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第01讲 一元二次方程的概念（2大知识点+5大典例+变式训练+过关检测）
典型例题一 一元二次方程的定义
典型例题二 化成一元二次方程的一般式
典型例题三 判断是否是一元二次方程的解
典型例题四 由一元二次方程的定义求参数
典型例题五 由一元二次方程的解求参数
知识点01 一元二次方程的概念
只含有一个未知数整式方程，并且都可以化为 (a、b、c为常数）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。
注意：满足是一元二次方程的条件有：（1）必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2。（三个条件缺一不可）
如何理解 “未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”；
③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。
【即时训练】
1．（25-26九年级上·广东深圳·期末）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）若是关于的一元二次方程，则的值是________．
知识点02 一元二次方程的一般形式
一元二次方程的一般式是 (a、b、c为常数）。
其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
注：①化为一般式时，右边为0；②习惯上将二次项系数a化为正数
【即时训练】
1．（25-26九年级上·全国·课后作业）方程与求根公式中相对应的的值分别是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级下·浙江杭州·阶段检测）一元二次方程化成一般形式后，二次项系数为_____，一次项系数为______，常数项为____．
【典型例题一 一元二次方程的定义】
【例1】（25-26八年级下·江苏苏州·阶段检测）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【例2】（25-26九年级上·贵州毕节·期末）下列关于x的方程①；②；③；④中，一元二次方程的个数是（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
【例3】（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）当____时，方程是关于x的一元二次方程．
【例4】（24-25九年级上·海南·阶段检测）关于x的一元二次方程 的一个根是0，则a的值为_________．
1．（24-25八年级下·全国·单元测试）试说明：不论为何值，关于的方程总为一元二次方程．
2．（25-26九年级上·福建南平·阶段检测）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)当m为负整数时，求的值．
3．（25-26九年级上·山西长治·期中）阅读与思考
下面是小康同学的学习笔记的部分内容，请你认真阅读，并完成相应的任务．
“相似系”一元二次方程 【概念理解】在一元二次方程中，当时，我们把这样的一元二次方程称为“相似系”一元二次方程．例如，一元二次方程就是“相似系”一元二次方程． 【问题1】若关于的一元二次方程是“相似系”一元二次方程，则▲． 【问题2】若关于的方程为“相似系”一元二次方程，且它的一个根为，求出的值． 解：方程为“相似系”一元二次方程， ， ……
任务：
(1)问题1中，“▲”应填写_____．
(2)补全问题2中剩余部分的解答过程．
(3)已知（）的三边分别是，，，且关于的方程为“相似系”一元二次方程．求证：．
【典型例题
二 化成一元二次方程的一般式】
【例1】（25-26九年级上·福建厦门·阶段检测）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．3，， B．3，，5 C．3，， D．3，，4
【例2】（25-26九年级上·河北唐山·阶段检测）若一元二次方程化成一般形式后二次项系数是3，则一次项系数是（ ）
A． B．2 C． D．7
【例3】（24-25九年级上·全国·期末）方程的一次项为_________．
【例4】（24-25九年级上·河南漯河·阶段检测）一元二次方程化为一般形式后二次项系数是 _____ ，一次项是________．
1．（24-25九年级上·全国·随堂练习）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项．
(1)．
(2)．
(3)．
2．（25-26九年级上·云南玉溪·期中）已知关于的一元二次方程（为常数），若该方程的一次项系数是二次项系数与常数项和的2倍，判断这个方程根的情况，并求方程的根．
3．（25-26九年级上·江西鹰潭·阶段检测）定义：如果关于x的方程（，，，是常数）与（，，，是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足，，，则称这两个方程互为“对称方程”．例如：方程的“对称方程”是．请根据上述内容，解决以下问题：
(1)直接写出方程的“对称方程”：________；
(2)已知关于x的方程与互为“对称方程”．
①________，_______；
②求方程的解．
【典型例题三 判断是否是一元二次方程的解】
【例1】（24-25九年级上·山东青岛·单元测试）若一元二次方程中的a，b，c满足，则方程必有根（ ）
A． B． C． D．
【例2】（25-26九年级上·山西大同·阶段检测）如下表是某同学求代数式（a，b为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知关于的方程的实数根是（　　）
x … 0 1 2 …
… 6 2 0 0 2 …
A．， B．，
C．， D．，
【例3】（24-25九年级上·湖南常德·期末）已知是方程的一个根，则 ________
【例4】（24-25九年级上·河南驻马店·期末）已知是方程的一个根，则代数式的值为_________.
