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第十章 平面向量
§10.1 平面向量的加法、减法和实数与向量的积
考纲·题型解读
1.了解向量的实际背景;理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义;理解向量的几何表示.
2.掌握向量加、减法的运算,并理解其几何意义,掌握向量数乘的运算,并理解其几何意义,以及两个向量共线的含义.
3.了解平面向量的基本定理及其意义;掌握平面向量的正交分解及其坐标表示,会用坐标表示平面向量的加法、减法与数
乘的运算,理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
4.从近几年的高考题看,小题考查平面向量的基础知识,大题则以向量知识为背景,与三角函数、数列、平面几何、解析几何
等知识相结合的综合问题.平面向量的坐标运算法则是运算的关键,是高考考查的一个重点内容,通过坐标运算可将几何问题
转化为代数问题,可以解决平面几何、解析几何的一些问题,突出对数形结合思想的考查.
[真题1] (2022·湖北)已知△ABC 和点 M 满足M→A+
题源1 向量的线性运算 M→B+M→C=0.若存在实数 m 使得A→B+A→C=mA→M成立,则 m
等于 ( )
解题模型
A.2 B.3
1.加法运算 C.4 D.5
加法法则(图1):①三角形法则;②平行四边形法则. [解析] 由M→A+M→B+M→C=0易得 M 是△ABC 的重心,
向量加法的三角形法则可简记为“作平移,首尾连”. 且重心 M 分中线AECE 在边BC 上比AM∶ME=2∶1,∴A→B
+A→C=2A→ → 2m· →, 2mE=mAM= 3 AE ∴ 3 =2∴m=3.
[点评] M→A+M→B+M→C=0.A→B+A→C=2A→E,AM∶ME
=2∶1.这些是三角形应记住的性质.
[真题2] (2021·山东)设P 是△ABC 所在平面内的一
2.减法运算 点,B→C+B→A=2B→P,则 ( )
A.P→A+P→B=0
B.P→C+P→A=0
C.P→B+P→C=0
D.P→A+P→B+P→C=0
3.实数与向量的积 [解析] 本题考查平面向量的线性运算,可结合图形数形
() → → →1 定义:实数λ 与向量a 的积是一个向量,记作λa, 结合解答.据已知BC+BA=2BP,可得点 P 为线段AC 的中
: 点,故有P→C+P→它的长度与方向规定如下 A=0.选B.
①|λa|=|λ||a|; [真题3] (2021·广东)一质点受到平面上的三个力F1,
②当λ>0时,λa 的方向与a 的方向相同;当λ<0时; F2,F3(单位:牛顿)的作用而处于平衡状态.已知F1,F2 成60°
λa 的方向与a 的方向相反;当λ=0时,λa=0. 角,且F1,F2 的大小分别为2和4,则F3 的大小为 ( )
(2)实数与向量积的运算律: A.27 B.25
实数与向量的积有如下运算律:(以下λ、μ 均为实数) C.2 D.6
①结合律:λ(μa)=(λμ)a; [解析] F1,F2 两力的合力为F=
②第一分配律:(λ+μ)a=λa+μa; 2 2 ,选
③第二分配律:λ( )
2+4+2×2×4×cos60°=27 A.
a+b =λa+λb.
【注意】 有了上述运算律,向量的线性运算(加、减、 [真题4] (2021·天津)若等边△ABC 的边长为23,平
乘)就可以类似于实数的运算一样进行. 1 2面内一点 M 满足C→M= C→B+ C→A,则M→A·6 3 M
→B= .
[解析] 本题考查向量的概念及运算,M→A·M→B=(C→A-
·229·
C→M)·(C→ 1 1B-C→M)=( C→A- C→ 5 → 2 A.
(-2, ))( -4 B.
(-3,-5)
3 6 B 6CB- C
→
3 A
)=-2.
C.(3,5) D.(2,4)
[真题5] (2021·安徽)在平行四边形ABCD 中,E 和F [解析] → → →
→ → → BD=AD-AB=B
→C-A→B=(A→C-A→B)-A→B=
分别是边CD 和BC 的中点.若AC=λAE+μAF,其中λ,μ∈R, A→C-2A→B=(1,3)-(4,8)=(-3,-5),故应选B.
则λ+μ= . [真题9] (2019·宁海)已知平面向量a=(1,1),b=
[解析] 本题主要考查平面向量基本定理、向 量 的 加、减
(, ), 1 31 -1 则向量1 1 2a-2b
等于 ( )
法.因为A→F=A→B+ A→D,→2 AE=A
→D+2A
→B,
A.(-2,-1) B.(-2,1)
→ 4 → 2所以AB= →,→ C.(-1,0) D.(-1,2)3AF- 3AE AD= 1 3 1
4 → 2AE- A→
[解析] 本题考查向量的坐标运算知识. ( ,
F 2
a-2b= 2
3 3 1 3 3
→ → → 2 2所以AC=AB+AD= A→E+ A→ 4
) ( , ) ( ,)选
F,故λ+μ= . 2
- 2 -2 = -12 . D.
3 3 3 [真题10] (2021·湖北)已知P={a|a=(1,0)+m(0,
[真题6] (2022·山 东)定义平面向量之间的一种运算 1),m∈R},Q={b|b=(1,1)+n(-1,1),n∈R}是两个向量集
“☉”如下:对任意的a=(m,n),b=(p,q),令a☉b=mq-np. 合,则P∩Q= ( )
下面说法错误的是 ( ) A.{(1,1)} B.{(-1,1)}
A.若a与b共线,则a☉b=0 C.{(1,0)} D.{(0,1)}
B.a☉b=b☉a [解析] P={(1,m)},Q={(1-n,1+n)},应有1=1-n,
C.对任意的λ∈R,有(λa)☉b=λ(a☉b) m=1+n,解得m=1,n=0,P∩Q={(1,1)}.选A.
