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第02讲 降次 —— 解一元二次方程（6大知识点+11大典例+变式训练+过关检测）
典型例题一 解一元二次方程——直接开平方法
典型例题二 解一元二次方程——配方法
典型例题三 公式法解一元二次方程
典型例题四 因式分解法解一元二次方程
典型例题五 换元法解一元二次方程
典型例题六 解分式方程（化为一元二次）
典型例题七 根据判别式判断一元二次方程根的情况
典型例题八 根据一元二次方程根的情况求参数
典型例题九 一元二次方程的根与系数的关系
典型例题十 根与系数关系的新定义问题
典型例题十一 配方法的应用
知识点01 直接开平方法
直接开平方法解一元二次方程：将方程化成则x＝.
【即时训练】
1．（24-25九年级上·广东肇庆·期末）方程的解是（）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了直接开方法求一元二次方程的解，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成的形式，利用数的开方直接求解．
利用直接可平方法即可求得；
【详解】解：
故选：D．
2．（24-25八年级下·全国·课后作业）填空：
（1）方程的根是______________________．
（2）方程的根是______________________．
【答案】
【分析】（1）根据直接开平方法解一元二次方程即可求解；
（2）根据直接开平方法解一元二次方程即可求解．
【详解】（1）解：，
，
∴，
故答案为：；
（2）
即
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
知识点02 配方法
配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法．
用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0 (a≠0）的一般步骤是：
（1）化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；
（2）移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；
（3）配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方；（4）化原方程为(x+m）2=n的形式；
（5）如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n＜0，则原方程无解．
注意：实际在解方程的过程中，一般也只是针对且为偶数时，才使用配方法，否则可以考虑使用公式法来更加简单。
【即时训练】
1．（25-26九年级上·广西南宁·阶段检测）若用配方法解一元二次方程时，可变形为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了一元二次方程配方法，解题的关键是熟练掌握配方法的步骤．
先把常数项移到右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，配成完全平方公式即可．
【详解】解：，
，
，
．
故选：B．
2．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）将关于的一元二次方程化成的形式，则________．
【答案】14
【分析】先移项，再在方程的两边都加上 配方后可求解的值，从而可得答案．
【详解】解：∵ ，
移项得： ，
，
，
．
故答案为：14．
【点睛】此题考查的是配方法的应用，掌握配方法的方法与步骤是解题的关键．
知识点03 公式法
公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．
一元二次方程的求根公式是: (=b2－4ac≥0)
推导过程：一元二次方程，用配方法将其变形为：
2.公式法解方程的步骤：①化方程为一元二次方程的一般形式； ②确定a、b、c的值； ③求出b2－4ac的值；④若b2－4ac≥0，则代人求根公式，求出x1 ,x2．若b2－4ac＜0，则方程无解．
【即时训练】
1．（24-25九年级上·福建泉州·阶段检测）已知方程，当时，方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据公式法解一元二次方程即可求解．
【详解】解：∵，当时
∴
故选C．
【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，牢记公式是解题的关键．
2．（2025·江苏无锡·一模）方程的解是______．
【答案】
【分析】利用公式法解方程即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
知识点04 因式分解法
将一元二次方程通过因式分解，分解为两个一次因式乘积等于0的形式，再使这两个一次因式分别等于0，实现降次的方法。
即将一元二次方程化简为；从而得出：，因式分解法的关键是分解成两个一次因式相乘的形式。
1、因式分解的主要方法：
①提取公因式法：通过提取公因式达到因式分解的目的，进而求解一元二次方程。
②乘法公式：因式分解的目的在将方程化成两个因式乘积等于0的形式，利用如下乘法公式，有时可以很好解决。①平方差公式：；②完全平方公式：
③十字相乘法：十字相乘法能将某些二次三项式因式分解。十字相乘法的二次三项式需满足三个条件：
①十字左边上下两数相乘等于二次项； ②十字右边上下两数相乘等于常数项；③十字交叉相乘积的和等于一次项。 例如：用十字相乘法解方程：
∴方程可分解为：（2x+3）（x－2）=0 ∴
2、解一元二次方程的方法选择：
①虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。
②解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握。
③四种求方程方法的一定要合理选用，依次按直接开平方、因式分解，配方法和公式法的顺序考虑选用。
注意：方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如2(x＋4)2=3（x＋4）中，不能随便约去（x＋4）。
【即时训练】
1．（24-25九年级上·广东佛山·阶段检测）一元二次方程的解是（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】B
【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，利用因式分解法求解即可，解题的关键是熟记常见的解法，直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法及正确掌握一元二次方程的解法．
【详解】解：
或
∴，；
故选：．
2．（24-25九年级上·上海·期中）方程的根是 ______．
【答案】
【分析】此题考查了解一元一次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．方程变形后，利用因式分解法求出解即可．
【详解】解：方程移项得：，
分解因式得：，
可得或，
解得：，
故答案为：．
知识点05 一元二次方程的根
1、能使一元二次方程成立的未知数的值称为一元二次方程的解，我们也称为一元二次方程的根。
2、一元二次方程的实数根有0个、1个或2个。
3、常考点：为利用根的概念求代数式的值；
4、一元二次方程近似解：两端逼近法。
步骤：借助表格，找到两个相近的数，一个使，一个使，则一元二次方程的解就介于这两个数之间，再进一步逼近，缩小范围获得其近似解。
【即时训练】
1．（24-25九年级下·广东清远·阶段检测）关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了根的判别式，注意记住一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）>0方程有两个不相等的实数根；（2）=0方程有两个相等的实数根；（3）<0方程没有实数根．由方程有实数根结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出结论．
【详解】解：∵一元二次方程有实数根，
∴，
解得．
故选：D．
2．（2025·河南南阳·一模）若关于x的方程有两个实数根，写出一个m的值为__________．
【答案】0（答案不唯一）
【分析】本题考查了根的判别式．先根据判别式的意义得到，解不等式得到m的范围，然后在此范围内取一个值即可．
【详解】解：∵关于x的方程有两个实数根，
∴，
解得，
所以当m取0时，方程有两个实数根．
故答案为：0（答案不唯一）．
知识点06 一元二次方程根的判别式 (=b2－4ac)
①当时，方程有两个不相等的实根；
② 当时，方程有两个相等的实根；
③ 当时，方程没有实根。
判别式作用：①定根的个数；②求待定系数的值。
注意：(1)在使用根的判别式之前，应将一元二次方程化成一般式；
(2)在确定一元二次方程待定系数的取值范围时，必须检验二次项系数a≠0
(3)证明恒为正数的常用方法：把△的表达式通过配方化成“完全平方式+正数”的形式。
【即时训练】
1．（25-26九年级上·山西朔州·期中）关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能确定
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．
通过计算判别式并分析其符号，判断根的情况．
【详解】解：判别式，
∵，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
2．（24-25九年级上·吉林长春·期中）对于一元二次方程x2﹣2x＝﹣6，则它的根的情况是_____．
【答案】没有实数根
【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac，即可求出Δ＜0，进而可得出该方程没有实数根．
【详解】解：∵，
∴a＝1，b＝﹣2，c＝6，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×6＝﹣20＜0，
∴一元二次方程x2﹣2x＝﹣6没有实数根．
故答案为：没有实数根．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程根的判别式．
【典型例题一 解一元二次方程——直接开平方法】
【例1】（25-26九年级上·湖北恩施·期末）方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题主要考查了直接开平方法求一元二次方程的解．利用直接开平方法即可求得．
【详解】解：，
移项得，
解得，
故选：B．
【例2】（24-25九年级下·福建厦门·期中）一元二次方程的根为（ ）
A． B．
C．， D．，
【答案】C
【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，将常数项移到方程的右边，再利用直接开平方法求解即可，熟练掌握解一元二次方程的方法是解此题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，，
故选：C．
【例3】（2026·黑龙江哈尔滨·一模）对任意有理数、，定义关于“”的一种运算如下：，例如：，．若，则的值为______．
【答案】10
【分析】根据新定义运算规则列出关于的方程，解方程后计算的值即可．
【详解】解：∵，
∴根据定义可得，
整理可得：，
∴，
∴．
1．（26-27九年级·全国·暑假作业）解方程：
【答案】，
【分析】利用直接开平方法得出两个一元一次方程，解一元一次方程即可得出答案．
【详解】解：
∴，
则或，
解得：，．
