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第10讲 实际问题与反比例函数（1大知识点+5大典例+变式训练+过关检测）
典型例题一 实际问题与反比例函数
典型例题二 反比例函数的应用之销售问题
典型例题三 反比例函数的应用之几何图形问题
典型例题四 反比例函数的应用之行程问题
典型例题五 一次函数与反比例函数的实际应用
知识点01 反比例函数的实际应用
1. 用反比例函数解决问题的两种思路：
1）通过题目已知条件，明确变量之间的关系，设相应的函数关系式，然后根据题中条件求出函数关系式；
2）已知反比例函数关系式，通过反比例函数的图像和性质解决问题.
2. 列反比例函数解决问题的步骤：
1）审：审题，找出题目中的常量和变量，以及它们之间的关系；
2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数表达式；
3）求：根据题中条件列方程，求出待定系数的值；
4）写：写出函数表达式，并注意表达式中自变量的取值范围；
5）解：用函数解析式去解决实际问题．
利用反比例函数解决实际问题，要做到：
1）能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型；
2）注意在自变量和函数值的取值上的实际意义；
3）问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明．
【易错点】
1.利用反比例函数的性质时，误认为所给出的点在同一曲线上；
2.利用函数图像解决实际问题时，容易忽视自变量在实际问题的意义．
【即时训练】
1．（2025·山东·二模）某列高铁从甲地驶往乙地，行完全程所需的时间与行驶的平均速度之间的关系如图所示．若该高铁行驶完全程的时间是，则该高铁的平均速度为（ ）

A． B． C． D．
2．（北京市密云区2025--2026学年九年级上学期期中数学试卷）已知某住宅小区要种植一个面积为的矩形草坪，草坪的长随宽的变化而变化，根据题意列函数表达式为___________________．
【典型例题一 实际问题与反比例函数】
【例1】（25-26八年级下·福建泉州·期末）某校对八年级学生进行体能测试，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四个班学生成绩的合格率与该班参加测试人数的情况，如图所示，其中描述甲、丁两个班情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则这四个班合格人数最多的班级是（ ）
A．甲班 B．乙班 C．丙班 D．丁班
【例2】（2026·江苏淮安·二模）某新能源汽车品牌推出的快充技术中，电池充满电所需的时间（单位：小时）与充电功率P（单位：）成反比例函数关系，已知用功率充电，需2小时充满；若使用的快充桩，充满电需要_______小时．
【例3】（2026·广东广州·三模）某天 ，小芳在家通过某打车软件打车前往火车站搭乘当天 的动车．记汽车的行驶时间为 （单位： ），行驶的平均速度为 （单位： ）， ．根据经验， ， 的对应值如表：
… 20 30 40 50 60
… 0.6 0.4 0.3 0.24 0.2
(1)求平均速度 关于行驶时间 的函数解析式．
(2)已知小芳从开始打车到上车用了 ，并且她想在动车出发前半小时到达火车站，若汽车的平均速度为 ，小芳能否在预定的时间内到达火车站？请说明理由．
(3)若汽车到达火车站的行驶时间 满足 ，求平均速度 的范围．
1．（25-26八年级下·上海金山·期末）在探究通过导体的电流与电阻的关系时，小华得出如下结论：当导体两端的电压保持不变时，通过导体的电流（单位：）与导体的电阻（单位：）满足关系．实验中，当时，．
(1)写出关于的函数表达式；
(2)利用关于的函数表达式，说明当电阻增大为原来的倍（）时，通过导体的电流将如何变化．
2．（2026·河南洛阳·三模）儿童游乐场有一个大游泳池，打开1个进水管，需要24小时才能把空游泳池注满水；打开2个进水管，需要12小时才能把空游泳池注满水．如图，设进水管为x（个），将游泳池注满水所需的时间为t（）．
(1)求t与x之间的函数关系式；
(2)要想2个小时把游泳池注满水，需要同时打开多少个进水管？
(3)已知一个进水管的注水速度为，则此游泳池的容积是多少？若要注入的水，需要同时打开6个进水管多长时间？
3．（2026·河南平顶山·二模）科学家麦克斯韦在1864年建立了完整的电磁波理论，1887年物理学家赫兹用实验证实了电磁波的存在，现在电磁波已经应用到了通信、医疗、能源等领域．已知电磁波的本质完全相同，只是波长和频率有差别，下表是数学兴趣小组通过实验收集到的部分电磁波的波长和频率的对应数据：
项目 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 …
波长 300 500 600 1000 1500 …
频率 1000 600 450 300 200 …
(1)根据表中的数据特征可判断频率f是波长的___________函数（填“一次”“二次”“反比例”），表中数据收集错误的是第___________组．
(2)求频率关于波长的函数关系式．
(3)若手机的电磁波的波长范围是，可见光的波长范围大约是，请你判断手机的电磁波的频率与可见光的频率的大小关系，并说明理由．
【典型例题二 反比例函数的应用之销售问题】
【例1】（24-25九年级上·福建宁德·阶段检测）某药店对一种消毒液5天中的售价与销量进行调查，销量是售价的函数（统计数据见下表）．已知该消毒液的进价为22元/瓶，则下列说法正确的是（　　）
售价x（元/瓶） 24 25 30 32 37.5
销售y（瓶） 200 192 160 150 128
A．销量是售价的正比例函数
B．每天的利润是售价的正比例函数
C．每天的利润是售价的反比例函数
D．要使每天的利润达到1600元，售价应为33元/瓶
【例2】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）某商场销售一批散装坚果，进价为30元每斤，在销售时售货员发现坚果的日销量和每斤的利润正好成反比例关系，且价格调整为每斤50元时，当日销量为80斤，那么每日该坚果的销量y（单位：斤）与每斤价格x（单位：元）之间的函数表达式为____________
【例3】（2025·广西河池·一模）广西壮族三月三，又称“歌圩节”，是壮族传统的盛大节日，这一天，壮族的男女老少都会穿上节日的盛装，举行丰富多彩的活动，以祈求风调雨顺、五谷丰登．进入3月以来，民族服饰卖得很火爆，某服饰经销商销售一款民族服饰，每套进价为80元．在销售过程中发现，该民族服饰的日销售量y（件）是销售价x（元）的反比例函数，已知销售定价为120元时，每日可销售20件．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)若经销商期望该款民族服饰的日销售利润为1200元，则销售单价应定为多少元？
1．（2026·江苏南通·三模）某水果批发商，对一种特色水果先后进行次销售，已知该水果每吨成本为万元，设第x次销售量为吨，每吨售价万元．
若第次销售水果吨，以后每增加一次销售，水果就少卖出吨；
若第次~第次销售中与成一次函数关系，第次~第次销售中与满足．
经过统计，得到如下数据：
（次）
（万元）
(1)求与之间的函数关系式；
(2)当每吨售价为万元时，求的值；
(3)在这次销售中，哪一次销售获得的利润最大，最大利润是多少？
2．（24-25九年级上·广东江门·期末）近年来，许多特色的农产品随着直播漫步“云端”被销售到全国各地． 某农户在直播间销售一种成本为5元/千克的农产品，经调查发现，该农产品每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，其中曲线为反比例函数图象的一部分，线段为一次函数图象的一部分．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)如何定价才能使这种农产品每天的销售利润最大？ 最大利润是多少元？
3．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）疫情期间，某药店出售一批进价为2元的口罩，在市场营销中发现此口罩的日销售单价x（元）与日销售量y（只）之间有如下关系：
日销售单价x（元） 3 4 5 6
日销售量y（只） 2000 1500 1200 1000
（1）猜测并确定y与x之间的函数关系式；
（2）设经营此口罩的销售利润为W元，求出W与x之间的函数关系式？
（3）若物价局规定此口罩的售价最高不能超过10元/只，请你求出当日销售单价x定为多少时，才能获得最大日销售利润？最大利润是多少元？
【典型例题三 反比例函数的应用之几何图形问题】
【例1】（25-26八年级下·福建漳州·期末）某综合实践小组的学生借助自制的密度计，对不同液体的密度进行测量，当该密度计在各类液体中处于悬浮状态时，浸在液体中的高度（）是液体的密度（）的反比例函数，其图象如图所示（），下列说法正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【例2】（2025·山西晋中·一模）在温度不变的条件下，某汽缸内气体压强与体积成反比例函数关系，其图象如图所示，若压强由加压到，则气体体积压缩了______．
【例3】（2026·河南驻马店·三模）在移动通信中，手机接收到的信号强度会随着与信号基站距离的增加而减弱．某通信实验室在郊区空旷地带对一座4G信号基站（图1）进行测试．
(1)测试人员在距离基站米的处测得基站的顶端的仰角为，基站与地面垂直，示意图如图2所示，则基站的高度为________米．（用含，的式子表示）
(2)信号强度（单位：相对值）与手机到基站的距离（单位：米）的平方成反比．为便于分析，工程师引入中间变量，则与满足反比例函数关系，其中为与基站发射功率有关的常数，测试人员在距离基站200米处测得信号强度为1个单位．
①求关于的函数表达式．
②工程师将信号强度划分为以下等级：
信号强度
等级 优秀 良好 一般 弱覆盖
用户体验 高速上网 正常上网 可上网，速率慢 容易掉线
通过计算说明，手机距离基站多少米以外，上网容易掉线．（结果保留整数．参考数据：）
1．（2026·贵州安顺·二模）图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．若在水温为时开始加热，水温与通电时间之间的函数关系如图2所示．
(1)将水从加热到需要________；
(2)在水温下降的过程中，求水温关于通电时间的函数表达式；
