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第06讲 二次函数与一元二次方程（3大知识点+11大典例+变式训练+过关检测）
典型例题一 求抛物线与x轴的交点坐标
典型例题二 求抛物线与y轴的交点坐标
典型例题三 已知二次函数的函数值求自变量的值
典型例题四 抛物线与x轴的交点问题
典型例题五 根据二次函数图象确定相应方程根的情况
典型例题六 求x轴与抛物线的截线长
典型例题七 图象法解一元二次不等式
典型例题八 图象法确定一元二次方程的近似根
典型例题九 利用不等式求自变量或函数值的范围
典型例题十 根据交点确定不等式的解集
典型例题十一 一元二次方程的解的估算
知识点01 求一元二次方程的近似解的方法（图象法）
（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；
（2）由图象与y=h的交点位置确定交点横坐标的范围；
（3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）．
【即时训练】
1．（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图是二次函数和一次函数的图象，观察图象，当时，x的取值范围是（ ）
A． B．或 C． D．
2．（24-25九年级下·江苏盐城·期中）如图，二次函数（，，为常数，）的图像与轴交于点，顶点坐标为，则不等式的解集为________．
知识点02 二次函数与一元二次方程
1.当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根。
2.当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根。
3.当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根。
二次函数的图象与轴的位置关系有三种情况:①没有公共点;②有一个公共点;③有两个公共点，这对应着一元二次方程的根的三种情况:
①有实数根，此时△＜0;②有两个相等的实数根，此时△=0;③有两个不相等的实数根，此时△＞0.
(2)解决函数图象过定点问题，一般方法是函数解析式中所含字母的项的和为0时，则函数值不受字母的影响，据此可求图象经过的定点坐标.
(3)抛物线中三角形面积的最值问题，一般先设出动点的坐标，然后用其表示相关线段的长度，再利用三角形的面积公式构造新的函数关系式来确定最值.在将点的坐标转化为线段的长度时，要注意符号的转换.
【即时训练】
1．（25-26九年级上·湖南常德·阶段检测）如表列出了二次函数的自变量x与函数y的几组对应值，则一元二次方程的其中一个解的取值范围是（ ）
x … 0 1 ...
y … 15 3 3 …
A． B． C． D．
2．（25-26九年级上·山西大同·期中）已知二次函数中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 3 4 3 0 …
则关于x的一元二次方程的根为______．
知识点03 二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况
根的判别式 二次函数的图象 二次函数与x轴的交点坐标 一元二次方程根的情况
△＞0 抛物线与x轴交于，两点，且， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程 有两个不相等的实数根
△＝0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程 有两个相等的实数根
△＜0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根）
【即时训练】
1．（25-26九年级上·湖南永州·期末）如图所示，二次函数的图象与一次函数．的图象交于，两点，当时，自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·江苏镇江·模拟预测）已知，关于x的函数图象如图所示，当时，自变量x的取值范围是________．
【典型例题一 求抛物线与x轴的交点坐标】
【例1】（25-26九年级上·全国·单元测试）若关于x的二次函数的图象与x轴的交点坐标是和，则关于x的一元二次方程的解为（ ）
A． B．， C．， D．，
【例2】（25-26九年级下·辽宁葫芦岛·阶段检测）在平面直角坐标中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上，则的长为（ ）
A．3 B．6 C．5 D．4
【例3】（25-26九年级上·海南·期中）如图，抛物线与x轴的一个交点为，则一元二次方程的实数根是 _______________ ．
1．（25-26九年级上·北京石景山·期末）在平面直角坐标系中，已知二次函数．
(1)将该二次函数化为的形式：
(2)求二次函数的图象与轴的交点的坐标：
(3)在给出的平面直角坐标系中画出此函数的图象．
2．（25-26九年级上·福建厦门·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接．
(1)求A、B，C三点的坐标．
(2)点P是直线下方抛物线上的一个动点，过点P作的平行线l，交线段于点D．在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由．
3．（2025·湖北襄阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，（点在点的右边），与轴交于点，直线经过点，
(1)求，，三点的坐标及直线的函数解析式．
(2)是第二象限内抛物线上的一个动点，过点作轴交直线于点，设点的横坐标为（），的长为．求与的函数关系式，并写出的取值范围；
(3)设抛物线的顶点为，问在轴上是否存在一点，使得为直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【典型例题二 求抛物线与y轴的交点坐标】
【例1】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）二次函数的图象与y轴的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（24-25九年级上·山东日照·阶段检测）抛物线的图象与坐标轴的交点的个数是（ ）
A．无交点 B．1个 C．2个 D．3个
【例3】（25-26九年级上·吉林·期末）二次函数的图象如图所示，则的面积为________．
1．（2025·浙江温州·模拟预测）已知抛物线经过点与．
(1)求该抛物线的函数关系式．
(2)此抛物线向下平移m个单位后，顶点落在直线上，求平移后抛物线与y轴的交点坐标．
2．（25-26九年级上·河南南阳·期末）已知抛物线与轴交于点，(在左侧)，与轴交于点．
(1)求此抛物线的对称轴和顶点坐标；
(2)画出此函数的图像；
(3)求的面积
(4)当时，的取值范围为_____；
(5)若点和都在此函数的图像上，且，结合函数图像，则的取值范围为_____．
3．（24-25九年级下·内蒙古兴安·阶段检测）如图，抛物线与轴交于两点（A在B的左侧），与轴交于点C，点为线段上一个动点（与点不重合），过点D作轴的垂线与线段交于点，与抛物线交于点，连接，与轴交于点．
(1)求三点的坐标；
(2)当点是的中点时，求线段的长；
(3)在点D运动的过程中，探究下列问题：是否存在一点D，使得取得最大值？若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由；
【典型例题三 已知二次函数的函数值求自变量的值】
【例1】（24-25九年级上·全国·课后作业）若二次函数的图象经过原点，则的值为（ ）
A．2 B．1 C．0或2 D．1或2
【例2】（24-25九年级上·河南·期中）根据下列表格的对应值：
判断方程（，，，为常数）一个近似解是（ ）
A． B． C． D．
【例3】（25-26九年级上·湖北荆州·期末）二次函数的图象上纵坐标为1的两个点之间的距离为________．
1．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）我们把抛物线上横、纵坐标之和为零的点叫做这条抛物线的“和谐点”（原点除外）．
(1)已知抛物线，求“和谐点”的坐标；
(2)平移抛物线，若所得新抛物线经过点，且顶点是新抛物线的“和谐点”，求新抛物线的表达式．
2．（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）如图，抛物线经过、、三点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是抛物线上一点，且在x轴上方，连接、，若的面积为6，求点的坐标；
(3)在（2）的条件下，点是抛物线的对称轴上一点，连接，求的最小值．
3．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）操作观察：某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．
(1)将问题特殊化，取，
①自变量的取值范围是全体实数，，的几组对应值列表如下：
… 0 1 2 3 4 …
… 0 4 6 6 4 6 0 …
请将表中缺失的数据填完整：
在时，___________；在时，__________；在时，__________．
②根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出函数图象的另一部分；
③由图象知，方程有两个实数根，它们分别为：__________，或__________；
(2)若直线与函数的图象有三个交点，求的值．
(3)函数图象的最高点为，交轴于点，交轴于点连接，以为直径的圆在轴上截得的弦刚好以点为中点，求的值．
【典型例题四 抛物线与x轴的交点问题】
【例1】（25-26九年级上·江苏南通·期末）抛物线与轴只有一个交点，则的值为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
【例2】（25-26九年级上·河南南阳·期末）抛物线的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A． B． C．或 D．或
【例3】（24-25九年级下·浙江金华·阶段检测）抛物线的部分图象如图所示，则当时，x的取值范围是________．
1．（2025·广东湛江·模拟预测）已知抛物线的对称轴为直线 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求证：直线与抛物线总有两个交点．
2．（2026·江西南昌·一模）已知点是抛物线上一点，若，则我们把点P称为该抛物线的“二倍点”．
(1)【定义理解】
①若点P是抛物线上的“二倍点”，则点P的坐标为________；
②下列抛物线，没有“二倍点”的是________．
A． B． C．
(2)【深入探究】
已知抛物线与x轴只有1个公共点，且与y轴相交于点．
①求该抛物线的解析式；
②将该抛物线向下平移k个单位得到新的抛物线，若新抛物线恰好只存在1个“二倍点”，求k的值及该“二倍点”的坐标．
3．（25-26九年级上·天津河东·期中）已知二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，且经过点，解答下列问题：
(1)当时，的取值范围__________；
(2)此二次函数的解析式是__________
(3)当时，的最大值是__________；
(4)当时，的取值范围是__________；
(5)若直线与该二次函数的图象有公共点，则的取值范围是__________．
【典型例题五 根据二次函数图象确定相应方程根的情况】
【例1】（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）抛物线的对称轴，若关于的一元二次方程在范围内有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　）
A．3 B． C．3 D．
【例2】 （2026·河南周口·一模）二次函数的图象如图所示，对称轴为，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【例3】（25-26九年级下·江苏常州·阶段检测）二次函数的部分图像如图所示，其对称轴为直线，若该抛物线与x轴的一个交点为，则由图像可知，方程的解是________．
1．（25-26九年级上·北京昌平·期中）二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x … 0 1 2 n 4 …
y … 15 m 3 0 0 3 8 …
(1)该二次函数图象的顶点坐标______；
(2)______，______；
(3)根据表中信息分析，方程的解为______．
2．（24-25九年级上·北京·阶段检测）已知二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：
x … 0 1 …
y … 0 0 …
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
(3)当时，直接写出y的取值范围；
(4)当时，直接写出x的取值范围；
(5)当时，关于x的一元二次方程有实根，直接写出t的取值范围．
3．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，二次函数的图像过，且顶点为，解答完成下列问题：
(1)当时，y随x增大而________（填“增大”或“减小”）；
(2)当时，y的取值范围是________；
(3)方程的两个根是________．
【典型例题六 求x轴与抛物线的截线长】
【例1】（2026·内蒙古·模拟预测）二次函数的图象与轴交于，两点，则线段的长是（ ）
A．3 B．6 C．9 D．18
【例2】（2025·四川成都·模拟预测）如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，下列说法正确的是（ ）

A．抛物线的对称轴为直线 B．抛物线的顶点坐标为
C．，两点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大
【例3】（25-26九年级上·天津·阶段检测）如图，抛物线与x轴交点间的距离为________________．
1．（25-26九年级上·河北邢台·阶段检测）已知抛物线与x轴的交点分别为，．
(1)求一元二次方程的两个根；
(2)设抛物线与轴交于点，作轴交抛物线于点，求线段的长；
(3)若点，在抛物线上，你能比较出和的大小吗？若能，请比较出大小；若不能，请说明理由．
2．（24-25九年级上·江苏淮安·期中）小明在画一个二次函数的图像时，列出了下面几组x与y的对应值．
0 1 2
3 4 3 0
(1)求该二次函数的表达式；
(2)当时，x的值为 ；
(3)该二次函数图像与直线有两个交点A、B，若时，n的取值范围为 ．
3．（2025九年级·河北·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，该抛物线的顶点为点P为该抛物线上一点，其横坐标为
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当轴时，求的面积；
(3)当时，设该抛物线在点B与点P之间（包含点B和点）的部分的最高点和最低点到x轴的距离分别为d，n，当时，直接写出m的取值范围．
【典型例题七 图象法解一元二次不等式】
【例1】（24-25九年级上·河南开封·期末）二次函数的图象如图所示，则函数值时，自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
