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第05讲 二次函数的图象和性质（4大知识点+14大典例+变式训练+过关检测）
典型例题一 y=ax2的图象与性质
典型例题二 y=ax +k的图象和性质
典型例题三 y=a（x-h） 的图象和性质
典型例题四 y=a(x-h)2+k的图象与性质
典型例题五 y=ax2+bx+c的图象与性质
典型例题六 把y=ax +bx+c化成顶点式
典型例题七 二次函数图象与各系数符号
典型例题八 一次函数、反比例函数、二次函数图象综合判断
典型例题九 y=ax2+bx+c的最值
典型例题十 已知抛物线上对称的两点求对称轴
典型例题十一 根据二次函数的对称性求函数值
典型例题十二 利用二次函数对称性求最短路径
典型例题十三 待定系数法求二次函数解析式
典型例题十四 二次函数图象的平移
知识点01 二次函数的图像与性质
二次函数y=ax2的图象的性质：
的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值0．
向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值0．
的性质： 上加下减
的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
的性质： 左加右减
的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
的性质：左加右减，上加下减
的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
一般式：（，，为常数，）；
函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0）
图象
开口方向 向上 向下
对称轴 直线 直线
顶点坐标
增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减
最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值，
【即时训练】
1．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移6个单位后所得到的抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·宁夏吴忠·三模）将抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，则平移后的抛物线的顶点坐标为_________．
知识点02 二次函数的图象与a，b，c的关系
学生对二次函数中字母系数a、b、c及其关系式的符号判断常有些不知所措，这里介绍几个口诀来帮助同学们解惑．
1．基础四看
“基础四看”是指看开口，看对称轴，看与y轴的交点位置，看与x轴的交点个数．“四看”是对二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象最初步的认识，而且这些判断都可以通过图象直接得到，同时还可以在此基础上进行一些简单的组合应用．
2．组合二看
(1)三全看点
在a、b、c间的加减组合式中，最常见的如“a＋b＋c"，“a－b＋c”，“4a＋2b＋c”，“4a－2b＋c”等类型的式子，这类式子a、b、c三个字母都在，并且c的系数通常为1，这时只要取x为b前的系数代入二次函数y＝ax2＋bx＋c就可以得到所需的形式，从而由其对应的y的值时进行判断即可．
(2)有缺看轴
当a、b、c三个字母只出现两个间的组合时，这时对同学们来讲难度是较大的，如何解决呢？其实我们只要想一想为什么会少一个字母，这个问题就可以较好的解决．少一个字母的原因就是因为有对称轴为我们提供了a、b之间的转换关系，如果少的是字母c，则直接用对称轴提供的信息即可解决；如果少的是字母a或b，则可利用对称轴提供的a、b间转换信息，把a（或b）用b（或a）代换即可．
3．取值计算
当解题感到无从下手时，可以尝试取值法，只要根据函数图象的特点及所给出的数据（或范围），取相应点坐标代入函数的解析式中，求出其字母系数，即可进行相关判断．
二次函数的图象与系数之间的关系，解题的关键是弄清楚图象的开口方向、对称轴的位置、与坐标轴的交点及其图象中特殊点的位置，确定出与0的大小关系及含有的代数式的值的大小关系.
(1)决定开口方向:当时抛物线开口向上;当时抛物线开口向下.
(2)共同决定抛物线的对称轴位置:当同号时，对称轴在轴左侧;当异号时，对称轴在轴右侧(可以简称为“左同右异”);当时，对称轴为轴.
(3)决定与轴交点的纵坐标:当时，图象与轴交于正半轴;当时，图象过原点;当时，图象与轴交于负半轴.
(4) 的值决定了抛物线与轴交点的个数:当时，抛物线与轴有两个交点;当时，抛物线与轴有一个交点;当时，抛物线与轴没有交点.
(5) 的符号由时，的值确定:若，则;若，则.
(6) 的符号由时，的值确定:若，则;若，则.
【即时训练】
1．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）点在抛物线上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）已知二次函数的图象上有三个点，，则，，的大小关系为______（用“”连接）．
知识点03 二次函数图象的平移
由二次函数的性质可知，抛物线()的图象是由抛物线()的图象平移得到的.在平移时，不变(图象的形状、大小不变)，只是顶点坐标中的或发生变化(图象的位置发生变化)。平移规律是“左加右减，上加下减”，左、右沿轴平移，上、下沿轴平移，即
.
因此，我们在解决抛物线平移的有关问题时，首先需要化抛物线的解析式为顶点式，找出顶点坐标，再根据上面的平移规律，解决与平移有关的问题，
注意：(1)a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.
(2)理解并掌握平移的过程，由，的图象与性质及上下平移与左右平移的规律：将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：
平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”．
【即时训练】
1．（24-25八年级下·浙江金华·期中）将抛物线向右平移3个单位，再向上平移2个单位，所得拋物线的解析式是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025九年级·全国·专题练习）将抛物线先向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得抛物线的解析式是__________．
知识点04 待定系数求解析式
用待定系数法求抛物线的解析式，要根据具体已知条件灵活选择解析式的三种表达形式:
(1)已知三点坐标，常设抛物线的解析式为一般式;
(2)已知顶点(或最值)，常设抛物线的解析式为顶点式;
(3)已知抛物线与轴的两个交点坐标为，常设抛物线的解析式为交点式.
二次函数解析式的形式
一般式： 顶点式：
交点式 顶点在原点：
过原点： 顶点在y轴：
求二次函数（a≠0）的最值的方法
配方法：任意一个二次函数的一般式都可以配方成的形式
若a＞0，当x=h时，函数有最小值，且
②若a＜0，当x=h时，函数有最大值，且
公式法：因为抛物线的顶点坐标为（-），则
若a＞0，当x=时，函数有最小值，且
若a＜0，当x=h时，函数有最大值，且
【即时训练】
1．（25-26九年级上·江西上饶·阶段检测）二次函数的图象如图所示，则的值为（ ）
A．6 B． C．3 D．
2．（2025九年级·全国·专题练习）二次函数的图象过点，，且与y轴交于点，则该二次函数的表达式为________________．
【典型例题一 y=ax2的图象与性质】
【例1】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列各点在函数的图象上的是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（25-26八年级下·广西南宁·期末）二次函数的图象上有三个点，，，则、、的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【例3】（25-26九年级下·全国·课后作业）根据函数图象填空：
（1）抛物线的对称轴是________，顶点坐标是________，当x________时，抛物线上的点都在x轴的上方；
（2）抛物线的开口向________，除顶点外，抛物线上的点都在x轴的________方，它的顶点是抛物线上的最________点．
1．（25-26九年级下·全国·课后作业）画出下列函数的图象：
(1)；
(2)
2．（24-25九年级上·吉林长春·期中）已知抛物线经过点．
(1)求a的值；
(2)当时， ．
3．（25-26九年级上·山东烟台·阶段检测）已知二次函数的图象与直线交于点．
(1)求a和b的值；
(2)当x取何值时，二次函数中的函数值y随x值的增大而增大？
(3)求抛物线与直线的另一个交点 B的坐标．
【典型例题二 y=ax +k的图象和性质】
【例1】（24-25九年级上·贵州遵义·阶段检测）二次函数的图象必经过点（ ）
A． B． C． D．
【例2】（24-25九年级上·浙江宁波·期末）下列函数对应的抛物线中，形状与抛物线相同的是（ ）
A． B．
C． D．
【例3】（2025·广东东莞·一模）已知点都在函数的图象上，则的大小关系为_____________．
1．（25-26九年级下·全国·课后作业）试说明：通过怎样的平移，可以由抛物线得到抛物线？如果要得到抛物线，应将抛物线作怎样的平移？试说出函数的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
2．（2025九年级上·全国·专题练习）在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数与的图象，并说明这两个函数图象性质的相同点与不同点（从开口方向、开口大小、对称轴、顶点、增减性这5个方面进行说明）．
3．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，抛物线向右平移1个单位得到的抛物线，回答下列问题：
(1)抛物线的解析式是______，顶点坐标为______；
(2)阴影部分的面积______；
(3)若再将抛物线绕原点O旋转得到抛物线，则抛物线的开口方向______，解析式为______；
【典型例题三 y=a（x-h） 的图象和性质】
【例1】（25-26九年级上·河北邢台·期末）下列抛物线的顶点坐标为的是（ ）
A． B．
C． D．
【例2】（25-26九年级上·河南许昌·期末）在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【例3】（24-25九年级上·北京海淀·期中）若点，都在二次函数的图象上，则a与b的大小关系是：a________b（填“”，“”或“”）．
1．（25-26九年级上·江苏南通·期中）已知二次函数（a是常数）．
(1)当时，求二次函数的对称轴．
(2)若点都在二次函数的图象上．
①证明：．
②求的最大值．
2．（24-25九年级上·全国·单元测试）已知抛物线．
(1)把该抛物线写成的形式；
(2)写出该抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴；
(3)当取何值时，随的增大而增大；当取何值时，随的增大而减小？
(4)抛物线经过第几象限？
3．（24-25九年级上·全国·单元测试）已知二次函数的图象如图所示，求的面积．
【典型例题四 y=a(x-h)2+k的图象与性质】
【例1】（2026·四川甘孜·模拟预测）对于抛物线，以下说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴为直线
C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小
【例2】（2025·天津南开·模拟预测）顶点是，开口方向、形状与抛物线相同的抛物线是（ ）
A． B． C． D．
【例3】（2026·宁夏吴忠·三模）将抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，则平移后的抛物线的顶点坐标为_________．
（25-26九年级上·甘肃武威·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为，原点为，该抛物线交轴于点，求的面积．
2．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）已知二次函数（m是常数）．
(1)若．
①该函数的顶点坐标为　　　　　　；②当时，该函数的最大值　　　　　　；
(2)求证：不论m为何值，该函数图像顶点始终在二次函数上；
(3)已知该函数上有两点、，当时，总有，则m的取值范围是　　　　　　．
3．（24-25九年级上·内蒙古兴安·期末）某化工材料经销公司购进了一种化工原料7000千克，购进价格为 30元/千克，物价部门规定销售价格不得高于70 元/千克，也不得低于30元/千克，市场调查发现，单价定为70元时，日均出售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克，在销售过程中，每天还要支出其它费用500元(天数不足一天时，按整天计算)．设销售单价为x元，日均获利y元．
(1)求y关于x的二次函数解析式，并注明x的取值范围
(2)将（1）中的二次函数配方成的形式，写出顶点坐标；在上图的直角坐标系中画出草图；观察图象并指出∶单价定为多少时日均获利最多？是多少？
(3)若将这种化工原料全部售出，试比较日均获利最多与单价最高两种销售方式，哪种获总利较多？多多少？
【典型例题五 y=ax2+bx+c的图象与性质】
【例1】（2025·辽宁沈阳·模拟预测）抛物线的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【例2】（25-26九年级上·浙江宁波·期末）二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值如下表，那么方程的根是（ ）
x … 0 …
y … 0 2 2 …
A． B．，
C．， D．，
【例3】（25-26九年级上·云南昭通·期末）已知，是抛物线上的两点，则，的大小关系为：_____．（填“”“”或“”）
1．（2026·四川攀枝花·模拟预测）已知二次函数，其中为常数．
(1)若，求此函数图象的顶点坐标；
(2)当时，y随x的增大而减小；当时，随的增大而增大，求的取值范围．
2．（25-26九年级上·山东临沂·期中）已知抛物线，点为抛物线顶点．
(1)若抛物线与轴的交点坐标为点，求抛物线的解析式；
(2)当点的纵坐标取最大值时，求的值及点坐标；
(3)在（2）的条件下，当，函数有最小值7，求的值．
3．（25-26九年级上·安徽安庆·期中）在二次函数中，与的几组对应值如表所示．
… …
… …
(1)求二次函数的表达式．
(2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象．
(3)根据图象写出一条函数性质．
【典型例题六 把y=ax +bx+c化成顶点式】
【例1】（25-26九年级上·广西百色·期中）将二次函数配成的形式，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【例2】（24-25九年级上·北京石景山·阶段检测）函数y＝x2+2x+1写成y＝a（x﹣h）2+k的形式是（　　）
A．y＝（x﹣2）2+1 B．y＝（x﹣1）2+
C．y＝（x﹣1）2﹣3 D．y＝（x+2）2﹣1
【例3】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段检测）抛物线y＝x2+2x+7的开口方向 ___，顶点坐标 ___．
1．（25-26九年级上·陕西延安·阶段检测）已知抛物线：的顶点为，抛物线：（为常数）．求证：无论为何值，将的顶点向左平移个单位长度后一定落在上．
2．（2025·浙江嘉兴·一模）已知二次函数．
(1)求函数图象的对称轴；
(2)若，当时，函数的最大值为8，求实数的值；
(3)若，当时，，当时，总有，求实数的取值范围．
3．（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）已知二次函数．
(1)用配方法将化成的形式：________．
(2)在平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
(3)认真观察图象，回答下列问题：
①当时，y的取值范围是________
②当函数时，x的取值范围是________
③已知点，，都在此二次函数的图象上，则，，的大小关系是________（用“”连接）．
【典型例题七 二次函数图象与各系数符号】
【例1】（25-26九年级上·福建漳州·期中）已知抛物线的开口向下，则的值可以是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
【例2】（25-26九年级上·云南临沧·期中）已知二次函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【例3】（24-25九年级上·陕西延安·阶段检测）二次函数（a、b、c是常数，）的图象如图所示，则点在第__________象限．
1．（24-25九年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1)求该抛物线的对称轴；
(2)已知点在抛物线上，对于都有，求a的取值范围．
2．（2025·浙江杭州·二模）已知二次函数其中．
(1)若二次函数经过，求二次函数解析式．
(2)若该抛物线开口向上，当时，抛物线的最高点为，最低点为，点的纵坐标为，求点和点的坐标．
(3)在二次函数图象上任取两点，，当时，总有，求的取值范围．
3．（24-25九年级下·广西南宁·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于不同的两点、．
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)若点，都在此抛物线上，且，．试比较与大小，并说明理由；
(3)将线段先向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到线段，若抛物线与线段只有一个交点，请直接写出的取值范围．
【典型例题八 一次函数、反比例函数、二次函数图象综合判断】
【例1】（24-25九年级上·云南昆明·期中）函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【例2】（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过第______象限．
【例3】（25-26九年级上·山西朔州·阶段检测）已知二次函数的图象如图所示，根据图象提供的信息解答问题．
(1)请确定的正负．
(2)请判断一次函数的图象所经过的象限，并说明理由．
1．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，抛物线经过点，，．
(1)在y轴上取一点P，使得，写出点P的坐标；
(2)在（1）的条件下，求直线与抛物线L的交点D的坐标．
2．（2025·四川乐山·模拟预测）在平面直角坐标系中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完美点”．抛物线（a为常数且）与y轴交于点A．
(1)若，求抛物线的顶点坐标；
(2)若线段（含端点）上的“完美点”个数大于3个且小于6个，求a的取值范围；
(3)若抛物线与直线交于M、N两点，线段与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，求a的取值范围．
3．（2025·安徽宿州·二模）如图1，抛物线（a，b是常数且）与x轴交于点和点B（点B在点A的右侧），点D是抛物线的顶点，是抛物线的对称轴且交x轴于点.