(3)加热一次，水温不低于的时间有多长？
2．（2026·河南驻马店·三模）如图为某游乐场“水上滑梯”的侧面图，其中段可看成是一段双曲线，矩形为向上攀爬的梯子，米，米．以点为原点，水面所在直线为轴建立如图的直角坐标系，其中点在轴上．
(1)求段滑梯所在的双曲线的解析式（不需写出的取值范围）；
(2)出口点距离水面的距离为米，求，之间的水平距离；
(3)为防止踩踏事件，滑梯管理员需要在滑梯上的点处设置一块红色标识，当前一位坐滑梯的游客与的距离不少于米时，才能放行下一位游客（即点到的距离至少米），求点到水面的距离最多多少米？
3．（25-26八年级下·吉林长春·期中）综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度．密度计在无外力作用下悬浮在不同的液体中（如图①），浸入液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其函数图象如图②所示．
(1)求与之间的函数关系式；
(2)当液体密度从增加到时，求密度计浸入该液体中的高度怎么变化，变化了多少？
【典型例题四 反比例函数的应用之行程问题】
【例1】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段检测）在行程问题中，路程千米一定时，速度千米时关于时间小时的函数关系的大致图象是　　
A． B．
C． D．
【例2】（2026·陕西榆林·模拟预测）通信信号塔的总功率保持不变的情况下，信号强度（单位：）与距离（单位：）是反比例函数关系．其图象如图所示，若小秦同学在距离该通信信号塔处时，信号强度为______．
【例3】（2025·河南信阳·一模）跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一，运动员通过助滑道后在点A 处起跳经空中飞行后落在着陆坡上某处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．如图是跳台滑雪训练场横截面示意图，这里表示起跳点A到地面的距离，，以O为坐标原点，以地面的水平线为x轴，所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．某运动员在A处起跳腾空后，在空中飞行过程中，运动员到x轴的距离与水平方向移动的距离满足．在着陆坡上设置点K作为基准点，点K与相距30，高度（与距离）为5，着陆点在K点或超过K 点视为成绩达标．
(1)若某运动员在一次试跳中飞行的水平距离为10时，恰好达到最大高度，此时a的值为 ，他的这次试跳落地点能否达标？ （填“能”或“不能”）．
(2)研究发现，运动员的运动轨迹与滑出速度的大小有关，下表是某运动员7次试跳的a与的对应数据：
150 170 190 210 230 250 270
a
①猜想a关于的函数类型，并求出函数解析式；
②当滑出速度v为多少时，运动员的成绩刚好能达标？
1．（24-25八年级下·江苏南京·期末）A，B两地相距．汽车以的平均速度从A地到达B地需要．
(1)①写出y与x的函数关系式；
②如果汽车的平均速度不超过，那么汽车从A地到B地至少需要多少时间？
(2)若某车从A地驶往B地，先以的平均速度行驶，余下路程的行驶平均速度是原平均速度的倍，两段路程共用，求a的值．
2．（2026·吉林·一模）如图，为某公园“水上滑梯”的侧面图，其中段可看成是一段双曲线，建立如图的坐标系后，其中，矩形为向上攀爬的梯子，米，进口，且米，出口C点距水面的距离为．
(1)求段滑梯所在双曲线的解析式；
(2)若为米，求B，C之间的水平距离的长度．
3．（2026九年级下·福建泉州·专题练习）（一）“反比例函数”与“闭眼打转问题”
在日常生活中，有一个有趣的现象，当你闭上眼睛走路时，走的路线不是一条直线，而是一条曲线．当走的距离足够远时，又回到了原来出发的地方，这就是著名的“闭眼打转问题”．
“反比例函数”与“闭眼打转问题”看似两件风马牛不相及的事情，怎么会扯上关系呢？看了下面的分析，你就会感受到反比例函数的“神奇力量”！
相传公元1896年，挪威生理学家古德贝尔对此问题进行了深入的研究．他收集了大量事例分析并得到结论：这一切都是由于人自身两条腿在作怪！长年累月养成的习惯，使每个人一只脚伸出的步子，要比另一只脚伸出的步子长（或短）一段微不足道的距离．而正是这一段很小的步差x，导致了这个人走出一个半径为y的大圈子！
现在我们来研究一下x与y之间的函数关系：
如图所示，假定某人两脚踏线间相隔为d，很明显，当人在转圈子时，两只脚实际上走出了两个半径相差为d的同心圆．设该人平均步长为l．那么，一方面这个人外脚比内脚多走路程：；另一方面，外脚走的路程是外脚步长乘步数，内脚走的路程是内脚的步长乘步数，那么外脚比内脚多走的路程又等于这个人走一圈的步数与步差的乘积，所以有，即．
若假设，，代入得，这就是所求的“闭眼打转问题”的半径公式．它是一个反比例函数．假设一位“闭眼走路”的人两脚步差仅为，那么，仅此微小的差异就足以使他在大约三公里的范围内绕圈子．看到这里，你是否被神奇的反比例函数所折服呢？
（二）有趣的游戏
在世界著名的水都威尼斯，有个圣马可广场．广场上有一座圣马可大教堂，教堂的前面是一片长方形开阔地，长约170米，宽约80米．这片开阔地经常吸引着四方游人到这里做一种奇特的游戏：把眼睛蒙上，然后从广场的一端向另一端的教堂走去，看谁能到达教堂的正前方．奇怪的是，尽管这段距离只有170米，但却没有一名游客能幸运地做到这一点！全都走成了弧线，或左或右，偏斜到了一边！为什么是这样呢？
(1)让我们先来计算一下，当人们闭起眼睛，从广场一侧的中央M点抵达教堂的点C处，这段弧线的半径R为多少？请同学们完成下面的问题．已知，在矩形中，米，米，M是中点，求弧所在圆O的半径R．
(2)也就是说，游人要想成功，他所走的弧线半径必须不小于这个R．请你再用公式计算一下，要达到上述要求，游客的两脚步差x的取值范围是多少？你能否说说为什么没有一个游客能幸运地做到：“把眼睛蒙上，然后从广场的一端向另一端的教堂走去，到达教堂的正前方！”
【典型例题五 一次函数与反比例函数的实际应用】
【例1】（2025·广西南宁·一模）某品牌自动饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热．水温开始下降，此时水温（）与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热．若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A．上午8点接通电源，可以保证当天能喝到不超过的水
B．水温下降过程中，与之间的函数关系式是
C．水温从加热到需要
D．水温不低于的时间为
【例2】（2025·四川成都·模拟预测）直线y＝－x＋2a（常数）和双曲线的图象有且只有一个交点B，一次函数y＝－x＋2a与x轴交于点A，点P是线段OA上的动点，点Q在反比例函数图象上，且满足∠BPO＝∠QPA．设PQ与线段AB的交点为M，若OM⊥BP，则的值为______．
【例3】（24-25九年级上·辽宁盘锦·期中）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点B是反比例函数图象上一点，轴于点C，交一次函数的图象于点D，连接．
(1)直接写出反比例函数与一次函数的表达式；
(2)直接写出 的x取值范围
(3)当时，求的面积．
1．（25-26八年级下·山东济南·期中）研究发现：初中生在数学课上的注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生注意力直线上升，中间一段时间，学生的注意力保持平稳状态，随后开始分散，注意力与时间呈反比例关系降回开始时的水平．学生注意力指标随时间（分钟）变化的函数图象如图所示．
(1)求反比例函数的解析式，并求点对应的指标值；
(2)张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要15分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由．
2．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）为了做好校园“甲流”防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物熏蒸消毒．已知消毒药物燃烧时，室内空气中的含药量y（单位：）与时间x（单位：）成正比例函数关系，药物燃烧完成后，y与x成反比例函数关系，函数图像如图所示．
信息窗 1．药物8分钟燃烧完毕，此时室内空气中的含药量为． 2．空气中的含药量不高于时，学生方可回到教室． 3．当室内空气中的含药量不低于时，对杀灭病毒有效．
(1)直接写出m，n的值；
(2)求本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间：
(3)从消毒开始，至少需要多长时间学生才能回到教室？
3．（2025·江苏盐城·二模）小丽家饮水机中水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温与开机时间满足一次函数关系，随后水温开始下降，此过程中水温与开机时间成反比例关系，当水温降至时，根据图中提供的信息，解答问题．
(1)当时，求水温关于开机时间的函数关系式；
(2)求图中的值．
(3)若小丽在将饮水机通电开机后外出散步，请你预测小丽散步回到家时，饮水机中水的温度．
1．（25-26九年级上·广西来宾·期末）已知某电路中，电压为定值，电流（单位：）与电阻（单位：）成反比例函数关系．当电阻为时，电流为；当电流从增加到时，电阻减小了（　　）
A． B． C． D．
2．（25-26九年级下·甘肃兰州·期中）下面问题中，y与满足的函数关系是二次函数的是（ ）
①面积为的矩形中，矩形的长与宽的关系；
②底面圆的半径为的圆柱中，侧面积与圆柱的高的关系；
③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x元出售，可卖出件．利润y（元）与每件售价（元）的关系．
A．① B．② C．③ D．①③
3．（25-26九年级上·山西太原·阶段检测）如图，某同学用自制密度计测量液体的密度，下表是他记录的密度计悬浮在不同的液体中时的数据．当密度计悬浮在另一种液体中时，该液体的密度是（ ）
液体的密度 20 10 5 2.5
浸在液体中的高度 1 2 4 8
A． B． C． D．