1．（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段检测）（）用适当的方法解方程：．
（）若是关于的一元二次方程的根，求代数式的值．
2．（24-25八年级下·浙江·期中）定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“有爱方程”．
(1)判断一元二次方程是否为“有爱方程”，并说明理由；
(2)若关于的一元二次方程为“有爱方程”，证明：为“有爱方程”的根；
(3)已知是关于的“有爱方程”，若是该“有爱方程”的一个根，求的值．
．（25-26九年级上·全国·期末）请阅读下列材料：
问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍．
解：设所求方程的根为，
则，所以．
把代入已知方程，得，
化简，得，
故所求方程为．
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
请用阅读材料提供的方法，解答下列问题（要求：把所求方程化为一般形式）：
(1)已知方程，求一个关于的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，请求出所求方程；
(2)已知方程的两个根分别是和，尝试求出另一个方程的两个根．
【典型例题四 由一元二次方程的定义求参数】
【例1】（24-25九年级上·贵州毕节·阶段检测）将关于的一元二次方程化成一般式后，，，的值分别（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
【例2】（24-25九年级上·江苏无锡·期中）若关于的一元二次方程的常数项为0，则的值等于（ ）
A．1 B．0 C．1或2 D．2
【例3】（25-26九年级上·吉林白城·阶段检测）已知是关于的一元二次方程，则代数式______．
【例4】（25-26九年级上·湖北·阶段检测）若关于的方程是一元二次方程，则的值是________．
1．（2025九年级上·上海·专题练习）当为何值时，方程是关于的一元二次方程？
2．（24-25九年级上·河北保定·期末）已知关于x的一元二次方程．
(1)求m的值；
(2)解这个方程．
3．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）已知关于的一元二次方程的常数项为．
(1)求的值；
(2)求此时一元二次方程的根．
【典型例题五 由一元二次方程的解求参数】
【例1】（25-26九年级上·广东佛山·期末）一元二次方程的一个根是，则m的值为（ ）
A． B． C． D．10
【例2】（25-26九年级上·广东广州·期末）若是关于x的一元二次方程的一个解，则m的值是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【例3】（25-26九年级上·河南信阳·期末）已知是关于的一元二次方程的一个根，则_______
【例4】（25-26九年级上·湖南永州·期末）已知关于的一元二次方程的一个根为，则它的另一根为________．
1．（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）如果是关于的一元二次方程 的一个根，求的值及方程的另一个根．
2．（25-26八年级下·安徽六安·期中）已知关于x的方程．
(1)求证：无论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程有一个根是1，求的值．
3．（25-26八年级下·安徽淮北·阶段检测）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同一根方程”．例如和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同一根方程”．
(1)根据以上定义，下列方程属于“同一根方程”的是__________；（填序号）
①；②；③．
(2)若关于的一元二次方程．与为“同一根方程”，求的值；
(3)若关于的一元二次方程同时满足和，且与为“同一根方程”，求的值．
1．（24-25九年级上·上海·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025九年级下·广东潮州·学业考试）一元二次方程，其中a，b，c的值分别是（ ）
A．2，， B．2，，3 C．2，3， D．2，3，7
3．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）将一元二次方程化成一般形式后（二次项系数为正），二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A．5、 B．5、 C．5、1 D．5、4
4．（25-26九年级上·广西南宁·阶段检测）关于x的一元二次方程的一个根是2，则a的值是（ ）
A．2 B． C．4 D．
5．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）如表是某同学求代数式（a，b为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知关于x的方程的实数根是（ ）
x … 0 1 2 …
… 6 2 0 0 2 …
A．， B．，
C．， D．，
6．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段检测）把方程化成一般形式是________．
7．（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）若是关于的一元二次方程，则___________．
8．（2025·四川广元·模拟预测）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则________．
9．（2025·江苏无锡·二模）关于x的方程．
（1）若该方程有一个根为，则_____；
（2）若该方程有两个实数根，则k的取值范围是 _____．
10．（24-25九年级上·福建泉州·期末）若定义：方程是方程的“倒方程”．则下列四个结论：
①如果是的倒方程的一个解，则．
②一元二次方程与它的倒方程有公共解．
③若一元二次方程无解，则它的倒方程也无解．
④若，则与它的倒方程都有两个不相等的实数根．上述结论正确的有________．（填序号即可）
11．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知关于的一元二次方程有实数根，求的取值范围．
