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第09讲 反比例函数的图象和性质（3大知识点+14大典例+变式训练+过关检测）
典型例题一 判断（画）反比例函数图象
典型例题二 已知反比例函数的图象，判断其解析式
典型例题三 由反比例函数图象的对称性求点的坐标
典型例题四 已知双曲线分布的象限，求参数范围
典型例题五 判断反比例函数的增减性
典型例题六 判断反比例函数图象所在象限
典型例题七 已知反比例函数的增减性求参数
典型例题八 比较反比例函数值或自变量的大小
典型例题九 已知比例系数求特殊图形的面积
典型例题十 根据图形面积求比例系数（解析式）
典型例题十一 一次函数与反比例函数图象综合判断
典型例题十二 一次函数与反比例函数的交点问题
典型例题十三 一次函数与反比例函数的其他综合应用
典型例题十四 反比例函数与几何综合
知识点01 双曲线
定义：反比例函数的图像由两条曲线组成，我们称之为双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限，它们关于原点对称，永远不会与x轴，y轴相交，只是无限靠近两坐标轴.
【即时训练】
1．（24-25九年级上·河北·期末）反比例函数在第一象限的图象如图所示，则的值可能是（　　）
A．10 B．8 C．7 D．6
【答案】A
【分析】根据反比例函数的图象在点和之间即可作出判断．
【详解】解：反比例函数的图象在点和之间
，即
故选A．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，解答本题关键是要结合函数的图象，掌握反比例函数的性质．
2．（2026·湖北·模拟预测）反比例函数的图象位于第一、第三象限，写出一个符合条件的的值是______．
【答案】1（答案不唯一，即可）
【分析】对于反比例函数，当比例系数时，图象位于第一、第三象限，据此列出关于的不等式，求解得到的取值范围，任取范围内一个值即可．
【详解】解：反比例函数的图象位于第一、第三象限，
，
解得，
∴只要取大于的任意实数都符合条件，例如（答案不唯一）．
知识点02 确定反比例函数的关系式
确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式.
　　用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：
　（1）设所求的反比例函数为： ()；
（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程；
（3）解方程求出待定系数的值；
（4）把求得的值代回所设的函数关系式中.
【即时训练】
1．（24-25九年级上·浙江金华·阶段检测）将一次函数的图象向上平移后2个单位经过点，得到的直线解析式为，那么函数的图象向右平移2个单位后，得到的函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据左加右减、上加下减的原则进行解答即可
【详解】∵将函数的图象向右平移2个单位，
∴得到的函数解析式为：，
故选：C
【点睛】本题考查了一次函数图象的平移及反比例函数的图象的平移，熟练掌握平移的规律是解决问题的关键
2．（2025·河南信阳·三模）若反比例函数的图象经过点，则它的解析式是________．
【答案】
【分析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，设反比例函数的解析式为，把代入求出k值即可．
【详解】解：设反比例函数的解析式为，因为函数经过点，
∴，
则它的解析式是．
故答案为：．
知识点03 反比例函数的图象和性质
　　1、反比例函数的图象特征：
反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与轴、轴相交，只是无限靠近两坐标轴.
特别说明：
若点()在反比例函数的图象上，则点()也在此图象上，所以反
比例函数的图象关于原点对称；
在反比例函数(为常数，)中，由于，所以两个分支
都无限接近但永远不能达到轴和轴．
2、画反比例函数的图象的基本步骤：
（1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数；
（2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点；
（3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交；
（4）反比例函数图象的分布是由的符号决定的：当时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当时，两支曲线分别位于第二、四象限内．
3、反比例函数的性质
（1）如图1，当时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，值随值的增大而减小；
　（2）如图2，当时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，值随值的增大而增大；
特别说明：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出的符号.
【即时训练】
1．（24-25九年级上·河北·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分和两种情况分类讨论即可确定正确的选项．
【详解】时，一次函数的图象经过第一、三、四象限，反比例函数的两个分支分别位于第一、三象限，B选项符合；
时，一次函数的图象经过第二、三、四象限，反比例函数的两个分支分别位于第二、四象限，无选项符合．
故选：B．
【点睛】考查了反比例函数和正比例函数的性质，解题的关键是能够分类讨论，难度不大．
2．（24-25八年级下·山西临汾·阶段检测）图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节电阻来控制电流实现灯光亮度的变化．电流（单位：）与电阻（单位：）之间成反比例函数关系，其图象如图2所示．当时，该台灯的电阻是___________．
【答案】
【分析】本题主要考查反比例函数的应用、用待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的图象与性质．要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想是解答本题的关键．设电流（A）与电阻之间的函数关系，根据待定系数法求得，将代入函数关系式中，求出即可．
【详解】解：由图象可知，电流（A）与电阻之间满足反比例函数关系，
设电流（A）与电阻之间的函数关系为，
点在函数的图象上，
，
解得：，
电流（A）与电阻之间的函数关系为，
当时，，
．
故答案为：．
【典型例题一 判断（画）反比例函数图象】
【例1】（24-25九年级上·辽宁大连·期末）下列各点在反比例函数的图象上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，由反比例函数解析式可得，据此逐项判断即可求解，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
、∵，
∴点在反比例函数的图象上，该选项符合题意；
、∵，
∴点不在反比例函数的图象上，该选项不合题意；
、∵，
点不在反比例函数的图象上，该选项不合题意；
、∵，
∴点不在反比例函数的图象上，该选项不合题意；
故选：．
【例2】（24-25八年级下·福建泉州·期中）反比例函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．根据题意可直接进行求解．
【详解】解：∵反比例函数中，
∴图象分布在第二、四象限，即：

故选：C．
【例3】（2025·重庆·模拟预测）若点，都在反比例函数的图象上，则______（填、或）．
【答案】
【分析】本题考查的知识点是反比例函数的图像与性质，解题关键是熟练掌握反比例函数图像与性质．
结合反比例函数的图像与性质即可求解．
【详解】解：反比例函数中，
该函数图象经过二、四象限，且在二、四象限中均有随着的增大而增大，
，，
．
故答案为：．
1．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期末）经过实验获得两个变量的一组对应值如下表：
x 1 2 3 4 5 6
y 6 2.9 2 1.5 1.2 1
(1)在如图的直角坐标系中，画出相应函数的图象．
(2)求y关于x的函数表达式．
(3)当时，求y的取值范围．
【答案】(1)画图见解析
(2)
(3)
【分析】（1）利用描点法即可解决问题；
（2）由图象可知，y近似的看作是x的反比例函数，设，利用待定系数法即可解决问题；
（3）把代入解析式中，求出y即可，再结合函数图象可得此时图象在x轴的上方，在直线的下方，从而可得答案．
【详解】（1）解：利用描点法画出图形即可．
（2）由图象可知，y可近似看作是x的反比例函数，
设 (k≠0)， 把（1，6）代入得到，k=6，
∴y关于x的函数解析式为．
（3）把代入，得，
∴结合函数图象可得：当时，y的取值范围为：．
【点睛】本题考查描点法画函数图象、反比例函数的性质、待定系数法等知识，解题的关键掌握描点法作图，学会利用图象得出函数的性质解决问题，属于中考常考题型．
2．（24-25九年级上·湖南娄底·期末）一次函数与反比例函数的图象交于点，．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)在所给的平面直角坐标系中画出这两个函数的图象；
(3)直接写出不等式的解集．
【答案】(1)反比例函数解析式为，一次函数解析式为
(2)见解析
(3)或
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，画函数图象：
（1）先把点A坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，再把点B坐标代入反比例函数解析式求出点B坐标，最后把A、B坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可；
（2）根据（1）所求画出对应的函数解析式即可；
（3）利用函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方或二者交点处时，自变量的取值范围即可得到答案．
【详解】（1）解：把代入中得：，
解得，
∴反比例函数解析式为，
把代入中得：，解得，
∴，
把、代入中得：，
∴，
∴一次函数解析式为；
（2）解；如图所示，即为所求；
（3）解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方或二者交点处时，自变量的取值范围为或，
∴不等式的解集为或．
3．（24-25九年级上·山西大同·阶段检测）已知函数
(1)写出自变量x的取值范围
(2)①列表
… 1 2 3 4 …
… 1 0 10 6 4 3 …
②描点：在下面给出的直角坐标系中补全对应的各点
③连线（将图中描出的各点用平滑的曲线连接起来，得到函数的图象）
(3)观察函数的图象，回答下列问题
①图象与x轴有 个交点，
其对应的方程的实数解是 ．
②函数图象的对称性是（ ）
A．既是轴对称图形，又是中心对称图形
B．只是轴对称图形
C．只是中心对称图形
D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形
(4)将函数的图象 可以得到此函数的图象．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)①1，；②A
(4)向上平移2个单位
【分析】本题考查了本题反比例函数的图象与性质．
（1）x在分母，那么x不能为0；
（2）根据所给的自变量的值得到相应的函数值，进而描点，连线即可得到相应图形；
（3）①观察所得图象看有几个交点与计算出对应的方程实数根即可；
②由图象可得两个函数图象只关于原点成中心对称；
（4）根据图象判断函数与的图象之间的关系即可．
【详解】（1）解：自变量x的取值范围：；
故答案为：；
（2）解：描点，连线，如图所示；
；
（3）解：①观察图象，图象与x轴有1个交点，
所以对应的方程实数根是，
②函数图象的对称性是：既是轴对称图形，又是中心对称图形，
故选项A正确，
故答案为：①1，；②A；
（4）解：将函数的图象向上平移2个单位就可以得到函数的图象．
故答案为：向上平移2个单位．
【典型例题二 已知反比例函数的图象，判断其解析式】
【例1】（2025·广东广州·模拟预测）点在函数（ ）的图像上
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】该题主要考查了函数的性质，掌握点坐标代入函数解析式成立，则点在函数图象上是解题的关键．
将点分别代入解析式即可求解；
【详解】解：将点代入，等式不成立，故该选项不符合题意；
将点代入，等式不成立，故该选项不符合题意；
将点代入，等式成立，故该选项符合题意；
将点代入，等式不成立，故该选项不符合题意；
故选：C．
【例2】 （25-26八年级下·河南南阳·阶段检测）反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（ ）
A．6 B．10 C． D．
【答案】A
【分析】根据，，且，即可作答．
【详解】解：根据反比例函数的图象性质可知，，
结合图象得，
只有A选项在此范围内．
【例3】（24-25八年级下·山西临汾·阶段检测）图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节电阻来控制电流实现灯光亮度的变化．电流（单位：）与电阻（单位：）之间成反比例函数关系，其图象如图2所示．当时，该台灯的电阻是___________．
【答案】
【分析】本题主要考查反比例函数的应用、用待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的图象与性质．要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想是解答本题的关键．设电流（A）与电阻之间的函数关系，根据待定系数法求得，将代入函数关系式中，求出即可．
【详解】解：由图象可知，电流（A）与电阻之间满足反比例函数关系，
设电流（A）与电阻之间的函数关系为，
点在函数的图象上，
，
解得：，
电流（A）与电阻之间的函数关系为，
当时，，
．
故答案为：．
1．（24-25九年级上·湖南益阳·阶段检测）已知反比例函数的图象如图所示，试回答下列问题：
(1)求这个函数的表达式；
(2)你认为点，是否在这个函数的图象上，请说明理由．
【答案】(1)这个函数的表达式为；
(2)不在这个函数的图象上，理由见解析．
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，待定系数法求解析式，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．
（）把点代入即可求解；
（）当时，即可判断点是否在这个函数的图象上．
【详解】（1）解：根据图象可知，反比例函数的图象过点，
∴，
∴这个函数的表达式为；
（2）解：不在这个函数的图象上，理由，
当时，，
∴点不在这个函数的图象上．
2．（2025·河北唐山·三模）有三张正面分别写有数字-2，-1，1的卡片，它们的背面完全相同，将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面的数字作为的值，放回卡片洗匀，再从三张卡片中随机抽取一张，以其正面的数字作为的值，两次结果记为(，)．
（1）用树状图或列表法表示(，)所有可能出现的结果；
（2）求使代数式与和的值为1的(，)出现的概率；
（3）求在图象上的点(，)出现的概率．
【答案】（1）(-2，-2)，(-2，-1)，(-2，1)，(-1，-2)，(-1，-1)，(-1，1)，(1，-2)，(1，-1)，(1，1)，见解析；（2）；（3）
【分析】（1）首先根据题意列出表格（或树状图），然后由表格（或树状图）即可求得所有等可能的结果；
（2）化简代数式+得，由（1）可得使结果为1的有2种情况，然后由概率公式求得答案；
（3）先判断有2种情况，然后由概率公式求得答案．
【详解】解：（1）用列表法表示所有可能出现的结果如下：
-2 -1 1
-2 (-2，-2) (-2，-1) (-2，1)
-1 (-1，-2) (-1，-1) (-1，1)
1 (1，-2) (1，-1) (1，1)
或树状图：
共有（-2，-2），（-2，-1），（-2，1），（-1，-2），（-1，-1），（-1，1），（1，-2）（1，-1），（1，1）9种；
（2）所有可能出现的等可能结果共9种，其中使
，
和的值为1的有：（-1，-2），（-2，-1），
所以，满足条件的概率；
（3）在图象上的点有（1，-1），（-1，1），
所以，满足条件的概率.