4．（2026·广东深圳·二模）如图是某款煮茶壶，开机加热将水匀速加热至后停止加热，此时水温开始下降，此时水温与启动加热后通电时间成反比例函数关系．当水温降至时启动保温功能．图是开始启动加热过程中，水温与通电时间之间的函数关系图，则下列说法错误的是（ ）
A．水温在启动加热到的过程中，与的函数关系式是
B．在通电启动加热开关时，喝到的茶水为
C．在整个通电启动到保温过程中，水温不低于的时间为
D．在通电启动加热开关后，喝到的茶水的温度为
5．（2026·重庆·三模）反比例函数的图象在第一象限内的一支如图所示，是该图象上一点，是轴上一点，连接、，若，的面积为4，则k的值是（ ）
A． B．2 C．4 D．8
6．（25-26八年级下·上海静安·期末）在相互啮合的齿轮的传动中，大齿轮的齿数为，每分钟转圈，如果小齿轮的齿数为，每分钟转圈，那么关于的函数表达式为________．
7．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）潜水时，潜水深度增加会导致人的呼吸加快，因此气瓶的使用时间会缩短．经研究发现，在一定条件下，气瓶可用时间（分钟）是潜水深度（米）的反比例函数．当潜水深度为米时，气瓶可用时间为分钟．为保证安全，要求气瓶可用时间不少于分钟，则潜水深度最大为______米．
8．（2026·广东梅州·三模）如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰的高度）不变时，火焰的像高（单位：）与物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）成反比例函数关系． 已知当时，．若火焰的像高为，则小孔到蜡烛的距离为______．
9．（24-25九年级上·河北邢台·期末）某品牌热水器中，原有水的温度为，开机通电，热水器启动开始加热（加热过程中水温与开机时间x分钟满足一次函数关系），当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降（水温下降过程中水温与开机时间x分钟成反比例函数关系）．当水温降至时，热水器又自动以相同的功率加热至……重复上述过程，如图，根据图像提供的信息，则
（1）当时，水温开机时间x分钟的函数表达式______；
（2）当水温为时，______；
（3）通电分钟时，热水器中水的温度y约为______．
10．（2026·四川南充·一模）如图，经过坐标原点的直线与双曲线分别在第一象限和第三象限相交于点A、B，轴，于点．若，点的横坐标为，则的值为______．
11．（24-25九年级下·湖南娄底·阶段检测）如图直线与双曲线交于A，B两点，点A的坐标为．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)求的面积．
12．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）某新型发动机启动过程中，转速与时间的关系如下：
阶段1（启动阶段）：从启动开始，转速随时间均匀增加．启动时转速为转，转速每分钟提高转，转速达到转停止加速；
阶段2（稳定下降阶段）：达到最高转速后，发动机进入保护模式，转速开始下降，且下降过程中转速与时间成反比例函数关系．已知转速（单位：转）与通电时间（单位：）之间的函数关系如图所示．
(1)求关于的函数解析式；（不需要写出自变量的取值范围）
(2)从开始加速到转速下降的一个周期内，转速不低于转的时间有多长？
13．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图，已知点在正比例函数图像上，过点作轴于点，四边形是正方形，点在反比例函数图像上．

(1)若点的横坐标为，求的值；
(2)若设正方形的边长为，试用含的代数式表示值．
14．（24-25九年级上·四川成都·期末）2023年8月8日，成都大运会闭幕式在成都露天音乐公园举行．成都露天音乐公园是一座以音乐为主题，集文化艺术、休闲娱乐、旅游观光等功能为一体的大型城市公园，公园的整体景观设计融入了太阳神鸟文化、天府文化、凤凰文化、古蜀音乐文化，同时其具国际化风格．王华在公园的游客中心售卖大运会陶瓷文创纪念品，她以50元/件的价格购进了一款陶瓷蓉宝手办，在销售过程中发现：每天的销售量y（件）与销售价格x（元/件）的关系如图所示，其中为反比例函数图像的一部分，为一次函数图像的一部分．设销售这款手办的日利润为（元）．
(1)求与之间的函数关系式：
(2)求与之间的函数关系式，并求出当日利润为600元时，每件手办的售价为多少元？
15．（24-25八年级下·山东烟台·期末）当下教育主管部门提倡加强高效课堂建设，要求教师课堂上要精讲，把时间、思考、课堂还给学生．通过实验发现：学生在课堂上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始后，学生的学习兴趣递增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳高效状态，后阶段注意力开始分散．学生注意力指标随时间（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段，当时，图象是反比例函数的一部分．
(1)求点对应的指标值．
(2)如果学生在课堂上的注意力指标不低于30属于学习高效阶段，请你求出学生在课堂上的学习高效时间段．
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第10讲 实际问题与反比例函数（1大知识点+5大典例+变式训练+过关检测）
典型例题一 实际问题与反比例函数
典型例题二 反比例函数的应用之销售问题
典型例题三 反比例函数的应用之几何图形问题
典型例题四 反比例函数的应用之行程问题
典型例题五 一次函数与反比例函数的实际应用
知识点01 反比例函数的实际应用
1. 用反比例函数解决问题的两种思路：
1）通过题目已知条件，明确变量之间的关系，设相应的函数关系式，然后根据题中条件求出函数关系式；
2）已知反比例函数关系式，通过反比例函数的图像和性质解决问题.
2. 列反比例函数解决问题的步骤：
1）审：审题，找出题目中的常量和变量，以及它们之间的关系；
2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数表达式；
3）求：根据题中条件列方程，求出待定系数的值；
4）写：写出函数表达式，并注意表达式中自变量的取值范围；
5）解：用函数解析式去解决实际问题．
利用反比例函数解决实际问题，要做到：
1）能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型；
2）注意在自变量和函数值的取值上的实际意义；
3）问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明．
【易错点】
1.利用反比例函数的性质时，误认为所给出的点在同一曲线上；
2.利用函数图像解决实际问题时，容易忽视自变量在实际问题的意义．
【即时训练】
1．（2025·山东·二模）某列高铁从甲地驶往乙地，行完全程所需的时间与行驶的平均速度之间的关系如图所示．若该高铁行驶完全程的时间是，则该高铁的平均速度为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是反比例函数的应用，掌握利用待定系数法求解反比例函数的解析式是解题的关键．由设再利用待定系数法求解反比例函数解析式，把h代入函数解析式求解的值，结合图象上点的坐标含义可得答案．
【详解】解：由题意设 ，
把代入得： ，
，
当h时，，
所以列车要在内到达，则速度至少需要提高到，
故选B．
2．（北京市密云区2025--2026学年九年级上学期期中数学试卷）已知某住宅小区要种植一个面积为的矩形草坪，草坪的长随宽的变化而变化，根据题意列函数表达式为___________________．
【答案】
【分析】本题主要考查了列反比例函数关系式，根据矩形面积公式，长与宽的乘积等于面积，从而写出函数表达式．
【详解】解：设草坪的长为，宽为，面积为平方米，根据题意，得
，
因此，关于的函数表达式为
故答案为：．
【典型例题一 实际问题与反比例函数】
【例1】（25-26八年级下·福建泉州·期末）某校对八年级学生进行体能测试，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四个班学生成绩的合格率与该班参加测试人数的情况，如图所示，其中描述甲、丁两个班情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则这四个班合格人数最多的班级是（ ）
A．甲班 B．乙班 C．丙班 D．丁班
【答案】C
【分析】设反比例函数表达式为，表示出甲、乙、丙、丁，过乙点作y轴平行线交反比例函数于点，过丙点作y轴平行线交反比例函数于点，然后结合图象判断即可．
【详解】解：∵甲、丁两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，
∴设反比例函数表达式为，
则甲、乙、丙、丁，
过乙点作y轴平行线交反比例函数于点，过丙点作y轴平行线交反比例函数于点，如图所示：
由图可知，
∴甲、、、丁在反比例函数图象上，
根据题意可知合格人数，
∴，即甲、丁两个班级合格人数相同；
，即乙班级合格人数比甲、丁两个班级合格人数少；
，即丙班级合格人数比甲、丁两个班级合格人数多；
综上所述：乙班级合格人数甲班级合格人数丁班级合格人数丙班级合格人数，
∴这四个班合格人数最多的是丙．
【例2】（2026·江苏淮安·二模）某新能源汽车品牌推出的快充技术中，电池充满电所需的时间（单位：小时）与充电功率P（单位：）成反比例函数关系，已知用功率充电，需2小时充满；若使用的快充桩，充满电需要_______小时．
【答案】
【分析】根据与成反比例关系设出函数解析式，利用已知条件求出待定系数得到完整函数解析式，再代入所求充电功率计算得到对应充电时间．
【详解】解：设与的函数解析式为
把，代入解析式得，
解得
因此函数解析式为
把代入解析式得．
【例3】（2026·广东广州·三模）某天 ，小芳在家通过某打车软件打车前往火车站搭乘当天 的动车．记汽车的行驶时间为 （单位： ），行驶的平均速度为 （单位： ）， ．根据经验， ， 的对应值如表：
… 20 30 40 50 60
… 0.6 0.4 0.3 0.24 0.2
(1)求平均速度 关于行驶时间 的函数解析式．
(2)已知小芳从开始打车到上车用了 ，并且她想在动车出发前半小时到达火车站，若汽车的平均速度为 ，小芳能否在预定的时间内到达火车站？请说明理由．