12．（24-25八年级下·山东烟台·期中）已知关于x的方程．
(1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？
(2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？
13．（2026·广东揭阳·一模）解方程：解一元二次方程时，小江同学的解法如表所示：
小江同学： 解：， 所以或， 所以，．
(1)你认为是原方程的解吗？请检验（写出检验过程）；
(2)请选择合适的方法解原方程．
14．（25-26九年级上·江西赣州·期末）定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”．例如方程的两个根是，因为，所以这个方程是“邻根方程”．
(1)判断：方程_____“邻根方程”（填“是”或“不是”）；
(2)已知关于的一元二次方程（m是常数）是“邻根方程”，求的值．
15．（25-26九年级上·广东潮州·期中）阅读理解题．
定义：如果一个数i的平方等于，记为，那么这个数i叫做虚数单位.我们把形如（a，b为实数）的数叫做复数，a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加法、减法、乘法运算与整式类似．
读完这段文字，请你解答以下问题：
(1)填空：______，______，______；
(2)已知，写出一个以a，b的值为解的一元二次方程．
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第01讲 一元二次方程的概念（2大知识点+5大典例+变式训练+过关检测）
典型例题一 一元二次方程的定义
典型例题二 化成一元二次方程的一般式
典型例题三 判断是否是一元二次方程的解
典型例题四 由一元二次方程的定义求参数
典型例题五 由一元二次方程的解求参数
知识点01 一元二次方程的概念
只含有一个未知数整式方程，并且都可以化为 (a、b、c为常数）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。
注意：满足是一元二次方程的条件有：（1）必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2。（三个条件缺一不可）
如何理解 “未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”；
③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。
【即时训练】
1．（25-26九年级上·广东深圳·期末）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程．
根据一元二次方程的定义判断各选项即可．
【详解】解：一元二次方程需满足：①整式方程；②只含一个未知数；③未知数的最高次数为2．
A：中含有分式，不是整式方程，不符合一元二次方程的定义；
B：中，为参数，若，则不是二次方程，不一定是一元二次方程；
C：是整式方程，只含未知数x，且最高次数为2，符合一元二次方程的定义；
D：中含有两个未知数x和y，不符合一元二次方程的定义；
故选：C．
2．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）若是关于的一元二次方程，则的值是________．
【答案】1
【分析】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程，根据定义得到，求解即可．
【详解】解：是关于的一元二次方程，
∴，
解得，
故答案为：1．
知识点02 一元二次方程的一般形式
一元二次方程的一般式是 (a、b、c为常数）。
其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
注：①化为一般式时，右边为0；②习惯上将二次项系数a化为正数
【即时训练】
1．（25-26九年级上·全国·课后作业）方程与求根公式中相对应的的值分别是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程一般式，确定二次项系数、一次项系数与常数项，掌握一元二次方程的一般形式是解题关键．
将方程化为标准形式后，确定各项系数即可．
【详解】解：将方程化为一般形式得：
此时，二次项系数，一次项系数，常数项．
∴对应的，，的值分别是，，．
故选：B．
2．（24-25八年级下·浙江杭州·阶段检测）一元二次方程化成一般形式后，二次项系数为_____，一次项系数为______，常数项为____．
【答案】 2
【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握形如的式子叫做一元二次方程是解题的关键．
先将方程化为一般形式，即可求解．
【详解】解：将方程化成一般形式为，
∴二次项系数为2，一次项系数为，常数项为．
故答案为：．
【典型例题一 一元二次方程的定义】
【例1】（25-26八年级下·江苏苏州·阶段检测）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程需满足三个条件：只含一个未知数，未知数的最高次数为2，是整式方程，逐个验证选项即可．
【详解】解：∵选项A：中未知数的最高次数为1，是一元一次方程，∴A不符合要求；
∵选项B：未说明，当时，方程不是一元二次方程，∴B不符合要求；
∵选项C：只含一个未知数，未知数的最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义，∴C符合要求；
∵选项D：含有两个未知数，是二元一次方程，∴D不符合要求．
【例2】（25-26九年级上·贵州毕节·期末）下列关于x的方程①；②；③；④中，一元二次方程的个数是（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．根据一元二次方程必须满足两个条件：（）含有一个未知数，未知数的最高次数是；（）二次项系数不为．据此逐项判定即可．
【详解】解：①是整式方程，且只有一个未知数，最高次项为次，是一元二次方程；
②含有分式项，不是整式方程，不是一元二次方程；
③可化为，是整式方程且最高次项为次，是一元二次方程；
④可化为，是整式方程且最高次项为次，是一元二次方程．
∴一元二次方程有①、③、④，共个．
故选：C．
【例3】（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）当____时，方程是关于x的一元二次方程．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义和解一元二次方程，根据一元二次方程的定义可得未知数的最高次为2，且二次项系数不为0，据此列式求解即可．
