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第五章立体几何与空间向量
§5.1空间几何体的结构、三视图和直观图
考纲·题型解读
1,认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中筒单物体的结构，
2.能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱形等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会
用斜二测法画出它们的直观图.
3.会用平行投彩与中心投彩两种方法，画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.
4,会画菜些建筑物的三视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）.
5.柱、锥、台、球以及简单组合体的结枸特征，在旧教材中出观过，三视图为新增内容.一般情况下，新增内容会重点考查，所
以以该知识点命题的可能性较大，多以选择题、填空题为主，也不排除通过三视图来给出儿何体的直观图的解答题，考查基础知
识及应用所学知识解决问题的能力.
五年高考母题题源揭秘
题源1空间几何体的结构特征
而形成的曲面所国成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台
其中旋转轴叫做所固成的几何体的轴；在轴上的这条
解题模型
边叫做这个几何体的高：垂查于轴的边旋转而成的國面叫
1.校柱的结构特征
做这个儿何体的底面：不垂直于物的边旋转而成的曲面叫
(1)棱柱的主要结构特征：有两个而互相平行，其余各
做这个几何体的侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫
面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平
做侧面的母线。
行，棱柱的两个互相平行的面叫棱柱的底面，其余各面叫
4,棱台、圆台的特征
棱柱的侧面，两侧面的公共边叫做棱柱的侧棱.如采棱柱的
用平行于底面的平面去裁棱锥、圆锥，截面与底面间
一个底而水平放置，则铅垂线与两底面的交点之间的线段
的部分叫棱台、圆台.
的长，叫做校柱的高.
5.球
(2)棱柱的分类：按侧棱与底面的关系可分为斜棱柱、
(1)一个半圆田绕着它的直径所在的直线旋转一周所
直棱柱：按底面多边形边数可分为三棱柱、四棱柱、五棱柱
形成的曲面叫做球面，球面所国成的儿何体叫做球，
等：底面是正多边形的直棱柱又称为正棱柱，
形成球的半圆的圆心叫做球心：连结球面上一点和球
2.棱锥的结构特征
心的线段叫球的半径；连结球面上两点且通过球心的线段
(1)校锥的定义：有一个面是多边形，其余各面是有一
球的直径.
个公共顶点的三角形，这些面图成的几何体叫做棱锥.
(2)球面被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小
(2)正棱锥的定义：如采一个棱雏的底面是正多边形，
国，被经过球心的平面裁得圆叫微球的大圆.
并且顶点在底面内的射影是底而中心，这样的棱锥叫做正
球的栽面性质：r=√R2一d,其中r为裁面的半
校锥
径，R为球的半径，d为球心O到截面圓心的距离.
(3)正棱锥的性质：
(3)球面距离：在球面上，两点之间最短连线的长度，
①各侧棱相符，各侧面都是全等的等腰三角形，各等
就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我
腰三角形底边上的高相等，它叫做正棱锥的斜高
们把这个孤长叫微两点的球面距离，
②被锥的高、斜高和斜足与底面中心连线组成一个基
【注意】(1)球面与球是两个不同的概念，球面只是球的
础直角三角形：棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也
表面，可视为是“空心的”，而球则是几何体，是“实心的”
组成一个直角三角形
(2)球面距离实质上是弧长，所以要求两点的球面距
3.圆柱、圆锥、圈台的特征
离，应找到过这两点的大圆，确定劣孤所对的圆心角，再运
分别以矩形一边、直角三角形一直角边、直角梯形中
用孤长公式【=aR即可求得.
垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周
(3)在解决球的问题时，常常选取球的一个大圆，化
“球”为“圆”，应用平面几何的知识进行解决
·80·在(0,1]上为增函数.
于是h(t)在(0，十∞)上的最大值为h(e)=
(3)当a>3时，f(x)在(0,1]上是增函数，
fmmx(x)=f(1)=a-1=1→a=2(不合题意，舍
去)，当0≤a≤3时，f(x)=a一3x2,令f'(x)=
(2)证明：设F(x)=f)-g)=号+2ar
0,x=
4
3
-3a1nx-b(x>0),则F'(x)=x+2a-3a-
如下表：
(x-a)(x+3a）(x>0.
0A3
31
故F(x)在(0，a)上为减函数，在(a,+∞)上为
增函数.于是函数F(x)在(0，+∞)上的最小值是F
f'(x)
+
0
(a)=0.
f(x)
最大值
故当x>0时，有f(x）一g(x)≥0，即当x>0
时，f(x)≥g(x).
.f(x)在x=
:处取最大值
3
第五章立体几何与空间向量
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a3=1a=N4
∠3→x=N3
§5.1空间几何体的结构、三视图和直观图
当a<0时，f(x)=a-3.x2<0,f(x)在(0,1]
五年高考母题原型训练
上单调递减，f(x)在(0,1]无最大值.
1,C【解析】本题考查有关球的问题.可知两
个长度的比即为两个园的半径比.设赤道所在圜半径
27
云存在a=√，使f(x)在(0,1]上有最大
为R,北韩60°所在圆的半径为r,由韩度定义可知
值1.
cos60=R=2,故选择C,
17.解：(1)设y=f(x)与y=g(x)(x>0)在公
2.D【解析】甲、乙在东经120线上，所对國
共点(xo,y)处的切线相同.
心角为75°+45°=120°，所以甲、乙的球面距离为球
“f(x)=x+2a,g'(x)=3a
面大国月长的日故为2。
由题意f(x)=g(x),f'(xo)=g'(x,
3D【解析】本题解题思路是依据球半径、球
1
2x6+2a.xo=3 a'Inzo十b,
心到戴面的距离，截面园半径三者间的关系来考虑
即
设球半径为2a,依题意过M,O作垂直于OP的平
3a2
xm十2a=
面，截球面得到两个圆的半径的平方分别是(2a)2一
a2=3a2,(2a)2=4a2,因此这两个圆的面积之比为
3a2
由x。+2a=
,得xn=a或xa=-3a(舍去)，
3
递D,
4.D【解析】如图，平面AA1D1D截球所得
0有6=2a2+2a23a2la=号a2-3a1
圈面的半径r=
|AD,I√2
令h()=2-321m(1>0),则h'()=2(1-
2
2
,EFC面AA1D1D,
3Int).
∴EF被球O截得的线段为国面直径d,
于是当t(1-3lnt)>0,即0d=2r=√2.故本题选D,
>0:
当t(1-3lnt)<0,即t>e3时，h'(t)<0.
故h(t)在(0，e)上为增函数，在(e了，十oo)上为
减函数
·42…

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