(1)求a，b的值；
(2)点P是抛物线上一点且位于点A和点D之间．
（i）如图2，连接，，，求四边形面积的最大值；
（ii）如图3，连接并延长交延长线于点Q，连接交于点E，求的值.
【典型例题九 y=ax2+bx+c的最值】
【例1】（25-26九年级上·山东·期末）已知关于x的二次函数，在的取值范围内，若，则（ ）
A．函数有最大值 B．函数有最大值3
C．函数没有最小值 D．函数没有最大值
【例2】（2025·四川内江·模拟预测）二次函数图象如图，下列结论：；；③当时，；④．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【例3】（25-26九年级上·广东江门·期末）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（米）与小球的运动时间（秒）之间的关系式是，则小球运动中的最大高度是_____米．
1．（2026·河南平顶山·三模）二次函数的图象经过，两点．
(1)求二次函数的表达式．
(2)将二次函数的图象沿 轴方向平移，平移距离为个单位长度，当时，新函数的最大值是8，求n的值．
2．（2025九年级·全国·专题练习）如图，二次函数的图象的顶点坐标为，且过点．当时，求函数值y的取值范围．
3．（25-26八年级下·福建泉州·期末）定义：关于自变量的函数，对于该函数图象上任意两点，，当时，都有，称该函数为“增函数”，当，时，都有，称该函数为“减函数”．
【例题】证明：函数 （x是任意实数）是“减函数”，
证明：设，则，
因为，所以，
所以，
所以，因此该函数是“减函数”．
(1)根据定义可以判断函数（x是任意实数）是“______函数”（填“增”或者“减”）；
(2)根据例题，请判断函数在自变量时是“增函数”还是“减函数”；并说明此时该函数是否存在最大值或最小值，若存在，请求出最大值或最小值，若不存在，请说明理由．
【典型例题十 已知抛物线上对称的两点求对称轴】
【例1】（25-26九年级上·广东汕头·阶段检测）二次函数的部分对应值如下表：二次函数图象的对称轴是（ ）
x … 0 1 2 3 …
y … 5 0 0 …
A．直线 B．y轴
C．直线 D．直线
【例2】（24-25九年级上·河南周口·期末）若二次函数的图像经过点，则该图象必经过点（ ）
A． B． C． D．
【例3】（24-25九年级下·浙江杭州·阶段检测）设二次函数，，是常数，，如表列出了、的部分对应值．
1 2 3
0
则方程的解是____．
1．（2025·浙江丽水·二模）已知二次函数（a是常数且）
(1)求二次函数的对称轴；
(2)当时，y有最小值，求该二次函数的表达式；
(3)已知点为二次函数图象上的两点，设，当，恒有，求t的取值范围．
2．（2025·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为．
(1)若对于，有，求的值；
(2)若对于，，都有，求的取值范围．
3．（24-25九年级上·江西赣州·期中）在平面直角坐标系中，已知二次函数的解析式为．
… 0 1 2 3 …
… …

(1)根据表格，_____；
(2)求出二次函数的解析式，并在平面直角坐标系中画出这个函数的图象；
(3)若，则的取值范围是_____．
【典型例题十一 根据二次函数的对称性求函数值】
【例1】（2026·宁夏银川·三模）点，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【例2】（2025·浙江温州·一模）二次函数的若干组函数值如表所示：
．．． 0 1 2 5 ．．．
．．． 2 4 2 ．．．
则的值为（ ）
A．4 B．0 C． D．
【例3】（2025·山西太原·模拟预测）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数值y与自变量x的部分对应值如表：
x ﹣2 ﹣1 0 1 2
y ﹣9 ﹣4 ﹣1 0 ﹣1
当x＝4时，对应的函数值y＝__．
1．（25-26九年级上·安徽宣城·期中）已知二次函数中的x，y取值如表所示：
x … 0 1 2 3 …
y … 1 2 1 n …
(1)根据表格，则n的值为______；
(2)求此二次函数的表达式．
2．（25-26九年级上·河北保定·期中）抛物线经过点，．
(1)求a，c的值；
(2)点，均在上．
①若，求m的值；
②若，直接写出与的大小关系．
3．（2025·河北·一模）抛物线y＝x2﹣mx＋m2﹣2（m＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），若点A的坐标为（1，0）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当n≤x≤2时，y的取值范围是≤y≤5﹣n，求n的值．
【典型例题十二 利用二次函数对称性求最短路径】
【例1】（25-26九年级上·四川泸州·阶段检测）已知抛物线与x 轴的交点为 A， B（A在B的左侧），与y 轴交于点C ，在抛物线的对称轴上存在一点D ，且的值最小，则D 的坐标是 _________ ．
【例2】（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图所示，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，且，点、是直线上的两个动点，且（点在点的上方），给出以下结论：①；②且，则；③若是抛物线上除顶点外的任意一点横坐标，则；④的最小值是其中说法正确的有______．（填写正确结论的序号）
【例3】（24-25九年级上·四川德阳·阶段检测）已知抛物线的顶点A（﹣2，0）且图象经过点B（﹣3，﹣4）．
（1）求抛物线解析式；
（2）若C在抛物线上，且C的横坐标为﹣，在直线x＝﹣2上是否存在一点D，使△BCD的周长最小？若存在，请求出D的坐标，若不存在，请说明理由．
1．（24-25九年级上·重庆潼南·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图像与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)在对称轴上找一点，使的周长最小，求点的坐标．
2．（24-25九年级上·云南昭通·期末）如图，抛物线的图象与轴交于和两点，交轴于点，点、是抛物线上的一对对称点，一次函数的图象过点、．
（1）请直接写出D点的坐标．
（2）求抛物线的解析式．
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（25-26九年级上·河北沧州·阶段检测）如图，已知抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为A．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若直线经过B，C两点，则_______， ________；
(3)在抛物线的对称轴上找一点E，使得的值最小，求出点E的坐标．
【典型例题十三 待定系数法求二次函数解析式】
【例1】（2025九年级·全国·专题练习）二次函数的图象经过点和，则b，c的值分别是（ ）
A．2，4 B．2， C．，4 D．，
【例2】（25-26九年级上·天津蓟州·阶段检测）二次函数（为常数，）的自变量与函数值的部分对应值如表：
… …
… …
该二次函数解析式为_______．
【例3】（25-26九年级上·北京·阶段检测）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示：
(1)这个二次函数的解析式是______；
(2)在给定平面直角坐标系中画出这个二次函数图象．
(3)当时，结合函数图象，直接写出的取值范围．
1．（2026·福建莆田·模拟预测）已知二次函数的图象过点，．
(1)当时，求a的值；
(2)求证：．
2．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，已知抛物线经过、两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为抛物线上一点，若，求出此时点P的坐标．
3．（2025·河南商丘·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线的对称轴是直线，与x轴的一个交点A为．
(1)求抛物线的解析式及顶点的坐标；
(2)将线段向左平移一个单位得对应线段，点E为线段上一动点，过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，请依据图形直接写出点F的纵坐标的取值范围．
【典型例题十四 二次函数图象的平移】
【例1】（24-25九年级下·浙江温州·期中）将抛物线向左平移5个单位，得到新抛物线的表达式是（　　）
A． B．
C． D．
【例2】（2025九年级上·全国·专题练习）将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得抛物线的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
【例3】（2025九年级·全国·专题练习）将抛物线先向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得抛物线的解析式是__________．
1．（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）已知二次函数．
(1)求该二次函数的顶点坐标和对称轴；
(2)将该二次函数的图象先向左平移个单位，再向上平移个单位，得到新的二次函数图象，求新图象的解析式．
2．（24-25九年级上·上海金山·阶段检测）抛物线中，函数值与自变量之间的部分对应关系如下表：
… 0 1 2 …
… 0 …
(1)开口方向________，顶点坐标：________，的值为________．
(2)如果将该抛物线平移，使它的顶点移到点的位置，那么其平移的方法是________．
3．（25-26九年级上·贵州黔西南·期中）如图所示，已知抛物线．
(1)在坐标系中画出此抛物线的大致图象（不要求列表）；
(2)该抛物线可由抛物线向___________平移___________个单位得到；
(3)当时，的取值范围是___________．
1．（24-25九年级上·全国·单元测试）已知，点、、都在函数的图象上，则（　）
A． B． C． D．
2．（2025·安徽合肥·二模）函数的图象如图所示，则函数的大致图象为（ ）
A．B． C． D．
3．（24-25九年级上·重庆合川·期中）已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，则下列结论正确的是（　　）
，，，．

A． B． C． D．
4．（2026·宁夏银川·三模）二次函数（a、h为常数，）的部分与的对应值如下表：
x … 1 2 3 4 …
y … 7 4 …
则关于该二次函数的说法不正确的是（ ）
A．其图象开口向下
B．其图象的对称轴为
C．当时，的值随值的增大而减小
D．当时，
5．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过，，如果实数表示的值，实数表示的值，那么、的大小关系为（　　）
A． B． C． D．无法确定
6．（2025九年级上·山东青岛·专题练习）抛物线上有两点、，若，则___________
7．（24-25九年级下·四川成都·阶段检测）将函数的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，可得到的抛物线是______．
8．（25-26九年级上·浙江衢州·期末）二次函数的部分对应值如下表：
0 1 2
0 0
则，的大小关系为_________（填“”“”或“”）．
9．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段检测）若二次函数y＝ax2＋bx＋c图像上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表：
x … －1 0 1 2 3 …
y … －10 0 6 8 6 …
则它的图像与x轴的两个交点横坐标的和为________．
10．（25-26九年级上·重庆永川·期中）二次函数和一次函数的图象交于点和，如图所示，则时，的取值范围是___________．
11．（25-26九年级下·全国·课后作业）确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
12．（24-25九年级下·浙江温州·期中）如图，已知抛物线经过点．
(1)求抛物线的表达式．
(2)利用函数图象，求当时，y的取值范围．
13．（2025·北京通州·一模）已知二次函数．
（1）求此二次函数图象的对称轴；
（2）设此二次函数的图象与x轴交于不重合两点，（其中），且满足，求a的取值范围．
14．（25-26八年级下·北京·阶段检测）在平面直角坐标系中，二次函数的对称轴为直线，且经过点．
(1)当，时
①直接写出这个二次函数的解析式为 ；
②在平面直角坐标系中画出抛物线；
③当时，直接写出的取值范围．
(2)点，是抛物线上两点，当时，对于，总有，求的取值范围．
15．（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）清明小长假的氛围尚未褪去，“五一”假期的出行计划已备受关注．某公司计划在五一小长假期间，选择一天组织员工集体一日游，为了提前做好攻略，查阅了目的地这一天6时至24时气温随时间t（时）的变化情况，其关系如图所示，已知在这天15时气温达到最高，最高为．
(1)若目的地这一天6时至24时气温与时间t（时）符合初中学习过的某种函数关系，则可能是_______函数关系；（请选填“一次”“二次”“反比例”）
(2)根据以上判断，求y与t之间的函数关系式；
(3)根据计划，该公司将在这天上午8时到达目的地，下午6时离开目的地，若到达目的地后，低于的时长超过1小时，公司组织部门就需要提醒员工携带外套，请你计算并说明，公司组织部门是否需要提醒员工携带外套？
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第05讲 二次函数的图象和性质（4大知识点+14大典例+变式训练+过关检测）
典型例题一 y=ax2的图象与性质
典型例题二 y=ax +k的图象和性质
典型例题三 y=a（x-h） 的图象和性质
典型例题四 y=a(x-h)2+k的图象与性质
典型例题五 y=ax2+bx+c的图象与性质
典型例题六 把y=ax +bx+c化成顶点式
典型例题七 二次函数图象与各系数符号
典型例题八 一次函数、反比例函数、二次函数图象综合判断
典型例题九 y=ax2+bx+c的最值
典型例题十 已知抛物线上对称的两点求对称轴
典型例题十一 根据二次函数的对称性求函数值
典型例题十二 利用二次函数对称性求最短路径
典型例题十三 待定系数法求二次函数解析式
典型例题十四 二次函数图象的平移
知识点01 二次函数的图像与性质
二次函数y=ax2的图象的性质：
的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值0．
向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值0．
的性质： 上加下减
的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
的性质： 左加右减
的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
的性质：左加右减，上加下减
的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