【例2】（2025·湖北黄石·一模）如图，一次函数y1＝kx+b与二次函数y2＝ax2交于A（﹣1，1）和B（2，4）两点，则当y1＞y2时x的取值范围是（　　）
A．x＜﹣1 B．x＞2 C．﹣1＜x＜2 D．x＜﹣1或x＞2
【例3】（24-25九年级上·青海西宁·期中）如图，已知关于的一元三次方程的解为，，，请运用函数的图象，数形结合的思想方法，判断关于的不等式的解集_____．
1．（24-25九年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1)求该抛物线的对称轴；
(2)已知点，在抛物线上．对于，都有，求的取值范围．
2．（24-25九年级上·浙江台州·阶段检测）已知函数．
(1)求它的顶点坐标，与轴的交点坐标；
(2)在平面直角坐标系中画出它的简图；
(3)根据图象回答：取什么值时，．
3．（24-25九年级上·云南曲靖·阶段检测）如图所示，二次函数的图象经过、、三点．
(1)由图象可知，不等式的解集为______；
(2)结合二次函数的图象，写出方程的解．
【典型例题八 图象法确定一元二次方程的近似根】
【例1】（24-25九年级上·全国·单元测试）已知二次函数（，，，为常数）的与的部分对应值如下表：
判断方程的一个解的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【例2】（24-25九年级上·湖北荆门·期末）方程的近似根可以看作是下列哪两个函数图象交点的横坐标（　　）
A．和 B．和
C．和 D．和
【例3】（24-25九年级上·天津·阶段检测）二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为______．
1．（25-26九年级下·全国·课后作业）利用函数的图象求下列方程组的解：
(1)
(2)
2．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）在同一平面直角坐标系画了三个函数的图象，这三个函数为，，，请完成以下问题：
(1)看图说话：
①与轴交点坐标为______；与轴交点坐标为________；与轴的交点坐标为和，方程的两根为_________；________．
②抛物线的顶点坐标为________；抛物线的顶点坐标为________．
③这三个函数的图象都可看作由抛物线经过平移而得到；若将抛物线先向_______平移______个单位，再向_______平移______个单位得到的图象；
(2)若抛物线，，的顶点分别为，，，连，，，则直接写出的面积________．
3．（2025九年级·全国·专题练习）对于抛物线．
(1)将抛物线的表达式化为顶点式．
(2)补全下列表格中的数据，在坐标系中利用描点法画出此抛物线．
… 0 2 4 6 …
… …
(3)结合图象，当时，的取值范围______．
(4)结合图象及所学习的知识，估算的两个根为______（精确到0.1）．
【典型例题九 利用不等式求自变量或函数值的范围】
【例1】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知二次函数的、的部分对应值如下表：
0 1 2 3
5 1 1
下列结论中正确的个数有（ ）
①；②抛物线的对称轴是直线；③方程有一个根，且；④不等式的解集是；⑤是方程的根．
A．4 B．3 C．2 D．1
【例2】（24-25九年级上·海南海口·阶段检测）如图，若二次函数图象的对称轴为，与y轴交于点C，与x轴交于点A、和点B，点，则①；②，③，④当时，，其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【例3】（25-26九年级上·广西柳州·阶段检测）已知二次函数，当时，则x的取值范围______________．
1．（25-26九年级上·江苏南京·期末）已知二次函数与自变量的部分对应值如下表：
… 0 3 …
… 0 3 0 …
(1)求该二次函数的表达式；
(2)当时，的取值范围是________．
2．（2025·北京·三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线：．
(1)求抛物线的顶点坐标(用含t的代数式表示)；
(2)点，在抛物线上，其中，
①若的最小值是，求的最大值；
②若对于都有，直接写出t的取值范围．
3．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，已知抛物线经过，两点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)当时，直接写出y的取值范围 ；
(3)将该函数图像沿x轴翻折，所得图像的函数表达式为 ．
【典型例题十 根据交点确定不等式的解集】
【例1】（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·阶段检测）已知二次函数，当时，x的取值范围是（ ）
A． 或 B．
C．或 D．
【例2】 （25-26九年级上·海南·期中）如图，抛物线与直线交于点，若，则x的取值范围为（　　）
B． C．或 D．或
【例3】 （25-26九年级上·湖南长沙·期末）如图，二次函数()与一次函数()的图象相交于点，，则使成立的的取值范围是___________．
1．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）如图，二次函数的图象经过点，且与正比例函数的图象交于点和点．
(1)求二次函数的解析式和另一交点的坐标；
(2)根据函数图象，直接写出不等式的解集．
2．（2026·云南西双版纳·一模）知识推广：如图，二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标是，（）．
当时，即，就是二次函数的图象在轴下方的部分，这一部分的的取值范围是．
当时，即，就是二次函数的图象在轴上方的部分，这一部分的的取值范围是或．
已知二次函数的图象的顶点在另一个二次函数的图象上．
(1)求二次函数的解析式；
(2)定义：点满足以下两个条件：①，均为整数；②对应与的函数值分别记为，，且．则称是函数与的一个环抱整点．求函数与的环抱整点的个数．
3．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）已知二次函数自变量与函数的部分对应值如下表：
(1)二次函数的顶点坐标为 ，的值为 ；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
(3)结合图象，回答下列问题：
①当时，的取值范围是 ；
②当时，的取值范围是 ．
【典型例题十一 一元二次方程的解的估算】
【例1】（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）根据下面表格中列出来的数据，你猜想方程有一个根大约是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（24-25九年级上·四川成都·期末）小颖在探索一元二次方程的近似解时做了下表的计算．观察表中对应的数据，可知该方程的其中一个解的整数部分是（ ）
0 1 2
5
A． B．0 C．1 D．2
【例3】（2025·山东临沂·二模）根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x的取值范围是__________．
x 1 1.1 1.2
13 14.41 15.84
1．（2026·江西·模拟预测）如图，观察函数的图象，可以发现方程在0，1之间有根．取0，1的平均数0.5，当时，，进一步可知这个根在0.5和1之间，则与方程另一根更接近的是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26九年级上·湖北咸宁·期中）抛物线与x轴交于A，B两点，点P在抛物线上，且的面积是4．
（1）抛物线与x轴的两个交点之间的距离______；
（2）若满足条件的P点恰好有3个，则______．
3．（24-25九年级上·山西吕梁·阶段检测）阅读与思考：
下面是小华求一元二次方程的近似解的过程．
如图，这是一张长、宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形，可制成一个底面积是的无盖长方体纸盒．小华在做这道题时，设剪去的正方形边长为，列出关于x的方程，整理得．

他想知道剪去的边长到底是多少，下面是他的探索过程．
探索方程的解：
第一步：
x 0 1 2
17 9
因此：____________．
第二步：
x 1.5 1.6 1.7 1.8
0.75 0.36
因此：____________.
（1）请你帮助小华完成表格中未完成的部分，并写出x的范围；
（2）通过以上探索，请直接估计出x的值．（结果保留一位小数）
1．（24-25九年级上·浙江金华·阶段检测）对于二次函数，下列说法错误的是（ ）
A．图像的对称轴是直线 B．当时，y随x的增大而增大
C．图像的顶点坐标是 D．图像与x轴的交点坐标
2．（2025·江苏无锡·二模）已知m，n（）是关于x的方程的两根，若，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段检测）已知的图象如图所示，则关于的一元二次方程有（ ）个解
A．个 B．个 C．个 D．个
4．（25-26九年级上·贵州黔南·期末）二次函数（为常数）的部分取值如下表，则关于x的一元二次方程（为常数）的一个解x的取值范围是（ ）
x ··· 6.17 6.18 6.19 6.20 ．．．
··· 0.01 0.04 ．．．
A． B．
C． D．
5．（24-25九年级上·广东中山·期中）二次函数的大致图象如图所示，关于该二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数有最大值 B．对称轴是直线
C．当，随的增大而增大 D．当或时，
6．（24-25九年级上·江苏连云港·期末）若函数的图象与坐标轴只有两个交点，则b的值是____．
7．（25-26九年级上·河南开封·期末）y是关于x的二次函数，下列结论正确的是______．（填写正确的序号）
①当时，函数图象的顶点坐标为；
②当时，函数图象总过定点；
③当时，函数图象在x轴上截得的线段的长度大于．
8．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段检测）已知二次函数的y与x的部分对应值如表：
x … 0 1 3 …
y … 1 3 1 …
则下列判断中正确的是______．
①抛物线开口向下；②抛物线与y轴交于负半轴；③当时，；④方程的正根在3与4之间．
9．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，二次函数的图像过，且顶点为，当时，的取值范围是___________
10．（2025九年级·浙江杭州·模拟预测）如图，二次函数的图像与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，一次函数的图像经过该二次函数图像上的点及点B，则满足的x的取值范围是 ______________ ．
11．（25-26九年级上·山东青岛·期末）（1）解方程：；
（2）求二次函数的图象与轴的交点的坐标．
12．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段检测）已知二次函数．
(1)当该抛物线过点．
①求该抛物线的解析式；
②当时，求y的范围．
(2)若函数图象上有两个不同的点，，且．求证：．
13．（2025·广东佛山·一模）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，连接，，其中，．
(1)求抛物线的表达式及的长；
(2)点D是线段上一动点，若，求点D的坐标．
14．（25-26九年级下·河南商丘·阶段检测）数形结合是一种重要的数学思想，在中学有着极为广泛的应用，很多复杂的问题结合图形能够快速直观得到结论．在中学阶段，一元二次函数、一元二次方程和一元二次不等式简称为“三个二次”，它们之间有着密切的联系，其中一元二次函数居于核心地位，利用一元二次函数的图象能够很方便地解决很多一元二次方程和一元二次不等式问题．
【特例感知】
如解不等式，我们构造函数，作出它的图象，易得它与x轴的两个交点分别为和，结合图象易得不等式的解集为或，同时易知函数与x轴交点的横坐标和3为方程的两个根．
【理解运用】
结合上述知识请解决下面的问题：
(1)不等式的解集为 ；
(2)对任意实数b，关于x的一元二次方程恒有两个不等的实数根，求实数a的取值范围．
15．（25-26八年级下·北京·阶段检测）已知二次函数的图像过点，对称轴为直线．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)结合图像，当时，直接写出的取值范围．
(3)在下面平面直角坐标系中画出该函数的图像．
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第06讲 二次函数与一元二次方程（3大知识点+11大典例+变式训练+过关检测）
典型例题一 求抛物线与x轴的交点坐标
典型例题二 求抛物线与y轴的交点坐标
典型例题三 已知二次函数的函数值求自变量的值
典型例题四 抛物线与x轴的交点问题
典型例题五 根据二次函数图象确定相应方程根的情况
典型例题六 求x轴与抛物线的截线长
典型例题七 图象法解一元二次不等式
典型例题八 图象法确定一元二次方程的近似根
典型例题九 利用不等式求自变量或函数值的范围
典型例题十 根据交点确定不等式的解集
典型例题十一 一元二次方程的解的估算
知识点01 求一元二次方程的近似解的方法（图象法）
（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；
（2）由图象与y=h的交点位置确定交点横坐标的范围；
（3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）．
【即时训练】
1．（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图是二次函数和一次函数的图象，观察图象，当时，x的取值范围是（ ）
A． B．或 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数与一次函数图象，根据图象得出二次函数和一次函数相交于两点的横坐标分别为，1，即可得．
【详解】解：根据图象得，二次函数和一次函数相交于两点，两点的横坐标分别为，1，
则当时，x的取值范围为或．
故选：B．
2．（24-25九年级下·江苏盐城·期中）如图，二次函数（，，为常数，）的图像与轴交于点，顶点坐标为，则不等式的解集为________．
【答案】/
【分析】本题考查二次函数的性质、图象法求不等式的解集．根据二次函数图象的对称性，求出抛物线与x轴的另一个交点，找到图象在x轴上方时的自变量的取值范围即可．
【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为，
∴对称轴为直线，
又∵该函数的图像与轴交于点，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为：，
由图象可知：当时，，
∴不等式的解集为，
故答案为：．
知识点02 二次函数与一元二次方程
1.当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根。
2.当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根。
3.当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根。
二次函数的图象与轴的位置关系有三种情况:①没有公共点;②有一个公共点;③有两个公共点，这对应着一元二次方程的根的三种情况:
①有实数根，此时△＜0;②有两个相等的实数根，此时△=0;③有两个不相等的实数根，此时△＞0.
