资源简介

在(0,1]上为增函数.
于是h(t)在(0，十∞)上的最大值为h(e)=
(3)当a>3时，f(x)在(0,1]上是增函数，
fmmx(x)=f(1)=a-1=1→a=2(不合题意，舍
去)，当0≤a≤3时，f(x)=a一3x2,令f'(x)=
(2)证明：设F(x)=f)-g)=号+2ar
0,x=
4
3
-3a1nx-b(x>0),则F'(x)=x+2a-3a-
如下表：
(x-a)(x+3a）(x>0.
0A3
31
故F(x)在(0，a)上为减函数，在(a,+∞)上为
增函数.于是函数F(x)在(0，+∞)上的最小值是F
f'(x)
+
0
(a)=0.
f(x)
最大值
故当x>0时，有f(x）一g(x)≥0，即当x>0
时，f(x)≥g(x).
.f(x)在x=
:处取最大值
3
第五章立体几何与空间向量
327
a3=1a=N4
∠3→x=N3
§5.1空间几何体的结构、三视图和直观图
当a<0时，f(x)=a-3.x2<0,f(x)在(0,1]
五年高考母题原型训练
上单调递减，f(x)在(0,1]无最大值.
1,C【解析】本题考查有关球的问题.可知两
个长度的比即为两个园的半径比.设赤道所在圜半径
27
云存在a=√，使f(x)在(0,1]上有最大
为R,北韩60°所在圆的半径为r,由韩度定义可知
值1.
cos60=R=2,故选择C,
17.解：(1)设y=f(x)与y=g(x)(x>0)在公
2.D【解析】甲、乙在东经120线上，所对國
共点(xo,y)处的切线相同.
心角为75°+45°=120°，所以甲、乙的球面距离为球
“f(x)=x+2a,g'(x)=3a
面大国月长的日故为2。
由题意f(x)=g(x),f'(xo)=g'(x,
3D【解析】本题解题思路是依据球半径、球
1
2x6+2a.xo=3 a'Inzo十b,
心到戴面的距离，截面园半径三者间的关系来考虑
即
设球半径为2a,依题意过M,O作垂直于OP的平
3a2
xm十2a=
面，截球面得到两个圆的半径的平方分别是(2a)2一
a2=3a2,(2a)2=4a2,因此这两个圆的面积之比为
3a2
由x。+2a=
,得xn=a或xa=-3a(舍去)，
3
递D,
4.D【解析】如图，平面AA1D1D截球所得
0有6=2a2+2a23a2la=号a2-3a1
圈面的半径r=
|AD,I√2
令h()=2-321m(1>0),则h'()=2(1-
2
2
,EFC面AA1D1D,
3Int).
∴EF被球O截得的线段为国面直径d,
于是当t(1-3lnt)>0,即0d=2r=√2.故本题选D,
>0:
当t(1-3lnt)<0,即t>e3时，h'(t)<0.
故h(t)在(0，e)上为增函数，在(e了，十oo)上为
减函数
·42…§5.4 直线、平面平行的判定与性质
考纲·题型解读
1.掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理.掌握平面与平面平行的判定定理和性质定理.能运用定理论证一些问题.
2.本考点是立体几何的重要组成部分,是高考的重点内容.主要考查内容有两方面:一是直接考查直线与平面、平面与平面
的位置关系判定或平行性的证明;二是通过计算题中必不可少的证明步骤间接考查直线与平面、平面与平面的平行.
题源1 直线与平面、平面与平面平行的判定与性质 序号 文字语言 图形语言 符号语言
解题模型 如 果 两 个 平 面
同 垂 直 于 一 条 l⊥α
1. 直线与平面的位置关系 判定定理2 , α∥直线 那么这两 l⊥β} β
位置关系 公共点个数 个平面平行
直线上有两个点在平面内,则所有点都在
直线在平面内
平面内
直 线 和 平 平 行 于 同 一 个
直 线 直线与平面有且仅有一个公共点 α∥
面相交 判定定理3 平 面 的 两 个 平 β} α∥γ在 平 ∥γ
直 线 和 平 面平行 β
面外 直线与平面没有公共点
面平行
2. 直线和平面平行 (3)两平面平行的性质定理(文字语言、图形语言、符号语言):
(1)定义:直线与平面没有公共点,则称此直线l与平 序号 文字语言 图形语言 符号语言
面α平行,记作l∥α.
