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2 (π ) 7, 1=1-2cos 4+x =25 +3b,故选B.
sin2x+2sin2x · (π ) 5.A 【解析】 由已知条件可得2(O
→C-O→A)
∴ 1-tanx =sin2x tan 4+x +(O→B-O→C)=0,化 简 可 得O→C=2O→A-O→B,故 应
7 28
=25× ( 4-3 )=-75. 选A. 1 1 1
17. 解:(1)∵C=π-(A+B), 6. a+ b+ c 【解析】 本题主要考查空2 4 4
∴tanC=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B) 间向量,属于综合知识能力的考查.O→E=O→A+A→E=
tanA+tanB
=- , → 1 → → 1(→ →) 1 → 11-tanAtanB OA+2AD=OA+ 2 AO+OD = 2OA+ 4
由已知,tanA+tanB=tanAtanB-1,
(→ →) 1 1 1π OB+OC =2a+4b+4c.所以tanC=1,又∵C∈(0,π),∴C=4. 7.A 【解析】 本题解题思路是根据向量的坐
(2)由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC, 标运算规 则 进 行 计 算.依 题 意 得a-2b=(3,5)-
①当tanAtanB≠1时,变形得 2(-2,1)=(7,3),选A.本题考查向量的坐标运算.
tan(A+B)(1-tanAtanB)=tanC(tanAtanB- 8.C 【解析】 a+b=(0,1+x2),由1+x2≠0
1) 及向量的性质可知,C正确.
∴tan(A+B)=-tanC, 9.D 【解析】 由4a+(4b-2c)+2(a-c)+d
∴A+B=kπ-C(k 为 整 数),即 A+B+C =0得d=(-2,-6).
=kπ, 10.A 【解析】 本题为向量的运算,由λa+b
因为A、B、C∈(0,π),故可以取得 A、B、C 的 与a 垂直,可得(λa+b)·a=0,即λ(a)2+b·a=0
值,使得A+B+C=2π,故该命题为假; 10λ+10=0 λ=-1.本题考查了向量垂直条件的
②若tanAtanB=1,这种情况不可能. 转化以及数量积的运算,属于容易题.
综上,该命题是假命题. 11.(-1,1)或(-3,1) 【解析】 设a=(x,
第十章 平面向量 1),那么a+b=(2+x,0),由|2+x|=1 x=-1或
x=-3.
§10.1 平面向量的加法、减法 12.2 【解析】 本题是向量的模的运算问题,
和实数与向量的积 考查学生对向量的坐标运算及模运算的掌握情况.
五年高考母题原型训练 13.D 【解析】 本题主要考查向量的共线(平
1.A 【解析】 本小题主要考查向量运算的三 行)、向量的加减法.属于基础知识、基本运算的考查.
角形法则. 取a=(1,0),b=(0,1),若k=1,则c=a+b=(1,
→ 2 2由AD=A→B+B→D=A→B+ B→C=A→B+ (A→C 1),d=a-b=(1,-1),显然,c与d 不平行,排除A、3 3
B.若k=-1,则c=b-a=(-1,1),d=a-b=-
-A→B) 2 → 1 2 1=3AC+3A
→B=3b+ ,故选3c A. (-1,1),即c∥d 且c与d 反向,排除C,故选D.
2.A 【解析】 本题考查平面向量的基本知识, 14.A 【解析】 不存在λ 使A
→B=λB→C,B→C=
属于基础知识、基本运算的考查.依次检验各选项,检 λC
→D,∴A、B、C;B、C、D 不共线,所以排除B、C.
→ → → → →
验A选项,由条件知B→E=D→F,C→F=F→A,可得A→D+ ∵AD=AB+BC+CD=3a+6b=3AB,
B→E+C→F=A→D+D→F+F→A=0,选A. ∴A、B、D 共线,选A.
3.A 【解析】 ∵点 D 是BC 的中点,∴O→B+ 15.D 【解析】 本题主要考查向量的坐标运算
O→C=2O→D,∵2O→A+O→B+O→C=0,∴2O→A+2O→D 规则以及两个向量共线的充要条件.依题意得a+b
=0,即得O→A=-O→D,∴A→O=O→D,故应选A. =(3,x+1),4b-2a=(6,4x-2),3(4x-2)=6(x
4.B 【解析】 设a=(1,0),b=(0,2) +1),由此解得x=2,选D.
→ 2 2 2 1 2 16.5 【解析】 由题可知a-c=(3-k,-6),则得CD= ( , )= (1,0)+ (0,2)3 3 3 3 =3a 又由(a-c)∥b 9-3k+6=0 k=5.本题考查向量
·133·
基本运算与基本性质,属于容易题. 2012—2013高考题源拓展测试
17.2 【解析】 由已知条件可得λa+b=(2+ 1.A 2.D 3.B 4.B 5.C 6.D 7. A
λ,3+2λ), 8.C
∵(λa+b)∥c,∴-4(3+2λ)=-7(2+λ),解 9. 5 10.(8,-10)
之得λ=2. 11. -2 12.5∶4
18.1+ 2 【解析】 考查点共线的概念与转化 13. 解:d=λa+μb
能力.A→B=(1,a2+a),A→C=(2,a3+a),由A→B∥ =λ(2e1-3e2)+μ(2e1+3e2)
A→C,得1·(a3+a)-(a2+a)·2=0,∵a>0,∴a= =2(λ+μ)e1+3(μ-λ)e2.
1+ 2. 假设存在实数k使得d=kc,
19.A 【解析】 考查向量运算、三角运算、解不 ∴2(λ+μ)e1+3(μ-λ)e2=2ke1-9ke2.