2．（25-26八年级下·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程：
(1)．
(2)．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）用直接开平方法解答即可；
（2）用直接开平方法解答即可．
【详解】（1）解：（1），
，
或，
解得，．
（2），
，
，
，
解得，．
【点睛】本题主要考查了用开平方法解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握开方法．
3．（25-26九年级上·河南洛阳·期末）你知道可以用几何图形求部分一元二次方程的正解吗？
以为例，大致过程如下：
第一步：将原方程变形为，即．
第二步：构造一个长为，宽为的长方形，长比宽大3，且面积为4，如图1所示．
第三步：用四个这样的长方形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，如图2所示．小正方形的边长为______．
第四步：计算大正方形面积，用含的代数式表示为______．
第五步：用大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和，列方程得，因为为边长，所以，可求得方程的正解为______．
(1)将横线上的内容补充完整．
(2)请利用上述的思考过程，设计求方程正解的过程．
(3)仿照上述的思考过程，请你写出求方程负解的过程．
【答案】(1)3；；
(2)，见解析
(3)，见解析
【分析】本题考查了解一元二次方程、利用平方根解方程，熟练掌握几何方法是解题关键．
（1）利用长方形的长减去宽可得小正方形的边长；先求出大正方形的边长为，再根据正方形的面积公式即可得大正方形的面积；先求出，再根据平方根的性质可得，由此即可得；
（2）先将方程变形为，再构造一个长为，宽为的长方形，长比宽大2，且面积为3，用四个这样的长方形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，小正方形的边长为2，大正方形的边长为，参考（1）的方法求解即可得；
（3）先将方程变形为，再令，则，然后构造一个长为，宽为的长方形，长比宽大2，且面积为3，用四个这样的长方形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，小正方形的边长为2，大正方形的边长为，参考（1）的方法求解即可得．
【详解】（1）解：第一步：将原方程变形为，即．
第二步：构造一个长为，宽为的长方形，长比宽大3，且面积为4，如图1所示．
第三步：用四个这样的长方形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，如图2所示．小正方形的边长为．
第四步：计算大正方形面积，用含的代数式表示为．
第五步：用大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和，列方程得，即，
∵和都为边长，
∴，，
∴，
∴，
∴，
可求得方程的正解为．
故答案为：3；；．
（2）解：对于方程，
将方程变形为，
∴，即，
如图1，构造一个长为，宽为的长方形，长比宽大2，且面积为3，
如图2，用四个这样的长方形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，小正方形的边长为，大正方形的边长为，
∴大正方形的面积为，
∵大正方形的面积等于四个长方形与小正方形面积之和，
∴，即，
∵为长方形的边长，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴方程的正解为．
（3）解：对于方程，
将方程变形为，
∴，即，
令，则，即，
如图1，构造一个长为，宽为的长方形，长比宽大2，且面积为3，
如图2，用四个这样的长方形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，小正方形的边长为，大正方形的边长为，
∴大正方形的面积为，
∵大正方形的面积等于四个长方形与小正方形面积之和，
∴，即，
∵为长方形的边长，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴方程的负解为．
【典型例题二 解一元二次方程——配方法】
【例1】（25-26八年级下·江苏南通·期末）用配方法解方程 ，变形后的结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】按照配方法的步骤，先移项，再配方，将方程左边化为完全平方式，即可得到变形结果．
【详解】解：∵，
∴移项得：，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得：
，
整理得：．
【例2】（25-26八年级下·安徽合肥·期末）用配方法解方程，将方程变为的形式，则，的值分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【分析】按照配方法的步骤将方程整理为的形式，对比即可得到，的值．
【详解】解：∵ ，
移项得 ，
配方，两边同时加上一次项系数一半的平方，得，
整理得 ，
对比，可得，，
故选：D．
【例3】（25-26九年级上·广东汕尾·期中）把方程化成的形式，则m的值是______．
【答案】
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．通过配方法将一元二次方程化为完全平方形式．
【详解】解：由，移项得．配方，两边同时加上一次项系数一半的平方，即加上4，得，
即．所以．
故答案为：．
1．（24-25八年级下·重庆·期末）解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)，
(2)原方程无解
【分析】（1）方程运用配方法求解即可；
（2）方程去分母得整式方程，解整式方程，得整式方程的解，再进行检验即可．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
，
∴，；
（2）解：，
，
方程去分母得：，
解得：，
经检验：是原方程的增根，
∴原方程无解．
2．（25-26九年级上·浙江·寒假作业）“做题接龙”是课上王老师经常玩的数学游戏，今天王老师让学生解一题一元二次方程，每人做一个步骤，最终结果如下：
以上步骤有哪一步出错了？请指出来，并正确求解原方程．
【答案】第②步出错，正确答案：，
【分析】本题考查配方法解一元二次方程，根据一元二次方程求解的过程进行检查即可，并按过程重新解方程．
【详解】解：第②步出错，两边同时除以，则右边常数变成，而不是，正确的解答过程如下：
，
，
，
+4 ，
，
，
，．
3．（25-26九年级上·浙江·寒假作业）以下是小姜与小林分别解一元二次方程的结果，他们做的对吗？回答下列问题：
小姜 小林
解： ① ② ③ ④ ⑤ 解得：， ⑥ 解： ① ② ③ ④ ⑤ 解得：， ⑥
(1)王老师说小姜和小林的计算过程均有错误，分别指出他们错在哪一步．
(2)请你正确求解一元二次方程
【答案】(1)小姜错在第③步；小林错在第③步
(2)，
【分析】（）根据完全平方公式的特点及等式的性质判断即可求解；
（）利用配方法解答即可求解；
本题考查了解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键．
【详解】（1）解：小姜错在第③步，应加上而不是；小林错在第③步，只左边加了，右边没有加；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
解得， ．
【典型例题三 公式法解一元二次方程】
【例1】（25-26九年级上·贵州毕节·阶段检测）用公式法解方程时，a，b，c的值分别为（ ）
A．2，6，3 B．2，， C．，6， D．2，6，
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，公式法解一元二次方程，首先要把方程化成一般形式，其中叫二次项，叫一次项，是常数项，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【详解】解：∵原方程，
移项得，
∴，，．
故选：B．
【例2】（25-26九年级上·全国·课后作业）用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定a，b，c的值．对于方程，a，b，c的值分别是（ ）
A．，5，3 B．，，3 C．4，5，3 D．4，，
【答案】B
【分析】用公式法求一元二次方程时，首先要把方程化为一般形式．
【详解】∵
∴或
∴的值分别是或
故答案选B
【点睛】在变化为一般形式时，要注意移项变号问题
【例3】（24-25八年级下·安徽合肥·阶段检测）若是一元二次方程的根，则的值为___________．
【答案】
【分析】本题主要考查解一元二次方程----公式法，利用求根公式判断求解即可．
【详解】解：∵是一元二次方程方程的根，
∴，，，
∴，
故答案为：．
1．（24-25九年级上·上海·阶段检测）用公式法解方程：．
【答案】
，
【分析】找准方程各项系数，正确计算判别式后代入求根公式求解即可；
【详解】解：在中，，，，
∴，
∴代入求根公式得，
∴，．
2．（25-26九年级上·四川广元·阶段检测）用合适的方法解方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
,
(2)
,
(3)
,
(4)
,
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，常用的一元二次方程的解法用直接开平方法、配方法、公式法、分解因式法．
用求根公式法解一元二次方程即可；
用分解因式法解一元二次方程即可；
用分解因式法解一元二次方程即可；
用分解因式法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：，
其中，，，
方程有两个不相等的实数根，
，
解得：，；
（2）解：，
整理方程可得：，
分解因式可得：，
可得：或，
解得：，；
（3）解：，
移项得：，
提公因式得：，
可得：或，
解得：，；
（4）解：，
移项得：，
分解因式得：，
整理得：，
可得：，，
解得：，．
3．（2025·北京西城·二模）关于的方程．
(1)若方程有实数根，求的取值范围；
(2)若方程的两个根都是整数，求正整数的值．
【答案】(1)
(2)3
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式以及求根公式的应用．解题关键在于理解根的判别式与根的关系，利用判断根的情况并求解参数范围；同时掌握求根公式，通过对根的表达式分析及代入验证来确定满足条件的参数值．
（1）根据一元二次方程根的判别式与根的关系，已知方程有实数根，所以，通过构建关于的不等式求解的取值范围．
（2）先利用求根公式得出方程的根的表达式，再结合第一问的取值范围确定正整数可能的值，然后通过代入逐一验证根是否为整数，从而确定符合条件的值．
【详解】（1）解：∵方程有实数根，
∴．
∴．
解得．
即的取值范围是．
（2）解：解方程，得．
∵，
∴正整数的值为1，2，3．
当时，，不合题意，所以舍去；
当时，，不合题意，所以舍去；
当时，，得到方程的根为，，都是整数．
∴正整数的值是3．
【典型例题四 因式分解法解一元二次方程】
【例1】（25-26九年级上·山西吕梁·期中）解一元二次方程的数学核心方法是（ ）
A．消元 B．降次 C．归纳法 D．换元法
【答案】B
【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程各种方法的基本思想是解题的关键．解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即“降次”，即可得解．
【详解】解：解一元二次方程的数学核心方法是降次．
故选：B ．