如 果 两 个 平 面
(2)判定定理:如果平面外的一条直线和这个平面内 平行,那么在一
且
的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行(简记为 α∥ a α 性质定理1 个 平 面 内 所 有 β
a∥
“线线平行 线面平行”). 直 线 都 平 行 于
β
(3)性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这 另一个平面
条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和交线平 如 果 两 个 平 行
行(简记为“线面平行 线线平行”). 平 面 同 时 和 第
3. 直线与平面的距离 三个平面相交, α∥β且γ∩α=
(1)直线l∥平面α,如图所示,A∈l,B∈l,AA1⊥α,
性质定理2 那 么 它 们 的 相 a 且γ∩β=b
交线平行(简记 a∥b
BB1⊥α.垂足分别为 A1、B1,则 AA1 BB1.文字叙述为: 为“面面平行
一个平面的平行线上的点到该平面的距离处处相等.我们 线线平行”)
把AA1 的长度叫做l到平面α的距离.
如 果 两 个 平 行
4. 两个平面平行 平 面 中 有 一 个
(1)定义:没有 公 共 点 的 两 个 平 面 垂 直 于 一 条 直 α∥β 且l⊥α 性质定理3
叫做平行平面.符号表示:平面α、平面 线,那么另一个 l⊥β
β,若α∩β= ,则α∥
平 面 也 垂 直 于
β.
这条直线
(2)判 定 定 理(文 字 语 言、图 形 语
言、符号语言): 5. 两个平行平面的距离
一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,那么它
序号 文字语言 图形语言 符号语言
也垂直于另一个平面.这条直线叫做两个平行平面的公垂
如 果 一 个 平 面
线,它夹在两个平行平面间的部分叫做这两个平面的公共
内 有 两 条 相 交
,
的 直 线 都 平 行 垂线 它的长度叫做两个平行平面的距离.
a α,b α,a
于另一个平面, 6. 数学思想方法:转化思想方法———直线与平面平行
判定定理1 ∩b=P,a∥
那 么 这 两 个 平 β
, 的判定定理和性质定理的实质就是线线平行与线面平行
b∥ α∥
面平行(简记为 β β 的转化.
“线面平行 面 判定 判定
”) 线线平行 线面平行 面面平行面平行 .性质 性质
·104·
[真题1] (2022·山东)在空间,下列命题正确的是( ) AD=CD=1,DB=22.
A. 平行直线的平行投影重合 (1)证明:PA∥平面BDE;
B. 平行于同一直线的两个平面平行 (2)证明:AC⊥平面PBD;
C. 垂直于同一平面的两个平面平行 (3)求直线BC 与平面PBD 所成的角的正切值.
D. 垂直于同一平面的两条直线平行 [解析] (1)设AC∩BD=H,连接EH.
[解析] A项,平行直线的平行投影也可以是两条平行线;
B项,平行于同一直线的两个平面可平行、可相交;C项,垂直于
同一平面的两个平面可平行、可相交;D项正确,选D.
[真题2] (2021·北京)若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1
的底面边长为1,AB1 与底面ABCD 成60°角,则A1C1 到底面
ABCD 的距离为 ( ) 在△ADC 中,因为AD=CD,且 DB 平分∠ADC,所以 H
为AC 的中点.
3
A.3 B.1 C.2 D.3 又由题设,E 为PC 的中点,故EH∥PA.
又EH 平 面 BDE 且 PA 平 面 BDE,所 以 PA∥平
面BDE.
(2)因为PD⊥平面ABCD,AC 平面ABCD,
所以PD⊥AC.由(1)可得,DB⊥AC.
又PD∩DB=D,故AC⊥平面PBD.
[解析] 本题主要考查正四棱柱的概念、直线与平面所成 (3)由AC⊥平面PBD 可知,BH 为BC 在平面PBD 内的
的角以及直线与平面的距离等概念.属于基础知识、基本运算的 射影,所以∠CBH 为直线BC 与平面PBD 所成的角.
考查.依题意,∠B1AB=60°,BB1=AB×tan60°= 3,故选D. 由AD⊥CD,AD=CD=1,DB=22,
[真题3] (2021·江西)如图,在四面体ABCD 中,若截面 2, 32可得
PQMN 是正方形,则在下列命题中,错误的是 ( ) DH=CH=2 BH= 2 .
A.AC⊥BD , CH 1在Rt△BHC 中 tan∠CBH= = .
B.AC∥截面PQMN BH 3
C.AC=BD 1所以直线BC 与平面PBD 所成的角的正切值为3.
D.异面直线PM 与BD 所成的角为45° [真题 6] (2021· 山 东)如 图,在 直 四 棱 柱 ABCD -
[解析] 本题由于截面PQMN 是正方形,则对应边平行且 A1B1C1D1 中,底面ABCD 为等腰梯形,AB∥CD,AB=4,BC
相等,但截面的位置关系不明确,故长度关系不明确,从而可先 =CD=2,AA1=2,E,E1,F 分别是棱AD、AA1、AB 的中点.