等式及综合分析解决问题的能力. ∵e1 与e2 不共线,
λ λ+μ=k,
设 , 由 得 ∴
m =x ∴λ=xm. a=2b λ+2=2m. {μ-λ=-3k.
2
∴m= 12-x. ∴λ+μ+ (3 μ-λ
)=0.
∵λ2-cos2α=m+2sinα,∴λ2-m=1-sin2α+ ∴λ+2μ=0.
2sinα=2-(sinα-1)2 故存在满足条件的实数λ、μ使d与c共线.
∵-1≤sinα≤1,∴-2≤λ2-m≤2. 14. 解:设C(xc,yc)、D(xD,yD)、E(xE,yE),
2
又∵m2 2
4x +2x-4
x -m= , ∴A
→C=(xC-2,yC-3),A→B=(-3,2).(2-x)2 → ( ,
4x2+2x-4 ∴AD= xD-2yD-3
).
∴-2≤ ( ,解得2-x)2 ≤2 -6≤x≤1. ∴A→E=(xE-2,yE-3).
1 由条件,得
20.ab= 【解析】 E1(2,1),4 E2
(2,-1),e1
1
=(2,1),e2=(2, ),
( , ) ( ,),
-1 O→P=ae xC-2yyC-3 = -321+be2=(2a+2b,a 3
(
) , 2a+2b
)2 ( , ) ( ,),
-b .∵P 在双曲线上 ∴ -(a-b)2
xD-2 D-3 =3 -32
4 =1
, yy
( , ) 1
1 xE-2yyE-3 =-
(
4 -3
,2),
2ab-(-2ab)=1,ab=4. 从而得
21. 本小题主要考查向量的基本概念,同时考查
, ì 3,
同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和 xC-2=-1 xD-2=-9, xE-2=4
í
的正弦与余弦公式,考查运算和证明的基本能力. { 2y -3= ,{C 3 yD-3=6, 1yE-3=- .
解:(1)因为a与b-2c垂直,所以 2
a·(b-2c)=4cosαsinβ-8cosαcosβ+4sinαcosβ ∴C ( 111,3 )、D(-7,9)、E (11,5 ) .+8sinαsin 4 2β
解:如 图 所 示, , 为 的
=4sin(α+ )-8cos(α+ )=0, 15. AB=AC=5 D BCβ β
中点,
因此tan(α+β)=2.
(2)由b+c=(sinβ+cosβ,4cosβ-4sinβ),得
|b+c|= (sinβ+cosβ)2+(4cosβ-4sinβ)2
= 17-15sin22β≤42.
π
又当β=- 时,等号成立,所以|b+c|的最大4 AB AO 5
由角平分线定理知 ,
值为42. BD=OD=3
() 4cosα sinα AO 53 由tanαtanβ=16得sin =
,所以
β 4cos
a∥b. ∴AD=8.β
·134·
→ 5 → 5 → → 【点评】( ) 数量积的运算和化简易失分.AO=8AD=8 AB+BD 3.D 【解析】 本题是向量的数量积问题,先用
5 1 5 5
= (A→8 B+
→
2BC
)= A→8 B+ B
→C. 116 余弦定理求出cosA= ,再用向量的数量积公式得4
5, 5∴λ= μ= . A→8 16 B·
1 3
A→C=|A→B|·|A→C|·cosA=3·2·4=2.
5 5 15
∴λ+μ= + = . 本题主要考查学生对两个向量的数量积公式的8 16 16
记忆与理解.
16. 证明:证法1:连 OG 并延长至 M,则 M 为
4.2 【解析】, , ∵c-a=
(0,0,1-x),2b=
AB 的中点 因为G 为△OAB 的重心
(2,4,2),(c-a)·(2b)=-2,∴2(1-x)=-2,∴x
2 1 1
∴O→G= O→M= (O→A+O→B)= ( ),3 3 3 a+b =2.
→ → → 1 5.0 【解析】 b·(2a+b)=2a·b+b
2=
又PG =OG -OP = (a +b)3 -ma = 2|a|·|b|cos120°+16=0,考查向量的运算,属于容
(1 ) 1 易题, .3-m a+3b 6.3 【解析】 本题考查了向量的数量积公式
→ 1同理QG= a+ (1-n)b. 及其简单应用.由向量a 和向量b 的夹角为30°,|a|3 3
→,→ → → =2,|b|= 3,可得, , a·b=2× 3×cos30°=3.因为PG QG共线 所以PG=λQG
7.3 【解析】 本题考查向量加、减法的运算及
即 (13-m ) 1 λa+3b=3a+ (1-n)λb,3 坐标运算.→ → →
ì1 λ ∵AC=AD+AB=
(1,2),

3-m=
,
3 B→D=A→D-A→B=(-3,2),
í
1 (1 ) ∴2A
→D=(-2,4),∴A→D·A→C=3.此题属于中
3= 3-nλ. 档题目,关键是弄清向量之间的关系和向量的坐标
1 1
所以m+n=3mn,所以m+n=3.
运算.
→ → 8.2 【解析】 本题主要考查平面向量的数量证法2:∵OP=ma,OQ=nb, 积与向量和的几何意义,灵活性大.在O→C=xO→A+
→ 2 1 1OG= → (→ →) ( ),3OM=3 OA+OB =3 a+b yO→B两边分 别 作 数 量 积 得, 1x- 2y=O
→A·O→C和
又∵P、Q、G 三点共线,
1
∴存在实数α、β,使O
→G=α·O→P+β·O→Q, -2x+y=O
→B·O→C相加得,x+y=2(O→A+O→B)
且α+β=1, O→C=2O→D·O→C=2cos,其中|O→D|=1.因
1 1 1
∴ (a+b)=αma+βnb α= ,β= , 此x+y 的最大值为2.3 3m 3n
9. 解法一:依定义f(x)=x2(1-x)+t(x+1)
1 1 1 1
∴ + =1 + =3. =-x3+x2+tx+t,则f'(x)=-3x23m 3n m n +2x+t.