【例2】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知是关于的方程的两根，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】题目主要考查解一元二次方程，利用因式分解法求出方程的根，然后依次判断各选项即可．
【详解】解：∵是关于的方程的两根，
∴，
解得：，
∴，
只有选项B正确，
故选：B
【例3】（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）定义：若一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的整数倍，则称该方程是“一元二次倍根方程”．例如：方程的两个根为，因为是的3倍，所以方程是“一元二次三倍根方程”．若关于的一元二次方程是“一元二次三倍根方程”，则的值为_______．
【答案】或
【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程，用因式分解法求解方程得出，，再根据 “倍根方程”的定义，即可求解．
【详解】解：∵关于的一元二次方程中，，
∴恒成立，
∴为任意实数，
，
，
或，
解得：，，
方程是“一元二次三倍根方程”
当时，则，
当时，则，
综上，或．
故答案为：或．
1．（24-25九年级上·山东聊城·期中）解下列关于的一元二次方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）用因式分解法解一元二次方程；
（2）用因式分解法解一元二次方程．
【详解】（1）解：，
移项得：，
提公因式得：，
可得：或，
解得：，；
（2）解：，
分解因式得：，
可得：或，
解得：，．
2．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）已知关于的一元二次方程．
(1)若是方程的一个根，求的值；
(2)若该方程有两个实数根，求的取值范围．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）将已知根代入原一元二次方程，得到关于的方程，求解即可得到的值；
（2）利用一元二次方程根的判别式的性质，当方程有两个实数根时，判别式大于等于，据此列出关于的不等式，解不等式得到的取值范围．
【详解】（1）解：∵一元二次方程，
∴判别式
，
∵是方程的一个根，
∴，即，
∴或；
当时，，方程有解，符合题意；
当时，，方程有解，符合题意；
（2）解：∵方程有两个实数根，
∴，
∴，
解得．
3．（24-25八年级下·浙江丽水·阶段检测）小明同学解方程：的过程如下：
小明：两边同除以，得，第一步
则．第二步
你认为小明的解法是否正确？若不正确，从第__________步开始出现错误；并写出你的解答过程．
【答案】解：小明的解法不正确，从第一步开始出错．
正确解答过程如下：
原方程为，
移项，得，
提取公因式，得，
整理得，
则 或 ，
解得，．
【分析】小明的错误是忽略了可能为0，等式两边不能同时除以值可能为0的式子，直接除以会漏掉这个根，正确方法为移项后用因式分解法求解．
【详解】略．
【典型例题五 换元法解一元二次方程】
【例1】（24-25九年级上·全国·假期作业）若实数，满足，则的值为（ ）
A．5 B．2.5 C．2.5或 D．5或
【答案】A
【解析】略
【例2】（24-25九年级上·天津和平·期中）关于的方程的解是，（a，m，b均为常数，），则方程的解是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【分析】本题考查了用换元法解一元二次方程．根据关于的方程的解是，（a，m，b均为常数，），可知或，进一步求解即可．
【详解】解：关于的方程的解是，（a，m，b均为常数，），
∴在方程中，或，
解得，
故选：C．
【例3】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段检测）已知关于x的一元二次方程的解是，，则另一个方程的解是______．
【答案】或
【分析】本题考查了一元二次方程的解．熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键．
令，则整理为，由题意知，的解是，，即或，计算求解即可．
【详解】解：令，
∴整理为，
∵关于x的一元二次方程的解是，，
∴的解是，，
∴或，
解得或，
故答案为：或．
1．（24-25九年级上·广西河池·期中）阅读下面的例题．
解方程．
解：原方程化为．
令，原方程化成，解得，．
当时，；当时（不合题意，舍去）．
∴原方程的解是，．
请模仿上面的方法解方程：．
【答案】，
【分析】本题考查了换元法解一元二次方程、绝对值的性质及一元二次方程的解法，解题的关键是通过换元法将含绝对值的复杂方程转化为普通的一元二次方程，再结合绝对值的非负性对解进行取舍．
先根据，将原方程化为；令，将方程转化为关于的一元二次方程，求解得，；根据绝对值的非负性，舍去；解，得，进而求出，．
【详解】解：原方程化为，
令，原方程化成，
解得：，，
当，
，
解得：，；
当时（舍去）．
则原方程的解是，．
2．（25-26九年级上·河南商丘·阶段检测）阅读下面的材料，回答问题：
解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为①，解这个方程得．
当时，，；
当时，，；
原方程有四个根：，，．
请运用上面学到的方法填空：
(1)解方程，则______；
(2)若，求______．
【答案】(1)5或
(2)5
【分析】此题考查了换元法解一元二次方程，正确理解已知中的解题方法并仿照解题是解题的关键．
（1）仿照例题，将看作整体，因式分解后得出，再求解即可．
（2）仿照例题，将看作整体，因式分解后得出，再求解即可．
【详解】（1）解：，
∴，
∴或，
∴，
故答案为：5或；
（2）解：，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴，，
∵不论a、b为何值，，即，
，
故答案为：5．
3．（24-25八年级下·安徽淮北·阶段检测）阅读下列材料：
解方程：．
设，那么，于是原方程可变为①，
解这个方程得：，．
当时，，∴；
当时，，∴，
所以原方程有四个根：，，，．
根据上述解方程的方法，解决下列问题：
(1)解方程时，若设，直接写出用表示该方程；
(2)若，求的值；
(3)若四个连续正整数的积为120，求这四个连续正整数．
【答案】(1)
(2)
(3)2，3，4，5
【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，解题的关键是掌握换元法的解题步骤．
（1）根据换元法，可得答案；
（2）根据换元法，可得答案；
（3）根据换元法，可得答案．
【详解】（1）解：设，则；
（2）解：设，则，
，即，
解得，则或（舍去）
；
（3）解：设最小的正整数为，则其它三个正整数分别为，，，
根据题意，得，
，
设，则，
，
解得，（舍去）
，即，
解得，（舍去），
这四个连续的正整数为2，3，4，5．
【典型例题六 解分式方程（化为一元二次）】
【例1】（2025九年级上·全国·专题练习）设，则方程可变形为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了分式化简，解分式方程，换元法就是把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，进行等量代换．将原方程中的换成，再去分母化简即可．
【详解】解：根据题意，得，
两边同乘，消去分母：，
移项整理得：．
故选：C．
【例2】（24-25八年级下·上海·阶段检测）用换元法解方程时，设，则原方程可化为关于y的方程是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了解分式方程，换元法的应用，解题的关键是去分母将其化为整式方程．
由题意可得，再去分母可得，即可求解．
【详解】解：设，
则原方程可化为： ，
，
，
故选：A．
【例3】（24-25九年级下·上海·阶段检测）用换元法解方程时，设，那么原方程变形为关于y的整式方程是______．
【答案】
【分析】本题考查了换元法，掌握换元法解方程一般步骤及方法是解题的关键．根据题意，用含y的式子表示出方程并整理方程即可．
【详解】解：设，则原方程化为：，
方程的两边都乘以y，得，
即．
故答案为：．
1．（25-26九年级上·上海闵行·期中）解方程：．
【答案】．
【分析】本题考查分式方程的解法，解题关键是通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，且解后必须检验．
先通过去分母将分式方程转化为整式方程，求解整式方程后，对得到的解进行检验（确保分母不为0），舍去增根，保留有效解．
【详解】
解：方程两边同时乘得，
整理得 ，
因式分解得 ，
解得 ，
检验 当时 ，当时 ，
是分式方程的解，是增根，
分式方程的解为．
2．（25-26九年级上·河南平顶山·阶段检测）阅读以下材料：
能用换元法求解的分式方程中一般分母比较复杂且各部分有相同的形式，这时可采用换元法，达到简化运算的目的．
例如：用换元法解方程．
解：设，则原方程可变形为，
整理，得．解得．
，即．解得．
经检验，是原方程的根．原方程的根为．
(1)用上述方法解方程时，如果设，则原方程可化为_____；
(2)请你按上述方法补全解方程的步骤．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题主要考查了解分式方程，换元法解分式解方程，
（1）根据换元法思想，令，则，即可得到关于的方程；
（2）利用换元法，把原方程转化为，解该分式方程求出的值，再解关于的分式方程即可得到原方程的解．
【详解】（1）解：如果设，则原方程可化为，
故答案为：；
（2）解：由（1）得，原方程可变形为，
整理，得.解得，．
当时，方程可整理为．
，
方程无解．
当时，方程可整理为，
解得．经检验，是原方程的根．
原方程的根为．
3．（25-26九年级上·湖北咸宁·阶段检测）数学思想、方法是数学的灵魂，若能灵活运用，会使得问题解决更简洁．“整体思想”就是一种非常重要的数学思想，换元法能达到简化运算的目的．例如，解方程时，可以将看作一个整体，采用换元法求解，设，则原方程可以变形为，整理得，解得，所以，解得，经检验是原方程的根．
(1)用换元法解方程时，如果设，则原方程可以变形为 ；
(2)用换元法解方程；
(3)已知是一元二次方程的一个实数根，求的值．
【答案】(1)（或）
(2)，
(3)
【分析】此题考查了解分式方程和一元二次方程，熟练掌握换元法和一元二次方程的解法是关键．
（1）根据换元法进行解答即可；
（2）设，则原方程可以变形为，整理得，解得，，再分两种情况解一元二次方程即可；
（3）由一元二次方程根的定义得到，则，，再整体代入进行解答即可．
【详解】（1）解：用换元法解方程时，如果设，则原方程可以变形为（或）；
故答案为：（或）；
（2）解：设，则原方程可以变形为，
整理得，
解得，，
当时，，
整理得，
解得，，
经检验，都是原方程的根，
当时，，整理得，
，
该方程无实数根，
综上可得，原方程的解为，；
（3）解：是一元二次方程的一个实数根，
，
，，
．
【典型例题七 根据判别式判断一元二次方程根的情况】
【例1】 （25-26九年级上·河南省直辖县级单位·期末）关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系是解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．
通过计算判别式Δ的值，根据Δ与0的大小关系即可判断方程根的情况．
【详解】解：∵在一元二次方程中，，，，
∴，
∵，
∴该方程无实数根．
故选：C．
【例2】（25-26八年级下·全国·课后作业）一元二次方程的根的判别式的值是（ ）
A．17 B．15 C．12 D．9
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，对于方程，判别式，直接代入计算即可.
【详解】解：方程中，，，，
.
故选：A.