考查选项C,易知其不正确,而其他选项由线面的位置关系可证 (1)证明:直线EE1∥平面FCC1;
明成立,从而知选C. (2)求二面角B-FC1-C 的余弦值.
[解析] ()证法一:取 的中点 ,连接 , ,
[真题4] ( · )
1 A1B1 F1 FF1 C1F1
2018 浙江 正四面体ABCD 的棱长为1,棱 D1 C1
AB∥平面α,则正四面体上的所有点在平面α 内的射影构成的 A F11 B1
图形面积的取值范围是 .
E1 D C
E
A F B
由于FF1∥BB1∥CC1,所以F1∈平面FCC1,
[解析] 考查正四面体、点在平面内的射影、线面关系等基 因此平面FCC1 即为平面C1CFF1,
础知识,空间想象能力和推理能力.由已知得当CD⊥α 时,所求 连接A1D,F1C,由于A1F1 D1C1 CD,
所以四边形A1DCF1 为平行四边形,
2 1 2 1
面积最小为 ,CD∥α时,所求面积最大为 .故填[ , ] 因此4 2 4 2 . A1D∥F1C.
又EE1∥A1D,得EE1∥F1C,
题源2 平行关系的综合运用 而EE1 平面FCC1,F1C 平面FCC1,
故EE1∥平面FCC1.
[真题5] (2021·天 津)如图,在四棱锥 P-ABCD 中, 证法二:因为F 为AB 的中点,CD=2,AB=4,AB∥CD,
PD⊥平面ABCD,AD⊥CD,DB 平分∠ADC,E 为PC 的中点, 所以CD AF,
·105·
因此四边形AFCD 为平行四边形,所以AD∥FC.
<→ D
→
, > B
·n 3 1
所 以
又CC1∥DD1,FC∩CC1=C, cos DB n = = =|D→B|·|n|
, , 3+9·
3 7
FC 平面FCC CC 平面FCC 1+1 1 1 4
所以平面ADD1A1∥平面FCC1, 7
又EF1 平面ADD A = .1 1,所以EE1∥平面FCC1. 7
(2)解法一:取FC 的中点H, 7
, 故所求二面角的余弦值为因为FC=BC=FB 所以BH⊥FC. 7.
又BH⊥CC1,所以BH⊥平面FCC1. [真题7] (2022· 北 京)如图,正方形 ABCD 和四边形
过 H 作HG⊥C1F 于G,连接BG. ACEF 所在的平面互相垂直,CE⊥AC,EF∥AC,AB= 2,CE
D1 C1 =EF=1.
A F11 B1 (1)求证:AF∥平面BDE;
(2)求证:CF⊥平面BDE;
E1 D G (3)C 求二面角A-BE-D 的大小.
E H
A F B
由于 HG⊥C1F,BH⊥平面FCC1,
所以C1F⊥平面BHG,因此BG⊥C1F,
所以∠BGH 为所求二面角的平面角.
在Rt△BHG 中,BH= 3,
又FH=1,且△FCC1 为等腰直角三角形, [解析] (1)设AC 与BD 交于点G.因为EF∥AG,且EF
2 1 14 1
所以 HG= ,BG= 3+ = , =1,AG= AC=1.所以四边形AGEF 为平行四边形.所以2 AF2 2 2
2 ∥EG.因 为 EG 平 面 BDE,AF 平 面 BDE,所 以 AF∥平
GH 2 7 面BDE.
因此cos∠BGH=BG= =
,
14 7 (2)因为正方形 ABCD 和 四
2 边 形 ACEF 所 在 的 平 面 互 相 垂
7 直,且CE⊥AC,所以CE⊥平 面
即所求二面角的余弦值为
7. ABCD.如图,以C 为原点,建立空
解法二:过D 作DR⊥CD 交AB 于R,以 D 为坐标原点建 间直角坐标系C-xyz,则C(0,
立如图所示的空间直角坐标系, 0,0),A(2,2,0),B(0,2,0,
D1 z C1 0),D(2,0,0),E (0,0,1),
A F11 B1
F 2,2, ÷ .所以C→1 F=è2 2
E1 D C
y
2,2, 1÷,B
→E=(0,- 2,1),D→E=(- 2,0,1).所 以C→F·
E è2 2
B B→A R F E=0-1+1=0,C
→F·D→E=-1+0+1=0.所以CF⊥BE,CF
x ⊥DE.所以CF⊥平面BDE.