§10.2 平面向量的数量积 若f(x)在(-1,1)上是增函数,则在(-1,1)上
五年高考母题原型训练 可设f'(x)≥0.
2
1.C 【解析】 ∵a=(1,-2),b=(-3,4),c= ∴f'(x)≥0 t≥3x -2x 在区间(-1,1)上恒
(3,2), 成立.
∴(a+2b)·c=(1-6,-2+8)·(3,2)=-15 考虑函数g(x)=3x
2-2x,由于g(x)的图象是
+12=-3,故应选C. 1对称轴为x= ,开口向上的抛物线,故要使t≥3x23
【 】 12. C 解析 S = → →△OAB 2|OA||OB|sin -2x 在区间(-1,1)上恒成立 t≥g(-1),即t≥5.
1 而当t≥5,f'(x)在(-1,1)上满足f'(x)>0,
∠AOB=2 |a|
2|b|2-(a·b)2,故选C. 即f(x)在(-1,1)上是增函数.
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故t的取值范围是t≥5. 1
解法二:依定义 (x)=x2(1-x)+t(x+1)= = 1+4+4× = 7.f 2
-x3+x2+tx+t, 15.82 【解析】 |c|=|a-(a·b)b|
f'(x)=-3x2+2x+t. =|(2,4)-[(2,4)·(-1,2)](-1,2)|
若f(x)在(-1,1)上是增函数,则在(-1,1)上 =|(2,4)-6(-1,2)|=|(2,4)-(-6,12)|
可设f'(x)≥0. =|(8,-8)|= 82+(-8)2=82.
∵f'(x)的图象是开口向下的抛物线, 16.3 【解析】 本题考查了空间向量的运算,
∴当且仅当f'(1)=t-1≥0,且f'(-1)=t-5 |λa+b|2=29 λ2a2+b2+2λa·b=29 λ2-λ-6
≥0时, =0 λ=3(λ=-2舍去).
f'(x)在(-1,1)上满足f'(x)>0,即f(x)在 本题只要熟悉空间向量模长的基本计算方法即
(-1,1)上是增函数.故t的取值范围是t≥5. 可,属于容易题.
sinC
10. 解:(1)∵tanC=37,∴ =37. 17. -2 【解析】 ∵BC 中点为M,O→B+O→C=cosC
2O→M,O→A·(2O→M)=2·|O→A|·|O→M|·2 2 , cos180°=又∵sinC+cosC=1
-2|O→A|·|O→M|.
1
解得cosC=± . 又∵|O→8 A|+|O
→M|=2为常数,
∵tanC>0,∴C 是锐角. ∴由均值定理,当|O
→A|=|O→M|=1时,
1 2|O
→A|·|O→M|=2为最大值.
∴cosC=8. ∴-2|O→A|·|O→M|=-2为最小值.
() →· → 5, 18. ②
【解析】 向量有关概念和运算的判断,
2 ∵CB CA=2 逐一进行验证,对于①向量不满足消去律,错;对于②
5
∴abcosC= , 两向量平行的坐标表示正确
;对于③在加减法构成的
2
∴ab=20. 平行四边形中,
π
由几何意义可得到所求角为 ,错;
6
又∵a+b=9, 则正确的命题为②.
∴a2+2ab+b2=81. 19.B 【解析】 |a|=|b|=|c|,a+b=c,(a
∴a2+b2=41. +b)2=c2,a2+2a·b=0,|a|=-2|b|·cos∴c2=a2+b2-2abcosC=36.
>, 1b cos=- ,2 =120°.
本题属于中档题,
∴c=6.
11.C 【解析】 |a+b|= 32+(2+k)2 = 考查向量模、夹角、运算等知识.
20.A 【解析】 ∵(λa+b) (2 , ⊥ a-2b
),∴(λa
k +4k+13≤5 解得-6≤k≤2.
)·(
【 】 2 +b a-2b
)=λa2+(1-2λ)a·b-2b2=13λ+3
12.C 解析 ∵|a+b|=|b| |a+b| =
1
|b|2 a2+2a·b+b2=b2 a2=-2a·b, (1-2λ)-2=7λ+1=0,解之得λ=- ,故应选7 A.
∴|2b|>|a+2b| |2b|2>|a+2b|2 4b2>
2 · 2 2 ( ), 21. B
【解析】 |2a-b|= (2a-b)2 =
a +4a b+4b -a <0 恒成立 故选C.
2 2
13.B 【解析】 本题考查向量的求模运算和数 4a -4a·b+b = 4×1
2-4×0+22=22.
22.C 【解析】 ∵B→C2=16,∴|B→量积运算.因为a=(2,0),|b|=1,所以|a|=2,a·b C|=4,又
|A→B+A→C|=|A→ → → →=2×1×cos60°=1,故|a+2b|= B-AC|,∴AB·AC=0.∵M 为
2 · 2 1 1a +5×a b+4b =23. BC 的中点,∴|A→M|= |B→ ,故选2 C|=2×4=2 C.
14. 7 【解析】 |a+b|= (a+b)2 23.B 【解析】 本题主要考查向量的模、数量
= |a|2+|b|2+2a·b 积为0的意义,直角三角形的内切圆知识.考查利用
π 运动观点处理数学问题的能力.因为半径为1的圆正
= |a|2+|b|2+2|a|·|b|cos3 是这个直角三角形的内切圆,所以移动此圆可知,所
·136·
求公共点个数最多为4个,选B. 13,|a+b|= 13.