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
3．（24-25九年级上·安徽·期中）如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作为的整数）．反比例函数的图象为曲线．

(1)若过点，求反比例函数的解析式；
(2)若过点，则它必定还过另一点，求的坐标；
(3)若曲线使得这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，求出所有满足条件的整数．
【答案】(1)
(2)
(3)，，，，，，．
【分析】（1）由题意可求这些点的坐标，将点的坐标代入解析式可求解；
（2）将点的坐标代入解析式可求的值，将点代入可求解；
（3）由曲线使得这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，可得，，，与，，，在曲线的两侧，即可求解．
【详解】（1）解：每个台阶的高和宽分别是1和2，
，，，，，，，，
过点，
，
反比例函数的解析式为；
（2）过点，
，
反比例函数解析式为，
当时，，
在反比例函数图象上，
的坐标为；
（3）若曲线过点，时，，
若曲线过点，时，，
若曲线过点，时，，
若曲线过点，时，，
曲线使得这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，
，
所有满足条件的整数，，，，，，．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，求出各点的坐标是解决问题的关键．
【典型例题三 由反比例函数图象的对称性求点的坐标】
【例1】（2025·安徽滁州·一模）已知正比例函数与反比例函数的图象交于点，则这个函数图象的另一个交点为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用正比例函数与反比例函数的图象都关于原点对称，即可求解．
【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象都关于原点对称，两函数图象交于点，
∴这个函数图象的另一个交点为，
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数图象的性质，掌握反比例函数与正比例函数图象的性质是解题的关键．
【例2】（24-25九年级上·陕西渭南·阶段检测）如图，反比例函数的图象与经过原点的直线相交于、两点，点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查反比例函数图象的中心对称性，反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，由此可解．
【详解】解：反比例函数的图象与经过原点的直线相交于、两点，
、两点关于原点对称，
点的坐标为，
点的坐标为．
故选D．
【例3】（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，直线与双曲线交于两点，则的值为_______．
【答案】-4
【分析】根据反比例函数的对称性得到A、B两点坐标的关系和反比例函数图象上点的坐标特点求得，，再代入计算即可．
【详解】解：∵直线与双曲线交于，两点，
∴，，，，
∴，，
∴.
故答案是：-4．
【点睛】考查了反比例函数的性质，代数式求值，反比例函数是中心对称图形，对称中心是原点，则过原点的直线与双曲线的两个交点关于原点对称，理解这一性质是关键．
1．（2025·浙江杭州·一模）在直角坐标系内，反比例函数的图象过点．
(1)若，求证：．
(2)若，，，求该函数的表达式．
【答案】(1)0
(2)
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标满足解析式是解题的关键．
（1）根据题意得出，，然后由，即可证得．
（2）由，，则，根据图象上点的坐标特征得出，，即可得到，，根据，得出，，即可得出，，进而求得，，代入即可求得的值．
【详解】（1）证明：反比例函数的图象过点．
，，
，
．
（2）解：，，
，
，，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
该函数的表达式为．
2．（2025·广东湛江·一模）如图，反比例函数与一次函数的图象相交于，两点．点C是反比例函数第一象限图象上的一个动点，过点C作x轴的平行线交反比例函数的图象上一点D，过点C作轴于点E．
(1)根据图象的对称性，可知A点坐标为　 　，B点坐标为　 　；
(2)求反比例函数解析式；
(3)求的面积．
【答案】(1),
(2)
(3)5
【分析】（1）根据题意得到关于原点对称即可得到答案；
（2）把代入即可得到函数解析式；
（3）连接、，得到，求出即可得到答案．
【详解】（1）解：反比例函数与一次函数的图象相交于，两点．
关于原点对称，
，
点坐标为，B点坐标为，
故答案为,；
（2）解：把代入得，，
反比例函数解析式为；
（3）解：连接、，
轴，
，
，
的面积为5．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数与一次函数的性质，待定系数法求反比例解析式是解题的关键．
3．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数相交于点和点，过点作轴，过点作轴，与相交于点．
(1)求的面积；
(2)若点在正比例函数的图像上，点在反比例函数的图像上，且，试判断与的大小关系，并通过计算进行证明．
【答案】(1)4
(2)，证明见解析
【分析】（1）根据比例函数与反比例函数相交于点和点，将点A代入正比例函数，求得的坐标，进而根据中心对称求得B的坐标，根据题意求得点C的坐标，即可求解．
（2）将点M，N分别代入y=-2x和，可得m=-2a，n=，再比较m-n与0的大小即可得出答案．
【详解】（1）解：∵比例函数与反比例函数相交于点和点，
∴
比例函数与反比例函数的图象关于原点对称，
∵AC⊥x轴，BC⊥y轴，
∴点C的坐标为（-1，-2），
∴AC=4，BC=2，
∴△ABC的面积为×2×4=4．
（2）∵点M（a，m）在正比例函数y=-2x的图象上，点N（a，n）在反比例函数的图象上，
∴
∴
∵0＜a＜1，
∴0＜a2＜1，
∴a2-1＜0，则-2（a2-1）＞0，
∴
即m＞n．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数综合，分式的计算，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象与性质是解答本题的关键．
【典型例题四 已知双曲线分布的象限，求参数范围】
【例1】（25-26八年级下·上海普陀·期末）如果反比例函数的图象位于第二、四象限，那么k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据反比例函数图象所在象限判断比例系数的符号，解不等式即可得到k的取值范围．
【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限，
∴比例系数，
解得．
【例2】（25-26九年级上·贵州六盘水·期末）已知反比例函数的图象如图所示，m的值可以是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数的性质．反比例函数，当时，图象在第一、三象限．在每个象限，y随着x的增大而减小，当时，图象在第二、四象限．在每个象限，y随着x的增大而增大．根据反比例函数的性质得，然后解不等式即可．
【详解】解：由函数图象知，反比例函数的图象在第一、三象限，
则，
解得：．
观察四个选项，只有D选项符合题意．
故选：D．
【例3】（2026·陕西咸阳·一模）反比例函数（k为常数，）的图象与点的位置关系如图所示，已知点的坐标为，则的值可能是________．（写出一个符合题意的数即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据函数图象判定出参数的取值范围即可．
【详解】解：∵函数图象位于第二象限，
∴；
当时，，
解得，
∴可取，（答案不唯一）．
1．（24-25九年级上·北京·期中）已知反比例函数的图象位于第一、三象限．
(1)求的取值范围；
(2)若该反比例函数的图象与正比例函数的图象的一个交点为，求的值．
(3)当时，直接写出的取值范围．
【答案】(1)；
(2)；
(3)的取值范围为或．
【分析】（1）根据反比例函数的图象位于第一、三象限，即，列不等式求解，即可解题；
（2）先利用正比例函数求出交点，再将代入反比例函数求解，即可解题；
（3）根据反比例函数与正比例函数的交点，再根据交点情况即可得到的取值范围．
【详解】（1）解：∵反比例函数的图象位于第一、三象限，
∴，
解得，
∴的取值范围为；
（2）解：∵正比例函数的图象过点，
∴，
反比例函数与正比例函数交点为，
∴，
解得；
（3）解：由，则，解得：，
∴反比例函数与正比例函数的交点为，，
∴当时，的取值范围为或．
【点睛】本题考查反比例函数的图象性质，解一元一次不等式，一次函数与反比例函数交点情况，以及根据一次函数与反比例函数交点情况求不等式解集，解题的关键在于熟练掌握相关知识并灵活运用．
2．（24-25八年级下·吉林长春·阶段检测）反比例函数的图象的一分支如图所示．
(1)求m的取值范围．
(2)若该函数的图象与正比例函数的图象在第一象限的交点为，求的值．
【答案】(1)
(2)52
【分析】（1）由反比例函数的图象的一分支在第一象限，得比例系数一定大于0，即可求得m的范围；
（2）首先，把点A代入中得n的值，再将点A代入得m的值，最后，代入可求得的值．
【详解】（1）解：∵反比例函数的图象的一分支在第一象限，
∴，
解得；
（2）解：根据题意，把点代入，得；
∴点，
把点代入，得，
解得，
∴．
3．（24-25九年级上·陕西西安·期末）已知一次函数与反比例函数图像交于，．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)观察图像，请直接写出不等式的解集．
【答案】(1)
(2)或者
【分析】（1）先将交点、代入反比例函数求得的值，进而求出函数解析式；
（2）根据一次函数和反比例函数的图像可以求得一次函数值小于反比例函数值的解集．
【详解】（1）解：由题意可知：反比例函数经过，，
∴
∴，
∴，
∴，
∴反比例函数的解析式为：，
故答案为：；
（2）解：∵反比例函数的第二象限的图像可知，的取值范围为：，
反比例函数的第四象限的图像可知， 的取值范围：，
∴不等式的解集：或者．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的图像性质，灵活运用反比例函数的性质是解题的关键．
【典型例题五 判断反比例函数的增减性】
【例1】（25-26九年级上·四川巴中·期末）关于反比例函数，下列说法错误的是（ ）
A．随的增大而减小 B．图象位于第一、三象限
C．图象与坐标轴不相交 D．当时，
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数的性质．
反比例函数，，图象位于第一、三象限，每个象限内，y随x的增大而减小，据此逐一判断即可．
【详解】解：∵，
∴的图象位于第一、三象限内，图象与坐标轴不相交，每个象限内，y随x的增大而减小，当时，，故B、C、D正确，A错误，
故选：A．
【例2】（25-26九年级上·河北邯郸·期末）反比例函数的图象如图所示，随着值的增大，值（ ）．
A．减小 B．增大 C．不变 D．先增大后减小
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数的性质．对于反比例函数，当时，在每一个象限内，函数值随着自变量的增大而减小；当时，在每一个象限内，函数值随着自变量的增大而增大．
根据反比例函数的性质：当时，在每一个象限内，函数值随着自变量的增大而减小即可解答．
【详解】解：由图可知，图象在第三象限，
∴，
∴函数值随着自变量的增大而减小．
故选：A．
【例3】（24-25九年级上·河北唐山·期末）若点，，都在反比例函数的图象上，则用“<”连结、、的式子为______．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数图象上的坐标特点，掌握反比例函数的增减性是解题的关键．
由反比例函数，可知函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，且y随x增加而增加，由此判断大小
【详解】中
函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，且y随x增加而增加，
，
，在第二象限，且
在第四象限 且
故答案为：
1．（2025九年级上·湖北武汉·专题练习）已知反比例函数经过点和．
(1)求m和n的值；
(2)若图像上有两点、，且试比较和的大小．
【答案】(1)，
(2)当或时，，当时，
【分析】本题考查了反比例函数．熟练掌握待定系数法求函数解析式，反比例函数的图象和性质，反比例函数的增减性，是解题的关键．
（1）将点和代入反比例函数，即可求m和n的值；
（2）根据点、，且．分或，比较和的大小．
【详解】（1）解：将点和代入反比例函数，
得，
解得，
答：m和n的值分别为：、；
（2）解：∵，
∴反比例函数解析式为：，
∵点、也在比反比例函数的图象上，且，
∴当或时，
点、同在第三象限或第一象限，
∴；
当时，
点在第三象限，点 在第一象限，
∴．
2．（24-25八年级下·河南洛阳·期末）参照学习函数的过程与方法，探究函数的图象与性质．因为，所以我们对函数进行探究．
… 1 2 3 4 …
… 1 2 4 …
… 3 5 …
(1)与的几组对应值如表：其中 ， ．
(2)在平面直角坐标系中，描出以上表中各组对应值为坐标的点，画出函数的图象．
(3)根据所画图象，回答下列问题：
①当时，随的增大而 （填“增大”或“减小”）；
②函数的图象是由的图象向 平移 个单位长度得到的．
(4)进一步探究函数与的图象，结合函数、不等式、方程三者之间的关系，解决下列问题．
①方程有 个解；
②不等式的解集是 ．
【答案】(1)2，0
(2)画图见解析；
(3)①增大；②上，1
(4)①2；②或
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的图象，平移的性质等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
（1）把和分别代入，即可求得m、n的值；
（2）根据表格数据，绘制函数的图象即可；
（3）①利用函数图象的增减性即可得到答案；②结合表格信息，利用平移的性质即可得到答案；
（4）①先画出函数的图象，观察图象即可解决问题．②利用即可解决问题．
【详解】（1）解：把和分别代入，
∴，；
（2）解：先描点，再画图如下：
（3）解：①当时，随的增大而增大；
②函数的图象是由的图象向上平移1个单位长度得到的．
（4）解：的图象如图所示，
∴①由图象可得方程有个解；
②由图象可得的两个解为：
，，经检验符合题意；