【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程，
∴，
解得，
故答案为：．
【例4】（24-25九年级上·海南·阶段检测）关于x的一元二次方程 的一个根是0，则a的值为_________．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．把 代入求解即可．
【详解】解：把 代入，得
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为：
1．（24-25八年级下·全国·单元测试）试说明：不论为何值，关于的方程总为一元二次方程．
【答案】见解析．
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，配方法的应用，由题意利用配方法把二次项系数变形，根据非负数的性质得到，再由一元二次方程的定义证明结论即可，掌握一元二次方程的定义、完全平方公式是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴关于的方程总为一元二次方程．
2．（25-26九年级上·福建南平·阶段检测）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)当m为负整数时，求的值．
【答案】(1)且
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，熟知以下知识点是解本题的关键：一元二次方程：，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根；若分别是一元二次方程的两个根，则，．
（1）根据题意可知且，再进一步求解即可；
（2）先求出的值，然后根据一元二次方程根与系数的关系进行解答即可．
【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴且，
解得：且．
（2）解：∵且，为负整数，
∴，
∴方程化为，
∴，
∴，，
∴．
3．（25-26九年级上·山西长治·期中）阅读与思考
下面是小康同学的学习笔记的部分内容，请你认真阅读，并完成相应的任务．
“相似系”一元二次方程 【概念理解】在一元二次方程中，当时，我们把这样的一元二次方程称为“相似系”一元二次方程．例如，一元二次方程就是“相似系”一元二次方程． 【问题1】若关于的一元二次方程是“相似系”一元二次方程，则▲． 【问题2】若关于的方程为“相似系”一元二次方程，且它的一个根为，求出的值． 解：方程为“相似系”一元二次方程， ， ……
任务：
(1)问题1中，“▲”应填写_____．
(2)补全问题2中剩余部分的解答过程．
(3)已知（）的三边分别是，，，且关于的方程为“相似系”一元二次方程．求证：．
【答案】(1)；
(2)见解析；
(3)见解析．
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、等边对等角、勾股定理，解决本题的关键是根据“相似系”一元二次方程的定义找到方程系数之间的关系．
（1）根据“相似系”一元二次方程的定义求出即可；
（2）根据关于的方程为“相似系”一元二次方程，且它的一个根为，可得：，，从而可得：，解方程求出即可；
（3）根据方程为“相似系”一元二次方程，可得，根据勾股定理可知，从而可得：，利用完全平方公式分解因式可得：，根据等边对等角可证结论成立．
【详解】（1）解：一元二次方程是“相似系”一元二次方程，
由题意可知，
解得：；
（2）解：是方程的一个根，
，，
，
整理得：，
解得：，，
的值为或；
（3）证明：方程为“相似系”一元二次方程，
，
在中，
由勾股定理得，
，
，
，
．
【典型例题二 化成一元二次方程的一般式】
【例1】（25-26九年级上·福建厦门·阶段检测）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．3，， B．3，，5 C．3，， D．3，，4
【答案】C
【分析】本题主要考查一元二次方程的一般式，熟练掌握一元二次方程的一般式是解题的关键．
根据“一元二次方程的一般形式为，其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项”进行求解即可．
【详解】解：把变为一般式为，所以二次项系数为3，一次项系数为，常数项为；
故选：C．
【例2】（25-26九年级上·河北唐山·阶段检测）若一元二次方程化成一般形式后二次项系数是3，则一次项系数是（ ）
A． B．2 C． D．7
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，先将方程化为一般形式，然后写出一次项系数解答即可．
将方程整理为一般形式，确定一次项系数。
【详解】解：原方程化为一般式为
此时二次项系数为3，一次项系数为，
故选：A．
【例3】（24-25九年级上·全国·期末）方程的一次项为_________．
【答案】
【分析】本题考查了一次项的定义，理解一次项的定义是解题的关键．
先整理方程，再找出一次项即可．
【详解】解：，
，
，
∴一次项为．
故答案为： ．
【例4】（24-25九年级上·河南漯河·阶段检测）一元二次方程化为一般形式后二次项系数是 _____ ，一次项是________．
【答案】 3
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．先将一元二次方程化为一般形式，再识别二次项系数及一次项即可．
【详解】解：去括号，得，
移项及合并同类项，得，
二次项系数是3；一次项是．
故答案为：3；．
1．（24-25九年级上·全国·随堂练习）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项．
(1)．
(2)．
(3)．
【答案】(1)，二次项系数为3，一次项系数为，常数项为1
(2)，二次项系数为1，一次项系数为，常数项为6
(3)，二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为
【分析】此题考查一元二次方程的一般形式，先将一元二次方程化为一般形式，根据各项确定答案：
（1）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项；
（2）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项；