则F(3,1,0),B(3,3,0),C(0,2,0),C1(0,2,2)
→ → () () → 2 2 ÷(,,), ( , ,),→ ( ,,) 3 由 2 知CF= , ,1 是平面BDE 的一个法向量所以FB= 020 BC1= - 3 -12 DB .= 330 è2 2
由FB=CB=CD=DF,所以DB⊥FC. 设平面ABE 的法向量n=(x,y,z),则
又CC1⊥平面ABCD, n·B→A=0,n·B→E=0.
所以D→B为平面FCC1 的一个法向量. (x,y,z)·(2,0,0)=0,
即
设平面BFC1 的一个法向量为n=(x,y,z), {(x,y,z)·(0,- 2,1)=0.
{n⊥F
→B {(x,y,z)·(0,2,0)=0 所以x=0,且z= 2y.令y=1,则z= 2.所以则由 得 n=(0,1,n⊥BC→1 (x,y,z)·(- 3,-1,2)=0 2).
,
{2y=0,
y=0 → n·C→F 3
即 取x=1得 从而cos= → = .
- 3x-y+2z=0, { 3z= . |n||CF| 22 因为二面角A-BE-D 为锐角,所以二面角 A-BE-D
因此n=(1,0,
3), π
2 的大小为6.
·106·
(★代表高考出现的频次)
、 =EB=2DC=2,∠ACB=120°,P,Q 分别为AE,AB 的中点.题源1 直线与平面 平面与平面平行的 (1)证明:PQ∥平面ACD;
(2)求AD 与平面ABE 所成角的正弦值.
判定与性质(★★★★★)
1.(2019·天津)设a,b为两条直线,α,β为两个平面.下列
四个命题中,正确的是 ( )
A.若a,b与α所成的角相等,则a∥b
B.若a∥α,b∥β,α∥β,则a∥b
C.若a α,b β,a∥b,则α∥β
D.若a⊥α,b⊥β,α⊥β,则a⊥b
2.(2020·安徽)已知m,n 是两条不同直线,α,β,γ 是三个
不同平面,下列命题中正确的是 ( )
( ·江苏)如图,在直三棱柱 中, ,
A.若m∥α,n∥ 8.2021 ABC-A1B1C1 E Fβ,则m∥n
分别A1B,A1C 的中点,点D 在B1C1 上,A1D⊥B1C.求证:
B.若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β (1)EF∥平面ABC;
C.若m∥α,n∥β,则α∥β (2)平面A1FD⊥平面BB1C1C.
D.若m⊥α,n⊥α,则m∥n
3.(2019·福建)已知m、n 为两条不同的直线,α,β为两个
不同的平面,则下列命题中正确的是 ( )
A.m α,n α,m∥β,n∥β α∥β
B.α∥β,m α,n β m∥n
C.m⊥α,m⊥n n∥α
D.n∥m,n⊥α m⊥α
4.(2020·浙江)对两条不相交的空间直线a与b,必存在平
面α,使得 ( )
A.a α,b α
B.a α,b∥α 9.(2022· 安 徽)如 图,在 多 面 体 ABCDEF 中,四 边 形
C.a⊥α,b⊥α ABCD是正方形,EF∥AB,EF⊥FB,AB=2EF,∠BFC=90°,
BF=FC,H 为BC 的中点.
D.a α,b⊥α
(1)求证:FH∥平面EDB;
5.(2021·浙江)设α,β是两个不同的平面,l是一条直线, (2)求证:AC⊥平面EDB;
以下命题正确的是 ( ) (3)求二面角B-DE-C 的大小.
A.若l⊥α,α⊥β,则l β
B.若l∥α,α∥β,则l β
C.若l⊥α,α∥β,则l⊥β
D.若l∥α,α⊥β,则l⊥β
6.(2020·湖南)设有直线 m、n 和平面α、β.下列四个命题
中,正确的是 ( )
A.若m∥α,n∥α,则m∥n
B.若m α,n α,m∥β,n∥β,则α∥β
C.若α⊥β,m α,则m⊥β
D.若α⊥β,m⊥β,m α,则m∥α
题源2 平行关系的综合运用(★★★★)
7.(2021·浙江)如图,DC⊥平面ABC,EB∥DC,AC=BC
·107·
2022-2023高考题源拓展测试
未来高考还会这样考
(测试时间:90分钟 总分:100分)
一、选择题(本题包括8小题,每小题2.5分,共20分。每小题 为30°,那么线段CD 的长的取值范围是 ( )
只有一个选项符合题意)
( 3,43] [, )
1.( 1)已知α,β表示平面,a,b表示直线,则a∥α的一个
A.23 3 B.1 +∞
充分条件是 ( )
[,23] [23, )
A.α⊥β,α⊥β B.α∩β=b,a∥b
C.1 3 D. 3 +∞
C.a∥b,b∥α D.α∥β,a β 二、填空题(本题包括4小题,每小题5分,共20分)
2.( 1)已知两个不同的平面α、β和两条不重合的直线m、 9.( 1)P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点,Q 是PA
n,有下列四个命题 中点,则直线PC 和平面BDQ 的关系为 .