24. 3 【解 析】 |a-b|= (a-b)2 = () 1 13 S△ABC = |A→B||A→C|sinθ= ×4×
a2+b2-2a·b= 12+22-2×1×2cos60°= 3. 2 2
25.0 【解析】 由题可知a-c=(3-k,-1), 3sin120°=33.
又由(a-c)⊥b (a-c)·b=0 (3-k,-1)·(1, 14. 解:(1)若A、B、C 能构成三角形,则这三点
) → →3 =0 k=0,故填0.本题考查向量基本运算与基本 不共线,即AB、AC不共线.
→ →
性质,属于容易题. 又∵AB=(3,1),AC=(2-m,1-m),
π (【 】 a+b
)·(a-b)
26. 解析 由cosθ= ∴3(1-m)≠2-m,
1
解得m≠ .
2 |a+b||a-b| 2
a2-b2 (2)∵∠A 为直角,∴A→B⊥A→C,
=|a+b||a-b|. 7
π ∴3
(2-m)+(1-m)=0,得m= .
法一:求得a2=b2=1故上式=0所以θ=2.
4
: 解:()
C C , C
法二 分别求出a+b和a-b , ,代入上式可得. 15. 1 ∵m= (cos2 sin2 ) n= (cos2
【评述】 本题考查同角三角函数关系式及向量 C
-sin ,
的夹角公式. 2 )
27. 本题考查三角函数的图象,已知三角函数值 ∴m·
C C
n=cos2 -sin2 =cosC.
求值,向量夹角的计算等基础知识和基本运算能力. 2 2
解:(1)因为函数图象过点(0,1),所以2sinφ=1, · π π 1又∵m n=|m||n|cos3=cos =
,
1 π π 3 2
即sinφ= 因为 ,所以2. 0≤φ≤2 φ=6. 1∴cosC= ,
π
2 ∴C=3.
(2)由 函 数 y=2sin ( ππx+ ) 及 其 图 象,得6 () 2 2 2 , 7, 12 ∵c =a +b -2abcosCc=2 cosC= ,2
M ( 1- ,0),6 P (1, 53 2),N ( , ,6 0) 49∴ =a2+b2-ab=(a+b)2-3ab.
所以P→M= ( 1, ),P→N= (1- -2 ,-2) 4,从而2 2 1 1 · 3 33,
<→,→> P
→M·P→N 15 ∵S=2absinC=2ab 2= 2 ∴ab=6.
cosPM PN = → = ,|PM|·|P→N| 17
∴(a+b)2
49 49 121
= +3ab= +18= ,
<→,→> 15 4 4 4故 PM PN =arccos17. 11
— ∴a+b= .2012 2013高考题源拓展测试 2
1.C 2.C 3.C 4.D 5.B 6.A 7.B 16. 解:(1)∵|a|=|b|=|c|=1,且a、b、c之间
8.B 的夹角均为120°.
9. 7 10. -25 ∴(a-b)·c
1 23 =a
·c-b·c=|a||c|cos120°-|b||c|cos120°
11. 2 12. 3 =0,∴(a-b)⊥c.
13. 解:(1)由(2a-3b)·(2a+b)=61得 (2)∵|ka+b+c|>1,
4a2-4a·b-3b2=61. ∴|ka+b+c|2>1,
又∵|a|=4,|b|=3, ∴(ka+b+c)·(ka+b+c)>1,
∴a·b=-6,设夹角为θ,则 ∴k2a·a+b·b+c·c+2ka·b+2ka·c+2b
a·b -6 1 ·c>1,
cosθ=|a||b|=12=-2.
∵a·b=a· ·
1
c=b c=cos120°=- ,
∴θ=120°. 2
(2)|a+b|2=a2+2a·b+b2=16-12+9= ∴k2-2k>0,
·137·
∴k<0或k>2. 4.1 【解析】 由A+C=2B 易得B=60°,而
由正弦定理易求出 的值
17. 解:(1)a-tb=m [ 1( ), , sinC .a-3 a+b ] m∈R π
5. 【解析】 由sinB+cosB= 2,可 得
化简整理得 (2m m3 -1)a= (3-t)b, 6π π asinB
∵a,b为不共线的非零向量, sin(B+4 )=1,B= ,由正弦定理,4 sinA= b
ì2m , ì 3, 1 π
3 -1=0 m=2 = ,又∵a∴ í 解之得 í 2 6
m , 1, 3
3-t=0 t=2 6. 【解析】 考查正弦定理与三角形中的三3
1
∴当t= 时,三向量的终点在一直线上. 角函数化简求值.2
(2)|a-tb|2=(a-tb)2=|a|2-2ta·b+|tb|2 结合 正 弦 定 理,因 为 (3sinB -sinC)cosA
=|a|2+|tb|2-2t|a||b|cos60° =sinAcosC,
=(1-t+t2)|a|2 ∴ 3sinBcosA=sin(A+C),
2
= [ ( 1t- ) 3+ ]|a|2, ∵A+C=π-B,∴ 3sinBcosA=sinB,2 4
3
1 3 ∴cosA= .
∴当t= 时,2 |a-tb|
有最小值 |a|. 32 7. 解:(1)因为∠BCD=90°+60°=150°,CB=
第十一章 解三角形 AC=CD,
所以∠CBE=15°.
§11.1 正弦定理和余弦定理
6+ 2
五年高考母题原型训练 所以cos∠CBE=cos(45°-30°)= 4 .
