹命中ξ发的概率是Pξ=Cξ5×0.5ξ
5- 5, 27 1 7×0.5 ξ=Cξ5×0.5 P=P1+P2=100+100=25.
∴ξ的分布列为: 3
解法2:
A
P =1- 10
7
2 1 1 1 = .
ξ 0 1 2 3 4 5 C10×C10×C10 25
()每股当天获利钱数 的分布列为:
P 1 5 10 10 5 1
3 ξ
32 32 32 32 32 32 ξ 2 0 -1
∴P(ξ≤3)=P(ξ=0)+P(ξ=1)+P(ξ=2)+ P 0.5 0.2 0.3
( 26Pξ=3)= ,∴设游客在一次游戏中获得奖金32 η 所以,1000股在当天交易中获利钱数的数学期
元,则η的分布列为:
望为
1000Eξ=1000×[2×0.5+0×0.2+(-1)×0.3]
η -2 0 40 =700.
P 26 5 132 32 32 第十六章 常用逻辑用语
∴该游客在一次游戏中获得奖金的期望为 §16.1 逻辑联结词与四种命题
Eη=(-2)
26 5 1
× +0× +40× =-0.375, 五年高考母题原型训练32 32 32
1.D 【解析】 当同一平面内两直线平行时,结
∴该游戏规则对该游客不利.
论 错误;当三直线两两垂直时,结论 错误
16.解:(1)恰好摸到两个“ ”
① ③ .
心 字球的取法共有4
2.C 【解析】 将几何符号语言转换为文字语
种情形;开心心,心开心,心心开,心心乐.
言如下:
“ ” 5 3则恰好摸到2个 心 字球的概率是P=10×10 ①如果两条平行线中一条垂直于一个平面,则另
3 3 3 2 153 一条也必垂直于该平面,该命题正确;
×10×3+10×10×10=1000. ②分别在两个平行平面内的两条直线互相平行,
1 该命题不正确(还可异面);
( C 12)X=1,2,3,则P(X=1)= 21 = ,P(X=C10 5 ③两条平行线中一条平行于一个平面,则另一条
C1 C18 2 4 也必平行 于 该 平 面,该 命 题 不 正 确(还 可 在 该 平 面2)=
C1
·
C1
= ,
10 10 25 内);
·190·
④如果两条平行线中一条垂直于两平行平面中 【失分警示】 命题的否定形式概念不清.
的一个,则另一条直线必垂直于另一个平面,该命题
正确,综上可得正确的命题为①④,故应选C. 2012—2013高考题源拓展测试
【点评】 本题考查了几何语言转换求解开放题 1.D 2.B 3.D 4.A 5.D 6.C 7.C
的处理策略,对于空间想象及空间几何位置关系的推
8.C 9. 方程x2
1
+x+1=0没有实根 真 10.
理与论证,文字语言的转换可以降低该问题的符号理 2
解难度,增强空间想象思维处理几何论证问题. 23.C 【解析】 将符号语言的命题转化为文字 3
语言进行判断: 13. 解:p 为真,q 也为真,故“p 或q”、“p 且q”
,“ ”
如果两个平面互相垂直,那么其中一个平面内的 都是真命题 非p 为假.
一条直线垂直于另一个平面,该命题不正确,即 A不 【点评】 |x|正确; 讨论.
如果一个平面同时与另两个平面相交,且交线平 14.x≤-1或x≥4
行,则两个平面也平行,该命题不正确,即B不正确; 15. 解:若p 真,则0垂直于同一平面的两个平面互相垂直,该命题不 ; , {a>0, 1a≤0 若q真 则 得a> ;若 假,Δ=1-4a2 q正确,即D不正确; <0, 2
如果一条直线与一个平面垂直,而与另一个平面 1则a≤2.
平行,则 这 两 个 平 面 互 相 垂 直,该 命 题 正 确,故 应
又p 和q有且仅有一个正确,当p 真q假时,选C. 0<
4.C 【解析】 ①两函数定义域不同,所以不是 1a≤ ;2
同一函数.
当p 假q真时,a≥1.
②由已知,可得f(x)与g(x)互为反函数.
1 综上,得a∈ ,
1
0 ∪[1,+∞).
由y=f(2x),反 解 得2x=g(y),即x= g ( 2 ]2
16. 解:(1)命题p 的否命题:“若ac<0,则二次
() 、 ( ) 1y 互换xy 得y=f2x 的反函数为y= () 22g x . 方程ax +bx+c=0有实根.”