一般式：（，，为常数，）；
函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0）
图象
开口方向 向上 向下
对称轴 直线 直线
顶点坐标
增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减
最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值，
【即时训练】
1．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移6个单位后所得到的抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题利用二次函数图像平移的“左加右减，上加下减”法则，先得到平移后的抛物线解析式，再求出顶点坐标即可．
【详解】解：∵原抛物线解析式为 ，根据平移法则，向左平移2个单位，再向上平移6个单位，
∴新抛物线解析式为，
整理得 ，
∴平移后抛物线的顶点坐标为．
2．（2026·宁夏吴忠·三模）将抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，则平移后的抛物线的顶点坐标为_________．
【答案】
【分析】先根据顶点式得到原抛物线的顶点坐标，再根据点平移的规律计算得到平移后的顶点坐标即可．
【详解】解：抛物线是顶点式，可得原抛物线的顶点坐标为，
将顶点向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，
平移后的顶点横坐标为，纵坐标为，
因此平移后的抛物线的顶点坐标为．
知识点02 二次函数的图象与a，b，c的关系
学生对二次函数中字母系数a、b、c及其关系式的符号判断常有些不知所措，这里介绍几个口诀来帮助同学们解惑．
1．基础四看
“基础四看”是指看开口，看对称轴，看与y轴的交点位置，看与x轴的交点个数．“四看”是对二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象最初步的认识，而且这些判断都可以通过图象直接得到，同时还可以在此基础上进行一些简单的组合应用．
2．组合二看
(1)三全看点
在a、b、c间的加减组合式中，最常见的如“a＋b＋c"，“a－b＋c”，“4a＋2b＋c”，“4a－2b＋c”等类型的式子，这类式子a、b、c三个字母都在，并且c的系数通常为1，这时只要取x为b前的系数代入二次函数y＝ax2＋bx＋c就可以得到所需的形式，从而由其对应的y的值时进行判断即可．
(2)有缺看轴
当a、b、c三个字母只出现两个间的组合时，这时对同学们来讲难度是较大的，如何解决呢？其实我们只要想一想为什么会少一个字母，这个问题就可以较好的解决．少一个字母的原因就是因为有对称轴为我们提供了a、b之间的转换关系，如果少的是字母c，则直接用对称轴提供的信息即可解决；如果少的是字母a或b，则可利用对称轴提供的a、b间转换信息，把a（或b）用b（或a）代换即可．
3．取值计算
当解题感到无从下手时，可以尝试取值法，只要根据函数图象的特点及所给出的数据（或范围），取相应点坐标代入函数的解析式中，求出其字母系数，即可进行相关判断．
二次函数的图象与系数之间的关系，解题的关键是弄清楚图象的开口方向、对称轴的位置、与坐标轴的交点及其图象中特殊点的位置，确定出与0的大小关系及含有的代数式的值的大小关系.
(1)决定开口方向:当时抛物线开口向上;当时抛物线开口向下.
(2)共同决定抛物线的对称轴位置:当同号时，对称轴在轴左侧;当异号时，对称轴在轴右侧(可以简称为“左同右异”);当时，对称轴为轴.
(3)决定与轴交点的纵坐标:当时，图象与轴交于正半轴;当时，图象过原点;当时，图象与轴交于负半轴.
(4) 的值决定了抛物线与轴交点的个数:当时，抛物线与轴有两个交点;当时，抛物线与轴有一个交点;当时，抛物线与轴没有交点.
(5) 的符号由时，的值确定:若，则;若，则.
(6) 的符号由时，的值确定:若，则;若，则.
【即时训练】
1．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）点在抛物线上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数解析式可得抛物线开口向下，对称轴为直线，进而得出离对称轴越远的点函数值越小，即可得解．
【详解】解：，
抛物线开口向下，对称轴为直线，
离对称轴越远的点函数值越小，
，
，
故选：C．
2．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）已知二次函数的图象上有三个点，，则，，的大小关系为______（用“”连接）．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由二次函数解析式可得二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，二次函数图象上的点离对称轴的距离越远函数值越大，据此解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解：∵二次函数，
∴二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，二次函数图象上的点离对称轴的距离越远函数值越大，
∵，
∴，
故答案为：．
知识点03 二次函数图象的平移
由二次函数的性质可知，抛物线()的图象是由抛物线()的图象平移得到的.在平移时，不变(图象的形状、大小不变)，只是顶点坐标中的或发生变化(图象的位置发生变化)。平移规律是“左加右减，上加下减”，左、右沿轴平移，上、下沿轴平移，即
.
因此，我们在解决抛物线平移的有关问题时，首先需要化抛物线的解析式为顶点式，找出顶点坐标，再根据上面的平移规律，解决与平移有关的问题，
注意：(1)a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.
(2)理解并掌握平移的过程，由，的图象与性质及上下平移与左右平移的规律：将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：
平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”．
【即时训练】
1．（24-25八年级下·浙江金华·期中）将抛物线向右平移3个单位，再向上平移2个单位，所得拋物线的解析式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二次函数图象的平移规律，利用“左加右减自变量，上加下减常数项”逐步计算即可得到平移后的解析式．
【详解】解：抛物线向右平移3个单位，再向上平移2个单位，所得拋物线的解析式是．
2．（2025九年级·全国·专题练习）将抛物线先向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得抛物线的解析式是__________．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数图像平移，根据二次函数图像平移规则，“左加右减，上加下减”，先处理向上平移，再处理向右平移即可 ．
【详解】解：原抛物线解析式为，向上平移1个单位长度，得；再向右平移2个单位长度，得．
故答案为：．
知识点04 待定系数求解析式
用待定系数法求抛物线的解析式，要根据具体已知条件灵活选择解析式的三种表达形式:
(1)已知三点坐标，常设抛物线的解析式为一般式;
(2)已知顶点(或最值)，常设抛物线的解析式为顶点式;
(3)已知抛物线与轴的两个交点坐标为，常设抛物线的解析式为交点式.
二次函数解析式的形式
一般式： 顶点式：
交点式 顶点在原点：
过原点： 顶点在y轴：
求二次函数（a≠0）的最值的方法
配方法：任意一个二次函数的一般式都可以配方成的形式
若a＞0，当x=h时，函数有最小值，且
②若a＜0，当x=h时，函数有最大值，且
公式法：因为抛物线的顶点坐标为（-），则
若a＞0，当x=时，函数有最小值，且
若a＜0，当x=h时，函数有最大值，且
【即时训练】
1．（25-26九年级上·江西上饶·阶段检测）二次函数的图象如图所示，则的值为（ ）
A．6 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，由函数图象可知，二次函数的图象经过点，据此利用待定系数法求解即可．
【详解】解：由函数图象可知，二次函数的图象经过点，
∴，
解得，
故选：B．
2．（2025九年级·全国·专题练习）二次函数的图象过点，，且与y轴交于点，则该二次函数的表达式为________________．
【答案】
【分析】本题主要考查了待定系数法求函数的解析式，熟记待定系数法是解题的关键．
将点、、的坐标代入二次函数解析式，利用待定系数法建立关于、、的方程组，解方程组即可求得解析式．
【详解】解：∵二次函数的图象过点，，且与y轴交于点，
∴可得
解得
∴该二次函数的表达式为，
故答案为：．
【典型例题一 y=ax2的图象与性质】
【例1】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列各点在函数的图象上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式，将各选项点的横坐标代入解析式，计算得到的y值与点的纵坐标相等，该点就在函数图象上，由此判断选项即可．
【详解】解：A选项，当时，，
∴不在该函数图象上，不符合题意；
B选项，当时，，
∴不在该函数图象上，不符合题意；
C选项，当时，，与点的纵坐标相等，
∴在该函数图象上，符合题意；
D选项，当时，，
∴不在该函数图象上，不符合题意．
【例2】（25-26八年级下·广西南宁·期末）二次函数的图象上有三个点，，，则、、的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵二次函数中，，
∴抛物线开口向上，对称轴为轴，
∴当时，随的增大而增大，
∵点、、的横坐标满足，都在对称轴右侧，
∴．
【例3】（25-26九年级下·全国·课后作业）根据函数图象填空：
（1）抛物线的对称轴是________，顶点坐标是________，当x________时，抛物线上的点都在x轴的上方；
（2）抛物线的开口向________，除顶点外，抛物线上的点都在x轴的________方，它的顶点是抛物线上的最________点．
【答案】 轴（或直线） 下 下 高
【分析】本题考查形如的二次函数的图象性质．根据二次项系数的符号判断开口方向．结合函数性质即可求解各空．
【详解】（1）抛物线属于型二次函数．
根据二次函数性质，其对称轴是轴，即直线．顶点坐标是．
．则抛物线开口向上．且．
仅当时．
当时．．抛物线上的点都在轴上方．
（2）抛物线中．
．根据二次函数性质，抛物线开口向下．
．
仅当，即顶点处时．
除顶点外，抛物线上的点都满足，都在轴的下方．开口向下的抛物线，顶点是抛物线上的最高点．
1．（25-26九年级下·全国·课后作业）画出下列函数的图象：
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：列表：
x … 0 1 2 3 …
y … 27 12 3 0 3 12 27 …
在平面直角坐标系中描点，然后用光滑的曲线顺次连接各点，得到函数的图象，如图所示．
（2）解：列表：
x … 0 1 2 3 …
y … 0 …
在平面直角坐标系中描点，然后用光滑的曲线顺次连接各点，得到函数的图象，如图所示．
2．（24-25九年级上·吉林长春·期中）已知抛物线经过点．
(1)求a的值；
(2)当时， ．
【答案】(1)3
(2)12
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据（1）所求可得函数解析式，再把代入解析式中求出此时的函数值即可得到答案．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，
∴，
∴；
（2）解：由（1）得抛物线的解析式为，
当时，．
3．（25-26九年级上·山东烟台·阶段检测）已知二次函数的图象与直线交于点．
(1)求a和b的值；
(2)当x取何值时，二次函数中的函数值y随x值的增大而增大？
(3)求抛物线与直线的另一个交点 B的坐标．
【答案】(1)，．
(2)当时，二次函数的函数值随的增大而增大．
(3)点的坐标为．
【分析】（1）先求出点A的坐标，再利用待定系数法求解即可；
（2）根据二次函数的性质求解即可；
（3）联立两函数解析式，解之即可得到答案．
【详解】（1）解：在中，当时，，
∴，即，
把点A的坐标代入得，
∴；
（2）解：由（1）得二次函数的解析式为，
∴对称轴为y轴，函数图象开口向下，
∴当时，二次函数的函数值随的增大而增大；
（3）解：联立，解得或，
∴点B的坐标为．
【典型例题二 y=ax +k的图象和性质】
【例1】（24-25九年级上·贵州遵义·阶段检测）二次函数的图象必经过点（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．把每个点的坐标代入函数解析式，即可得出答案．
【详解】解：A．把代入得：，
∴不在二次函数的图象上，故A不符合题意；
B．把代入得：，
∴不在二次函数的图象上，故B不符合题意；
C．把代入得：，
∴在二次函数的图象上，故C符合题意；
D．把代入得：，
∴不在二次函数的图象上，故D不符合题意．
故选：C．
【例2】（24-25九年级上·浙江宁波·期末）下列函数对应的抛物线中，形状与抛物线相同的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查二次函数的图象，对于二次函数，图象的形状只与的大小有关，据此即可求得答案．
【详解】解：∵二次函数的图象的形状只与的大小有关，
∴与抛物线的形状形同．
故选：A．
【例3】（2025·广东东莞·一模）已知点都在函数的图象上，则的大小关系为_____________．
【答案】/
【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据函数解析式得到对称轴为y轴，且离对称轴越远函数值越小，再求出三个点到y轴的距离即可得到答案．
【详解】解：∵二次函数解析式为，，
∴二次函数开口向下，对称轴为y轴，
∴离对称轴越远函数值越小，
∵点都在函数的图象上，且，
∴，
故答案为：．
1．（25-26九年级下·全国·课后作业）试说明：通过怎样的平移，可以由抛物线得到抛物线？如果要得到抛物线，应将抛物线作怎样的平移？试说出函数的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
【答案】将抛物线向下平移2个单位可得到抛物线；将抛物线向上平移4个单位可得到抛物线；函数的图象开口向下，对称轴为直线（轴），顶点坐标为
【分析】本题考查二次函数图象的平移规律和型二次函数的性质，上下平移遵循“上加下减常数项”的规律，再根据二次项系数的符号判断开口方向，直接确定对称轴和顶点坐标即可．
【详解】解：已知原抛物线解析式为，要得到抛物线，对比原解析式可知常数项减2，因此将向下平移2个单位即可得到．
要得到抛物线，对比原解析式可知常数项加4，因此将向上平移4个单位即可得到．
对于函数，二次项系数，因此图象开口向下．
对称轴为直线，即轴．
将代入解析式，得，因此顶点坐标为．
2．（2025九年级上·全国·专题练习）在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数与的图象，并说明这两个函数图象性质的相同点与不同点（从开口方向、开口大小、对称轴、顶点、增减性这5个方面进行说明）．
【答案】图见解析，相同点：①开口大小相同；②对称轴都是y轴．不同点：①开口方向不同，函数的图象开口向上，函数的图象开口向下；②增减性不同，当时，随x的增大而增大，随x的增大而减小，当时，随x的增大而减小，函数随x的增大而增大；③顶点不同，函数的图象的顶点坐标为，函数的图象的顶点坐标为