(2)解决函数图象过定点问题，一般方法是函数解析式中所含字母的项的和为0时，则函数值不受字母的影响，据此可求图象经过的定点坐标.
(3)抛物线中三角形面积的最值问题，一般先设出动点的坐标，然后用其表示相关线段的长度，再利用三角形的面积公式构造新的函数关系式来确定最值.在将点的坐标转化为线段的长度时，要注意符号的转换.
【即时训练】
1．（25-26九年级上·湖南常德·阶段检测）如表列出了二次函数的自变量x与函数y的几组对应值，则一元二次方程的其中一个解的取值范围是（ ）
x … 0 1 ...
y … 15 3 3 …
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，根据表格可得对称轴为直线，函数开口向上，则可确定时自变量的取值范围，进而可得答案．
【详解】解：∵当和当时的函数值都是3，
∴对称轴为直线，
∵，
∴当时的函数值大于时的函数值，
∴函数开口向上，
∴在对称轴左侧y随x增大而减小，在对称轴右侧y随x增大而增大，
∵时，，时，，
∴一元二次方程的其中一个解的取值范围是，
∴由对称性可知，一元二次方程的另一个解的取值范围是，
故选：A．
2．（25-26九年级上·山西大同·期中）已知二次函数中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 3 4 3 0 …
则关于x的一元二次方程的根为______．
【答案】，
【分析】本题考查了二次函数的对称性及与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的对称性及与一元二次方程的关系是本题解题关键．根据二次函数的对称性求解对称轴为直线，求出点的对称点是点，再进一步作答即可．
【详解】解：根据题意得：点均在二次函数的图象上，
故二次函数的对称轴为直线，
根据表格点在二次函数的图象上，
故点的对称点是点，
∴关于的方程的解是，．
故答案为：，．
知识点03 二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况
根的判别式 二次函数的图象 二次函数与x轴的交点坐标 一元二次方程根的情况
△＞0 抛物线与x轴交于，两点，且， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程 有两个不相等的实数根
△＝0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程 有两个相等的实数根
△＜0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根）
【即时训练】
1．（25-26九年级上·湖南永州·期末）如图所示，二次函数的图象与一次函数．的图象交于，两点，当时，自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了利用二次函数图象解不等式，根据上方的图象对应的函数值较大，找出x的取值范围，即可求解．
【详解】解：由图象得当时，，
故选：D．
2．（2025·江苏镇江·模拟预测）已知，关于x的函数图象如图所示，当时，自变量x的取值范围是________．
【答案】或
【分析】本题考查的是函数图象，数形结合是解题的关键．写出函数图象轴下方的取值范围，即可求出答案．
【详解】解：根据函数图象可知，当时，自变量x的取值范围是或，
故答案为：或．
【典型例题一 求抛物线与x轴的交点坐标】
【例1】（25-26九年级上·全国·单元测试）若关于x的二次函数的图象与x轴的交点坐标是和，则关于x的一元二次方程的解为（ ）
A． B．， C．， D．，
【答案】D
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程是解题的关键．根据二次函数图象与x轴的交点横坐标即为对应一元二次方程的解，直接得出答案．
【详解】解：∵ 二次函数的图象与轴的交点坐标是和，
∴ 一元二次方程的解为，．
故选：D．
【例2】（25-26九年级下·辽宁葫芦岛·阶段检测）在平面直角坐标中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上，则的长为（ ）
A．3 B．6 C．5 D．4
【答案】D
【分析】本题考查了求抛物线解析式和抛物线图象的性质，因为点和点在抛物线上，所以将这两个点的坐标代入抛物线解析式，得到关于a、b的方程组，可求出a、b的值，确定抛物线的具体解析式，然后令抛物线解析式中的，解一元二次方程得到x的两个解，得出点A的横坐标．因为A、B都在x轴上，即可计算的长．
【详解】解：把已知点、代入，
得方程组： ，解得，
因此抛物线解析式为．
令，解方程，
因式分解得，得根和，
因此．
∵A、B都在x轴上，
∴．
故选： D．
【例3】（25-26九年级上·海南·期中）如图，抛物线与x轴的一个交点为，则一元二次方程的实数根是 _______________ ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的性质．
先求抛物线的对称轴，再利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为，然后根据抛物线与x轴的交点问题求解．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点坐标为，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为，
∴一元二次方程的实数根为．
故答案为：．
1．（25-26九年级上·北京石景山·期末）在平面直角坐标系中，已知二次函数．
(1)将该二次函数化为的形式：
(2)求二次函数的图象与轴的交点的坐标：
(3)在给出的平面直角坐标系中画出此函数的图象．
【答案】(1)
(2)，；
(3)图象见解析
【分析】（1）利用配方法即可化成顶点式；
（2）根据解方程即可；
（3）由五点法进行作图即可．
本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质及五点法作图是解题的关键．
【详解】（1）解：；
（2）解：当时，，
解得：，，
∴二次函数的图象与轴的交点的坐标，；
（3）解：∵二次函数的开口向下，顶点坐标为，与轴的交点为，对称轴为直线，与轴的交点坐标为，则关于对称轴对称的点坐标为，然后在平面直角坐标系里描出这五个点，进而用平滑的曲线连接即可，如图：
2．（25-26九年级上·福建厦门·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接．
(1)求A、B，C三点的坐标．
(2)点P是直线下方抛物线上的一个动点，过点P作的平行线l，交线段于点D．在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，，
(2)存在；或
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、一次函数图象和性质、菱形的性质，熟练掌握菱形的性质和待定系数法是解题的关键．
（1）分别令，，即可求出三点的坐标；
（2）根据三点的坐标求直线的函数表达式，根据直线的表达式设点D的坐标为，然后分为四边形是菱形和四边形是菱形两种情况分别讨论即可．
【详解】（1）解：对于来说，
当时 ，；
故点，
当时，有，
解得：，
∴，；
（2）解：存在：
设直线的表达式为：；
将，代入得： ，
解得：
故直线的表达式为： ；
设点D的坐标为，其中，
∵，，
∴，，，
∵，
∴当时，以点D，C，B，E为顶点的四边形为平行四边形，
分两种情况：
如图，当时，四边形为菱形，
∴，
∴，
解得：，（舍去），
∴点D的坐标为，
∵点D向左移动2个单位长度，向下移动6个单位长度得到点E，
∴点E的坐标为；
如图，当时，四边形为菱形，
∴，
∴，
解得：，（舍去），
∴点D的坐标为，
∵点D向右移动2个单位长度，向上移动6个单位长度得到点E，
∴点E的坐标为；
综上，存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，点E的坐标为或；
3．（2025·湖北襄阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，（点在点的右边），与轴交于点，直线经过点，
(1)求，，三点的坐标及直线的函数解析式．
(2)是第二象限内抛物线上的一个动点，过点作轴交直线于点，设点的横坐标为（），的长为．求与的函数关系式，并写出的取值范围；
(3)设抛物线的顶点为，问在轴上是否存在一点，使得为直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，，，直线解析式为
(2)
(3)存在，或或或．
【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及抛物线与坐标轴的交点问题，待定系数法求函数解析式，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
（1）令，求出值，令，求出的值，进而得到的坐标，待定系数法求出直线的解析式即可；
（2）求出点坐标，根据两点间的距离求出的解析式，根据点在第二象限，写出m的取值范围即可；
（3）分别以为直角顶点，为直角顶点和为直角顶点三种情况，进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴当时，，当时，，解得：，
∴，
∵直线经过点A，B
∴，解得：，
∴；
（2）∵点P的横坐标为，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵P是第二象限内抛物线上的一个动点，
∴；
∴；
（3）存在，设点，
∵，
∴，
∵，
∴；
①当点为直角顶点时：，解得：，
∴；
②当点为直角顶点时，，解得：，
∴；
③当点为直角顶点时：，解得：或，
∴或；
综上：或或或．
【典型例题二 求抛物线与y轴的交点坐标】
【例1】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）二次函数的图象与y轴的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查二次函数图象与y轴的交点，掌握相关知识是解决问题的关键．即令，代入函数解析式计算的值．
【详解】解：当时，，
∴ 交点坐标为．
故选：B．
【例2】（24-25九年级上·山东日照·阶段检测）抛物线的图象与坐标轴的交点的个数是（ ）
A．无交点 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【分析】本题主要考查二次函数与坐标轴的交点，熟练二次函数与轴和轴的交点的求法以及仔细审题是解决本题的关键．已知二次函数的解析式，分别令，，进而即可求解．
【详解】解：∵，
∴令，则，故与轴有一个交点，
令，则，
，
∴与轴有两个交点，
即：图象与坐标轴的交点有3个，
故选：D．
【例3】（25-26九年级上·吉林·期末）二次函数的图象如图所示，则的面积为________．
【答案】1
【分析】本题考查求二次函数图象与坐标轴的交点．分别令，，求出点A，B的坐标，从而得到，的长，根据三角形的面积即可求解．
【详解】解：对于二次函数，
令，则，解得，
∴，
∴．
令，则，
∴，
∴，
∴．
故答案为：1．
1．（2025·浙江温州·模拟预测）已知抛物线经过点与．
(1)求该抛物线的函数关系式．
(2)此抛物线向下平移m个单位后，顶点落在直线上，求平移后抛物线与y轴的交点坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点坐标以及函数平移规律，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）根据待定系数法，将点与点代入中，建立关于b，c的方程组，解方程组即可得到b，c的值，从而得到该抛物线的函数关系式；
（2）先求出原抛物线的顶点坐标为，根据点坐标平移规律，求得平移后的顶点坐标为，由顶点落在直线上，求得m的值，从而求出平移后抛物线与y轴的交点坐标．
【详解】（1）解：将点与点代入中，得
，
解得，
∴函数解析式为；
（2）解：∵抛物线解析式为，
∴，
∴顶点坐标为，
∵此抛物线向下平移m个单位，
∴平移后的顶点坐标为，
∵平移后的顶点落在直线上，
∴将，代入中，
得：，
解得：，
∴此抛物线向下平移个单位，
∵原抛物线，
∴令，，
可得原抛物线与y轴交点为，
又∵此抛物线向下平移个单位，
∴点向下平移后，得，
即平移后抛物线与y轴的交点坐标为．
2．（25-26九年级上·河南南阳·期末）已知抛物线与轴交于点，(在左侧)，与轴交于点．
(1)求此抛物线的对称轴和顶点坐标；
(2)画出此函数的图像；
(3)求的面积
(4)当时，的取值范围为_____；
(5)若点和都在此函数的图像上，且，结合函数图像，则的取值范围为_____．
【答案】(1)抛物线的对称轴为：，顶点为：
(2)见解析
(3)
(4)
(5)或
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，画二次函数图象
（1）先将二次函数写成顶点式即可．
（2）先画对称轴及函数图象与轴的交点．
（3）根据的坐标以及三角形的面积公式，即可求解；
（4）利用函数图象求解．
（5）根据二次函数的对称性，结合函数图象，数形结合求解．
【详解】（1）解：∵二次函数．
∴抛物线的对称轴为：，顶点为：．
（2）解：当时，
当时，，
解得：
∴，，
如图：
（3）解：连接，
∵，，
∴
（4）当时，
由图知，当时，．
故答案为：．
（5）解：点和都在此函数的图像上，且，
结合函数图像可得，则的取值范围为或，
故答案为：或．
3．（24-25九年级下·内蒙古兴安·阶段检测）如图，抛物线与轴交于两点（A在B的左侧），与轴交于点C，点为线段上一个动点（与点不重合），过点D作轴的垂线与线段交于点，与抛物线交于点，连接，与轴交于点．
(1)求三点的坐标；
(2)当点是的中点时，求线段的长；
(3)在点D运动的过程中，探究下列问题：是否存在一点D，使得取得最大值？若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由；
【答案】(1)，，
(2)
(3)存在一点D使得取得最大值，此时
【分析】（1）根据二次函数解析式即可求出交点坐标.