(3)若汽车到达火车站的行驶时间 满足 ，求平均速度 的范围．
【答案】(1)；
(2)不能，
∵从 到 总时间为 ， ，提前到达需要的半小时为 ，
∴可用于行驶的时间为 ，
当 时，所需行驶时间 ，
，
小芳不能在预定的时间内到达火车站；
(3)
【分析】（1）根据表格数据判断 与 满足反比例关系，用待定系数法求出函数解析式，再结合 的限制得到自变量 的取值范围；
（2）先计算出小芳可用于行驶的总时间，再求出平均速度为 时所需的行驶时间，比较后判断是否能按时到达；
（3）利用反比例函数的性质，当 在给定范围内时，计算得到对应 的取值范围．
【详解】（1）观察表格数据可知 与 的乘积为定值，
∴设，
将 ， 代入得 ，
由题知 ，
∴ ，
解得 ，
∴平均速度 关于行驶时间 的函数解析式为 ；
（2）略；
（3），
∴当 时， 随 的增大而减小，
∵ ，
， 即 ．
1．（25-26八年级下·上海金山·期末）在探究通过导体的电流与电阻的关系时，小华得出如下结论：当导体两端的电压保持不变时，通过导体的电流（单位：）与导体的电阻（单位：）满足关系．实验中，当时，．
(1)写出关于的函数表达式；
(2)利用关于的函数表达式，说明当电阻增大为原来的倍（）时，通过导体的电流将如何变化．
【答案】(1)
(2)电流变为原来的
【分析】（1）将已知的、数值代入，求出常数，再写出关于的函数表达式．
（2）设原来电阻为，表示出原电流；再表示电阻增大为原来的倍后的电阻，求出新电流，对比得出电流变化规律．
【详解】（1）解：，，，
，
，
；
（2）解：设原电阻为，原电流．
电阻增大为原来的倍后，新电阻．
，
，
，
电流变为原来的．
2．（2026·河南洛阳·三模）儿童游乐场有一个大游泳池，打开1个进水管，需要24小时才能把空游泳池注满水；打开2个进水管，需要12小时才能把空游泳池注满水．如图，设进水管为x（个），将游泳池注满水所需的时间为t（）．
(1)求t与x之间的函数关系式；
(2)要想2个小时把游泳池注满水，需要同时打开多少个进水管？
(3)已知一个进水管的注水速度为，则此游泳池的容积是多少？若要注入的水，需要同时打开6个进水管多长时间？
【答案】(1)
(2)12个
(3)此游泳池的容积是，注入的水需要同时打开6个进水管3.2小时
【分析】（1）由图象知，t是x的反比例函数，当时，，设，进而求解即可；
（2）将代入反比例函数关系式求解即可；
（3）根据“打开1个进水管，需要24小时才能把空游泳池注满水”及“一个进水管的注水速度为”可知此游泳池的容积；用注入量除以6个进水管的总效率即可．
【详解】（1）解：由图象知，t是x的反比例函数，当时，，
设，
，
解得：，
；
（2）解：当时，，
解得．
∴需要同时打开12个进水管；
（3）解：∵，
∴此游泳池的容积是．
．
答：此游泳池的容积是，注入的水需要同时打开6个进水管3.2小时．
3．（2026·河南平顶山·二模）科学家麦克斯韦在1864年建立了完整的电磁波理论，1887年物理学家赫兹用实验证实了电磁波的存在，现在电磁波已经应用到了通信、医疗、能源等领域．已知电磁波的本质完全相同，只是波长和频率有差别，下表是数学兴趣小组通过实验收集到的部分电磁波的波长和频率的对应数据：
项目 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 …
波长 300 500 600 1000 1500 …
频率 1000 600 450 300 200 …
(1)根据表中的数据特征可判断频率f是波长的___________函数（填“一次”“二次”“反比例”），表中数据收集错误的是第___________组．
(2)求频率关于波长的函数关系式．
(3)若手机的电磁波的波长范围是，可见光的波长范围大约是，请你判断手机的电磁波的频率与可见光的频率的大小关系，并说明理由．
【答案】(1)反比例，三
(2)
(3)，理由如下：
，
∴当时，随的增大而减小．
，
∴，
，
．
【分析】（1）根据波长与频率的乘积是定值可判断频率f是波长的反比例函数，据此再判断表中数据收集错误是哪组即可；
（2）设频率关于波长的函数关系式为，把代入求解即可；
（3）根据反比例函数的增减性判断即可．
【详解】（1）解：∵，，，，
∴频率f是波长的反比例函数．
∵，
表中数据收集错误的是第三组；
（2）解：设频率关于波长的函数关系式为．
把代入，得，
．
∴频率关于波长的函数关系式为；
（3）略．
【典型例题二 反比例函数的应用之销售问题】
【例1】（24-25九年级上·福建宁德·阶段检测）某药店对一种消毒液5天中的售价与销量进行调查，销量是售价的函数（统计数据见下表）．已知该消毒液的进价为22元/瓶，则下列说法正确的是（　　）
售价x（元/瓶） 24 25 30 32 37.5
销售y（瓶） 200 192 160 150 128
A．销量是售价的正比例函数
B．每天的利润是售价的正比例函数
C．每天的利润是售价的反比例函数
D．要使每天的利润达到1600元，售价应为33元/瓶
【答案】D
【分析】根据反比例函数的意义计算售价和销售量的乘积，即可判断A，再求出利润的表达式，即可判断B，C，根据利润为1600元列出方程，解之即可判断D．
【详解】解：由表可知：
，
∴销量是售价的反比例函数，故A不合题意；
每天的利润为：
故每天的利润既不是售价的正比例函数，也不是反比例函数，故B，C不合题意；
要使每天的利润达到1600元，
则，
解得：，即售价为33元/瓶，故D符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了正比例函数和反比例函数，解答本题的关键是正确利用表格中的数据，掌握销售问题中的等量关系．
【例2】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）某商场销售一批散装坚果，进价为30元每斤，在销售时售货员发现坚果的日销量和每斤的利润正好成反比例关系，且价格调整为每斤50元时，当日销量为80斤，那么每日该坚果的销量y（单位：斤）与每斤价格x（单位：元）之间的函数表达式为____________
【答案】
【分析】根据销售量=每日销售总金额÷单价列出函数关系式即可．
【详解】解：∵每斤50元时，当日销量为80斤，
∴当日销售金额为：（元），
∴每日该坚果的销量y（单位：斤）与每斤价格x（单位：元）之间的函数表达式为：，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了反比例函数应用，求出当日销售总金额是解答本题的关键．
【例3】（2025·广西河池·一模）广西壮族三月三，又称“歌圩节”，是壮族传统的盛大节日，这一天，壮族的男女老少都会穿上节日的盛装，举行丰富多彩的活动，以祈求风调雨顺、五谷丰登．进入3月以来，民族服饰卖得很火爆，某服饰经销商销售一款民族服饰，每套进价为80元．在销售过程中发现，该民族服饰的日销售量y（件）是销售价x（元）的反比例函数，已知销售定价为120元时，每日可销售20件．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)若经销商期望该款民族服饰的日销售利润为1200元，则销售单价应定为多少元？
【答案】(1)
(2)销售单价应为160元
【分析】本题主要考查了反比例函数的应用、分式方程的应用等知识点，正确求得函数解析式是解题的关键．
（1）因为y与x成反比例函数关系，可设函数式为，然后根据当售价定为120元时，每天可售出20件可求出k的值即可．
（2）设单价是x元，根据每天可售出y件，每件的利润是元，总利润为1200元，由利润=售价-进价列方程求解即可．
【详解】（1）解：设函数式为，
∵当销售定价为120元时，每日可销售20件，
∴，解得：，
∴y与x之间的函数关系式为：．
（2）解：设单价是x元，
∵，
∴，解得：，
检验：当时，利润为元，符合题意．
答：销售单价应为160元．
1．（2026·江苏南通·三模）某水果批发商，对一种特色水果先后进行次销售，已知该水果每吨成本为万元，设第x次销售量为吨，每吨售价万元．
若第次销售水果吨，以后每增加一次销售，水果就少卖出吨；
若第次~第次销售中与成一次函数关系，第次~第次销售中与满足．
经过统计，得到如下数据：
（次）
（万元）
(1)求与之间的函数关系式；
(2)当每吨售价为万元时，求的值；
(3)在这次销售中，哪一次销售获得的利润最大，最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)
(3)第次获得的利润最大，最大利润是万元
【分析】（1）根据“第一次销售水果为吨，然后每一次总比前一次销售减少吨”即可列出与之间的函数表达式；
（2）根据待定系数法求出当，时的函数关系系，再求出即可；
（3）设第次销售获得利润为万元，分类求出当时，当时与的函数关系式，再分别求出最大值，进行比较，问题得解．
【详解】（1）解：由题意可得．
（2）解：当时，
设，
∴，
解得：
；
当时，，
解得：（舍），
当时，，
代入，
得
解得，
，
当时，，
解得：．
（3）解：设第次销售获得利润为万元，
当时，，
，
，其开口向下，对称轴为，
当时，的值最大为（万元）；
当时，，
是反比例函数，当时，函数图像在第一象限，函数随着的增大而减小，
∴当时，取最大值，最大值为（万元），
，
第次获得的利润最大，最大利润是万元．
2．（24-25九年级上·广东江门·期末）近年来，许多特色的农产品随着直播漫步“云端”被销售到全国各地． 某农户在直播间销售一种成本为5元/千克的农产品，经调查发现，该农产品每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，其中曲线为反比例函数图象的一部分，线段为一次函数图象的一部分．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)如何定价才能使这种农产品每天的销售利润最大？ 最大利润是多少元？
【答案】(1)
(2)当销售单价为时，这种农产品每天的销售利润最大，最大利润是元．
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，反比例函数的实际应用，二次函数的实际应用：
（1）分两段：当时，当时，利用待定系数法解答，即可求解；
（2）设利润为w元，分两段：当时，当时，求出w关于x的函数解析式，再根据反比例函数以及二次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：当时，设y与x的函数关系式为，
∵点在该函数图象上，
∴，
解得：，
∴当时，y与x的函数关系式为，
当时，设y与x的函数关系式为，
，
解得，