【分析】本题考查二次函数的图像和性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据二次函数的图像可得二次函数的性质，进行分析比较即可．
【详解】解：画出这两个函数的图象如图所示．
相同点：①开口大小相同；②对称轴都是y轴．
不同点：①开口方向不同，函数的图象开口向上，函数的图象开口向下；
②增减性不同，当时，随x的增大而增大，随x的增大而减小，当时，随x的增大而减小，函数随x的增大而增大；
③顶点不同，函数的图象的顶点坐标为，函数的图象的顶点坐标为
3．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，抛物线向右平移1个单位得到的抛物线，回答下列问题：
(1)抛物线的解析式是______，顶点坐标为______；
(2)阴影部分的面积______；
(3)若再将抛物线绕原点O旋转得到抛物线，则抛物线的开口方向______，解析式为______；
【答案】(1)，
(2)2
(3)向上，
【分析】（1）根据抛物线的移动规律左加右减可直接得出抛物线的解析式，再根据的解析式求出顶点坐标即可；
（2）根据平移的性质知，阴影部分的面积等于底高，列式计算即可；
（3）先求出二次函数旋转后的开口方向和顶点坐标，从而得出抛物线的解析式．
【详解】（1）解：∵抛物线向右平移1个单位得到的抛物线，
∴抛物线的解析式是，顶点坐标为．
故答案为：，；
（2）解：阴影部分的面积是：．
故答案为：2；
（3）解：∵将抛物线绕原点O旋转后，得到抛物线的顶点坐标为：，
∴抛物线的解析式为，开口方向向上．
故答案为：向上，．
【点睛】此题考查了二次函数的图像与几何变化，用到的知识点是二次函数的图像和性质、顶点坐标，关键是掌握二次函数的移动规律和几何变换．
【典型例题三 y=a（x-h） 的图象和性质】
【例1】（25-26九年级上·河北邢台·期末）下列抛物线的顶点坐标为的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的顶点式为，则抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为．先根据二次函数的性质确定各抛物线的顶点坐标，然后进行判断．
【详解】解：A、，顶点坐标为，本选项不符合题意；
B、，顶点坐标为，本选项不符合题意；
C、，顶点坐标为，本选项符合题意；
D、，顶点坐标为，本选项不符合题意；
故选：C．
【例2】（25-26九年级上·河南许昌·期末）在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数的图象，解决本题的关键是明确二次函数的顶点坐标及开口方向．根据二次函数的性质，由二次函数得到其顶点坐标与开口方向； 然后根据顶点坐标与开口方向，判定出函数图象即可．
【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为，
∴二次函数图象的顶点在轴负半轴上，
又∵，
∴开口向上．
故选：D．
【例3】（24-25九年级上·北京海淀·期中）若点，都在二次函数的图象上，则a与b的大小关系是：a________b（填“”，“”或“”）．
【答案】<
【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线，然后比较两个点离直线的远近即可得到a、b的大小关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向上，对称轴是直线，
∴点离直线远，点离直线较近，
∴，
故答案为：．
1．（25-26九年级上·江苏南通·期中）已知二次函数（a是常数）．
(1)当时，求二次函数的对称轴．
(2)若点都在二次函数的图象上．
①证明：．
②求的最大值．
【答案】(1)直线
(2)①证明见解析；②的最大值为4
【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
（1）依据题意，当时，二次函数为，从而可以判断得解；
（2）①依据题意，由点都在二次函数的图象上，则对称轴是直线，则，进而可以计算得解；
依据题意可得，，进而根据二次函数的性质即可判断得解．
【详解】（1）解：由题意，当时，二次函数为，
对称轴是直线；
（2）证明：由题意，点都在二次函数的图象上，
对称轴是直线．
．
．
由题意可得，
．
当时，的最大值为4．
2．（24-25九年级上·全国·单元测试）已知抛物线．
(1)把该抛物线写成的形式；
(2)写出该抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴；
(3)当取何值时，随的增大而增大；当取何值时，随的增大而减小？
(4)抛物线经过第几象限？
【答案】(1)；
(2)开口向下，顶点坐标，对称轴：直线；
(3)当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小；
(4)经过第一、二、三、四象限．
【分析】（）通过配方配成顶点式即可；
（）根据二次函数的性质即可求解；
（）根据二次函数的性质即可求解；
（）根据二次函数图象即可求解；
本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
【详解】（1）∵抛物线，
∴；
（2）由，
∴顶点坐标，对称轴为直线，
∵，
∴开口方向向下；
（3）当时，随的增大而增大，
当时，随的增大而减小；
（4）如图，
根据图象可知，抛物线经过第一、二、三、四象限．
3．（24-25九年级上·全国·单元测试）已知二次函数的图象如图所示，求的面积．
【答案】1
【分析】利用二次函数的顶点式可得到点A的坐标，再由x=0求出对应的y的值，可得到点B的坐标，然后利用三角形的面积公式求出△ABO的面积．
【详解】解：∵二次函数
∴顶点
∵点在图像上且在轴上，即时的坐标
∴
∴
∴的面积
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据解析式求出交点坐标是关键．
【典型例题四 y=a(x-h)2+k的图象与性质】
【例1】（2026·四川甘孜·模拟预测）对于抛物线，以下说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴为直线
C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小
【答案】B
【分析】根据抛物线顶点式的性质，分别判断开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性，即可得到正确选项．
【详解】解：∵抛物线解析式为
∴
∴抛物线开口向上，故A错误
对称轴为直线，故B正确
顶点坐标为，故C错误
∵抛物线开口向上，对称轴为直线
∴当时，随的增大而增大，故D错误．
【例2】（2025·天津南开·模拟预测）顶点是，开口方向、形状与抛物线相同的抛物线是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查二次函数顶点式的性质，二次函数顶点式中，决定抛物线的开口方向和形状，顶点坐标为，根据已知条件确定和顶点坐标即可得到解析式．
【详解】解：∵所求抛物线的开口方向、形状与相同，
∴所求抛物线的二次项系数，可排除C、D选项；
∵所求抛物线的顶点为，代入顶点式（顶点坐标为），
得，，，
∴解析式为．
【例3】（2026·宁夏吴忠·三模）将抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，则平移后的抛物线的顶点坐标为_________．
【答案】
【分析】先根据顶点式得到原抛物线的顶点坐标，再根据点平移的规律计算得到平移后的顶点坐标即可．
【详解】解：抛物线是顶点式，可得原抛物线的顶点坐标为，
将顶点向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，
平移后的顶点横坐标为，纵坐标为，
因此平移后的抛物线的顶点坐标为．
1．（25-26九年级上·甘肃武威·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为，原点为，该抛物线交轴于点，求的面积．
【答案】12
【分析】本题主要考查了二次函数图像的性质、坐标与图形、三角形面积等知识点，掌握二次函数的性质是解题的关键．
先根据二次函数的性质确定、，即，再根据三角形面积公式即可．
【详解】解：如图：∵抛物线的顶点为，
∴抛物线的顶点坐标为，当时，，即该抛物线交轴于点，
∴，
∴的面积．
2．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）已知二次函数（m是常数）．
(1)若．
①该函数的顶点坐标为　　　　　　；②当时，该函数的最大值　　　　　　；
(2)求证：不论m为何值，该函数图像顶点始终在二次函数上；
(3)已知该函数上有两点、，当时，总有，则m的取值范围是　　　　　　．
【答案】(1)①；②2
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查二次函数的图像性质，熟练掌握其图像性质是解题的关键．
（1）将代入得到二次函数，据此解答即可；
（2）将二次函数化为顶点式，得到顶点坐标，验证顶点坐标是否在二次函数上即可；
（3）由（2）可知该二次函数开口向下，对称轴为，根据当时，总有，说明当时，随的增大而减小，据此解答即可．
【详解】（1）解：当时，二次函数，
①该函数的顶点坐标为，
故答案为：；
②由①知该函数的顶点坐标为，
由于，
则当时，该函数的最大值为2，
故答案为：2；
（2）证明：二次函数，
则顶点坐标为，
将代入得，
因此，不论m为何值，该函数图像顶点始终在二次函数上；
（3）解：由（2）可知该二次函数的顶点坐标为，
当时，总有，
则当时，随的增大而减小，
由于该二次函数开口向下，对称轴为，
则，
故答案为：．
3．（24-25九年级上·内蒙古兴安·期末）某化工材料经销公司购进了一种化工原料7000千克，购进价格为 30元/千克，物价部门规定销售价格不得高于70 元/千克，也不得低于30元/千克，市场调查发现，单价定为70元时，日均出售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克，在销售过程中，每天还要支出其它费用500元(天数不足一天时，按整天计算)．设销售单价为x元，日均获利y元．
(1)求y关于x的二次函数解析式，并注明x的取值范围
(2)将（1）中的二次函数配方成的形式，写出顶点坐标；在上图的直角坐标系中画出草图；观察图象并指出∶单价定为多少时日均获利最多？是多少？
(3)若将这种化工原料全部售出，试比较日均获利最多与单价最高两种销售方式，哪种获总利较多？多多少？
【答案】(1)
(2)，图见解析，定价为65元时，日均获利最多，是1950元
(3)销售单价最高时获总利较多，且多获利26500元
【分析】本题考查了二次函数的销售盈利问题，求二次函数的解析式，化为顶点式，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）理解题意，根据利润等于单件利润乘上数量再减去其他支出，进行列式化简，即可作答．
（2）根据题意，化为一般式，再结合二次函数的图象性质进行分析，即可作答．
（3）由（2）得当日均获利最多时，单价为65元，则日均销售千克，因为某化工材料经销公司购进了一种化工原料7000千克，则总获利元，再算出此时将这种化工原料全部售完需要117天，那么总获利为（元），因为，则（元），即可作答．
【详解】（1）解：∵购进价格为 30元/千克，单价定为70元时，日均出售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克，在销售过程中，每天还要支出其它费用500元(天数不足一天时，按整天计算)．
∴，
∵物价部门规定销售价格不得高于70 元/千克，也不得低于30元/千克，
∴，
即．
（2）解：由（1）得
则，
∴顶点坐标为，开口向下，
则二次函数的图象如图所示：
∴定价为65元时，日均获利最多，是1950元．
（3）解：由（2）得当日均获利最多时，单价为65元，
则日均销售（千克）
∵某化工材料经销公司购进了一种化工原料7000千克，
则总获利（元），
当销售单价最高时，单价为70元，日均销售60千克，
∴此时，
∴将这种化工原料全部售完需要117天，
那么总获利为（元），
∵，
则（元），
∴销售单价最高时获总利较多，且多获利元．
【典型例题五 y=ax2+bx+c的图象与性质】
【例1】（2025·辽宁沈阳·模拟预测）抛物线的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用配方法将二次函数一般式转化为顶点式，再根据顶点式的性质直接得到顶点坐标．
【详解】解：
∴该抛物线的顶点坐标为．
【例2】（25-26九年级上·浙江宁波·期末）二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值如下表，那么方程的根是（ ）
x … 0 …
y … 0 2 2 …
A． B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的性质．由表格可知，当时，故是方程的一个根；由于二次函数对称，且与时y值均为2，故对称轴为，因此与关于对称，即，即可作答．
【详解】解：∵时，
∴是方程的一个根；
∵与时y值均为2，
故对称轴为，
设另一个根为，
则与关于对称，即；
解得
∴方程的根为，，
故选：C．
【例3】（25-26九年级上·云南昭通·期末）已知，是抛物线上的两点，则，的大小关系为：_____．（填“”“”或“”）
【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，分别把点、的横坐标代入函数解析式中，计算两点对应的函数值，并比较大小关系．
【详解】解：当 时，，
当 时，，
则，
．
1．（2026·四川攀枝花·模拟预测）已知二次函数，其中为常数．
(1)若，求此函数图象的顶点坐标；
(2)当时，y随x的增大而减小；当时，随的增大而增大，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将代入二次函数中，得到，即可得到函数图象的顶点坐标为；
（2）先求得抛物线的对称轴为直线，根据当时，y随x的增大而减小；当时，随的增大而增大，得到，即可求得的取值范围．
【详解】（1）解：∵，
∴二次函数，
∴函数图象的顶点坐标为；
（2）解：∵二次函数为，
∴对称轴为直线，
∵当时，y随x的增大而减小，
∴，解得；
∵当时，随的增大而增大，
∴，解得，
∴的取值范围是．
2．（25-26九年级上·山东临沂·期中）已知抛物线，点为抛物线顶点．
(1)若抛物线与轴的交点坐标为点，求抛物线的解析式；
(2)当点的纵坐标取最大值时，求的值及点坐标；
(3)在（2）的条件下，当，函数有最小值7，求的值．
【答案】(1)
(2)，点的坐标为
(3)或
【分析】本题主要考查了利用待定系数法求二次函数的表达式，以及二次函数的性质．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）将代入抛物线解析式求出m的值，即可求得抛物线的解析式；
（2）先求出抛物线的顶点坐标为，再由可得当时，的最大值为，进而可得点的坐标；
（3）先求出再（2）的条件下抛物线的表达式为，可知当时，函数有最小值，根据当，函数有最小值，可知的取值范围一定在对称轴的左边或者右边．然后分和两种情况讨论，即可求出n的值．
【详解】（1）解：将代入抛物线解析式，
得：，
解得，
∴．
（2）解：，
∴，顶点的坐标为，
∵，
∴当时，的最大值为3，
此时点P的坐标为．
（3）解：当时，，
当时，函数有最小值3，
∵时，函数的最小值是7，