（2）根据是的中点求出点坐标，进而求出点坐标，利用直线求出点坐标即可求解.
（3）由直线和抛物线可知，当为，时，点坐标为点坐标为，即可求出，，从而得到关于的二次函数解析式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．
【详解】（1）解：在抛物线中，
令，解得，，
点坐标为，点坐标为
令，解得，
点的坐标为
（2）点是的中点，
，
点的坐标为，
设直线的解析式为，将点，代入得：
，解得：
设直线的解析式为，当时，，
点的坐标为，
在抛物线中，当时，，
点的坐标为，
（3）解：存在一点D使得取得最大值，此时
，
点坐标为点坐标为，
由，
，
，
当时，有最大值为．
【典型例题三 已知二次函数的函数值求自变量的值】
【例1】（24-25九年级上·全国·课后作业）若二次函数的图象经过原点，则的值为（ ）
A．2 B．1 C．0或2 D．1或2
【答案】A
【分析】本题中已知了二次函数经过原点，即，由此可求出m的值，结合二次项系数m不能为0，即可求解．
【详解】解：二次函数的图象经过原点，
，
或，
二次项系数不能为0，
所以．
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数二次项系数不能为0是解题关键．
【例2】（24-25九年级上·河南·期中）根据下列表格的对应值：
判断方程（，，，为常数）一个近似解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据表格，得出当时，的值为，当时，的值为，再根据，即可得出方程（，，，为常数）的一个近似解应大于且小于，再结合选项，即可得出结果．
【详解】解：∵由表格可知，当时，的值为，当时，的值为，
又∵，
∴方程（，，，为常数）的一个近似解应大于且小于，
又∵，
∴方程（，，，为常数）一个近似解为．
故选：D
【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的近似解，解本题的关键在熟练掌握一元二次方程的解相当于在二次函数的函数值为时，自变量的值．
【例3】（25-26九年级上·湖北荆州·期末）二次函数的图象上纵坐标为1的两个点之间的距离为________．
【答案】5
【分析】此题考查了二次函数的性质，将代入函数解析式得到关于x的二次方程，解方程求得两个点的横坐标，再计算两点间的水平距离．
【详解】解：当时，，
解得，，
∴，
∴二次函数的图象上纵坐标为1的两个点之间的距离为5．
故答案为：5．
1．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）我们把抛物线上横、纵坐标之和为零的点叫做这条抛物线的“和谐点”（原点除外）．
(1)已知抛物线，求“和谐点”的坐标；
(2)平移抛物线，若所得新抛物线经过点，且顶点是新抛物线的“和谐点”，求新抛物线的表达式．
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键．
（1）根据“和谐点”的定义得出横、纵坐标关系与抛物线联立方程组求解即可；
（2）设，得新抛物线，再把代入求出m的值即可得出结论
【详解】（1）解：
设“和谐点”
∴
又在②上
联立①②得
解得，，
∴
（2）解：设，则平移后的抛物线解析式为
将代入得，
得，
∴平移后抛物线的解析式或．
2．（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）如图，抛物线经过、、三点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是抛物线上一点，且在x轴上方，连接、，若的面积为6，求点的坐标；
(3)在（2）的条件下，点是抛物线的对称轴上一点，连接，求的最小值．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】本题考查待定系数法，求抛物线上点的坐标，二次函数的图象及性质，掌握相关知识是解题的关键．
（1）把点、、代入抛物线，求出a，b，c的值，即可解答；
（2）设点（），根据求出y的值，再代入抛物线解析式，即可得到点P的坐标；
（3）根据垂线段最短可得当垂直对称轴时，取得最小值，其值是点P到对称轴的距离，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线经过、、三点，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为
（2）解：∵，，
∴，
设点（），则，
即，解得，
将代入抛物线解析式，得，
解得，
∴点P的坐标为或．
（3）解：抛物线的对称轴为直线，
∵点Q在对称轴上，
∴当垂直对称轴时，取得最小值，其值是点P到对称轴的距离，为．
3．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）操作观察：某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．
(1)将问题特殊化，取，
①自变量的取值范围是全体实数，，的几组对应值列表如下：
… 0 1 2 3 4 …
… 0 4 6 6 4 6 0 …
请将表中缺失的数据填完整：
在时，___________；在时，__________；在时，__________．
②根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出函数图象的另一部分；
③由图象知，方程有两个实数根，它们分别为：__________，或__________；
(2)若直线与函数的图象有三个交点，求的值．
(3)函数图象的最高点为，交轴于点，交轴于点连接，以为直径的圆在轴上截得的弦刚好以点为中点，求的值．
【答案】(1)①，，；②图象见解析；③，
(2)
(3)
【分析】本题考查二次函数的图象，熟练掌握二次函数的图象是解题的关键．
（1）①将值代入函数计算即可；
②根据表格中的点，在平面直角坐标系中，描点连线即可；
③从表中数据可知，或时，，据此进行解答即可；
（2）联立直线方程和抛物线方程得，，分情况讨论，当和时，两根的情况，进行计算求解的值即可；
（3）根据抛物线图象性质得到点A的坐标，令、得到点、点的坐标，根据以为直径的圆在轴上截得的弦刚好以点为中点，列方程求解即可．
【详解】（1）解：①当时，函数，
在时，，
在时，，
在时，，
故答案为：，，；
②函数图象为：
③由图象知，方程有两个实数根，
从表中数据可知，当时，，当时，，
因此方程的两个实数根为：或，
故答案为：，；
（2）解：由图象可知，函数关于轴对称，直线
当时，函数，
则
整理得
由于直线经过点，
则是方程的一个根，
解得另一个根为，
根据得，，
解得；
当时，函数，
则，
整理得，
同样，由于直线经过点，
则是方程的一个根，设另一个根为，
由韦达定理得，，
解得，
综上所述，；
（3）解：由（1）知，该抛物线图象开口向下，关于轴对称，
则对称轴为，即，
顶点纵坐标为：
则函数图象的最高点为的坐标为，
令得，，
解得，
由于，
则，
令得，，
因此，点的坐标为，点的坐标为，
以为直径的圆的圆心为的中点，
则圆心坐标为，
根据以为直径的圆在轴上截得的弦刚好以点为中点，得：
解得或（舍去）
答：的值为．
【典型例题四 抛物线与x轴的交点问题】
【例1】（25-26九年级上·江苏南通·期末）抛物线与轴只有一个交点，则的值为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
【答案】C
【分析】本题考查抛物线与轴的交点问题，根据抛物线与轴只有一个交点，得到抛物线的顶点在轴上，即可得出结果．
【详解】解：∵抛物线与轴只有一个交点，
∴抛物线的顶点在轴上，
∴；
故选C．
【例2】（25-26九年级上·河南南阳·期末）抛物线的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】本题考查二次函数与一元二次不等式的关系，关键是根据抛物线的对称轴确定与轴的交点，从而确定不等式的解集．当抛物线开口向上时，一元二次不等式的解集是抛物线在轴下方部分对应的的取值范围，即两个交点之外的的范围．
【详解】解：由抛物线的图象可知，抛物线开口向下，对称轴为直线，与轴的一个交点为，
∴另一个交点的横坐标为，即，
结合函数图象，当或时抛物线位于轴下方，即，
∴不等式的解集为或．
故选：D．
【例3】（24-25九年级下·浙江金华·阶段检测）抛物线的部分图象如图所示，则当时，x的取值范围是________．
【答案】或
【详解】解：根据图示，抛物线的图象开口向上，经过，对称轴直线为，
∴抛物线与x轴的另一个交点为，
∴当或时，，
故答案为：或 ．
1．（2025·广东湛江·模拟预测）已知抛物线的对称轴为直线 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求证：直线与抛物线总有两个交点．
【答案】(1)抛物线的解析式为
(2)证明：由，
得，
即，
，且．
．
直线与抛物线总有两个交点.