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解决本题的关键是掌握根的判别式．
【例3】（24-25九年级上·辽宁丹东·阶段检测）对于一元二次方程，下列说法：
①若，则；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若c是方程的一个根，则一定有成立；
④若是一元二次方程的根，则；
其中正确的________
【答案】①②④
【分析】根据一元二次方程实数根与判别式的关系，其中有两个实数根、有两个不相等的实数根、无解，以及求根公式和等式的性质逐个排除即可．
【详解】解：①若，则是原方程的解，即方程至少有一个根，由一元二次方程的实数根与判别式的关系与判别式的关系可知：，故①正确；
②方程有两个不相等的实根，
，
，
又方程的判别式为，
，
方程有两个不相等的实数根，
故②正确；
③c是方程的一个根，
，
，
或，
即有两种可能性，故③错误；
④若是一元二次方程的根，
则根据求根公式的：
或，
或，
，
故④正确．
故答案为：①②④．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的实数根与判别式的关系，以及根的定义和等式性质，牢固掌握相应关系并灵活应用是解题关键．
1．（24-25九年级下·湖南永州·单元复习）已知：关于x的方程．求证：不论m取何实数，该方程总有两个实数根．
【答案】证明：∵关于的方程为，
∴
，
∵不论取何实数，总有，即，
∴不论取何实数，该方程总有两个实数根．
【分析】计算方程的根的判别式，证明判别式恒大于等于0，即可证得结论．
【详解】略．
2．（25-26九年级上·河南南阳·期中）已知关于的一元二次方程．
(1)证明：不论为何值时，方程总有实数根；
(2)若该方程有一个根为，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义以及根的判别式，熟练掌握相关公式是解题关键．
()根据根的判别式即可求出答案；
()把代入方程中即可求出答案．
【小问1】
证明：
，
，
不论为何值时，方程总有实数根；
【小问2】
解：该方程有一个根为，
，
解得：；
的值为．
3．（25-26九年级上·山西阳泉·期末）阅读与思考
下面是小玲撰写的数学小论文，请仔细阅读并完成相应任务．
我们知道，对于一元二次方程根的判别式能判断方程实数根的个数；对于二次函数能判断抛物线与轴的交点个数．另外还有其他的应用：求代数式的最值．
如：已知，求的最大值．
解：由，得
将其代入，得
设，则
整理为一元二次方程的一般形式：
因为是实数，所以该方程有实数根，
即，解得
所以的最大值为．
学习任务：
(1)用根的判别式判断一元二次方程根的情况，体现的数学思想是（ ）
A．整体思想 B．数形结合 C．分类讨论 D．转化
(2)通过阅读材料的解题步骤，完成下题：
已知，求的最大值，请写出完整解题过程．
(3)已知正数满足，直接写出的最小值_____．（提示：先求的最大值）
【答案】(1)C
(2)的最大值为
(3)
【分析】本题主要考查了一元二次方程根判别式的应用，分式化简求值等知识．
（1）根据判别式的定义和用法即可得出答案．
（2）根据题干的解题方式求解即可．
（3）根据题干的解题方式求解出的最大值，再根据分式的化简和性质即可求出答案．
【详解】（1）解：用根的判别式判断一元二次方程根的情况时，需根据，或来判断，则体现的数学思想是分类讨论，
故选C．
（2）解：由，得
将其代入，得，
设，则，
整理为一元二次方程的一般形式：
因为是实数，所以该方程有实数根，
即，解得
所以的最大值为．
（3）解：由，得
将其代入，得
设，则
整理为一元二次方程的一般形式：
因为是正数，所以该方程有实数根，
即，解得
所以的最大值为9．
∴，
∵的最大值为9，
∴的最小值为：．
【典型例题八 根据一元二次方程根的情况求参数】
【例1】（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）若关于的方程有实数根．则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的判别式，方程有实数根时判别式大于等于零，由此求出的取值范围，再结合选项判断．
【详解】解：方程有实数根，
判别式，
解得，
选项中只有A选项满足，
故选：A．
【例2】 （25-26九年级上·江苏连云港·期中）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a，c的值可以是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程有两个不相等的实数根的条件，需判别式且二次项系数．分别计算各个选项判别式，再判断即可．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
且，
，即，
，，，，
符合题意，
故选：．
【例3】（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______________．
【答案】且
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．
根据一元二次方程根的判别式及二次项系数不为零求解即可．
【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根，
∴，且，
解得：且．
故答案为：且．
1．（2026九年级上·河北沧州·学业考试）现有三组数值：①，；②，；③，．
从①~③中任选一组，的值代入，得到方程．
(1)淇淇发现，她得到的方程没有实数根．则她选取的是____________（填序号）；
(2)除（1）所选的一组外，从另外两组数值任选一组代入，解出所得方程的解．
【答案】(1)③
(2)选①代入，，；选②代入，，
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
（1）利用一元二次方程根的判别式可作出选择；
（2）利用公式法解方程即可．
【详解】（1）解：由题意，，
①，：，方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
②，：，方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
③，：，方程没有实数根，符合题意，
她选取的是：③；
（2）解：选①，代入，得，，，，
∴，
，
解，；
选②，代入，得，，，，
，
，
即，．
2．（25-26八年级下·安徽滁州·阶段检测）已知，是一元二次方程的两个实数根．
(1)求的取值范围；
(2)是否存在实数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请你说明理由；
(3)若的值为负整数，求实数的整数值．
【答案】(1)且
(2)不存在，理由见解析
(3)实数的整数值为或或或
【分析】（1）先根据一元二次方程的定义确定二次项系数不为，再由方程有两个实数根得出判别式大于等于，联立两个条件求出的取值范围；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，再对已知等式进行移项变形，将两根之和与两根之积代入求解，最后结合（1）的范围判断该是否符合题意，从而确定是否存在；
（3）先将代数式展开并代入两根之和与两根之积化简得到关于的分式，再根据结果为负整数的条件，分析得出分母为的正约数，进而求出对应的整数．
【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，
∴，
解得：且，
∴的取值范围为且；
（2）解：不存在，理由如下：
∵，是一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∵，
∴，
∴，
解得：，
又∵且，
∴不符合题意，舍去，
∴不存在实数，使成立；
（3）解：，
∵的值为负整数，且为整数，
∴或或或，
解得：或或或，
∴实数的整数值为或或或．
3．（25-26九年级上·安徽淮南·阶段检测）小明运用所学的一元二次方程的根与系数的关系，对“倍根方程”和“方根方程”的根的特征进行了探究.定义：
倍根方程：如果关于的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个相等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．
方根方程：如果关于的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根的平方等于另外一个根，则称这样的方程为“方根方程”．
(1)若一元二次方程是“倍根方程”，求的值；
(2)根据探究，小明想设计一个一元二次方程，使这个方程既是“倍根方程”又是“方根方程”，请你先帮他算一算，这个方程的根是多少？
【答案】(1)
(2)这个方程的根是是2和4，或和
【分析】本题主要考查了阅读理解类题目，一元二次方程根与系数的关系的应用．
（1）设方程的两个根是，根据定义可设，再根据根与系数的关系求出答案；
（2）设方程的两个根是，根据题意可知或，列出方程求出解即可．
【详解】（1）设方程的两个根为，
一元二次方程是“倍根方程”，
不妨设，
，
，
，，
；
（2）设一元二次方程的两个实数根分别为、，
这个方程既是“倍根方程”又是“方根方程”，
不妨设，
①当时，即，解得或（舍去），
，
②当时，即，
解得或（舍去），
这个方程的根是2和4，或和．
【典型例题九 一元二次方程的根与系数的关系】
【例1】（25-26九年级上·河南周口·期末）已知一元二次方程： 的两根为 ，，则 的值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】A
【分析】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
根据一元二次方程根与系数的关系解题即可．
【详解】解：，
，
∴．
故选：A．
【例2】（25-26九年级上·河北石家庄·期末）已知关于的一元二次方程两根的和是6，则这两个根的积为（ ）
A． B． C．7 D．5
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，．
利用一元二次方程根与系数的关系，根据两根之和求出k的值，再求两根之积即可．
【详解】解：设方程的两根为和．
∴两根之和．
∵两根的和是6，
∴，
∴，
∴．
∴两根之积．
故选：A．
【例3】（25-26九年级上·广东东莞·期末）已知m，n是方程的两个根，则______．
【答案】
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，关键是利用韦达定理求出两根之和与两根之积，再代入分式变形后的式子计算．
【详解】解：∵，是方程的两个根，
∴，，
∵，
∴代入得；
故答案为：．
1．（25-26九年级上·福建泉州·期末）已知，是两个不相等的实数，且满足，．
(1)求式子的值；
(2)若与两数异号，求实数k的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意可知，可看成方程的两个根，利用根与系数的关系求出两根之和即可；
（2）根据方程有两个不相等的实数根得到判别式，再结合，求出实数k的取值范围．
【详解】（1）解：由题意可知，，可看成方程的两个根，
由根与系数的关系得：；
（2）解：方程有两个不相等的实数根，
判别式,
解得,
与两数异号,
,
解得,
综上所述，的取值范围是．
2．（2026九年级上·福建泉州·专题练习）已知关于的一元二次方程，
(1)求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根；
(2)若该方程的两个根是一个矩形的两边长，矩形对角线长为5，试求的值．
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】（1）求出判别式的符号，即可得出结论；
（2）根据勾股定理结合根与系数之间的关系，列出关于的方程，进行求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴该一元二次方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵该方程的两个根是一个矩形的两边长，矩形对角线长为5，
∴，，
∴，
整理，得，
解得或；
∵是一个矩形的两边长，
∴，
∴，
∴，
∴．
3．（25-26八年级下·安徽合肥·阶段检测）根据表格中的信息回答问题，
方程 方程的根，（）
第1个方程 ，
第2个方程 ，
第3个方程 ，
… … …
(1)请写出第4个方程：______________，第4个方程的根为______，______．
(2)通过猜想写出第n（n为正整数）个方程及其方程的根，并用公式法解方程证明猜想的正确性．
【答案】(1)；；
(2)第个方程为，方程的根为，，证明见解析
【分析】本题为规律探究题，先观察已知方程的系数、常数项与方程序号的关系，归纳得到规律，写出对应方程和根，再利用一元二次方程的求根公式验证猜想结论即可．
【详解】（1）解：观察已知表格中的规律可得：第4个方程为，根为，；
（2）解：猜想可得第n（n为正整数）个方程为，根为，，
证明：
判别式，
，
，．
【典型例题十 根与系数关系的新定义问题】
【例1】（24-25九年级上·湖南娄底·期末）定义运算：，若，是方程的两根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由根与系数的关系可找出，根据新运算找出，将其中的1替换成，即可得出结论．