∴的取值范围一定在对称轴的左边或者右边．
当时，时有最小值，
∴，
解得，，
∵，
∴．
当时，时有最小值，
∴，
解得，，
∵，
∴．
综上所述，或．
3．（25-26九年级上·安徽安庆·期中）在二次函数中，与的几组对应值如表所示．
… …
… …
(1)求二次函数的表达式．
(2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象．
(3)根据图象写出一条函数性质．
【答案】(1)
(2)顶点坐标为，见解析
(3)时，随的增大而减小；时，随的增大而增大（答案不唯一）
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，掌握相关知识是解决问题的关键．
（1）由表格所给数据用待定系数法求函数解析式；
（2）将二次函数解析式化为顶点式求顶点坐标，描点连线画函数图像；
（3）写出二次函数的增减性（答案不唯一）．
【详解】（1）解：设二次函数解析式为，
由题意图象过，，代入得，
，
解得，
二次函数的表达式为；
（2）解：，
顶点坐标为．
作图如下：
（3）解：当时，随的增大而减小；
当时，随的增大而增大（答案不唯一）
【典型例题六 把y=ax +bx+c化成顶点式】
【例1】（25-26九年级上·广西百色·期中）将二次函数配成的形式，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查将一般式转化为顶点式，通过配方法将二次函数的一般式转换为顶点式即可.
【详解】解：，
；
故选A.
【例2】（24-25九年级上·北京石景山·阶段检测）函数y＝x2+2x+1写成y＝a（x﹣h）2+k的形式是（　　）
A．y＝（x﹣2）2+1 B．y＝（x﹣1）2+
C．y＝（x﹣1）2﹣3 D．y＝（x+2）2﹣1
【答案】D
【分析】把函数解析式配方即可．
【详解】配方得：
故选：D．
【点睛】本题考查了用配方法把二次函数的一般式化为顶点式，这是二次函数学习中常用到的变形，务必掌握．
【例3】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段检测）抛物线y＝x2+2x+7的开口方向 ___，顶点坐标 ___．
【答案】 向上
【分析】将二次函数化为顶点式，根据顶点式即可解答．
【详解】解：原式，
则函数的开口方向向上，顶点坐标为，
故答案为：向上、．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是会将函数化为顶点式．
1．（25-26九年级上·陕西延安·阶段检测）已知抛物线：的顶点为，抛物线：（为常数）．求证：无论为何值，将的顶点向左平移个单位长度后一定落在上．
【答案】证明见解析．
【分析】本题考查了二次函数的性质，由：得，，得顶点为，然后求出平移个单位长度后坐标为，再代入即可得到结论；掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】证明：由：得，，
∴顶点为，
∴的顶点向左平移个单位长度后坐标为，
当时，，
∴点在图象上，
∴无论为何值，将的顶点向左平移个单位长度后一定落在上．
2．（2025·浙江嘉兴·一模）已知二次函数．
(1)求函数图象的对称轴；
(2)若，当时，函数的最大值为8，求实数的值；
(3)若，当时，，当时，总有，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)2
(3)
【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，掌握二次函数的图像和性质即可得出答案．
（1）根据对称轴公式求解即可．
（2）由得出抛物线开口向上，根据抛物线对称直线为，结合二次函数的图像和性质可得出时，函数取最大值即可得出关于m的一元二次方程求解并舍去的值即可．
（3）把代入抛物线得出，再得出仅当时，即时，此时最小值为，最大值为时，即，
进而结合二次函数图像即可求出实数的取值范围．
【详解】（1）解：对称轴直线为：
（2）解：∵，
∴抛物线开口向上，
∵抛物线对称直线为，
∴当时，当时，函数取最小值，时，函数取最大值，
即，
解得：，负值舍去
（3）解：当时，则，顶点坐标为：
当时， ，
则在时，最小值为，
即，
解得：，或（舍去），
∴仅当时，即时，此时最小值为，
最大值为时，即，
∵当时，总有，
∴当时，即时，，
令，
解得：，，
∴．
3．（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）已知二次函数．
(1)用配方法将化成的形式：________．
(2)在平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
(3)认真观察图象，回答下列问题：
①当时，y的取值范围是________
②当函数时，x的取值范围是________
③已知点，，都在此二次函数的图象上，则，，的大小关系是________（用“”连接）．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)①；②或；③
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，把二次函数解析式化为顶点式等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
（1）利用配方法求解即可；
（2）先列表，再描点，连线画出函数图象即可；
（3）①根据函数图象即可得到答案；②根据函数图象可得答案；③根据（1）（2）所求可得开口方向向上，对称轴为直线，则离对称轴越远函数值越大，据此求出三个点到对称轴的距离即可得到答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：列表如下：
0 1 2 3 4
画函数图象如下所示：
；
（3）解：①由函数图象可知，当时，；
②由函数图象可知，当时，或；
③由（1）可知抛物线的对称轴为直线，
由函数图象可知，函数图象开口向上，
∴离对称轴越远，函数值越大，
∵点，，都在此二次函数的图象上，且，
∴．
【典型例题七 二次函数图象与各系数符号】
【例1】（25-26九年级上·福建漳州·期中）已知抛物线的开口向下，则的值可以是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的性质，二次项系数决定抛物线的开口方向，当时，开口向下，据此进行判断即可．
【详解】解：∵抛物线的开口向下，
∴，
∴的值可以是；
故选：D．
【例2】（25-26九年级上·云南临沧·期中）已知二次函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二次函数图像与系数的关系．根据二次函数的图像与性质即可判断．
【详解】解：由图可知，二次函数图像开口向下，
∴，
二次函数与y轴交于正半轴，
∴，
对称轴，
∴a、b异号，
∴，
故选：C．
【例3】（24-25九年级上·陕西延安·阶段检测）二次函数（a、b、c是常数，）的图象如图所示，则点在第__________象限．
【答案】三
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，以及象限内点的坐标特征，根据图象可知，，，即可判断点所在象限，即可解题．
【详解】解：由图知，，，对称轴为直线
∴
点在第三象限．
故答案为：三．
1．（24-25九年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1)求该抛物线的对称轴；
(2)已知点在抛物线上，对于都有，求a的取值范围．
【答案】(1)直线
(2)或
【分析】本题考查的是二次函数的性质，求解二次函数的对称轴；
（1）直接利用对称轴公式求解对称轴即可；
（2）根据对称轴求出点A关于对称轴的对称点，再分与分析求解即可.
【详解】（1）解：，
该抛物线的对称轴为直线：，即直线；
（2）解：点在抛物线上，，
设点关于对称轴的对称点为，
，
，
；
若，则当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．
当时，
对于都有，
，
，
，与矛盾，不合题意；
当时，
对于都有，
，即，
，
；
若，则当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大．
当时，
对于都有，
，
，
，
；
当时，
对于都有，
，即，
，
，与矛盾，不合题意；
综上可知，a的取值范围是或．
2．（2025·浙江杭州·二模）已知二次函数其中．
(1)若二次函数经过，求二次函数解析式．
(2)若该抛物线开口向上，当时，抛物线的最高点为，最低点为，点的纵坐标为，求点和点的坐标．
(3)在二次函数图象上任取两点，，当时，总有，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)，
(3)当时；当时，
【分析】（1）把点的坐标代入函数解析式中求出即可；
（2）根据抛物线开口向上得，根据函数图象的性质确定最高点和最低点，从而得出的值，即可求出点和点的坐标；
（3）分开口方向向上和开口方向向下两种情况，根据图象的增减性讨论的取值范围．
【详解】（1）二次函数经过，
，
，
二次函数的解析式是．
（2）抛物线开口方向向上，
，
，
这个抛物线的顶点为，
当时，随增大而减小，当时，随增大而增大，
最低点，
当时，，当时，，且，
，
最高点，
，
，代入点和点坐标得：，；
（3）当时，如图所示：
则有当时，随增大而减小；当时，随增大而增大，
又当时，总有，此时，
；
②当时，如图所示：
则有当时，随增大而增大，当时，随增大而减小，
又当时，总有，此时，
综上，当时；当时，．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性质是解题的关键．
3．（24-25九年级下·广西南宁·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于不同的两点、．
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)若点，都在此抛物线上，且，．试比较与大小，并说明理由；
(3)将线段先向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到线段，若抛物线与线段只有一个交点，请直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)或或
【分析】（1）将、代入抛物线解析式，得，解方程组即可求出、的值，进而得出该抛物线的函数解析式；
（2）由（1）得，该抛物线的函数解析式为，则其对称轴为直线，由，可得，，进而可得，因而点比点距离抛物线对称轴更近，再结合该抛物线开口向下，即可得出结论；
（3）由（1）得，该抛物线的函数解析式为，则，因而该抛物线仍然经过、，由于将线段先向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到线段，因而可得，，即，，然后分两种情况讨论：当时；当时，又分两种情况讨论：）当抛物线的顶点在线段上时；）当抛物线与线段相交时；分别建立关于的方程或不等式，解方程或不等式即可求出的取值范围．
【详解】（1）解：、两点在抛物线上，
将、代入抛物线解析式，得：
，
解得：，
该抛物线的函数解析式为；
（2）解：，理由如下：
由（1）得：该抛物线的函数解析式为，
其对称轴为直线，
，，
，，
，
点比点距离抛物线对称轴更近，
又该抛物线开口向下，
；
（3）解：由（1）得：该抛物线的函数解析式为，
，
该抛物线仍然经过、，
将线段先向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到线段，
，，
即：，，
分两种情况讨论：
当时，
，抛物线开口向上，
如图，
当抛物线与线段只有一个交点时，则当时，
，
解得：；
当时，
，抛物线开口向下，
分两种情况讨论：
）当抛物线的顶点在线段上时，
如图，
此时，抛物线与线段只有一个交点，
抛物线的顶点坐标为，
，
解得：；
）当抛物线与线段相交时，
如图，
当抛物线与线段只有一个交点时，则当时，
，
解得：；
综上，的取值范围为：或或．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，的图象与性质，把化成顶点式，的图象与性质，二次函数的图象与系数的关系，坐标与图形变化—平移，从函数的图象获取信息，解二元一次方程组，解一元一次不等式，解一元一次方程，不等式的性质等知识点，运用数形结合思想及分类讨论思想是解题的关键．
【典型例题八 一次函数、反比例函数、二次函数图象综合判断】
【例1】（24-25九年级上·云南昆明·期中）函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的图象与一次函数的图象问题，根据二次函数的图象与一次函数的图象特点逐一排除即可，掌握二次函数的图象与一次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，符合题意；
、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，不符合题意；
、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，不符合题意；
、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，不符合题意；
故选：．
【例2】（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过第______象限．
【答案】二
【分析】本题主要考查了一次函数图象与二次函数图象综合判断．根据开口向下和对称轴在y轴右侧得到，，据此可得一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限．
【详解】解：∵二次函数开口向上，
∴，
∵对称轴在y轴右侧，
∴，
∴，
∵，
∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，
故答案为：二．
【例3】（25-26九年级上·山西朔州·阶段检测）已知二次函数的图象如图所示，根据图象提供的信息解答问题．
(1)请确定的正负．
(2)请判断一次函数的图象所经过的象限，并说明理由．
【答案】(1)，
(2)经过第二、三、四象限，理由见解析
【分析】本题主要考查了一次函数图象与二次函数图象综合判断，正确根据二次函数图象判断出a、b的符号是解题的关键．
（1）由抛物线开口向下可知，抛物线的对称轴在y轴右侧，即，得．
（2）根据（1）中结论，，得直线中，，，它即可得答案．
【详解】（1）解：抛物线的开口方向向下，
．
，
．
（2）解：，
，
由图可知，，
，
，
一次函数的图象经过第二、三、四象限．
1．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，抛物线经过点，，．
(1)在y轴上取一点P，使得，写出点P的坐标；
(2)在（1）的条件下，求直线与抛物线L的交点D的坐标．
【答案】(1)或；
(2)或
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、一次函数和二次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式、全等三角形的判定和性质等知识．
（1）分两种情况，利用全等三角形的判定和性质即可求出答案；
（2）分别求出直线的解析式和直线的解析式，分别与二次函数解析式联立，求出交点坐标即可．
【详解】（1）解：①在y轴正半轴上取一点P，使得，如解图，
∵，．
∴，
∵，，
∴，
点P的坐标为；
②在y轴负半轴上取一点，使得，如解图，
同理可证，，
，
∴.点的坐标为.