1.D 【解析】 正弦定理的两次使用解斜三角 (2)在△ABE 中,AB=2,
形,2 6 1 π π a
sinC= sinC= C=
, AE 2
3 2 6
A=6 1 = 由正弦定理 ,sin(45°-15°)=sin(90°+15°)
2 2 1
2sin30° 2×6 2
a= 2,选D. 故AE=cos15°= = 6- 2.3 6+ 2
2 4
2.C 【解析】 本题考查正弦定理,
a A+B C C
∵ = 8. 解:由tan 2 +tan2 =4
得cot +
sinA 2
b C, 2 3
sinB ∴
tan =4,
sinA=sin60°. 2
2 1
∴sinA= 化简得 =4.2. C Csin2cos2
又∵a1
本题要注意选项 A为陷阱,三角形中大边应对 所以sinC= ,又 (,),2 C∈ 0π
大角. π 5π
3.B 【解析】 本题解题思路是结合题意,围绕 即C= ,或6 C=
,
6
着正弦定理得出相关的边角关系,从而得以求解.由 A
由sinBsinC=cos2 得,
a 5 sinA sin2B , 5 2题意得
b =2=sinB=sinB =2cosB cosB=
,
4 1
B. sinBsinC=
[1-cos(B+C)]
选 2
本题考查三角形的边角关系———正弦定理. 即cos(B-C)=1,
·138·§10.2 平面向量的数量积
考纲·题型解读
1.掌握平面向量的数量积及其几何意义.了解用平面向量的数量积,可以处理有关长度、角度、垂直问题,掌握向量垂直的
条件.平面向量的数量积及运算律、平面向量的坐标运算是考试的重点,主要考查考生能否熟练掌握并且以之为工具来处理和
解决一些综合程度、创新程度较高的试题.
2.这部分知识是平面向量的核心内容,向量的平行、垂直关系是向量间最基本、最重要的位置关系,而向量的夹角、距离又
是向量的重要数量特征,这些为解决问题提供了有效的方法.对于本节内容高考加强了对其应用性的考查,不仅以本内容为手
段考查向量的基本概念与基本运算,而且已上升到一个新的层次,即考查与函数、三角、数列、解析几何等知识相综合的问题,这
应引起大家的足够重视.
[解析] (x)=(xa+b)·(a-xb),
题源1 平面向量的数量积的定义 f=xa2-x2a·b+a·b-xb2,∵f(x)的图象为一条直线,
∴f(x)的函数表达式中不含x2 项,故a·b=0,
解题模型 ∴a⊥b,故本题选A.
→
1.a,b是两个非零向量,它们的夹角为θ,则数|a||b| [真题3] (2022·天津)如图,在△ABC 中,AD⊥AB,BC
·cosθ叫做a 与b的数量积,记作a·b,即a·b=|a||b| = 3 B→D,|A→D|=1,则A→C·A→D= .
cosθ.规定0·a=0.当a⊥b时,θ=90°,这时a·b=0.
2.a·b的几何意义
a·b等于a 的长度|a|与b 在a 的方向上的投影|b|
cosθ的乘积.
【注意】 (1)平面向量a与b的数量积a·b=|a||b| [解析] 建系如图所示.
·cosθ,它是一个实数. 令B(xB,0),C(xC,yC),
(2)向量a,b的数量积a·b 与实数a,b 的乘积a·b D(0,1),
不相同. ∴B→C=(xC-xB,yC),B→D
(3)|b|cosθ叫做向量b 在a 方向上的投影.它是一个 =(-xB,1),
数量,它可正、可负、可为0. B→C= 3 B→D,
(4)在书写时a 与b 之间用“·”连接,而不用“×”连
接,也不能省去. {xC-xB= 3(-xB),∴ yC= 3,
[真题1] (2019·湖北)设a=(4,3),a 在b 上的投影为 ∴xC=(1- 3)xB,yC= 3.
52 →, , , ( ) AC=((1- 3)xB, ),b在x 轴上的投影为 且2 2 |b|≤14 则b为
3
A→D=(0,1),
A.(2,14) B.( 22,- ) 则A→C·7 A→D= 3.
[真题4] (2021·陕西)在△ABC 中,M 是边BC 的中点,
C.( 2-2,7 ) D.(2,8) AM=1,点P 在AM 上且满足A→P=2P→M,则P→A·(P→B+P→C)
[解析] 因b ( )在x 轴上投影为2,故b 的横坐标应为2,淘 等于
汰答案C;又|b|≤14,则淘汰答案A;下面就B,D两答案选择一 4 4A.-9 B.-3
a·b
个进行验算.若b=(2,8),则a 在b 上的投影的|a|cosθ=|b| 4 4C.3 D.9
8+24 52
= ≠ ,则淘汰D.故选B. [解析] 如图,由题知,P
→B+P→C
22+82 2 =2P→M=-P→A,且P 为三角形的重
[真题2] (2019·湖南)设a、b是非零向量,若函数f(x) 心,P→A·(P→B+P→C)=P→A·2P→M=
=(xa+b)·(a-xb)的图象是一条直线,则必有 ( ) 2
-|P→A|2.∵AM=1,∴PA= ,
A.a⊥b B.a∥b 3
C.|a|=|b| D.|a|≠|b|
·235·
→·(→ →) → 2 4 A.a·b=0,则a=0或b=0∴PA PB+PC =-|PA|=-9.选A. B.若λa=0,则λ=0或a=0
[真题5] (2021·浙江)△ABC 中,角A,B,C 所对的边分 C.若a2=b2,则a=b或a=-b
A 25 若 ·
别为a,b,c且满足 ,A→B·A→C D. a b=a
·c,则b=c
cos2= 5 =3. [解析] a·b=0,则a=0或b=0或a⊥b,即 A不正确;
(1)求△ABC 的面积; 若a2=b2,则|a|=|b|,即C不正确;
(2)若b+c=6,求a的值. 若a·b=a·c,则a·(b-c)=0,有a=0,或b=c或a⊥
[ A 25 ( ),即 不正确;解析] (1)因为cos = , b-c D2 5 若λa=0,则λ=0或a=0,即B正确,故应选B.