【分析】（1）根据抛物线的顶点公式即可解答；
（2）列方程，根据时，即可证明直线与抛物线总有两个交点．
【详解】（1）解： 抛物线的对称轴为直线 ．
，则，
抛物线的解析式为；
（2）略
2．（2026·江西南昌·一模）已知点是抛物线上一点，若，则我们把点P称为该抛物线的“二倍点”．
(1)【定义理解】
①若点P是抛物线上的“二倍点”，则点P的坐标为________；
②下列抛物线，没有“二倍点”的是________．
A． B． C．
(2)【深入探究】
已知抛物线与x轴只有1个公共点，且与y轴相交于点．
①求该抛物线的解析式；
②将该抛物线向下平移k个单位得到新的抛物线，若新抛物线恰好只存在1个“二倍点”，求k的值及该“二倍点”的坐标．
【答案】(1)①或，②C
(2)①；②，“二倍点”的坐标为
【分析】（1）①根据“二倍点”的定义可得，且，据此解方程即可得到答案；②根据题意可得当抛物线上有“二倍点”时，该抛物线与直线一定有交点，故联立对应的抛物线的解析式和直线的解析式，看方程是否有解即可得到答案；
（2）①抛物线与x轴只有1个公共点可得判别式的值为0，再结合点B和点C的坐标列式求解即可；②求出平移后的抛物线解析式，根据新抛物线恰好只存在1个“二倍点”可得新抛物线与直线只有一个交点，据此求解即可．
【详解】（1）解：①由题意得，抛物线上的一点满足其纵坐标是横坐标的两倍时，则该点为该抛物线的“二倍点”，
∵点P是抛物线上的“二倍点”，
∴，且，
∴，
解得或，
当时，；当时，；
综上所述，点P的坐标为或；
②由题意得，抛物线上的一点满足其纵坐标是横坐标的两倍时，则该点为该抛物线的“二倍点”，
∴所有的抛物线的“二倍点”都在直线上，
∴当抛物线上有“二倍点”时，该抛物线与直线一定有交点；
联立得，即，
∴，
∴二次函数与直线有两个不同的交点，
∴二次函数上有“二倍点”；
联立得，即，
解得，
∴二次函数与直线只有一个交点，
∴二次函数上有“二倍点”；
联立得，即，
∴，
∴二次函数与直线没有交点，
∴二次函数上没有“二倍点”；
（2）解：①∵抛物线与x轴只有1个公共点，且与y轴相交于点，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为；
②由题意得，平移后的抛物线的解析式为，
联立得，即
∵平移后的抛物线上恰好只存在1个“二倍点”，
∴，
，
∴，
解得．
∴“二倍点”的坐标为．
3．（25-26九年级上·天津河东·期中）已知二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，且经过点，解答下列问题：
(1)当时，的取值范围__________；
(2)此二次函数的解析式是__________
(3)当时，的最大值是__________；
(4)当时，的取值范围是__________；
(5)若直线与该二次函数的图象有公共点，则的取值范围是__________．
【答案】(1)或
(2)
(3)3
(4)
(5)
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键：
（1）对称性求出抛物线与轴的另一个交点坐标，图象法确定的取值范围即可；
（2）待定系数法求出函数解析式即可；
（3）根据增减性，进行求解即可；
（4）根据增减性，进行求解即可；
（5）求出顶点坐标，图象法进行求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线，且经过点，
∴抛物线与轴的另一个交点坐标为；
由图象可知，当时，的取值范围为或；
（2）由（1）可知，图象经过，，
∴抛物线的解析式为；
（3）∵抛物线的开口向下，对称轴为直线，
∴当时，随着的增大而减小，
∵，
∴当时，函数有最大值为；
故答案为：3；
（4）由（2）可知，当抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，
∵，
∴当时，函数有最大值为；
当时，函数有最小值为；
∴；
（5）∵，
∴当时，有最大值为4，
∵直线与该二次函数的图象有公共点，
∴．
【典型例题五 根据二次函数图象确定相应方程根的情况】
【例1】（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）抛物线的对称轴，若关于的一元二次方程在范围内有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　）
A．3 B． C．3 D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据二次函数图象确定相应方程根的情况．由抛物线对称轴求出b，将方程转化为抛物线与水平线的交点问题，根据在给定区间内有两个不等实根的条件，确定的范围，进而得到t的取值范围，即可作答．
【详解】解：∵抛物线的对称轴，
∴，
即，
∴，
∴抛物线为，
方程可化为，
即函数与在内有两个交点，
当时，，
当时，，
当时，，
∵关于的一元二次方程在范围内有两个不相等的实数根，
∴需满足，
即，
故选：D．
【例2】 （2026·河南周口·一模）二次函数的图象如图所示，对称轴为，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】D
【分析】根据二次函数开口方向、与轴交点，对称轴位置、与轴交点确定①②③，再根据顶点坐标确定④．
【详解】解：由二次函数图象可知，开口向上，与轴交于负半轴，
，，
二次函数的对称轴为，
，即，
，，结论①、③正确；
二次函数图象与轴有两个交点，
有两个不等实数根，
，结论②正确；
由图象可知，当时，，
即，结论④正确．
综上，结论正确的个数是个，选项符合题意．
【例3】（25-26九年级下·江苏常州·阶段检测）二次函数的部分图像如图所示，其对称轴为直线，若该抛物线与x轴的一个交点为，则由图像可知，方程的解是________．
【答案】
【分析】先求出抛物线与x轴的另一个交点，再根据抛物线与x轴交点的横坐标即为方程的解求解即可．
【详解】解：∵抛物线对称轴为直线，该抛物线与x轴的一个交点为，
∴抛物线与x轴的另一个交点为，
∴由图像可知，方程的解是．
1．（25-26九年级上·北京昌平·期中）二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x … 0 1 2 n 4 …
y … 15 m 3 0 0 3 8 …
(1)该二次函数图象的顶点坐标______；
(2)______，______；
(3)根据表中信息分析，方程的解为______．
【答案】(1)
(2)8；3
(3)，
【分析】（1）根据表格得到二次函数上对称的两点求解即可；
（2）根据二次函数的对称性求解即可；
（3）根据表格得到当时，；当时，，进而求解即可．
【详解】（1）解：∵当和时，y的值都是0，
∴对称轴为，
∴二次函数图象的顶点坐标为；
（2）解：∵二次函数图象的对称轴为直线，
由表格可得，
点和点关于对称轴对称，
∴，
点和点关于对称轴对称，
∴；
（3）解：根据表格可得，
当时，；当时，，
∴方程的解为：，．
【点睛】本题主要考查二次函数图像与一元二次方程解的综合，掌握二次函数图像的性质解一元二次方程是解题的关键．
2．（24-25九年级上·北京·阶段检测）已知二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：
x … 0 1 …
y … 0 0 …
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
(3)当时，直接写出y的取值范围；
(4)当时，直接写出x的取值范围；
(5)当时，关于x的一元二次方程有实根，直接写出t的取值范围．
【答案】(1)
(2)图见解析
(3)
(4)或
(5)
【分析】本题考查抛物线与轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上的点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式．
（1）根据，，三个点求解析式即可；
（2）利用描点法画出函数图象；
（3）观察图象可得当时有最大值，当时有最小值，即可求出y的取值范围；
（4）观察图象可得当时，当时，在上方，即可求出x的取值范围；
（5）利用图象法求出当时函数的取值范围，即为t的取值范围．
【详解】（1）解：二次函数的图象过点和，
设二次函数的解析式为：，
将代入得：，
解得：，
二次函数的解析式为；
（2）解：函数图象如图所示：
（3）解：观察图象可知，当时，；
（4）解：观察图象可知，当时，或；
（5）解：观察图象可知，当时，，
∵当时，关于x的一元二次方程有实根，
∴．
3．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，二次函数的图像过，且顶点为，解答完成下列问题：
(1)当时，y随x增大而________（填“增大”或“减小”）；
(2)当时，y的取值范围是________；
(3)方程的两个根是________．
【答案】(1)减小
(2)
(3)，
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程等知识，熟悉二次函数的图象与性质是关键．
（1）由顶点坐标设二次函数解析式为顶点式，再把点坐标代入即可求出函数解析式；由顶点坐标及函数增减性质即可完成；
（2）由抛物线对称性可求得抛物线与x轴的另一个交点坐标，结合二次函数的图象与性质即可求解；
（3）考虑二次函数与直线的交点横坐标，即可求得方程的解．
【详解】（1）解：∵二次函数顶点为，
∴设，
∵图像过，
∴，
即，
∴，抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴当时，y随x增大而减小；
故答案为：减小；
（2）解：∵抛物线对称轴为直线，与x轴一个交点为，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为，
∵抛物线开口向上，函数取得最小值，
∴当时，y的取值范围是；
故答案为：；
（3）解：对于，当时，，
即抛物线与y轴的交点坐标为；
由抛物线对称性知，关于对称轴的对称点坐标为；
对于方程的解，就是二次函数与直线的交点横坐标，
而二次函数与直线的交点为与，
∴方程的解为，；
故答案为：，．
【典型例题六 求x轴与抛物线的截线长】
【例1】（2026·内蒙古·模拟预测）二次函数的图象与轴交于，两点，则线段的长是（ ）
A．3 B．6 C．9 D．18
【答案】B
【分析】本题先利用轴上点的纵坐标为的性质，求出二次函数与轴的两个交点坐标，再计算两点间的距离即可得到结果．
【详解】解：二次函数图象与轴交点的纵坐标为
令，得方程
解得，
，两点的坐标为和
线段的长为
【例2】（2025·四川成都·模拟预测）如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，下列说法正确的是（ ）

A．抛物线的对称轴为直线 B．抛物线的顶点坐标为
C．，两点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大
【答案】C
【分析】待定系数法求得二次函数解析式，进而逐项分析判断即可求解．
【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交于，两点，
∴
∴
∴二次函数解析式为，对称轴为直线，顶点坐标为，故A，B选项不正确，不符合题意；
∵，抛物线开口向上，当时，的值随值的增大而减小，故D选项不正确，不符合题意；
当时，
即
∴，
∴，故C选项正确，符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，抛物线与坐标轴的交点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【例3】（25-26九年级上·天津·阶段检测）如图，抛物线与x轴交点间的距离为________________．
【答案】
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题．
直接根据图像作答即可．
【详解】解：由图可知抛物线与x轴交点间的距离为．
故答案为：．
1．（25-26九年级上·河北邢台·阶段检测）已知抛物线与x轴的交点分别为，．
(1)求一元二次方程的两个根；
(2)设抛物线与轴交于点，作轴交抛物线于点，求线段的长；
(3)若点，在抛物线上，你能比较出和的大小吗？若能，请比较出大小；若不能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)能，
【分析】本题考查了二次函数与坐标轴交点问题，求函数值，二次函数的性质；
（1）将的坐标代入得，，得出抛物线的解析式为令，解方程，即可求解．
（2）将代入得，，即．根据轴交抛物线于点，得出，两点的纵坐标相等，则解方程，进而求得线段的长；
（3）解法一∶分别将代入解析式求得函数值，即可求解；解法二：根据抛物线的对称轴为直线，进而可得关于对称轴对称，即可求解．
【详解】（1）解∶将的坐标代入得，
，解得，
所以抛物线的解析式为
令，则
解得
所以一元二次方程的两个根为，．
（2）将代入得，，即．
因为轴，即，两点的纵坐标相等，则
解得
又，
即线段的长为．
（3）解法一∶能比较，的大小，．
将点的坐标代入得，
将点的坐标代入得，
所以．
解法二：抛物线的对称轴为，
点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，则，两点到对称轴的距离相等，
即，两点关于对称轴对称，
所以．
2．（24-25九年级上·江苏淮安·期中）小明在画一个二次函数的图像时，列出了下面几组x与y的对应值．
0 1 2
3 4 3 0
(1)求该二次函数的表达式；
(2)当时，x的值为 ；
(3)该二次函数图像与直线有两个交点A、B，若时，n的取值范围为 ．
【答案】(1)
(2)或1
(3)
【分析】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）令，解一元二次方程即可；
（3）把函数的问题转化为方程的问题，利用根与系数的关系即可得到关于的不等式，解不等式即可求得．
【详解】（1）解：由表格数据结合二次函数图象对称性可得图象顶点为，
设二次函数的表达式为，
将代入得，
解得，
该二次函数的表达式为；
（2）令，则，
解得：，；
（3）令，
整理得，
设点、的横坐标为，，
，是方程的两个实数根，
，，
，
，
，
，即，
，
的取值范围是．
【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，把函数问题转化为方程问题是解题的关键．
3．（2025九年级·河北·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，该抛物线的顶点为点P为该抛物线上一点，其横坐标为
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当轴时，求的面积；
(3)当时，设该抛物线在点B与点P之间（包含点B和点）的部分的最高点和最低点到x轴的距离分别为d，n，当时，直接写出m的取值范围．
【答案】(1)
(2)的面积为1
(3)或
【分析】对于，将点A和点B坐标代入求解即可；
对于，当轴时，点P与点B关于对称轴直线对称，可得点，进而即可得解；
对于，过点B作轴交抛物线于点E，则，分三种情况讨论：①当点P在点B和点C之间时，即时，②当点P在点C和点E之间时，即时，③当点P在点E下方时，即时，据此求解即可．
【详解】（1）解：把点，代入，
得
解得
该抛物线的解析式为；
（2）解：由知，，
点C的坐标为，
当轴时，点P与点B关于对称轴直线对称，
点，
，点C到PB的距离为1，
，
的面积为1；
（3）解：过点B作轴交抛物线于点E，如图所示：
此时点E与点B关于对称轴直线对称，，
①当点P在点B和点C之间时，即时，
，，
，
，
解得不合题意；
②当点P在点C和点E之间时，即时，
，，
符合题意，
；
③当点P在点E下方时，即时，，
，
，
，
或，
解得或或，
，
；
综上所述，m的取值范围为或
【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数的对称性、二次函数的最值问题等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
【典型例题七 图象法解一元二次不等式】
【例1】（24-25九年级上·河南开封·期末）二次函数的图象如图所示，则函数值时，自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系．根据题意，当函数值时，自变量x的取值范围，就是求当函数图象在x轴上方时，对应的x取值范围，由此得到答案．
【详解】观察图象知，当函数值时，自变量x的取值范围是或，
故选：D．
【例2】（2025·湖北黄石·一模）如图，一次函数y1＝kx+b与二次函数y2＝ax2交于A（﹣1，1）和B（2，4）两点，则当y1＞y2时x的取值范围是（　　）
A．x＜﹣1 B．x＞2 C．﹣1＜x＜2 D．x＜﹣1或x＞2
【答案】C
【分析】从图象上找出两函数图象交点坐标，再根据两函数图象的上下位置关系，判断时，x的范围．
【详解】解：已知函数图象的两个交点坐标分别为A和B 两点，
∴当时，有﹣1＜x＜2；
故答案为：C．
【点睛】本题考查了利用图象求解的能力，找出两函数图象交点坐标，再根据两函数图象的上下位置关系，判断时，x的范围是解题的关键．
【例3】（24-25九年级上·青海西宁·期中）如图，已知关于的一元三次方程的解为，，，请运用函数的图象，数形结合的思想方法，判断关于的不等式的解集_____．
【答案】或
【分析】本题考查数形结合，利用数形结合的思想，找到图象在轴上方时的自变量的取值范围即可．
【详解】解：由图象可知：关于的不等式的解集为：或；
故答案为：或．
1．（24-25九年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1)求该抛物线的对称轴；
(2)已知点，在抛物线上．对于，都有，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题考查的是二次函数的性质，求解二次函数的对称轴；
（1）直接利用对称轴公式求解对称轴即可；
（2）设点关于对称轴的对称点为，可得，再分与分析求解即可.
