资源简介

第四章 导数及其应用
§4.1 导数与积分
考纲·题型解读
1.了解导数概念的实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等);掌握函数在一点的导数的定义和导数的几何
意义;理解导函数的概念.能结合导数的几何意义及物理意义解决相关的实际问题,提高运算能力及解决实际问题的能力.
2.熟记基本初等函数的导数公式;掌握两个函数的和、差、积、商的求导法则;了解复合函数的求导法则,会将一个函数的复
合过程进行分解或将几个函数进行复合.掌握复合函数的求导法则,并会用法则解决一些简单问题.
3.了解定积分的基本思想,了解定积分的概念;了解微积分基本定理的含义.会用牛-莱公式求被积函数是简单的幂函数,
正、余弦函数,指数函数的定积分.
4.本节知识在高考中属于重点考查内容,具体考查时往往体现为求曲线的切线方程、切线斜率等.
题源1 导数的有关概念
解题模型
(1)对于函数y=f(x),如果自变量x 在x0 处有增量
Δx,那么函数y 相应地有增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0). [解析] 当五角星匀速地升出水
Δy 面,五角星露出水面的面积S(t)单调
比值 就叫做函数y=f(x)在x0 到x0+Δx 之间的Δx 递增,则S'(t)>0,导函数的图象要在
, Δy f
(x0+Δx)-f(x0) x 轴上方,排除B;当露出部分到达图
平均变化率 即
Δx= Δx . 中的B 点到C 点之间时,S(t)增长速
如果当Δx→0时,
Δy , 度变缓, ()图象要下降,排除 ;当有极限 我们就说函数
Δx y=f
(x) S't C
露出部分在B 点上下一瞬间时,S(t)
在点x0 处可导,并把这个极限叫做f(x)在点x0 处的导 突然变大,此时在 B 点处的S'(t)不
数(或变化率),记作f'(x0)或y' x=x0,即 存在,排除D,而A符合条件,故选A.
( Δy f
(x +Δx)-f(x )
f'x
0 0
0)=lim =lim .
Δx→0Δx Δx→0 Δx 题源2 导数的运算
(2)用导数的定义求导数的步骤:
①计算函数的增量Δy=f(x+Δx)-f(x); 解题模型
Δy
②计算函数的增量Δy 与自变量增量Δx 的比值 ; (1)常见函数的导数:Δx
①C'=0(C 为常数);③计算上述增量的比值当Δx→0时的极限.
②(xm)'=mxm-1(m∈Q);
[真题1] 如图,一个正五角星薄片 ③(sinx)'=cosx;
(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面, ④(cosx)'=-sinx;
记t时刻五角星露出水面部分的图形面 ⑤(ex)'=ex;
积为S(t)(S(0)=0),则导函数y=S'(t) ⑥(a
x)'=axlna;
的图象大致为 ( ) ⑦(
1
lnx)'= ;x
⑧(
1 1
logax)'=xlna=xlogae.
(2)两个函数的四则运算的导数:
若u(x),v(x)的导数都存在,则①(u±v)'=u'±v';
·56·
A.y=2x-1 B.y=x
(· ) ; (u) u'v-uv' ② u v'=u'v+uv' ③ '= (v≠0). C.y=3x-2 D.y=-2x+3v v2 [解析] 本题主要考查导数的几何意义、曲线的切线方程、
(3)复合函数求导: 函数的相关性质和复合函数的求导,结构比较新颖,综合性较强.
①设u=g(x)在点x 处可导,y=f(u)在点u=g(x) 在f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8中,令x=1,
处可导,则复合函数f[g(x)]在点x 处可导,且f'(x)=
则f(1)=2f(1)-1+8-8,f(1)=1.
f'(u)·g'(x),即y'x=y'u·u'x.
在 () (
: f x =2f2-x
)-x2+8x-8两边对x 求导数得,
②运用复合函数求导法则应注意的几点 () ( )
ⅰ. 利用复合函数求导法则求导,
f'x =-2f'2-x -2x+8.
要把中间变量换成
于是f'(1)=-2f'(1)-2+8,f'(1), ; =2.
选A.
自变量的函数 层层剥皮
ⅱ. 要分清每一步的求导是哪个变量对哪个变量求 题源3 导数的几何意义
导,不能混淆,一直计算到最后.
解题模型
[ π 真题2] (2021·湖北)已知函数f(x)=f'( )4 cosx+ (1)设函数y=f(x)在点x0 处可导,那么它在该点的
sinx,则f(
π)的值为 导数等于函数所表示的曲线在相应点 ( . M x0
,y0)处的切线
4 的斜率.过点 M 的切线方程为:y-y0=f'(x0)(x-x0).
[解析] π ∵f'(x)=-f'( )sinx+cosx, (2)设s=s(t)是位移函数,则s'(t0)表示物体在t=t04
时刻的瞬时速度.
(π) (π) π π, (π∴f' 4 =-f' sin +cos
得f' ) , () ()4 4 4 4 = 2-1 3 设v=vt 是速度函数
,则v'(t0)表示物体在t=
π t0 时刻的加速度.
则f(x)=(2-1)cosx+sinx,f( )=1.对导数的理解及运用4 【注意】 求函数y=f(x)过点(x0,y0)的切线方程
是本题的关键. 时,一定要注意点(x0,y0)是否在y=f(x)图象上.
[真题3] (2021·陕 西)设曲线y=xn+1(n∈N*)在点
(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为xn,令an=lgx ,则a xn 1 [真题7] (2022·全国)曲线y= 在点(-1,-1)处的
+a2+…+a99的值为 . x+2
[ ] 切线方程为 ( )解析 本题主要考查导数的几何意义、直线方程、数列求
和以及对数的有关运算,其中判断点在曲线上的切线方程和对 A.y=2x+1 B.y=2x-1
数法则的逆用是简化运算的切入点.求导数,y'| =n+1,所求 C.y=-2x-3 D.y=-2x-2x=1
n [ ] x
(x+2)-x 2
切线为:y=(n+1)x-n.令y=0,确定x = ;由对数运算 解析 由y=
,得
x+2 y'=
,所以
n n+1 (x+2)
2 =(x+2)2
法则可知a +a +a +…+a =lg(x ·x ·x ·…·x 在点(-1,-1)处切线的斜率k='|x=-1=2,1 2 3 99 1 2 3 99)= y
1 由点斜式方程,得切线方程为y+1=2(x+1),即y=2x+
lg100=-2. 1,故选A.
[真题4] (2021·全国Ⅰ)已知直线y=x+1与曲线y= [真题8] (2020·全国Ⅱ)设曲线y=ax2 在点(1,a)处的
ln(x+a)相切,则a的值为 ( ) 切线与直线2x-y-6=0平行,则a等于 ( )
A.1 B.2 C.-1 D.-2 1 1
A.1 B. C.- D.-1
[ ] ( ), 1
2 2
解析 y=lnx+a y'= ,设切点为 ( , ),x+a P x0 y0 k [解析] ∵y'=2ax,∴当x=1时,由k=y'|x=1=2a=2,
1
=1= ①,x0+1=ln(x0+a)②,由①得:x +a x0+a=1
代入② 可得a=1,故应选A.
0 4
得:x0=-1,故a=2,选B.本题属于中档题,考查导数的几何意 [真题9] (2022·辽宁)已知点P 在曲线y= 上,ex+1 α
义、切线的参数值. 为曲线在点P 处的切线的倾斜角,则α的取值范围是 ( )
[真题5] (2022· 山 东)观察(x2)'=2x,(x4)'=4x3,
( π π πcosx)'=-sinx,由归纳推理可得:若定义在 R上的函数f(x) A.[0,4 ] B.[ ,4 2 )
满足f(-x)=f(x),记g(x)为f(x)的导函数,则g(-x)等于
C.(π,3π] D.[3π( ) ,2 4 4 π)
A.f(x) B.-f(x) x x
C.g(x) D.-g(x) [解析]
4e 4e
y'=- =- .设t=ex(ex )2 2x
(,
+1 e +2ex+1 ∈ 0
[解析] 观察可知,偶函数f(x)的导函数g(x)都是奇函 4t 4 1
数,所以g(-x)=-g(x),故选D. +∞),则y'=- 2 =- , ,t +2t+1 1 ∵t+t≥2
[真题6] (2021·安徽)已知函数f(x)在 R上满足f(x) (t+t )+2
=2f(2-x)-x2+8x-8,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的 3π
切线方程是 ( ) ∴y'∈
[-1,0),α∈[ ,4 π
).选D.
·57·
( )求 的值;
[真题10] (2020·江苏)
1 Ⅰ m
设直线y=2x+b
是曲线y= (Ⅱ)若斜率为-5的直线是曲线y=f(x)的切线,求此直
lnx(x>0)的一条切线,则实数b的值为 . 线方程.
[ ] ( ) 1 1
2 2
解析 k ' x' , [解析] (Ⅰ)f'(x)=3x +2mx-m =(x+m)(3x-m) 由已知条件可得 =y = ln = = 得切x 2 1
点的横坐标x=2,切点坐标为(2,ln2),由点(2,ln2) ,在切线 = =0 则y x=-m
或x=3m.
1 1 当x 变化时,f(x)与 ()的变化情况如下表:x+b上可得2 b=ln2-2×2=ln2-1.
f'x
[真题11] (2021·湖南)若函数y=f(x)的导函数在区 x (-∞,-m) -m ( ,1 ) 1 (1-m 3m ,3m 3m +∞ )
间[a,b]上是增函数,则函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象可 f'(x) + 0 - 0 +
能是 ( ) f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
从 而 可 知,当 x=-m 时,函 数 f(x)取 得 极 大 值9,即
f(-m)=-m3+m3+m3+1=9,∴m=2.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)=x3+2x2-4x+1,依题意知f'(x)
=3x2+4x-4=-5,
1
∴x=-1或x=-3.
( ) , ( 1 ) 68又f -1 =6f -3 = ,27
所以切线方程为y-6=-5(x+1),
68
或y- =-5
1
x+ ,
[解析] ( ) 本题考查了导数的意义,属于基础知识、基本运算 27 3
的考查.由导数是切线的斜率知,即f(x)函数图象上的切线的 即5x+y-1=0,或135x+27y-23=0.
4 2
斜率依次增大,B选项中曲线上从左到右的点的切线斜率先大 [真题14] (2021·全国Ⅰ)已知函数f(x)=x -3x +6.
后小,C选项斜率是一常数,D项斜率先增然后又减,只有 A项 (Ⅰ)讨论f(x)的单调性;
的曲线上从左到右的点的切线斜率是依次增大的.选A. (Ⅱ)设点P 在曲线y=f(x)上,若该曲线在点P 处的切线
[真题12] (2020·福建)已知函数y=f(x),y=g(x)的 l通过坐标原点
,求l的方程.
导函数的图象如图,那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是 [ 6 6解析] (Ⅰ)f'(x)=4x3-6x=4x(x+ )(2 x-
)
( ) 2
.
当x∈(
6
-∞,- )
6
和x∈(0, )时,f'(x)<0;2 2
6
当x∈(- ,) (
6
和 , )时, ()
2 0 x∈ 2 +∞ f'x >0.
因此,f(x)在区间(
6 6
-∞,- )和(2 0
, )是减函数,
2
f(x)在区间(
6
- ,0)和(
6,
2 2 +∞
)是增函数.