A 3 4
所以cosA=2cos2 -1= ,sinA= . [真题8] (2019·辽宁)若向量a与b不共线,a·b≠0,且2 5 5 a·a
又由A→B·A→C=3,得bccosA=3,所以bc=5. c=a- ( · )b,则向量 与a b a c的夹角为 ( )
1
因此S△ABC=2bcsinA=2.
π
A.0 B.6
(2)由(1)知,bc=5,又b+c=6, π π
所以b=5,c=1或b=1,c=5. C.3 D.2
由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA=20, [ ] · [ a· ·解析 ∵c a= a a aa-a· ·bb] a=a·a- (a·b )b·a所以a=25.
π
题源2 平面向量数量积的运算律与性质 =a·a-a·a=0,∴c⊥a,即 向 量a 与c 的 夹 角 为 ,故 应2
选D.
解题模型 [真题9] (2018·山东)已知向量 m=(cosθ,sinθ)和n=
1.向量数量积的性质 (2-sinθ,cosθ),θ∈(π,
82
2π),且|m+n|= ,求5 cos(θ π2+8 )
设a、b都是非零向量,e是与b方向相同的单位向量,
的值.
θ是a 与e的夹角,则
(1)e·a=a·e=|a|·cosθ. [解析] m+n=(cosθ-sinθ+ 2,cosθ+sinθ)
(2)a⊥b a·b=0. |m+n|= (cosθ-sinθ+ 2)2+(cosθ+sinθ)2
(3)当a 与b同向时,a·b=|a||b|; = 4+22(cosθ-sinθ)
当a 与b反向时,a·b=-|a||b|.
π
特别地,a·a=|a|2 或|a|= a·a. = 4+4cos(θ+4 )
·
() a b4cosθ= π|a||b|. =2 1+cos(θ+4 ) .
(5)|a·b|≤|a||b|.
82 7
2.向量数量积的运算律 由已知|m+n|= ,得5 cos( πθ+4 )=25.
(1)a·b=b·a(交换律). π θ π
(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)
2
. 又cos(θ+4 )=2cos ( + )-1,2 8
(3)(a+b)·c=a·c+b·c. 16
3. 所以
2 θ π
关于数量积的运算律,一定要注意以下几点 cos (2+8 )=25.
(1)a=0,则a·b=0,但是由a·b=0,不能得到a= , 5π θ π 9π∵π<θ<2π ∴ < + < ,∴cos θ π+ <0.
0或b=0.因为a⊥b时,a·b=0. 8 2 8 8 (2 8 )
(2)a=c时,a·b=c·b,但是由a·b=c·d,不能得 ∴cos θ π
4
+ =- .
到a=c,即消去律不成立. (2 8 ) 5
(3)(a·b)c≠a(b·c),因为(a·b)c 与c 平行,a(b 题源3 利用平面向量数量积解
·c)与a 平行,一般地a,c不共线,故(a·b)c≠a(b·c).
[ 决垂直、夹角、长度问题真题6] (2021·全国Ⅱ)已知向量a=(2,1),a·b=10,
|a+b|=52,则|b|等于 ( )
A.5 B. 10
C.5 D.25
[解析] 本题考查向量模和数量积的运算.|a+b|=52
a2+2ab+b2=50,条件代入,|b|=5,选C.
[真题7] (2019·福建)对于向量a、b、c和实数λ,下列命
题中真命题是 ( )
·236·
解题模型 接圆圆心;取 BC 边中点D,由N→A+N→B+N→C=0可 得N→A=
-2N→D,得点 N 为△ABC 的重心;由P→A·P→B=P→B·P→C可得
1.判断两向量垂直的方法
· ; ( , ), ( , ), P
→B·(P→C-P→A)=P→B·A→C=0,即得P→B⊥A→C,同理可得P→A⊥
①a⊥b a b=0 ②设a= x1 y1 b= x2 y2 则
B→C,即得点P 是△ABC 的垂心,故应选C.
a⊥b x1x2+y1y2=0.
1 1
2.求距离的方法 [真题13] (2022·安徽)设向量a=(1,0),b= ( ,2 2 ),
①|A→B|= |A→B|2;②若A、B 坐标分别为(x1,y1), 则下列结论中正确的是 ( )
(x2,y2),则|A→B|= (x -x )2+(y -y )21 2 1 2 . 2A.|a|=|b| B.a·b=2
3.求两向量夹角的方法
· yy C.a-b
与b垂直 D.a∥b
a b xx +
cosθ= 1 2 1 2|a||b|= . 2 2x21+y2 x21 2+y2 1 1 22 [解析] A项,∵|a|=1,|b|= (2 ) + (2 ) = ,2
[真题10] (2019·山东)已知向量a=(1,n),b=(-1, 1 1 1∴|a|≠|b|;B项,∵a·b=1×2+0× =
;C项,∵a-b
n),若2a-b与b垂直,则|a|等于 ( ) 2 2
1 1 1 1
A.1 B.2 = (1,0)- ( , ) = ( ,- ),∴ (a -b)·2 2 2 2 b =
C.2 D.4 1 1 1 1 1 1 1 1
[解析] 本题考查向量的坐标运算、向量垂直、向量的模等 ( ,- ) · ( , )= - ; 项,2 2 2 2 4 4=0D ∵1×2-0×2≠
知识.2a-b=(3,n),所以(2a-b)·b=(3,n)·(-1,n)=n2 0,∴a 不平行b.故选C.