D.(a☉b)2+(a·b)2=|a|2|b|2 [真题11] (2021·天津)在四边形ABCD 中,A→B=D→C=
[解析] A项,a 与b共线,则 λ∈R使得a=λb则有m=
1 1 3
λp,n=λq,a☉b=λpq-λpq=0;B项,
→ → →
b☉a=np-mq=-(a (1,1), → BA+ → BC= BD,则四边形ABCD 的面|BA| |BC| |B→D|
☉b);C项,(λa)☉b=(λm,λn)☉(p,q)=λmq-λnp=λ(mq- 积为 .
np)=λ(a☉b);D项,(a☉b)2+(a·b)2=(mq-np)2+ (mp [解析] 本题考查向量的概念、运算及平行四边形的面积
+nq)2=m2q2+n2p2+m2p2+n2q2=(m2+n2)(p2+q2)=|a 公式.由已知A→B=D→C=(1,1)得四边形 ABCD 为平行四边形,
|2·
2 又得出平行四边形ABCD 为菱形,且锐角为60°,边长为 2,所|b|.
以四边形ABCD 的面积为 2· 2sin60°= 3.
题源2 平面向量的坐标表示
题源3 共线定理
解题模型
解题模型
1.平面向量的坐标表示的定义
在平面中建立直角坐标系,以与x 轴、y 轴方向相同 1.向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有
的两个单位向量i,j 为基底,则平面中任意向量a 可表示 一个实数λ,使得b=λa.
为xi+yj(x,y∈R),记作a=(x,y),我们称(x,y)为向 向量共线的充要条件是由实数与向量的积推出的.
量a 的坐标,a=(x,y)叫做向量的坐标表示. 向量共线也称向量平行,它与直线平行有区别.直线平
2.平面向量的坐标运算 行不包括共 线(即 重 合)的 情 况,而 向 量 平 行 则 包 括 共 线
设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),λ∈R,则有a+b= (即重合)的情况.
(x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,y1+y2);a-b=(x ,y 2.设a=(x1,y1),b=(x2,y2)且b≠0.则a∥b 1 1)
-(x2,y2)=(x1-x2,y1-y2);λa=λ(x1,y )=(λx x1y2-x2y1=0.1 1,
λy ). 向量共线定理的坐标表示可以用于解决向量共线问1
题及平面几何一些证明问题.
[真题7] (2020·辽宁)已知四边形 ABCD 的三个顶点
A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且B→C=2A→D,则顶点D 的坐标为 [真题12] (2021·湖南)对于非零向量a,b,“a+b=0”是
( ) “a∥b”的 ( )
7 A.充分不必要条件A.(2,2 ) B.( , 12 -2 ) B.必要不充分条件
C.(3,2) D.(1,3) C.充分必要条件
[解析] 由已知条件可得2(O→D-O→A)=O→C-O→B,化简可 D.既不充分也不必要条件
→ 1 → → → [解析] 由a+b=0,可得a=-b,即得a∥b,但a∥b,不得OD= (2OA+OC-OB)=( 72 2, ),故应选2 A. 一定有a=-b,所以“a+b=0”是“a∥b”的充分不必要条件.
[真题8] (2020·安徽)在平行四边形ABCD 中,AC 为一 选A.
条对角线.若A→B=(2,4),A→C=(1,3),则B→D= ( ) [真题13] (2010·陕西)已知向量a=(2,-1),b(-1,
·230·
m),c=(-1,2),若(a+b)∥c,则m= . [解析] (Ⅰ)因 为a∥b,所 以2sinθ=cosθ-2sinθ,于 是
[解析] a+b=(1,m-1),c=(-1,2),又∵(a+b)∥c, 1
4sinθ=cosθ,故tanθ=4.∴1-m=2.
(Ⅱ)由|a|=|b|知,sin2∴m=-1. θ+(cosθ-2sinθ)
2=5,
[点评] 熟记向量共线的等价条件记混,即a=(x ,y ), 所以1 1 1-2sin2θ+4sin
2θ=5.
b=(x ,y ),a∥b xy =xy . 从而-2sin2θ+2(1-cos2θ)2 2 1 2 2 1 =4,即sin2θ+cos2θ=-1,
[真题14] (2021·辽宁)在平面直角坐标系xOy 中,四边 π 2于是sin(2θ+ )=- .
形ABCD 的边AB∥DC,AD∥BC.已知点A(-2,0),B(6,8), 4 2
C(8,6),则D 点的坐标为 . π π 9π又由0<θ<π知, <2θ+ < ,
[解析] 设D(x,y)可知A→B=(8,8),D→C=(8-x,6-y), 4 4 4
A→D=(x+2,y),B→C=(2,-2),因为AB∥DC,AD∥BC,由向 , π 5π π 7π所以 2θ+4= ,或4 2θ+ =( ) ( ) 4 4
.
86-y =88-x x=0
量的 共 线 条 件 可 得 { ,解 得 ,所 以2( π 3πx+2)=-2y {y=-2 因此θ= ,或2 θ=4.
D (0,-2). [真题17] (2022·江苏)在平面直角坐标系xOy 中,已知
[真题15] (2018·北京)若三点A(2,2),B(a,0),C(0,b) 点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1).
( 1 1ab≠0)共线,则 的值等于 (1)求以线段AB、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线a+b .
的长;
[解析] A,B,C 三点共线,即A→B与A→C共线,A→B=(a-2,
→ (2)设实数t满足(A→), ( , B-tO
→C)·O→C=0,求t的值.