(Ⅱ)设点P 的坐标为(x0,f(x0)),由l过原点知,l的方程
为y=f'(x0)x.
[解析] 本题考查导函数的几何意义,函数在某点的导数 因此f(x0)=x0f'(x0),
4 2 3
表示对应的曲线在该点的切线斜率.由图象,当x∈(0,+∞)时, 即x0-3x0+6-x0(4x0-6x0)=0,
2 2
y=f(x),y=g(x)的导函数均大于0,所以y=f(x),y=g(x) 整理得(x0+1)(x0-2)=0.
的图象在x∈(0,+∞)单调递增,四个选项均符 合.又 当x∈ 解得x0=- 2或x0= 2.
(0,+∞)时y=f(x)的导函数单调递减,而y=g(x)的导函数 因此切线l的方程为y=-22x 或y=22x.
单调递增,所以随x 的增大,y=f(x)的图象坡度越来越平,而 [ x-1真题15] (2022·重庆)已知函数f(x)=x+a+ln
(x+1),
y=g(x)的图象坡度越来越陡,故选D.本题较深入地考查了原
函数与导函数的本质关系,是一道不可多得的好题. 其中实数a≠-1.
(Ⅰ)若a=2,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线
题源4 导数几何意义的综合运用 方程;
[真题13] (2020·湖北)已知函数f(x)=x3+mx2- (Ⅱ)若f(x)在x=1处取得极值,试讨论f(x)的单调性.
m2x+1(m 为常数,且m>0)有极大值9. ( )[解析] ( ) ( )
x+a- x-1 1 a+1
Ⅰ f' x = (x+a)2 +x+1=(x+a)2
·58·
1 ∴ 两条曲线交点的坐标为(e2,e).
+x+1.
切线的斜率为 (2) 1,
, () 2+1 1 7, () 1
k=f'e =
, 2e当a=2时 f'0 =( 而0+2)2+0+1=4 f 0 =-2 1 2
因此曲 线 y=f(x)在 点(,
∴ 切线的方程为 -e= (0 x-e
).
f(0))处 的 切 线 方 程 为 y- y 2e
( 1-2 ) 7= (x-0),即7x-4 () () ( ),4 y-2=0. 2 由条件知hx = x-alnx x>0
() 1 a x-2aa+1 1 ∴h'x = -x = 2x .(Ⅱ)因为a≠-1,由(Ⅰ)知 f'(1)=(1+a)2+1+1= 2 x
①当a>0时,令1 1 h'
(x)=0,解得x=4a2,
+ ,又因为f()在a+1 2 x x=1
处取得极值,所以f'(1)=0. ∴ 当01 1 当x>4a
2 时,h'(x)>0,h(x)在(4a2,+∞)上递增.
即
a+1+
,解得
2=0 a=-3. ∴x=4a2 是h(x)在(0,+∞)上的唯一极值点,且是极小
() x-1 值点,从而也是x h
(x)的最小值点.
此时f =x-3+ln
(x+1),其定义域为(-1,3)∪(3,+
∴ 最小值φ(a)=h(4a2)=2a-aln4a2=2a(1-ln2a).
( )( )
∞), ()
-2 1 x-1 x-7
且f'x =( )2+ ,由 ( ) x-2ax-3 x+1=(x-3)2(x+1) f'x = ②当a≤0时,h'(x)= >0,h(x)在(2x 0
,+∞)上递
0得x1=1,x2=7,当-17时,f'(x)>0;当1<7且x≠3时,f'(x)<0.由以上讨论知,f(x)在区间(-1,1], 故h(x)的最小值φ(a)的解析式为φ(a)=2a(1-ln2a)(a
[7,+∞)上是增函数,在区间[1,3),(3,7]上是减函数. >0).
[真题16] (2022·陕西)已知函数f(x)= x,g(x)= (3)由(2)知φ'(a)=-2ln2a,
alnx,a∈R. 对任意的a>0,b>0,
(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有 φ'(a)+φ'(b) 2ln2a+2ln2b
; =- =-ln4ab,相同的切线.求a的值及该切线的方程 2 2 ①
(2)设函数h(x)=f(x)-g(x),当h(x)存在最小值时,求 a+b
φ' =-2ln ·
a+b
2 =-ln(a+b)2≤-ln4ab,②
其最小值φ(a)的解析式;
( 2 ) ( 2 )
(3)对(2)中 的 φ(a)和 任 意 的 a>0,b>0,证 明:φ' '(2abφ a+b)=-2ln( ·2ab ) 4ab2 a+b ≥-2ln =-ln4ab,③
(a+b) φ'(a)+φ'(b) 2ab
2 ab
2 ≤ 2 ≤φ'(a+b) . '(a)+'(b)故由①②③得φ'(a+b)≤φ φ2 2 ≤φ'(2aba+b) .
[解析] () () 1 a 1f'x = ,g'(x)= (x x>0
),
2 x
ì
x=alnx
,
e
由已知得 í 1 a ,解得a= ,x=e2,
= 2
2 x x
(★代表高考出现的频次)
和v乙(如图所示).那么对于图中给定的t 和t ,下列判断中一
题源1 导数的有关概念(★★★★) 0 1定正确的是 ( )
1.(2020·北京)如图,函数f(x)的图象是折线段ABC,其
中A,B,C 的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4),则f(f(0))= ;
f(1+Δx)-f(1)
lim Δx = .
(用数字作答)
Δx→0
A.在t0 时刻,两车的位置相同
B.t0 时刻后,乙车在甲车前面
C.在t1 时刻,甲车在乙车前面
时刻后,甲车在乙车后面
2.( ·
D.t1
2021 广东)已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿
同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为v甲
·59·
( ) C.y=2x-2 D.y=-2x+2题源2 导数的运算 ★★★★★
10.(2021·辽宁)
x
曲线y= 在点(1,-1)处的切线方程为
1 x-2
3.(2019·全国Ⅰ)曲线y=3x
3+x 在点 (1,43 ) 处的切 ( )
线与坐标轴围成的三角形面积为 ( ) A.y=x-2
1 2 1 2 B.y=-3x+2
A.9 B.9 C.3 D.3 C.y=2x-3
4.(2020·福建)函数f(x)=cosx(x∈R)的图象按向量 D.y=-2x+1
( ,) , ( ·浙江)设 ( )是函数 ( )的导函数,将m 0 平移后 得到函数y=-f'(x)的图象,则m 的值可以为
11.2019 f'x f x y=
( ) f
(x)和y=f'(x)的图象画在同一个直角坐标系中,不可能正
确的是 (
π π
)
A.2 B.π C.-π D.-2
5.(2022·江西)若函数f(x)=ax4+bx2+c满足f'(1)=
2,则f'(-1)等于 ( )
A.-1 B.-2
C.2 D.0
6.(2020·全国Ⅰ)设曲线y=eax 在点(0,1)处的切线与直
线x+2y+1=0垂直,则a= .
7.(2018·全国Ⅰ)设函数f(x)=cos(3x+φ)(0<φ<π).
若f(x)+f'(x)是奇函数,则φ= .
8.(2020·江苏)请先阅读:在等式cos2x=2cos2x-1(x∈
R)的两边对x 求导(cos2x)'=(2cos2x-1)'.
由求导法则得(-sin2x)·2=4cosx·(-sinx),化简后得
等式sin2x=2sinxcosx. 12.(2020·福建)如果函数y=f(x)的图象如下图,那么导
(Ⅰ)利用上述想法(或者其他方法),试由等式(1+x)n=C0 函数n y=f'(x)的图象可能是 ( )
+C1nx+C2 2nx +…+Cn-1xn-1n +Cnnxn(x∈R,整数n≥2)证明:n y
n
[(1+x)n-1-1]=∑kCk k-1 y=f(x)nx .
k=2
(Ⅱ)对于整数n≥3,求证: O x
n
(ⅰ)∑(-1)kkCkn=0;
k=1
n
(ⅱ)∑(-1)kk2Ckn=0; y y
k=1
n n+1
( ) 1 k 2 -1ⅲ ∑ Cn=
k=0k+1 n+1 . O x O x
A B
y y
O
O x x
C D
13.(2019·浙江)曲线y=x3-2x2-4x+2在点(1,-3)
处的切线方程是 .
14.(2018·北京)过原点作曲线y=ex 的切线,则切点的坐
标为 ,切线的斜率为 .
15.(2021·宁海)曲线y=xex+2x+1在点(0,1)处的切
线方程为 .
16.(2021·江苏)在平面直角坐标系xOy 中,点P 在曲线
题源3 导数的几何意义(★★★★) C:y=x3-10x+3上,且在第二象限内,已知曲线C 在点P 处
9.(2022·全国)曲线y=x3-2x+1在点(1,0)处的切线 的切线的斜率为2
,则点P 的坐标为 .
方程为 ( ) 17.(2021·北京)设f(x)是偶函数.若曲线y=f(x)在点
A.y=x-1 B.y=-x+1 (1,f(1))处的切线的斜率为1,则该曲线在点(-1,f(-1))处
·60·
的切线的斜率为 .
题源4 导数几何意义的综合应用(★★★★★)
2
18.(2022·北京)设函数f(
k
x)=ln(1+x)-x+ x2(k≥0). ( · ) () 2ax-a +120.2019 天津 已知函数2 f x =
(
x2+1 x∈R
),其
(Ⅰ)当k=2时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线 中a∈R.
方程; (Ⅰ)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线
(Ⅱ)求f(x)的单调区间. 方程;
(Ⅱ)当a≠0时,求函数f(x)的单调区间与极值.
21.(2021·天津)已知函数f(x)=(x2+ax-2a2+3a)ex
19.(2018·重庆)设函数f(x)=x3-3ax2+3bx 的图象与 (x∈R),其中a∈R.
直线12x+y-1=0相切于点(1,-11). (Ⅰ)当a=0时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线
(Ⅰ)求a、b的值; 的斜率;
(Ⅱ)讨论函数f(x)的单调性. (Ⅱ)
2
当a≠ 时,求函数f(x)的单调区间与极值3 .
2022-2023高考题源拓展测试
未来高考还会这样考
(测试时间:90分钟 总分:100分)
一、选择题(本题包括8小题,每小题2.5分,共20分。每小题 4.( 2)已知f(x)=x2+2xf'(1),则f'(0)等于 ( )
只有一个选项符合题意) A.0 B.-4 C.-2 D.2
x 5.( 2,3)若曲线 (x) 4( ,) =x -x 在点P 处的切线平行于直1. 23 曲线y= 在点(1,1)处的切线方程为
f
2x-1 线3x-y=0,则点P 的坐标为 ( )
( ) A.(1,0) B.(1,5)
A.x-y-2=0 B.x+y-2=0 C.(1,-3) D.(-1,2)
C.x+4y-5=0 D.x-4y-5=0 6.( 2.3)曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为
2.( 2)下列求导数运算正确的是 ( ) 3x+y+3=0,则 ( )
1 1 1
A.(x+ )'=1+ B.(logx)'= A.f'(x0)>0 B.f'(x0)<0x x2 2 xln2 C.f'(x0)=0 D.f'(x0)不存在
C.(3x)'=3xlog3e D.(x2cosx)'=-2xsinx 7.( 2.3)f(x)=x3+x-2在点P0 处的切线平行于直线
3.( 2.3)已知定义在R上的函数y=f(x)在x=2处的切 y=4x-1,则P0 的坐标为 ( )
线方程是y=-x+6,则f(2)+f'(2)等于 ( ) A.(1,0) B.(2,8)
1
A. B.2 C.3 D.0 C.(1,0)或(2 -1
,-4) D.(2,8)或(-1,-4)
·61·
8.( 3.4)
1 ax-6
设函数f(x)= 22xsinθ+ 3xcosθ
,其中θ∈R 16.( 4)已知函数f(x)= 2 的图象在点M(-1,f( ))x +b -1
为参数,那么f'(1)的最大值是 ( ) 处的切线方程为x+2y+5=0.求:
A.1 B.2 C.3 D.4 (1)函数y=f(x)的解析式;
二、填空题(本题包括4小题,每小题5分,共20分) (2)函数y=f(x)的单调区间.