-3=0,∴n2=3.故|a|= 1+n2=2.选C. [真题14] (2022·浙江)已知平面向量α,β(α≠0,α≠β)
[真题11] (2020·浙江)已知a、b是平面内两个互相垂直 满足|β|=1,且α 与β-α 的 夹 角 为120°,则|α|的 取 值 范
的单位向量,若向量c满足(a-c)·(b-c)=0,则|c|的最大值是 围是 .
( ) [解析] 如图,数形结合知β=A→B,α=A→C,|AB|=1,C 点
A.1 B.2 在圆弧上运动, AB∠ACB=60°,设∠ABC=θ,由正弦定理知
2 sin60°
C.2 D.2 |α|= ,
23 23
∴|α|= sinθ≤ ,当θ=90°时 最 大 值.∴|α|
[解析] 考查向量的运算性质与向量数乘概念.展开等式, sinθ 3 3
∵a⊥b,所以整理得c2=c·(a+b),得|c|2=|c||a+b|·cosθ ∈ 23ù0, úú .
≤|c||a+b|,又∵|a|=|b|=1,∴|c|≤|a+b|= 2.选C. è 3
[真题12] (2021·宁海)已知点O,N,P 在△ABC 所在
平面内,且|O→A|=|O→B|=|O→C|,N→A+N→B+N→C=0,P→A·P→B
=P→B·P→C=P→C·P→A,则点O,N,P 依次是△ABC 的 ( )
A.重心、外心、垂心 B.重心、外心、内心
C.外心、重心、垂心 D.外心、重心、内心
[解析] 由|O→A|=|O→B|=|O→C|可得点O 是△ABC 的外
(★代表高考出现的频次)
题源1 平面向量的数量积的定义(★★★★★)
3 2
A.-2 B.-3
1.(2020·湖北)设a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),则 2 3C. D.
(a+2b)·c等于 ( ) 3 2
( ( · ) (,, ), (,,), (,A.-15,12) B.0 C.-3 D.-11 4.2022 广东 若向量a= 11x b= 121 c= 1
2.(2022·辽宁)平面上 O,A,B 三点不共线,设O→A=a, 1,1)满足条件(c-a)·(2b)=-2,则x= .
O→B=b,则△OAB 的面积等于 ( ( · ) , ) 5.2020 北京 已知向量a 与b 的夹角为120° 且|a|=
|b|=4,那么b·(2a+b)的值为2 2 (· )2 .A. |a||b|- a b B. |a|2|b|2+(a·b)2
6.(2021·江苏)已知向量a 和向量b 的夹角为30°,|a|=
1 1
C. |a|2|b|2-(a·b)2D. |a|2|b|2+(a·b)2 2,|b|= 3,则向量a和向量2 2 b
的数量积a·b= .
( · 天 津)如 图,在 平 行 四 边 形
3.(2020·湖南)在△ABC 中, , , ,
7.2020
AB=3AC=2BC= 10
中,→ (,),→ ( ,),则 →
则A→B·A→
ABCD AC= 12 BD= -32 AD
C等于 ( ) ·A→C= .
·237·
8.(2021·安徽)给定两个长度为1的平 |λa+b|= 29且λ>0,则λ= .
面向量O→A和O→B,它们的夹角为120°.如图所 17.(2018·江苏)在△ABC 中,O 为中线AM 上的一个动
示,点C 在以O 为圆心的圆弧A︵B上变动.若 点,若AM=2,则O→A·(O→B+O→C)的最小值是 .
O→C=xO→A+yO→B,其中x,y∈R,则x+y 的 18.(2020·陕西)关于平面向量a,b,c,有下列三个命题:
最大值是 . ①若a·b=a·c,则b=c.
9.(2018·湖北)已知向量a=(x2,x+1),b=(1-x,t).若 ②若a=(1,k),b=(-2,6),a∥b,则k=-3.
函数f(x)=a·b在区间(-1,1)上是增函数,求t的取值范围. ③非零向量a和b满足|a|=|b|=|a-b|,则a与a+b的
夹角为60°.
其中真命题的序号为 .(写出所有真命题的序号)
题源3 利用平面向量数量积解决垂直、
夹角、长度问题(★★★★★)
19.(2021·全国Ⅰ)设非零向量a、b、c 满足|a|=|b|=
|c|,a+b=c,则= ( )
A.150° B.120°
10.(2019·山东)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 C.60° D.30°
、、, 20.(2021·宁海)已知a=(-3,2),b=(-1,0),向量abctanC=37. λa+
() ; b与a-2b垂直
,则实数λ的值为 ( )
1 求cosC
1 1
(2)若C→· → 5 A.- B.B CA= ,且2 a+b=9,求c. 7 7
1 1
C.-6 D.6
21.(2022·重庆)已知向量a,b满足a·b=0,|a|=1,|b|
=2,则|2a-b|= ( )
A.0 B.22
C.4 D.8
22.(2022·四川)设点 M 是线段BC 的中点,点A 在直线
BC 外,B→C2=16,|A→B+A→C|=|A→B-A→C|,则|A→M|= ( )
A.8 B.4 C.2 D.1
23.(2021·浙江)设向量a,b 满足:|a|=3,|b|=4,a·b
=0.以a,b,a-b的模为边长构成为三角形,则它的边与半径为
1的圆的公共点个数最多为 ( )
题源2 平面向量数量积的运算律 A.3个 B.4个
与性质(★★★★★) C.5个 D.6个
24.(2022·江西)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a与b
11.(2018·湖北)已知向量a=(-2,2),b=(5,k).若|a+b| 的夹角为60°,则|a-b|= .