【详解】（1）解：抛物线的对称轴为：．
（2）解：点，在抛物线上．
设点关于对称轴的对称点为，
则．
∴．
∴．
①若，则当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．
（i）当时，
∵对于，，都有，
∴．
∴．
∴，不符合题意．
（ii）当时，
∵对于，，都有，
∴，即．
∴．
∴．
②若，则当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大．
（i）当时，
∵对于，，都有，
∴．
∴．
∴．
∴；
（ii）当时，
∵对于，，都有，
∴，即．
∴．
∴．不符合题意舍去；
综上所述，a的取值范围是或．
2．（24-25九年级上·浙江台州·阶段检测）已知函数．
(1)求它的顶点坐标，与轴的交点坐标；
(2)在平面直角坐标系中画出它的简图；
(3)根据图象回答：取什么值时，．
【答案】(1)顶点坐标；轴的交点坐标
(2)见解析
(3)或
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与轴有交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，掌握三个知识点的综合应用是解题关键．
（1）根据一般式的顶点公式求出，解即可得到与轴的交点坐标；
（2）根据题意画出函数图象；
（3）根据图象确定自变量的取值范围．
【详解】（1）解：根据题意，得此抛物线的对称轴：，顶点坐标，
当时，可得，解得，
故图象与轴的交点坐标为；
（2）解：简图如下：
（3）解：根据图象可知：或时，．
3．（24-25九年级上·云南曲靖·阶段检测）如图所示，二次函数的图象经过、、三点．
(1)由图象可知，不等式的解集为______；
(2)结合二次函数的图象，写出方程的解．
【答案】(1)或
(2)，
【分析】本题考查二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式、二次函数图象与一次函数的交点问题，利用数形结合思想求解是解答的关键．
（1）先判断出二次函数的图象与一次函数的图象交点坐标为、，再根据图象求得使二次函数的图象位于直线上方部分的点的横坐标取值范围即可；
（2）根据抛物线与x轴的两个交点坐标，即可求方程的解．
【详解】（1）解：∵二次函数与一次函数的图象交于、两点，
∴不等式的解集为或；
故答案为：或；
（2）解：二次函数的图象与轴交于点、，
方程的解为：，．
【典型例题八 图象法确定一元二次方程的近似根】
【例1】（24-25九年级上·全国·单元测试）已知二次函数（，，，为常数）的与的部分对应值如下表：
判断方程的一个解的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】仔细看表，可发现的值和0.09最接近0，再看对应的的值即可得．本题考查了同学们的估算能力，对题目的正确估算是建立在对二次函数图象和一元二次方程关系正确理解的基础上的．
【详解】解：由表可以看出，∵当时，；当时，；
∴当取3.25与3.26之间的某个数时，，即这个数是的一个根．
则的一个解的取值范围为．
故选：D．
【例2】（24-25九年级上·湖北荆门·期末）方程的近似根可以看作是下列哪两个函数图象交点的横坐标（　　）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】B
【分析】逐项分析即可．
【详解】A、由得：，则方程可看作函数和的图象的交点，故错误；
B、由得：，则方程可看作函数和的图象的交点，故正确；
C、由得：，则方程可看作函数和的图象的交点，故错误；
D、由得：，则方程可看作函数和的图象的交点，故错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程与二次函数的关系，正确变形是关键．
【例3】（24-25九年级上·天津·阶段检测）二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为______．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系．熟练掌握抛物线与x轴两交点的横坐标为一元二次方程的两个根，是解题的关键．
根据二次函数图象与x轴的交点得方程的两个根为．
【详解】∵二次函数的图象与x轴交于 ，两点，
∴关于的一元二次方程的解为．
故答案为：．
1．（25-26九年级下·全国·课后作业）利用函数的图象求下列方程组的解：
(1)
(2)
【答案】(1)
，
(2)
【分析】（1）画出直线和抛物线，确定直线和抛物线的交点坐标，即可得出结果；
（2）画出直线和抛物线，确定直线和抛物线的交点坐标，即可得出结果．
【详解】（1）解：画出的图象如下：
由图象可知，两条图象的交点为和，
∴方程组的解为，；
（2）解：画出图象如图：
由图可知，直线和抛物线的交点坐标为，
∴方程组的解为．
2．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）在同一平面直角坐标系画了三个函数的图象，这三个函数为，，，请完成以下问题：
(1)看图说话：
①与轴交点坐标为______；与轴交点坐标为________；与轴的交点坐标为和，方程的两根为_________；________．
②抛物线的顶点坐标为________；抛物线的顶点坐标为________．
③这三个函数的图象都可看作由抛物线经过平移而得到；若将抛物线先向_______平移______个单位，再向_______平移______个单位得到的图象；
(2)若抛物线，，的顶点分别为，，，连，，，则直接写出的面积________．
【答案】(1)①，，；②，；③左，，下，
(2)
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，抛物线的顶点坐标，图象的平移以及图象围成的三角形的面积等知识点，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质．
（1）①根据函数解析式求图象和坐标轴的交点坐标即可，根据二次函数和一元二次方程的关系求出方程的根即可；
②根据顶点坐标公式求解即可；
③根据顶点的坐标，确定平移即可；
（2）假设与轴交于点，求出直线的解析式，然后求出点坐标，最后利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】（1）解：①∵，，
∴与轴交点坐标为，即；
当时，，
解得，
∴与轴交点坐标为；
∵与轴的交点坐标为和，
∴方程的两根为，；
故答案为：，，；
②抛物线的顶点横坐标为，顶点纵坐标为，
∴顶点坐标为；
抛物线的顶点横坐标为，顶点纵坐标为，
∴顶点坐标为；
故答案为：，；
③∵，
∴若将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位得到的图象；
故答案为：左，，下，；
（2）解：如图所示，假设与轴交于点，根据题意可得，，
设直线的解析式为，
将，代入解析式得，
，
解得，
∴，
当时，，
解得，
∴，
∴，
故答案为：．
3．（2025九年级·全国·专题练习）对于抛物线．
(1)将抛物线的表达式化为顶点式．
(2)补全下列表格中的数据，在坐标系中利用描点法画出此抛物线．
… 0 2 4 6 …
… …
(3)结合图象，当时，的取值范围______．
(4)结合图象及所学习的知识，估算的两个根为______（精确到0.1）．
【答案】(1)
(2)6；-6；-10；-6；6
(3)
(4)
【分析】（1）由于二次项系数是，所以直接加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式；
（2）利用列表、描点、连线的方法画出图形即可；
（3）根据函数图象回答即可；
（4）根据函数与方程的关系，可得函数图象与轴的交点的横坐标就是相应的方程的解．
【详解】（1）解：
，
∴抛物线的顶点式为：．
（2）解：将值依次代入求解得即可，表如下：
利用描点法如图：
（3）解：函数图象可知：当时，
y的取值范围，
故答案为：．
（4）由图象可知方程有两个根，
一个在和之间，另一个在和之间．
当时，，当时，；
∴是方程的一个近似根，
同理，是方程的另一个近似根
．故一元二次方程的近似根为或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的顶点式、画函数的图象，图象法求一元二次方程的近似根，利用函数图象求得到相应的一元二次方程的解是解题的关键．
【典型例题九 利用不等式求自变量或函数值的范围】
【例1】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知二次函数的、的部分对应值如下表：
0 1 2 3
5 1 1
下列结论中正确的个数有（ ）
①；②抛物线的对称轴是直线；③方程有一个根，且；④不等式的解集是；⑤是方程的根．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】根据表格确定二次函数图象的开口方向以及对称轴，结合表格数据即可对各个选项进行判断．
【详解】解：由表格可知：当越来越大，先减小后增大，即二次函数图象开口向上，
则，故①错误；
由表格可知：当，，当，，即抛物线的对称轴为，故②正确；
当，，当，，即在和0之间，函数值都大于0，
则方程的根不在之间，故③错误；
不等式，即，根据表格数据可知当时不等式，故④正确；
当时，，即，故⑤正确；
正确的选项有3个．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质的知识，解答本题的关键是根据表格发现二次函数图象的对称轴以及开口方向，此题难度不大．
【例2】（24-25九年级上·海南海口·阶段检测）如图，若二次函数图象的对称轴为，与y轴交于点C，与x轴交于点A、和点B，点，则①；②，③，④当时，，其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】本题考查二次函数性质，对称轴，二次函数与一元二次方程的关系等知识点，根据二次函数的性质，对称轴，二次函数与一元二次方程的关系逐个判断即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
，，
∵是抛物线的对称轴，
，
，
，故①错误，
∵过点，
∴，故②错误，
由图象可得抛物线与x轴交于两点，
∴，故③错误，
根据对称轴可得A点横坐标为 ，
由图象可得，
当时，，故④正确，
综上所述有1个正确，
故选：A．
【例3】（25-26九年级上·广西柳州·阶段检测）已知二次函数，当时，则x的取值范围______________．
【答案】
【分析】此题考查二次函数的性质，掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．由题意可直接得出，再分别令，求出x的值，再结合函数图象即可解答．
【详解】解：∵二次函数解析式为，且，
∴抛物线开口向下，且当时，y有最大值，且．
当时，，
解得：，，
∵函数图象开口向下，对称轴为直线，在对称轴左侧y随着x的增大而增大，
在对称轴右侧y随着x的增大而减小，
∴当时，结合函数图象可得出x的取值范围是．
故答案为：．
1．（25-26九年级上·江苏南京·期末）已知二次函数与自变量的部分对应值如下表：
… 0 3 …
… 0 3 0 …
(1)求该二次函数的表达式；
(2)当时，的取值范围是________．
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，正确求得函数表达式是解答的关键．
（1）利用待定系数法求解函数表达式即可；
（2）先得到该二次函数图象的开口方向和对称轴，再求得时的x值，然后根据函数的增减性求解即可．
【详解】（1）解：∵由表格可知该二次函数的图像与轴的交点分别是，．
∴设该二次函数的表达式为．
∵当时，，
∴该二次函数的表达式为．
解得．
∴该二次函数的表达式为，即．
（2）解：由得，该二次函数的图象的开口向下，对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，
解方程得，，
∴当时，或．
2．（2025·北京·三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线：．
(1)求抛物线的顶点坐标(用含t的代数式表示)；
(2)点，在抛物线上，其中，
①若的最小值是，求的最大值；
②若对于都有，直接写出t的取值范围．
【答案】(1)
(2)①12；②或