1
9.( 3)由一条曲线y= (其中x≥0)与直线y=1,x y=2
以及y 轴所围成的曲边梯形的面积是 .
10.( 3)曲线y=x3 在点(a,a3)(a≠0)处的切线与x 轴,
1
直线x=a所围成的三角形的面积为 ,则6 a= .
11.( 3)函数f(x)=lnx 的图象在(e,f(e))处的切线方
程是 .
12.( 2.3)设a∈R,函数f(x)=ex+a·e-x 的导函数为
奇函数, 3若曲线y=f(x)的一条切线的斜率为 ,则切点的横2
坐标为 .
三、解答题(本题包括5小题,每小题12分,共60分)
13.( 2)求下列函数的导数.
(1)y=x·tanx;
(2)y=(x+1)(x+2)(x+3). 17.( 4)已知函数f(x)=2 x+1(x>-1),曲线y=
f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线l分别交x 轴和y 轴于A、B
两点,O 为坐标原点.
(1)求x0=1时切线l的方程;
(2)若P 点为 2 23
è-
, ÷,求△AOB 的面积.
3 3
14.( 2.3)已知曲线y=x2-1与y=3-x3 在x=x0 处
的切线互相垂直,求x0 的值.
15.( 3.4)有一个长度为5m的梯子贴靠在笔直的墙上,假
设其下端沿地板以3m/s速度离开墙脚滑动,求当其下端离开墙
脚1.4m时,梯子上端下滑的速度.
·62·(2)设甲方净收入为v元,则v=st-0.002t2. 因此开讲后10分钟学生达到最强接受能力,并
1000 2 10002( ) 维持6分钟, : .将t= 代 入 上 式 得s v = s (2)f(5)=53.5,f(20)=47<53.5,故开讲后5
2×10003 分钟比开讲后20分钟的接受能力强- . .s4
10002 8×10003 第四章 导数及其应用
又 令 v' = - s2 + s5 §4.1 导数与积分
10002(8000-s3)
= 5 五年高考母题原型训练s
, 1.2 -2
【解析】
v'=0 得s=20. f
[f(0)]=f(4)=2,
f(, ; 1+Δx
)-f(1) x y
当s<20时 v'>0 当s>20时,v'<0,所以s= lim =f'(1),由 图 解 得 +
Δx 0 Δx 2 4
20时,v取得最大值. =1,
因此甲方向乙方要求赔付价格s=20(元/吨) ∴2x+y=4,∴y=-2x+4,y'=-2=f'(1).
时,获最大净收入. 此题主要考查学生对导数的定义理解以及如何由图
15. 解:(1)每套福娃所需成本费用为 象读取信息,属于中档题.
1
1000+5x+ x2 2.C 【解析】 由路程S=∫
t
0v(t)dt的意义即
P 10 1 1000 , “
x = x =10x+ x +5≥ 可产生结论 也就是 在t1 时刻
,甲车在乙车前面”.
3.A 【解析】 本小题主要考查导数的几何意
2 100+5=25.
1 1000 义.y'=x2+1.∴
4
y'|x=1=2,即曲线在点 1, 处切
当且仅当 x= 时取等号,即10 x x=100
时,每 ( 3 )
线的斜率为2.
套福娃所需成本费用最少为25元.
x 2
4
( ) ( x ) ∴切线方程为y- =2(() x-1).则切线在x 轴2 利润为Qx-P=xa+ 3b - 1000+5x+10
1 2
(1 1 ) 上的截距为 ,在y 轴上的截距为2 ( ) , 3 -3.故所求三角= b-10 x + a-5x-1000
1 1 2 1
ì 5-a 形的面积为S= × × = .故选A.
1 1 =150
, 2 3 3 9
2 - 4.A 【解析】 考查向量平移、函数求导.解题
由题意可得í (b 10) a=25,b=30.
关键是先将平移前后的函数名称化为一致,后利用平150
a+ =30, b 移公式 求 解.本 题 也 可 将 选 项 代 入 验 证.由 题 意,
16. 解:(1)前n天注入水库的总水量为 cos(x-m)=-f'(x)=-(-sinx)=sinx.∴m 可
5000 n(n+24)立方米,并泄水4000n立方米, π以取
· 2
.
所以第n天水库的容水量将达到80000+5000
5.B 【解析】 由f(x)=ax4+bx2+c 得f'
n(n+24)-4000n(n∈N*,n≤10). (x)=4ax3+2bx,又f'(1)=2,所以4a+2b=2,即
(2)设第R 天水库的水量超过它的最大容水量, 2a+b=1,f'(-1)=-4a-2b=-2(2a+b)=-2.
即f(R)≥128000,即80000+5000 R(R+24)- 故选B.
4000R≥128000. 6.2 【解析】 y'=aeax,当x=0时,可得k=
化简可得,5 R(R+24)≥4R+48, y'|x=0=a,
两边平方并整理可得:R2+24R-256≥0,即 ∵点(0,1)处的切线与直线x+2y+1=0垂直,
(R+32)·(R-8)≥0 R≥8,即第8天发生危险. ∴a=2.
17. 解:(1)当013)2+59.9,故f(x)递增,最大值为f(10)=59. 6
当16递减,f(x)<-3×16+107=59. f(x)+f'(x)=cos(3x+φ)- 3sin(3x+φ)
·26·
(π ), (1,-1)处的切线斜率为-2,故由点斜式得所求切线=2sin 6- 3x-φ 方程为y=-2x+1.
π
由此函数为奇函数可得 -φ=kπ,(k∈Z)由 11.D
【解析】 由函数f(x)递增时,f'(x)>
6 0,函数f(x)递减时,f'(x)<0,函数f(x)取最值
0<φ<π,
π
可得φ= . 时,f'(x)为0,结合图象可判得6 D.
:( ) ( )n 0 1 2 2 12.A 【解析】 考查导数与函数的本质关系,8. 证明 Ⅰ 在等式 1+x =Cn+Cnx+Cnx
,
+…+Cn-1xn-1 n n ( )n-1
可通过函数图象的单调性判断导数的符号 本题中
n +Cnx 两边求导得n
.
1+x =
,
C1+2C2n nx+…+(n-1)Cn-1 n-2 n n-1
所给函数图象的单调性从左到右依次为增减增减 相
n x +nCnx .
, ,
n 应的导数值应为正负正负 故选A.解此类问题 应牢
移项得n[(1+x)n-1-1]=∑kCknxk-1. (*)
k=2 记导函数图象的单调性与原函数图象的单调性并无
(Ⅱ)(ⅰ)(*)式中,令x=-1,整理得 必然联系,以免误选C.
n
∑(-1)k-1kCk=0. 13.5x+y-2=0 【解析】 切线的斜率k=n
k=2
n y'|x=1=-5,
所以∑(-1)kkCkn=0. 在点(, )处的切线方程为 (
k=1 ∴ 1 -3 y+3=-5x-
(ⅱ)由(Ⅰ)知n(1+x)n-1=C1n+2C2nx+…+ 1),即5x+y-2=0.
(n-1)Cn-1n xn-2+nCn n-1 xnx ,n≥3. 14.(1,e) e 【解析】 设过原点y=e 切线
两边对x 求导,得 方程为y=kx,切点为(x0,y0),
n(n-1)(1+x)n-2=2C2 3n+3·2Cnx+…+n(n y0=kx0
-1)Cnxn-2n . 有 y'= (ex)'=ex,∴ {k=ex0,解 得 x0 =在上式中令x=-1,得 y x00=e
0=2C2+3·2C3n n(-1)+…+n(n-1)Cnn(-1)n-2, 1,y0=e
n n
即∑k(k-1)Ck(-1)k-1=0亦即∑(-1)k(k2 ∴
切点为(1,e),∴切线斜率为y'|x=1=e.
n
k=2 k=1 15.y=3x+1 【解析】 由y'=ex+xex+2,
-k)Ckn=0. ① 可得点(0,1)处的切线的斜率k=e0+0e0+2=3,∴
n
又由(ⅰ)知,∑(-1)kkCkn=0. ② 点(0,1)处的切线方程为y=3x+1.
k=1
n 16.(-2,15) 【解析】 本题考查了导数的几
由①+②得∑(-1)kk2Ckn=0.
k=2 何意义,曲线方程对应的函数的导数的几何意义是曲
(ⅲ)将等式(1+x)n=C0+C1x+C2 2n n nx +…+ 线上某点的切线的斜率.由y'=3x2-10=2可解得
Cn-1 n nn +Cnx 两边在[0,1]上对x 积分, x=±2,∵切点P 在第二象限内,∴x=-2,由此可
1
∫(
1
0 1+x)
ndx=∫ (C00 n +C
1
nx+C2 2nx + … + 得点P 的坐标为(-2,15).
Cn-1xn-1+Cnxnn n )dx. 17. -1 【解析】 本题主要考查导数与曲线在
由微积分基本定理,得 某一点处切线的斜率的概念,属于基础知识、基本运
1 1 2
1 n 1
算的考查.取f(x)=x ,如图,采用数形结合法,易得
( )n+1 ∑ k k+1
n+11+x = k=0k+1
Cnx ÷ , 该曲线在(
è -1
,f(-1))处的切线的斜率为-1.故应
0 0 填-1.
n 1 n+1
所以∑ Ck
2 -1
k+1 n=k=0 n+1 .
9.A 【解析】 由题可知,点(1,0)在曲线y=
x3-2x+1上,求导可得y'=3x2-2,所以在点(1,
0)处的切线的斜率k=1,切线过点(1,0),根据直线
的点斜式可得过点(1,0)的曲线y=x3-2x+1的切
线方程为y=x-1,故选A.
10.D 【解析】 本题考查导数的几何意义.y= 18. 解:(Ⅰ)当k=2时,f(x)=ln(1+x)-x+
2 -2
1+ ,所 以 y'=( )2,所 以 所 求 曲 线 在 点 x
2,f'(
1
x)= -1+2x.由于 ()x-2 x-2 1+x f 1 =ln2
,f'(1)
·27·
3 =3
(x2-2x-3)
= ,2 =3(x+1)(x-3),
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程 令f'(x)>0,解得x<-1或x>3;
3 又令f'(x)<0,解得-1为y-ln2= (x-1),即2 3x-2y+2ln2-3=0. 所以当x∈(-∞,-1)时,f(x)是增函数;
x(kx+k-1) 当x∈(3,+∞)时,f(x)也是增函数;(Ⅱ)f'(x)= ,1+x x∈
(-1,+∞).
但x∈(-1,3)时,f(x)是减函数.