即当时，y与x的函数关系式为，
综上所述，y与x的函数关系式为；
（2）解：设利润为w元，
当时，，
∵，
∴随x的增大而增大，
∴w随x的增大而增大，
∴当时，w取得最大值，此时，
当时，，
∴当时，w取得最大值，此时，
∵，
∴当销售单价为时，这种农产品每天的销售利润最大，最大利润是元，
答：当销售单价为时，这种农产品每天的销售利润最大，最大利润是元．
3．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）疫情期间，某药店出售一批进价为2元的口罩，在市场营销中发现此口罩的日销售单价x（元）与日销售量y（只）之间有如下关系：
日销售单价x（元） 3 4 5 6
日销售量y（只） 2000 1500 1200 1000
（1）猜测并确定y与x之间的函数关系式；
（2）设经营此口罩的销售利润为W元，求出W与x之间的函数关系式？
（3）若物价局规定此口罩的售价最高不能超过10元/只，请你求出当日销售单价x定为多少时，才能获得最大日销售利润？最大利润是多少元？
【答案】（1）y＝,验证见解析；（2）W＝6000﹣；（3）当x＝10时，W取得最大值，最大值为4800元
【分析】（1）由表知xy＝6000，据此可得y＝，依次验证各组数据即可；
（2）根据总利润＝每个贺卡的利润×贺卡的日销售数量可得函数解析式；
（3）根据反比例函数的性质求解可得．
【详解】解：（1）猜测y与x之间的函数关系式为y＝
验证：当x=3时，y=
当x=4时，y=
当x=5时，y=
当x=6时，y=
则y与x之间的函数关系式为y＝
（2）根据题意，得：
W＝（x﹣2） y
＝（x﹣2）
＝6000﹣；
（3）∵x≤10，
∴﹣≤﹣1200，
则6000﹣≤4800，
即当x＝10时，W取得最大值，最大值为4800元，
答：当日销售单价x定为10元/个时，才能获得最大日销售利润，最大利润是4800元．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是掌握反比例函数的性质、根据题意确定相等关系并据此列出函数解析式．
【典型例题三 反比例函数的应用之几何图形问题】
【例1】（25-26八年级下·福建漳州·期末）某综合实践小组的学生借助自制的密度计，对不同液体的密度进行测量，当该密度计在各类液体中处于悬浮状态时，浸在液体中的高度（）是液体的密度（）的反比例函数，其图象如图所示（），下列说法正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】B
【分析】待定系数法求出反比例函数解析式为，然后结合图象逐项分析求解判断即可．
【详解】解：由图象得，当时，，故A错误；
设反比例函数解析式为，
将代入得，，
解得，
∴，
∴当时，，故C错误；
当时，，
∵当时，h随的增大而减小，
∴当时，，故B正确；
由图象得，当时，，故D错误．
【例2】（2025·山西晋中·一模）在温度不变的条件下，某汽缸内气体压强与体积成反比例函数关系，其图象如图所示，若压强由加压到，则气体体积压缩了______．
【答案】
【分析】先求出反比例函数关系式，再分别求出气体体积，作差求解即可．
【详解】解：设反比例函数关系式为，
反比例函数图象经过点，
，解得，
反比例函数关系式为．
当时，即，解得；
当时，即，解得，
．
即气体体积压缩了．
【例3】（2026·河南驻马店·三模）在移动通信中，手机接收到的信号强度会随着与信号基站距离的增加而减弱．某通信实验室在郊区空旷地带对一座4G信号基站（图1）进行测试．
(1)测试人员在距离基站米的处测得基站的顶端的仰角为，基站与地面垂直，示意图如图2所示，则基站的高度为________米．（用含，的式子表示）
(2)信号强度（单位：相对值）与手机到基站的距离（单位：米）的平方成反比．为便于分析，工程师引入中间变量，则与满足反比例函数关系，其中为与基站发射功率有关的常数，测试人员在距离基站200米处测得信号强度为1个单位．
①求关于的函数表达式．
②工程师将信号强度划分为以下等级：
信号强度
等级 优秀 良好 一般 弱覆盖
用户体验 高速上网 正常上网 可上网，速率慢 容易掉线
通过计算说明，手机距离基站多少米以外，上网容易掉线．（结果保留整数．参考数据：）
【答案】(1)
(2)①；
②上网容易掉线对应的信号强度为．
令，解得，即．
∴（米）．
由反比例函数图象，可知时，，即，
∴手机距离基站632米之外，上网容易掉线．
【分析】（1）利用正切的定义求得长即可；
（2）①利用待定系数法求解析式即可；
②令，解出，进而解，然后根据图象写出不等式的解．
【详解】（1）解：，
；
（2）解：①由题意，可知，则，此时．
把代入，得．
∴关于的函数表达式为．
②略
1．（2026·贵州安顺·二模）图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．若在水温为时开始加热，水温与通电时间之间的函数关系如图2所示．
(1)将水从加热到需要________；
(2)在水温下降的过程中，求水温关于通电时间的函数表达式；
(3)加热一次，水温不低于的时间有多长？
【答案】(1)5
(2)
(3)
【分析】（1）由时间=温差÷升温速度，求出加热至时间；
（2）由（1）得当时，，因为降温过程为反比例函数，所以将代入中，求出，最后写出解析式；
（3）分升温、降温两段，分别算出两段水温不低于时对应的起止时间，整理得，最后求总时长．
【详解】（1）解：升温总温差：，
用时：；
（2）由（1）得停止加热点坐标为，
∵降温时，水温是通电时间的反比例函数，
∴设降温过程中，即时，水温关于通电时间的函数表达式为，
把代入中得：，
解得：，
∴在水温下降的过程中，水温关于通电时间的函数表达式为；
（3）在升温段，即时，
∵水温从升到时所用时间为，
∴当时，水温不低于，
在降温段，即时，
∵当时，，
∴当时，水温不低于，
综上所述：当时，水温不低于，
∴水温不低于的时长为．
【点睛】升温阶段和降温阶段共用分界点是解题关键，把“温度不低于”转化为函数取值范围，分段求解自变量取值,再计算时长，是函数应用题常用方法．
2．（2026·河南驻马店·三模）如图为某游乐场“水上滑梯”的侧面图，其中段可看成是一段双曲线，矩形为向上攀爬的梯子，米，米．以点为原点，水面所在直线为轴建立如图的直角坐标系，其中点在轴上．
(1)求段滑梯所在的双曲线的解析式（不需写出的取值范围）；
(2)出口点距离水面的距离为米，求，之间的水平距离；
(3)为防止踩踏事件，滑梯管理员需要在滑梯上的点处设置一块红色标识，当前一位坐滑梯的游客与的距离不少于米时，才能放行下一位游客（即点到的距离至少米），求点到水面的距离最多多少米？
【答案】(1)；
(2)米；
(3)米．
【分析】（1）根据矩形的性质结合点在轴上，求出点的坐标，再利用待定系数法计算即可；
（2）设点的坐标为点的坐标并代入解析式中，求出的值，再根据，之间的水平距离为求解即可；
（3）设点的坐标为并代入解析式中，将用表示出来，根据列关于的不等式并求其解集，从而得到的最小值即可．
【详解】（1）解：∵矩形，，，
∴，，，
∵点在轴上，
∴轴，
∴轴，
∴点的坐标为，
∵设段滑梯所在的双曲线的解析式为（为常数，且），
将坐标代入，得，
解得，
∴段滑梯所在的双曲线的解析式为．
（2）解：∵点距离水面的距离为米，
∴设点的坐标为，
∵点在上，
∴将代入，解得：，
∴点的坐标为
∴，之间的水平距离：（米）；
（3）解“设点的坐标为，
将代入，
得，
，
根据题意，得，
解得，
点到水面的距离最多米．
3．（25-26八年级下·吉林长春·期中）综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度．密度计在无外力作用下悬浮在不同的液体中（如图①），浸入液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其函数图象如图②所示．
(1)求与之间的函数关系式；
(2)当液体密度从增加到时，求密度计浸入该液体中的高度怎么变化，变化了多少？
【答案】(1)
(2)减少了，减少了
【分析】（1）设，把求出k，即可得出解析式；
（2）把代入（1）中求解的函数解析式即可．
【详解】（1）解：设h与p之间的函数关系式为，由题可知，图像过，
将代入，得，
解得：，
所以h与ρ之间的函数关系式为；
（2）解：当时，，
，
密度计浸入该液体中的高度h减少了．
【典型例题四 反比例函数的应用之行程问题】
【例1】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段检测）在行程问题中，路程千米一定时，速度千米时关于时间小时的函数关系的大致图象是　　
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据路程速度时间列出函数关系式，根据相应的函数关系式画出图象．
【详解】解：根据题意得，
，
，
由于s一定，
速度千米时是时间小时的反比例函数，
由于．
故选A．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用及反比例函数的图象，要注意实际问题中自变量的取值范围．
【例2】（2026·陕西榆林·模拟预测）通信信号塔的总功率保持不变的情况下，信号强度（单位：）与距离（单位：）是反比例函数关系．其图象如图所示，若小秦同学在距离该通信信号塔处时，信号强度为______．
【答案】
【分析】先求出反比例函数的解析式，再计算出时，的值．
【详解】解：设，
将点代入，得，
∴，
将代入，得．
【例3】（2025·河南信阳·一模）跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一，运动员通过助滑道后在点A 处起跳经空中飞行后落在着陆坡上某处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．如图是跳台滑雪训练场横截面示意图，这里表示起跳点A到地面的距离，，以O为坐标原点，以地面的水平线为x轴，所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．某运动员在A处起跳腾空后，在空中飞行过程中，运动员到x轴的距离与水平方向移动的距离满足．在着陆坡上设置点K作为基准点，点K与相距30，高度（与距离）为5，着陆点在K点或超过K 点视为成绩达标．
(1)若某运动员在一次试跳中飞行的水平距离为10时，恰好达到最大高度，此时a的值为 ，他的这次试跳落地点能否达标？ （填“能”或“不能”）．
(2)研究发现，运动员的运动轨迹与滑出速度的大小有关，下表是某运动员7次试跳的a与的对应数据：