-2 AC= -2b-2), [解析] (1)由题设知A→B=(3,5),A→C=(( )( -1,1),则∴ a-2 b-2)=(-2)·(-2),
A→B+A→C=(2,6),A→B-A→C=(4,4).
∴2(1 1a+b ) 1 1=1,即a+b=2. 所以|A→B+A→C|=2 10,|A→B-A→C|=42.
故所求的两条对角线长分别为42,2 10.
题源4 平面向量的综合运用 (2)由题设知O→C=(-2,-1),A→B-tO→C=(3+2t,5+t).
[真题 16] (2021· 湖 南)已 知 向 量 a=(sinθ,cosθ- 由(A→B-tO→C)·O→C=0,得(3+2t,5+t)·(-2,-1)=0,
2sinθ),b=(1,2). 11从而5t=-11,所以t=- .
(Ⅰ)若a∥b,求tanθ的值; 5
(Ⅱ)若|a|=|b|,0<θ<π,求θ的值.
(★代表高考出现的频次)
( ) ∠ACB.若C
→B=a,C→A=b,|a|=1,|b|=2,则C→D= ( )
题源1 向量的线性运算 ★★★★ 1 2 2 1
A. a+ b B. a+ b
1.(2020·全Ⅰ)在△ABC 中,A→B=c,A→C=b.若点D 满足 3 3 3 3
B→D=2D→C,则A→D等于 ( ) 3 4 4 3C. 5a+5b D. 5a+5b
2 1 5 2
A.3b+3c B.3c-3b 5.(2020·辽宁)已知O、A、B 是平面上的三个点,直线AB
2 1 1 2 上有一点C,满足2A
→C+C→B=0,则O→C等于 ( )
C.3b-3c D.3b+3c A.2O
→A-O→B
2.(2021· 湖 南)如图,D,E,F 分别是△ABC 的边AB, B.-O→A+2O→B
BC,CA 的中点,则 ( ) 2 → 1 →
A.A→D+B→ →
C.
E+CF=0 3
OA-3OB
B.B→D-C→F+D→F=0 1 2D.- O→A+ O→B
C.A→D+C→E-C→F=0 3 3
→ → → 6.(2019·安徽)在四面体 O-ABC 中,O→A=a,O→B=b,D.BD-BE-FC=0 →
3.(2019·北京)已知O 是△ABC 所在平面内一点,D 为 OC=c,D 为BC 的中点,E 为AD 的中点,则O
→E= (用
BC 边中点,且2O→A+O→B+O→C=0,那么 ( ) a,b,c表示).
A.A→O=O→D 题源2 平面向量的坐标运算(★★★★★)
B.A→O=2O→D
C.A→O=3O→D 7.(2020·四川)设平面向量a=(3,5),b=(-2,1),则a-
D.2A→O=O→D 2b等于 ( )
4.(2022·全国Ⅱ)△ABC 中,点 D 在边AB 上,CD 平分 A.(7,3) B.(7,7)
·231·
C.(1,7) D.(1,3) 7),若(a-c)∥b,则k= .
8.(2021·广东)已知平面向量a=(x,1),b=(-x,x2),向 17.(2020·全国Ⅱ)设向量a=(1,2),b=(2,3),若向量λa
量a+b ( ) +b与向量c=(-4,-7)共线,则λ= .
A.平行于x 轴 18.(2020·浙 江)已知a>0,若平面内三点 A(1,-a),
B.平行于第一、三象限的角平分线 B(2,a2),C(3,a3)共线,则a= .
C.平行于y 轴 题源 平面向量的综合运用( )
D.平行于第二、四象限的角平分线 4 ★★★★★
9.(2018·山东)设向量a=(1,-3),b=(-2,4),c=(- 19.(2019·天津)设两个向量a=(λ+2,λ2-cos2α)和b=
1,-2).若表示向量4a、4b-2c、2(a-c)、d 的有向线段首尾相 ( ,mm +sinα),其中λ,m,α为实数.若a=2b, λ则 的取值范围是接能构成四边形,则向量d为 ( ) 2 m
A.(2,6) B.(-2,6) ( )
C.(2,-6) D.(-2,-6) A.[-6,1] B.[4,8]
10.(2020·宁海)已知平面向量a=(1,-3),b=(4,-2), C.[-∞,1] D.[-1,6]
λa+b与a垂直,则λ等于 ( ) x220.(2022·上海)如图所示,直线x=2与双曲线Γ:4-y
2
A.-1 B.1
C.-2 D.2 =1的渐近线交于E1、E
→
2 两点.记OE1=e1,OE→2=e2.任取双曲
线Γ 上的点P,若O→11.(2021·广东)若平面向量a,b满足|a+b|=1,a+b平 P=ae1+be2(a、b∈R),则a、b满足的一个
行于x轴,b=(2,-1),则a= . 等式是 .
12.(2020·湖 南)已知向量a=(1,3),b=(-2,0),则
|a+b|= .
题源3 共线定理(★★★★)
13.(2021·北京)已知向量a,b不共线,c=ka+b(k∈R),
d=a-b.如果c∥d,那么 ( )
A.k=1且c与d同向 21.(2021· 江 苏)设 向 量 a=(4cosα,sinα),b=(sinβ,
B.k=1且c与d反向 4cosβ),c=(cosβ,-4sinβ).
C.k=-1且c与d同向 (1)若a与b-2c垂直,求tan(α+β)的值;
D.k=-1且c与d反向 (2)求|b+c|的最大值;
14.(2018·山东)已知向量a、b,且A→B=a+2b,B→C=-5a (3)若tanαtanβ=16,求证:
+6b,C→
a∥b.