∴函数图象的两个交点的横坐标为，，
∴不等式的解集是或．
3．（2025九年级下·四川达州·专题练习）九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质，其探究过程如下：
(1)绘制函数图象，如图．
列表：下表是与的几组对应值，其中 ；
描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出了各点；
连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象．请你把图象补充完整；
(2)通过观察图，写出该函数的一条性质： ；
(3)①观察发现：如图．若直线交函数的图象于两点，连接，过点作交轴于．则 ；
②探究思考：将①中“直线”改为“直线”，其他条件不变，则 ；
③类比猜想：若直线交函数 ()的图象于两点，连接，过点作交轴于，则 ．
【答案】(1)，画图见解析
(2)当时，随的增大而增大，当时，随 的增大而减小（答案不唯一）
(3)①；②；③
【分析】（）根据对称性即可求解；
（）根据函数的图象写出函数性质即可；
（）①由题意可得四边形是平行 四边形，两点关于轴对称，得到，即得，据此即可求解；②同理①即可求解；③由①②即可求解；
本题考查了反比例函数的应用，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】（1）解：由表格可知，函数的图象关于轴对称，
∴与对应的函数值相等，
∴，
故答案为：；
把图象补充完整如下：
（2）解：该函数的性质：当时，随的增大而增大，当时，随 的增大而减小，
故答案为：当时，随的增大而增大，当时，随 的增大而减小；
（3）解：①如图，由题意可得四边形是平行 四边形， 两点关于轴对称，
∴,
∴，
故答案为：；
②同理①可得，，
故答案为： ；
③由①②可得，，
故答案为：．
【典型例题六 判断反比例函数图象所在象限】
【例1】（24-25九年级下·广东广州·期中）矩形面积为20，则长y与宽x的函数关系图象是（ ）
A．第一象限的双曲线 B．第一象限的直线
C．第二象限的双曲线 D．全体象限的直线
【答案】A
【分析】根据矩形面积公式得出y与x的反比例关系，再结合反比例函数的图象性质判断即可．
【详解】解：∵ 矩形面积=长×宽，
∴ ，
此为反比例函数，图象为双曲线．
又∵ （长和宽均为正数），
∴ 函数图象仅位于第一象限．
故选：A．
【例2】（2025·浙江杭州·一模）已知某函数的函数值y和自变量x的部分对应值如表：
x
y b
则这个函数的图象可能是（ ）
B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的图象和性质，熟练掌握一次函数，反比例函数的图象和性质是解题的关键；利用表格中x的增加值和y的减小值的特点，即可判断选项．
【详解】解：根据表格可知，x的值每增加1，y的值就减少2，则可判断是一次函数，且y随x的增大而减小，
故选：．
【例3】（2025·全国·模拟预测）反比例函数26.2反比例函数的图象和性质）填空：
（1）反比例函数的图象在第________象限．
（2）反比例函数的图象如图所示，则k________0；在图象的每一支上，y随x的增大而_______．
【答案】 一、三 < 增大
【分析】（1）根据反比例函数图象的性质：，图象经过一、三象限即可得；
（2）根据已知函数图象可得：图象经过二、四象限，依据反比例函数图象的性质可得：，且在图象的每一支上，y随x的增大而减小．
【详解】（1），，
∴图像在第一、三象限，
故①答案为：一、三；
（2）由图象可得，图像经过二、四象限，
∴，
∴在图象的每一支上，y随x的增大而减小，
故②答案为：<；
③答案为：减小．
【点睛】题目主要考查反比例函数图象的性质，熟练掌握其性质是解题关键．
1．（25-26八年级下·上海崇明·期末）已知某反比例函数的图像经过点．
(1)这个函数的图像位于哪些象限？
(2)若、也在这个函数的图像上，求、的值．
【答案】(1)这个函数的图像位于二、四象限；
(2)．
【分析】（1）把代入反比例函数解析式求出k的值，即可得到答案；
（2）反比例函数表达式为：．把、代入进行解答即可．
【详解】（1）解：设反比例函数的表达式为：
∵反比例函数的图像经过点，
∴
∴这个函数的图像位于二、四象限；
（2）解：∵
∴反比例函数表达式为：．
把、代入上式，
得
2．（25-26八年级下·上海宝山·期末）已知一次函数与反比例函数的图像交于点．
(1)求和的值；
(2)判断反比例函数的图像位于哪些象限？
(3)在平面直角坐标系中，求直线上位于轴上方的所有点的横坐标的取值范围．
【答案】(1)；
(2)第一、三象限
(3)
【分析】（1）利用待定系数法代入函数解析式求解即可；
（2）根据反比例函数的性质即可求解；
（3）根据题意列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：根据题意点既在一次函数也在反比例的图像上，
∴，
解得；
，
解得；
（2）由（1）可得，
∴反比例函数的图像位于第一、三象限；
（3）根据题意得：，
解得．
∴所有这样的点的横坐标的取值范围是．
3．（24-25八年级下·北京昌平·期中）问题：探究函数的图象与性质,小华根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小华的探究过程，请补充完整：
(1)在函数中，自变量x取值范围是_______；
(2)下表是y与x的几组对应m=_______；
x … -6 -3 -2 -1 1 2 3 6 …
y … -1 -2 -3 -6 6 3 m 1 …
(3)如图，在平面直角坐标系xOy中，他通过列表描点画出了函数图象的一部分，请结合自变量的取值范围，补出函数图象的另一部分；
(4)进一步探究发现，该函数图象有一条性质是：在第三象限的部分，y随x的增大而_______；结合函数图象，写出该函数图象的另外一条性质_______．
【答案】(1)
(2)2
(3)见解析
(4)减小，在第一象限的部分，y随x的增大而减小或图象无限接近x轴，但永远不能到达x轴，或图象与x轴无交点，或图象无限接近直线y轴，但永远与y轴无交点等．
【分析】（1）由反比例函数的性质，即可得到答案；
（2）直接把代入解析式，即可得到答案；
（3）根据所列表格，进行描点、连线，即可得到答案；
（4）结合函数图像，即可得到答案．
【详解】（1）解：∵，
∴自变量x取值范围是；
故答案为：；
（2）解：根据题意，
当时，；
∴；
故答案为：2;
（3）解：如图：
（4）解：在第三象限的部分，y随x的增大而减小；
在第一象限的部分，y随x的增大而减小或图象无限接近x轴，但永远不能到达x轴；
或图象与x轴无交点，或图象无限接近直线y轴，但永远与y轴无交点等；
【点睛】本题考查了反比例函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质进行判断．
【典型例题七 已知反比例函数的增减性求参数】
【例1】（2026·黑龙江哈尔滨·二模）在反比例函数图象的任意一支上，都随的增大而减小，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查反比例函数的性质，利用反比例函数的增减性得到系数的取值范围，对于反比例函数，当时，图象任意一支上都随的增大而减小，进行解答；即可．
【详解】∵ 反比例函数图象的任意一支上，都随的增大而减小，
∴ ，
解得 ，
上述四个选项中只有，符合条件．
【例2】（24-25九年级上·河北保定·期末）已知点，在反比例函数的图象上，且当时，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接利用反比例函数的图象与性质求解．
【详解】解：∵当时，，
∴反比例函数的图象经过第四象限，在该象限内，y随x的增大而增大，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，反比例函数，当时，图象经过一、三象限，当时，图象经过二、四象限．
【例3】（24-25八年级下·吉林长春·期末）已知点，在反比例函数 (k是常数)的图象上，当时，，则k的取值范围是_______________ ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数的性质，由题意可得，结合得出反比例函数图象分布在第一、三象限，即可得解，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键．
【详解】解：∵点，在反比例函数 (k是常数)的图象上，且，
∴，
∵，
∴反比例函数图象分布在第一、三象限，
∴，
故答案为：．
1．（25-26九年级上·山东·课后作业）已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式．
(2)请直接写出当时，的取值范围．
(3)设，当时，；当时，，方方说：“一定小于”．你认为方方的说法正确吗？为什么？
【答案】(1)，；
(2)当时，或；
(3)方方的说法错误，理由见解析．
【分析】（）根据一次函数过点代入求出，可得点坐标和一次函数解析式，再代入反比例函数解析式即可；
（）根据两个函数图象的交点，可直接得到时，的取值范围；
（）根据反比例函数的增减性进行比较即可；
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，正确求出函数解析式是解题的关键．
【详解】（1）解：一次函数的图象过点，
，
解得，
∴，
一次函数的关系式为
∵在，
．
，
反比例函数的表达式；
（2）解：∵点在上，
，
，
，
与均经过一三象限，交于，，
当时，或；
（3）方方的说法错误，理由如下：
，图象分布在一三象限，在每个象限内，随的增大而减小，
当时，，即，
当时，，即，
方方的说法错误．
2．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）已知是的反比例函数，且当时，．
(1)直接写出函数与之间的关系式为 ；
(2)借助函数图像，求当时，的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了反比例函数的图像与性质，解题的关键是掌握反比例函数的图像与性质．
（1）设函数与之间的关系式为，根据当时，，求出，即可求解；
（2）画出反比例函数得到图像，结合图像分析即可求解．
【详解】（1）解：设函数与之间的关系式为，
设函数与之间的关系式为，
，
函数与之间的关系式为，
故答案为：；
（2）当时，，当时，，
根据函数图像可得：当时，随的增大而增大，
当时，的取值范围为．
3．（25-26九年级上·广东东莞·期末）图1为某厂家设计的一款亮度可调的台灯，图2为对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过改变滑动变阻器的电阻来调节亮度，电流I与总电阻R成反比例，其中，已知，实验测得当时，．
(1)求I关于R的函数表达式．
(2)经测试，当电流在之间（包含临界值）时，台灯亮度才能满足正常的阅读需求．那么，为了保证正常阅读，求滑动变阻器接入电路的电阻的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了已知反比例函数的增减性求参数，求反比例函数解析式，实际问题与反比例函数等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解．
（1）设函数表达式为 ，先求得，再结合，求出I关于R的函数表达式；
（2）先得出，再得出，然后分别求出当与时的值，从而可分别求得的值，结合反比例函数的增减求解即可．
【详解】（1）解：设函数表达式为 ，
∵，，
∴，
∵，
∴ ，
解得：，
∴I关于R的函数表达式为；
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
当时，，
∴，
当时，，
∴，
∵，
∴随的增大而减小，
∴．
【典型例题八 比较反比例函数值或自变量的大小】
【例1】（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）已知点在反比例函数的图像上，则 与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【分析】根据反比例函数的增减性求解即可．
【详解】解：∵点在反比例函数的图像上，
∴点在反比例函数第二象限的双曲线上，且y随x的增大而增大，
∵，
∴．
【例2】（2026·湖北孝感·三模）如图，反比例函数的图象经过点，当时，x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】反比例函数图象在点上方部分对应的的取值范围，即为时，x的取值范围．
【详解】解：由图可得，当时，x的取值范围是．
【例3】（25-26八年级下·河南洛阳·期中）已知反比例函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系为__________．（用“>”连接）
【答案】
【分析】先判断反比例函数比例系数的符号，再根据反比例函数的性质，判断三个点所在的象限，结合每一象限内函数的增减性比较函数值的大小．
【详解】解：反比例函数中，，
又，
，
，
函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大．
，，三点在函数图象上，
，在第二象限，点在第四象限，
，
即．
1．（24-25九年级下·贵州六盘水·阶段检测）在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)已知点，，都在该反比例函数图象上，请把a，b，c按从小到大的顺序进行排列．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数表达式，反比例函数图象上点的特征，掌握待定系数法是解题的关键．
（1）将点代入，求得k的值，即可求出反比例函数表达式；
（2）将点代入函数中，求出a，b，c的值进行比较．
【详解】（1）解：将点代入，
得：，
解得，
∴；
（2）解：∵点，，都在图象上，
∴，
∴．
2．（2025·甘肃·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，与y轴相交于点C．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)若点D与点C关于x轴对称，求的面积；
(3)若、是反比例函数上的两点，当时，比较与的大小关系．
【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数解析式为
(2)3
(3)
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式和反比例函数的性质．
（1）把B点坐标代入得，则反比例函数解析式为，再利用反比例函数解析式确定A点坐标；然后利用待定系数法求出一次函数解析式；
（2）利用一次函数解析式确定，求出,根据三角形面积公式进行计算即可；
（3）根据反比例函数的性质求解．
【详解】（1）解：把代入得；
∴反比例函数解析式为，