150 170 190 210 230 250 270
a
①猜想a关于的函数类型，并求出函数解析式；
②当滑出速度v为多少时，运动员的成绩刚好能达标？
【答案】(1)，能
(2)①成反比例函数关系，；②当滑出速度为时，运动员的成绩恰好能达标．
【分析】本题主要考查了二次函数、反比例函数的实际应用，明确题意，准确得到函数关系式是解题的关键．
（1）根据题意可得抛物线经过点，对称轴为，从而得到抛物线的解析式为，令，求出，比较即可求解；
（2）①设，将代入得，．将代入验证：当时，成立，即可求解；②将和分别代入，得，．由得，即可求解．
【详解】（1）解： 由题意得：抛物线经过点，对称轴为，
可得，
解析式为，
令，则，
，
此运动员落地达标，
故答案为：，能；
（2）解：①由表格数据可知，与的乘积相等，所以与成反比例函数关系．
设，
将代入得，
解得，
．
将代入验证：当时，成立，
能相当精确地反映与的关系，即为所求的函数表达式．
②由题意可知，当运动员刚好达标即是抛物线刚好经过基准点，
将和分别代入，
得，．
由得，
又
．
答：当滑出速度为时，运动员的成绩恰好能达标．
1．（24-25八年级下·江苏南京·期末）A，B两地相距．汽车以的平均速度从A地到达B地需要．
(1)①写出y与x的函数关系式；
②如果汽车的平均速度不超过，那么汽车从A地到B地至少需要多少时间？
(2)若某车从A地驶往B地，先以的平均速度行驶，余下路程的行驶平均速度是原平均速度的倍，两段路程共用，求a的值．
【答案】(1)①；②
(2)70
【分析】本题考查反比例函数的应用，分式方程的应用，从实际问题中抽象出函数解析式是解题的关键．
（1）①根据时间路程除以速度列出函数解析式即可；
②把代入反比例函数解析式，求出y的值，根据反比例函数性质得出答案即可；
（2）根据两段路程共用，列出分式方程，解方程即可．
【详解】（1）①解：根据题意，得：，
答：y与x的函数表达式为；
②把代入得，
∵，
∴在每个象限内y随x的增大而减小，
∵汽车的平均速度不超过，
∴汽车从A地到B地至少需要；
（2）解：余下路程的行驶平均速度是，根据题意得：
，
解得：，
经检验是所列方程的解，
∴的值为70．
2．（2026·吉林·一模）如图，为某公园“水上滑梯”的侧面图，其中段可看成是一段双曲线，建立如图的坐标系后，其中，矩形为向上攀爬的梯子，米，进口，且米，出口C点距水面的距离为．
(1)求段滑梯所在双曲线的解析式；
(2)若为米，求B，C之间的水平距离的长度．
【答案】(1)
(2)6米
【分析】（1）根据矩形的性质得到点，设段滑梯所在双曲线的解析式为，再利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意得到点C的纵坐标为，代入（1）中双曲线的解析式，求解出点C的横坐标，得到的长，利用即可解答．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
设段滑梯所在双曲线的解析式为，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴点C的纵坐标为，
当时，，解得：，
∴点C的横坐标为8，即，
∴米．
答：B，C之间的水平距离的长度为6米．
3．（2026九年级下·福建泉州·专题练习）（一）“反比例函数”与“闭眼打转问题”
在日常生活中，有一个有趣的现象，当你闭上眼睛走路时，走的路线不是一条直线，而是一条曲线．当走的距离足够远时，又回到了原来出发的地方，这就是著名的“闭眼打转问题”．
“反比例函数”与“闭眼打转问题”看似两件风马牛不相及的事情，怎么会扯上关系呢？看了下面的分析，你就会感受到反比例函数的“神奇力量”！
相传公元1896年，挪威生理学家古德贝尔对此问题进行了深入的研究．他收集了大量事例分析并得到结论：这一切都是由于人自身两条腿在作怪！长年累月养成的习惯，使每个人一只脚伸出的步子，要比另一只脚伸出的步子长（或短）一段微不足道的距离．而正是这一段很小的步差x，导致了这个人走出一个半径为y的大圈子！
现在我们来研究一下x与y之间的函数关系：
如图所示，假定某人两脚踏线间相隔为d，很明显，当人在转圈子时，两只脚实际上走出了两个半径相差为d的同心圆．设该人平均步长为l．那么，一方面这个人外脚比内脚多走路程：；另一方面，外脚走的路程是外脚步长乘步数，内脚走的路程是内脚的步长乘步数，那么外脚比内脚多走的路程又等于这个人走一圈的步数与步差的乘积，所以有，即．
若假设，，代入得，这就是所求的“闭眼打转问题”的半径公式．它是一个反比例函数．假设一位“闭眼走路”的人两脚步差仅为，那么，仅此微小的差异就足以使他在大约三公里的范围内绕圈子．看到这里，你是否被神奇的反比例函数所折服呢？
（二）有趣的游戏
在世界著名的水都威尼斯，有个圣马可广场．广场上有一座圣马可大教堂，教堂的前面是一片长方形开阔地，长约170米，宽约80米．这片开阔地经常吸引着四方游人到这里做一种奇特的游戏：把眼睛蒙上，然后从广场的一端向另一端的教堂走去，看谁能到达教堂的正前方．奇怪的是，尽管这段距离只有170米，但却没有一名游客能幸运地做到这一点！全都走成了弧线，或左或右，偏斜到了一边！为什么是这样呢？
(1)让我们先来计算一下，当人们闭起眼睛，从广场一侧的中央M点抵达教堂的点C处，这段弧线的半径R为多少？请同学们完成下面的问题．已知，在矩形中，米，米，M是中点，求弧所在圆O的半径R．
(2)也就是说，游人要想成功，他所走的弧线半径必须不小于这个R．请你再用公式计算一下，要达到上述要求，游客的两脚步差x的取值范围是多少？你能否说说为什么没有一个游客能幸运地做到：“把眼睛蒙上，然后从广场的一端向另一端的教堂走去，到达教堂的正前方！”
【答案】(1)米
(2)，理由见解析
【分析】（1）易得，在中，根据勾股定理列出方程，求出半径R即可；
（2）由半径公式得到当时，，即两脚步差必须小于等于，据此解答即可．
【详解】（1）解：在中，米，
则，
由勾股定理得：，
即，
解得米；
（2）解：当时，
即，
解得，
即两脚步差必须小于等于，
而把眼睛蒙上，两脚步差很难小于等于，
故没有一个游客能幸运地做到：“把眼睛蒙上，然后从广场的一端向另一端的教堂走去，到达教堂的正前方！”．
【典型例题五 一次函数与反比例函数的实际应用】
【例1】（2025·广西南宁·一模）某品牌自动饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热．水温开始下降，此时水温（）与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热．若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A．上午8点接通电源，可以保证当天能喝到不超过的水
B．水温下降过程中，与之间的函数关系式是
C．水温从加热到需要
D．水温不低于的时间为
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的应用，数形结合是解决本题的关键．该题为反比例函数与一次函数的实际应用的典型题目——浓度、温度问题，先利用待定系数法求函数的解析式，再利用解析式求得对应信息．
【详解】A、根据题意可得与的函数关系式是，令，则，
，即饮水机每经过，要重新从开始加热一次从点至，经过的时间为，，而水温加热到，需要的时间为，故时，饮水机第三次从开始加热了，令，则，即时，饮水机的水温为，故A选项不符合题意；
B、由题意可得点在反比例函数的图像上，设反比例函数的解析式为，将点代入，可得，
水温下降过程中，与的函数关系式是，故B选项不符合题意；
C、开机加热时水温每分钟上升，
水温从升高到，需要的时间为，故C选项不符合题意；
D、水温从加热到所需要的时间为，
令，则，解得，
水温不低于的时间为，故D选项符合题意．
故选：D．
【例2】（2025·四川成都·模拟预测）直线y＝－x＋2a（常数）和双曲线的图象有且只有一个交点B，一次函数y＝－x＋2a与x轴交于点A，点P是线段OA上的动点，点Q在反比例函数图象上，且满足∠BPO＝∠QPA．设PQ与线段AB的交点为M，若OM⊥BP，则的值为______．
【答案】/
【分析】过B点作BH⊥x轴于H点，连接OB，BH与OM交于点J，OM与BP交于点K，根据反比例函数与直线AB相切，可以确定k与a的关系，进而可以用含a的式子表示出B点、A点坐标，即可证明出△OBA是等腰三角形，AB=OB，∠ABO=90°，接着证明Rt△OHJ≌Rt△BHP，得到OJ=BP，BH=OH，HP=HJ，再证△BJM≌△APM，得到∠AMP=∠BMJ，BM=AM，
则在Rt△OMB中即可解决问题．
【详解】解：过B点作BH⊥x轴于H点，连接OB，BH与OM交于点J，OM与BP交于点K，如图，
联立，消去y得，
根据题意有方程的，
则有，
将代入到，得，
∴B点坐标为：(a,a)，
当x=0时，y=2a，
∴直线AB与x轴的交点A的坐标为(2a,0)，
∴OA=2a、BH=OH=a，
∴AH=OH=BH=a，
∵BH⊥x轴，
∴∠BAH=∠HBA=∠HBO=∠HOB=45°，
∴∠ABO=90°，
∵OM⊥BP，
∴∠BJK+∠JBK=90°，
∵∠BJK=∠OJH，∠JBK+∠BPH=90°，∠JOH+∠OJH=90°，
∴∠JBK=∠JOH，∠BJK=∠BPH，
∵BH=OH，∠JKB=∠JHO=90°，
∴ Rt△OHJ≌Rt△BHP，
∴HP=JH，
∵AP=AH-HP，BH-JH=BJ，
∴AP=BJ，
∵∠BPO=∠QPA，∠BPH=∠BJK，
∴∠QPA=∠BJK，
∵∠BAH=∠HBA=45°，
∴再证△BJM≌△APM，
∴BM=AM，∠AMP=∠BMJ，
∵BH=AH=OH=a，
∴在Rt△OBH和Rt△ABH中，利用勾股定理可得：OB=AB=，
∴BM=AM=，
在Rt△BOM中，利用勾股定理可得，
∴sin∠BMJ=，
∴sin∠AMP=sin∠BMJ=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合题，考查了一次函数和反比例函数的性质、解直角三角形、全等三角形的判读与性质、勾股定理等知识，证明Rt△OHJ≌Rt△BHP和△BJM≌△APM是解答本题的关键．
【例3】（24-25九年级上·辽宁盘锦·期中）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点B是反比例函数图象上一点，轴于点C，交一次函数的图象于点D，连接．
(1)直接写出反比例函数与一次函数的表达式；
(2)直接写出 的x取值范围
(3)当时，求的面积．
【答案】(1)反比例函数为：，一次函数的解析式为：．
