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§13.4基本不等式及其综合应用
考纲·题型解读
1,掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这一重要定理及其变形公式，并能运用其解决有关问题，
2.算术平均数与几何平均数是高考的一个考点，在历年高考中常常出现综合函数、几何等知识的考查，近几年高考中又多
次出现运用该知识的应用题.因此要求掌握算术平均数与几何平均数定理及其变形，会用来求函数最值、证明不等式以及解决
一些实际应用题.新的高者对于算术平均数与几何平均数定理及应用的要求不扩展到三个，因此在复习时不必作“三个数”以上
的扩展.
五年高考母题题源揭秘
排除了选项D.选C
题源1基本不等式
[真题2](2019·北京)如果正数a,b,c,d满足a十b=cd
=4,那么
解题模型
A.ab≤c十d,且等号成立时a,b,c,d的取值唯一
1.两个基本不等式
B.ab≥c+d,且等号成立时a,b,c,d的取值唯一
(1)若a、b∈R,则a2十b2≥2ab,当且仅当“a=b”时取
C.ab≤c十d,且等号成立时a,b,c,d的取值不唯一
等号，
D.ab≥c十d,且等号成立时a,b,c,d的取值不唯一
（②)若a,6∈R,则生>V历，当且仅有a=6时
[解析]：4=cd≤
生）事且仅当c=d=2时6十
取等号
d取得最小值4：
注：两个基本不等式的主要区别在于使用条件上的
又：4=a十b≥2√ab,∴.当且仅当a=b=2时，ab取得最
差异，
大值4，ab≤4≤c十d,当且仅当a=b=c=d=2时等号成主，
2.基本不等式的推论
故应选A
(1)ab≤
2(a,b∈R)常用来解决积(ab)与和(a
a+b
题源2
利用基本不等式求最值或取值范围
十b)有关联的不等式
(2)ab
解题模型
2
-(a,b∈R)常用来解决平方和与积有关
“和定积最大，积定和最小”，即两个正数和为定值，则
联的不等式
可求其积的最大值；反过来，若积为定值，则可求其和的最
-(a,bER)常用来解决和与平方
小值，应用此结论须注意如下三点：各项或各因式均正：和
2
或积为定值：各项或各因式能取得相等的值.必要时需作适
和有关联的不等式
当的变形，以满足上述前提，
3.算术平均数与几何平均数
用均位不等式求函数的最大（小）值是高中数学的一
如果a,b∈R+,那么a十b
个重点，也是近儿年高考的一个热点，三个必要条件一即
2
叫做两个正数的算术平均
一正（各项的值为正）二定（各项的和或积为定值）三相等
数瓜叫致两个运载的几行平均数，不等式士>团
(取等号的条件)更是相关考题瞄准的焦点在具体的题目
说明了两种平均数的大小关系，即“两个正数的算术平均
中，“正数”条件往往易从题设中获得解决，“相等”条件也
数不小于它们的几何平均数”，我们把这一结论称之为“均
易验证确定，而要获的“定值”条件却常常被设计为一个
值不等式”
难点，它需要一定的灵活性和变形技巧.因此，“定侦”条件
决定着均值不等式应用的可行性，这是解题成败的关键.
[真题1](2020·浙江)已知a≥0，b≥0，且a十b=2,则
[真题3](2022·重庆)已知x>0,y>0,x+2y+2.xy=
r
8,则x+2y的最小值是
Aab≤号
Bb≥号
.
B.4
C.a2十b2≥2
D.a3+b2≤3
c
号
[解析]考查不等式的性质.由ab≤
a+b
2
=1,排除选
[解析]由x+2y+2xy=8可得2xy=8-(x+2y),又"
项A和B:又由a2十b2=(a十b)2一2ab≥22一2=2，得C,同时
2y≤(2)8-(+2t2》,◆+2y=,整
4
·298·当m≥2时，号T.-是+多+
1
3
5
2(i+j)
2(i+j)
=1
√4-1+√4-1√4i平+√4
0
故不存在。
①-②，得
第十三章
不等式
1
1
2n-1
2
2u+1
§13.1不等关系与不等式
五年高考母题原型训练
Tw=1
1-2
2n-1
1
2n-1
1,A【解析】本题解题思路是根据充分必要条
=3
2"
2n-2
20
件定义加以别定，由x>0得引x>0:但反过来，由x>
0不能得出x>0,也可能x<0.综上所述，“x>0”是“|x
<3.
|>0”的充分不必要条件，选A
17.解：(1)由f(x)=2n√/1+x2-x,
2.A【解析】考查充要条件的判定.a>0,
得f'(x)=
2nx
-1.
b>0→ab>0,但ab>0不能得到，∴.a>0,b>0.故
wW/1十x
选A.
1
令f(x)=0,得x=
3,C【解析】由于选择题题型的特殊性，对有
w/4n2-1
些比较复杂的題目，在解决时不一定非按部就班地按
时，f'(x)<0:
解答题的方法进行，而是常应用一些特殊方法，如辚
除法、特殊值检验法等解决，以简化过程，节省时间.
本题就可以用特例法：不妨令a=1,b=0,则有a一b
|=1>0,符合题意.而此时b-a=一1<0，A错：a3十
.f(x)在x=
4
时取得最小
b3=1>0,B错a2-b2=1>0,D错.故答案为C
4.A【解析】设x=log1+a)(1一a),y=
值√4n2-1,
log1-(1十a),则x<0,y<0,且xy=1,x≠y..x
∴.an=√/4n2-1.
|+|y|>2√xyT=2,故进A.
2012一2013高考题源拓展测试
1.D2.D3.C4.C5.D6.A7.D
+叶
1
8.D
[-)+(传-）++(】
9.11
a-b a
10.[1,7]
-(-十)分
11.
aa+n、b十m、b
bb十na十ma
12.②④
13.解：先令a=0得b=1,c=5.可推测c≥b
(3)不存在.假设存在两点A:,A,满足题意，即
≥a,
kA:=1,令x=2ny=a,则y=√x2-1(x≥2)，
下面有目的地作比较：
点(x,y)在曲线x2y2=1(x≥2，y≥1)上，而双曲
c-b=a2-4a十4=(a-2)2≥0.
线的一条渐近线方程为y=x,其斜率为1，A:、A,在
则c≥b.由已知条件得b=1+a2.
双曲线上，故kAA>1矛盾.
另解：不存在，设A:(2i,a,),A,(2j,a;),(其中
6-a=1+a2-a=a2-a+1=(a-2）》
i,j∈N),
则山一号=二可
370
4
2(i-j)
b>a,a,b,c间的关系为c≥b>a.
4(2-j)
14.解：ab-(a十b)=(a-1)(b-1)-1,
2(i-j)(√4-1+√4j-1)
又a>2,b>2,.a-1>1,b-1>1.
·162·

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