把代入得，解得；
∴，
把，分别代入得，
，
解得，
∴一次函数解析式为；
（2）解：当时，，则，
∵点D与点C关于x轴对称，
∴,
∴；
（3）解：根据图象知，当时，．
3．（24-25九年级上·河北唐山·阶段检测）已知点在反比例函数的图象上．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)直接写出点A关于原点的对称点的坐标，并判断点是否在该反比例函数的图象上；
(3)设过点A和的直线为，直接写出的解集；
(4)若点在反比例函数的图象上，且，则与0的大小关系为_______；
(5)若点是函数图象上的点．
①当时，连接，求的面积；
②若点和点分别位于函数图象的两侧，直接写出m的取值范围．
【答案】(1)
(2)，点在该反比例函数的图象上；
(3)或；
(4)
(5)①；②
【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质、反比例函数和一次函数的交点问题等知识．
（1）把点代入反比例函数解析式求出k的值即可；
（2）关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，即可写出点A关于原点的对称点的坐标，再把的横坐标代入求出y的值，即可作出判断；
（3）先求出直线为，根据直线和反比例函数图象的交点坐标和位置关系即可求出答案；
（4）根据反比例函数图象的性质即可写出答案；
（5）①求出点，得到，即可求出答案；②把代入得，把代入得，由点和点分别位于函数图象的两侧，即可得到m的取值范围．
【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上．
∴，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
（2）点关于原点的对称点，
当时，，
∴点在该反比例函数的图象上；
（3）设过点A和的直线为，
则， 解得，
∴直线为，
则不等式，即的解集为或；
（4）∵，，
∴反比例函数图象分别为一、三象限，在每个象限内y随着x的增大而减小，
∴当时，，
故答案为：
（5）①∵点是函数图象上的点．
∴，
∴点，
∵，
∴，
∴的面积为；
②把代入得到，
解得，
把代入得到，
解得，
∵点和点分别位于函数图象的两侧，
∴
【典型例题九 已知比例系数求特殊图形的面积】
【例1】（24-25九年级上·江西新余·期末）如图，点A在双曲线上，点在双曲线上，且轴，点、在轴上，若四边形为长方形，则它的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】延长交y轴于点M，根据轴，四边形为长方形，结合反比例函数k的几何意义即可得到答案；
【详解】解：延长交y轴于点M，
∵点A在双曲线上，点在双曲线上，轴，四边形为长方形，
∴，，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义，解题的关键是熟练掌握过反比例函数上一点作坐标轴垂线组成的四边形面积为k．
【例2】（24-25九年级上·山东泰安·期末）如图，A、B两点在双曲线上，分别经过A、B两点向两坐标轴作垂线段，已知，则（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【分析】根据比例系数的几何意义得到，由，得，然后计算．
【详解】解：由，得，
而，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了比例系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．
【例3】（25-26九年级上·江西新余·期末）如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，作轴于点，连接，则的面积为_____．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．先判断四边形是矩形，得出，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义求解即可．
【详解】解∶∵轴， 轴，轴轴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵点A在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
故答案为：4
1．（25-26八年级下·上海徐汇·期末）如图，点 是反比例函数的图象上一点，过点作轴交反比例函数的图像于点．点是轴上任意一点，连接 、．
(1)如果点的横坐标为，求的面积；
(2)如果点是反比例函数的图像上任意一点，那么的面积会发生改变吗？给出你的判断并通过计算说明理由．
【答案】(1)
(2)解：不会，理由如下：
如图，连接、，设与轴的交点为，
∵轴，
∴，轴，
由反比例函数的几何意义可知，
，，
∴为定值．
【分析】（1）先求出点、的坐标，再求出的面积即可；
（2）连接、，设与轴的交点为，由反比例函数的几何意义可知，，由等积变形可得为定值．
【详解】（1）解：将代入，得，
∴点的坐标为，
∵轴，
∴，
将代入，得，
∴点的坐标为，
∴，
∵点是轴上任意一点，
∴点到直线的距离为，
∴；
（2）略
2．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在反比例函数的图象上有，，，…，等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2026．分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，…，，．
(1)当时，______；
(2)当时，______；
(3)当时，______；
(4)当时，______．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查了反比例函数k的几何意义，熟练掌握反比例函数的图象性质是解题的关键．将面积为，，…，的矩形向左平移到面积为的矩形的下方，然后再利用求解即可．
【详解】（1）解：，，，…，的横坐标依次为1，2，3，…，2026，
阴影矩形的一边长都为1，
记轴于点，轴于点，轴于点，且交于点，如图所示：
将面积为，，…，的矩形向左平移到面积为的矩形的下方，则，
当时，把代入，得，即，，
根据反比例函数中的几何意义可知，
，
故答案为：；
（2）解：同理当时，把代入，得，即，，
根据反比例函数中的几何意义可知，
，
故答案为：；
（3）解：当时，把代入，得，即，
，根据反比例函数中的几何意义可知，
，
故答案为：；
（4）解：当时，把代入，得，即，，
根据反比例函数中的几何意义可知，
，
故答案为：．
3．（2025·江苏南京·模拟预测）反比例函数中两个变量的乘积不变，由此带来反比例函数的一些特性．如图①，是反比例函数的图像上的一个动点，轴，垂足为轴，垂足为，则，所以，，即矩形的面积不变．当时上述结论也成立．我们可称这一性质为“反比例函数的′面积不变性′”，连接，此时，的面积为，也是定值．试利用“反比例函数的′面积不变性′”解决下列问题：

如图②，③，点在反比例函数的图像上，轴，垂足为．
(1)如图②，点在反比例函数的图像上，轴，垂足为、相交于点．试比较下列图形面积的大小：______，______（选填“”“”或“”）．
(2)如图③，的延长线与反比例函数的图像的另一个交点为轴，垂足为，连接，则四边形的面积为______．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，解题的关键是熟练掌握“过反比例函数图像上的任意一点分别向两坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积等于”．
（1）由反比例函数系数的几何意义可得，，进而根据，即可求解；
（2）根据“反比例函数图像”和“过原点的直线”都是以原点为对称中心的中心对称图形，得出、两点关于原点对称，再根据反比例函数中系数的几何意义求解即可．
【详解】（1）解：由反比例函数系数的几何意义可得，，
，
，
故答案为：，；
（2）“反比例函数图像”和“过原点的直线”都是以原点为对称中心的中心对称图形，
、两点关于原点对称，
反比例函数的解析式为：，
，
，
故答案为：．
【典型例题十 根据图形面积求比例系数（解析式）】
【例1】（25-26八年级下·上海·期末）点P在反比例函数（）的图象上，轴于点A，的面积为2，则k的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
【答案】D
【分析】根据三角形面积可得的值，题目未说明反比例函数图象所在象限，因此有两种可能．
【详解】解：∵ 过反比例函数图象上一点作x轴垂线，该点、垂足和原点围成的三角形面积为，
又∵ 的面积为，
∴ ，
解得，即，
本题未给出函数图象所在象限，因此的值为．
【例2】（25-26九年级下·重庆长寿·期中）反比例函数的图象如图所示，轴，若的面积为4，则k的值为（ ）
A．8 B． C． D．
【答案】B
【分析】连接，根据轴，可得与的面积相等，可推出，解得：，再根据反比例函数的图象在第二象限，可得，从而得到答案．
【详解】解：连接，
轴，
与的面积相等．
即．
，
∵反比例函数的图象在第二象限，
．
【例3】（25-26九年级下·北京·阶段检测）如图，已知反比例函数和的图象，点为图象上一点，过点作轴于点与图象交于点，若的面积为1，则的值为___________．
【答案】3
【分析】根据反比例函数的几何意义得，由求解即可．
【详解】解：由题意可得点在图象上，
∴，
∵，
∴，
∵点为图象上一点，
∴，
∴．
1．（25-26八年级下·四川乐山·期末）如图，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点．若轴，垂足为，面积为6．
(1)求值；
(2)求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据反比例函数的几何意义，即可求解；
（2）根据（1）得出反比例函数解析式为，进而求得，，直线的解析式为，进而得出，再根据三角形的面积公式，即可求解．
【详解】（1）解：∵轴，垂足为，面积为6
∴
∵反比例函数图象在第一象限
∴
∴；
（2）解：由（1）可得反比例函数解析式为
∵，在图像上，
∴，，
解得：
∴，
设直线的解析式为，代入，得
，解得：
∴直线的解析式为
当时，
解得：
∴
∴
∴
2．（2025·广东珠海·三模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的点和点，过点A作x轴的垂线，垂足为C，且的面积为2．
(1)分别求出a和b的值；
(2)结合图象直接写出的解集；
(3)在x轴上取一点P，当取得最大值时，求点P的坐标．
【答案】(1)，
(2)或
(3)
【分析】（1）根据的面积为2和反比例函数图象的位置，可以确定m的值，代入点坐标即可求出；
（2）根据图象可直接写出；
（3）作B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接，即最大值为，求出直线解析式，再确定与x轴交点坐标即可．
【详解】（1）解：由得，
反比例函数的图象经过第一、三象限，
，
反比例函数为．
将点，分别代入，
解得，．
（2）由（1）知，，
结合图象可知的解集为或．
（3）如图，作B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接，此时取得最大值，最大值为
设直线解析式为，
将点，代入，得，
解得，
，
令，得，
，
故当取得最大值时，点的坐标为．
【点睛】本题考查一次函数、反比例函数的图象和性质、轴对称的性质和应用，利用待定系数法求函数解析式，作对称点是求线段和或差最小值的常用方法，熟练掌握一次函数和反比例函数的图象和性质是解题的关键．
3．（2025·浙江·模拟预测）定义：若一个四边形的面积被一条对角线平分，则称这样的四边形为分积四边形，这条对角线为分积线．
(1)如图①， 中， 为对角线 上一点，求证：四边形 为分积四边形；
(2)如图②，矩形 的顶点 在函数 的图象上，边 在 轴上，边 轴，点 在对角线 上，对角线 交 轴于点 ，连结 ，， 的面积为 4，求 的值；
(3)如图③，四边形 为分积四边形，对角线 为分积线， ，对角线 与 交于点 ，，求 的值．
【答案】(1)详见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查的是新定义的问题，新定义与反比例函数的综合大题，综合性较强，涉及到的知识点较多，解题的关键是掌握三角形全等的判定与性质、平行四边形的性质，矩形的性质，解直角三角形，反比例函数的几何意义．
（1）如图①，分别过，作的垂线，垂足为，，根据平行四边形的性质证明，推出，易证，即可得出结论；
（2）如图②，连结，，由（1）得，则 ，再结合，即可求解；
（3）如图③，分别过作的垂线，垂足为，由题意得四边形为分积四边形，对角线为分积线，得，易证，得，根据，则，设，则，即可解答．
【详解】（1）解：如图①，分别过，作的垂线，垂足为，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
为四边形的对角线， ，
，
四边形 为分积四边形；
（2）解：如图②，连结，，
由（1）得 ，
则 ，
，
．
（3）解：如图③，分别过作的垂线，垂足为，
四边形为分积四边形，对角线为分积线，
，
∴ ，
∵，
∴ ，
∴ ．
，
∴，
∴，
∴，
设 ，则，
，
．
【典型例题十一 一次函数与反比例函数图象综合判断】
【例1】（24-25九年级上·湖北武汉·期中）函数与函数在同一平面直角坐标系中的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，根据一次函数和反比例函数的特点，，所以分和两种情况讨论．当两函数系数k取相同符号值，两函数图象共存于同一坐标系内的即为正确答案．
【详解】解：分两种情况讨论：
①当时，与y轴的交点在正半轴，过一、二、三象限，反比例函数的图象在第一三象限；D选项不符合；
②当时，与y轴的交点在正半轴，过一、二、四象限，反比例函数的图象在第二四象限．B、C选项不符合；A选项符合．
故选：A．
【例2】（24-25八年级下·全国·单元测试）在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查反比例函数与一次函数图象的综合判断，利用一次函数和反比例函数的性质，分，两种情况进行判断即可．
【详解】解：由题意，当时，，经过一，二，四象限，经过一、三象限；
当时，，经过一，三，四象限，经过二、四象限；
故满足题意的是选项B．
故选：B．
【例3】 （24-25九年级下·广西柳州·期中）如图，函数和函数的图象相交于点，，若，则x的取值范围是_____．
【答案】或/或
【分析】根据表示的是一次函数的图象位于反比例函数的图象的上方即可得．
【详解】解：表示的是一次函数的图象位于反比例函数的图象的上方，
则由函数图象可知，或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，熟练掌握函数图象法是解题关键．