∴②正确.又③正确.故选C. (2)命题p 的否命题是真命题.证明如下:∵ac<
【失分警示】 反函数的性质不清. 0,∴-ac>0 Δ=b
2-4ac>0 二次方程ax2+bx
5.D 【解析】 本题考查全称命题及特称命题 +c=0有实根.
的概念. ∴该命题是真命题.
6.B 【解析】 写一个命题的逆否命题可分为 17. 解:从“三个方程中至少有一个方程有实根”
两步完成,即先写其逆命题,再写逆命题的否命题,也 的否定“三个方程都无实根”考虑.若三个方程都无实
可以倒过来,关键要注意写一个命题的否命题时, a
2
既 -16<0
, 2要否定条件 又要否定结论、原命题的逆命题是“若 根,则{(a-1)-64<0 -2loga2<0,则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定 4a -4(3a+10)<0
义域内是减函数”.再对其条件和结论分别否定,即得 ∴三个方程中至少有一个方程有实根时,a 的取
所求的逆否命题,故答案为B. 值范围是a≤-2或a≥4.
【易错警示】 本题在写逆命题的否命题时,容易 §16.2 全称量词与存在量词
与命题的否定混淆,只否定了结论而没有否定条件, 五年高考母题原型训练
从而错选答案A. 1.B
7. 存在x∈R,使得|x-2|+|x-4|≤3 2.D 【解析】 本题为向量共线概念的考查,
【解析】 对于“全称命题”与“存在命题”的否定 A:a,b共线 除 了 方 向 相 同,还 有 方 向 相 反,所 以 A
形式注意量词的变化. 错;a,b均不为零向量,但方向相同或者相反时也共
·191·
线,故B错;当a 为零向量,b 不为零向量,找不到实 2,AO=1,所以OP=1,在Rt△PBO 中,tan∠PBO
数λ,使得b=λa,故C错. PO 1 2 2
平时要加强课本概念的理解,本题属于中等题. = ,BO= =2 ∠PBO=arctan .2 2
3.C 【解析】 本题主要考查函数的奇偶性、单
2
调性以及全 称 命 题、特 称 命 题 等 知 识.因 为 当a=0 所以异面直线PB 与CD 所成的角是arctan2.
时,f(x)=x2 是偶函数.所以选C. (3)假设存在点 Q,使得它到平面 PCD 的距离
4.D 【解析】 本题考查指数函数和对数函数
3
的单调性和图象.由指数函数和对数函数的图象和单 为2.
调性易判断选择D.
, 1 , ()
【 】 : 1
设QD=x 则S△DQC= x 由 2 得CD=OB
5.C 解析 必要性 由ax 2 20=b 代入2ax
= 2,在 Rt△POC 中,PC= OC2+OP2 = 2,所
1 2 1 b2-bx≥ ax0-bx0 整理得 ax22 2 -bx+ ≥0
,
2a Δ= 3 3以PC=CD=DP,S△PCD = ·(2)2= ,由
2
2 1 ·b , 1
4 2
b -42a 2a=0
则知对 x∈R均有2ax
2+bx 1 1 1 3 3
VP-DQC=VQ-PCD,得 × ,解
1 3 2
x×1=3×2×2
≥ ax22 0-bx0
,
3 , , AQ得x= 所以存在点 满足题意 此 时
1 1 2
<2 Q QD
充分性:若 x∈R, 22ax0-bx-2ax
2
0+bx0≥ 1
= .
1 3
0,则Δ=b2-4×2×a( 1- 2 ,2ax0+bx0 )≤0 2012—2013高考题源拓展测试
即b2+a2x2-2abx ≤0,即(b-ax )20 0 0 ≤0. 1.C 2.C 3.A 4.D 5.B 6.C 7.B
∴b=ax0,∴x0 为ax=b 的根,也可直接排除, 8.B 9.B
故选C. 10. x∈R,x2+1≥0 【解析】 “ 的否定为
【失分警示】 充要条件论证过程或排除法用的 ”,“<”的否定为“≥”.
不准.
11. x∈R+,
1
x≤ 假 【解析】 x>1时,
6. 解:(1)在△PAD 中,PA=PD,O 为AD 中 x
点,所以PO⊥AD. 1x≤ 假.
又侧面PAD⊥底面 ABCD,平面 PAD∩平面 x
ABCD=AD,PO 平 面 PAD,所 以 PO ⊥ 平 12.(-∞,-4]∪ [-2,12 ] 【解析】 命 题
面ABCD.
(2)
1 1
连结BO,在直角梯形 ABCD 中,BC∥AD, p:a≤ x2-lnx 在[1,2]上恒成立,令f(x)2 =
2
2x
AD=2AB=2BC,有OD∥BC 且OD=BC,所以四 1 (x-1)(x+1)
边形OBCD 是平行四边形,所以OB∥DC. -lnx,f'(x)=x- ,当x = x 1时,f'(x)>0,∴f(x)min=f()
1, 11 =2 ∴a≤2.