【详解】解：∵a，b是方程的两根，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是找出．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系得出两根之积与两根之和是关键．
【例2】（2025·山东淄博·二模）定义新运算“a b”：对于任意实数a，b都有a b＝（a+b）（a﹣b）﹣1．例如4 3＝（4+3）（4﹣3）﹣1＝6．若x k＝x（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（　　）
A．有两个不相等的实根 B．有两个相等的实根
C．有一个实根 D．没有实根
【答案】A
【分析】利用新定义得到（x+k）（x﹣k）﹣1＝x，再把方程化为一般式后计算判别式的值，然后利用Δ＞0可判断方程根的情况．
【详解】解：∵x k＝x（k为实数）是关于x的方程，
∴（x+k）（x﹣k）﹣1＝x，
整理得x2﹣x﹣k2﹣1＝0，
∵Δ＝（﹣1）2﹣4（﹣k2﹣1）
＝4k2+5＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点睛】本题考查了新定义和一元二次方程根的情况，理解新定义是解答关键．
【例3】（2025·海南海口·模拟预测）定义新运算：．若方程的两个根为和，则___________．
【答案】
【分析】本题考查了定义新运算，一元二次方程根与系数的关系，理解定义新运算的方法，掌握根与系数的关系是解题的关键．
根据一元二次方程根与系数的关系得到，由定义新运算得到，代入计算即可求解．
【详解】解：∵方程的两个根为和，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
1．（24-25九年级上·广东佛山·期末）定义运算：．若a，b是方程的两根，求的值．
【答案】0
【分析】本题主要考查了根与系数的关系、新运算法则等知识点，根据根与系数的关系得出两根之积与两根之和是解题的关键．
由根与系数的关系可找出，根据新运算得到，将其中的1替换成进行计算即可．
【详解】解：∵a，b是方程的两根，
∴，
∴．
2．（24-25九年级下·山东烟台·期末）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多的考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．
定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a、b、c均不为 0．请根据此定义解决下列问题：
(1)方程的倒方程是 ．
(2)若是的倒方程的解，求出c的值；
(3)若m，n是一元二次方程的倒方程的两个不相等的实数根，求代数式的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解法和倒方程的定义是解题的关键．
（1）根据新定义的含义可得答案；
（2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到的值；
（3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根与系数的关系进一步解答即可；
【详解】（1）解：方程的倒方程是；
（2）解：由题意得：方程的倒方程为，
把代入方程得 ：，
∴
（3）由题意得：方程的倒方程为，
∵m，n是方程的两个实数根，
∴， ，
∴
∴
；
3．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，则称这个方程为“差1方程”．比如，一元二次方程的两根为，，因为，所以一元二次方程为“差1方程”．
请阅读以上材料，回答下列问题：
(1)判断：一元二次方程 “差1方程”（填“是”或“不是”）；
(2)若关于x的一元二次方程是“差1方程”，求k的值．
【答案】(1)不是
(2)-6或-8
【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系．
（1）解该一元二次方程，得出，，再根据“差1方程”的定义判断即可；
（2）由一元二次方程根与系数的关系可得出，，根据 “差1方程”的定义可得，即可求出或，再结合“差1方程”的定义检验即可.
【详解】（1）解：此方程不是“差1方程”，理由如下：
，
解得：，，
∵，
∴方程不是“差1方程”；
（2）解：∵设方程两根为，，
由根与系数的关系，得，，
∵方程 是“差1方程”，
∴，
∴
∴
∵，
∴,
∴或；
当时，方程，解得：，，此时，
当时，方程，解得：，，此时，
综上所述：当或时，关于x的一元二次方程是“差1方程”.
【典型例题十一 配方法的应用】
【例1】（25-26九年级上·湖北随州·阶段检测）把方程化成的形式，其中m，n为实数，则n的值是（ ）
A．1 B．5 C．16 D．17
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的配方法，熟练掌握配方法是解题的关键．
通过完成平方将方程化为的形式，直接计算n的值即可．
【详解】解：由题意得，
，
∴．
故选D．
【例2】（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）若一元二次方程 （a，b为常数），化成一般形式为，则a，b的值分别是（ ）
A．，1 B．2，1 C．2， D．，
【答案】A
【分析】本题考查配方法的应用，将利用配方法转化为：，即可得出结论．
【详解】解：
∴，
∴；
故选：A．
【例3】（25-26九年级上·全国·课后作业）例如：代数式，因为，所以当时，的最小值是2；则当__时，代数式有最小值，最小值为______．
【答案】
【分析】本题考查了配方法的应用，先整理，因为对于任意实数x都有，故当时，代数式有最小值，最小值为，即可作答．
【详解】解：由题意可得：
∵对于任意实数x都有
∴
∴当时，代数式有最小值，最小值为．
故答案为：．
1．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”．
(1)已知10是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式__________；
(2)已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由．
(3)已知实数x、y满足，求的最值．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)最大值为
【分析】本题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键．
（1）把拆成两个整数的平方即可；
（2）根据S为“完美数”，利用完全平方公式配方，确定出的值即可；
（3）表示出，代入中，配方后利用非负数的性质求出最大值即可．
【详解】（1）由题意得：；
（2）当时，S为“完美数”，理由如下：
，
∵，为整数，
∴，也是整数，
∴当时，S为“完美数”；
（3）∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当时，的值最大，最大值为．
2．（25-26九年级上·河北沧州·期末）配方法不仅可以用来解一元二次方程，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值和最小值等．例如，我们用此方法求代数式的最小值的过程如下：
解：．
，
，
的最小值是9．
请根据以上材料，完成下列问题：
(1)代数式，当_______时，代数式有最_______值（填“大”或“小”），这个值是_______；
(2)比较代数式与的大小，并说明理由．
【答案】(1)1；大；8
(2)，理由见解析
【分析】本题考查了配方法的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的非负性．
（1）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最值；
（2）两式相减，配方后根据完全平方式恒大于等于0，可得差值的正负，即可得到两式的大小关系．
【详解】（1）解：∵，∴当1时，代数式有最大值，这个值是8；
故答案为：1，大，8．
（2）解：，
理由如下：
，
．
3．（25-26九年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）阅读下列材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题．
例如：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？
，
当时，代数式有最小值．
【直接应用】
（1）仿照上述例子解决问题：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？最小（或最大）值是多少？
【拓展应用】
（2）如图，要围成一个矩形鸡场，一边靠墙（墙长24米），另三边用总长为40米的竹篱笆围成．
①请用含的代数式表示矩形鸡场的面积；
②当为何值时，围成的矩形鸡场的面积最大？最大面积是多少？
【答案】（1）当时，代数式有最小值
（2）①矩形鸡场的面积为；②当米时，围成的矩形鸡场的面积最大，最大面积是平方米
【分析】本题主要考查配方法的运用，理解配方法的计算方法是关键．
（1）根据材料提示的配方法求解即可；
（2）①根据图示得到矩形的长及取值范围，由矩形的面积公式即可求解；②根据材料提示的配方法，结合矩形的面积公式即可求解．
【详解】解：（1）
，
∵，
∴，
∴当时，代数式有最小值；
（2）①根据图示，矩形鸡场的长为米，
∵墙长24米，
∴，
∴，
∴矩形鸡场的面积为；
②
，
∵，
∴，
∴当时，代数式有最大值，
∴当米时，围成的矩形鸡场的面积最大，最大面积是平方米．
1．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键．利用直接开平方法依次判断即可．
【详解】解：A.，故方程没有实数根，故选项不符合题意；
B. ，直接开平方，得或，得，，故方程有两个不相等的实数根，故选项不符合题意；
C. ，解得，方程有两个相等实数根，故选项符合题意；
D. ，直接开平方，得或，得，，故方程有两个不相等的实数根，故选项不符合题意；
故选：C．
2．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）用配方法解方程2x2﹣4x﹣1＝0时，需要先将此方程化成形如（x+m）2＝n（n≥0）的形式，则下列配方正确的是（　　）
A．（x﹣2）2＝5 B．（x﹣1）2＝ C．（x﹣1）2＝2 D．（x﹣1）2＝
【答案】B
【分析】利用配方法解一元二次方程的方法配方即可．
【详解】解：∵2x2﹣4x﹣1＝0，
∴2x2﹣4x＝1，
∴x2﹣2x＝，
则x2﹣2x+1＝+1，
即（x﹣1）2＝，
故选：B．
【点睛】此题考查配方法解一元二次方程的方法，按照移项，二次项系数化为1，方程两边同时加上一次项系数一半的平方的方法配方即可．
3．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）定义运算：，例如，时，．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据新定义的运算规则，将整理为一元二次方程的一般形式，再利用一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等实数根时判别式大于，求解得到的取值范围．
【详解】解：∵定义运算，
∴，
∵，
∴，
即，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
化简得，
解得．
4．（24-25九年级下·江苏南通·自主招生）关于的方程，有下列四个命题：（ ）
甲：是该方程的根； 乙：是该方程的根；
丙：该方程两根之和为2； 丁：该方程两根之积小于0．
如果只有一个假命题，则该命题是
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】B
【分析】本题只有一个假命题，因此依次假设一个命题为假，其余三个为真，通过计算验证是否符合条件，即可得到结果．
【详解】解：分四种情况讨论：
①假设甲为假命题，乙、丙、丁为真命题，
∵乙说是方程的根，丙说两根之和为，
∴另一根为，
∴两根之积为，与丁说两根之积小于矛盾，此情况不成立；
②假设乙为假命题，甲、丙、丁为真命题，
∵甲说是方程的根，丙说两根之和为，
∴另一根为，两根之积为，满足丁的命题，此情况成立，只有乙为假命题；
③假设丙为假命题，甲、乙、丁为真命题，
∵甲说是根，乙说是根，
∴两根之积为，与丁说两根之积小于矛盾，出现两个假命题，此情况不成立；
④假设丁为假命题，甲、乙、丙为真命题，
∵甲说是根，乙说是根，
∴两根之和为，与丙说两根之和为矛盾，出现两个假命题，此情况不成立，
综上，假命题是乙．
5．（24-25九年级下·云南昆明·阶段检测）如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第（ ）个图形共有45个小球．
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】A
【分析】根据图形变化规律可知，第n个图形有个小球，据此规律列出一元二次方程，据此求解即可．
【详解】解：第1个图中有1个小球，
第2个图中有3个小球，，
第3个图中有6个小球，，
第4个图中有10个小球，，
．．．．．．
照此规律，第个图中有个小球，
由题意得，
解得或，
∴第9个图形共有45个小球．
6．（24-25八年级下·上海·期中）方程的根是______．
【答案】
【详解】解：方程两边同乘得，
整理得，
解得，，
经检验，使原方程分母为0，是增根，舍去，是原方程的根.