①若m∥n,m⊥α,则n⊥α 10.( 1.2)平面α∥平面β,AB⊥α,A∈α,B∈β,AB=4,
②若m⊥α,m⊥β,则α∥β 直线a α,直线b β,且a∥b,点A 到a 的距离为2,B 到b的
③若m⊥α,m∥n,n β,则α⊥β 距离为5,则a、b间的距离是 .
④若m∥α,α∩β=n,则m∥n
其中正确命题的个数是 ( )
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
3.( 1)若平面α∥平面β,直线a∥平面α,当B∈β,则在
平面β内与过B 点的所有直线中 ( )
A.不一定存在与a平行的直线 11.( 1)如图,在四面体ABCD 中,M、N 分别是△ACD,
B.只有两条与a平行的直线 △BCD 的重心,则四面体的四个面中与MN 平行的是 .
C.存在无数条与a平行的直线 12.( 1.2)过平行六面体ABCD-A1B1C1D1 任意两条棱的
D.存在唯一与a平行的直线 中点作直线,其中与平面DBB1D1 平行的直线共有 条.
4.( 1)若a不平行于平面α,且a α,则下列结论成立的是 三、解答题(本题包括5小题,每小题12分,共60分)
( ) 13.( 1)如图,已知α∩β=l,AB∥α且AB∥β.
A.α内的所有直线与a异面 求证:AB∥l.
B.α内与a平行的直线不存在
C.α内存在唯一的直线与a平行
D.α内的直线与a都相交
5.( 1)两条直线都与一个平面平行,则这两条直线的位置
关系是 ( )
A.平行 B.相交
C.异面 D.以上均有可能
6.( 1)若P 是平面α外一点,则下列命题正确的是
( )
A.过P 只能作一条直线与平面α相交
B.过P 可作无数条直线与平面α垂直
C.过P 只能作一条直线与平面α平行
D.过P 可作无数条直线与平面α平行
7.( 1)已知m、n为两条不同的直线,α,β为两个不同的平
面,下列四个命题中,错误的命题个数是 ( )
①α∥β,m α,n β,则m∥n
②若m α,n α,且m∥β,n∥β,则α∥β
③若α⊥β,m α,则m⊥β
④若α⊥β,m⊥β,m α,则m∥α
A.1 B.2
C.3 D.4
8.( 1.2)已知平面α,β满足α∥β,AB 和CD 是夹在α与β
之间的线段,AB⊥CD,且AB=2,如果直线AB 与α 所成的角
·108·
14.( 1.2)如图所示,平面内两正方形ABCD 与ABEF,点 16.( 1.2)如图所示,已知两条异面直线AB 与CD 所成的
M、N 分别在对角线AC、FB 上,且 AM∶MC=FN∶NB,沿 角等于φ 且AB=m,CD=n,平面 MNPQ 与AB、CD 都平行,
AB 折成直二面角. 且 M、N、P、Q 依次在线段AC、BC、BD、AD 上.
(1)证明:折叠后 MN∥平面CBE; (1)求证:MNPQ 是平行四边形;
(2)若AM∶MC=2∶3,在线段AB 上是否存在一点G,使 (2)当 M 点在何位置时, MNPQ 的面积最大 最大面积
平面 MGN∥平面CBE 若存在试确定点G 的位置. 是多少
15.( 1.2)如图所示,在正三棱柱ABC-A1B1C1 中,底面
边长是2,D 是 棱BC 的 中 点,点 M 在 棱BB1 上,且 BM =
1
B1M,又3 CM⊥AC1.
(1)求证:A1B∥平面AC1D; 17.( 1.2)如图,正三棱柱ABC-A1B1C1 中,E 是AC 的
(2)求三棱锥B1-ADC1 的体积. 中点.
(1)求证:平面BEC1⊥平面ACC1A1;
(2)求证:AB1∥平面BEC1;
() A A 23 若 1 = ,求二面角AB 2 E-BC1-C
的大小.
·109·

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