当k=0时,f'()
x
x =- , 2x1+x 20. 解:(Ⅰ)当a=1时,f(x)= , ()x2+1f 2 =
所以,在区间(-1,0)上,f'(x)>0;在区间(0, 4 2(2( ) x +1
)-2x·2x 2-2x2 ,
+∞)上,f'(x) 5
.又 f' x =<0. (x2+1)2 =(x2+1)2 f'
故f(x)的单调递增区间是(-1,0),单调递减区 () 62 =- .
间是(0,+∞). 25
x(kx+k-1) 所以曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程
当0,得
4 6
为y- =- (x-2),即5 25 6x+25y-32=0.
, 1-kx1=0x2= k >0. 2a(x2+1)-2x(2ax-a2+1)(Ⅱ)f'(x)= 2 2
所以,在区间(-1,0)和 (1-k,k +∞ )
(x +1)
上,f'(x) -2(x-a)(ax+1)
= (x2+1)2 .
>0;在区间 ( ,1-k0 ) 上,f'(k x)<0. 由于a≠0,以下分两种情况讨论.
故 f (x)的 单 调 递 增 区 间 是 (-1,0)和 ①当a>0时,令f'(x)=0,
1
得到x1=- ,
(1-k a,+∞ ),单调递减区间是 ( ,1-kk 0 k ) . x2=a,当x 变 化 时,f'(x),f(x)的 变 化 情 况 如
2
当k=1时,f'()
x 下表:
x =1+x.
故f(x)的单调递增区间是(-1,+∞). x ( 1 1 1-∞,- , (, )a ) -a (-a a) a a +∞
x(kx+k-1)
当k>1时,由f'(x)= ,得1+x =0 x1 f'(x) - 0 + 0 -
1-k
= k ∈
(-1,0),x =0. f(x) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘2
所以 ()在区间 , 1 ,(, )内为
所以,在区间 ( ,1-k-1 和(,k ) 0 +∞)上,'(x) f x (-∞ -a ) a +∞f
>0;在区间 (1-k, ) , () 减函数,在区间 (
1
- ,a) 内为增函数上 'x <0. a .k 0 f
( ) ( ,1-k) 函数 f( )
1
x 在 x1 = - 处 取 得 极 小 值故 f x 的 单 调 递 增 区 间 是 -1 和 fk a
1 1 2
(0,
,且
+∞),单调递减区间是 (1-k, ) . (-a ) f (-a )=-a .k 0
:( ) () 2 函数f(x)在x2=a 处取得极大值f(a),且19. 解 Ⅰ 求导得f'x =3x -6ax+3b. f
()
由于f(x)的图象与直线12x+y-1=0相切于
a =1.
当 时,令 ( ) ,得到 ,
点(1,-11), ② a<0 f' x =0 x1=a x2=
所以f(1)=-11,f'(1)=-12,即
1
-a .
{1-3a+3b=-11,解得 ,, a=1b=-3. 当x 变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:3-6a+3b=-12
(Ⅱ)由a=1,b=-3得 x (-∞,a) a ( , 1 ) 1 1a - - (- ,+∞ )
f'(x)=3x2-6ax+3b
a a a
·28·
f'(x) + 0 - 0 + 函数f(x)在x=a-2处取得极大值f(a-2),
且f(a-2)=(() 4-3a
)ea-2.
f x ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
函数f(x)在x=-2a处取得极小值f(-2a),
所以f(x)在区间(-∞,a),( 1- ,+∞ ) 内为 且f(-2a)=3ae-2a.a 2012—2013高考题源拓展测试
增函数,在区间 ( 1a,- ) 内为减函数. 1.B 2.B 3.C 4.B 5.A 6.B 7.C a
8.B
函数f(x)在x1=a 处取得极大值f(a),且f 9.ln2 10. ±1
(a)=1. 11.x-ey=0
函数 f (x)
1
在 x2 = - 处 取 得 极 小 值 12.ln2a
( 1 ) 13. 解:(1)
·
y'=(x·tanx)'=
x sinx'
f - , ( cosx )a (xsinx)'·cosx-xsinx·(cosx)'
( 1 ) =2 cos2且f -a =-a . x(sinx+xcosx)·cosx+xsin2x
21. 解:(Ⅰ)当a=0时,f(x)=x2ex, = cos2x
f'(x)=(x2+2x)ex,故f'(1)=3e. sinx·cosx+xcos2x+xsin2x
=
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜 cos2x
率为3e. 1sin2x+xcos2x+xsin2x
(Ⅱ)f'(x)=[x2+(a+2)x-2a2+4a]ex. 2= cos2x
令f'(x)=0,解得x=-2a,或x=a-2. sin2x+2x
2 =
由 知, 2cos2
.
a≠ x3 -2a≠a-2. (2)方法一:y=(x2+3x+2)(x+3)
以下分两种情况讨论. =x3+6x2+11x+6,
2
①若a> ,
2
则
3 -2a∴y'=3x +12x+11.
方法二:y'=[(x+1)(x+2)]'(x+3)+(x+
当x 变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表: 1)(x+2)(x+3)'
x (-∞,-2a)-2a (-2a,a-2)a-2(a-2,+∞) =[(x+1)'(x+2)+(x+1)(x+2)'](x+3)+
f'(x) + 0 - 0 + (x+1)(x+2)
() (f x ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ = x+2+x+1
)(x+3)+(x+1)(x+2)
=(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2)
所以f(x)在(-∞,-2a),(a-2,+∞)内是增 =3x2+12x+11.
函数,在(-2a,a-2)内是减函数. 14. 解:曲线y=x2-1在x=x0 处的切线斜率
函数f(x)在x=-2a处取得极大值f(-2a), 为2x0,曲线y=3-x3 在x=x0 处的切线斜率为
且f(-2a)=3ae-2a. -3x20.
函数f(x)在x=a-2处取得极小值f(a-2), ∵两切线相互垂直,
且f(a-2)=(4-3a)ea-2.
∴2x0·(
1
-3x20)=-1,∴x0=3 .2
②若a< ,则 63 -2a>a-2. 15. 解:设经时间t秒梯子上端下滑s米,则s=
当x 变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表: 5- 25-9t2,当下端移开1.4m时,所用时间为t0
x (-∞,a-2)a-2(a-2,-2a)-2a (-2a,+∞) 7
= ,
9t
又s'= ,
2
f'(x) + 0 - 0 + 15 25-9t
7
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 15
所以f(x)在(-∞,
所以 ( ) (/),
a-2),(-2a,+∞)内是增 s't0 =9× =0.875ms7 2
函数,在(a-2,-2a)内是减函数. 25-9× (15)
·29·
即梯子上端下滑的速度为0.875m/s. §4.2 导数的应用
16. 解:(1)由函数f(x)的图象在点 M(-1, 五年高考母题原型训练
f(-1))处的切线方程为 x+2y+5=0,知-1+ 1.D 【解析】 f'(x)=(x-3)'ex+(x-
2f(-1)+5=0, 3)(ex)'=(x-2)ex,令 f'(x)>0,解 得 x>2,故
即f(
1
-1)=-2,f'(-1)=- . 选D.2 2.(-1,11) 【解析】 本题考查了导数法求函
(2 ) ( )
∵f'()
ax +b -2xax-6
x = , 数的单调区间问题.由f(x)=x3-15x2-33x+6,(x2+b)2
可得f'(x)=3x2-30x-33=3(x2-10x-11),令
ì -a-6
1+b =-2
, f'(x)<0可解得-1∴ í 2
a(1+b)+2(-a-6) 1 15x -33x+6的单调减区间为(-1,11). , (1+b)2 =-2 3. [1,+∞ ) 【解析】 f'(x)=x'lnx+
{a=2b-4
, e
即 a(1+b)-2(a+6) 1
=- , x(lnx)
x
'=lnx+x =lnx+1
,由f'(x)≥0,可得lnx
(1+6)2 2
解得a=2,b=3(∵b+1≠0,∴b=-1舍去.) +1≥0,
1
解之得x≥ ,即得函数e f
(x)的递增区间
2x-6
所以所求的函数解析式是f(x)=x2+3. 为 [1,
-2x2+12x+6 e
+∞ ) .
(2)f'(x)= (x2+3)2 . 4. 解:(Ⅰ)因f(x)=ax
2+bx+k(k>0),故
令-2x2+12x+6=0,解得x =3-2 3,x f'
(x)=2ax+b,
1 2
又f(x)在x=0处取得极值,故f'(0)=0,从而
=3+23,
b=0.
当x<3-23或x>3+23时,f'(x)<0; 由曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线与直线x
当3-230. +2y+1=0相互垂直可知该切线斜率为2,即f'(1)
2x-6
∴f(x)= 在(-∞,3-23)内是减函数; =2
,有2a=2,从而a=1.
x2+3
( ) e
x
( , ) ; ( , ) Ⅱ 由(Ⅰ)知,g(x)= 2 ( ),在 3-233+23 内是增函数 在 3+23 +∞ x +kk>0
内是减函数. ex(x2-2x+k)
g'(x)= ( ( )x2+k)2 k>0 .
17. 解:(
1
1)f'(x)= ,记y0=f(x0),过
x+1 令g'(x)=0,有x2-2x+k=0(k>0).
1 (1)当Δ=4-4k<0,即当k>1时,( , g'
(x)>0在
点P x0 y0)的切线方程为y-y0= (x-
x0+1 R上恒成立,故函数g(x)在R上为增函数.
), x xx 即 = + 0
+2 (2)当Δ=4-4k=0.即当k=1时,有 '(x)=
0 y ,
g
x0+1 x0+1 ex(x-1)2
(2 ( ),从而当 时,( )在 上
所以,当x =1时,切线l的方程为x- 2y+3 x +1
)2 >0x≠1 k=1 g x R
0
为增函数
=0. .
(3)当Δ=4-4k>0,即当x +2 0时,方程x2
(2)当x=0时, 0y= ;当y=0时,x=
x +1 -2x+k=0有两个不相等实根x1=1- 1-0 k,x2
-x0-2. =1+ 1-k.
1 x0+2 ·( (x +2) x0+2
)2
S , 当x∈(= = -∞,1- 1-k)时,g'(x)>0,△AOB 2 0x0+1 2 x0+1 故g(x)在(-∞,1- 1-k)上为增函数;
( 2
2
-3+2) 当x∈(83 1- 1-k,1+ 1-k)时,g'(x)<0,
∴S△AOB= = .
2 9 故g(x)在(( ) 1- 1-k
,1+ 1-k)上 为 减
2 -3 +1 函数;
·30·
( , ) , () , 7. 解:(Ⅰ)f'(x)=3mx2当x∈ 1+ 1-k +∞ 时 g'x >0 -6(m+1)x+n,
故g(x)在(1+ 1-k,+∞)上为增函数. 因为x=1是f
(x)的一个极值点,所以f'(1)=
5. 解:(Ⅰ)f'(x)=5x4+3ax2+b. 0
,即3m-6(m+1)+n=0,所以n=3m+6.
由假设知f'(1)=5+3a+b=0, (Ⅱ)由(Ⅰ)知,f'(x)=3mx
2-6(m+1)x+3m
f'(2)=24×5+22×3a+b=0. +6=3m(x-1)[x- ( 21+
25 m
) ] .