1．（24-25九年级上·辽宁盘锦·期中）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点B是反比例函数图象上一点，轴于点C，交一次函数的图象于点D，连接．
(1)直接写出反比例函数与一次函数的表达式；
(2)直接写出 的x取值范围
(3)当时，求的面积．
【答案】(1)反比例函数为：，一次函数的解析式为：．
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了一次函数与反例函数的综合问题，待定系数法求反比例函数以及一次函数的解析式．一次函数与反比例函数的交点问题，两点之间的距离公式等知识，掌握反比例函数的性质以及一次函数的性质是解题的关键．
（1）利用待定系数法即可求出反比例函数以及一次函数的解析式．
（2）根据函数图象的交点和图象的位置关系进行解答即可；
（3）由已知条件求出点C，点B，点D的坐标，过点B作轴交一次函数的图象交于点E，过点A作与点F，利用两点之间的距离公式分别求出，，的值，最后根据即可求出答案．
【详解】（1）解：∵反比例函数与一次函数的图象交于点，
∴，，
∴，，
∴反比例函数为：，一次函数的解析式为：．
（2）∵反比例函数与一次函数的图象交于点，
∴由图象可知， 的x取值范围是
故答案为：
（3）∵，
∴，
∵轴于点C，交一次函数的图象于点D，
∴点B的横坐标为4．点D的横坐标为4．
∴，
∴，
∴
过点B作轴交一次函数的图象交于点E，过点A作与点F，
∴，点E的纵坐标为，
∴，
把代入，得，
∴，
∴点，
∴，
∴
2．（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数图象交于A、B，与y轴交于点C，点A的横坐标为1．求：
(1)k的值；
(2)利用图象求出时x的取值范围；
(3)如图2，将直线沿y轴向下平移6个单位，与函数的图象交于点D，与y轴交于点E，再将函数的图象沿平移，使点A、D分别平移到C、F处，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)
(2)或．
(3)
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用：
（1）先求出点坐标，再将点代入一次函数的解析式中求出的值即可；
（2）图象法求不等式的解集即可；
（3）根据平移的性质，得到阴影部分的面积即为的面积，进行求解即可．
【详解】（1）解：点在的图像上，
当时，．
∴，
将点代入，得．
（2）由（1）知：，
联立，
解得：或，
∴；
由图像可得：时的取值范围为：或．
（3）∵，
∴当时，，
∴，
∵将直线沿轴向下平移6个单位，
∴，
直线的解析式为：，设直线与轴交于点H
∴当时，，当时，，
∴，，
如图，过点作，垂足为，
∵，
∴，
∴，
∵，，
．
连接，
∵平移，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∴阴影部分面积等于的面积，即．
3．（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段检测）如图，一次函数（是常数且）与反比例函数的图象交于，两点．
(1)求，和的值；
(2)直接写出关于的不等式的解集：_______；
(3)点是轴上的一个动点，若的面积为9，则点的坐标为_________．
【答案】(1)，，
(2)或
(3)或
【分析】本题考查反比例函数与一次函数综合、利用图象解不等式、坐标与图形，掌握反比例函数与一次函数图象与性质是解题的关键．
（1）将点，坐标分别代入函数表达式即可得到答案；
（2）根据图象位置关系，找出直线在反比例函数图象的上方时的取值范围即为答案；
（3）设点坐标为，一次函数交轴于点，作轴，轴，得到，，，然后利用，列出方程解之即可．
【详解】（1）解：一次函数与反比例函数都经过，
则，
解得：，，
（2）解：根据图象可知，当或时，直线在反比例函数图象的上方，满足
不等式的解集为或．
故答案为：或．
（3）解：根据题意，设点坐标为，一次函数交轴于点，作轴，轴，如图
，
，
由（1）可知，
当时，，即
，即
解得：或
故答案为：或．
【典型例题十二 一次函数与反比例函数的交点问题】
【例1】（24-25九年级下·安徽芜湖·阶段检测）一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】解答本题的关键是要理解两函数交点和方程组的解的对应关系．同时同学们要掌握解方程组的方法．把代入中，得：，得，把代入中，得：，然后联立这两函数求出交点坐标．
【详解】解：把代入中，
得：，
，
把代入中，
得：，
反比例函数关系式为，
联立方程组得，
得或，
所以点坐标是．
故选：D．
【例2】（24-25八年级下·江苏泰州·阶段检测）如图，一次函数与反比例函数相交于A，B两点，A，B两点的横坐标分别为1和3，则不等式的解集为（ ）
A． B．或
C．或 D．或
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握数形结合是关键．
所求不等式的解集为双曲线在直线上方对于的自变量x的取值范围，根据两个函数图象及交点横坐标直接写出不等式解集即可．
【详解】解：由题意可知，，两点的横坐标分别为1和3，
不等式的解集为：或．
故选：C．
【例3】（24-25九年级上·河北廊坊·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）图象的都经过，，结合图象，则不等式的解集是__________．
【答案】或
【分析】本题考查一次函数图象与反比例函数图象的交点，函数图象与不等式，熟练利用数形结合是解题的关键．根据一次函数图象在反比例函数图象（为常数且）上方的的取值范围便是不等式的解集．
【详解】解：由，
得，
由函数图象可知，当一次函数的图象在反比例函数（为常数且）的图象上方时，的取值范围是：或，
∴不等式的解集是：或，
∴不等式的解集是：或，
故答案为：或．
1．（2026·四川甘孜·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点．
(1)求正比例函数的解析式；
(2)点是轴正半轴上的一点，若的面积为8，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）根据代入求解即可．
【详解】（1）解：在反比例函数的图象上，
，则，
点在正比例函数的图象上，
，则，
∴正比例函数的解析式为；
（2）解：联立和得，即，则，
∴，
的面积为8，即，
，
，
∵点是轴正半轴上的一点，
点的坐标为．
2．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）小明在自主探究活动中遇到这样一个问题：探究函数的图象与性质．
下面是小明根据学习函数的经验，对问题进行探究的过程，请你帮助小明补充完整．
(1)函数自变量的取值范围是__________；
(2)小明取了几组的值，并求出了相对应的值，填写在下表中，
… 1 2 3 4 5 …
… 6 3 2 …
那么，__________；
(3)在平面直角坐标系中，画出该函数的图象；
(4)写出此函数一条性质：
________________________________________________________________________________________；
(5)正比例函数与相交于点，（点在点的左侧），已知点，直接写出点的坐标__________．
【答案】(1)
(2)-2
(3)
(4)答案不唯一：如函数图象与坐标轴无交点等
(5)
【分析】（1）分式有意义的条件是分母不为0，分母为，因此只需保证．
（2）表格中对应时的函数值，将代入解析式计算即可．
（3）该函数是反比例函数，图象为双曲线，分两步作图：①根据表格坐标描点；②用平滑曲线分别连接一、三象限内的点，注意图象无限靠近坐标轴但不与坐标轴相交．
（4）反比例函数的常见性质：象限分布、增减性、对称性，任选一条即可．
（5）正比例函数与反比例函数的交点关于原点中心对称，若一个交点为，另一个交点为．先验证点在反比例函数上，再利用对称直接写出．
【详解】（1）解：函数是分式，分母不能为0，
自变量的取值范围是．
（2）解：把代入，
，
．
（3）解：根据表格给出的、、、、、、、、、在坐标系标出对应点；
用平滑曲线连接第三象限内所有负坐标点，得到第三象限分支；再用平滑曲线连接第一象限内所有正坐标点，得到第一象限分支；
双曲线两支分别在一、三象限，不与轴、轴相交．
（4）解：示例1：图象分布在第一、第三象限；
示例2：在每个象限内，随的增大而减小；
示例3：图象关于原点中心对称；
示例4：函数图象与坐标轴无交点；
示例5：图象关于直线、轴对称．
（写出任意一条即可）
（5）解：将代入：
，
即，
正比例与反比例函数交点关于原点对称，点在点左侧，
坐标为．
3．（25-26八年级下·北京昌平·期末）数学兴趣小组根据以往的函数学习经验，决定对函数的图象和性质进行探究．下面是他们的探究过程，请按要求补充完整：
(1)函数的自变量的取值范围是_________：
(2)下列表格是与几组对应值：
… …
… …
直接写出的值_________；
(3)在如图所示的坐标系中描点，并画出函数的大致图象（小方格的边长为1）：
(4)结合函数图象，发现函数的下列特征：
①该函数当时，随的增大而_________（填增大或减小）；
②若函数与一次函数相交于点，，结合函数图象直接写出使不等式成立的的取值范围．
【答案】(1)
(2)1；
(3)如图，
(4)①减小；②或
【分析】（1）分式有意义的条件是分母不为0，列出不等式求解自变量取值范围．
（2）将代入函数解析式，分步计算求出对应的值，即．
（3）根据表格内多组、对应坐标，在平面直角坐标系描点，结合反比例函数平移规律画出双曲线两支．
（4）①观察函数分支的图象升降趋势，判断随的增减变化．②先作出直线，结合函数图象位置，确定双曲线图象在一次函数图象下方时的取值范围．
【详解】（1）解：由题意可得，
解得，
∴自变量的取值范围是．
（2）解：当时，；
（3）略
（4）解：①由图可知该函数当时，随的增大而减小；
②如图，过点，作一次函数，
由图可知，当时，的取值范围：或．
【典型例题十二 一次函数与反比例函数的其他综合应用】
【例1】（2025·上海金山·一模）已知正比例函数与反比例函数，它们的图象的共同特征是（ ）
A．这两个函数的图象都在第一象限与第三象限；
B．当自变量的值逐渐增大时，的值则随着逐渐增大；
C．当自变量的值逐渐增大时，的值则随着逐渐减小；
D．点（，）与点（，）皆为这两个函数图象的公共点．
【答案】D
【分析】根据函数图象经过的象限，增减性即函数的性质分别判断．
【详解】解：A、正比例函数的图象在第一、三象限且过原点，反比例函数的两个分支在第一、第三象限但不过原点，故该项错误；
B、正比例函数，当自变量的值逐渐增大时，的值则随着逐渐增大；反比例函数，当自变量的值逐渐增大时，的值则随着逐渐减小，故该项错误；
C、正比例函数，当自变量的值逐渐增大时，的值则随着逐渐增大；反比例函数，当自变量的值逐渐增大时，的值则随着逐渐减小，故该项错误；
D、正比例函数，当x=1时y=2；当x=-1时y=-2，故点（，）与点（，）在此函数图象上；反比例函数，当x=1时y=2；当x=-1时y=-2，故点（，）与点（，）在此函数图象上；故点（，）与点（，）皆为这两个函数图象的公共点．
故选：D．
【点睛】此题考查了正比例函数与反比例函数的性质，熟记两者的性质是解题的关键．
【例2】（2025·湖北恩施·二模）在同一直角坐标系中，函数y＝kx-k与（k≠0）的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据k的取值范围，分别讨论k＞0和k＜0时的情况，然后根据一次函数和反比例函数图象的特点进行选择正确答案．
【详解】解：当k＞0时，
一次函数y=kx-k经过一、三、四象限，
函数y=（k≠0）的图象在一、二象限，
观察各选项，没有选项符合要求．
当k＜0时，
一次函数y=kx-k经过一、二、四象限，
函数y=（k≠0）的图象经过三、四象限，
只有选项B的图象符合要求．
故选：B．
【点睛】此题考查一次函数的图象和反比例函数的图象，数形结合是解题的关键．
【例3】（2025·广东深圳·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与两坐标轴分别交于，两点，为线段的中点，点在反比例函数的图象上，则的最小值为________．
【答案】
【分析】本题是反比例函数与一次函数交点问题，线段最短问题，以及勾股定理，数形结合是解题的关键．
先求出，根据中点坐标公式求出，根据轴对称图形的性质确定点P位置，并求出点P的坐标，再求出的长即可．
【详解】解：∵一次函数与两坐标轴分别交于，两点，
当时，，当时，
∴，
∴，
∵为线段的中点，
∴点，
∵直线是第一象限的角平分线，且，
∴直线垂直直线，
∵对于，当时，，
∴在直线上，
∴当时，线段最小，此时点P在直线上，
∵点P在反比例函数的图象上，
联立与得：
，解得：或，
∴点，
∴，，
∴的最小值为．
故答案为：
1．（2026·广东广州·三模）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点A，B，且B点坐标为．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)点P为线段上的一点，过P作y轴的垂线，垂足为H，与反比例函数的图象交于点C，当点C为中点时，求点C的坐标．
【答案】(1)反比例函数的解析式为：，一次函数的解析式为：
(2)或
【分析】（1）运用待定系数法，将分别代入反比例函数解析式以及一次函数解析式中，即可求出它们的函数解析式；
（2）设点P的纵坐标为m，由点P为线段上的一点，则有，由已知可得，，根据点C为中点，可得，最后由点C在反比例函数图象上，将点C坐标代入反比例函数解析式中，求出m的值，即可求得点C的坐标．
【详解】（1）解：∵反比例函数与一次函数的图象交于点A，B，B点坐标为，
∴将代入反比例函数中，
得：，
解得：，
∴反比例函数的解析式为：；
同理，将代入一次函数中，
得：，
解得：，
∴一次函数的解析式为：；
（2）解：设点P的纵坐标为m，
∵点P为线段上的一点，一次函数的解析式为：，
∴，
∵过P作y轴的垂线，垂足为H，
∴，
∵点C为中点，
∴，
∵点C在反比例函数图象上，
∴，
整理得：，
解得：或，
∴或．
2．（24-25九年级·重庆巴南·期中）如图，在中， ，，，点D是线段的中点，点从点出发，沿折线运动，当它到达点C时停止，设点运动的路程为，点F是射线上一点，且，连接，记的面积为，的面积为．
(1)请直接写出，与x之间的函数关系式以及对应x的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并结合图象完成下列问题：
①写出函数的一条性质；
②直接写出当时，x的取值范围．
【答案】(1)，
(2)①作图见解析，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大；
②