（3）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项；
【详解】（1）解：整理，得，
故二次项系数为3，一次项系数为，常数项为1．
（2）整理，得，
故二次项系数为1，一次项系数为，常数项为6．
（3）整理，得，
故二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为．
2．（25-26九年级上·云南玉溪·期中）已知关于的一元二次方程（为常数），若该方程的一次项系数是二次项系数与常数项和的2倍，判断这个方程根的情况，并求方程的根．
【答案】方程有两个不相等的实数根，根为和．
【分析】本题考查一元二次方程的定义、根的判别式及求解，解题的关键是先根据条件求出的值，再分析根的情况并解方程．
先根据“一次项系数是二次项系数与常数项和的2倍”列方程求出的值，再代入方程确定其形式，通过根的判别式判断根的情况，最后解方程．
【详解】解：方程的各项系数：
二次项系数：（由一元二次方程定义，，即），
一次项系数：，
常数项：，
根据题意可得：，
解得：，
将代入原方程，得：
，
整理得：，
，
所以方程有两个不相等的实数根，
，
综上，方程有两个不相等的实数根，根为．
3．（25-26九年级上·江西鹰潭·阶段检测）定义：如果关于x的方程（，，，是常数）与（，，，是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足，，，则称这两个方程互为“对称方程”．例如：方程的“对称方程”是．请根据上述内容，解决以下问题：
(1)直接写出方程的“对称方程”：________；
(2)已知关于x的方程与互为“对称方程”．
①________，_______；
②求方程的解．
【答案】(1)
(2)①， ②，
【分析】本题考查了解一元二次方程，“对称方程”的定义，熟练掌握“对称方程”的定义是解此题的关键．
（1）根据“对称方程”的定义即可得解；
（2）①根据“对称方程”的定义即可得解；②将，代入，得，再解方程即可得解．
【详解】（1）解：方程的“对称方程”；
（2）解：①由，移项可得．
由互为“对称方程”的定义可得，，，
解得，．
②将，代入，得，
解方程得，．
【典型例题三 判断是否是一元二次方程的解】
【例1】（24-25九年级上·山东青岛·单元测试）若一元二次方程中的a，b，c满足，则方程必有根（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是解题的关键．根据一元二次方程的根的定义，即可求解．
【详解】解：∵当方程可化为．
∴方程必有一根为．
故选：C．
【例2】（25-26九年级上·山西大同·阶段检测）如下表是某同学求代数式（a，b为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知关于的方程的实数根是（　　）
x … 0 1 2 …
… 6 2 0 0 2 …
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的根，解题关键是熟练掌握一元二次方程根的定义．
观察表格可得，当或时，，据此即可求解．
【详解】解：由表格可得，当或时，，
∴关于的方程的实数根是，．
故选：B．
【例3】（24-25九年级上·湖南常德·期末）已知是方程的一个根，则 ________
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，代数式求值等知识点，运用整体代入法求值是解题的关键．
由一元二次方程的解的定义可得，然后将其整体代入求值即可．
【详解】解：∵是方程 的一个根，
∴，
即：，
∴，
故答案为：．
【例4】（24-25九年级上·河南驻马店·期末）已知是方程的一个根，则代数式的值为_________.
【答案】8
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，代数式求值等知识点，熟练掌握整体代入法求值是解题的关键．
根据一元二次方程的解的定义可得，即，然后将变形为，再将代入求值即可．
【详解】解：是方程的一个根，
，
，
，
故答案为：．
1．（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段检测）（）用适当的方法解方程：．
（）若是关于的一元二次方程的根，求代数式的值．
【答案】（），；（）
【分析】（）利用公式法解答即可；
（）由一元二次方程根的定义可得，再化简代数式，最后把代入到化简后的结果中计算即可求解；
本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根的定义，代数式求值，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：（）∵，，，
∴，
∴，
∴，；
（）∵是关于的一元二次方程的根，
∴，
∴，
∴
．
2．（24-25八年级下·浙江·期中）定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“有爱方程”．
(1)判断一元二次方程是否为“有爱方程”，并说明理由；
(2)若关于的一元二次方程为“有爱方程”，证明：为“有爱方程”的根；
(3)已知是关于的“有爱方程”，若是该“有爱方程”的一个根，求的值．
【答案】(1)一元二次方程是“有爱方程”，见解析
(2)见解析
(3)或
【分析】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的一般形式、用十字相乘分解因式法解一元二次方程是解题的关键．
（1）将一元二次方程化为一元二次方程的一般形式，再根据“有爱方程”的定义判断即可；
（2）根据“有爱方程”的定义得到、、的数量关系，将用含和的代数式表示出来并代入方程，再利用十字相乘法分解因式证明即可；
（3）根据“有爱方程”的定义得到各系数之间的数量关系，将常数项用含的代数式表示出来并代入原方程，并把代入，得到关于的一元二次方程，再利用十字相乘分解因式法求解即可．
【详解】（1）解：一元二次方程是“有爱方程”．理由如下：
，
，
，
，，，
，
一元二次方程是“有爱方程”．
（2）证明：关于的一元二次方程为“有爱方程”，
，
，
，
为“有爱方程”的根．
（3）是关于的“有爱方程”，
，
，
是该“有爱方程”的一个根，
，
，
或．
3．（25-26九年级上·全国·期末）请阅读下列材料：
问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍．
解：设所求方程的根为，
则，所以．
把代入已知方程，得，
化简，得，