D=7a-2b,则一定共线的三点是 ( )
A.A、B、D B.A、B、C
C.B、C、D D.A、C、D
15.(2021·重庆)已知向量a=(1,1),b=(2,x).若a+b
与4b-2a平行,则实数x 的值是 ( )
A.-2 B.0
C.1 D.2
16.(2021·江西)已知向量a=(3,1),b=(1,3),c=(k,
2022-2023高考题源拓展测试
未来高考还会这样考
(测试时间:90分钟 总分:100分)
一、选择题(本题包括8小题,每小题2.5分,共20分。每小题 3.( 2.1)若O、E、F 是不共线的任意三点,则以下各式中
只有一个选项符合题意) 成立的是 ( )
1.( 2.3)已知向量a=(3,4),b=(sinα,cosα)且a∥b,则 A.E→F=O→F+O→E B.E→F=O→F-O→E
tanα等于 ( ) C.E→F=-O→F+O→E D.E→F=-O→F-O→E
3 3 4 4 ( )设 、 为不共线向量,→ ,→ ,
A.4 B.-4 C.3 D.-
4. 2.1 ab AB=a+2bBC=-4a-b
3 C→D=-5a-3b,则下列关系式中正确的是 ( )
2.( 2.3)A、B、C、D 四点的坐标依次是(-1,0)、(0,2)、 A.A→D=B→C B.A→D=2B→C
(4,3)、(3,1),则四边形ABCD 为 ( ) C.A→D=-B→C D.A→D=-2B→C
A.正方形 B.矩形 2
C.菱形 D.平行四边形 5.
( 2.3)在△ABC 中,点P 是AB 上一点,且C→P=3C
→A
·232·
1
+ C→B,Q 是BC 中点,AQ 与CP 交点为M,又C→3 M=tC
→P,则
t的值为 ( )
1 2 3 4
A.2 B.3 C.4 D.5
6.( 2.2)已知向量a=(1,0),b=(0,1),c=a+λb(λ∈
R),向量d如图所示.则 ( )
A.存在λ>0,使得向量c与向量d垂直
B.存在λ>0,使得向量c与向量d夹角为60°
C.存在λ<0,使得向量c与向量d夹角为30°
D.存在λ>0,使得向量c与向量d共线
7.( 2.4)已知等差数列{an}的前n 项和为Sn,若O→B=
a →1OA+a O→200 C,且 A、B、C 三点共线(该直线不过点 O),则
S200等于 ( )
A.100 B.101 C.200 D.201
8.( 1.4)设O 为△ABC 的外心,且3O→A+4O→B+5O→C=
0,则△ABC 的内角C 的值为 ( )
π π π π
A.2 B.3 C.4 D.6
二、填空题(本题包括4小题,每小题5分,共20分)
9.( 1.1)向量a与b满足|a|=2,|a+b|=3,|a-b|=3,
则|b|= .
10.( 1.2)已知a=A→B,B(1,0),b=(-3,4),c=(-1,
1),且a=3b-2c,则点A 的坐标是 .
11.( 1.3)如果向量A→B=i-2j,B→C=i+mj,其中i、j 分
别是x 轴、y 轴正方向上的单位向量,且A、B、C 三点共线,则m
= .
12.( 1.1)点O 在△ABC 内部,且满足O→A+2O→B+2O→C
=0,则△ABC 面积与凹四边形ABOC 的面积之比为 .
三、解答题(本题包括5小题,每小题15分,共60分)
13.( 2.3)已知向量a=2e1-3e2,b=2e1+3e2,其中e1,
e2 不共线,向量c=2e1-9e2,问是否存在这样的实数λ、μ,使向
量d=λa+μb与c共线
·233·
1
14.( 2.2)已知A(2,3)、B(-1,5)且满足A→C= A→,3 B A
→D
=3A→B,A→ 1E=- A→B,求点C、D、E 的坐标4 .
15.( 2.4)在△ABC 中,AB=5,AC=5,BC=6,内角平分
线的交点为O,若A→O=λA→B+ B→μ C,求实数λ与μ的和.
16.( 3.4)如图所示,PQ 过△OAB 的重心G,O→A=a,O→B
=b,O→ 1 1P=ma,O→Q=nb,求证:m+n=3.
·234·2 (π ) 7, 1=1-2cos 4+x =25 +3b,故选B.
sin2x+2sin2x · (π ) 5.A 【解析】 由已知条件可得2(O
→C-O→A)
∴ 1-tanx =sin2x tan 4+x +(O→B-O→C)=0,化 简 可 得O→C=2O→A-O→B,故 应
7 28
=25× ( 4-3 )=-75. 选A. 1 1 1
17. 解:(1)∵C=π-(A+B), 6. a+ b+ c 【解析】 本题主要考查空2 4 4
∴tanC=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B) 间向量,属于综合知识能力的考查.O→E=O→A+A→E=
tanA+tanB
=- , → 1 → → 1(→ →) 1 → 11-tanAtanB OA+2AD=OA+ 2 AO+OD = 2OA+ 4
由已知,tanA+tanB=tanAtanB-1,
(→ →) 1 1 1π OB+OC =2a+4b+4c.所以tanC=1,又∵C∈(0,π),∴C=4. 7.A 【解析】 本题解题思路是根据向量的坐
(2)由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC, 标运算规 则 进 行 计 算.依 题 意 得a-2b=(3,5)-
①当tanAtanB≠1时,变形得 2(-2,1)=(7,3),选A.本题考查向量的坐标运算.
tan(A+B)(1-tanAtanB)=tanC(tanAtanB- 8.C 【解析】 a+b=(0,1+x2),由1+x2≠0
1) 及向量的性质可知,C正确.