解得a=- ,3 b=20. 2当m<0时,有1>1+ ,当x 变化时,f(x)与
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 m
( ()的变化如下表:f'x)=5x4-25x2+20=5(x2-1)(x2-4) f
'x
=5(x+1)(x+2)(x-1)(x-2). x ( 2 2 2-∞,1+ )1+ (1+ ,1) 1 (1,+∞)
当x∈(-∞,-2)∪(-1,1)∪(2,+∞)时,
m m m
f'(x)>0, f
'(x) - 0 + 0 -
当x∈(-2,-1)∪(1,2)时,f'(x)<0, f(x) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘
因此f(x)的单调增区间是(-∞,-2),(-1, 由上表知,当m<0时,f(x)在 ,
2 单
1),(
-∞ 1+
2,+∞), ( m )
f(x)的单调减区间是(-2,-1),(1,2). 调递减,在 ( 21+ ,1) 单 调 递 增,在(1,+∞)单 调
6. 本小题主要考查函数的定义域、利用导数等 m
知识研究函数的单调性,考查分类讨论的思想方法和 递减.
运算求解的能力. (Ⅲ)由已知,得f'(x)>3m,即 mx
2-2(m+1)
解:f(x)的定义域是(0,+∞), x+2>0,∵m<0,
2 a x2-ax+2 2 2 2
f'(x)=1+ - = ∴x - (m+1)x+ <0,x2 x x2 . m m
设g(x)=x2-ax+2,二次方程g(x)=0的判 2即x2-2( 11+m )x+ <0,x∈[-1,1] (*)别式Δ=a2-8. m
1 2
①当Δ<0即00都有 设g(x)=x2-2(1+ )x+ ,其函数图象的m m
f'(x)>0. 开口向上.
此时f(x)是(0,+∞)上的单调递增函数. 由题意,(*)式恒成立,
②当Δ=0即a=22时,仅对x= 2有f'(x)= 2 2 4
0,对其余的x>0都有f'(x)>0. {g(-1)<0 1+2+m+m<0 <-3∴ m
此时f(x)也是(0,+∞)上的单调递增函数. g
(1)<0 {-1<0 {-1<0
③当Δ>0即a>22时,方程g(x)=0有两个 4 - ,又3a- a2-8 2
不同的实根x1= ,
a+ a -8
2 x2=
,
2 4∴- 04
x (0,x1) x1 (x1,x ) x (x ,+∞)
即m 的取值范围是-3f'(x) + 0 - 0 + 8.D 【解析】 由题意可知f'(-3)=0,可直
接计算得a=5,故选D.
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 9.C 【解析】 由题意,取f(x)=-x2,g(x)
此时 (x)在
4
f ,a- a
2-8 =-x ,则0是f(x)的极大值,也是g(x)的极大值;
è0
÷ 上单调递增,
2 取f(x)=x4,g(x)=x2,则0是f(x)的极小值,也
a- a2-8a+ a2-8 是g(x)的极小值;取 (, f x
)=x4,g(x)=0,则0是在 f , ÷ 上单调递减
è 8 2 (x)的极小值,但不是g(x)的极值,由此可得A、B、D
在 a+ a
2-8 中符合条件的函数情形均可以出现.实质上,由于f ,+∞ ÷ 上单调递增.è 2 (x)≥g(x),若0是f(x)的极大值,则也必然是g
·31·
(x)的极大值,故应选C. (ⅱ)当c<12时,f'(x)=0有两个互异实根
10.4 【解析】 f'(x)=3ax2-3, x1,x2.不妨设x1当a≤0时,∵f'(x)=3ax2-3<0, 当x0,f(x)在区间(-∞,x1)
∴f(x)在[-1,1]上为减函数, 内为增函数;
∴f(x)最小值=f(1)=a-2≥0, 当x1解之得a≥2(与条件a≤0矛盾); x2)内为减函数.
1 当x>x2 时,f'(x)>0,f(x)在区间(x2,+∞)
当a>0时,令f'(x)=0可得x=± ,当x∈
a 内为增函数.
1 1 所以f(x)在x=x1 处取极大值,在x=x2 处取(- , )时,f'(x)<0,f(x)为减函数;
a a 极小值.
1 1 因此当且仅当c<12时,函数f(x)在x=x2 处
x∈(-∞,- ),或( ,+∞)时,f'(x)>0,
a a 存在唯一极小值,
f(x)为增函数. 所以t=x2>2.
由f(-1)=4-a≥0可 得01 1 3 2 由f'(t)=3t
2-12t+c=0得c=-3t2+12t.
( )=a× - +1=1- ≥0可得a≥4,
a aa a a 于是
3 2 3 2
∴a=4. g(t)=f(t)=t -6t +ct=-2t +6t ,t∈(2,
11. 解:由f(x)=sinx-cosx+x+1,0<2π, 当t>2时,g'(t)=-6t
2+12t=6t(2-t)<0,
知f'(x)=cosx+sinx+1, 所以函数g(t)在区间(2,+∞)内是减函数.
π 故( ) g
(t)的值域为(-∞,8).
于是f'(x)=1+ 2sinx+4 . 13. 本小题考查函数、函数极值的概念,考查应
π 2 用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力.令f'(x)=0,从而sin(x+4 )=- ,得2 x=π 解:(Ⅰ)由已知,切点为(2,0).故用f(2)=0,
3π 即4b+c+3=0 ①
或x=2. f'(x)=3x2+4bx+c,f'(2)=12+8b+c=5②
当x 变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表: 联立①、②,解得c=1,b=-1,
于是函数解析式为f(x)=x3-2x2+x-2.
(0,π) π (,3π π)
3 (3 , )
2 2π 2π2π ( 1Ⅱ)g(x)=x3-2x2+x-2+3mx
,
f'(x) + 0 - 0 +
() mg'x =3x2-4x+1+ ,令g'(x)=0.
单调 单调 3 单调 3
f(x) π+2 2π递增 递减 递增 m当函数有极值时,Δ≥0,方程3x2-4x+1+3
因此,由上表知f(x)的单调递增区间是(0,π)与 =0有实根,由Δ=4(1-m)≥0,得m≤1.
(3π,2π),单 调 递 减 区 间 是 (π,3 ,极 小 值 为 22 2π) ①当m=1时,g'(x)=0有实根x= ,3
3
f (2π) 3π= ,极大值为 ()2 f π =π+2. 2在x= 左右两侧均有3 g'(x)>0,故函数g(x)
12. 解:(Ⅰ)f'(x)=3x2+2bx+c. 无极值.
因为函数f'(x)的图象关于直线x=2对称, ②当m<1时,g'(x)=0有两个实根,
2b
所以-6=2
,于是b=-6. 1 1x1= (3 2- 1-m
),x2= (3 2+ 1-m
),
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)=x3-6x2+cx, 当x 变化时,g'(x),g(x)的变化情况如下表:
f'(x)=3x2-12x+c=3(x-2)2+c-12. ( , ) ( , ) ( , )
( ) x -∞ x x x x x x +∞ⅰ 当c≥12时,f'(x) ,此时 (x)无极值
1 1 1 2 2 2
≥0 f .
·32·
g'(x)
,
+ 0 - 0 + ≤0成立
3a 4
g(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 当且仅当- 解得4-1≤0. a≥-3.
故在m∈(-∞,1)时,函数g(x)有极值: 综上,a的取值范围是 [ 4,1-3 6 ] .1
当x= (3 2- 1-m
)时,g(x)有极大值; 16. 本小题主要考查函数的奇偶性、单调性、极
1 值、导数、不等式等基础知识,考查运用导数研究函数
当x= (2+ 1-m)时,g(x)有极小值3 . 性质的方法,以及分类与整合、转化与化归等数学思
14. 解:(Ⅰ)f'(x)=3x2-3a=3(x2-a), 想方法,考查分析问题和解决问题的能力.
当a<0时,对x∈R,有f'(x)>0, 解:(Ⅰ)由函数f(x)的图象过点(-1,-6),
∴当a<0时,f(x)的 单 调 增 区 间 为(-∞, 得m-n=-3. ①
+∞). 由f(x)=x3+mx2+nx-2,得f'(x)=3x2+
当a>0时,由f'(x)>0解得x<- a 或x 2mx+n,
> a; 则g(x)=f'(x)+6x=3x
2+(2m+6)x+n,
由f'(x)<0解得- a∴当a>0时,f(x)的 单 调 增 区 间 为( ,
2×3
-∞
=0,
- a),(a,+∞);f(x)的单调减区间为(- a, 所以m=-3,代入①得n=0.
a). 于是f'(x)=3x2-6x=3x(x-2).
(Ⅱ)∵f(x)在x=-1处取得极值, 由f'(x)>0得x>2或x<0,故f(x)的单调
∴f'(-1)=3×(-1)2-3a=0,∴a=1. 递增区间是(-∞,0),(2,+∞);
∴f(x)=x3-3x-1,f'(x)=3x2-3, 由f'(x)<0得0由f'(x)=0解得x1=-1,x2=1. 间是(0,2).
由(Ⅰ)中f(x)的单调性可知,f(x)在x=-1 (Ⅱ)由(Ⅰ)得f'(x)=3x(x-2),
处取得极大值f(-1)=1,在x=1处取得极小值f 令f'(x)=0得x=0或x=2.
(1)=-3. 当x 变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
∵直线y=m 与函数y=f(x)的图象有三个不
同的交点, x (-∞,0) 0 (0,2) 2 (2,+∞)
结合f(x)的单调性可知,m 的取值范围是(- f'(x) + 0 - 0 +
3,1). f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
15.解:(1)f'(x)=4(x-1)(3ax2+3ax-1).
由此可得:1
当a= 时,6 f'
(x)=2(x+2)(x-1)2,f(x)在 当0(-∞,-2)内单调减,在(-2,+∞)内单调增,在x f(0)=-2,无极小值;
=-2时,f(x)有极小值. 当a=1时,f(x)在(a-1,a+1)内无极值;
所以f(-2)=-12是f(x)的极小值. 当1(2)在(-1,1)上,f(x)单 调 增 加,当 且 仅 当 f(2)=-6,无极大值;
f'(x)=4(x-1)(3ax2+3ax-1)≥0,即3ax2+3ax 当a≥3时,f(x)在(a-1,a+1)内无极值.
-1≤0, ① 综上得:当0(i)当a=0时①恒成立; 小值;当1(i)当a>0时①成立,当且仅当3a·12+3a·1 当a=1或a≥3时,f(x)无极值.
-1≤0. k(:( ) x
2+c)-2x(kx+1)
17. 解 Ⅰ f'(x)=
1 (x
2+c)2
解得a≤6. -kx2-2x+ck= ,
2 (x2+c)2
(ii)
3a
当a<0时①成立,即3a ( 1x+2 ) -4-1 由题意知f'(-c)=0,
·33·
即得c2k-2c-ck=0, (*) (af ), a 4且3 f =- a3;∵c≠0,∴k≠0. (3 ) 27
由f'(x)=0得-kx2-2x+ck=0, 函数f(x)在x=a处取得极大值f(a),且f(a)
由韦达定理知另一个极值点为x=1 =0;
2 (2)若a<0,当x 变化时,f'(x)的正负如下表:(或x=c-k ) .
x (-∞,a) a ( a a aa, ( , )2 2 3 ) 3 3 +∞(Ⅱ)由(*)式得k= ,即c-1 c=1+k . f'(x) - 0 + 0 -
当c>1时,k>0;当0, () ()
(ⅰ)当k>0时,f(x)在(-∞,-c)和(1, )
因此 函数
+∞ f
x 在x=a 处取得极小值f a 且
内是减函数,在(-c,1)内是增函数, f'(a)=0,函数f(x)
a a
在x= 处取极大值f( ),3 3
k+1 k
∴M=f(1)= = >0, a 4c+1 2 且f( )3 =-
3
27a .
