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第十三章 不等式
§13.1 不等关系与不等式
考纲·题型解读
不等式的性质是不等式这一章的基础,在一轮复习中必须打下良好的基础,高考题中常见“比较大小”的题目,题型多以选
择题、填空题出现,属于低档题,在复习中不必扩展过难的题目,但应突出比较法的复习,因为比较法是判别两个代数式大小的
基本思想方法,同时注意与函数、绝对值等知识的综合应用.
不等式性质定理及推论容易理解,但应用时容易出错.比如易将等式的某些性质迁移到不等式上,或将不等式的条件弱化
或加强,都是常犯的错误.因此对于易错点应重点强调和复习.
>d”推出“a+c>b+d”,反之不真.选A.
题源 不等式的性质及应用 [真题2] (2022·江苏)设x,y 为实数,满足3≤xy2≤8,
x2 3
解题模型 4≤ ≤9,
x
则 4的最大值是 .y y
x2 2 1.比较两个实数的大小 [解析] ∵4≤ ≤9,
1 y 1
∴ ≤ 2≤ ,
1 y 1
y 9 x 4
∴81≤x4≤16.
两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的,有a 3 2
-b>0 a>b;a-b=0 a=b;a-b<0 a≤xy x4≤
, a a a xb>0 则有b >1 a>b
;
b =1 a=b
;
b <1 ax3 y x4
3
2.不等式的性质 1, x
2 ∴2≤ 4≤27.∴
最大值是27.
y
性质1:对称性 [真题3] (2019·浙江)设 (x)=3ax2+2bx+c,若a+b
如果a>b,那么bb. f
,()() 求证:
性质2:传递性 +c=0f0f1 >0.
( )方程 () 有实根;
如果a>b,且b>c,那么a>c. Ⅰ f x =0
也可等价表示为: ( bⅡ)-2< <-1;a
如果c性质3:加法法则 (Ⅲ)设x1,x2 是方程f(x)
3
=0的两个实根,则 ≤|x1-x2|
如果a>b,那么a+c>b+c. 3
推论1:移项法则 2< .
如果a+b>c,那么a>c-b. 3
[ ] ( ) ,
推论2:同向可加性 解析 Ⅰ 若a=0 则b=-c,f(0)f(1)=c(3a+2b+
2
如果a>b,且c>d,那么a+c>b+d. c)=-c ≤0,与已知矛盾,所以a≠0.
2 2
性质4:乘法法则 方程3ax +2bx+c=0的判别式Δ=4(b -3ac),
如果a>b,且c>0,那么ac>bc; 由条件a+b+c=0.消去b,得
2
如果a>b,且c<0,那么ac: [ ( 2 )
3
+4c
2 ]>0,
推论1 同向可乘性
如果a>b>0,且c>d>0,那么ac>bd. 故方程f(x)=0有实根.
推论2:乘方法则 (Ⅱ)由f(0)f(1)>0,得c(3a+2b+c)>0,
如果a>b>0,那么an>bn(n∈N*,且n>1). 由条件a+b+c=0,消去c,得(a+b)(2a+b)<0.
因为a2>0.所以 ( b ) ( b1+ 2+ )<0,[真题1] (2021·安徽)“a+c>b+d”是“a>b且c>d”的 a a
( ) b故-2< <-1.
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 a
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ( ) 2b c a+bⅢ 由条件,知x1+x2=- ,x1x2= =- ,
[解析] 本题主要考查不等式的性质和充要条件,属于对 3a 3a 3a
2
基础知识、基本运算的考查.根据不等式的相加性可由“a>b且c 所 以(x -x )2=(x +x )2
4 b 3
1 2 1 2 -4x2x2= 9 (a +2 )
·284·
1
+3.
3 2
故
3≤|x1-x2|<3.
b 1 4
因为-2< ,所以 (a <-1 3≤ x1-x2
)2<9.
(★代表高考出现的频次)
D.既不充分也不必要条件
题源 不等式的性质及应用(★★★★★)
3.(2020·广东)设a,b∈R,若a-|b|>0,则下列不等式
1.(2020·重庆)设x 是实数,则“x>0”是“|x|>0”的 中正确的是 ( )
( ) A.b-a>0 B.a3+b3<0
A.充分而不必要条件 C.b+a>0 D.a2-b2<0
B.必要而不充分条件 4.(2005·山东)0C.充要条件 A.|log(1+a)(1-a)|+|log1-a(1+a)|>2
D.既不充分也不必要条件 B.|log(1+a)(1-a)|<|log(1-a)(1+a)|
2.(2019·浙江)“a>0,b>0”是“ab>0”的 ( ) C.|log(1+a)(1-a)+log(1-a)(1+a)|<|log(1+a)(1-a)|+
A.充分而不必要条件 |log(1-a)(1+a)|
B.必要而不充分条件 D.|log(1+a)(1-a)-log(1-a)(1+a)|>|log(1+a)(1-a)|-
C.充分必要条件 |log(1-a)(1+a)|
2022-2023高考题源拓展测试
未来高考还会这样考
(测试时间:90分钟 总分:100分)
一、选择题(本题包括8小题,每小题2.5分,共20分。每小题 6.( 1)如果0只有一个选项符合题意) A.( )
1 1
1-a 3>(1-a)2
1.( 1)若a>b,则下列不等式中正确的是 ( ) B.log(1-a)(1+a)>0
1 1 C.(1-a)3>(1+a)2A. < B.a2>b2a b
D.(1-a)1+a>1
C.a+b>2 ab D.a2+b2>2ab 7.( 1)设02.( 1)若-1( ) B.log1bA.aC.ab>a2b D.a>a2 D.2b<2a<2
3.( 1)若a、b、c∈R,a>b,则下列不等式成立的是( ) 1 1 1
8.( 1)已知a,b,c都是正数,则三数a+ ,b+ ,b c c+1 1 a
A. < 2a b B.a >b
2
( )
a b A.都大于2
C.c2+1>c2+1 D.a|c|>b|c| B.都小于2
4.( 1)如果a、b、c满足c中不一定成立的是 ( ) D.至少有一个不小于2
A.ab>ac B.c(b-a)>0 二、填空题(本题包括4小题,每小题5分,共20分)
C.cb2( ) , 1 19. 1 若ab,则 ( )
b 10.( 1)已知-1≤a+b≤1,1≤a-b≤3,则3a-b的取值
A.a2>b2 B.a >1 范围是 .