命题q:Δ=4a2-4(-8-6a)≥0,∴a≥-2或
a≤-4.
1
由( : ( , ]1)知,PO⊥OB,∠PBO 为锐角, 综上 a 的取值范围为 -∞ -4 ∪ [-2,2 ] .
所以∠PBO 是异面直线PB 与CD 所成的角.因 13.(1) x∈R,x2≥0;
为AD=2AB=2BC=2,在 Rt△AOB 中,AB=1, (2) (x,y),x∈R,y∈R,2x+3y+3<0;
AO=1,所以OB= 2,在 Rt△POA 中,因为 AP= (3) a、b、c为直角三角形的三条边,且c 为斜
边,a2+b2=c2.
·192·
14. 解:sinx+cosx= 2sin( πx+ )∈[- 2, π=2kπ+ 是tanx=1的充分不必要条件4 4 .
2],所以,如果对任意的x∈R,r(x)为假命题,即对 9.A 【解析】 由命题p 可得-4任意的x∈R,不等式sinx+cosx>m 恒不成立,所 1 13 或x< ,∵-4以m≥ 2.又对任意的x∈R,s(x)为真命题,即对任 2 3
意的x∈R,不等式x2+mx+1>0,所以Δ=m2-4 1 1<-3或3 或x< ,∴p 是q 的充2 3
<0,即-2分而不必要条件,故应选A.
命题且s(x)为真命题,应有 2≤m<2.
10.D 【解析】 如果一个平面内有两条相交直
§16.3 充分条件和必要条件
线均与另一个平面平行,则两个平面平行,根据选项
五年高考母题原型训练
可得,当两条异面直线分别与另一个平面平行时,该
1.B 【解析】 若x=y,则|x|=|y|,反之不
两条异面直线所在的平面相互平行,故应选
, “ D.成立 即得 |x|=|y|”是“x=y”的必要不充分条件.
11.A 【解析】 本题主要考查充分条件、必要
故应选B.
【 】 条件
、不等式的基本性质和有关函数的性质.根据不
2.C 解析 本题主要考查充分条件和必要
等式的相加性可由“
a>0 a+b>0 a>b
且c>d”推出“a+c>b+
条件知识.因为{ { ,所以选C. d”,反之不真b>0 ab>0 .
—
3.C 【解析】 考查充分、必要条件;直线x+y 2012 2013
高考题源拓展测试
=0与x-ay=0互相垂直 a=1. 1.A 2.A 3.B 4.A 5.A 6.A 7.A
4.A 【解析】 本题考查了充要条件的问题.若 8.B 9.B 10.A 11.B 12.A
1 1 1 13. 解:(1)充分性:若ac<0,则Δ=b
2-4ac>0.
sinα= ,则2 cos2α=1-2sin
2α= .若2 cos2α=
,
2 方程ax2+bx+c=0有两个相异的实根,设为
则1-2sin2
1, 1α= sinα=± . 、 , c2 2 x1 x2.∵ac<0 ∴x1x2= 即a <0. x1
,x2 的符号相
5.A 反,方程有一个正根和一个负根.
6.B 【解析】 ∵an+1>|an|,∴an>0, (2)必要性:若方程ax2+bx+c=0有一个正根
∴an+1>|an| an+1>an {an}单调递增.
和一个负根,设为
{ } ; x1
,x2,且x1>0,x2<0,则x1x2
∴an+1>|an|是 an 为递增数列的充分条件
n c
当{a }为递增数列时,如a =- (1 ) . =a <0.∵ac<0,由(1)、(2)知ac<0是方程ax2+n n 2
1 1 bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件.
则a1=- ,2 a2=-
,
4 a2>|a1|
不成立, 14. 解法一:由|x-4|≤6可知,-2≤x≤10.
∴an+1>|an|不是{an}为递增数列的必要条件. ∴非p:x<-2或x>10.
故选B. 设集合A={x|x<-2或x>10}.
7.A 【解析】 本题考查简单不等式的解法、集 由x2-2x+1-m2>0(m>0)可求得x>1+m
合包含原理.先对集合A 求解,A={x|0判断A 真包含于B,由包含原理得A 是B 的充分不 设集合B={x|x>1+m 或x<1-m}.
必要条件. ∵非 p 是q 的 必 要 不 充 分 条 件,∴B A
π
8.A 【解析】 当x=2kπ+ 时,tanx=1,∴ {m>0
,
4
1-m≤-2 m≥9,
充分性成立.
