资源简介

七 探索乐园
本单元计划课时数：2课时
教学内容 板块 1：密铺的奥秘认识密铺概念：平面图形无空隙、不重叠铺满一个平面即为密铺。动手操作探究单一图形密铺：长方形、正方形、平行四边形、正三角形、正六边形能够单独密铺；圆形、正五边形无法单独密铺。探究密铺数学原理：拼接于同一个公共顶点的所有内角之和等于 360°，是平面图形可以密铺的根本原因。拓展学习：欣赏生活中地砖、墙面、刺绣、马赛克等密铺图案，尝试使用两种及以上不同图形组合进行密铺设计。板块 2：找次品依托天平平衡原理，在外观一致的物品里筛选出质量偏轻或偏重的次品。对比多种分组称量方案，总结最优解题策略：把待测物品尽量平均分成 3 份，无法均分时分出的三份数量最多只相差 1。借助画图、文字、树形图记录推理过程，明确 “至少称几次能保证找出次品” 的含义，梳理物品数量与最少称量次数之间的规律。结合生活实例，运用优化策略解决实际找次品问题。
教学目标 1.理解密铺的基本特征，准确区分常见平面图形能否单独密铺，理解顶点处内角和为 360° 的密铺本质，能识别密铺图案并创作简单组合密铺纹样。理解天平称量找次品的逻辑思路，熟练掌握三分法最优分组策略，能规范记录推理步骤，根据物品总数求出保证找出次品的最少称量次数。2.密铺部分：经历观察猜想、动手拼摆、验证归纳、规律总结的探究过程，发展空间观念与归纳推理能力。找次品部分：通过模拟称量、小组研讨、方案对比、策略优化，体会化繁为简、最优选择的数学思想，提升逻辑推理与有序思考能力。3.感受密铺在建筑、装饰、艺术领域的广泛应用，体会几何图案的数学美感，提升对图形学习的兴趣。 在找次品的方案筛选中，养成严谨周全、多角度思考问题的习惯，学会用最优化思路处理生活中的实际问题。
重点、难点 重点：掌握密铺定义，熟记可单独密铺与不可密铺的基础图形。掌握尽量均分三份的最优分组方法，会用图示法梳理称量推理过程。难点：理解同一顶点内角和 360° 是密铺的核心原理，自主完成两种图形搭配的密铺设计。理解 “保证找出” 的严谨含义；物品数量较多时，归纳数量与称量次数的通用规律，避免遗漏最差情况。
教与学建议 （一）密铺的奥秘 教学建议教师教法情境导入：出示地板砖、蜂巢、墙砖图片，直观引出密铺，点明 “无缝隙、不重叠” 两个关键条件。实操驱动：准备磁吸教具图形在黑板拼摆演示，逐个验证正多边形密铺情况，带领学生计算公共顶点内角和，从数学角度解释能否密铺。分层任务：基础任务辨别图形能否密铺；提升任务赏析密铺作品；拓展任务用彩纸剪贴设计组合密铺图案。易错点拨：重点区分正五边形不能密铺的原因，避免学生仅凭直观感受判断。学生学法动手拼摆：利用课前准备的纸质图形自主拼接，亲手验证每种图形的密铺效果。计算说理：算出拼接点内角总和，用数学算式解释图形可以或不可以密铺的理由。创意实践：结合方格本、彩笔自主设计密铺小作品，同桌互相点评是否符合密铺要求。（二）找次品 教学建议教师教法简化入手：从 3 个、5 个物品的简单例题起步，先让学生明白天平称量分 “平衡、不平衡” 两种情况，理解 “保证找到” 需要考虑最不利情况。对比优化：板书展示二分法、三分法两种分组思路，直观对比称量次数差异，突出均分三份的优势。规范表达：统一树形图记录格式，示范如何分步简写推理过程，降低学生书写难度。规律梳理：带领学生列表整理数量区间对应的最少称量次数，帮助记忆通用规律。学生学法模拟推演：用学具小方块代替待测物品，模拟天平左右放置物品，口头表述每一次称量的两种结果。画图记录：坚持用树形结构图记录分组与称量过程，杜绝只凭空想不写步骤。小组互查：同桌互相出题、互相批改，检查分组是否做到尽量均分三份，推理是否涵盖所有最坏情况。