( ) -kc+1 -k
2
m=f -c = ac2 = (
,
+c 2k+2)<0 (Ⅲ)证明:由a>3,得到3>1.
当k∈[-1,0]
k k2 时,k-cosx≤1,k2由 M -m = + ≥1 及 k>0 ,解 -cos
2x≤1.
2 2(k+2) 由(Ⅱ)知,f(x)在(-∞,1]上是减函数,
得k≥ 2. 要使f(k-cosx)≥f(k2-cos2x)(x∈R),
(ⅱ)当 k< -2 时,f(x)在(- ∞,-c)和 只要k-cosx≤k2-cos2x(x∈R).
(1,+∞)内是增函数,在(-c,1)内是减函数, 即cos2x-cosx≤k2-k(x∈R). ①
( ) -k
2 k 2
∴M=f -c = >0,m=f(1)= 设g(x)=cos22(k+2) 2 x-cosx= ( 1 1cosx- ,则2 ) -4
<0, 函数g(x)在R上的最大值为2.
-k2 k (k+1)2+1 要使①式恒成立,必须k2-k≥2,即k≥2或k≤
M-m=2(k+2)-2=1- k+2 ≥1
恒
-1.
成立. 所以,在 区 间[-1,0]上 存 在 k= -1,使 得
综上可知,所求k 的取值范围为(-∞,-2)∪ f(k-cosx)≥f(k2-cos2x)对任意的x∈R恒成立.
[2,+∞). 19.C 【解析】 考查利用导数求三次函数在闭
18. 解:(Ⅰ)当a=1时,f(x)=-x(x-1)2= 区间上的最值.由已知得f'(x)=3x
2-6x=3x(x-
-x3+2x2-x,得f(2)=-2,且f'(x)=-3x2+ 2),∵x∈[-1,1],∴f(x)的最大值为f(0)=2,故
4x-1,f'(2)=-5. 选C.
所以曲线y=-x(x-1)2 在点(2,-2)处的切 20.C 【解析】 因为y'=-x
2+81,所以当x
线方程是y+2=-5(x-2),整理得5x+y-8=0. >9时,y'<0;当x∈(0,9)时,y'>0,所以函数y=
(Ⅱ)f(x)=-x(x-a)2=-x3+2ax2-a2x, 1- x3+81x-234在(9,+∞)上单调递减,在(3 0
,
f'(x)=-3x2+4ax-a2=-(3x-a)(x-a). 9)上单调递增,所以x=9是函数的极大值点,又因
令f'(x)=0,
a
解得x= 或x=a. 为函数在(0,+∞)上只有一个极大值点,所以函数在3
x=9处取得最大值, .
选C.
由于a≠0 以下分两种情况讨论.
【解析】 ()
() , , () : 21. -16 f'x =12-3x
2.
1 若a>0 当x 变化时 f'x 的正负如下表
令f'(x)>0 -2x (-∞,
a ) a a ,
3 3 (3 a) a (a,+∞) x<-2即2<-x≤3,
∴f(x)在[-3,-2)及(2,3]上 单 调 递 减.在
f'(x) - 0 + 0 - (-2,2)上单调递增,
a ∴f(x)在x=-2处取极小值,
因 此,函 数 f(x)在 x= 处 取 得 极 小 值3 ∴f(-2)=12×(-2)-(-2)3=-16,
·34·
f(-3)=12×(-3)-(-3)3=-9,f(3)=12 6 6故得a≤ .反之,当a≤ 时,对任意x∈[0,2]
×3-33=9, 5 5
f(-2)的最小值为-16. 5
22.32 【解析】 f'(x)=3x2-12,令f'(x)= 3x= (2x25 +x-10
)
0可得3x2-12=0,即得x=2或x=-2,在区间[-
3x
3,3]上列表如下: = ( )( ) ,5 2x+5 x-2 ≤0
x -3(-3,-2) -2 (-2,2) 2 (2,3) 3 而g(0)=0,故g(x)在区间[0,2]上的最大值为
f'(x) + 0 - 0 + g(0).
综上,a的取值范围为 6-∞, .
f(x)17 ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ -1 ( 5 ]
25. 本小题主要考查函数的概念、解三角形、导
∵f极小值(x)=f(-2)=24,f极小值(x)=f(2) 数等基础知识,考查数学建模能力、抽象概括能力和
=-8. 解决实际问题的能力.
∴M=f最大值(x)=24,m=f最小值(x)=-8, 解:(Ⅰ)(ⅰ)如图,延长PO 交AB 于点Q.
∴M-m=24-(-8)=32.
【点评】 本题考查了导数法确定三次函数在定
区间上的最值,体现了导数的工具性的应用,与对考
生分析问题与解决问题能力的考查.
23. 解:(Ⅰ)f'(x)=-3x2+6x+9. 令f'(x)
<0,解得x<-1或x>3, 1由题设可知BQ=AQ=2AB=10
,
所以函数f(x)的单调递减区间为(-∞,-1),
(, ) AO=BO
,PO=10-OQ.
3 +∞ .
(Ⅱ)因为f(
10
-2)=8+12-18+a=2+a, 在Rt△AQO 中,AO= ,OQ=10tanθ,所以cosθ
f(2)=-8+12+18+a=22+a, 20
所以f(2)>f(-2). y=AO+BO+PO=cosθ+10-10tanθ.
因为在(-1,3)上f'(x)>0,所以f(x)在[-1, π,
2]上单调递增,又由于 (x)在[-2,-1]上单调 又易知0≤θ≤ 故y 用θ表示的函数为f 4
递减, 20
() ( ) ( ) [ , y=cosθ-10tanθ+10( π0≤θ≤ .因此f2 和f -1 分别是f x 在区间 -2 4 )
2]上的最大值和最小值. (ⅱ)由 题 设 可 知,在 Rt△AQO 中,AO =
于是有22+a=20,解得a=-2. AQ2+OQ2= 102+(10-x)2,则y=AO+BO
故f(x)=-x3+3x2+9x-2. +PO=x+2 102+(10-x)2.
因此f(-1)=1+3-9-2=-7, 显然0≤x≤10,所以,y 用x 表示的函数为
即函数f(x)在区间[-2,2]上的最小值为-7.
y=x+2 x2-20x+200(0≤x≤10)
24. 解:(
.
Ⅰ)f'(x)=3ax2-6x=3x(ax-2). ( )选用( )中的函数关系
因为x=2是函数y=f(x)的极值点,
Ⅱ Ⅰ
所以f'
(2)=0,即6(2a-2) ,
20 π
=0 因此a=1. y= ,来确定符合cosθ-10tanθ+10(0≤θ≤4 )
经验证,当a=1时,x=2是函数y=f(x)的极 要求的污水处理厂的位置.
值点. 20 20 sinθ
(Ⅱ)由题设,g(x)=ax3-3x2+3ax2-6x 因为y=cosθ-10tanθ+10= -10
·
cosθ cosθ
=ax2(x+3)-3x(x+2). +10,
当g(x)在区间[0,2]上的最大值为g(0)时, 20sinθ cos2θ+sin2θ
() (), 所 以0 ≥ 2 即0≥20a-24. y' =
·
g g cos2θ
-10 cos2θ =10
·35·
·2sinθ-12 . g(a)在(0,
2 4
1]上只有一个极值,所以 ( )cosθ g 3 =
为
3
1 π π g(a)在(0,1)上的最大值.且最小值为g(1)=0.
由y'=0得sinθ= .因2 0≤θ≤
,故
4 θ=6.
所 以 b2 ∈ [0,4 ],即 b 的 取 值 范 围
当θ∈ [ ,π ) , ; (π π ] 30 时 y'<0 当θ∈ , 时,6 6 4
为 êé 23,23ùê- ú .
, π , 3 3
ú
y'>0 所以函数y 在θ= 时取得极小值 这个极小6
27. C 【解 析】 f'(x)
b
= -x+ =
值就是函数 π x+2y 在 [0, ] 上的最小值4 . -x2-2x+b,由 得 ,
π 10 203 x+2
x>-1 x+2>1>0
当θ= 时,6 AO=BO=
( )
π= 3 km . ∵f(x)为(-1,+∞)上的减函数,∴f'(x)≤0
cos6 (x>-1),
因此,当污水处理厂建在矩形区域内且到 A、B ∴不等式-x2-2x+b≤0在(-1,+∞)上恒
203 成立.
两点的距离均为 时,铺设的排污管道的总长
3 km ∵y=-x2-2x+b在(-1,+∞)上单调递减,
度最短. ∴-12-2×(-1)+b≤0,得b≤-1,故应选C.
26. 本小题主要考查函数的导数,单调性,极值, π28.k≤1 【解析】 当x=0时,不等式sin x
最值等基础知识,考查综合利用导数研究函数的有关 2
性质的能力. π≥kx 恒成立;当x≠0时,不等式sin2x≥kx
恒成
解:f'(x)=3ax2+2bx-3a2. ①
(Ⅰ)
π
当a=1时, sin2x
f'(x)=3x2+2bx-3. 立,等 价 于 k≤ ,x∈ (0,1].令 f(x)x =
由题意知x1,x2 为方程3x2+2bx-3=0的两 π π π π
sin2x xcos x-sin x
, 4b
2+36
根 所以|x -x|= . ,则 ( )
2 2 2 ,
1 2 3 x
f' x = x2 ∵x∈
由|x1-x2|=2,得b=0. (, π π π π π01)时, x∈(0, ),2 2 tan2x>2x
,即可得 x
从而f(x)=x3
2
-3x+1,f'(x)=3x2-3=3(x
· π π π π π+1)(x-1). cos2x-sin2x·cos2x-sin2x
当x∈(-1,1)时,f'(x)<0; =0,从而得f'(x)<0,又f'(1)<0,∴f(x)在x∈
当x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)时,f'(x)>0. (0,1]上为减函数,即可得fmin(x)=f(1)=1,∴k
故f(x)在(-1,1)单调递减,在(-∞,-1), ≤1.
(1,+∞)单调递增. 29. 解:f'(x)=3x2-2ax+(a2-1),
(Ⅱ)由①式及题意知x1,x2 为方程3ax2+2bx 其判别式Δ=4a2-12a2+12=12-8a2.
2 4b
2+36a3
-3a =0的两根,所以,|x 61-x2|= 3a . (ⅰ)若Δ=12-8a
2=0,即a=± ,2
从而|x -x|=2 b2=9a21 2 (1-a). 当x∈ ,a-∞
由上式及题设知0a,+∞ ) 时,f'(3 x)
考虑g(a)=9a2-9a3, >0,f(x)在(-∞,
6
+∞)为增函数.所以a=±
2 2
.
g'(a)=18a-27a2=-27a(a-3 ) . (ⅱ)若Δ=12-8a2<0,恒有f'(x)>0,f(x)在
故g(a)在 ( 2 30, ) 单调递增,在 (2,1] 单调递 (-∞,+ ∞)为 增 函 数.所 以 a2 > ,即2 a∈3 3
, () (,] 2 4 减 从而ga 在 01 上的最大值为g( )= ,又
6
-∞,- ÷∪
6, ÷ .