1+m≥10.
又当tanx=1时,
π π
x=kπ+ , 不4 x∴=2kπ+4 解法二:∵非p 是q 的必要不充分条件,∴非q
π 是p 的 必 要 不 充 分 条 件,由 解 法 一 可 知 p:P=
成立,即x=2kπ+ 是tanx=1的不必要条件,4 ∴x {x|-2≤x≤10},非q:Q={x|1-m≤x≤1+m}.
·193·
{m>0
,
∴P Q 1-m≤-2 m≥9,
第十七章 推理与证明
1+m≥10. §17.1 合情推理与演绎推理
15. 解:a1=S1=p+q. 五年高考母题原型训练
当n≥2时,an=Sn-S n-1 3 3 3 3n-1=p (p-1). 1.1+2+3+4+53+63=212
a n
∵ ≠0, n+1
p (p-1) 1 2 1
p p≠1,∴ = =p. 2. (2 n +n
) 12 (2 n
3-3n2+2n)
a pn-1n (p-1)
a a 【解析】 凸多面体是n 棱锥,则下底面为凸n 边
若{a }为 等 比 数 列,则 2 = n+1n a =p
,∴
1 an 形的n 棱锥,其共有n+1个顶点,共可确定C2n+1=
p(p-1) (n+1)n 1
=p. = (n
2+n)条直线
p+q 2 2
.
∵p≠0,∴p-1=p+q,∴q=-1,这是{a }为 当n=4时,四棱锥中与每一条侧棱异面的底面n
等比数列的必要条件. 的边有6-3=3条,则四棱锥中有4×3=12对异面
下面证明q=-1是{a }为 等 比 数 列 的 充 分 直线,即f(4)=12.n
条件. 凸n 棱锥中与每一条侧棱异面的底面的直线共
( )
当q=-1时,Sn=pn-1(p≠0,p≠1),a =S nn-11 1 有 C2n - (n - 1)= - (n - 1)2 =
=p-1. (n-2)(n-1) (n-2)(n-1)
当n≥2时,a =S -S =pn-pn-1=pn-1 ,则n 棱 锥 中 共 有n n n-1 2 n× 2
(p-1),
a
∴a nn=pn-1(p-1)(p≠0,p≠1), = 1(3 2 ) , () 1a =2 n -3n +2n
对异面直线 即fn = (2 n
3-
n-1
pn-1(p-1) 2
n-2( )=p(p 为常数),∴ =-1时,数列{a }
3n +2n).
p p-1 q n 0 当n为偶数时
为等比数列. 3. {1 1- 当n为奇数时
即数列{an}是等比数列的充要条件为q=-1. 2n 3n
16. 解:充 分 性 即 证:xy≥0 |x+y|= k 【 】 1 24. 0 解析 由 = ,
1 3 1
= , =
|x|+|y|,必要性即证:|x+y|=|x|+|y| xy 12 6 12 4 12 3
≥0. 4,5,1 6 k可猜想得
1212 2=12 ak-1=
(
12k≥2
),而由第2
①充分性
与第3道等式中无第四项可得ak-2=0.
若xy=0,则有x=0或y=0,或x=0且y=0.
5.1∶8 【解析】 本题考查了推理与证明中合
此时显然|x+y|=|x|+|y|.
情推理之中类比推理的应用,由于相似的几何图形中
若xy>0,则x,y 同号.
面积比是边长的平方比,类比相似的几何体的体积比
当x>0且y>0时,|x+y|=x+y=|x|+|
是棱长的立方比,即若两个正四面体的棱长的比为
y|; 1∶2,则它们的体积比为1∶8.
当x<0且y<0时,|x+y|=-x-y=(-x) 6. 答案不唯一,如“图形的全等”、“图形的相
+(-y)=|x|+|y|. 似”、“非零向量的共线”、“命题的充要条件”等等
综上所述,xy≥0 |x+y|=|x|+|y|. 【解析】 利用命题的等价性或充要条件,找出一
②必要性 个具有自反性、对称性、传递性的命题即可,如“图形
∵|x+y|=|x|+|y|,且x、y∈R, 的全等”、“图形的相似”、“非零向量的共线”、“命题的
∴(x+y)2=(|x|+|y|)2,即x2+2xy+y2= 充要条件”等等.
x2+2|x||y|+y2 xy=|x||y| xy≥0. 7.CD DE 【解析】 ∵OD 的长度为a、b 的
因此|x+y|=|x|+|y| xy≥0. a+b
算术 平 均 数,
故x ≥0 |x+ |=|x|+||. ∴OD =
又
2 . ∵AB
为 直 径,∴
y y y
·194·

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