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了一次函数与反例函数的综合问题，待定系数法求反比例函数以及一次函数的解析式．一次函数与反比例函数的交点问题，两点之间的距离公式等知识，掌握反比例函数的性质以及一次函数的性质是解题的关键．
（1）利用待定系数法即可求出反比例函数以及一次函数的解析式．
（2）根据函数图象的交点和图象的位置关系进行解答即可；
（3）由已知条件求出点C，点B，点D的坐标，过点B作轴交一次函数的图象交于点E，过点A作与点F，利用两点之间的距离公式分别求出，，的值，最后根据即可求出答案．
【详解】（1）解：∵反比例函数与一次函数的图象交于点，
∴，，
∴，，
∴反比例函数为：，一次函数的解析式为：．
（2）∵反比例函数与一次函数的图象交于点，
∴由图象可知， 的x取值范围是
故答案为：
（3）∵，
∴，
∵轴于点C，交一次函数的图象于点D，
∴点B的横坐标为4．点D的横坐标为4．
∴，
∴，
∴
过点B作轴交一次函数的图象交于点E，过点A作与点F，
∴，点E的纵坐标为，
∴，
把代入，得，
∴，
∴点，
∴，
∴
1．（25-26八年级下·山东济南·期中）研究发现：初中生在数学课上的注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生注意力直线上升，中间一段时间，学生的注意力保持平稳状态，随后开始分散，注意力与时间呈反比例关系降回开始时的水平．学生注意力指标随时间（分钟）变化的函数图象如图所示．
(1)求反比例函数的解析式，并求点对应的指标值；
(2)张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要15分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由．
【答案】(1)，A点对应的指标值为20
(2)能，见解析
【分析】（1）设反比例函数解析式为，然后把点代入求解即可得到反比例函数解析式，然后令，求出的值，即可求得点A对应的指标值；
（2）求解上升阶段解析式为，结合注意力指标都不低于36，进一步解答即可．
【详解】（1）解：设反比例函数的关系式为，
由图知，反比例函数过点，
代入解析式得，
解得，
∴反比例函数的关系式为，
当时，，
则A点对应的指标值为；
（2）解：能．理由：
设上升阶段的表达式为，
将代入得：，
解得，
上升阶段解析式为，
当时，，
解得：，
在下降阶段：，解得，
，
能安排．
2．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）为了做好校园“甲流”防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物熏蒸消毒．已知消毒药物燃烧时，室内空气中的含药量y（单位：）与时间x（单位：）成正比例函数关系，药物燃烧完成后，y与x成反比例函数关系，函数图像如图所示．
信息窗 1．药物8分钟燃烧完毕，此时室内空气中的含药量为． 2．空气中的含药量不高于时，学生方可回到教室． 3．当室内空气中的含药量不低于时，对杀灭病毒有效．
(1)直接写出m，n的值；
(2)求本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间：
(3)从消毒开始，至少需要多长时间学生才能回到教室？
【答案】(1)，
(2)本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间为12分钟
(3)从消毒开始，至少需要学生才能回到教室
【分析】（1）由“药物8分钟燃烧完毕，此时室内空气中的含药量为”可得，；
（2）分别设y与x的正比例函数、反比例函数关系式，把点代入后求出关系式，再把代入关系式分别解出x的值相减即可；
（3）空气中的含药量不高于时，学生方可回到教室，把代入中，解出x的值即可；
本题主要考查了一次函数与反比例的图象和性质，待定系数法求解函数关系式，已知函数值求自变量的值等，熟练掌握一次函数与反比例的图象和性质是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意知，．
（2）∵消毒药物燃烧时，室内空气中的含药量与时间x成正比例函数关系，
∴设，
把点代入中，得，解得，
∴药物燃烧时，y关于x的函数关系式为，
∵当室内空气中的含药量不低于时，对杀灭病毒有效，
药物燃烧时，当时，，
∴药物燃烧时，才开始对杀灭病毒起效；
∵药物燃烧完成后，y与x成反比例函数关系，
∴设反比例函数式为，
把点代入中，得，
∴反比例函数式为，
药物燃烧完成后，当时，，
∴（），
∴本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间为12分钟．
（3）∵空气中的含药量不高于时，学生方可回到教室，
把代入中，解得，
即从消毒开始，至少需要学生才能回到教室．
3．（2025·江苏盐城·二模）小丽家饮水机中水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温与开机时间满足一次函数关系，随后水温开始下降，此过程中水温与开机时间成反比例关系，当水温降至时，根据图中提供的信息，解答问题．
(1)当时，求水温关于开机时间的函数关系式；
(2)求图中的值．
(3)若小丽在将饮水机通电开机后外出散步，请你预测小丽散步回到家时，饮水机中水的温度．
【答案】(1)
(2)；
(3)．
【分析】此题主要考查了一次函数以及反比例函数的应用，根据题意得出正确的函数解析式是解题关键．
（1）利用待定系数法代入函数解析式求出即可；
（2）首先求出反比例函数解析式进而得出的值；
（3）利用已知由代入求出饮水机内的水的温度即可．
【详解】（1）解：当时，设水温 与开机时间的函数关系为：
依据题意，得
解得：
∴此函数解析式为：
（2）解：当设水温与开机时间的函数关系式为：
依据题意，得：
∴
∴
当时，
解得：
（3）解：
∴当时，
∴小丽散步分钟回到家时，饮水机内的水的温度约为．
1．（25-26九年级上·广西来宾·期末）已知某电路中，电压为定值，电流（单位：）与电阻（单位：）成反比例函数关系．当电阻为时，电流为；当电流从增加到时，电阻减小了（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了反比例函数在其他学科的应用．根据题意电流与电阻成反比例关系，先求出定值电压，再分别计算不同电流对应的电阻，最后计算电阻的减少量．
【详解】设电流与电阻的反比例函数关系为，其中为定值电压．
当时，，
，即反比例函数为，
当时，，
当时，，
电阻减小的值为．
故选．
2．（25-26九年级下·甘肃兰州·期中）下面问题中，y与满足的函数关系是二次函数的是（ ）
①面积为的矩形中，矩形的长与宽的关系；
②底面圆的半径为的圆柱中，侧面积与圆柱的高的关系；
③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x元出售，可卖出件．利润y（元）与每件售价（元）的关系．
A．① B．② C．③ D．①③
【答案】C
【分析】根据各问题中的数量关系列出y与x的函数解析式，再判断函数类型即可．
【详解】解：① 由矩形面积公式可得，即，y是x的反比例函数，不符合二次函数定义，故此选项不符合题意；
② 由圆柱侧面积公式可得，y是x的正比例函数，不符合二次函数定义，故此选项不符合题意；
③∵利润（售价进价）销售量，
∴，
符合二次函数定义，y是x的二次函数，故此选项符合题意；
综上，y与满足的函数关系是二次函数的是③．
3．（25-26九年级上·山西太原·阶段检测）如图，某同学用自制密度计测量液体的密度，下表是他记录的密度计悬浮在不同的液体中时的数据．当密度计悬浮在另一种液体中时，该液体的密度是（ ）
液体的密度 20 10 5 2.5
浸在液体中的高度 1 2 4 8
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据表格得到液体的密度与浸在液体中的高度乘积都为，进而推出，再将代入解析式求解，即可解题．
【详解】解：，
即液体的密度与浸在液体中的高度乘积都为，
，
当时，
，
故选：C．
4．（2026·广东深圳·二模）如图是某款煮茶壶，开机加热将水匀速加热至后停止加热，此时水温开始下降，此时水温与启动加热后通电时间成反比例函数关系．当水温降至时启动保温功能．图是开始启动加热过程中，水温与通电时间之间的函数关系图，则下列说法错误的是（ ）
A．水温在启动加热到的过程中，与的函数关系式是
B．在通电启动加热开关时，喝到的茶水为
C．在整个通电启动到保温过程中，水温不低于的时间为
D．在通电启动加热开关后，喝到的茶水的温度为
【答案】C
【分析】确定水温在启动加热到的过程中，与的函数关系式后可判断A；确定水匀速加热至后停止加热时水温与启动加热后通电时间的关系式，再计算当时对应的的值可判断B；分别计算当时在加热到前后分别对应的的值，求出它们的差可判断选项C；计算出当时在加热到后对应的的值即可判断选项D．
【详解】解：设水温在启动加热到的过程中，与的函数关系式是，过点、，
∴，
解得：，
∴水温在启动加热到的过程中，与的函数关系式是，
∴选项A的说法正确，故此选项不符合题意；
设当水匀速加热至后停止加热时水温与启动加热后通电时间的关系式为，过点，
∴，
解得：，
∴此时水温与启动加热后通电时间的关系式为，
当时，，
∴在通电启动加热开关时，喝到的茶水为，
∴选项B的说法正确，故此选项不符合题意；
当时，，解得：；
当时，；
又∵，
∴在整个通电启动到保温过程中，水温不低于的时间为，
∴选项C的说法错误，故此选项符合题意；
当时，，
∴在通电启动加热开关后，喝到的茶水的温度为，
∴选项D的说法正确，故此选项不符合题意．
5．（2026·重庆·三模）反比例函数的图象在第一象限内的一支如图所示，是该图象上一点，是轴上一点，连接、，若，的面积为4，则k的值是（ ）
A． B．2 C．4 D．8
【答案】C
【分析】过点作轴于点，，即，结合反比例函数的图象在第一象限，确定答案．
【详解】解：如图，过点作轴于点，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵反比例函数的图象在第一象限，即，
∴．
6．（25-26八年级下·上海静安·期末）在相互啮合的齿轮的传动中，大齿轮的齿数为，每分钟转圈，如果小齿轮的齿数为，每分钟转圈，那么关于的函数表达式为________．
【答案】
【分析】根据相互啮合齿轮每分钟转过的总齿数相等，建立与的等量关系，整理后即可得到关于的函数表达式．
【详解】解：大齿轮每分钟转过的总齿数为：，