【分析】（1）过点作于点，于点，首先利用三角形中位线定理求出，分两种情形求出，利用三角形的面积公式求出即可．
（2）①画出函数图象，可得结论；
②利用图象法解决问题．
【详解】（1）解：过点作于点，于点，
，点D是线段的中点，
，
，
，
则为的中位线，
，
，，
，
则为的中位线，
，
∴；
当时，，
当时，，
综上所述，；；
（2）解：根据函数解析式画出图象，如下：
①函数的性质：当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大；
②观察图象可知两个函数的交点为，
当时，的图象在的上方，
故当时，．
3．（2026·宁夏银川·三模）综合与实践：
《函数》复习课后，为加深对函数的认识，张老师引导同学们对函数的图象与性质进行探究．过程如下，请完成探究过程：
(1)初步感知
函数的自变量取值范围是_____．
(2)作出图象
①列表：
x … 0 1 2 3 4 …
… 2 3 4 6 0 …
填空：表中_____，_____．
②描点，连线：
在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
(3)研究性质
小刚观察图象，发现这个图象为双曲线，进一步研究中，小刚将函数转化为，他判断该函数图象就是反比例函数通过某种平移转化而来，反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心为，则函数的图象的对称中心为_____；反比例函数的图象是轴对称图形，对称轴为直线和，则函数的图象的对称轴为直线_____．
(4)拓展应用
若一次函数的图象与函数的图象交于A、B两点，连接、，则的面积为_____．
【答案】(1)
(2)①5，；②函数图象如下：
(3)；和；
(4)
【分析】（1）根据分母不能为0，即可解决问题；
（2）①将对应的值代入求解即可；②根据表格描点连线即可；
（3）结合图象和平移的性质求解即可；
（4）令一次函数的图象与轴交于点，分别求出、、三点坐标，再利用三角形面积求解即可．
【详解】（1）解：，
，
，
函数的自变量取值范围是；
（2）解：①当时，，
当时，，
解得：，即；
②图象如答图；
（3）解：小刚观察图象，发现这个图象为双曲线，进一步研究中，小刚将函数转化为，他判断该函数图象就是反比例函数通过某种平移转化而来，反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心为，则函数的图象的对称中心为；反比例函数的图象是轴对称图形，对称轴为直线和，则函数的图象的对称轴为直线和．
（4）解：如图，令一次函数的图象与轴交于点，
联立，
解得：，，
，，
令，则，解得：，
，
．
【典型例题十四 反比例函数与几何综合】
【例1】（24-25九年级下·河北邯郸·阶段检测）在平面直角坐标系中，将点向右水平移动个单位得到点，若双曲线经过线段上一点，则的值可能是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】本题考查了点的平移，反比例函数的性质，首先根据横坐标右移加，左移减可得B点坐标，根据题意可得，即可求解．
【详解】解：依题意，将点向右水平移动个单位得到点，
∵双曲线经过线段上一点，
∴，解得：，
故选：D．
【例2】（24-25九年级下·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线经过坐标原点O，矩形的边分别平行于坐标轴，点B在函数（，）的图象上，点D的坐标为，则k的值是（ ）
A． B．2 C． D．13
【答案】C
【分析】本题主要考查矩形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征等知识点，根据矩形的性质可得，设，进而可求得，进而可求解，灵活地将坐标与线段长进行相互转化是解答本题的关键．
【详解】解：如图，
根据矩形的性质可得：，
∵，
，
∴，
设，则，，
∴，
，
又在函数（，）的图像上，
，
故选C．
【例3】（24-25八年级下·江苏南京·阶段检测）如图，点分别在反比例函数和的图像上，轴，与轴交于点，点是轴上一点．若的面积为，则的值为______．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数的几何应用，反比例函数图象上点的坐标特征，设，则，可得，进而由的面积为得到，即可求出的值，再代入计算即可求解，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
【详解】解：设，
∵轴，，
∴，
∴，
∵的面积为，
∴，
∴，
∵点在反比例函数的图像上，点在反比例函数的图像上
∴，
，
∴，
故答案为：．
1．（25-26八年级下·山西长治·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点．已知点，点的纵坐标为．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式．
(2)点是轴上一点，连结，，若的面积为，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为
(2)点的坐标为或
【分析】（1）先利用点坐标求解反比例函数解析式，进而求出点坐标，再通过、两点确定一次函数表达式．
（2）先求解出直线与轴的交点，设出轴上点的坐标，运用分割法，以为公共底，将拆分为、，结合、两点的横坐标作为两个三角形的高，进而表示出的面积，列方程即可得到点的坐标．
【详解】（1）解：将点代入，解得，
故反比例函数的表达式为．
点在反比例函数图象上，且纵坐标为，
将代入，解得，
故点的坐标为．
、两点经过一次函数图象，将两点坐标代入，
得到，解得，
故一次函数的表达式为．
答：反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为．
（2）解：令一次函数中的，得，则点的坐标为，
设点的坐标为，则线段的长度为，
，
．
，
，即，
解得或，
的坐标为或．
答：的坐标为或．
2．（25-26九年级上·山东淄博·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，轴，，，．
(1)直接写出B，C，D三点的坐标；
(2)将矩形向右平移m个单位，使点A，C恰好同时落在反比例函数的图象上，得到矩形．求矩形平移的距离m和反比例函数的解析式．
【答案】(1)，，
(2)，
【分析】本题主要考查的是矩形的性质、平移的性质以及反比例函数解析式的求法，理解平移的定义是解题的关键．
（1）由四边形是矩形，得到，根据，轴，即可得到，，；
（2）根据平移的性质将矩形向右平移个单位，得到，，由点，在反比例函数的图象上，得到方程，即可求得结果．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，
∴，，
∵，轴，
∴，，；
（2）∵将矩形向右平移m个单位，
∴，，
∴点，在反比例函数的图象上，
∴，解得：，
∴，将代入，得到，
∴，
∴矩形的平移距离，
反比例函数的解析式为：．
3．（2026·河南平顶山·三模）如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴的垂线交反比例函数的图象于点．
(1)求反比例函数的表达式．
(2)连接，若的面积是3，求的值．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）将点代入，待定系数法求解析式，即可求解；
（2）延长 交轴于点，根据反比例函数的意义得出，，根据的面积是3，建立方程，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点，
，
反比例函数的表达式为．
（2）解：延长 交轴于点，由题意得轴，
点在反比例函数的图象上，
．
点在反比例函数的图象上，
，
，
解得．
1．（24-25九年级下·全国·单元测试）如图，双曲线的一个分支为（　　）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】A
【分析】直接根据反比例函数的性质结合图象分布解答即可．
【详解】解：∵中，k=-6＜0
∴双曲线的图象在二、四象限，排除C、D
当x=-2时，y=3时，故A符合题意，B不符合题意．
故选A．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握反比例函数图像确定方法是解题关键．
2．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段检测）反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解答本题的关键．
根据反比例函数的性质即可解答．
【详解】解：由图象可知，反比例函数在二、四象限，
，
的值可能是，
故选：C．
3．（2025·江苏淮安·一模）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则的值可以为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】根据函数图象确定k的取值范围．
【详解】解：如图所示，
反比例函数的图象位于第二、四象限，则．
又，即．
观察选项，只有选项合题意．
故选：．
【点睛】考查了反比例函数的图象，根据函数图象确定k的符号以及k的取值范围是解题的难点．
4．（24-25九年级上·江西赣州·期末）已知反比例函数，有下列说法中：①其图象经过点；②其图象分别位于第一、第三象限；③随的增大而增大；④当时，．正确的是（ ）
A．①③ B．②③ C．①② D．②④
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的图象和性质逐项判断即可求解，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：∵反比例函数，
∴，
∵，
∴其图象经过点，故①正确；
∵，
∴其图象分别位于第一、第三象限，在每一象限内，随的增大而减小，故②正确，③错误；
当时，，
∵在每一象限内，随的增大而减小，
∴当时，
综上，正确的说法是①②，
故选：．
5．（25-26八年级下·河南周口·期末）如图，一次函数与函数的图象相交于点，．下列说法错误的是（ ）
A．两图象的交点的坐标为
B．若，则的取值范围是或
C．一次函数与反比例函数都随的增大而增大
D．连接，，则的面积是
【答案】C
【分析】由题意易得一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为，然后根据一次函数及反比例函数的图象与性质进行排除选项即可．
【详解】解：由题意可把代入一次函数得：，解得：，
∴一次函数的解析式为，
∵在反比例函数图象上，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
∵在一次函数上，
∴，
∴点的坐标为，故A正确；
由图象可知：若，则的取值范围是或，故B正确；
∵，
∴一次函数随的增大而增大，反比例函数在每个象限内，随的增大而减小，故C错误；
由一次函数可知：其函数图象与轴的交点坐标为，
∴，故D正确．
6．（2025·北京房山·一模）已知点A(1，2)，B在反比例函数的图象上，若OA=OB，则点B的坐标为_________．
【答案】（2，1）
【分析】根据点A，B关于y=x（y-x=0）的对称，求解即可
【详解】解：∵点A(1，2)，B在反比例函数的图象上，OA=OB，
∴点A，B关于直线y=x（y-x=0）的对称，
设点（1，2）关于直线y=x（y-x=0）的对称点设为（a，b）
由两点中点在直线y=x上及过两点的直线垂直直线y=x（斜率之积为-1）
可以得到：，
解得：a=2，b=1，
∴点B的坐标为（2,1）
故答案为：（2，1）
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用已知条件得出：点A，B关于直线y=x（y-x=0）的对称是解题的关键．
7．（2025·上海·模拟预测）若正比例函数过第二象限，则反比例函数的图象在每个象限，随x的增大而_________（选填“增大”或“减小”）
【答案】减小
【分析】本题考查了一次函数的性质、反比例函数的性质，由题意得出，从而推出，最后由反比例函数的性质即可得出答案．
【详解】解：∵正比例函数过第二象限，
∴，
∴，
∴则反比例函数的图象在每个象限，随x的增大而减小，
故答案为：减小．
8．（2025·陕西·模拟预测）已知反比例函数（k为常数，且）的图象上有两个点、，点P与点Q在同一象限内，且满足，若点、也在该反比例函数的图象上，且，则、与0的大小关系是__________．（用“＞”连接）
【答案】
【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，根据题意可得反比例函数的图象在第一、三象限，再根据反比例函数的性质即可得．
【详解】解：∵点、在反比例函数（k为常数，且）的图象上，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴反比例函数（k为常数，且）的图象的两支分布在第二、四象限，
∵，
∴点在第四象限、点在第二象限，
∴，，
∴，
故答案为：．
9．（2026·内蒙古通辽·三模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，交轴于点，交轴于点．连接，，则______．
【答案】
【分析】先把代入得，求得反比例函数的表达式，再通过反比例函数的表达式求出点的坐标，再将点和点的坐标求出一次函数的中小学教育资源及组卷应用平台
第09讲 反比例函数的图象和性质（3大知识点+14大典例+变式训练+过关检测）
典型例题一 判断（画）反比例函数图象
典型例题二 已知反比例函数的图象，判断其解析式
典型例题三 由反比例函数图象的对称性求点的坐标
典型例题四 已知双曲线分布的象限，求参数范围
典型例题五 判断反比例函数的增减性
典型例题六 判断反比例函数图象所在象限
典型例题七 已知反比例函数的增减性求参数
典型例题八 比较反比例函数值或自变量的大小
典型例题九 已知比例系数求特殊图形的面积
典型例题十 根据图形面积求比例系数（解析式）
典型例题十一 一次函数与反比例函数图象综合判断
典型例题十二 一次函数与反比例函数的交点问题
典型例题十三 一次函数与反比例函数的其他综合应用
典型例题十四 反比例函数与几何综合
知识点01 双曲线
定义：反比例函数的图像由两条曲线组成，我们称之为双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限，它们关于原点对称，永远不会与x轴，y轴相交，只是无限靠近两坐标轴.
【即时训练】
1．（24-25九年级上·河北·期末）反比例函数在第一象限的图象如图所示，则的值可能是（　　）
A．10 B．8 C．7 D．6
2．（2026·湖北·模拟预测）反比例函数的图象位于第一、第三象限，写出一个符合条件的的值是______．
知识点02 确定反比例函数的关系式
确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式.