故所求方程为．
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
请用阅读材料提供的方法，解答下列问题（要求：把所求方程化为一般形式）：
(1)已知方程，求一个关于的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，请求出所求方程；
(2)已知方程的两个根分别是和，尝试求出另一个方程的两个根．
【答案】(1)
(2)，
【分析】本题考查利用“换根法”求解一元二次方程相关的问题，通过设新方程的根与原方程的根的关系，进行化简和求值是解题的关键．
（1）根据“换根法”，利用新方程的根与原方程的根之间的关系，代入原方程即可；
（2）将方程进行变形为，利用换元法，假设，由此方程变形为，根据题意可知的根，故可求出的值，为方程的根．
【详解】（1）解：设所求方程的根为，根据题意，是原方程根的相反数，因此，
即，
代入原方程，
得：，
则．
（2）解：，；
∵，
∴移项得，
，
设，则方程变为，
故的根为和，
当时，，解得；
当时，，解得；
则方程的两个根是，．
【典型例题四 由一元二次方程的定义求参数】
【例1】（24-25九年级上·贵州毕节·阶段检测）将关于的一元二次方程化成一般式后，，，的值分别（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
【答案】D
【分析】本题考查一元二次方程的一般形式．熟练掌握一元二次方程的一般形式： ，其中，，分别为二次项系数，一次项系数和常数项，是解题的关键．将方程转化为一般形式，进行判断即可．
【详解】解：，
整理，得：，
∴；
故选D．
【例2】（24-25九年级上·江苏无锡·期中）若关于的一元二次方程的常数项为0，则的值等于（ ）
A．1 B．0 C．1或2 D．2
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的定义以及因式分解法解一元二次方程，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
根据常数项为0，二次项系数不为0，确定出m的值即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程的常数项为0，
∴，，
∴，
解得（舍去）或．
故选：D．
【例3】（25-26九年级上·吉林白城·阶段检测）已知是关于的一元二次方程，则代数式______．
【答案】
【分析】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．利用一元二次方程的定义求出m的值，代入原式计算即可求出值．
【详解】解：由是关于x的一元二次方程，得到，
则原式．
故答案为：．
【例4】（25-26九年级上·湖北·阶段检测）若关于的方程是一元二次方程，则的值是________．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程定义，熟练掌握一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程是解题的关键．
根据一元二次方程定义得出且，即可求解．
【详解】解：∵方程是一元二次方程，
∴且，
解得：．
故答案为：
1．（2025九年级上·上海·专题练习）当为何值时，方程是关于的一元二次方程？
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程，一元二次方程的一般形式下，注意二次项系数不等于零是解题的关键．
直接根据一元二次方程的定义列方程求解即可．
【详解】解：根据题意，得且．
解，得，
解，得，
所以．
所以当时，原方程是关于的一元二次方程．
2．（24-25九年级上·河北保定·期末）已知关于x的一元二次方程．
(1)求m的值；
(2)解这个方程．
【答案】(1)
(2)，
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的定义和求解方法是解题的关键．
（1）依据一元二次方程未知数最高次数为2的定义，令方程中的次数等于2，从而列方程求解；
（2）把求得的值代入原方程，再用合适的方法（如因式分解法）解一元二次方程．
【详解】（1）解：由题意可得，
解得；
（2）解：由（1）可知，方程为，
∴，
∴或，
解得，．
3．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）已知关于的一元二次方程的常数项为．
(1)求的值；
(2)求此时一元二次方程的根．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）根据一元二次方程的定义可知，根据方程的常数项为，可得，解方程即可求出的值；
（2）利用因式分解法解一元二次方程．
【详解】（1）解：关于的一元二次方程的常数项为，
可得：，
由，可得：，
解方程，
分解因式可得：，
解得：，，
；
（2）解：当时，
可得方程为，
分解因式得：，
解得：，．
【典型例题五 由一元二次方程的解求参数】
【例1】（25-26九年级上·广东佛山·期末）一元二次方程的一个根是，则m的值为（ ）
A． B． C． D．10
【答案】D
【分析】将已知根 代入方程，直接求解 的值．
本题考查了一元二次方程的解的定义，熟知一元二次方程的解满足方程是解题的关键．
【详解】解：∵ 是方程 的根，
∴代入得 ，
即，
∴，
∴．
故选：D．
【例2】（25-26九年级上·广东广州·期末）若是关于x的一元二次方程的一个解，则m的值是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为方程的解．根据一元二次方程解的定义，将代入方程求解m的值．
【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的一个解，
∴将代入方程，
得，
∴．
故选B．
【例3】（25-26九年级上·河南信阳·期末）已知是关于的一元二次方程的一个根，则_______
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义．利用一元二次方程根的定义将代入方程求解．
【详解】解：是关于的一元二次方程的一个根，
将代入方程，得，即，
解得．
故答案为：．
【例4】（25-26九年级上·湖南永州·期末）已知关于的一元二次方程的一个根为，则它的另一根为________．
【答案】
【分析】本题主要考查一元二次方程的解，以及根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则．