7．（24-25八年级下·上海·阶段检测）方程的根为_____________________
【答案】，
【分析】本题考查了一元二次方程，直接利用换元法求解即可，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
【详解】解：，
∴，
设，
∴，
整理得：，
解得：，，
∴或，
∴当时，
，
∴无实数根，
当时，
解得：，，
故答案为：，．
8．（24-25九年级上·河北唐山·期中）小刚在解关于的方程时，只抄对了，，解出其中一个根是他核对时发现所抄的比原方程的值小则______，原方程的根的情况是______．
【答案】 ， 有两个不相等的实数根
【分析】依题意可知，是方程的一个根，代入可求出值，再结合根的判别式，即可得出原方程有两个不相等的实数根．
【详解】解：依题意可知：是方程的一个根，
，
，
原方程为．
，
原方程有两个不相等的实数根．
故答案为：；有两个不相等的实数根．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
9．（24-25九年级上·四川眉山·期中）运用配方法求：（二次三项式的最值）．
对于多项式，当＝_______时，它的最小值为______．
对于多项式，当＝_______时，它的最大值为______．
【答案】 1 1 7
【分析】本题考查配方法，根据配方法即可求出答案．
【详解】
当时，多项式有最小值，最小值是1．
，
，
，
当时，多项式有最大值，最大值是7．
10．（25-26八年级下·安徽安庆·期中）定义：若关于的一元二次方程有两个实数根，，分别以为横坐标、为纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的根序点．
（1）直接写出方程的根序点的坐标为_____；
（2）若关于的一元二次方程有根序点，且该根序点在直线上，则的值为_____．
【答案】 1或
【分析】（1）解方程得，根据根序点定义得到点的坐标为；
（2）先确定方程有两个不相等的实数根，，由根序点在直线上，满足直线方程：，整理得：，再根据根与系数的关系列方程求解检验即可．
【详解】解：（1）解方程得，
∴根据根序点定义：，横坐标：，纵坐标：，
∴根序点的坐标为；
（2）方程有根序点，
该方程有两个不相等的实数根，
，
根序点在直线上，
满足直线方程：，整理得：，
对于方程，由根与系数的关系得：，
，
整理得：，
解得：，
当时，，符合要求；
当时，，符合要求，
的值为1或．
11．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）解一元二次方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)或
(2)或
【分析】（1）利用直接开平方法求解，即对等式两边开平方得到两个一元一次方程，分别求解；
（2）利用配方法求解，先配方凑完全平方式，再开平方转化为一次方程求解．
【详解】（1）解：，
，
或；
解得：或；
（2），
，
，
，
，
所以或，
解得：或．
12．（25-26九年级上·江西新余·期末）已知关于x的一元二次方程（k为常数）．
(1)若方程的一个根为，求的值；
(2)求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】本题考查了一元二次方程的解的概念以及根的判别式的应用，代入根求解参数和利用判别式判断根的情况是解题的关键．
（1）将代入方程，得到关于的一元一次方程，解方程即可求出的值；
（2）计算方程的判别式，通过配方证明，从而证明方程总有两个不相等的实数根．
【详解】（1）解：把代入方程，得
，
解得；
（2）证明：∵中，，，
∴，
∵，
∴，即，
∴不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
13．（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）阅读下列材料，解决问题：对于两个不等的非零实数a，b，若分式的值为零，则或．又因为，所以关于x的方程 的两个解分别为
(1)方程的两个解中较大的一个为 ；
(2)解关于x的方程；
(3)关于x的方程 的两个解分别为 求 的值．
【答案】(1)4
(2)
(3)
【分析】（1）方程可化为，再根据题意即可求解；
（2）移项得，再化简得即可求解；
（3）把方程化简为，再根据题意解，再代入计算.
【详解】（1）解：，即
，，
则方程 的两个解中较大的一个为；
（2）解：，即，
，
或，
解得；
（3）方程变形为：，
，解得，
或，解得，
，
，
．
14．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）我们在探究一元二次方程根与系数关系中发现：
关于的一元二次方程的两个根是，，那么可推出，．请运用这一结论，解决下列问题：
【问题提出】
(1)若，是方程的两根，则 ， ， ；
【问题探究】
(2)如果关于的一元二次方程的两个根是，，那么关于的一元二次方程是否有实数根，如果有实数根，请求出方程的解，如果没有，请说明理由；
【问题解决】
(3)若关于的方程的两根之和是，两根之积是，请求出关于的方程的两根之积的值（用字母，表示）．
【答案】(1)，，
(2)有实数根，方程的解为，
(3)
【分析】（1）利用题干给出的一元二次方程根与系数关系求解即可；
（2）设，则关于的方程可化为，再利用题干给出的一元二次方程根与系数关系求解即可；
（3）设原方程两根为，得到，设关于的方程两根为，令，得到，进而进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，是方程的两根，，，．
∴根据根与系数关系，得
∴；
（2）解：设，则关于的方程可化为，
∵方程两根为，
∴，
当时，，
解得，
当时，，
解得，
∴该方程有实数根，根为，．
（3）解：设原方程两根为，
由题意，得，
设关于的方程两根为，令，
变形得，则
两根之积：
∴两根之积为．
15．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段检测）阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例题：求代数式的最小值.
解：
∵∴
∴代数式的最小值为4.
(1)求代数式的最小值；
(2)某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知栅栏的总长度为18m，设较小矩形的宽为（如图）.当为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
【答案】(1)
(2)当时，矩形面积的又最大值，最大值为
【分析】（1）结合例题，根据完全平方公式即可求解；
（2）根据题意可得较大矩形的宽为，长为，即可求得矩形的面积，结合例题，根据完全平方公式即可求解．
【详解】（1）解：，
∵，
∴，
∴代数式的最小值为．
（2）解：∵较小矩形的面积较大矩形的面积，
故设较小矩形的宽为，则较大矩形的宽为，
则长为，且，
即，
故矩形的面积为，
∵，
∵，
故，
∴，
∴当时，矩形面积的又最大值，最大值为．
【点睛】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
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第02讲 降次 —— 解一元二次方程（6大知识点+11大典例+变式训练+过关检测）
典型例题一 解一元二次方程——直接开平方法
典型例题二 解一元二次方程——配方法
典型例题三 公式法解一元二次方程
典型例题四 因式分解法解一元二次方程
典型例题五 换元法解一元二次方程
典型例题六 解分式方程（化为一元二次）
典型例题七 根据判别式判断一元二次方程根的情况
典型例题八 根据一元二次方程根的情况求参数
典型例题九 一元二次方程的根与系数的关系
典型例题十 根与系数关系的新定义问题
典型例题十一 配方法的应用
知识点01 直接开平方法
直接开平方法解一元二次方程：将方程化成则x＝.