综上所述，点P的坐标为或；
（2）如解图，设直线的解析式为，
由点B、P的坐标可得
则
解得
∴直线的解析式为，
同理可得，直线的解析式为，，
当时，
解得（舍去）或，
当时，，
点D的坐标为，
当时，
解得（舍去）或，
则
点的坐标为.
综上所述，点D的坐标为或.
2．（2025·四川乐山·模拟预测）在平面直角坐标系中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完美点”．抛物线（a为常数且）与y轴交于点A．
(1)若，求抛物线的顶点坐标；
(2)若线段（含端点）上的“完美点”个数大于3个且小于6个，求a的取值范围；
(3)若抛物线与直线交于M、N两点，线段与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的特征．数形结合解题是解题的关键．
（1）把代入后再将抛物线化成顶点式为，即可求顶点坐标；
（2）根据整点个数的范围确定点A纵坐标的范围；
（3）结合图象确定有4个“完美点”时a的最大和最小值，进而确定a的范围．
【详解】（1）解：当时，抛物线．
∴顶点坐标．
（2）令，则，
∴，
∵线段上的“完美点”的个数大于3个且小于6个，
∴“完美点”的个数为4个或5个．
∵，
∴当“完美点”个数为4个时，分别为，，，；
当“完美点”个数为5个时，分别为，，，，．
∴．
∴a的取值范围是．
（3）根据，
得抛物线的顶点坐标为，过点，，．
∵抛物线与直线交于M、N两点，线段与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，
显然，“完美点”，，符合题意．
下面讨论抛物线经过，的两种情况：
①当抛物线经过时，解得此时，，，．
如图所示，满足题意的“完美点”有，，，，共4个．
②当抛物线经过时，解得此时，，，．
如图所示，满足题意的“完美点”有，，，，，，共6个．
∴a的取值范围是．
3．（2025·安徽宿州·二模）如图1，抛物线（a，b是常数且）与x轴交于点和点B（点B在点A的右侧），点D是抛物线的顶点，是抛物线的对称轴且交x轴于点.
(1)求a，b的值；
(2)点P是抛物线上一点且位于点A和点D之间．
（i）如图2，连接，，，求四边形面积的最大值；
（ii）如图3，连接并延长交延长线于点Q，连接交于点E，求的值.
【答案】(1)
(2)（i）9；（ii）8
【分析】此题考查了二次函数综合题，还考查了一次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式，数形结合是解题的关键．
（1）根据题意得到，解方程组即可得到答案；
（2）（i）求出点B的坐标是，则，过点P作轴，交线段于点Q，求出点的 D的坐标是，得到，可得，求出直线的解析式为，设点P的坐标为，则点Q的坐标为，则，得到，得到四边形面积，由，即可得答案；
（ii）设点P的坐标为，求出直线的解析式为，求出，则，求出直线的解析式为，则点E的坐标是，求出，即可求出定值．
【详解】（1）解：把点代入得到，①
∵是抛物线的对称轴且交x轴于点.
∴，②
联立①②得，
解得
（2）（i）由（1）可得，，
当时，，
当时，，解得，，
∴点B的坐标是，
∴，
过点P作轴，交线段于点Q，
∵
∴点的 D的坐标是，
∴
∴，
设直线的解析式为，
则，
解得，
∴直线的解析式为，
设点P的坐标为，则点Q的坐标为，
∴，
∴，
∴四边形面积，
∵点P是抛物线上一点且位于点A和点D之间．
∴，
∴当时，有最大值，最大值为9；
（ii）设点P的坐标为，
设设直线的解析式为，
则，
解得，
∴直线的解析式为，
∴
∴，
设的解析式为，
则，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴点E的坐标是，
∴，
∴
【典型例题九 y=ax2+bx+c的最值】
【例1】（25-26九年级上·山东·期末）已知关于x的二次函数，在的取值范围内，若，则（ ）
A．函数有最大值 B．函数有最大值3
C．函数没有最小值 D．函数没有最大值
【答案】B
【分析】本题主要考查的是二次函数的最值问题．理解二次函数的最值是解题的关键．先求得抛物线的对称轴，再根据二次函数的性质求解即可．
【详解】解：抛物线的对称轴为直线，
∵，开口向下，在的取值范围内，且，
∴当时，函数有最大值，最大值为，
当时，函数有最小值，最小值为，
观察四个选项，选项B符合题意，
故选：B．
【例2】（2025·四川内江·模拟预测）二次函数图象如图，下列结论：；；③当时，；④．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，正确理解二次函数的性质是解题的关键．根据开口方向确定,根据抛物线的对称轴位置确定，与y轴的交点确定，根据对称轴方程推出，由图象可知，当时，，从而确定，当时，，即，以此确定本题答案．
【详解】解：抛物线开口向下，
，
抛物线的对称轴在y轴的右侧，
，
，
抛物线与y轴的交点在x轴的上方，
，
，故①错误；
抛物线的对称轴为直线，
，，故②正确；
抛物线的开口向下,对称轴为直线，
当时的函数值是最大值，
，
，故③正确；
由题图可知 时，，
，故④错误．
故选：C．
【例3】（25-26九年级上·广东江门·期末）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（米）与小球的运动时间（秒）之间的关系式是，则小球运动中的最大高度是_____米．
【答案】12
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，由二次函数的关系式得到图象开口向下，顶点坐标为，即可得到小球运动中的最大高度．
【详解】解：∵，，
∴当时，h有最大值，为，
∴小球运动中的最大高度是12米．
故答案为：12．
1．（2026·河南平顶山·三模）二次函数的图象经过，两点．
(1)求二次函数的表达式．
(2)将二次函数的图象沿 轴方向平移，平移距离为个单位长度，当时，新函数的最大值是8，求n的值．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）分两种情况进行讨论，抛物线向左平移或者向右平移，根据平移规律可得新抛物线解析式，结合函数图象的性质求解即可．
【详解】（1）解：代入，得：
，
解得：，
故表达式为．
（2）解：∵，
∴原函数顶点为 ，
当向左平移时，则新函数解析式为，此时对称轴为直线，
∵，
∴，
∵新函数图象开口向上，
∴时新函数的函数值大于时新函数的函数值，
∴当时，函数取得最大值8，
即，
解得：（舍去）；
∴；
当向右平移时，则新函数解析式为，此时对称轴为直线，
而，
当，即时，，且新函数图象开口向上，
即时新函数的函数值大于时新函数的函数值，
∴当时，函数取得最大值8，
即，
解得：，两个值均不符合题意，舍去；
当，即时，，且新函数图象开口向上，
即时新函数的函数值大于时新函数的函数值，
∴当时，函数取得最大值8，
即，
解得：（舍去），
综上，满足题意的n的值为或．
2．（2025九年级·全国·专题练习）如图，二次函数的图象的顶点坐标为，且过点．当时，求函数值y的取值范围．
【答案】
【分析】设抛物线解析式为，将点代入求得二次函数解析式，再根据二次函数的增减性和的取值范围确定的取值范围．
【详解】解：设二次函数顶点式为．
∵二次函数图象经过点，
∴代入得：，
解得，
二次函数的表达式为．
当时，，
当时，，
∵图象开口向上，
∴函数有最小值，
即当时，，
当时，函数值的取值范围是．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
3．（25-26八年级下·福建泉州·期末）定义：关于自变量的函数，对于该函数图象上任意两点，，当时，都有，称该函数为“增函数”，当，时，都有，称该函数为“减函数”．
【例题】证明：函数 （x是任意实数）是“减函数”，
证明：设，则，
因为，所以，
所以，
所以，因此该函数是“减函数”．
(1)根据定义可以判断函数（x是任意实数）是“______函数”（填“增”或者“减”）；
(2)根据例题，请判断函数在自变量时是“增函数”还是“减函数”；并说明此时该函数是否存在最大值或最小值，若存在，请求出最大值或最小值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)增
(2)函数（）是增函数，存在最小值，最小值为，不存在最大值，理由如下：
设，则，
∵，
∴，，
∴
∴，即该函数是“增函数”，
∵在时是“增函数”，
∴随的增大而增大，
∴当时，有最小值，最小值为，并且不存在最大值．
【分析】（1）先设，运算，再根据，推出，据题意即可判断；
（2）设，运算，再根据，，推出，即可判断在自变量时为增函数，最后根据函数的性质辨别最值即可．
【详解】（1）设，则，
∵，
∴，
∴
∴，即该函数是“增函数”．
（2）略
【典型例题十 已知抛物线上对称的两点求对称轴】
【例1】（25-26九年级上·广东汕头·阶段检测）二次函数的部分对应值如下表：二次函数图象的对称轴是（ ）
x … 0 1 2 3 …
y … 5 0 0 …
A．直线 B．y轴
C．直线 D．直线
【答案】D
【分析】本题考查了对称点的判定，对称轴的计算，熟练掌握对称点的判定和对称轴的计算是解题的关键．根据纵坐标相等的两个点是对称点，对称点的横坐标和的一半是对称轴解答即可．
【详解】解：根据题意，得是对称点，
抛物线的对称轴为直线，
故选：．
【例2】（24-25九年级上·河南周口·期末）若二次函数的图像经过点，则该图象必经过点（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
先根据对称点求出对称轴，再根据对称轴求出点关于对称轴对称的点为，即可判断．
【详解】解：∵二次函数的图像经过点，
∴对称轴为直线，
∴点关于对称轴对称的点为，
故选：C．
【例3】（24-25九年级下·浙江杭州·阶段检测）设二次函数，，是常数，，如表列出了、的部分对应值．
1 2 3
0
则方程的解是____．
【答案】或
【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，掌握数形结合思想是解题的关键．根据函数与方程及不等式的关系求解．
【详解】解：当时，，当时，，
二次函数的对称轴为直线．
当时，，
当时，．
方程的解是或．
故答案为：或．
1．（2025·浙江丽水·二模）已知二次函数（a是常数且）
(1)求二次函数的对称轴；
(2)当时，y有最小值，求该二次函数的表达式；
(3)已知点为二次函数图象上的两点，设，当，恒有，求t的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了二次函数解析式的求解，还考查了函数性质的综合应用，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．
（1）利用二次函数对称轴公式求解即可；
（2）由最小值条件解出a的值，得到函数表达式；
（3）根据二次函数性质推导出的解集，求出t的范围即可．
【详解】（1）解：∵二次函数
∴抛物线顶点坐标为，
∴抛物线的对称轴为直线，
故答案为：；
（2）解：∵二次函数，，对称轴，
∴在内离对称轴越远的点，函数值越小：
∵，
∴当时，取值最小值，
∴
解得：，
此时函数为．
（3）解：∵二次函数，，对称轴，
∴ 当时，函数y随x的增大而减小，的最大值为：当时，最大值为．
恒有，则有，
∴，
∵，
，
解得，
∵，
∴且，
∴．
2．（2025·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为．
(1)若对于，有，求的值；
(2)若对于，，都有，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据二次函数的性质求得对称轴即可求解；
（2）根据题意可得离对称轴更近，，则与的中点在对称轴的右侧，根据对称性求得，进而根据，即可求解．
【详解】（1）解：∵对于，有，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵抛物线的对称轴为．
∴；
（2）解：∵当，，
∴，，
∵，，
∴离对称轴更近，，则与的中点在对称轴的右侧，
∴，
即．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键．
3．（24-25九年级上·江西赣州·期中）在平面直角坐标系中，已知二次函数的解析式为．
… 0 1 2 3 …
… …

(1)根据表格，_____；
(2)求出二次函数的解析式，并在平面直角坐标系中画出这个函数的图象；
(3)若，则的取值范围是_____．
【答案】(1)
(2)，（用顶点式求解析式为），
画函数图象为：
(3)
【分析】本题考查了待定系数法解二次函数以及二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据二次函数图象的对称性解题即可；
（2）用待定系数法解出二次函数的解析式，并画出函数图象解题即可；
（3）因为，对称轴，且开口方向向上，所以当时，有最小值，则越远离对称轴的所对应的函数值越大，因为，则的取值范围是，即可作答．
【详解】（1）解：根据表中的数值可知抛物线的对称轴为直线，
∴时的函数值与时的函数值相等，
即，
故答案为：；
（2）由（1）可得是顶点，
设抛物线的解析式为，把代入得：
，解得，
∴抛物线的解析式为，
（3）根据图象可知顶点的纵坐标是最小值，为；
当时，函数有最大值，最大值为，
∴当，则的取值范围是．
【典型例题十一 根据二次函数的对称性求函数值】
【例1】（2026·宁夏银川·三模）点，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由抛物线，可得对称轴为直线，，即当时，随着的增大而减小，由点关于对称轴对称的点坐标为，，可得．
【详解】解：∵抛物线，
∴对称轴为直线，，
∴当时，随着的增大而减小，
∴点关于对称轴对称的点坐标为，
∵，
∴．
【例2】（2025·浙江温州·一模）二次函数的若干组函数值如表所示：
．．． 0 1 2 5 ．．．
．．． 2 4 2 ．．．
则的值为（ ）
A．4 B．0 C． D．
【答案】C
【分析】根据表格可求出该二次函数的对称轴，即可证明当时和时，y的值相等，即可求出m的值．
【详解】∵当时，；当时，．
