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在(0,1]上为增函数.
于是h(t)在(0，十∞)上的最大值为h(e)=
(3)当a>3时，f(x)在(0,1]上是增函数，
fmmx(x)=f(1)=a-1=1→a=2(不合题意，舍
去)，当0≤a≤3时，f(x)=a一3x2,令f'(x)=
(2)证明：设F(x)=f)-g)=号+2ar
0,x=
4
3
-3a1nx-b(x>0),则F'(x)=x+2a-3a-
如下表：
(x-a)(x+3a）(x>0.
0A3
31
故F(x)在(0，a)上为减函数，在(a,+∞)上为
增函数.于是函数F(x)在(0，+∞)上的最小值是F
f'(x)
+
0
(a)=0.
f(x)
最大值
故当x>0时，有f(x）一g(x)≥0，即当x>0
时，f(x)≥g(x).
.f(x)在x=
:处取最大值
3
第五章立体几何与空间向量
327
a3=1a=N4
∠3→x=N3
§5.1空间几何体的结构、三视图和直观图
当a<0时，f(x)=a-3.x2<0,f(x)在(0,1]
五年高考母题原型训练
上单调递减，f(x)在(0,1]无最大值.
1,C【解析】本题考查有关球的问题.可知两
个长度的比即为两个园的半径比.设赤道所在圜半径
27
云存在a=√，使f(x)在(0,1]上有最大
为R,北韩60°所在圆的半径为r,由韩度定义可知
值1.
cos60=R=2,故选择C,
17.解：(1)设y=f(x)与y=g(x)(x>0)在公
2.D【解析】甲、乙在东经120线上，所对國
共点(xo,y)处的切线相同.
心角为75°+45°=120°，所以甲、乙的球面距离为球
“f(x)=x+2a,g'(x)=3a
面大国月长的日故为2。
由题意f(x)=g(x),f'(xo)=g'(x,
3D【解析】本题解题思路是依据球半径、球
1
2x6+2a.xo=3 a'Inzo十b,
心到戴面的距离，截面园半径三者间的关系来考虑
即
设球半径为2a,依题意过M,O作垂直于OP的平
3a2
xm十2a=
面，截球面得到两个圆的半径的平方分别是(2a)2一
a2=3a2,(2a)2=4a2,因此这两个圆的面积之比为
3a2
由x。+2a=
,得xn=a或xa=-3a(舍去)，
3
递D,
4.D【解析】如图，平面AA1D1D截球所得
0有6=2a2+2a23a2la=号a2-3a1
圈面的半径r=
|AD,I√2
令h()=2-321m(1>0),则h'()=2(1-
2
2
,EFC面AA1D1D,
3Int).
∴EF被球O截得的线段为国面直径d,
于是当t(1-3lnt)>0,即0d=2r=√2.故本题选D,
>0:
当t(1-3lnt)<0,即t>e3时，h'(t)<0.
故h(t)在(0，e)上为增函数，在(e了，十oo)上为
减函数
·42…§5.5直线、平面垂直的判定与性质
考纲·题型解读
1.理解直线和平面垂直的概念，掌握直线和平面垂直的判定定理，了解三垂线定理及其逆定理，掌握两个平面垂直的判定定
理和性质定理.
2.垂直关系是立体几何的又一重要位置关系，高考对其考查的频率也很高，按大纲要求主要体现在以下两个方面：一是垂
直关系的判定与证明，二是以垂直关系为工具解决空间中其他计算或证明问题，复习时应注意熟练掌握直线与平面、平面与平
面垂直关系的判定与性质，也要注意垂直关系的拓展与廷伸，
五年高考母题题源揭秘
,△ABP为等腰直角三角形.
题源1直线与平面垂直
:.AD=AB.
解题模型
在Rt△ABC中，∠ABC=60°.
如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的
BC=号AB,
任意一条直线都垂直，则称这条直线和这个平面垂直，
直线l垂直于平面a,记作l⊥a
在R1△ADE中，sim∠DAE=DE=BC=2
AD 2AD 4
(1)直线与平面垂直的判定定理：
如采一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，
∴，AD与平面PAC所成的角的大小为arcsin
4
那么这条直线垂直于这个平面
(3)DE∥BC,
m二a,nCa,且m∩n=A
又由(1)知，BC⊥平面PAC,
lLm,l⊥n
→l⊥a
.DE⊥平面PAC.
(2)直线与平面垂直的性质：
又，AEC平面PAC,PEC平面PAC,
①a⊥a,bCa→a⊥b,
DE⊥AE,DE⊥PE.
②a⊥a,b⊥g→a∥b,
,∠AEP为二面角A一DE一P的平面角.
③a⊥a,b∥a→a⊥b,
PA⊥底面ABC,∴.PA⊥AC.
①a⊥b台a·b=0=a1b1+a2b2+a3b3=0,
∠PAC=90°.
.在棱PC上存在一点E,使得AE⊥PC
其中a=(a1a2,ag),b=(b1,b2,bs）.
这时，∠AEP=90°.
故存在点E使得二面角A一DE一P是直二面角
[真题1](2021·北京)如图，在三棱锥P一ABC中，PA
解法二：如图，以A为原点建立空间直角坐标系A一xy2.
⊥底面ABC,PA=AB,∠ABC=60°，∠BCA=90°，点D,E分
设PA=a,由已知可得A(0,0,0),
别在棱PB,PC上，且DE∥BC
(1)求证：BC⊥平面PAC;
B
2a2a,0C0
0,za,0P(0,0a)
(2)当D为PB的中点时，求AD
与平面PAC所成的角的大小：
:a=00a.成（分40.o0）
(3)是否存在点E使得二面角
BC·AP=0,.BC⊥AP
A一DE一P为直二面角？并说明理由.
又，∠BCA=90°，BC⊥AC.
[解析]解法一：(1)，PA⊥底面
,BC⊥平面PAC.
ABC,,PA⊥BC
(2),D为PB的中点，DE∥BC,
又，∠BCA=90°，AC⊥BC.
,E为PC的中点
,BC⊥平面PAC.
(2)D为PB的中点，DE∥BC,
。31
.DE-BC.
又由(1)知，BC⊥平面PAC,
又由(1)知，BC⊥平面PAC,
DE⊥平面PAC,垂足为点E.
∴DE⊥平面PAC,垂足为点E.
,∠DAE是AD与平面PAC所成的角.
.∠DAE是AD与平面PAC所成的角.
AD=
151
:PA⊥底面ABC,PA⊥AB.
-4a,4a2a
又，PA=AB,
·110·

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