3 3 è 2 è2 +∞
·36·
( ) 2 , 6 6
减函数.
ⅲ 若 Δ=12-8a >0 即- f'(x)=0,
因此 ,3 ≤-3 ①
a- 3-2a2, a+ 3-2a
2 2
解得x = x = . -a+ a -3 11 2 且3 3 3 ≥-
,
3 ②
当x∈(-∞,x1)或x∈(x2,+∞)时, 当|a|> 3时,由①②解得a≥2.
f'(x)>0,f(x)为增函数; 因此a的取值范围是[2,+∞).
当x∈(x1,x2)时,f'(x)<0,f(x)为减函数.
:() 331.解 1 当 时, ( ) 3依题意x ≥0且x ≤1. a=1 f x =x - x
2+1,
1 2 2
6 f(2)=3;f'(x)=3x
2-3x,f'(2)=6.所以曲线y=
由x1≥0得a≥ 3-2a2,解得1≤a<2. f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y-3=6(x-
6 2),即y=6x-9.
由x2≤1得 3-2a2 ≤3-a,解 得- 2 6 1
< . 0,解得x=0或x=a .2
é 以下分两种情况讨论:从而a∈ êê ,
6
1 ÷ . 2 , 1 1①若0综 上,a 的 取 值 范 围 为 -∞,
6ù
- úú ∪ f(x)的变化情况如下表:è 2
êé 6, é 6 6ù x
1 1
- ,0 0 0,
ê2 +∞
÷ ∪ êê1, ÷,即 a ∈ -∞,- úú ∪ ( 2 ) ( 2 ) 2 è 2
[, ) ()1 +∞ . f'x + 0 -
30. 解:(Ⅰ)f'(x)=3x2+2ax+1,判 别 式 f(x) ↗ 极大值 ↘
Δ=4(a2-3).
当 x ∈ [ 1 1- , ] 时,f (x)>0 等 价 于(ⅰ)若a> 3或a<- 3,则在 2 2
1-a- a2-3 ì( ) , ( ) f (- )>0, ì 5-a , -∞, ÷ 上 f' x >0 f x 是 增 2 8 >0è 3 í 即 í
函数; f (1 , 5+a2 )>0 8 >0.
在 -a- a
2-3,-a+ a
2-3 ÷ 上f'(x)< 解不等式组得-5è 3 3
0,f(x)是减函数; ②若a>2,
1 1
则0< < .当x 变化时, ( ),a 2 f' x
在 -a+ a
2-3 ,+∞ ÷ 上f'()
()的变化情况如下表:
x >0,f(x)是 f x
è 3
x ( 1, ) 0 ( ,1 ) 1 (1,1增函数. -2 0 0 a a a 2 )
(ⅱ)若- 3(x)>0,故此时f(x)在R上是增函数. f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
(ⅲ)若a=± 3,则f'( a- )=0,且对所有的3 当 x ∈ [ 1- ,1 时, ( ) 等 价 于2 2 ] f x >0
a
x≠- 都有f'(x)>0,故当a=± 3时,f(x)在 R ì ( 1 , ì 5-a3 f - , 2 )>0 8 >0
上是增函数. í 即 í
1 1
(Ⅱ)由(Ⅰ) ,
,
知 只有当a> 3或a<- 3时, f (a )>0 1-2a2>0.
2 2
f(x)在

-a- a -3,-a+ a -3 ÷ 内 是 2 2
è 解不等式组得3 3 2或a<- .因此2 2·37·
<5. 令f'(x)=0,解得x1=-1,x2=3.
综合①和②,可知a的取值范围为032. 本小题主要考查利用导数研究函数的单调 x (-∞,-1) -1 (-1,3) 3 (3,+∞)
性和极值、函数的最大值、解不等式等基础知识,考查
f'(x) + 0 - 0 +
综合分析和解决问题的能力.
解:( )'(x) x3
() 极大值 极小值
ax2 x x(x2 ax f x ↗ 6 ↘ -26 ↗Ⅰ f =4 +3 +4 = 4 +3
+4). 所以,f(x)的极大值是f(-1)=6,极小值是
10 f(3)=-26.
当a=- 时,3 f'
(x)=x(4x2-10x+4)= (Ⅱ)f'(x)=3x2-6ax-9a2 的图象是一条开
2x(2x-1)(x-2). 口向上的抛物线,关于x=a对称.
1 1
令f'(x)=0,解得x1=0,x2= ,x3=2. 若 当x 变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表: 而f'(x)在[1,4a]上的最小值是f'(1)=3-6a-
9a2,最大值是f'(4a)=15a2.
x (-∞,0)0 ( ,1 ) 10 (1,2) 2 (2,+∞)2 2 2 由|f'(x)|≤12a,得-12a≤3x2-6ax-9a2≤
12a,于是有
f'(x) - 0 + 0 - 0 + f'(1)=3-6a-9a2≥-12a,且f'(4a)=15a2
极 极 极
≤12a.
f(x) ↘ 小 ↗ 大 ↘ 小 ↗ 1
值 值 值 由f'(1)≥-12a得-3≤a≤1
,
所以f(x)在 ( ,10 2 ),(2,+∞)内是增函数,在 4由f'(4a)≤12a得0≤a≤5.
(-∞,0),(1,2) 内是减函数. (1,] [ 12 所以a∈ 1 ∩ - ,] [,4],即4 3 1 ∩ 0 5 a∈
(Ⅱ)f'(x)=x(4x2+3ax+4),显然x=0不是
(1,4]
方程4x2+3ax+4=0的根.为使f(x)仅在x=0处 4 5 .
有极值,必须4x2+3ax+4≥0恒成立,即有Δ=9a2 若a>1,则|f'(a)|=12a2>12a.
8 8 故当
-64≤0.解此不等式,得- ≤a≤ .这时,f(0)= x∈
[1,4a]时|f'(x)|≤12a不恒成立.
3 3 所以使|f'(x)|≤12a(x∈[1,4a])恒成立的a
b是唯一极值.
的取值范围是(1,4].
因此满足条件的a的取值范围是 [ 8 8- , 4 53 3 ] . 34. 解:(Ⅰ)f'(x)=x2-2(1+a)x+4a=(x-
(Ⅲ)由条件a∈[-2,2]可知Δ=9a2-64<0, 2)(x-2a).
从而4x2+3ax+4>0恒成立.当x<0时,f'(x)< 由a>1知,当x<2时,f'(x)>0,
0;当x>0时,f'(x)>0. 故f(x)在区间(-∞,2)是增函数;
因此函数f(x)在[-1,1]上的最大值为f(1)与 当2f(-1)两者中的较大者. 故f(x)在区间(2,2a)是减函数;
为使对任意a∈[-2,2],不等式f(x)≤1在 当x>2a时,f'(x)>0,
[-1,1]上恒成立,当且仅当 故f(x)在区间(2a,+∞)是增函数.
{f(1)≤1, {b≤-2-a,即 在a∈ [-2,2]上 恒 综上,当a>1时,f(x)在区间(-∞,2)和(2a,f(-1)≤1. b≤-2+a +∞)是增函数,在区间(2,2a)是减函数.
成立. (Ⅱ)由(Ⅰ)知,当x≥0时,f(x)在x=2a 或x
所以b≤-4,因此满足条件的b 的取值范围是 =0处取得最小值.
(-∞,-4]. 1 3
:( ) , ( ) ( ) ( )( )
2 ·
33. 解 Ⅰ 当a=1时 对函数f(x)求导,得 f2a = 3 2a - 1+a 2a +4a 2a
f'(x)=3x2-6x-9. +24a
·38·
4 ()3 2 , 函数f x 在
(1,+∞)上单调递增;
=-3a +4a +24a 1
() 当a= 时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减;f0 =24a. 2
由假设知 1
当0, ìa>1, 2
{a>1


f(2a)>0,即
4
í- a(a+3)(a-6)>0, 函数f()
1
x 在(1, -1)上单调递增;3 a
f(0)>0, 24a>0. 1
函数f(x)在( -1,+∞)上单调递减.
解得1故a的取值范围是(1,6). ( 1 1Ⅱ)因为a= ∈(0, ),由(Ⅰ)知,x1=1,x2
:( ) () 1-a
4 2
35. 解 Ⅰ 因为f x =lnx-ax+ -1,x =3 (0,2),当x∈(0,1)时,f'(x)<0,函数f(x)单
1 a-1 调递减;当x∈(1,2)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递所 以 f' (x)= x - a + x2 = -
, 1
2 增 所以f(x)在(0,2)上的最小值为ax -x+1-a f
(1)=-
, (, ), 2
.
x2 x∈ 0 +∞ 由于“对任意x1∈(0,2),存在x2∈[1,2],使
令h(x)=ax2-x+1-a,x∈(0,+∞), f(x1)≥g(x2)”等价于“g(x)在[1,2]上的最小值不
(1)当a=0时,h(x)=-x+1,x∈(0,+∞) 1
所以当x∈(0,1)时,h(x)>0,此时f'(x)<0, 大于f(x)在(0,2)上的最小值- .”(*)2
函数f(x)单调递减; 又g(x)=(x-b)2+4-b2,x∈[1,2],所以
当x∈(1,+∞)时,h(x)<0,此时f'(x)>0,函 ①当b∈(-∞,1)时,因为[g(x)]min=g(1)=
数f(x)单调递增. 5-2b>0,此时与(*)矛盾;
(2)当a≠0时,由f'(x)=0, ②当b∈[1,2]时,因为[g(x)]min=4-b2≥0,同
1
即ax2-x+1-a=0,解得x1=1,x2=a-1
, 样与(*)矛盾.
③当b∈(2,+∞)时,因为[g(x)]min=g(2)=
1
①当a= 时,x1=x2,h(x)≥0恒成立,此时2 1 178-4b,解不等式8-4b≤- ,可得2 b≥8.
f'(x)≤0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减;
1 1 , 17综上 的取值范围是[ , ]
②当01>0
, b 8 +∞ .
x∈(0,1) , ( ) , ( ) ,
【 】
时 h x >0 此时f' x
点评
<0 函数
利用导数研究函数的性质是近年高考
(x)单调递减; 的热点内容
,关键是把题目转化成用函数性质解决,
f
1 化归能力高考重点考查.
x∈(1,a-1
)时,h(x)<0,此时f'(x)>0,函 36. 本小题主要考查函数导数的概念与计算,利
数f(x)单调递增; 用导数研究函数的单调性、极值和证明不等式的方
1 法,考查综合运用有关知识解决问题的能力.
x∈( -1,+∞)时,h(x)>0,此时f'(x)a <0
,
:( ) 2lnx 2a解 Ⅰ 根据求导法则得 () ,
函数f() ;
f'x =1- x +x 单调递减 x
1 x>0.
③当a<0时,由于a-1<0. 故F(x)=xf'(x)=x-2lnx+2a,x>0,
x∈(0,1)时,h(x)>0,此时f'(x)<0,函数
于是F'(x)
2 x-2
=1- = ,x>0.
f(x)单调递减; x x
x∈(1,+∞)时,h(x)<0,此时f'(x)>0,函数 列表如下:
f(x)单调递增. x (0,2) 2 (2,+∞)
综上所述:
()
当a≤0时,函数f(x)在(0,1)上单调递减; F'x - 0 +
·39·
F(x) ↘ 极小值F(2) ↗
ax2-x-(a-1) a
(x-1)( 1-ax- a )
故知F(x)在(0,2)内是减函数,在(2,+∞)内 x2 = x2 .
