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在(0,1]上为增函数.
于是h(t)在(0，十∞)上的最大值为h(e)=
(3)当a>3时，f(x)在(0,1]上是增函数，
fmmx(x)=f(1)=a-1=1→a=2(不合题意，舍
去)，当0≤a≤3时，f(x)=a一3x2,令f'(x)=
(2)证明：设F(x)=f)-g)=号+2ar
0,x=
4
3
-3a1nx-b(x>0),则F'(x)=x+2a-3a-
如下表：
(x-a)(x+3a）(x>0.
0A3
31
故F(x)在(0，a)上为减函数，在(a,+∞)上为
增函数.于是函数F(x)在(0，+∞)上的最小值是F
f'(x)
+
0
(a)=0.
f(x)
最大值
故当x>0时，有f(x）一g(x)≥0，即当x>0
时，f(x)≥g(x).
.f(x)在x=
:处取最大值
3
第五章立体几何与空间向量
327
a3=1a=N4
∠3→x=N3
§5.1空间几何体的结构、三视图和直观图
当a<0时，f(x)=a-3.x2<0,f(x)在(0,1]
五年高考母题原型训练
上单调递减，f(x)在(0,1]无最大值.
1,C【解析】本题考查有关球的问题.可知两
个长度的比即为两个园的半径比.设赤道所在圜半径
27
云存在a=√，使f(x)在(0,1]上有最大
为R,北韩60°所在圆的半径为r,由韩度定义可知
值1.
cos60=R=2,故选择C,
17.解：(1)设y=f(x)与y=g(x)(x>0)在公
2.D【解析】甲、乙在东经120线上，所对國
共点(xo,y)处的切线相同.
心角为75°+45°=120°，所以甲、乙的球面距离为球
“f(x)=x+2a,g'(x)=3a
面大国月长的日故为2。
由题意f(x)=g(x),f'(xo)=g'(x,
3D【解析】本题解题思路是依据球半径、球
1
2x6+2a.xo=3 a'Inzo十b,
心到戴面的距离，截面园半径三者间的关系来考虑
即
设球半径为2a,依题意过M,O作垂直于OP的平
3a2
xm十2a=
面，截球面得到两个圆的半径的平方分别是(2a)2一
a2=3a2,(2a)2=4a2,因此这两个圆的面积之比为
3a2
由x。+2a=
,得xn=a或xa=-3a(舍去)，
3
递D,
4.D【解析】如图，平面AA1D1D截球所得
0有6=2a2+2a23a2la=号a2-3a1
圈面的半径r=
|AD,I√2
令h()=2-321m(1>0),则h'()=2(1-
2
2
,EFC面AA1D1D,
3Int).
∴EF被球O截得的线段为国面直径d,
于是当t(1-3lnt)>0,即0d=2r=√2.故本题选D,
>0:
当t(1-3lnt)<0,即t>e3时，h'(t)<0.
故h(t)在(0，e)上为增函数，在(e了，十oo)上为
减函数
·42…§5.2空间几何体的表面积和体积
考纲·题型解读
1.柱、锥、台体的侧面积分别是侧面展开图的面积，因此，弄清侧面展开图的形状及各棱的位置关系是求侧面积及解决有关
问题的关链
2.求柱、锥、台体的体积关健是找到相应的底面积和高.充分运用多面体的裁面及旋转体的轴截面，将空间问题转化成平面
间题.
3.柱、锥、台、球的表面积和体积以公式为主，一般情况下，只要记住公式，题目就可以顺利求解，因此题目从难度上讲属于
中、低档题，所以在高考中直接出题的可能性较大，容易出现相关的选择题或填空题，
五年高考母题题源揭秘
题源1表面积
的正视图如图所示，则其表面积等于
解题模型
(1)直棱柱的侧面展开图是一些矩形，正棱锥的侧面
—1—1
展开图是一些全等的等腰三角形，正棱台的侧面展开图是
[解析]
由三视图还原的几何体为
一些全等的等腰梯形」
(2)斜棱柱的侧面积等于它的直截面（垂直于侧棱并
与每条侧棱都相交的截面)的周长与侧棱长的乘积
(3)如果直棱柱的底面周长是c,高是h,那么它的侧面
2
积是S直桃侧=ch,
Sek=2X号×2n60+2X1X3=6+25.
(4)圆柱的侧面展开图是矩形，矩形的两条边分别等
于國柱的母线长和圆柱的底面圈的周长：国锥的侧面展开
[真题2](2022·全国)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有
棱的长都为a,顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()
图是扇形，扇形所在圈的半径等于圆锥的母线长，扇形的
7
弧长等于底面圆的周长：圓台的侧面展开图是扇环，
A.xa
B.3
(5)球的表面积等于其大圆面积的4倍.
(6)多面体的表面积：
片
D.5 na
①圆柱的表面积S=2πrl十2πr2(其中r为底面半径，
[解析]设三棱柱上底面所在圆的半径为，球的半径为
L为母线长).
2√
②圆锥的表面积S=πr2十l(其中r为底面半径，l
R,由已知r=
3
2
3a.
为母线长).
又R2=r8
7
③圆台的表面积公式S=πr2十πr'2十x(r十r')1(其中
122,
r,r为上、下底面半径，为母线长).
7
,S啡=4元R2=4π·
④球的表面积公式S=4πR(其中R为球半径)，
=3a,故选B.
【注意】①应注意各个公式的推导过程，不要死记硬
[真题3](2021·全国Ⅱ)设OA是球O的半径，M是OA
背公式本身，要熟悉柱体中的矩形、锥体中的等腰三角形、
的中点，过M且与OA成45角的平面截球O的表面得到圆C.
台体中的直角榜形等特征图形在公式推导中的作用.
若圆C的面积等于？则球0的表面积等于
②如果不是正棱柱、正棱锥、正棱台，在求其侧面积或
[解析]本题考查球的内接问避，合理构造直角三角形是
全面积时，应对每一个侧面的面积分别求解后再相加，
求解的关键.设截面圆的圆心为O1,连接OO1,OA,则
③圆柱，圆锥、圆台的侧面积就是它们的侧面展开图
的面积，因此应熟练掌握圆柱、圆雏、圆台的侧面展开图的
∠0，M0=45,令藏面圆半径为r,球半径为R.:经=r
形状以及展开图中各线段长度与原几何体中线段长度的
关系，这是掌握侧面积公式以及进行计算求解的关键.
在R△0M中.0，=0Nm-登×号-，则
2
4
④在解决台体的有关计算间题时，注意运用“还台为
锥”的处理策酪」
0到国C所在平质的距离是吗R,在直角三角形R△00，A中
[真题1](2022·福建)若一个底面是正三角形的三棱柱
R+子即R2=2,则球的表面积为4红R=8元
得R=1
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