a b
C.lg(a-b)>0 D.(12 ) < (1 ) b a b+m a+n2 11.( 1)a>b>0,m>0,n>0,则 , , , 由大a b a+m b+n
·285·
到小的顺序是 . 16.( 1)已知x∈R,二次函数f(x)=ax2+bx+c恒为非
12.( 1)对于01 b-a
.
①loga(1+a)
log ( 11+ );③a1+aa aa .
其中成立的是 .
三、解答题(本题包括5小题,每小题12分,共60分)
c+b=6-4a+3a2
13.( 1)设实数a,b,c 满足 { ,试比较c-b=4-4a+a2
a,b,c的大小.
17.( 1)已知奇函数f(x)在区间(-∞,+∞)上是单调减
14.( 1)已知a>2,b>2,试比较a+b与ab的大小. 函数,α、β、γ∈R且α+β>0,β+γ>0,γ+α>0,试判断f(α)+
f(β)+f(γ)与0的关系,并证明.
15.( 1)设A=xn+x-n,B=xn-1+x1-n,当x∈R*,n∈
N时,求证:A≥B.
·286·当m≥2时，号T.-是+多+
1
3
5
2(i+j)
2(i+j)
=1
√4-1+√4-1√4i平+√4
0
故不存在。
①-②，得
第十三章
不等式
1
1
2n-1
2
2u+1
§13.1不等关系与不等式
五年高考母题原型训练
Tw=1
1-2
2n-1
1
2n-1
1,A【解析】本题解题思路是根据充分必要条
=3
2"
2n-2
20
件定义加以别定，由x>0得引x>0:但反过来，由x>
0不能得出x>0,也可能x<0.综上所述，“x>0”是“|x
<3.
|>0”的充分不必要条件，选A
17.解：(1)由f(x)=2n√/1+x2-x,
2.A【解析】考查充要条件的判定.a>0,
得f'(x)=
2nx
-1.
b>0→ab>0,但ab>0不能得到，∴.a>0,b>0.故
wW/1十x
选A.
1
令f(x)=0,得x=
3,C【解析】由于选择题题型的特殊性，对有
w/4n2-1
些比较复杂的題目，在解决时不一定非按部就班地按
时，f'(x)<0:
解答题的方法进行，而是常应用一些特殊方法，如辚
除法、特殊值检验法等解决，以简化过程，节省时间.
本题就可以用特例法：不妨令a=1,b=0,则有a一b
|=1>0,符合题意.而此时b-a=一1<0，A错：a3十
.f(x)在x=
4
时取得最小
b3=1>0,B错a2-b2=1>0,D错.故答案为C
4.A【解析】设x=log1+a)(1一a),y=
值√4n2-1,
log1-(1十a),则x<0,y<0,且xy=1,x≠y..x
∴.an=√/4n2-1.
|+|y|>2√xyT=2,故进A.
2012一2013高考题源拓展测试
1.D2.D3.C4.C5.D6.A7.D
+叶
1
8.D
[-)+(传-）++(】
9.11
a-b a
10.[1,7]
-(-十)分
11.
aa+n、b十m、b
bb十na十ma
12.②④
13.解：先令a=0得b=1,c=5.可推测c≥b
(3)不存在.假设存在两点A:,A,满足题意，即
≥a,
kA:=1,令x=2ny=a,则y=√x2-1(x≥2)，
下面有目的地作比较：
点(x,y)在曲线x2y2=1(x≥2，y≥1)上，而双曲
c-b=a2-4a十4=(a-2)2≥0.
线的一条渐近线方程为y=x,其斜率为1，A:、A,在
则c≥b.由已知条件得b=1+a2.
双曲线上，故kAA>1矛盾.
另解：不存在，设A:(2i,a,),A,(2j,a;),(其中
6-a=1+a2-a=a2-a+1=(a-2）》
i,j∈N),
则山一号=二可
370
4
2(i-j)
b>a,a,b,c间的关系为c≥b>a.
4(2-j)
14.解：ab-(a十b)=(a-1)(b-1)-1,
2(i-j)(√4-1+√4j-1)
又a>2,b>2,.a-1>1,b-1>1.
·162·

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