小齿轮每分钟转过的总齿数为，
根据题意得：，
整理得，
由齿数的实际意义可知，
因此，关于的函数表达式为．
7．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）潜水时，潜水深度增加会导致人的呼吸加快，因此气瓶的使用时间会缩短．经研究发现，在一定条件下，气瓶可用时间（分钟）是潜水深度（米）的反比例函数．当潜水深度为米时，气瓶可用时间为分钟．为保证安全，要求气瓶可用时间不少于分钟，则潜水深度最大为______米．
【答案】
【分析】利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再根据 列出不等式求出的取值范围即可求解．
【详解】解：设反比例函数解析式为，把，代入得，
，
∴，
∴反比例函数解析式为，
由题意得，
∴ ，
解得 ，
∴潜水深度最大为米．
8．（2026·广东梅州·三模）如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰的高度）不变时，火焰的像高（单位：）与物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）成反比例函数关系． 已知当时，．若火焰的像高为，则小孔到蜡烛的距离为______．
【答案】6
【分析】设反比例函数关系式为，由条件可求得解析式，求出当函数值为2时的自变量的值即可．
【详解】解：∵火焰的像高（单位：）与物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）成反比例函数关系，
∴设反比例函数关系式为；
∵当时，，
∴，
解得，
即，
∵火焰的像高为，即，
∴，
解得，
即小孔到蜡烛的距离为．
9．（24-25九年级上·河北邢台·期末）某品牌热水器中，原有水的温度为，开机通电，热水器启动开始加热（加热过程中水温与开机时间x分钟满足一次函数关系），当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降（水温下降过程中水温与开机时间x分钟成反比例函数关系）．当水温降至时，热水器又自动以相同的功率加热至……重复上述过程，如图，根据图像提供的信息，则
（1）当时，水温开机时间x分钟的函数表达式______；
（2）当水温为时，______；
（3）通电分钟时，热水器中水的温度y约为______．
【答案】
【分析】（1）设直线解析式为，结合图像点，代入即可得到答案；
（2）设反比例函数解析式为，结合图像点代入求出k，将代入即可得到答案；
（3）根据（1）（2）解析式得到从℃加热到℃，需要的时间，从而得到相应时间段，然后利用第一段反比例函数求值即可得到答案．
【详解】解：（1）设直线解析式为，将点，代入可得，
，解得，
故答案为：；
（2）设反比例函数解析式为，将点代入可得，
，
∴，
当时，
，解得，
故答案为；
（3）当时，，解得，
∴从℃加热到℃，需要分钟，，，，将 代入，，可得．
【点睛】本题考查反比例函数图像与一次函数图像共存问题，解题的关键是求出两个解析式及周期对应的时间．
10．（2026·四川南充·一模）如图，经过坐标原点的直线与双曲线分别在第一象限和第三象限相交于点A、B，轴，于点．若，点的横坐标为，则的值为______．
【答案】5
【分析】由点，直线过原点，得与关于原点对称，即．由轴、，得．计算、，由列方程，可得，代入中即可计算．
【详解】解：∵点在双曲线上，横坐标为，
∴，
由题意得，过原点的直线与双曲线的交点关于原点对称，
∴，
∵轴，
∴的横坐标与相同，为；
∵，
∴C的纵坐标与相同，为，即，
∴；，
∵，
∴
∴，
将代入，得
．
【点睛】本题核心是反比例函数的中心对称性与整体代换思想，利用对称求坐标，列方程得到，整体代入求值，避免求解，简化计算．
11．（24-25九年级下·湖南娄底·阶段检测）如图直线与双曲线交于A，B两点，点A的坐标为．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)求的面积．
【答案】(1)，；
(2)
【分析】本题考查待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，一次函数与反比例函数综合面积问题：
（1）将点代入两个函数求解即可得到答案；
（2）求出一次函数与x轴的交点坐标及B点坐标，根据求解即可得到答案
【详解】（1）解：∵直线与双曲线交于点，
∴，，
解得：，，
∴解析式为：，；
（2）联立两个函数得，
，解得：，，
当时，，
∴，
当时，，解得：，
当时，，
∴，，
∴．
12．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）某新型发动机启动过程中，转速与时间的关系如下：
阶段1（启动阶段）：从启动开始，转速随时间均匀增加．启动时转速为转，转速每分钟提高转，转速达到转停止加速；
阶段2（稳定下降阶段）：达到最高转速后，发动机进入保护模式，转速开始下降，且下降过程中转速与时间成反比例函数关系．已知转速（单位：转）与通电时间（单位：）之间的函数关系如图所示．
(1)求关于的函数解析式；（不需要写出自变量的取值范围）
(2)从开始加速到转速下降的一个周期内，转速不低于转的时间有多长？
【答案】(1)启动阶段：，下降阶段：
(2)
【分析】（1）先算出加速到转用时，求出函数图象顶点坐标为，利用待定系数法分别求出加速段一次函数和下降段反比例函数；
（2）分别在两个解析式里令求出对应，分段算出临界时间，再将两个临界时间相减可得出转速不低于转的时长．
【详解】（1）解：根据题意可得，转速从转加速到转时，所需时间为，
在转速增加的过程中，设关于的函数解析式为，
将点代入，得，
解得，
故启动阶段，关于的函数解析式为；
在转速下降过程中，设关于的函数解析式为，将点代入，得，
故下降阶段，关于的函数解析式为．
（2）解：在中，令，
解得，
在中，令，得，
解得，
可得，
故从开始加速到转速下降的一个周期内，转速不低于转的时间为．
13．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图，已知点在正比例函数图像上，过点作轴于点，四边形是正方形，点在反比例函数图像上．

(1)若点的横坐标为，求的值；
(2)若设正方形的边长为，试用含的代数式表示值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正比例函数的上得到点的坐标为，再根据正方形的性质及反比例函数的解析式即可解答；
（2）根据正比例函数的解析式及正方形的性质得到的坐标为，再根据反比例函数的解析式得到 ．
【详解】（1）解：∵点在正比例函数图象上，
∴当时，，点的坐标为，
∴，，的坐标为，
∴点在反比例函数图像上，
∴，
∴．
（2）解：∵正方形的边长为，
∴，
∴和的纵坐标为，
∴的坐标为，，
∴点的坐标为，
∴代入反比例函数得，．
【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数的上点的特征，正方形的性质，利用正方形的性质求各个点的坐标是解题的关键．
14．（24-25九年级上·四川成都·期末）2023年8月8日，成都大运会闭幕式在成都露天音乐公园举行．成都露天音乐公园是一座以音乐为主题，集文化艺术、休闲娱乐、旅游观光等功能为一体的大型城市公园，公园的整体景观设计融入了太阳神鸟文化、天府文化、凤凰文化、古蜀音乐文化，同时其具国际化风格．王华在公园的游客中心售卖大运会陶瓷文创纪念品，她以50元/件的价格购进了一款陶瓷蓉宝手办，在销售过程中发现：每天的销售量y（件）与销售价格x（元/件）的关系如图所示，其中为反比例函数图像的一部分，为一次函数图像的一部分．设销售这款手办的日利润为（元）．
(1)求与之间的函数关系式：
(2)求与之间的函数关系式，并求出当日利润为600元时，每件手办的售价为多少元？
【答案】(1)
(2)80元/件或90元/件
【分析】本题考查了分式方程的应用及一次函数的应用及反比例函数的应用：
（1）分段讨论：当时，设，当时，设直线为，利用待定系数法即可求解；
（2）分类讨论：当时，当时，分别代入（1）中对应的函数解析式中即可求解；
理清题意，利用待定系数法求函数解析式及分类讨论思想解决问题是解题的关键．
【详解】（1）解：当时，
设，将，
代入得：，
，
当时，，
，
当时，
设直线为，因为，
由题意得：，
解得：，
与之间的函数关系式为，
综上所述：．
（2）当时，
，
由，解得：，
经检验，是原方程的解，
当销售价格为80元/件时，日利润为600元，
当时，
，
由，
解得：，，
当销售价格为80元/件或90元/件时，日利润为600元，
综上，当日利润为600元时，销售价格为80元/件或90元/件．
15．（24-25八年级下·山东烟台·期末）当下教育主管部门提倡加强高效课堂建设，要求教师课堂上要精讲，把时间、思考、课堂还给学生．通过实验发现：学生在课堂上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始后，学生的学习兴趣递增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳高效状态，后阶段注意力开始分散．学生注意力指标随时间（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段，当时，图象是反比例函数的一部分．
(1)求点对应的指标值．
(2)如果学生在课堂上的注意力指标不低于30属于学习高效阶段，请你求出学生在课堂上的学习高效时间段．
【答案】(1)点对应的指标值为20，
(2)注意力指标不低于30的高效时间段是上课4分钟到30分钟之间，
【分析】（1）用待定系数法，设反比例函数为，将点代入可得反比例函数解析式，再将代入可解；
（2） 用待定系数法求出AB段的直线方程，再分类讨论可解．
【详解】（1）解：设反比例函数为，由图可知点在的图象上，
∴，
∴
将代入得：点对应的指标值为
（2）（2）设直线的解析式为，将、代入中，
得，解得
∴直线的解析式为
①当时，
解得：，
②当时，45>30,显然注意力指标高于30，
③当时，，
解得：，
综上所述：
∴注意力指标不低于30的高效时间段是上课4分钟到30分钟之间．
【点睛】本题考查，待定系数法，分段函数，反比例函数与一次函数综合，审清题意求出函数解析式和分类讨论是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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