∴tan(A+B)=-tanC, 9.D 【解析】 由4a+(4b-2c)+2(a-c)+d
∴A+B=kπ-C(k 为 整 数),即 A+B+C =0得d=(-2,-6).
=kπ, 10.A 【解析】 本题为向量的运算,由λa+b
因为A、B、C∈(0,π),故可以取得 A、B、C 的 与a 垂直,可得(λa+b)·a=0,即λ(a)2+b·a=0
值,使得A+B+C=2π,故该命题为假; 10λ+10=0 λ=-1.本题考查了向量垂直条件的
②若tanAtanB=1,这种情况不可能. 转化以及数量积的运算,属于容易题.
综上,该命题是假命题. 11.(-1,1)或(-3,1) 【解析】 设a=(x,
第十章 平面向量 1),那么a+b=(2+x,0),由|2+x|=1 x=-1或
x=-3.
§10.1 平面向量的加法、减法 12.2 【解析】 本题是向量的模的运算问题,
和实数与向量的积 考查学生对向量的坐标运算及模运算的掌握情况.
五年高考母题原型训练 13.D 【解析】 本题主要考查向量的共线(平
1.A 【解析】 本小题主要考查向量运算的三 行)、向量的加减法.属于基础知识、基本运算的考查.
角形法则. 取a=(1,0),b=(0,1),若k=1,则c=a+b=(1,
→ 2 2由AD=A→B+B→D=A→B+ B→C=A→B+ (A→C 1),d=a-b=(1,-1),显然,c与d 不平行,排除A、3 3
B.若k=-1,则c=b-a=(-1,1),d=a-b=-
-A→B) 2 → 1 2 1=3AC+3A
→B=3b+ ,故选3c A. (-1,1),即c∥d 且c与d 反向,排除C,故选D.
2.A 【解析】 本题考查平面向量的基本知识, 14.A 【解析】 不存在λ 使A
→B=λB→C,B→C=
属于基础知识、基本运算的考查.依次检验各选项,检 λC
→D,∴A、B、C;B、C、D 不共线,所以排除B、C.
→ → → → →
验A选项,由条件知B→E=D→F,C→F=F→A,可得A→D+ ∵AD=AB+BC+CD=3a+6b=3AB,
B→E+C→F=A→D+D→F+F→A=0,选A. ∴A、B、D 共线,选A.
3.A 【解析】 ∵点 D 是BC 的中点,∴O→B+ 15.D 【解析】 本题主要考查向量的坐标运算
O→C=2O→D,∵2O→A+O→B+O→C=0,∴2O→A+2O→D 规则以及两个向量共线的充要条件.依题意得a+b
=0,即得O→A=-O→D,∴A→O=O→D,故应选A. =(3,x+1),4b-2a=(6,4x-2),3(4x-2)=6(x
4.B 【解析】 设a=(1,0),b=(0,2) +1),由此解得x=2,选D.
→ 2 2 2 1 2 16.5 【解析】 由题可知a-c=(3-k,-6),则得CD= ( , )= (1,0)+ (0,2)3 3 3 3 =3a 又由(a-c)∥b 9-3k+6=0 k=5.本题考查向量
·133·
基本运算与基本性质,属于容易题. 2012—2013高考题源拓展测试
17.2 【解析】 由已知条件可得λa+b=(2+ 1.A 2.D 3.B 4.B 5.C 6.D 7. A
λ,3+2λ), 8.C
∵(λa+b)∥c,∴-4(3+2λ)=-7(2+λ),解 9. 5 10.(8,-10)
之得λ=2. 11. -2 12.5∶4
18.1+ 2 【解析】 考查点共线的概念与转化 13. 解:d=λa+μb
能力.A→B=(1,a2+a),A→C=(2,a3+a),由A→B∥ =λ(2e1-3e2)+μ(2e1+3e2)
A→C,得1·(a3+a)-(a2+a)·2=0,∵a>0,∴a= =2(λ+μ)e1+3(μ-λ)e2.
1+ 2. 假设存在实数k使得d=kc,
19.A 【解析】 考查向量运算、三角运算、解不 ∴2(λ+μ)e1+3(μ-λ)e2=2ke1-9ke2.
等式及综合分析解决问题的能力. ∵e1 与e2 不共线,
λ λ+μ=k,
设 , 由 得 ∴
m =x ∴λ=xm. a=2b λ+2=2m. {μ-λ=-3k.
2
∴m= 12-x. ∴λ+μ+ (3 μ-λ
)=0.
∵λ2-cos2α=m+2sinα,∴λ2-m=1-sin2α+ ∴λ+2μ=0.
2sinα=2-(sinα-1)2 故存在满足条件的实数λ、μ使d与c共线.
∵-1≤sinα≤1,∴-2≤λ2-m≤2. 14. 解:设C(xc,yc)、D(xD,yD)、E(xE,yE),
2
又∵m2 2
4x +2x-4
x -m= , ∴A
→C=(xC-2,yC-3),A→B=(-3,2).(2-x)2 → ( ,
4x2+2x-4 ∴AD= xD-2yD-3
).
∴-2≤ ( ,解得2-x)2 ≤2 -6≤x≤1. ∴A→E=(xE-2,yE-3).