利用一元二次方程根与系数的关系，已知一个根，通过两根之积求解另一个根即可．
【详解】解：设另一根为，则根据根与系数的关系，有，
解得
故答案为：1．
1．（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）如果是关于的一元二次方程 的一个根，求的值及方程的另一个根．
【答案】，方程的另一个根为
【分析】将代入，解方程求出，再解方程即可求出另一个解．
【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根，
∴将代入得：，
解得：，
∴方程为：，
∴，
解得：，
∴另一根为：．
2．（25-26八年级下·安徽六安·期中）已知关于x的方程．
(1)求证：无论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程有一个根是1，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式与根的关系求解即可；
（2）将方程的根代入方程求出，再利用整体代入法求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵方程有一个根是
∴，即，
∴．
3．（25-26八年级下·安徽淮北·阶段检测）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同一根方程”．例如和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同一根方程”．
(1)根据以上定义，下列方程属于“同一根方程”的是__________；（填序号）
①；②；③．
(2)若关于的一元二次方程．与为“同一根方程”，求的值；
(3)若关于的一元二次方程同时满足和，且与为“同一根方程”，求的值．
【答案】(1)①③
(2)1或
(3)1或
【分析】本题考查了一元二次方程的解、因式分解法解一元二次方程，新定义“同一根方程”．
（1）分别求出三个方程的解，根据“同一根方程”的定义进行判断即可；
（2）先求出一元二次方程的解，，根据一元二次方程与为“同一根方程”，分情况求解即可；
（3）一元二次方程（）同时满足和，可知方程的解为，，分情况求出值即可．
【详解】（1）解：解方程，
可得：，；
解方程，
∴
可得：，；
解方程，
可得：，；
其中方程和方程有且只有一个相同的实数根，
方程是“同一根方程”；
（2）解：解方程，
可得：，，
当相同的根是时，
把代入方程，
可得：，
解得：；
此时方程为，可得：，，符合题意；
当相同的根是时，
把代入方程，
可得：，
解得：，
此时方程为，可得：，，符合题意；
的值是或；
（3）解：关于x的一元二次方程同时满足和，
方程的解是，，
方程的解为，，
方程与方程是“同一根方程”，
或，
当时，两方程的根分别为和，只有一个相同实数根1，符合题意；
当时，两方程的根分别为和，只有一个相同实数根，符合题意。
1．（24-25九年级上·上海·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
B、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
C、只含一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，是一元二次方程，符合题意；
D、未知数最高次数为1，是一元一次方程，不是一元二次方程，不符合题意.
2．（2025九年级下·广东潮州·学业考试）一元二次方程，其中a，b，c的值分别是（ ）
A．2，， B．2，，3 C．2，3， D．2，3，7
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的一般形式为，解答即可．
本题考查了一元二次方程的一般形式及其相关概念，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】解：由，
得，
故选：C．
3．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）将一元二次方程化成一般形式后（二次项系数为正），二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A．5、 B．5、 C．5、1 D．5、4
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，首先要把方程化成一般形式即可求解，解题的关键是理解，一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且），特别要注意的条件，其中叫二次项，叫一次项，是常数项，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．据此求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程化成一般形式为，
∴二次项系数和一次项系数分别是5、，
故选：B．
4．（25-26九年级上·广西南宁·阶段检测）关于x的一元二次方程的一个根是2，则a的值是（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，将根代入方程求解a的值即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是2，
∴，即，
∴ ，
故选：D．
5．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）如表是某同学求代数式（a，b为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知关于x的方程的实数根是（ ）
x … 0 1 2 …
… 6 2 0 0 2 …
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与代数式值的关系，熟练掌握“方程的根是使方程左右两边相等的未知数的值”是解题的关键．
根据方程的含义，直接从表格中找出使代数式的值为2对应的值，即为方程的实数根．
【详解】∵当时，；
当时，，
∴方程的实数根为，,
故选： A．
6．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段检测）把方程化成一般形式是________．
【答案】
【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，先将给定方程去括号，再移项，合并同类项得到结果．
【详解】解：，