　　用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：
　（1）设所求的反比例函数为： ()；
（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程；
（3）解方程求出待定系数的值；
（4）把求得的值代回所设的函数关系式中.
【即时训练】
1．（24-25九年级上·浙江金华·阶段检测）将一次函数的图象向上平移后2个单位经过点，得到的直线解析式为，那么函数的图象向右平移2个单位后，得到的函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·河南信阳·三模）若反比例函数的图象经过点，则它的解析式是________．
知识点03 反比例函数的图象和性质
　　1、反比例函数的图象特征：
反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与轴、轴相交，只是无限靠近两坐标轴.
特别说明：
若点()在反比例函数的图象上，则点()也在此图象上，所以反
比例函数的图象关于原点对称；
在反比例函数(为常数，)中，由于，所以两个分支
都无限接近但永远不能达到轴和轴．
2、画反比例函数的图象的基本步骤：
（1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数；
（2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点；
（3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交；
（4）反比例函数图象的分布是由的符号决定的：当时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当时，两支曲线分别位于第二、四象限内．
3、反比例函数的性质
（1）如图1，当时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，值随值的增大而减小；
　（2）如图2，当时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，值随值的增大而增大；
特别说明：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出的符号.
【即时训练】
1．（24-25九年级上·河北·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级下·山西临汾·阶段检测）图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节电阻来控制电流实现灯光亮度的变化．电流（单位：）与电阻（单位：）之间成反比例函数关系，其图象如图2所示．当时，该台灯的电阻是___________．
【典型例题一 判断（画）反比例函数图象】
【例1】（24-25九年级上·辽宁大连·期末）下列各点在反比例函数的图象上的是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（24-25八年级下·福建泉州·期中）反比例函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【例3】（2025·重庆·模拟预测）若点，都在反比例函数的图象上，则______（填、或）．
1．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期末）经过实验获得两个变量的一组对应值如下表：
x 1 2 3 4 5 6
y 6 2.9 2 1.5 1.2 1
(1)在如图的直角坐标系中，画出相应函数的图象．
(2)求y关于x的函数表达式．
(3)当时，求y的取值范围．
2．（24-25九年级上·湖南娄底·期末）一次函数与反比例函数的图象交于点，．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)在所给的平面直角坐标系中画出这两个函数的图象；
(3)直接写出不等式的解集．
3．（24-25九年级上·山西大同·阶段检测）已知函数
(1)写出自变量x的取值范围
(2)①列表
… 1 2 3 4 …
… 1 0 10 6 4 3 …
②描点：在下面给出的直角坐标系中补全对应的各点
③连线（将图中描出的各点用平滑的曲线连接起来，得到函数的图象）
(3)观察函数的图象，回答下列问题
①图象与x轴有 个交点，
其对应的方程的实数解是 ．
②函数图象的对称性是（ ）
A．既是轴对称图形，又是中心对称图形
B．只是轴对称图形
C．只是中心对称图形
D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形
(4)将函数的图象 可以得到此函数的图象．
【典型例题二 已知反比例函数的图象，判断其解析式】
【例1】（2025·广东广州·模拟预测）点在函数（ ）的图像上
A． B．
C． D．
【例2】 （25-26八年级下·河南南阳·阶段检测）反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（ ）
A．6 B．10 C． D．
【例3】（24-25八年级下·山西临汾·阶段检测）图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节电阻来控制电流实现灯光亮度的变化．电流（单位：）与电阻（单位：）之间成反比例函数关系，其图象如图2所示．当时，该台灯的电阻是___________．
1．（24-25九年级上·湖南益阳·阶段检测）已知反比例函数的图象如图所示，试回答下列问题：
(1)求这个函数的表达式；
(2)你认为点，是否在这个函数的图象上，请说明理由．
2．（2025·河北唐山·三模）有三张正面分别写有数字-2，-1，1的卡片，它们的背面完全相同，将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面的数字作为的值，放回卡片洗匀，再从三张卡片中随机抽取一张，以其正面的数字作为的值，两次结果记为(，)．
（1）用树状图或列表法表示(，)所有可能出现的结果；
（2）求使代数式与和的值为1的(，)出现的概率；
（3）求在图象上的点(，)出现的概率．
3．（24-25九年级上·安徽·期中）如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作为的整数）．反比例函数的图象为曲线．

(1)若过点，求反比例函数的解析式；
(2)若过点，则它必定还过另一点，求的坐标；
(3)若曲线使得这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，求出所有满足条件的整数．
【典型例题三 由反比例函数图象的对称性求点的坐标】
【例1】（2025·安徽滁州·一模）已知正比例函数与反比例函数的图象交于点，则这个函数图象的另一个交点为（ ）
A． B． C． D．
【例2】（24-25九年级上·陕西渭南·阶段检测）如图，反比例函数的图象与经过原点的直线相交于、两点，点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【例3】（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，直线与双曲线交于两点，则的值为_______．
1．（2025·浙江杭州·一模）在直角坐标系内，反比例函数的图象过点．
(1)若，求证：．
(2)若，，，求该函数的表达式．
2．（2025·广东湛江·一模）如图，反比例函数与一次函数的图象相交于，两点．点C是反比例函数第一象限图象上的一个动点，过点C作x轴的平行线交反比例函数的图象上一点D，过点C作轴于点E．
(1)根据图象的对称性，可知A点坐标为　 　，B点坐标为　 　；
(2)求反比例函数解析式；
(3)求的面积．
3．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数相交于点和点，过点作轴，过点作轴，与相交于点．
(1)求的面积；
(2)若点在正比例函数的图像上，点在反比例函数的图像上，且，试判断与的大小关系，并通过计算进行证明．
【典型例题四 已知双曲线分布的象限，求参数范围】
【例1】（25-26八年级下·上海普陀·期末）如果反比例函数的图象位于第二、四象限，那么k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（25-26九年级上·贵州六盘水·期末）已知反比例函数的图象如图所示，m的值可以是（ ）
A． B． C． D．1
【例3】（2026·陕西咸阳·一模）反比例函数（k为常数，）的图象与点的位置关系如图所示，已知点的坐标为，则的值可能是________．（写出一个符合题意的数即可）
1．（24-25九年级上·北京·期中）已知反比例函数的图象位于第一、三象限．
(1)求的取值范围；
(2)若该反比例函数的图象与正比例函数的图象的一个交点为，求的值．
(3)当时，直接写出的取值范围．
2．（24-25八年级下·吉林长春·阶段检测）反比例函数的图象的一分支如图所示．
(1)求m的取值范围．
(2)若该函数的图象与正比例函数的图象在第一象限的交点为，求的值．
3．（24-25九年级上·陕西西安·期末）已知一次函数与反比例函数图像交于，．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)观察图像，请直接写出不等式的解集．
【典型例题五 判断反比例函数的增减性】
【例1】（25-26九年级上·四川巴中·期末）关于反比例函数，下列说法错误的是（ ）
A．随的增大而减小 B．图象位于第一、三象限
C．图象与坐标轴不相交 D．当时，
【例2】（25-26九年级上·河北邯郸·期末）反比例函数的图象如图所示，随着值的增大，值（ ）．
A．减小 B．增大 C．不变 D．先增大后减小
【例3】（24-25九年级上·河北唐山·期末）若点，，都在反比例函数的图象上，则用“<”连结、、的式子为______．
1．（2025九年级上·湖北武汉·专题练习）已知反比例函数经过点和．
(1)求m和n的值；
(2)若图像上有两点、，且试比较和的大小．
2．（24-25八年级下·河南洛阳·期末）参照学习函数的过程与方法，探究函数的图象与性质．因为，所以我们对函数进行探究．
… 1 2 3 4 …
… 1 2 4 …
… 3 5 …
(1)与的几组对应值如表：其中 ， ．
(2)在平面直角坐标系中，描出以上表中各组对应值为坐标的点，画出函数的图象．
(3)根据所画图象，回答下列问题：
①当时，随的增大而 （填“增大”或“减小”）；
②函数的图象是由的图象向 平移 个单位长度得到的．
(4)进一步探究函数与的图象，结合函数、不等式、方程三者之间的关系，解决下列问题．
①方程有 个解；
②不等式的解集是 ．
3．（2025九年级下·四川达州·专题练习）九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质，其探究过程如下：
(1)绘制函数图象，如图．
列表：下表是与的几组对应值，其中 ；
描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出了各点；
连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象．请你把图象补充完整；
(2)通过观察图，写出该函数的一条性质： ；
(3)①观察发现：如图．若直线交函数的图象于两点，连接，过点作交轴于．则 ；
②探究思考：将①中“直线”改为“直线”，其他条件不变，则 ；
③类比猜想：若直线交函数 ()的图象于两点，连接，过点作交轴于，则 ．
【典型例题六 判断反比例函数图象所在象限】
【例1】（24-25九年级下·广东广州·期中）矩形面积为20，则长y与宽x的函数关系图象是（ ）
A．第一象限的双曲线 B．第一象限的直线
C．第二象限的双曲线 D．全体象限的直线
【例2】（2025·浙江杭州·一模）已知某函数的函数值y和自变量x的部分对应值如表：
x
y b
则这个函数的图象可能是（ ）
B．
C． D．
【例3】（2025·全国·模拟预测）反比例函数26.2反比例函数的图象和性质）填空：
（1）反比例函数的图象在第________象限．
（2）反比例函数的图象如图所示，则k________0；在图象的每一支上，y随x的增大而_______．
1．（25-26八年级下·上海崇明·期末）已知某反比例函数的图像经过点．
(1)这个函数的图像位于哪些象限？
(2)若、也在这个函数的图像上，求、的值．
2．（25-26八年级下·上海宝山·期末）已知一次函数与反比例函数的图像交于点．
(1)求和的值；
(2)判断反比例函数的图像位于哪些象限？
(3)在平面直角坐标系中，求直线上位于轴上方的所有点的横坐标的取值范围．
3．（24-25八年级下·北京昌平·期中）问题：探究函数的图象与性质,小华根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小华的探究过程，请补充完整：
(1)在函数中，自变量x取值范围是_______；
(2)下表是y与x的几组对应m=_______；
x … -6 -3 -2 -1 1 2 3 6 …
y … -1 -2 -3 -6 6 3 m 1 …
(3)如图，在平面直角坐标系xOy中，他通过列表描点画出了函数图象的一部分，请结合自变量的取值范围，补出函数图象的另一部分；
(4)进一步探究发现，该函数图象有一条性质是：在第三象限的部分，y随x的增大而_______；结合函数图象，写出该函数图象的另外一条性质_______．
【典型例题七 已知反比例函数的增减性求参数】
【例1】（2026·黑龙江哈尔滨·二模）在反比例函数图象的任意一支上，都随的增大而减小，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（24-25九年级上·河北保定·期末）已知点，在反比例函数的图象上，且当时，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例3】（24-25八年级下·吉林长春·期末）已知点，在反比例函数 (k是常数)的图象上，当时，，则k的取值范围是_______________ ．
1．（25-26九年级上·山东·课后作业）已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式．
(2)请直接写出当时，的取值范围．
(3)设，当时，；当时，，方方说：“一定小于”．你认为方方的说法正确吗？为什么？
2．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）已知是的反比例函数，且当时，．
(1)直接写出函数与之间的关系式为 ；
(2)借助函数图像，求当时，的取值范围．
3．（25-26九年级上·广东东莞·期末）图1为某厂家设计的一款亮度可调的台灯，图2为对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过改变滑动变阻器的电阻来调节亮度，电流I与总电阻R成反比例，其中，已知，实验测得当时，．
(1)求I关于R的函数表达式．
(2)经测试，当电流在之间（包含临界值）时，台灯亮度才能满足正常的阅读需求．那么，为了保证正常阅读，求滑动变阻器接入电路的电阻的取值范围．
【典型例题八 比较反比例函数值或自变量的大小】
【例1】（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）已知点在反比例函数的图像上，则 与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【例2】（2026·湖北孝感·三模）如图，反比例函数的图象经过点，当时，x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例3】（25-26八年级下·河南洛阳·期中）已知反比例函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系为__________．（用“>”连接）
1．（24-25九年级下·贵州六盘水·阶段检测）在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)已知点，，都在该反比例函数图象上，请把a，b，c按从小到大的顺序进行排列．
2．（2025·甘肃·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，与y轴相交于点C．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)若点D与点C关于x轴对称，求的面积；
(3)若、是反比例函数上的两点，当时，比较与的大小关系．
3．（24-25九年级上·河北唐山·阶段检测）已知点在反比例函数的图象上．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)直接写出点A关于原点的对称点的坐标，并判断点是否在该反比例函数的图象上；
(3)设过点A和的直线为，直接写出的解集；