是增函数,所以,在x=2处取得极小值F(2)=2- (ⅰ)
1 1-a
当01.
2ln2+2a. 2 a
(Ⅱ)由a≥0知,F(x)的极小值F(2)=2-2ln2 1-a若1+2a>0.于是由上表知,对一切x∈(0,+∞),恒有 a
所以 () () ,
F(x)=xf'(x)>0,从而当x>0时,恒有f'(x)> g x 即 ( ) ,故 ( ) 在[, )上不
0,故f(x)在(0,+∞)内单调递增.所以当x>1时, f x () () , 2 恒成立fx >f1 =0 即x-1-lnx+2alnx>0.故当x>
.
1 1-a
1时,恒有x>ln2x-2alnx+1. (ⅱ)当a≥ 时,2 a ≤1.
37.解:(1)易知f'(x)=2x+b.由题设,对任意 若x>1,则g'(x)>0,g(x)是增函数,所以g
的x∈R,2x+b≤x2+bx+c,即x2+(b-2)x+c- (x)>g(1)=0,
2
b≥0恒成立,所以(
b
b-2)2-4(c-b)≤0.从而c≥ 即g(x)=lnx,故当x≥1时,f(x)≥lnx.4
2 综上所述,所求a的取值范围为 [1,+∞ ) .
+1.于是c≥1,
b 2
且c≥2 4×1=|b|
,因此2c-b=
( ) (Ⅲ)解法一:由( )知:
1
当 时,有 ( )
c+c-b >0. Ⅱ a≥2 f x ≥
故当x≥0时,有(x+c)2-f(x)=(2c-b)x+ lnx(x≥1).
c(c-1)≥0. 1, () 1令a= 有 x = 1f x- ≥lnx(x≥1)
即当x≥0时,f(x)≤(x+c)2. 2 2
( x )
(2)由(1)知,c≥|b|.当c>|b|时,有 M ≥ 1 1且当x>1时, (x- )>lnx.
f(c)-f(
2 x
b) c2-b2+bc-b2 c+2b
c2-b2 = c2-b2 =b+c . k+1, k+1 1令x= 有k ln k <
k+1 k
2 [ k -k+1] =
b
令t= ,
c+2b 1
则
c -1,
b+c=2-1+t.
而函数 1 [ ( 1 11+ ,2 k )- (1-k+1) ]
g(
1
t)=2- (1+t -1)的值域是 (-∞,32 ) .因 ( ) 1即lnk+1 -lnk< 1 1 ,2 (k+k+1) k=1,2,3,
此,当c>|b|时,M 的取值集合为 [3,+∞ ) . …,2 n.
将上述n个不等式依次相加得
当c=|b|时,由(1)知,b=±2,c=2.此时f(c)
-f()
1 1 1 1 1
b =-8或0,c2-b2=0,从而f(c)-f(b)≤ ln(n+1)<2+ (2+3+…+n )+2(n+1).
3(2 3c -b2)恒成立.综上所述,M 的最小值为 1 1 12 2. 整理得1+ + +…2 3 +n >ln
(n+1)+
38. 解:(
b
Ⅰ )f' (x)= a - ,则 有 nx2 ( ,2(n+1)n≥1n∈N
*).
{f(1)=a+b+c=0, b=a-1,解得 解法二:用数学归纳法证明.f'(1)=a-b=1, {c=1-2a.
(1)当n=1时,
1
左边
a =1
,右边=ln2+ <1,不
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)
-1 4
=ax+ x +1-2a. 等式成立.
() ( ) a-1 ()假设 时,不等式成立,就是令g x =f x -lnx=ax+ x +1-2a-
2 n=k
1 1 1 k
lnx,x∈[1,+∞), 1+
… ( ) 那
2+3+ +k >lnk+1 +2(k+1).
( ) , ( ) a-1 1则 g 1 =0 g' x =a - x2 - =
1 1 … 1 1么1+ + + + + ( )x 2 3 k k+1>ln k+1 +
·40·
k 1 ( ) k+2 2 2-2x
(2x-1)
2(k+1)+k+1=lnk+1 +
(
2(k+1). 1
)f'(x)=2x-1-2x= 2x-1
( ) : 1 , () ( ) -2(x-1)( )由 Ⅱ 知 当a≥ 时 有2 f x ≥lnx x≥1 .
2x+1
= 2x-1 .
1, () 1( 1令a= 有f x = x- )≥lnx( ) 12 2 x x≥1 . 当 0;当x>1时,2 f'
(x)
k+2 1
令x= ,得: (k+2 k+1) k+2- ≥ln = <0.k+1 2 k+1 k+2 k+1
ln(k+2)-ln(k+1). 则f(x)
1
在区间( ,1)上单调递增,在区间(2 1
,
( ) k+2 ( ) k+1∴lnk+1 + ( )≥lnk+2 + ( +∞
)上单调递减.
2k+1 2k+2).
1 1 … 1 1 () () () [
3,5]
∴1+ 2 + 3 + +k +k+1>ln
(k+2) 2 由 1 知f x 在区间 时的最大值为4 4
k+1 f(1)=ln(2×1-1)-1
2=-1.
+2(k+2). 又f(
3) 5-f( )=[
3 3
ln(2× -1)-( )2]-
这就是说,当n=k+1时,不等式也成立. 4 4 4 4
根据(1)和(2),可知不等式对任何n∈N* 都 [ ( 5 5ln2× -1)-( )2]4 4 =1-ln3<0.
成立.
【 3 5点评】 恒成立问题是函数题中常出现的题型, 所以f(x)在区间[ , ]上的最小值为4 4
可转化为求函数的最值问题.不等式的放缩在函数题 3 3 3 9
中出现,往往需构造一个函数模型来比较大小. f( )4 =ln
(2×4-1
)-( )24 =-ln2-16.
2012—2013高考题源拓展测试
故f(x)在区间[
3,5]上的最大值和最小值分
1.C 2.D 3.D 4.D 5.B 6.A 7.B 4 4
8.C 9别为-1和-ln2- .
9.(-1,1) 16
15.解:(1)f'(x)=3x21 +2ax-2,由 已 知,得10. [ ,3 +∞ ) f'(1)=3,即1+2a=3,a=1,再由切点为(1,-1),
11.11 得-1=3+b,b=-4,∴a=1,b=-4
12.-3 [-2,18] (2)f'(x)=0,即3x2+2ax-2=0,
13. 解:(1)f'(x)=3x2+2ax+b, Δ=4a2+24>0方程有两个不相等的实根x1、
f'(x)=0有一个根为x=0, 2x2,而 x1x2 = - 3 <0
,则 方 程 的 负 根 x1 =
∴f'(0)=b=0.
2 -a- a2+6
另一根x=- a>0. 依题意,-2)
3
8 4 5
极小值 ( 2f - a)=- a33 27 +9a3+c=-4. >0,解得a< .当2 x∈(-2,x1)时,f(x)单调递增,
又f(0)=c=0,解得a=-3,故a=-3,b=c 当x∈(x1,0)时,f(x)单调递减,所以f(x)在x=
=0. x 处取得极大值.因此a的取值范围是 ( ,51 -∞ 2 ) .(2)f(x)=x3-3x2,f'(x)=3x2-6x=3x(x-
2). 16.解:(1)设x∈(0,1],则-x∈[1,0).
3
当x<0或x>2时,f'(x)>0;当03
f'(x)<0. f(x)=-x +ax,x∈(0,1]
∴f(x)的单调递减区间为[0,2]. (2)f'(x)=-3x
2+a,∵x∈(0,1] -3x2∈
1 [-3,0).
14. 解:f(x)的定义域为( ,2 +∞
). 又a>3,∴a-3x2>0,即f'(x)>0,∴f(x)
·41·
在(0,1]上为增函数. 1于是h(t)在(0,+∞)上的最大值为h(e3)=
(3)当a>3时,f(x)在(0,1]上是增函数, 3 2
e3.
fmax(x)=f(1)=a-1=1 a=2(不合题意,舍 2
去),当0≤a≤3时,f'(x)=a-3x2,令f'(x)= (2)
1
证明:设F(x)=f(x)-g(x)= 22x +2ax
a 2
0,x= 23 . -3alnx-b(
3a
x>0),则 F'(x)=x+2a- x =
如下表: (x-a)(x+3a)(
x x>0
).
x a a0, ÷
a , ÷ (
è 3 è 1 故3 3 F x
)在(0,a)上为减函数,在(a,+∞)上为
增函数.于是函数F(x)在(0,+∞)上的最小值是
f'(x)
F
+ 0 -
(a)=0.
f(x) ↗ 最大值 ↘ 故当x>0时,有f(x)-g(x)≥0,即当x>0
a 3 时,f(x)≥g(x).
∴ f(x)在x= 处取最大值 a ÷3 - +è 3 第五章 立体几何与空间向量
a 327 a
a 3 =1 a= 4 <3 x= 3 <1. §5.1 空间几何体的结构、三视图和直观图
当a<0时,f'(x)=a-3x2<0,f(x)在(0,1] 五年高考母题原型训练
上单调递减,f(x)在(0,1]无最大值. 1.C 【解析】 本题考查有关球的问题.可知两
3 个长度的比即为两个圆的半径比.设赤道所在圆半径
27
∴ 存在a= ,使f(x)在(0,1]上有最大4 为R,北纬60°所在圆的半径为r,由纬度定义可知
值1. r 1cos60°= = ,故选择R 2 C.
17. 解:(1)设y=f(x)与y=g(x)(x>0)在公 2.D 【解析】 甲、乙在东经120°线上,所对圆
共点(x0,y0)处的切线相同. 心角为75°+45°=120°,所以甲、乙的球面距离为球
3a2
∵f'(x)=x+2a,g'(x)= , 1, 2πRx 面大圆周长的 故为3 3 .
由题意f(x0)=g(x0),f'(x0)=g'(x0), 3.D 【解析】 本题解题思路是依据球半径、球
ì 1 2 2 心到截面的距离、截面圆半径三者间的关系来考虑.
2x0+2ax0=3alnx0+b
,
即 í 设球半径为2a,依 题 意 过 M,O 作 垂 直 于OP 的 平
3a2 x +2a= . 面,截球面得到两个圆的半径的平方分别是(2a)
2-
0 x0 a2=3a2,(2a)2=4a2,因此这两个圆的面积之比为
3a2
由x0+2a= ,得x x0=a
或x0=-3a(舍去), 3,选
4 D.0
1 5 4.D 【解析】 如图,平面 AA D D 截球所得
即有 2 2 2 1 1b=2a +2a -3alna= a
2
2 -3a
2lna.
|AD| 2
圆面的半径
5 r=
1
2 =
,
令h(t)
2
=2t
2-3t2lnt(t>0),则h'(t)=2t(1-
∵EF 面AA1D1D,
3lnt). ∴EF 被球O 截得的线段为圆面直径d,
于是当t(
1
1-3lnt)>0,即0>0;
( ) , 1当t1-3lnt <0 即t>e3时,h'(t)<0.
1
故h(t)在(0,e3)上为增函数,在(
1
e3,+∞)上为
减函数.
·42·

展开更多......

收起↑