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数的最值、二次函数与不等式，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）将抛物线的解析式化为顶点式，即可得出抛物线的顶点坐标；
（2）①根据二次函数的性质得到抛物线开口向上，对称轴为，结合的范围可知当时，有最小值，则有，再根据二次函数的性质即可求出的最大值；②利用二次函数的性质求出的最大值以及的值，再结合列出关于的不等式，即可求出t的取值范围．
【详解】（1）解：，
∴抛物线的顶点坐标为；
（2）解：①，
∴抛物线开口向上，对称轴为，
∵，
∴当时，有最小值，
∵的最小值是，
∴，
∴，，
∵，，，
∴当时，有最大值，
∴的最大值为12；
②当时，，
∵，，，
∴当时，有最大值，
∵对于都有，
∴，
解得或；
∴t的取值范围为或．
3．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，已知抛物线经过，两点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)当时，直接写出y的取值范围 ；
(3)将该函数图像沿x轴翻折，所得图像的函数表达式为 ．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】本题考查了二次函数图像与几何变换，待定系数法，求二次函数解析式，二次函数图像上点的坐标特征，二次函数性质，熟练掌握以上知识点是关键．
（1）待定系数法求出抛物线的解析式即可．
（2）根据图像直接写出时，函数值的范围即可．
（3）根据函数图像沿x轴翻折抛物线形状不变，开口向上，顶点的坐标为，待定系数法求出解析式即可．
【详解】（1）解：抛物线经过，两点，
，
解得，
抛物线的解析式为：；
（2）解：，
抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点的坐标为，
当时，的取值范围为：，
故答案为：；
（3）解：根据函数图像沿轴翻折，抛物线形状不变，开口向上，
顶点的坐标为，
设翻折后的解析式为，
将点代入得：，解得，
翻折后的解析式为，
故答案为：．
【典型例题十 根据交点确定不等式的解集】
【例1】（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·阶段检测）已知二次函数，当时，x的取值范围是（ ）
A． 或 B．
C．或 D．
【答案】B
【分析】令，求得方程的根，确定抛物线与x轴的交点的横坐标，根据抛物线开口向下，结合，根据增减性解答即可．
本题考查了抛物线的性质，抛物线与一元二次方程的关系，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】解：令，得，
解得，，
∵，
∴抛物线开口向下，
当时，，
故选：B．
【例2】 （25-26九年级上·海南·期中）如图，抛物线与直线交于点，若，则x的取值范围为（　　）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数与不等式（组）：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，
利用函数图象，写出抛物线在直线上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：根据函数图象，当或时，，
所以若，则x的取值范围为或．
故选：C．
【例3】 （25-26九年级上·湖南长沙·期末）如图，二次函数()与一次函数()的图象相交于点，，则使成立的的取值范围是___________．
【答案】或
【分析】本题主要考查了二次函数与不等式的关系，利用数形结合的思想是解题的关键．根据抛物线与直线的交点坐标，结合图象即可解答．
【详解】解：二次函数()与一次函数()的图象相交于点，，即点，点的横坐标分别为，8，
根据图象可得，使成立的的取值范围是或．
故答案为：或．
1．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）如图，二次函数的图象经过点，且与正比例函数的图象交于点和点．
(1)求二次函数的解析式和另一交点的坐标；
(2)根据函数图象，直接写出不等式的解集．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）将点，点代入求出二次函数解析式，将点代入求出一次函数解析式，将两个解析式联立即可求出点的坐标；
（2）由（1）可得，在图象上为二次函数图象在正比例函数图象下方的部分，据此即可求解．
【详解】（1）解：将点，点代入得：
，
解得：，
∴二次函数的解析式为，
将点代入得：，
∴正比例函数的解析式为，
令，
解得：或，
当时，；当时，；
∵为点的坐标，
∴的坐标为．
（2）解：由（1）可得：，
∴，即，
∵，在图象上为二次函数图象在正比例函数图象下方的部分，
∴．
2．（2026·云南西双版纳·一模）知识推广：如图，二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标是，（）．
当时，即，就是二次函数的图象在轴下方的部分，这一部分的的取值范围是．
当时，即，就是二次函数的图象在轴上方的部分，这一部分的的取值范围是或．
已知二次函数的图象的顶点在另一个二次函数的图象上．
(1)求二次函数的解析式；
(2)定义：点满足以下两个条件：①，均为整数；②对应与的函数值分别记为，，且．则称是函数与的一个环抱整点．求函数与的环抱整点的个数．
【答案】(1)
(2)函数与的环抱整点的个数为6个
【分析】（1）因为要利用的顶点在图象上这一条件，所以先通过配方法或顶点坐标公式求出的顶点坐标。因为顶点坐标满足 的解析式，所以将顶点坐标代入，得到关于的方程，求解得出的值，进而确定的解析式．
（2）因为需要找到满足 的整数、，所以先分析的表达式，求出时的取值范围，确定整数的可能取值；因为对于每个整数，要计算对应的和，所以将分别代入和的解析式，得到和的值，再找出满足 的整数的个数，最后统计所有符合条件的环抱整点总数．
【详解】（1）解：∵二次函数 的图象的顶点坐标为，
∴将点代入，
得，
解得，
∴二次函数的解析式为．
（2）解：∵，，
∴当时，，，
∵，
∴，即，
令，
解得，
∵，即的图象开口向上，
∴时，，
∵，均为整数，
∴可取或0；
①当时， ， ，
∴，则可取，，，
∴函数与的环抱整点为，，；
②当时，，，
∴，则可取，，0，
∴函数与的环抱整点为，，；
综上所述，函数与的环抱整点的个数为6个．
3．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）已知二次函数自变量与函数的部分对应值如下表：
(1)二次函数的顶点坐标为 ，的值为 ；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
(3)结合图象，回答下列问题：
①当时，的取值范围是 ；
②当时，的取值范围是 ．
【答案】(1)，5；
(2)见解析
(3)①；②
【分析】本题考查的是抛物线与x轴的交点，函数图象上点的坐标特征等，
（1）根据表格数据和抛物线的对称性可得结果；
（2）根据三点表格中的点，描点，连线，画出函数图象即可；
（3）①根据函数图象直接写出自变量取值范围即可；
②根据函数图象直接写出函数值取值范围即可．
【详解】（1）解：根据表格数据可得：顶点坐标，对称轴为，根据抛物线的对称性可知，；
故答案为：，5；
（2）抛物线图象如图所示：
（3）①根据函数图象，当时，的取值范围是；
故答案为：．
②根据函数图象，当时，的取值范围是，
故答案为：．
【典型例题十一 一元二次方程的解的估算】
【例1】（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）根据下面表格中列出来的数据，你猜想方程有一个根大约是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的近似解．观察表格数据，可得当时，的值为负，当时，的值为正，从而得到方程根在和之间，即可求解．
【详解】解：∵ 当时，；
当时，；
∴ 方程根在和之间．
故选：C
【例2】（24-25九年级上·四川成都·期末）小颖在探索一元二次方程的近似解时做了下表的计算．观察表中对应的数据，可知该方程的其中一个解的整数部分是（ ）
0 1 2
5
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，此类题要细心观察表格中的对应数据，即可找到x的取值范围．
【详解】解：当时，；
当时，，
∵更接近于0，
∴方程的一个解得整数部分是1，
故选：C．
【例3】（2025·山东临沂·二模）根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x的取值范围是__________．
x 1 1.1 1.2
13 14.41 15.84
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的解．利用表中数据得到时，，时，，则可判断时，有一个解满足．
【详解】解：由题意得
x 1 1.1 1.2
13 14.41 15.84
∴当时，；
当时，，
∴当时，必有一个解，
∴x的取值范围是．
故答案为：．
1．（2026·江西·模拟预测）如图，观察函数的图象，可以发现方程在0，1之间有根．取0，1的平均数0.5，当时，，进一步可知这个根在0.5和1之间，则与方程另一根更接近的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由一元二次方程根与系数关系可知两根之和为，结合已知根在0.5与之间，可推知另一根在与之间．再取中点缩小范围，确定另一根更接近．
【详解】解：设方程的两个根为，，
，，，
由一元二次方程根与系数关系可知，
已知在0.5与之间，
，
当x在0.5和1之间时，
另一根在与之间，
取，
，
当时，，
在与之间，
到的距离，
到的距离，
到的距离小于到的距离，
与另一根更接近的是．
2．（25-26九年级上·湖北咸宁·期中）抛物线与x轴交于A，B两点，点P在抛物线上，且的面积是4．
（1）抛物线与x轴的两个交点之间的距离______；
（2）若满足条件的P点恰好有3个，则______．
【答案】 4
【分析】本题考查了二次函数与x轴交点的坐标，一元二次方程的解，掌握函数与x轴交点的坐标的求法，以及通过判别式分析一元二次方程根的情况是解题的关键．
（1）通过求抛物线与x轴的交点坐标，计算两点距离．
（2）利用三角形面积公式得出点P的纵坐标绝对值为2，代入解析式得到两个方程，根据点P个数要求，令其中一个一元二次方程判别式为零求解．
【详解】解：（1）抛物线 与x轴交于点A和点B，令，得或，
故，
所以．
（2）的底边，面积为4，设点P到的垂直距离为h，
，解得，
在x轴上，
为点P纵坐标的绝对值，即，
解得或，
根据题意，可知点P在抛物线上，代入函数解析式得方程： 和 ，每个都是关于x的二次方程，最多有2个解，
满足条件的点P恰好有3个，
其中一个方程有两个相等的实数根，另一个方程有两个不等实根，
方程一，即 ，
判别式 ，
方程二，即，
判别式
令，得，
解得（舍去）或，
此时，符合条件，
令 ，得，解得（舍去）或，
此时，符合条件，
故．
故答案为：4，．
3．（24-25九年级上·山西吕梁·阶段检测）阅读与思考：
下面是小华求一元二次方程的近似解的过程．
如图，这是一张长、宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形，可制成一个底面积是的无盖长方体纸盒．小华在做这道题时，设剪去的正方形边长为，列出关于x的方程，整理得．

他想知道剪去的边长到底是多少，下面是他的探索过程．
探索方程的解：
第一步：
x 0 1 2
17 9
因此：____________．
第二步：
x 1.5 1.6 1.7 1.8
0.75 0.36
因此：____________.
（1）请你帮助小华完成表格中未完成的部分，并写出x的范围；
（2）通过以上探索，请直接估计出x的值．（结果保留一位小数）
【答案】（1），，，，（2）
【分析】
（1）第一步: 代入及, 可求出的值, 进而可得出;第二步: 根据及时, 的值，进而可得出；
（2）由的结论, 可得出的值约为.
【详解】
解：（1）第一步: 当时,
，
当时,
,
∴；
第二步: 当时,，
当时,，
∴ .
故答案为：，，，；
（2）通过以上探索,的值约为.
【点睛】
本题考查了估算一元二次方程的近似解，熟练掌握用列举法估算一元二次方程的近似解的方法是解题的关键.