1 由条件,得
20.ab= 【解析】 E1(2,1),4 E2
(2,-1),e1
1
=(2,1),e2=(2, ),
( , ) ( ,),
-1 O→P=ae xC-2yyC-3 = -321+be2=(2a+2b,a 3
(
) , 2a+2b
)2 ( , ) ( ,),
-b .∵P 在双曲线上 ∴ -(a-b)2
xD-2 D-3 =3 -32
4 =1
, yy
( , ) 1
1 xE-2yyE-3 =-
(
4 -3
,2),
2ab-(-2ab)=1,ab=4. 从而得
21. 本小题主要考查向量的基本概念,同时考查
, ì 3,
同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和 xC-2=-1 xD-2=-9, xE-2=4
í
的正弦与余弦公式,考查运算和证明的基本能力. { 2y -3= ,{C 3 yD-3=6, 1yE-3=- .
解:(1)因为a与b-2c垂直,所以 2
a·(b-2c)=4cosαsinβ-8cosαcosβ+4sinαcosβ ∴C ( 111,3 )、D(-7,9)、E (11,5 ) .+8sinαsin 4 2β
解:如 图 所 示, , 为 的
=4sin(α+ )-8cos(α+ )=0, 15. AB=AC=5 D BCβ β
中点,
因此tan(α+β)=2.
(2)由b+c=(sinβ+cosβ,4cosβ-4sinβ),得
|b+c|= (sinβ+cosβ)2+(4cosβ-4sinβ)2
= 17-15sin22β≤42.
π
又当β=- 时,等号成立,所以|b+c|的最大4 AB AO 5
由角平分线定理知 ,
值为42. BD=OD=3
() 4cosα sinα AO 53 由tanαtanβ=16得sin =
,所以
β 4cos
a∥b. ∴AD=8.β
·134·
→ 5 → 5 → → 【点评】( ) 数量积的运算和化简易失分.AO=8AD=8 AB+BD 3.D 【解析】 本题是向量的数量积问题,先用
5 1 5 5
= (A→8 B+
→
2BC
)= A→8 B+ B
→C. 116 余弦定理求出cosA= ,再用向量的数量积公式得4
5, 5∴λ= μ= . A→8 16 B·
1 3
A→C=|A→B|·|A→C|·cosA=3·2·4=2.
5 5 15
∴λ+μ= + = . 本题主要考查学生对两个向量的数量积公式的8 16 16
记忆与理解.
16. 证明:证法1:连 OG 并延长至 M,则 M 为
4.2 【解析】, , ∵c-a=
(0,0,1-x),2b=
AB 的中点 因为G 为△OAB 的重心
(2,4,2),(c-a)·(2b)=-2,∴2(1-x)=-2,∴x
2 1 1
∴O→G= O→M= (O→A+O→B)= ( ),3 3 3 a+b =2.
→ → → 1 5.0 【解析】 b·(2a+b)=2a·b+b
2=
又PG =OG -OP = (a +b)3 -ma = 2|a|·|b|cos120°+16=0,考查向量的运算,属于容
(1 ) 1 易题, .3-m a+3b 6.3 【解析】 本题考查了向量的数量积公式
→ 1同理QG= a+ (1-n)b. 及其简单应用.由向量a 和向量b 的夹角为30°,|a|3 3
→,→ → → =2,|b|= 3,可得, , a·b=2× 3×cos30°=3.因为PG QG共线 所以PG=λQG
7.3 【解析】 本题考查向量加、减法的运算及
即 (13-m ) 1 λa+3b=3a+ (1-n)λb,3 坐标运算.→ → →
ì1 λ ∵AC=AD+AB=
(1,2),

3-m=
,
3 B→D=A→D-A→B=(-3,2),
í
1 (1 ) ∴2A
→D=(-2,4),∴A→D·A→C=3.此题属于中
3= 3-nλ. 档题目,关键是弄清向量之间的关系和向量的坐标
1 1
所以m+n=3mn,所以m+n=3.
运算.
→ → 8.2 【解析】 本题主要考查平面向量的数量证法2:∵OP=ma,OQ=nb, 积与向量和的几何意义,灵活性大.在O→C=xO→A+
→ 2 1 1OG= → (→ →) ( ),3OM=3 OA+OB =3 a+b yO→B两边分 别 作 数 量 积 得, 1x- 2y=O
→A·O→C和
又∵P、Q、G 三点共线,
1
∴存在实数α、β,使O
→G=α·O→P+β·O→Q, -2x+y=O
→B·O→C相加得,x+y=2(O→A+O→B)
且α+β=1, O→C=2O→D·O→C=2cos,其中|O→D|=1.因
1 1 1
∴ (a+b)=αma+βnb α= ,β= , 此x+y 的最大值为2.3 3m 3n
9. 解法一:依定义f(x)=x2(1-x)+t(x+1)
1 1 1 1
∴ + =1 + =3. =-x3+x2+tx+t,则f'(x)=-3x23m 3n m n +2x+t.
§10.2 平面向量的数量积 若f(x)在(-1,1)上是增函数,则在(-1,1)上
五年高考母题原型训练 可设f'(x)≥0.
2
1.C 【解析】 ∵a=(1,-2),b=(-3,4),c= ∴f'(x)≥0 t≥3x -2x 在区间(-1,1)上恒
(3,2), 成立.
∴(a+2b)·c=(1-6,-2+8)·(3,2)=-15 考虑函数g(x)=3x
2-2x,由于g(x)的图象是
+12=-3,故应选C. 1对称轴为x= ,开口向上的抛物线,故要使t≥3x23
【 】 12. C 解析 S = → →△OAB 2|OA||OB|sin -2x 在区间(-1,1)上恒成立 t≥g(-1),即t≥5.
1 而当t≥5,f'(x)在(-1,1)上满足f'(x)>0,
∠AOB=2 |a|
2|b|2-(a·b)2,故选C. 即f(x)在(-1,1)上是增函数.