(4)若点在反比例函数的图象上，且，则与0的大小关系为_______；
(5)若点是函数图象上的点．
①当时，连接，求的面积；
②若点和点分别位于函数图象的两侧，直接写出m的取值范围．
【典型例题九 已知比例系数求特殊图形的面积】
【例1】（24-25九年级上·江西新余·期末）如图，点A在双曲线上，点在双曲线上，且轴，点、在轴上，若四边形为长方形，则它的面积为（ ）
A． B． C． D．
【例2】（24-25九年级上·山东泰安·期末）如图，A、B两点在双曲线上，分别经过A、B两点向两坐标轴作垂线段，已知，则（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
【例3】（25-26九年级上·江西新余·期末）如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，作轴于点，连接，则的面积为_____．
1．（25-26八年级下·上海徐汇·期末）如图，点 是反比例函数的图象上一点，过点作轴交反比例函数的图像于点．点是轴上任意一点，连接 、．
(1)如果点的横坐标为，求的面积；
(2)如果点是反比例函数的图像上任意一点，那么的面积会发生改变吗？给出你的判断并通过计算说明理由．
2．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在反比例函数的图象上有，，，…，等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2026．分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，…，，．
(1)当时，______；
(2)当时，______；
(3)当时，______；
(4)当时，______．
3．（2025·江苏南京·模拟预测）反比例函数中两个变量的乘积不变，由此带来反比例函数的一些特性．如图①，是反比例函数的图像上的一个动点，轴，垂足为轴，垂足为，则，所以，，即矩形的面积不变．当时上述结论也成立．我们可称这一性质为“反比例函数的′面积不变性′”，连接，此时，的面积为，也是定值．试利用“反比例函数的′面积不变性′”解决下列问题：

如图②，③，点在反比例函数的图像上，轴，垂足为．
(1)如图②，点在反比例函数的图像上，轴，垂足为、相交于点．试比较下列图形面积的大小：______，______（选填“”“”或“”）．
(2)如图③，的延长线与反比例函数的图像的另一个交点为轴，垂足为，连接，则四边形的面积为______．
【典型例题十 根据图形面积求比例系数（解析式）】
【例1】（25-26八年级下·上海·期末）点P在反比例函数（）的图象上，轴于点A，的面积为2，则k的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
【例2】（25-26九年级下·重庆长寿·期中）反比例函数的图象如图所示，轴，若的面积为4，则k的值为（ ）
A．8 B． C． D．
【例3】（25-26九年级下·北京·阶段检测）如图，已知反比例函数和的图象，点为图象上一点，过点作轴于点与图象交于点，若的面积为1，则的值为___________．
1．（25-26八年级下·四川乐山·期末）如图，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点．若轴，垂足为，面积为6．
(1)求值；
(2)求的面积．
2．（2025·广东珠海·三模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的点和点，过点A作x轴的垂线，垂足为C，且的面积为2．
(1)分别求出a和b的值；
(2)结合图象直接写出的解集；
(3)在x轴上取一点P，当取得最大值时，求点P的坐标．
3．（2025·浙江·模拟预测）定义：若一个四边形的面积被一条对角线平分，则称这样的四边形为分积四边形，这条对角线为分积线．
(1)如图①， 中， 为对角线 上一点，求证：四边形 为分积四边形；
(2)如图②，矩形 的顶点 在函数 的图象上，边 在 轴上，边 轴，点 在对角线 上，对角线 交 轴于点 ，连结 ，， 的面积为 4，求 的值；
(3)如图③，四边形 为分积四边形，对角线 为分积线， ，对角线 与 交于点 ，，求 的值．
【典型例题十一 一次函数与反比例函数图象综合判断】
【例1】（24-25九年级上·湖北武汉·期中）函数与函数在同一平面直角坐标系中的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
【例2】（24-25八年级下·全国·单元测试）在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【例3】 （24-25九年级下·广西柳州·期中）如图，函数和函数的图象相交于点，，若，则x的取值范围是_____．
1．（24-25九年级上·辽宁盘锦·期中）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点B是反比例函数图象上一点，轴于点C，交一次函数的图象于点D，连接．
(1)直接写出反比例函数与一次函数的表达式；
(2)直接写出 的x取值范围
(3)当时，求的面积．
2．（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数图象交于A、B，与y轴交于点C，点A的横坐标为1．求：
(1)k的值；
(2)利用图象求出时x的取值范围；
(3)如图2，将直线沿y轴向下平移6个单位，与函数的图象交于点D，与y轴交于点E，再将函数的图象沿平移，使点A、D分别平移到C、F处，求图中阴影部分的面积．
3．（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段检测）如图，一次函数（是常数且）与反比例函数的图象交于，两点．
(1)求，和的值；
(2)直接写出关于的不等式的解集：_______；
(3)点是轴上的一个动点，若的面积为9，则点的坐标为_________．
【典型例题十二 一次函数与反比例函数的交点问题】
【例1】（24-25九年级下·安徽芜湖·阶段检测）一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．则点的坐标为（ ）
B． C． D．
【例2】（24-25八年级下·江苏泰州·阶段检测）如图，一次函数与反比例函数相交于A，B两点，A，B两点的横坐标分别为1和3，则不等式的解集为（ ）
A． B．或
C．或 D．或
【例3】（24-25九年级上·河北廊坊·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）图象的都经过，，结合图象，则不等式的解集是__________．
1．（2026·四川甘孜·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点．
(1)求正比例函数的解析式；
(2)点是轴正半轴上的一点，若的面积为8，求点的坐标．
2．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）小明在自主探究活动中遇到这样一个问题：探究函数的图象与性质．
下面是小明根据学习函数的经验，对问题进行探究的过程，请你帮助小明补充完整．
(1)函数自变量的取值范围是__________；
(2)小明取了几组的值，并求出了相对应的值，填写在下表中，
… 1 2 3 4 5 …
… 6 3 2 …
那么，__________；
(3)在平面直角坐标系中，画出该函数的图象；
(4)写出此函数一条性质：
________________________________________________________________________________________；
(5)正比例函数与相交于点，（点在点的左侧），已知点，直接写出点的坐标__________．
3．（25-26八年级下·北京昌平·期末）数学兴趣小组根据以往的函数学习经验，决定对函数的图象和性质进行探究．下面是他们的探究过程，请按要求补充完整：
(1)函数的自变量的取值范围是_________：
(2)下列表格是与几组对应值：
… …
… …
直接写出的值_________；
(3)在如图所示的坐标系中描点，并画出函数的大致图象（小方格的边长为1）：
(4)结合函数图象，发现函数的下列特征：
①该函数当时，随的增大而_________（填增大或减小）；
②若函数与一次函数相交于点，，结合函数图象直接写出使不等式成立的的取值范围．
【典型例题十二 一次函数与反比例函数的其他综合应用】
【例1】（2025·上海金山·一模）已知正比例函数与反比例函数，它们的图象的共同特征是（ ）
A．这两个函数的图象都在第一象限与第三象限；
B．当自变量的值逐渐增大时，的值则随着逐渐增大；
C．当自变量的值逐渐增大时，的值则随着逐渐减小；
D．点（，）与点（，）皆为这两个函数图象的公共点．
【例2】（2025·湖北恩施·二模）在同一直角坐标系中，函数y＝kx-k与（k≠0）的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【例3】（2025·广东深圳·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与两坐标轴分别交于，两点，为线段的中点，点在反比例函数的图象上，则的最小值为________．
1．（2026·广东广州·三模）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点A，B，且B点坐标为．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)点P为线段上的一点，过P作y轴的垂线，垂足为H，与反比例函数的图象交于点C，当点C为中点时，求点C的坐标．
2．（24-25九年级·重庆巴南·期中）如图，在中， ，，，点D是线段的中点，点从点出发，沿折线运动，当它到达点C时停止，设点运动的路程为，点F是射线上一点，且，连接，记的面积为，的面积为．
(1)请直接写出，与x之间的函数关系式以及对应x的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并结合图象完成下列问题：
①写出函数的一条性质；
②直接写出当时，x的取值范围．
3．（2026·宁夏银川·三模）综合与实践：
《函数》复习课后，为加深对函数的认识，张老师引导同学们对函数的图象与性质进行探究．过程如下，请完成探究过程：
(1)初步感知
函数的自变量取值范围是_____．
(2)作出图象
①列表：
x … 0 1 2 3 4 …
… 2 3 4 6 0 …
填空：表中_____，_____．
②描点，连线：
在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
(3)研究性质
小刚观察图象，发现这个图象为双曲线，进一步研究中，小刚将函数转化为，他判断该函数图象就是反比例函数通过某种平移转化而来，反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心为，则函数的图象的对称中心为_____；反比例函数的图象是轴对称图形，对称轴为直线和，则函数的图象的对称轴为直线_____．
(4)拓展应用
若一次函数的图象与函数的图象交于A、B两点，连接、，则的面积为_____．
【典型例题十四 反比例函数与几何综合】
【例1】（24-25九年级下·河北邯郸·阶段检测）在平面直角坐标系中，将点向右水平移动个单位得到点，若双曲线经过线段上一点，则的值可能是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【例2】（24-25九年级下·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线经过坐标原点O，矩形的边分别平行于坐标轴，点B在函数（，）的图象上，点D的坐标为，则k的值是（ ）
A． B．2 C． D．13
【例3】（24-25八年级下·江苏南京·阶段检测）如图，点分别在反比例函数和的图像上，轴，与轴交于点，点是轴上一点．若的面积为，则的值为______．
1．（25-26八年级下·山西长治·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点．已知点，点的纵坐标为．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式．
(2)点是轴上一点，连结，，若的面积为，请直接写出点的坐标．
．（25-26九年级上·山东淄博·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，轴，，，．
(1)直接写出B，C，D三点的坐标；
(2)将矩形向右平移m个单位，使点A，C恰好同时落在反比例函数的图象上，得到矩形．求矩形平移的距离m和反比例函数的解析式．
3．（2026·河南平顶山·三模）如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴的垂线交反比例函数的图象于点．
(1)求反比例函数的表达式．
(2)连接，若的面积是3，求的值．
1．（24-25九年级下·全国·单元测试）如图，双曲线的一个分支为（　　）
A．① B．② C．③ D．④
2．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段检测）反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·江苏淮安·一模）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则的值可以为（ ）
A． B． C． D．2
4．（24-25九年级上·江西赣州·期末）已知反比例函数，有下列说法中：①其图象经过点；②其图象分别位于第一、第三象限；③随的增大而增大；④当时，．正确的是（ ）
A．①③ B．②③ C．①② D．②④
5．（25-26八年级下·河南周口·期末）如图，一次函数与函数的图象相交于点，．下列说法错误的是（ ）
A．两图象的交点的坐标为
B．若，则的取值范围是或
C．一次函数与反比例函数都随的增大而增大
D．连接，，则的面积是
6．（2025·北京房山·一模）已知点A(1，2)，B在反比例函数的图象上，若OA=OB，则点B的坐标为_________．
7．（2025·上海·模拟预测）若正比例函数过第二象限，则反比例函数的图象在每个象限，随x的增大而_________（选填“增大”或“减小”）
8．（2025·陕西·模拟预测）已知反比例函数（k为常数，且）的图象上有两个点、，点P与点Q在同一象限内，且满足，若点、也在该反比例函数的图象上，且，则、与0的大小关系是__________．（用“＞”连接）
9．（2026·内蒙古通辽·三模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，交轴于点，交轴于点．连接，，则______．
10．（2025·四川南充·二模）如图，直线与双曲线相交于，两点，则关于x的不等式的解集为________．

11．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段检测）已知点在反比例函数的函数值．
(1)当时，求的值；
(2)当时，求的取值范围．
12．（24-25九年级上·山东临沂·期末）已知反比例函数的图象的一支位于第一象限．
（1）图象的另一支位于哪个象限？常数的取值范围是什么？
（2）在这个函数图象上任取点和．如果，那么与有怎样的大小关系？
13．（2025·湖北襄阳·一模）九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究函数的图象与性质，探究过程如下：
（1）写出自变量x的取值范围；
（2）画函数图象；
列表：下表是x与y的几组对应值，其中____________；
x … －3 －2 －1 1 2 3 …
y … 1 2 4 4 2 m …
描点画图：利用所给的网格，建立平面直角坐标系，描出表中各对对应值为坐标的点，画出该函数图象；
（3）通过观察图象，写出该函数的两条性质：
①____________；
②____________．
14．（25-26八年级下·四川巴中·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数（）的图象交于点和点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)结合图象直接写出不等式的解集；
(3)若点在轴上，且的面积为12，请求出点的坐标．
15．（24-25九年级上·辽宁盘锦·期末）如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于、两点，，轴，交轴于点．
(1)若，则 ．
(2)若，则点坐标 ；当 时，的取值范围 ．
(3)点在第一象限反比例函数图像上，，设，，用含或的式子表示和长，并求值．
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