不超过5,则k的取值范围是 ( ) 25.(2021·江西)已知向量a=(3,1),b=(1,3),c=(k,
A.[-4,6] B.[-6,4] 2),若(a-c)⊥b,则k= .
C.[-6,2] D.[-2,6] 26.(2018· 北 京)已知向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,
12.(2019·浙江)若非零向量a、b满足|a+b|=|b|,则 sinβ),且a≠±b,那么a+b与a-b的夹角大小是 .
( ) 27.(2018·浙江)如图,函数y=2sin(πx+φ),x∈R(其中
A.|2a|>|2a+b| B.|2a|<|2a+b| π
C.|2b|>|a+2b| D.|2b|<|a+2b| 0≤φ≤ )的图象与y 轴交于点(0,2 1
).
13.(2021·辽宁)平面向量a与b的夹角为60°,a=(2,0), (1)求φ 的值;
|b|=1,则|a+2b|= ( ) (2)设点P 是图象上的最高点,M、N 是图象与x 轴的交
A.3 B.23 点,求P→M与P→N的夹角.
C.4 D.12
14.(2020·上海)若向量a、b满足|a|=1,|b|=2,且a 与
π
b的夹角为 ,则3 |a+b|= .
15.(2020·天津)已知平面向量a=(2,4),b=(-1,2).若
c=a-(a·b)b,则|c|= .
16.(2020·宁海)已知向量a=(0,-1,1),b=(4,1,0),
·238·
2022-2023高考题源拓展测试
未来高考还会这样考
(测试时间:90分钟 总分:100分)
一、选择题(本题包括8小题,每小题2.5分,共20分。每小题 A.等腰直角三角形
只有一个选项符合题意) B.直角三角形
1.( 1)在边长为1的正三角形ABC 中,设A→B=c,B→C= C.等腰三角形
a,A→C=b,则a·b+b·c+c·a等于 ( ) D.等边三角形
A.1.5 8.( 3)已知向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),若|a|=2,|b|
B.-1.5
=3,·
x +y
a b=-6,则 1 1的值为 ( )
C.0.5 x2+y2
D.-0.5 2A.
2.( 1.2)已知|a|=2,|b|=4,向量a 与b 的夹角为60°, 3
当(a+3b)⊥(ka-b)时,实数k的值是 ( ) 2B.-3
1
A.4 5C.6
3
B.4 5D.-6
13
C.4 二、填空题(本题包括4小题,每小题5分,共20分)
13
D. 9.( )
5
1 已知向量a 与b 所成角为 ,且6π |a|=2
,|b|=
2
3.( 1)已知△ABC 中,若A→B2=A→B·A→C+B→A·B→C+ 3,c=2a+3b,则|c|= .
C→A· → →C→B,则△ABC 是 ( ) 10.( 1)已知平面上三点A、B、C 满足|AB|=3,|BC|=
4,|C→A|=5,则A→B·B→A.等边三角形 C+B→C·C→A +C→A ·A→B 的 值 等
B.锐角三角形 于 .
C.直角三角形 11.( 1.2)已知|e|=1,且满足|a+e|=|a-2e|,则向量a
D.钝角三角形 在e方向上的投影等于 .
4.( 3)若|a|=2sin15°,|b|=4cos15°,a 与b 夹角为30°, 12.( 3)已知点G 是△ABC 的重心,若∠A=60°,A
→B·
· ( ) A→ →则a b的值为 C=2,则|AG|的最小值是 .
3 三、解答题(本题包括5小题,每小题12分,共60分)
A.2 13.( 3)已知|a|=4,|b|=3,且(2a-3b)·(2a+b)=61.
B.23 (1)求a,b的夹角;
1 (2)求|a+b|;
C.2 (3)若A
→B=a,A→C=b,作△ABC,求△ABC 的面积.
D.3
( 15. 3)已知|a|=10,|b|=12,且(3a)·( b)=-36,则5
a与b的夹角是 ( )
A.60°
B.120°
C.135°
D.150°
6.( 1.2)若向量an=(cos2nθ,sinnθ),bn=(1,2sinnθ)(n
∈N*),则数列{an·bn+2n}是 ( )
A.等差数列
B.既是等差数列又是等比例数列
C.等比数列
D.既非等差数列又非等比数列
7.( 1.2.3)若O 是△ABC 所在平面内一点,且满足|O→B-
O→C|=|O→B+O→C-2O→A|,则△ABC 的形状为 ( )
·239·
14.( 1.2.3)已知向量O→A=(3,-4),O→B=(6,-3),O→C= 16.( 1.2.3)已知平面上三个向量a、b、c的模均为1,它们
(5-m,-3-m). 相互之间的夹角均为120°.
(1)若点A、B、C 能构成三角形,求实数m 的取值范围; (1)求证:(a-b)⊥c;
(2)若点A、B、C 构成以∠A 为直角的直角三角形,求 m (2)若|ka+b+c|>1(k∈R),求k的取值范围.
的值.
15.( 2.3)a、b、c分别为△ABC 的内角A、B、C 的对边,m 17.( 1.3)设a、b是两个不共线的非零向量(t∈R).
( C, C), ( C, C π 1= cos ), 与 的夹角为 ()若 与 起点相同, 为何值时 , , ( )三向量2 sin2 n= cos2 -sin2 m n 3. 1 a b t atb 3 a+b
(1)求角C; 的终点在一直线上
(2)若|a|=|b|且a 与b 夹角为60°,那么t为何值时,
( 72)已知c= ,
33
△ABC 的面积S= ,求2 2 a+b
的值. |a-tb|的值最小
·240·

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