·135·
故t的取值范围是t≥5. 1
解法二:依定义 (x)=x2(1-x)+t(x+1)= = 1+4+4× = 7.f 2
-x3+x2+tx+t, 15.82 【解析】 |c|=|a-(a·b)b|
f'(x)=-3x2+2x+t. =|(2,4)-[(2,4)·(-1,2)](-1,2)|
若f(x)在(-1,1)上是增函数,则在(-1,1)上 =|(2,4)-6(-1,2)|=|(2,4)-(-6,12)|
可设f'(x)≥0. =|(8,-8)|= 82+(-8)2=82.
∵f'(x)的图象是开口向下的抛物线, 16.3 【解析】 本题考查了空间向量的运算,
∴当且仅当f'(1)=t-1≥0,且f'(-1)=t-5 |λa+b|2=29 λ2a2+b2+2λa·b=29 λ2-λ-6
≥0时, =0 λ=3(λ=-2舍去).
f'(x)在(-1,1)上满足f'(x)>0,即f(x)在 本题只要熟悉空间向量模长的基本计算方法即
(-1,1)上是增函数.故t的取值范围是t≥5. 可,属于容易题.
sinC
10. 解:(1)∵tanC=37,∴ =37. 17. -2 【解析】 ∵BC 中点为M,O→B+O→C=cosC
2O→M,O→A·(2O→M)=2·|O→A|·|O→M|·2 2 , cos180°=又∵sinC+cosC=1
-2|O→A|·|O→M|.
1
解得cosC=± . 又∵|O→8 A|+|O
→M|=2为常数,
∵tanC>0,∴C 是锐角. ∴由均值定理,当|O
→A|=|O→M|=1时,
1 2|O
→A|·|O→M|=2为最大值.
∴cosC=8. ∴-2|O→A|·|O→M|=-2为最小值.
() →· → 5, 18. ②
【解析】 向量有关概念和运算的判断,
2 ∵CB CA=2 逐一进行验证,对于①向量不满足消去律,错;对于②
5
∴abcosC= , 两向量平行的坐标表示正确
;对于③在加减法构成的
2
∴ab=20. 平行四边形中,
π
由几何意义可得到所求角为 ,错;
6
又∵a+b=9, 则正确的命题为②.
∴a2+2ab+b2=81. 19.B 【解析】 |a|=|b|=|c|,a+b=c,(a
∴a2+b2=41. +b)2=c2,a2+2a·b=0,|a|=-2|b|·cos∴c2=a2+b2-2abcosC=36.
>, 1b cos=- ,2 =120°.
本题属于中档题,
∴c=6.
11.C 【解析】 |a+b|= 32+(2+k)2 = 考查向量模、夹角、运算等知识.
20.A 【解析】 ∵(λa+b) (2 , ⊥ a-2b
),∴(λa
k +4k+13≤5 解得-6≤k≤2.
)·(
【 】 2 +b a-2b
)=λa2+(1-2λ)a·b-2b2=13λ+3
12.C 解析 ∵|a+b|=|b| |a+b| =
1
|b|2 a2+2a·b+b2=b2 a2=-2a·b, (1-2λ)-2=7λ+1=0,解之得λ=- ,故应选7 A.
∴|2b|>|a+2b| |2b|2>|a+2b|2 4b2>
2 · 2 2 ( ), 21. B
【解析】 |2a-b|= (2a-b)2 =
a +4a b+4b -a <0 恒成立 故选C.
2 2
13.B 【解析】 本题考查向量的求模运算和数 4a -4a·b+b = 4×1
2-4×0+22=22.
22.C 【解析】 ∵B→C2=16,∴|B→量积运算.因为a=(2,0),|b|=1,所以|a|=2,a·b C|=4,又
|A→B+A→C|=|A→ → → →=2×1×cos60°=1,故|a+2b|= B-AC|,∴AB·AC=0.∵M 为
2 · 2 1 1a +5×a b+4b =23. BC 的中点,∴|A→M|= |B→ ,故选2 C|=2×4=2 C.
14. 7 【解析】 |a+b|= (a+b)2 23.B 【解析】 本题主要考查向量的模、数量
= |a|2+|b|2+2a·b 积为0的意义,直角三角形的内切圆知识.考查利用
π 运动观点处理数学问题的能力.因为半径为1的圆正
= |a|2+|b|2+2|a|·|b|cos3 是这个直角三角形的内切圆,所以移动此圆可知,所
·136·
求公共点个数最多为4个,选B. 13,|a+b|= 13.
24. 3 【解 析】 |a-b|= (a-b)2 = () 1 13 S△ABC = |A→B||A→C|sinθ= ×4×
a2+b2-2a·b= 12+22-2×1×2cos60°= 3. 2 2
25.0 【解析】 由题可知a-c=(3-k,-1), 3sin120°=33.
又由(a-c)⊥b (a-c)·b=0 (3-k,-1)·(1, 14. 解:(1)若A、B、C 能构成三角形,则这三点
) → →3 =0 k=0,故填0.本题考查向量基本运算与基本 不共线,即AB、AC不共线.
→ →
性质,属于容易题. 又∵AB=(3,1),AC=(2-m,1-m),
π (【 】 a+b
)·(a-b)
26. 解析 由cosθ= ∴3(1-m)≠2-m,
1
解得m≠ .
2 |a+b||a-b| 2
a2-b2 (2)∵∠A 为直角,∴A→B⊥A→C,
=|a+b||a-b|. 7
π ∴3
(2-m)+(1-m)=0,得m= .
法一:求得a2=b2=1故上式=0所以θ=2.