第1课时 密铺的奥秘
课题 密铺的奥秘 课型 新授课
教学内容 冀教版小学五年级上册第112页
教学目标 1.理解密铺定义：平面图形既无空隙、又不重叠地铺满平面。掌握等边三角形、正六边形可以单独密铺，正八边形不能单独密铺；会计算正多边形单个内角度数，理解密铺核心原理：同一个拼接点处所有内角和等于 360°。能辨别生活中的密铺现象，简单尝试设计密铺图案。2.经历观察生活实例→猜想能否密铺→动手拼摆验证→计算内角探究本质规律的完整探究过程，提升动手操作、几何推理与归纳总结能力。3.感受密铺在装修、建筑、自然（蜂巢）中的应用，发现数学图案之美，激发图形探究兴趣，体会数学知识来源于生活、应用于生活。
教学重点 认识密铺含义，明确等边三角形、正六边形可单独密铺，正八边形不可单独密铺。
教学难点 通过计算内角度数，理解拼接点内角和为 360° 是图形能够密铺的根本原因。
教学准备 教具：多媒体课件（课本地砖、蜂巢、墙砖图片），磁吸等边三角形、正六边形、正八边形纸片。学具：每位学生一套等边三角形、正六边形、正八边形纸质学具，草稿本、量角器。
教 学 过 程 备 注
一、情境设计，导入新课1.创设情境。课件出示墙砖、地砖铺设图片，引导学生仔细观察。提问：这些地砖铺地面时有什么特点？ 学生发言后教师总结板书密铺概念：把地面既不留空隙，也不重叠地铺满，这种铺法叫作密铺。2．揭示课题。【板书：密铺的奥秘】二、自主活动，探索新知出示三种图形：等边三角形、正六边形、正八边形。活动 1：大胆猜想猜一猜这三种正多边形，哪些可以单独密铺，哪些不可以。活动 2：动手拼摆验证学生利用学具同桌合作拼摆，教师巡视指导。小组汇报结果： ① 等边三角形：可以密铺； ② 正六边形：可以密铺； ③ 正八边形：无法做到无空隙不重叠铺满，不能密铺。黑板磁吸演示三种图形拼接效果，直观展示拼接差异。活动 3：计算内角，挖掘密铺数学奥秘（1）布置任务：算出每种图形一个内角的度数，结合拼接点探究原理。等边三角形：内角 60° 360÷60=6，6 个 60° 内角刚好拼成 360°，拼接无空隙无重叠，可以密铺。正六边形：内角 120°360÷120=3，3 个 120° 内角相加正好 360°，能够密铺。正八边形：内角 135°360÷135=2……90 ，2 个内角和 270°，3 个内角和 405°，无法凑出 360°，因此不能密铺。（2）师生小结密铺核心奥秘：在同一个拼接顶点处，几个图形的内角度数相加等于 360°，这个图形就能够单独密铺。三、课堂小结师：回顾什么是密铺？哪两种本节课图形可以密铺？密铺的数学原理是什么？ 开课直接用地砖、墙砖实景图片切入，学生很容易自主发现 “没有缝隙、不会叠在一起” 两大特点，不用生硬灌输定义，学生能自主理解密铺含义，降低概念理解门槛。
板书设计 密铺的奥秘密铺：无空隙、不重叠铺满平面等边三角形：内角 60° 360÷60=6 可以密铺正六边形：内角 120° 360÷120=3 可以密铺正八边形：内角 135° 无法凑 360° 不能密铺 核心：拼接点内角和 = 360°
教后反思 课堂层层递进：先让学生凭视觉猜测，再动手拼摆实操验证，最后通过计算内角度数深挖数学本质，从直观感知上升到数理逻辑，符合五年级学生由具象到抽象的认知规律，探究链条完整清晰。部分学生不会计算正多边形内角度数，只能死记 60°、120°、135°，不清楚内角推导公式，导致理解 “为什么能密铺” 时跟不上思路，只能机械记忆结论。

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