1．（24-25九年级上·浙江金华·阶段检测）对于二次函数，下列说法错误的是（ ）
A．图像的对称轴是直线 B．当时，y随x的增大而增大
C．图像的顶点坐标是 D．图像与x轴的交点坐标
【答案】D
【分析】求出二次函数顶点式表达式逐项判断即可．
【详解】A． ，图像的对称轴是直线，选项正确，不符合题意；
B． ， y随x的增大而增大， 选项正确，不符合题意；
C．图像的顶点坐标是，选项正确，不符合题意；
D．图像与x轴的交点坐标，选项错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟悉二次函数顶点式，对称轴，与x轴交点坐标．
2．（2025·江苏无锡·二模）已知m，n（）是关于x的方程的两根，若，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将方程转化为二次函数与直线交点问题，利用二次函数图像性质判断根的范围即可．
【详解】解：设二次函数，
由于二次项系数为，且，
则抛物线开口向上，与轴交于，两点，
原方程的两根，就是抛物线与直线交点的横坐标，
由于，则抛物线开口向上，
如图：
则较小的根在的右侧，较大的根在的左侧，
即得到．
3．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段检测）已知的图象如图所示，则关于的一元二次方程有（ ）个解
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【分析】本题考查抛物线与轴、轴的交点，由抛物线的对称轴和抛物线与轴的交点坐标得出当时，，或，即可得出结果．抛物线的对称轴以及抛物线的性质；理解时，得出的值是解题的关键．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为，与轴交于点，
∴当时，，
即纵坐标为的点是或，
∴或，
∴关于的一元二次方程有个解．
故选：C．
4．（25-26九年级上·贵州黔南·期末）二次函数（为常数）的部分取值如下表，则关于x的一元二次方程（为常数）的一个解x的取值范围是（ ）
x ··· 6.17 6.18 6.19 6.20 ．．．
··· 0.01 0.04 ．．．
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程解的范围，理解方程解的含义是解题关键．
应该在与之间，从表格中选择对应的数据即可．
【详解】解：由表格得：
时，，
时，，
的一个解的范围为：．
故选：A．
5．（24-25九年级上·广东中山·期中）二次函数的大致图象如图所示，关于该二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数有最大值 B．对称轴是直线
C．当，随的增大而增大 D．当或时，
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象：的图象为抛物线，可利用列表、描点、连线画出二次函数的图象．也考查了二次函数的性质．由图象可得抛物线开口方向，从而可得函数有最小值，由抛物线与x轴交点可得抛物线对称轴及y随x增大而减小的取值范围，根据抛物线开口方向及抛物线与x轴交点横坐标可得函数值小于0的x的取值范围，进而求解．
【详解】解：由抛物线的开口向上，可知，函数有最小值，不正确，故A选项不符合题意；
B．由图象可知，对称轴为，不正确，故B选项不符合题意；
C．因为，所以，当时，随的增大而减小，不正确，故C选项不符合题意；
D．由图象可知：当或时，，正确，故D选项符合题意．
故选D．
6．（24-25九年级上·江苏连云港·期末）若函数的图象与坐标轴只有两个交点，则b的值是____．
【答案】或
【分析】函数为二次函数，与轴恒有一个交点，因此与坐标轴只有两个交点需分两种情况讨论：一是二次函数与轴只有一个交点，与轴交于异于原点的点，共两个交点；二是二次函数与轴有两个交点，其中一个交点为原点，此时与轴交点和原点重合，总交点数为两个，据此分别求解即可．
【详解】解：是二次函数，当时，，
函数图象与轴恒有一个交点，
函数图象与坐标轴只有两个交点，分两种情况讨论：
情况1：抛物线与轴只有一个交点，且交点不是原点，
此时根的判别式，且，即，
解得，
情况2：抛物线与轴有两个不同交点，且其中一个交点为原点，此时原点为抛物线与坐标轴的公共交点，总交点数为，
将代入函数解析式得，
检验：当时，，抛物线与轴有两个不同交点，符合题意；
综上，的值为或．
7．（25-26九年级上·河南开封·期末）y是关于x的二次函数，下列结论正确的是______．（填写正确的序号）
①当时，函数图象的顶点坐标为；
②当时，函数图象总过定点；
③当时，函数图象在x轴上截得的线段的长度大于．
【答案】②③
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与x轴的交点问题．将时的函数关系式变形为顶点式，可判断①；当时，该函数关系式可变形为，可得当时，y的值与m无关，求出的根，求出对应的y值，即可得定点坐标，可判断②；③当时，求出该函数图象与x轴的交点的横坐标，可判断③．
【详解】解：①当时，，
∴顶点坐标为，故①错误．
②当时，，
当时，y的值与m无关，
此时，，
当时，；
当时，，
∴函数图象总经过两个定点，，故②正确；
③当时，由得：，
，
∴．
∴，．
∴，
∴函数图象截x轴所得的线段长度大于，故③正确．
故答案为：②③
8．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段检测）已知二次函数的y与x的部分对应值如表：
x … 0 1 3 …
y … 1 3 1 …
则下列判断中正确的是______．
①抛物线开口向下；②抛物线与y轴交于负半轴；③当时，；④方程的正根在3与4之间．
【答案】①④/④①
【分析】根据和的函数值相同求出二次函数的对称轴，进而根据的函数值大于的函数值，即离对称轴越近函数值越大即可判断①；根据时，即可判断②；根据和关于直线对称，即可判断③；根据当时，，当时，，二次函数与x轴的一个交点在3和4之间，即可判断④．
【详解】解：∵和的函数值相同，
∴二次函数对称轴为直线，
∵
∴离对称轴越近函数值越大，
∴二次函数开口向下，故①正确；
∵时，，
∴二次函数与y轴交于正半轴，故②错误；
∵和关于直线对称，
∴时，，故③错误；
∵当时，，当时，，
∴二次函数与x轴的一个交点在3和4之间，
∴方程的正根在3与4之间，故④正确；
故答案为：①④；
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，正确根据表格中的数据求出二次函数的对称轴方程是解题的关键．
9．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，二次函数的图像过，且顶点为，当时，的取值范围是___________
【答案】
【分析】本题考查了把化成顶点式，的最值，待定系数法求二次函数解析式，利用不等式求自变量或函数值的范围，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．
先根据二次函数图象的顶点坐标，设出顶点式，再将代入求得解析式，然后结合求出的取值范围
【详解】解：∵二次函数图象的顶点为，
∴二次函数的解析式为，
∵二次函数的图像过，
∴，解得：，
∴二次函数的解析式为，
∴二次函数的图象为抛物线，开口向上，对称轴为直线，
当时，有最小值，
∵，
∴当时，，
当时，，
∴当时，有最大值0，
∴的取值范围是，
故答案为：．
【点睛】
10．（2025九年级·浙江杭州·模拟预测）如图，二次函数的图像与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，一次函数的图像经过该二次函数图像上的点及点B，则满足的x的取值范围是 ______________ ．
【答案】或
【分析】先将点的坐标代入二次函数解析式求出m的值，从而确定二次函数的解析式及点C的坐标，再根据抛物线的对称轴及轴对称的性质求出点B的坐标，最后观察函数图象，找出二次函数图像在一次函数图像上方（包括交点）时对应的自变量x的取值范围即可．
【详解】解：∵二次函数的图像经过点，
∴， 解得；抛物线的对称轴为直线；
∴二次函数的解析式为，
令，则，
∴点C的坐标为，
∵抛物线的对称轴为直线，且点B与点C关于对称轴对称，
∴点B的横坐标为，纵坐标为3，
∴点B的坐标为，
由图像可知，当或时，二次函数的图像在一次函数的图像上方或相交，
∴满足的x的取值范围是或．
11．（25-26九年级上·山东青岛·期末）（1）解方程：；
（2）求二次函数的图象与轴的交点的坐标．
【答案】（1）．（2）和
【分析】本题考查了一元二次方程的解法和二次函数与x轴交点的求解，解题的关键是掌握配方法、因式分解法等解方程的方法，以及将函数与x轴交点问题转化为求对应方程的根．
（1）将方程配方，转化为完全平方式，再开方求解；
（2）令，解对应的一元二次方程，所得的根即为交点的横坐标．
【详解】（1）解：
，
，
，
，
．
（2）解：令，则
，
，
，
解得．
∴与轴的交点坐标为和．
12．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段检测）已知二次函数．
(1)当该抛物线过点．
①求该抛物线的解析式；
②当时，求y的范围．
(2)若函数图象上有两个不同的点，，且．求证：．
【答案】(1)①；②
(2)
证明：∵点，，是函数图象上两点，
∴， ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点A，B是图象上不同两点，
∴，
∴．
【分析】本题主要考查了二次函数图像和性质，二次函数与一元二次方程，本题解题关键在于准确理解题意、灵活运用二次函数的性质、学会代数运算能力和逻辑推理能力，以及综合分析能力。
（1）直接将点代入求解即可；
（2）首先把抛物线的解析式转化为了顶点式，然后根据抛物线的开口方向、顶点坐标以及给定的x的取值范围，求出了y的取值范围，
（3）把，代入抛物线表示出，再根据，可得，再根据图象，即可得出结论。
【详解】（1）①解：将代入二次函数的解析式，
∴．
∴．
∴二次函数的解析式．
②解：抛物线顶点式为，
抛物线开口向上，顶点为，
当时，；当时，。
因此，在区间时，y的取值范围为。
（2）略
13．（2025·广东佛山·一模）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，连接，，其中，．
(1)求抛物线的表达式及的长；
(2)点D是线段上一动点，若，求点D的坐标．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）把点、的坐标分别代入得到、的方程组，则解方程组得到抛物线解析式，然后解方程得到点坐标，从而确定的长；
（2）先利用待定系数法求出直线的解析式为，设，再根据三角形面积公式得到，即，然后解方程求出，从而得到点坐标．
【详解】（1）解：把，分别代入得，
解得，
抛物线解析式为；
当时，，
解得，，
，
；
（2）设直线的解析式为，
把，分别代入得，
解得，
直线的解析式为，
设，
，
即，
，
解得，
．
【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，（a，，是常数，）与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
14．（25-26九年级下·河南商丘·阶段检测）数形结合是一种重要的数学思想，在中学有着极为广泛的应用，很多复杂的问题结合图形能够快速直观得到结论．在中学阶段，一元二次函数、一元二次方程和一元二次不等式简称为“三个二次”，它们之间有着密切的联系，其中一元二次函数居于核心地位，利用一元二次函数的图象能够很方便地解决很多一元二次方程和一元二次不等式问题．
【特例感知】
如解不等式，我们构造函数，作出它的图象，易得它与x轴的两个交点分别为和，结合图象易得不等式的解集为或，同时易知函数与x轴交点的横坐标和3为方程的两个根．
【理解运用】
结合上述知识请解决下面的问题：
(1)不等式的解集为 ；
(2)对任意实数b，关于x的一元二次方程恒有两个不等的实数根，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据【特例感知】结合图象解答即可；
（2）根据一元二次方程恒有两个不等的实数根，得到判别式并化简，即，然后令，看成关于的二次函数，结合图象求解即可．
【详解】（1）解：解不等式，我们构造函数，
作出它的图象如图1所示，可知它与x轴的两个交点分别为和，
结合图象可知不等式的解集为；
（2）解：∵对于任意实数，关于的方程恒有两个不等的实数根，
∴方程恒有两个不等实数根对任意的恒成立．
∴对任意的实数恒成立．
令，则有，即．
令作出其函数图象如图2所示，
当时，实数的取值范围为．
15．（25-26八年级下·北京·阶段检测）已知二次函数的图像过点，对称轴为直线．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)结合图像，当时，直接写出的取值范围．
(3)在下面平面直角坐标系中画出该函数的图像．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）根据函数图像上点的坐标特征及二次函数对称轴的定义可得关于、的方程组，求解即可；
（2）先确定当时的值，再结合函数图像写出抛物线在直线下方所对应的的范围即可；
（3）根据（1）所得的二次函数的表达式，利用五点作图法直接画出图像即可．
【详解】（1）解：∵二次函数的图像过点，对称轴为直线，
∴，即，
联立：，
解得：，
∴该二次函数的表达式为；
（2）解：由（1）知：二次函数的表达式为，
当时，得：，
解得：或，
由（3）的图像可知：当或时，抛物线在直线的下方，
∴当时，的取值范围是或；
（3）解：列表如下：
在直角坐标系中描点、连线即可．
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