4
: 解:()
C C , C
法二 分别求出a+b和a-b , ,代入上式可得. 15. 1 ∵m= (cos2 sin2 ) n= (cos2
【评述】 本题考查同角三角函数关系式及向量 C
-sin ,
的夹角公式. 2 )
27. 本题考查三角函数的图象,已知三角函数值 ∴m·
C C
n=cos2 -sin2 =cosC.
求值,向量夹角的计算等基础知识和基本运算能力. 2 2
解:(1)因为函数图象过点(0,1),所以2sinφ=1, · π π 1又∵m n=|m||n|cos3=cos =
,
1 π π 3 2
即sinφ= 因为 ,所以2. 0≤φ≤2 φ=6. 1∴cosC= ,
π
2 ∴C=3.
(2)由 函 数 y=2sin ( ππx+ ) 及 其 图 象,得6 () 2 2 2 , 7, 12 ∵c =a +b -2abcosCc=2 cosC= ,2
M ( 1- ,0),6 P (1, 53 2),N ( , ,6 0) 49∴ =a2+b2-ab=(a+b)2-3ab.
所以P→M= ( 1, ),P→N= (1- -2 ,-2) 4,从而2 2 1 1 · 3 33,
<→,→> P
→M·P→N 15 ∵S=2absinC=2ab 2= 2 ∴ab=6.
cosPM PN = → = ,|PM|·|P→N| 17
∴(a+b)2
49 49 121
= +3ab= +18= ,
<→,→> 15 4 4 4故 PM PN =arccos17. 11
— ∴a+b= .2012 2013高考题源拓展测试 2
1.C 2.C 3.C 4.D 5.B 6.A 7.B 16. 解:(1)∵|a|=|b|=|c|=1,且a、b、c之间
8.B 的夹角均为120°.
9. 7 10. -25 ∴(a-b)·c
1 23 =a
·c-b·c=|a||c|cos120°-|b||c|cos120°
11. 2 12. 3 =0,∴(a-b)⊥c.
13. 解:(1)由(2a-3b)·(2a+b)=61得 (2)∵|ka+b+c|>1,
4a2-4a·b-3b2=61. ∴|ka+b+c|2>1,
又∵|a|=4,|b|=3, ∴(ka+b+c)·(ka+b+c)>1,
∴a·b=-6,设夹角为θ,则 ∴k2a·a+b·b+c·c+2ka·b+2ka·c+2b
a·b -6 1 ·c>1,
cosθ=|a||b|=12=-2.
∵a·b=a· ·
1
c=b c=cos120°=- ,
∴θ=120°. 2
(2)|a+b|2=a2+2a·b+b2=16-12+9= ∴k2-2k>0,
·137·
∴k<0或k>2. 4.1 【解析】 由A+C=2B 易得B=60°,而
由正弦定理易求出 的值
17. 解:(1)a-tb=m [ 1( ), , sinC .a-3 a+b ] m∈R π
5. 【解析】 由sinB+cosB= 2,可 得
化简整理得 (2m m3 -1)a= (3-t)b, 6π π asinB
∵a,b为不共线的非零向量, sin(B+4 )=1,B= ,由正弦定理,4 sinA= b
ì2m , ì 3, 1 π
3 -1=0 m=2 = ,又∵a∴ í 解之得 í 2 6
m , 1, 3
3-t=0 t=2 6. 【解析】 考查正弦定理与三角形中的三3
1
∴当t= 时,三向量的终点在一直线上. 角函数化简求值.2
(2)|a-tb|2=(a-tb)2=|a|2-2ta·b+|tb|2 结合 正 弦 定 理,因 为 (3sinB -sinC)cosA
=|a|2+|tb|2-2t|a||b|cos60° =sinAcosC,
=(1-t+t2)|a|2 ∴ 3sinBcosA=sin(A+C),
2
= [ ( 1t- ) 3+ ]|a|2, ∵A+C=π-B,∴ 3sinBcosA=sinB,2 4
3
1 3 ∴cosA= .
∴当t= 时,2 |a-tb|
有最小值 |a|. 32 7. 解:(1)因为∠BCD=90°+60°=150°,CB=
第十一章 解三角形 AC=CD,
所以∠CBE=15°.
§11.1 正弦定理和余弦定理
6+ 2
五年高考母题原型训练 所以cos∠CBE=cos(45°-30°)= 4 .
1.D 【解析】 正弦定理的两次使用解斜三角 (2)在△ABE 中,AB=2,
形,2 6 1 π π a
sinC= sinC= C=
, AE 2
3 2 6
A=6 1 = 由正弦定理 ,sin(45°-15°)=sin(90°+15°)
2 2 1
2sin30° 2×6 2
a= 2,选D. 故AE=cos15°= = 6- 2.3 6+ 2
2 4
2.C 【解析】 本题考查正弦定理,
a A+B C C
∵ = 8. 解:由tan 2 +tan2 =4
得cot +
sinA 2
b C, 2 3
sinB ∴
tan =4,
sinA=sin60°. 2
2 1
∴sinA= 化简得 =4.2. C Csin2cos2
又∵a1
本题要注意选项 A为陷阱,三角形中大边应对 所以sinC= ,又 (,),2 C∈ 0π
大角. π 5π
3.B 【解析】 本题解题思路是结合题意,围绕 即C= ,或6 C=
,
6
着正弦定理得出相关的边角关系,从而得以求解.由 A
由sinBsinC=cos2 得,
a 5 sinA sin2B , 5 2题意得
b =2=sinB=sinB =2cosB cosB=
,
4 1
B. sinBsinC=
[1-cos(B+C)]
选 2
本题考查三角形的边角关系———正弦定理. 即cos(B-C)=1,
·138·

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