∴该二次函数的对称轴为，
对于横坐标-5和2关于此对称轴对称，
∴当时和时，y的值相等．
∴m=-1．
故选C．
【点睛】本题考查二次函数的性质．根据表格求出该二次函数的对称轴是解答本题的关键．
【例3】（2025·山西太原·模拟预测）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数值y与自变量x的部分对应值如表：
x ﹣2 ﹣1 0 1 2
y ﹣9 ﹣4 ﹣1 0 ﹣1
当x＝4时，对应的函数值y＝__．
【答案】﹣9．
【分析】根据表格中的数据和二次函数的性质，可以得到该函数的对称轴，再根据二次函数具有对称性，即可得到和对应的函数值相等，从而可以得到时的函数值．
【详解】解：由表格可得，
二次函数的对称轴是直线，
∴和时的函数值相等，
∵时，，
∴时，，
故答案为：﹣9．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
1．（25-26九年级上·安徽宣城·期中）已知二次函数中的x，y取值如表所示：
x … 0 1 2 3 …
y … 1 2 1 n …
(1)根据表格，则n的值为______；
(2)求此二次函数的表达式．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查二次函数的性质、求二次函数解析式等知识点，掌握二次函数对称性是解题的关键．
（1）由表格数据可得抛物线对称轴，再由抛物线的对称性求解即可；
（2）由表格数据运用待定系数法求解即可．
【详解】（1）解：由表格可得抛物线经过，，
∴抛物线对称轴为直线，
∵与关于对称轴对称，
∴．
故答案为：．
（2）解：由表格可知抛物线过点，，，
∴，
解得： ，
∴二次函数的表达式为．
2．（25-26九年级上·河北保定·期中）抛物线经过点，．
(1)求a，c的值；
(2)点，均在上．
①若，求m的值；
②若，直接写出与的大小关系．
【答案】(1)，
(2)①；②
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，等定系数法求二次函数解析式，解一元二次方程等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）用等定系数法求解即可；
（2）①分别求出和，根据列出方程，解方程即可,②利用函数的增减性即可判断．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，，
∴，
解得：，
（2）①解：由（1）可得：抛物线的解析式为：，
∵点，均在上，且
∴
解得：
②由（1）得对称轴为直线
∵，
∴
∵
∴当时
∴y随增大而减小
∴.
3．（2025·河北·一模）抛物线y＝x2﹣mx＋m2﹣2（m＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），若点A的坐标为（1，0）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当n≤x≤2时，y的取值范围是≤y≤5﹣n，求n的值．
【答案】（1）y＝x2﹣3x＋；（2）－1．
【分析】（1）把A点坐标代入y＝x2﹣mx＋m2﹣2中求出m得到抛物线解析式；
（2）先确定抛物线的对称轴为直线x＝3，根据二次函数的性质得到当n≤x≤2时，y随x的增大而减小，所以x＝2，y＝；x＝n，y＝5﹣n，即n2﹣3n＋＝5﹣n，然后解关于n的方程即可．
【详解】解：（1）把A（1，0）代入y＝x2﹣mx＋m2﹣2得
﹣m＋m2﹣2＝0，
整理得m2﹣2m﹣3＝0，
解得m1＝﹣1（舍去），m2＝3，
当m＝3时，抛物线解析式为y＝x2﹣3x＋；
（2）∵抛物线的对称轴为直线x＝＝3，
∴当n≤x≤2时，y随x的增大而减小，
而≤y≤5﹣n，
∴x＝2，y＝；
x＝n，y＝5﹣n，
即n2﹣3n＋＝5﹣n，
整理得n2﹣4n﹣5＝0，
解得n1＝5（舍去），n2＝﹣1，
∴n的值为﹣1．
【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
【典型例题十二 利用二次函数对称性求最短路径】
【例1】（25-26九年级上·四川泸州·阶段检测）已知抛物线与x 轴的交点为 A， B（A在B的左侧），与y 轴交于点C ，在抛物线的对称轴上存在一点D ，且的值最小，则D 的坐标是 _________ ．
【答案】
【分析】本题考查了利用二次函数对称性求最短路径，二次函数与坐标轴的交点，待定系数法求一次函数的解析式，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质；根据二次函数的对称性可知，当B，C，D三点共线时，的值最小，求出直线的解析式，进而求出D 的坐标．
【详解】解：，
对称轴为直线，
令，得，
解得，
，
令，，
，
如图， 连接，交对称轴于D，则，
，
当B，C，D三点共线时，的值最小，
设直线的解析式为，
把，代入得，
解得，
直线的解析式为，
当时，，
，
故答案为：．
【例2】（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图所示，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，且，点、是直线上的两个动点，且（点在点的上方），给出以下结论：①；②且，则；③若是抛物线上除顶点外的任意一点横坐标，则；④的最小值是其中说法正确的有______．（填写正确结论的序号）
【答案】①③④
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，平行四边形的性质与判定，已知两点坐标求两点距离等；①先求出点的坐标，求出求出点的坐标即可求出抛物线解析式，从而求出点的坐标，即可判断①；根据对称性得出，即可判断②，根据二次函数的性质得出最大值为，即可判断③；取，连接，，，可证四边形是平行四边形，得到，则四边形的周长，再由点，关于直线对称，得到，则，故当、、三点共线时，最小，最小为，即此时最小，即可判断④．
【详解】解：点是抛物线与轴交点，
点的坐标为，
，
点的坐标为，
，
，
抛物线解析式为，
抛物线对称轴为直线，
令，则，
解得或，
点的坐标为，
∴，故①正确；
∵且，
设，则关于对称，
∴，故②错误，
∵时，函数有最大值为，
若是抛物线上除顶点外的任意一点横坐标，则纵坐标为，
∴
即，故③正确
取，连接，，，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
点，关于直线对称，
，
，
当、、三点共线时，最小，最小为，即此时最小，
，
四边形的最小值为．故④正确
故答案为：①③④．
【例3】（24-25九年级上·四川德阳·阶段检测）已知抛物线的顶点A（﹣2，0）且图象经过点B（﹣3，﹣4）．
（1）求抛物线解析式；
（2）若C在抛物线上，且C的横坐标为﹣，在直线x＝﹣2上是否存在一点D，使△BCD的周长最小？若存在，请求出D的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝﹣4（x+2）2；（2）存在，D（﹣2，﹣6）
【分析】（1）由A、B两点的坐标，设顶点式利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）作B的轴对称点B′，则可知直线B′C与对称轴的交点即为满足条件的点D，利用待定系数法可求得直线B′C的解析式，则可求得D点坐标．
【详解】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+2）2，
代入B（﹣3，﹣4），解得a＝﹣4，
∴y＝﹣4（x+2）2．
（2）存在，理由如下：
∵C的横坐标为，
代入解析式得，
∴C（，﹣9），
要使△BCD的周长最小，如图作B的轴对称点B′，连接B′C与直线x＝﹣2的交点即是D点，
∴B′（﹣1，﹣4），
设B′C的解析式为y＝kx+b，代入B′，C，
，
解得k＝2，b＝﹣2，
∴B′C解析式为y＝2x﹣2，
当x＝﹣2时，y＝﹣6，
∴D（﹣2，﹣6）．
【点睛】本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式，求一次函数解析式，二次函数的对称性，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
1．（24-25九年级上·重庆潼南·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图像与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)在对称轴上找一点，使的周长最小，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次函数表达式的求解以及利用轴对称求最短路径问题．解题的关键是利用待定系数法求二次函数表达式，以及利用轴对称的性质将三角形周长最小问题转化为两点之间线段最短问题．
（1）求抛物线表达式：把抛物线与轴交点的坐标代入抛物线，得到关于a，b的方程组，解方程组求出a，b的值，进而得到抛物线表达式．
（2）先求出抛物线对称轴，再根据轴对称性质，找到点关于对称轴的对称点，连接与对称轴的交点即为点，先求出直线的表达式，再联立对称轴方程求出点坐标．
【详解】（1）解：∵抛物线的图像与轴交于两点，
∴将这两点代入抛物线表达式可得：
，
抛物线的表达式为．
（2）抛物线，
其对称轴为，
当时，，所以，
设点关于对称轴的对称点为，则，
连接交对称轴于P，
，
，
当A，P，三点共线时，的周长最小，
设直线的表达式为，把代入可得：
，
直线的表达式为．
∴在对称轴上，把代入
得：
∴点的坐标为．
2．（24-25九年级上·云南昭通·期末）如图，抛物线的图象与轴交于和两点，交轴于点，点、是抛物线上的一对对称点，一次函数的图象过点、．
（1）请直接写出D点的坐标．
（2）求抛物线的解析式．
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）存在，
【分析】（1）根据抛物线的对称性，利用点A、B求出抛物线的对称轴，即点C和点D关于抛物线的对称轴对称，即可求出点D坐标；
（2）设抛物线的解析式为，把点A、B、C的坐标代入解析式中，列出关于、、的方程组，通过解方程组即可求出它们的值，即可求出抛物线的解析式；
（3）根据题意要使的周长要最小，即的和要最小，因为点C和点D是抛物线上两对称点，则，即的和要最小，当B、P、D三点共线时的周长最小，此时直线BD与抛物线的对称轴的交点P即为所求，先求出直线BD的解析式，把代入直线BD解析式即可求出P点坐标．
【详解】（1）抛物线与轴交于点A(-3、0),和点B(1、0),
抛物线的对称轴为：，
C、D是抛物线上一对对称点，点C(0、3),
（2）设抛物线的解析式为（，a、b、c常数），
根据题意得
解得
所以抛物线的解析式为
（3）根据题意要使的周长要最小，的和要最小，因为点C和点D是抛物线上两对称点，则，即的和要最小，
如图：直线BD与抛物线的对称轴相交点P即为所求，
设直线BD的解析式为
∵经过，,
∴
解得：
直线BD的解析式为
抛物线的对称轴为直线，点P在抛物线对称轴上，
当时，，
为所求．
【点睛】本题主要考查了二次函数和一次函数的综合，待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式，及利用对称性求点的坐标，解题关键是灵活运用这些知识解决问题，利用对称解决最值问题．
3．（25-26九年级上·河北沧州·阶段检测）如图，已知抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为A．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若直线经过B，C两点，则_______， ________；
(3)在抛物线的对称轴上找一点E，使得的值最小，求出点E的坐标．
【答案】(1)
(2)1，4
(3)
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，一次函数的解析式，轴对称与线段和最值问题，掌握好二次函数的性质并运用数形结合思想是解题关键．
（1）将和代入，求出b和c的值；
（2）将和代入，求出m和n的值；
（3）根据轴对称的性质，，则．当B、E、C三点共线时，最小，用（2）的一次函数解析式求出点E的坐标 ．
【详解】（1）解：将和代入得，
，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：将和代入得，
，解得，
∴，，；
（3）解： 由对称轴公式可得，抛物线的对称轴为直线，
∵点A和点B关于抛物线的对称轴对称，
又∵点在抛物线对称轴上，
∴由轴对称的性质可得，，
∴，
当B、E、C三点共线时，最小，即最小，
将代入得，
，
∴点E的坐标为．
【典型例题十三 待定系数法求二次函数解析式】
【例1】（2025九年级·全国·专题练习）二次函数的图象经过点和，则b，c的值分别是（ ）
A．2，4 B．2， C．，4 D．，
【答案】D
【分析】将两个点的坐标代入二次函数解析式，得到关于和的方程组，解方程组即可．
【详解】解：∵ 图象经过点和，
∴ 代入解析式 得，
，
解得 ，
故选：D．
【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数解析式．
【例2】（25-26九年级上·天津蓟州·阶段检测）二次函数（为常数，）的自变量与函数值的部分对应值如表：
… …
… …
该二次函数解析式为_______．
【答案】
【分析】本题考查了求二次函数解析式，由表格可知二次函数的图象与轴交于和两点，故设解析式为，再代入点求出的值，最后展开得一般式即可求解，掌握待定系数法是解题的关键．
【详解】解：由表可知，当和时，，
∴二次函数的图象与轴交于点和，
设二次函数解析式为，把点代入，得，
解得，
，即，
故答案为：．
【例3】（25-26九年级上·北京·阶段检测）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示：
(1)这个二次函数的解析式是______；
(2)在给定平面直角坐标系中画出这个二次函数图象．