，
．
故答案为：．
7．（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）若是关于的一元二次方程，则___________．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义可知未知项的最高次应是次，所以可得：，解方程求出值即可．
【详解】解：是关于的一元二次方程，
，
解得：．
故答案为：．
8．（2025·四川广元·模拟预测）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则________．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，根据判别式可得，根据一元二次方程的定义可得，据此求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
故答案为：．
9．（2025·江苏无锡·二模）关于x的方程．
（1）若该方程有一个根为，则_____；
（2）若该方程有两个实数根，则k的取值范围是 _____．
【答案】 2
【分析】（1）将代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值；
（2）根据一元二次方程根的判别式与根的关系，方程有两个实数根时判别式大于等于，列出不等式求解即可得到的取值范围．
【详解】（1）解：把代入方程得，
整理得，
解得；
（2）解：由于方程有两个实数根，
则判别式，
解得．
10．（24-25九年级上·福建泉州·期末）若定义：方程是方程的“倒方程”．则下列四个结论：
①如果是的倒方程的一个解，则．
②一元二次方程与它的倒方程有公共解．
③若一元二次方程无解，则它的倒方程也无解．
④若，则与它的倒方程都有两个不相等的实数根．上述结论正确的有________．（填序号即可）
【答案】②③④
【分析】本题考查了一元二次方程的解，以及根的判别式．根据倒方程的定义和一元二次方程根的定义对①进行判断；一元二次方程与它的倒方程有公共解，可以判定②正确；利用倒方程的定义和根的判别式的意义对③④进行判断．
【详解】解：①的倒方程为，
把代入方程得，
解得，所以原说法错误；
②一元二次方程与它的倒方程有公共解，公共解是，
原说法正确；
③若一元二次方程无解，则其判别式小于0，而倒方程的判别式和原方程的判别式相同，则其值也小于0，故它的倒方程也无解，原说法正确，；
④当时，一元二次方程的根的判别式，
也为一元二次方程，此方程的根的判别式，
所以这两个方程都有两个不相等的实数根，所以④正确，符合题意；
故答案为：②③④．
11．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知关于的一元二次方程有实数根，求的取值范围．
【答案】且
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．当且，然后解两个不等式求出它们的公共部分即可．
【详解】解：当且时，方程有实数根，
解得且，
即的取值范围为且．
12．（24-25八年级下·山东烟台·期中）已知关于x的方程．
(1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？
(2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据一元一次方程的定义解答即可；
（2）根据一元二次方程的定义解答即可．
【详解】（1）解：∵关于x的方程是一元一次方程，
∴且，
即且，
∴；
（2）解：∵关于x的方程是一元二次方程，
∴，
解得
13．（2026·广东揭阳·一模）解方程：解一元二次方程时，小江同学的解法如表所示：
小江同学： 解：， 所以或， 所以，．
(1)你认为是原方程的解吗？请检验（写出检验过程）；
(2)请选择合适的方法解原方程．
【答案】(1)不是原方程的解；
(2)，．
【分析】（）根据方程解的定义，将代入原方程，比较左右两边的值是否相等即可判断；
（）先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解：将代入得，左边，右边，
∵左边右边，
∴不是原方程的解；
（2）解：，
，
或，
∴，．
14．（25-26九年级上·江西赣州·期末）定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”．例如方程的两个根是，因为，所以这个方程是“邻根方程”．
(1)判断：方程_____“邻根方程”（填“是”或“不是”）；
(2)已知关于的一元二次方程（m是常数）是“邻根方程”，求的值．
【答案】(1)是
(2)m的值为0或2
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，正确理解题意和熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）根据因式分解法解一元二次方程，然后根据“邻根方程”的定义判断即可；
（2）解方程得到，，再由“邻根方程”的定义得到关于m的方程，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：，
∴，，
∵，
∴方程是“邻根方程”．
故答案为：是．
（2）解：，
，
∴，，
由题意得：，即或，
解得，，
∴m的值为0或2．
15．（25-26九年级上·广东潮州·期中）阅读理解题．
定义：如果一个数i的平方等于，记为，那么这个数i叫做虚数单位.我们把形如（a，b为实数）的数叫做复数，a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加法、减法、乘法运算与整式类似．
读完这段文字，请你解答以下问题：
(1)填空：______，______，______；
(2)已知，写出一个以a，b的值为解的一元二次方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了复数的基本概念与运算，一元二次方程根与系数的关系，理解复数的概念是解题的关键．
（1）根据复数定义，即及幂的运算求解即可；
（2）先化简，再根据复数相等的条件列方程组，最后根据一元二次方程根与系数的关系构造一元二次方程．
【详解】（1）解：，
，，，
,，
；
故答案为：；
（2），
，即，
，
，
是一元二次方程的两根．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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