【即时训练】
1．（24-25九年级上·广东肇庆·期末）方程的解是（）
A． B．2 C． D．
2．（24-25八年级下·全国·课后作业）填空：
（1）方程的根是______________________．
（2）方程的根是______________________．
知识点02 配方法
配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法．
用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0 (a≠0）的一般步骤是：
（1）化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；
（2）移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；
（3）配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方；（4）化原方程为(x+m）2=n的形式；
（5）如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n＜0，则原方程无解．
注意：实际在解方程的过程中，一般也只是针对且为偶数时，才使用配方法，否则可以考虑使用公式法来更加简单。
【即时训练】
1．（25-26九年级上·广西南宁·阶段检测）若用配方法解一元二次方程时，可变形为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）将关于的一元二次方程化成的形式，则________．
知识点03 公式法
公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．
一元二次方程的求根公式是: (=b2－4ac≥0)
推导过程：一元二次方程，用配方法将其变形为：
2.公式法解方程的步骤：①化方程为一元二次方程的一般形式； ②确定a、b、c的值； ③求出b2－4ac的值；④若b2－4ac≥0，则代人求根公式，求出x1 ,x2．若b2－4ac＜0，则方程无解．
【即时训练】
1．（24-25九年级上·福建泉州·阶段检测）已知方程，当时，方程的解为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·江苏无锡·一模）方程的解是______．
知识点04 因式分解法
将一元二次方程通过因式分解，分解为两个一次因式乘积等于0的形式，再使这两个一次因式分别等于0，实现降次的方法。
即将一元二次方程化简为；从而得出：，因式分解法的关键是分解成两个一次因式相乘的形式。
1、因式分解的主要方法：
①提取公因式法：通过提取公因式达到因式分解的目的，进而求解一元二次方程。
②乘法公式：因式分解的目的在将方程化成两个因式乘积等于0的形式，利用如下乘法公式，有时可以很好解决。①平方差公式：；②完全平方公式：
③十字相乘法：十字相乘法能将某些二次三项式因式分解。十字相乘法的二次三项式需满足三个条件：
①十字左边上下两数相乘等于二次项； ②十字右边上下两数相乘等于常数项；③十字交叉相乘积的和等于一次项。 例如：用十字相乘法解方程：
∴方程可分解为：（2x+3）（x－2）=0 ∴
2、解一元二次方程的方法选择：
①虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。
②解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握。
③四种求方程方法的一定要合理选用，依次按直接开平方、因式分解，配方法和公式法的顺序考虑选用。
注意：方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如2(x＋4)2=3（x＋4）中，不能随便约去（x＋4）。
【即时训练】
1．（24-25九年级上·广东佛山·阶段检测）一元二次方程的解是（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
2．（24-25九年级上·上海·期中）方程的根是 ______．
知识点05 一元二次方程的根
1、能使一元二次方程成立的未知数的值称为一元二次方程的解，我们也称为一元二次方程的根。
2、一元二次方程的实数根有0个、1个或2个。
3、常考点：为利用根的概念求代数式的值；
4、一元二次方程近似解：两端逼近法。
步骤：借助表格，找到两个相近的数，一个使，一个使，则一元二次方程的解就介于这两个数之间，再进一步逼近，缩小范围获得其近似解。
【即时训练】
1．（24-25九年级下·广东清远·阶段检测）关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·河南南阳·一模）若关于x的方程有两个实数根，写出一个m的值为__________．
知识点06 一元二次方程根的判别式 (=b2－4ac)
①当时，方程有两个不相等的实根；
② 当时，方程有两个相等的实根；
③ 当时，方程没有实根。
判别式作用：①定根的个数；②求待定系数的值。
注意：(1)在使用根的判别式之前，应将一元二次方程化成一般式；
(2)在确定一元二次方程待定系数的取值范围时，必须检验二次项系数a≠0
(3)证明恒为正数的常用方法：把△的表达式通过配方化成“完全平方式+正数”的形式。
【即时训练】
1．（25-26九年级上·山西朔州·期中）关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能确定
2．（24-25九年级上·吉林长春·期中）对于一元二次方程x2﹣2x＝﹣6，则它的根的情况是_____．
【典型例题一 解一元二次方程——直接开平方法】
【例1】（25-26九年级上·湖北恩施·期末）方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（24-25九年级下·福建厦门·期中）一元二次方程的根为（ ）
A． B．
C．， D．，
【例3】（2026·黑龙江哈尔滨·一模）对任意有理数、，定义关于“”的一种运算如下：，例如：，．若，则的值为______．
1．（26-27九年级·全国·暑假作业）解方程：
2．（25-26八年级下·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程：
(1)．
(2)．
3．（25-26九年级上·河南洛阳·期末）你知道可以用几何图形求部分一元二次方程的正解吗？
以为例，大致过程如下：
第一步：将原方程变形为，即．
第二步：构造一个长为，宽为的长方形，长比宽大3，且面积为4，如图1所示．
第三步：用四个这样的长方形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，如图2所示．小正方形的边长为______．
第四步：计算大正方形面积，用含的代数式表示为______．
第五步：用大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和，列方程得，因为为边长，所以，可求得方程的正解为______．
(1)将横线上的内容补充完整．
(2)请利用上述的思考过程，设计求方程正解的过程．
(3)仿照上述的思考过程，请你写出求方程负解的过程．
【典型例题二 解一元二次方程——配方法】
【例1】（25-26八年级下·江苏南通·期末）用配方法解方程 ，变形后的结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（25-26八年级下·安徽合肥·期末）用配方法解方程，将方程变为的形式，则，的值分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【例3】（25-26九年级上·广东汕尾·期中）把方程化成的形式，则m的值是______．
1．（24-25八年级下·重庆·期末）解方程：
(1)
(2)
2．（25-26九年级上·浙江·寒假作业）“做题接龙”是课上王老师经常玩的数学游戏，今天王老师让学生解一题一元二次方程，每人做一个步骤，最终结果如下：
以上步骤有哪一步出错了？请指出来，并正确求解原方程．
3．（25-26九年级上·浙江·寒假作业）以下是小姜与小林分别解一元二次方程的结果，他们做的对吗？回答下列问题：
小姜 小林
解： ① ② ③ ④ ⑤ 解得：， ⑥ 解： ① ② ③ ④ ⑤ 解得：， ⑥
(1)王老师说小姜和小林的计算过程均有错误，分别指出他们错在哪一步．
(2)请你正确求解一元二次方程
【典型例题三 公式法解一元二次方程】
【例1】（25-26九年级上·贵州毕节·阶段检测）用公式法解方程时，a，b，c的值分别为（ ）
A．2，6，3 B．2，， C．，6， D．2，6，
【例2】（25-26九年级上·全国·课后作业）用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定a，b，c的值．对于方程，a，b，c的值分别是（ ）
A．，5，3 B．，，3 C．4，5，3 D．4，，
【例3】（24-25八年级下·安徽合肥·阶段检测）若是一元二次方程的根，则的值为___________．
1．（24-25九年级上·上海·阶段检测）用公式法解方程：．
2．（25-26九年级上·四川广元·阶段检测）用合适的方法解方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
3．（2025·北京西城·二模）关于的方程．
(1)若方程有实数根，求的取值范围；
(2)若方程的两个根都是整数，求正整数的值．
【典型例题四 因式分解法解一元二次方程】
【例1】（25-26九年级上·山西吕梁·期中）解一元二次方程的数学核心方法是（ ）
A．消元 B．降次 C．归纳法 D．换元法
【例2】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知是关于的方程的两根，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
\【例3】（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）定义：若一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的整数倍，则称该方程是“一元二次倍根方程”．例如：方程的两个根为，因为是的3倍，所以方程是“一元二次三倍根方程”．若关于的一元二次方程是“一元二次三倍根方程”，则的值为_______．
1．（24-25九年级上·山东聊城·期中）解下列关于的一元二次方程：
(1)；
(2)．
2．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）已知关于的一元二次方程．
(1)若是方程的一个根，求的值；
(2)若该方程有两个实数根，求的取值范围．
3．（24-25八年级下·浙江丽水·阶段检测）小明同学解方程：的过程如下：
小明：两边同除以，得，第一步
则．第二步
你认为小明的解法是否正确？若不正确，从第__________步开始出现错误；并写出你的解答过程．
【典型例题五 换元法解一元二次方程】
【例1】（24-25九年级上·全国·假期作业）若实数，满足，则的值为（ ）
A．5 B．2.5 C．2.5或 D．5或
【例2】（24-25九年级上·天津和平·期中）关于的方程的解是，（a，m，b均为常数，），则方程的解是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【例3】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段检测）已知关于x的一元二次方程的解是，，则另一个方程的解是______．
1．（24-25九年级上·广西河池·期中）阅读下面的例题．
解方程．
解：原方程化为．
令，原方程化成，解得，．
当时，；当时（不合题意，舍去）．
∴原方程的解是，．
请模仿上面的方法解方程：．
2．（25-26九年级上·河南商丘·阶段检测）阅读下面的材料，回答问题：
解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为①，解这个方程得．
当时，，；
当时，，；
原方程有四个根：，，．
请运用上面学到的方法填空：
(1)解方程，则______；
(2)若，求______．
3．（24-25八年级下·安徽淮北·阶段检测）阅读下列材料：
解方程：．
设，那么，于是原方程可变为①，
解这个方程得：，．
当时，，∴；
当时，，∴，
所以原方程有四个根：，，，．
根据上述解方程的方法，解决下列问题：
(1)解方程时，若设，直接写出用表示该方程；
(2)若，求的值；
(3)若四个连续正整数的积为120，求这四个连续正整数．
【典型例题六 解分式方程（化为一元二次）】
【例1】（2025九年级上·全国·专题练习）设，则方程可变形为（ ）
A． B．
C． D．
【例2】（24-25八年级下·上海·阶段检测）用换元法解方程时，设，则原方程可化为关于y的方程是（　　）
A． B．
C． D．
【例3】（24-25九年级下·上海·阶段检测）用换元法解方程时，设，那么原方程变形为关于y的整式方程是______．
1．（25-26九年级上·上海闵行·期中）解方程：．