(3)当时，结合函数图象，直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质．
（1）利用表中数据和抛物线的对称性可得到二次函数的顶点坐标为，则可设顶点式，然后把点代入求出a即可；
（2）利用描点法画二次函数图象；
（3）根据、4时的函数值，结合图象即可写出y的取值范围．
【详解】（1）解：根据表格数据可得：二次函数的顶点坐标为，
设二次函数的解析式为：，
把点代入，
∴，
解得，
∴抛物线解析式为，即；
（2）解：如图所示：
；
（3）解：当时，，
当时，，
当时，有最小值，
当时，的取值范围是．
1．（2026·福建莆田·模拟预测）已知二次函数的图象过点，．
(1)当时，求a的值；
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)证明：根据题意，，，
则，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【分析】(1)根据题意当时，将点代入即可得出a的值；
(2)首先，把点，分别代入函数，得，，然后，再将代入，得，最后，由，可证得结论．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵二次函数的图象过点，
∴，
解得；
（2）略
2．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，已知抛物线经过、两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为抛物线上一点，若，求出此时点P的坐标．
【答案】(1)解析式为，顶点坐标为
(2)点P的坐标为或或
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质；
（1）用待定系数法即可求得解析式，再解析式配方即可求得顶点坐标；
（2）首先验证P是顶点时是否满足题意，再考虑点P在x轴上方时的情况即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过、两点，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为；
解析式配方得，
∴抛物线的顶点坐标为；
（2）解：∵、，
∴；
∵抛物线的顶点坐标为，
∴顶点到x轴距离为4，
则，
∴点P是抛物线的顶点时，也满足，
∴点P坐标为；
当点P在x轴上方时，设，其中，
∵，
∴，即，
解得：，
∴点P的坐标为或；
综上，点P的坐标为或或．
3．（2025·河南商丘·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线的对称轴是直线，与x轴的一个交点A为．
(1)求抛物线的解析式及顶点的坐标；
(2)将线段向左平移一个单位得对应线段，点E为线段上一动点，过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，请依据图形直接写出点F的纵坐标的取值范围．
【答案】(1)抛物线的解析式为，顶点坐标为
(2)
【分析】（1）运用待定系数法即可求得抛物线的解析式，再运用配方法即可得出顶点坐标；
（2）由平移可得，设，且，然后根据二次函数的性质进行求解即可．
【详解】（1）解：∵对称轴是直线，与x轴的一个交点A为，
∴抛物线与x轴的另一个交点B为，
把、分别代入，得，
解得：，
∴抛物线的解析式为，
∵，
∴顶点坐标为；
（2）解：如图，
∵将线段向左平移一个单位得对应线段，
∴，
∵点E为线段上一动点，
∴设，且，
当时，，
当时，，
当时，为最小值，
∴点F的纵坐标的取值范围．
【典型例题十四 二次函数图象的平移】
【例1】（24-25九年级下·浙江温州·期中）将抛物线向左平移5个单位，得到新抛物线的表达式是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据平移的规律即可求得答案．
【详解】解：将抛物线向左平移5个单位，得到新抛物线的表达式是．
【例2】（2025九年级上·全国·专题练习）将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得抛物线的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了抛物线的平移规则．
根据抛物线平移规则“左加右减，上加下减”进行变换．
【详解】解：∵向左平移2个单位，
∴x变为，
得；
∵向下平移2个单位，
∴整体减2，
得，
故选：A．
【例3】（2025九年级·全国·专题练习）将抛物线先向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得抛物线的解析式是__________．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数图像平移，根据二次函数图像平移规则，“左加右减，上加下减”，先处理向上平移，再处理向右平移即可 ．
【详解】解：原抛物线解析式为，向上平移1个单位长度，得；再向右平移2个单位长度，得．
故答案为：．
1．（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）已知二次函数．
(1)求该二次函数的顶点坐标和对称轴；
(2)将该二次函数的图象先向左平移个单位，再向上平移个单位，得到新的二次函数图象，求新图象的解析式．
【答案】(1)顶点坐标为，对称轴为直线
(2)
【分析】本题考查二次函数的图象与性质以及函数平移的性质，掌握好一般式化顶点式的步骤和顶点式的平移规律是解题关键．
（1）将一般式化成顶点式，根据顶点式得出顶点坐标和对称轴；
（2）根据函数平移的规律，得出新函数的解析式．
【详解】（1）解：，
∴顶点坐标为，对称轴为直线；
（2）解：根据平移口诀“左加右减，上加下减”可知，新函数的解析式为．
2．（24-25九年级上·上海金山·阶段检测）抛物线中，函数值与自变量之间的部分对应关系如下表：
… 0 1 2 …
… 0 …
(1)开口方向________，顶点坐标：________，的值为________．
(2)如果将该抛物线平移，使它的顶点移到点的位置，那么其平移的方法是________．
【答案】(1)下，，；
(2)向右平移3个单位
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，解题的关键是根据表格数据得到二次函数的对称轴，再利用二次函数的性质求解．
（1）根据表格数据以及二次函数的性质可得，对称轴为，顶点坐标为，最大值为，得到开口向下，由对称性可得，与关于对称，即可求解；
（2）由（1）可得二次函数的顶点坐标为，根据函数的平移法则即可求解．
【详解】（1）解：由表格数据可得，和时，，
可得二次函数的对称轴为，顶点坐标为，最大值为，
∴二次函数的开口向下，
由对称性可得，与关于对称，
∴，
故答案为：下，，；
（2）解：由（1）可得二次函数的顶点坐标为，
可得将二次函数图像向右平移3个单位可将二次函数的顶点移动到的位置，
故答案为：向右平移3个单位．
3．（25-26九年级上·贵州黔西南·期中）如图所示，已知抛物线．
(1)在坐标系中画出此抛物线的大致图象（不要求列表）；
(2)该抛物线可由抛物线向___________平移___________个单位得到；
(3)当时，的取值范围是___________．
【答案】(1)见解析
(2)上；4
(3)
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，函数图象平移的规律，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）根据题意可知，该抛物线开口向下，顶点坐标为，经过点，，，，即可画出大致图象；
（2）根据抛物线的平移口诀：自变量加减左右移，函数值加减上下移，进行求解即可；
（3）根据函数解析式可得抛物线开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为，则离对称轴越远，函数值越小，据此可确定时，函数有最小值，求出函数的最小值即可得到答案．
【详解】（1）解：∵抛物线线解析式为，
该抛物线的顶点坐标为，开口向下，
令，则，即该抛物线经过点和点，
令，则，即该抛物线经过点和，
∴此抛物线的大致图象如下图所示：
（2）解：抛物线可由抛物线向上平移4个单位可得到．
故答案为：上，4．
（3）解：∵抛物解析式为，
∴抛物线开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为，
∴离对称轴越远，函数值越小，
∵，
∴当，且时，函数有最小值，最小值为，
又∵顶点坐标为，即当时，函数有最大值，最大值为4，
∴当时，．
1．（24-25九年级上·全国·单元测试）已知，点、、都在函数的图象上，则（　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的性质，由可得，又由可得当时，的值随的增大而减小，据此即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴当时，的值随的增大而减小，
∴，
故选：．
2．（2025·安徽合肥·二模）函数的图象如图所示，则函数的大致图象为（ ）
A．B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，二次函数图象的性质和一次函数图象的性质，解决此题的关键是熟练掌握各个知识点的联系，先根据反比例函数和二次函数图象的性质确定的符号，再根据一次函数图象的性质即可判断出答案；
【详解】，
解：根据反比例函数图象位于一、三象限可知：，
∴，
根据二次函数的图象开口向下可知：，
根据二次函数图象的对称轴在y轴的左侧可知：，
∴，
进而可知一次函数图象经过一、三、四象限，
故选：C．
3．（24-25九年级上·重庆合川·期中）已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，则下列结论正确的是（　　）
，，，．

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与y轴的交点判断与的关系，然后根据抛物线对称性进行推理，进而对所得结论进行判断，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键．
【详解】解：∵抛物线的开口方向向上，
∴，
∵对称轴在轴左侧，
∴对称轴为，
∵，
∴，
∵抛物线与轴的交点在轴的负半轴上，
∴，
∴，故正确；
由图象可知，该抛物线与轴有两个不同的交点，
∴，即，故正确；
当时，，
∴，故错误；
∵抛物线的开口方向向上，
∴，
∵抛物线与轴的交点在轴的负半轴上，
∴，
∴，故正确，
综上可知：正确，
故选：．
4．（2026·宁夏银川·三模）二次函数（a、h为常数，）的部分与的对应值如下表：
x … 1 2 3 4 …
y … 7 4 …
则关于该二次函数的说法不正确的是（ ）
A．其图象开口向下
B．其图象的对称轴为
C．当时，的值随值的增大而减小
D．当时，
【答案】C
【分析】根据表格给出的值代入二次函数顶点式，求出和的值，得到完整解析式，再根据二次函数的图象与性质逐一判断各选项，找出说法错误的选项．
【详解】解：已知二次函数解析式为由表格可知，当时，；当时，，将两组值代入解析式得，
解得：，
∴该二次函数解析式为，
∵，
∴图象开口向下，选项A正确；
由顶点式可知，图象的对称轴为直线，选项B正确；
∵开口向下，对称轴为，
∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，因此“当时，的值随值的增大而减小”的说法错误，选项C不正确；
当时，，选项D正确．
5．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过，，如果实数表示的值，实数表示的值，那么、的大小关系为（　　）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．根据，求出对称轴为直线，得出，结合抛物线开口向下可得，将代入可得，即，即可得解．
【详解】解：二次函数的图象经过，，
对称轴为直线，
又对称轴为直线，
，
，
，
观察图象，抛物线开口向下，
，
，
将代入，得：，
，
．
故选：A．
6．（2025九年级上·山东青岛·专题练习）抛物线上有两点、，若，则___________
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质．根据二次函数的性质，得到函数图像开口向下，对称轴为，然后得到时，随的增大而减小，根据，即可得到与的关系．
【详解】解：抛物线的二次项系数，
抛物线开口向下，
对称轴为，，
两点均在对称轴右侧，
随的增大而减小，
．
故答案为：．
7．（24-25九年级下·四川成都·阶段检测）将函数的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，可得到的抛物线是______．
【答案】
【分析】根据函数图象平移的性质求解．
【详解】解：根据题意得，函数的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，
．
8．（25-26九年级上·浙江衢州·期末）二次函数的部分对应值如下表：
0 1 2
0 0
则，的大小关系为_________（填“”“”或“”）．
【答案】
【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据二次函数与x轴交点坐标求对称轴，结合开口方向比较函数值大小．
【详解】解：由表格知：二次函数与x轴交于点和，故图象对称轴为：直线，
∵当时，，
∴当时，y随x的增大而减小，
∴，该函数图象开口向上，函数值在对称轴两侧随距离增大而增大，
∵，，，
∴．
故答案为：．
9．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段检测）若二次函数y＝ax2＋bx＋c图像上部分点的横坐标x、纵坐

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