2．（25-26九年级上·河南平顶山·阶段检测）阅读以下材料：
能用换元法求解的分式方程中一般分母比较复杂且各部分有相同的形式，这时可采用换元法，达到简化运算的目的．
例如：用换元法解方程．
解：设，则原方程可变形为，
整理，得．解得．
，即．解得．
经检验，是原方程的根．原方程的根为．
(1)用上述方法解方程时，如果设，则原方程可化为_____；
(2)请你按上述方法补全解方程的步骤．
3．（25-26九年级上·湖北咸宁·阶段检测）数学思想、方法是数学的灵魂，若能灵活运用，会使得问题解决更简洁．“整体思想”就是一种非常重要的数学思想，换元法能达到简化运算的目的．例如，解方程时，可以将看作一个整体，采用换元法求解，设，则原方程可以变形为，整理得，解得，所以，解得，经检验是原方程的根．
(1)用换元法解方程时，如果设，则原方程可以变形为 ；
(2)用换元法解方程；
(3)已知是一元二次方程的一个实数根，求的值．
【典型例题七 根据判别式判断一元二次方程根的情况】
【例1】 （25-26九年级上·河南省直辖县级单位·期末）关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【例2】（25-26八年级下·全国·课后作业）一元二次方程的根的判别式的值是（ ）
A．17 B．15 C．12 D．9
【例3】（24-25九年级上·辽宁丹东·阶段检测）对于一元二次方程，下列说法：
①若，则；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若c是方程的一个根，则一定有成立；
④若是一元二次方程的根，则；
其中正确的________
1．（24-25九年级下·湖南永州·单元复习）已知：关于x的方程．求证：不论m取何实数，该方程总有两个实数根．
2．（25-26九年级上·河南南阳·期中）已知关于的一元二次方程．
(1)证明：不论为何值时，方程总有实数根；
(2)若该方程有一个根为，求的值．
3．（25-26九年级上·山西阳泉·期末）阅读与思考
下面是小玲撰写的数学小论文，请仔细阅读并完成相应任务．
我们知道，对于一元二次方程根的判别式能判断方程实数根的个数；对于二次函数能判断抛物线与轴的交点个数．另外还有其他的应用：求代数式的最值．
如：已知，求的最大值．
解：由，得
将其代入，得
设，则
整理为一元二次方程的一般形式：
因为是实数，所以该方程有实数根，
即，解得
所以的最大值为．
学习任务：
(1)用根的判别式判断一元二次方程根的情况，体现的数学思想是（ ）
A．整体思想 B．数形结合 C．分类讨论 D．转化
(2)通过阅读材料的解题步骤，完成下题：
已知，求的最大值，请写出完整解题过程．
(3)已知正数满足，直接写出的最小值_____．（提示：先求的最大值）
【典型例题八 根据一元二次方程根的情况求参数】
【例1】（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）若关于的方程有实数根．则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【例2】 （25-26九年级上·江苏连云港·期中）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a，c的值可以是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【例3】（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______________．
1．（2026九年级上·河北沧州·学业考试）现有三组数值：①，；②，；③，．
从①~③中任选一组，的值代入，得到方程．
(1)淇淇发现，她得到的方程没有实数根．则她选取的是____________（填序号）；
(2)除（1）所选的一组外，从另外两组数值任选一组代入，解出所得方程的解．
2．（25-26八年级下·安徽滁州·阶段检测）已知，是一元二次方程的两个实数根．
(1)求的取值范围；
(2)是否存在实数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请你说明理由；
(3)若的值为负整数，求实数的整数值．
3．（25-26九年级上·安徽淮南·阶段检测）小明运用所学的一元二次方程的根与系数的关系，对“倍根方程”和“方根方程”的根的特征进行了探究.定义：
倍根方程：如果关于的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个相等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．
方根方程：如果关于的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根的平方等于另外一个根，则称这样的方程为“方根方程”．
(1)若一元二次方程是“倍根方程”，求的值；
(2)根据探究，小明想设计一个一元二次方程，使这个方程既是“倍根方程”又是“方根方程”，请你先帮他算一算，这个方程的根是多少？
【典型例题九 一元二次方程的根与系数的关系】
【例1】（25-26九年级上·河南周口·期末）已知一元二次方程： 的两根为 ，，则 的值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【例2】（25-26九年级上·河北石家庄·期末）已知关于的一元二次方程两根的和是6，则这两个根的积为（ ）
A． B． C．7 D．5
【例3】（25-26九年级上·广东东莞·期末）已知m，n是方程的两个根，则______．
1．（25-26九年级上·福建泉州·期末）已知，是两个不相等的实数，且满足，．
(1)求式子的值；
(2)若与两数异号，求实数k的取值范围．
2．（2026九年级上·福建泉州·专题练习）已知关于的一元二次方程，
(1)求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根；
(2)若该方程的两个根是一个矩形的两边长，矩形对角线长为5，试求的值．
3．（25-26八年级下·安徽合肥·阶段检测）根据表格中的信息回答问题，
方程 方程的根，（）
第1个方程 ，
第2个方程 ，
第3个方程 ，
… … …
(1)请写出第4个方程：______________，第4个方程的根为______，______．
(2)通过猜想写出第n（n为正整数）个方程及其方程的根，并用公式法解方程证明猜想的正确性．
【典型例题十 根与系数关系的新定义问题】
【例1】（24-25九年级上·湖南娄底·期末）定义运算：，若，是方程的两根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【例2】（2025·山东淄博·二模）定义新运算“a b”：对于任意实数a，b都有a b＝（a+b）（a﹣b）﹣1．例如4 3＝（4+3）（4﹣3）﹣1＝6．若x k＝x（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（　　）
A．有两个不相等的实根 B．有两个相等的实根
C．有一个实根 D．没有实根
xkxkxΔxkxkxxkxkxx2xk2Δ2k2k2
【例3】（2025·海南海口·模拟预测）定义新运算：．若方程的两个根为和，则___________．
1．（24-25九年级上·广东佛山·期末）定义运算：．若a，b是方程的两根，求的值．
2．（24-25九年级下·山东烟台·期末）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多的考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．
定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a、b、c均不为 0．请根据此定义解决下列问题：
(1)方程的倒方程是 ．
(2)若是的倒方程的解，求出c的值；
(3)若m，n是一元二次方程的倒方程的两个不相等的实数根，求代数式的值．
3．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，则称这个方程为“差1方程”．比如，一元二次方程的两根为，，因为，所以一元二次方程为“差1方程”．
请阅读以上材料，回答下列问题：
(1)判断：一元二次方程 “差1方程”（填“是”或“不是”）；
(2)若关于x的一元二次方程是“差1方程”，求k的值．
【典型例题十一 配方法的应用】
【例1】（25-26九年级上·湖北随州·阶段检测）把方程化成的形式，其中m，n为实数，则n的值是（ ）
A．1 B．5 C．16 D．17
【例2】（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）若一元二次方程 （a，b为常数），化成一般形式为，则a，b的值分别是（ ）
A．，1 B．2，1 C．2， D．，
【例3】（25-26九年级上·全国·课后作业）例如：代数式，因为，所以当时，的最小值是2；则当__时，代数式有最小值，最小值为______．
1．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”．
(1)已知10是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式__________；
(2)已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由．
(3)已知实数x、y满足，求的最值．
2．（25-26九年级上·河北沧州·期末）配方法不仅可以用来解一元二次方程，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值和最小值等．例如，我们用此方法求代数式的最小值的过程如下：
解：．
，
，
的最小值是9．
请根据以上材料，完成下列问题：
(1)代数式，当_______时，代数式有最_______值（填“大”或“小”），这个值是_______；
(2)比较代数式与的大小，并说明理由．
3．（25-26九年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）阅读下列材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题．
例如：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？
，
当时，代数式有最小值．
【直接应用】
（1）仿照上述例子解决问题：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？最小（或最大）值是多少？
【拓展应用】
（2）如图，要围成一个矩形鸡场，一边靠墙（墙长24米），另三边用总长为40米的竹篱笆围成．
①请用含的代数式表示矩形鸡场的面积；
②当为何值时，围成的矩形鸡场的面积最大？最大面积是多少？
1．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）用配方法解方程2x2﹣4x﹣1＝0时，需要先将此方程化成形如（x+m）2＝n（n≥0）的形式，则下列配方正确的是（　　）
A．（x﹣2）2＝5 B．（x﹣1）2＝ C．（x﹣1）2＝2 D．（x﹣1）2＝
3．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）定义运算：，例如，时，．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25九年级下·江苏南通·自主招生）关于的方程，有下列四个命题：（ ）
甲：是该方程的根； 乙：是该方程的根；
丙：该方程两根之和为2； 丁：该方程两根之积小于0．
如果只有一个假命题，则该命题是
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．（24-25九年级下·云南昆明·阶段检测）如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第（ ）个图形共有45个小球．
A．9 B．10 C．11 D．12
6．（24-25八年级下·上海·期中）方程的根是______．
7．（24-25八年级下·上海·阶段检测）方程的根为_____________________
8．（24-25九年级上·河北唐山·期中）小刚在解关于的方程时，只抄对了，，解出其中一个根是他核对时发现所抄的比原方程的值小则______，原方程的根的情况是______．
9．（24-25九年级上·四川眉山·期中）运用配方法求：（二次三项式的最值）．
对于多项式，当＝_______时，它的最小值为______．
对于多项式，当＝_______时，它的最大值为______．
10．（25-26八年级下·安徽安庆·期中）定义：若关于的一元二次方程有两个实数根，，分别以为横坐标、为纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的根序点．
（1）直接写出方程的根序点的坐标为_____；
（2）若关于的一元二次方程有根序点，且该根序点在直线上，则的值为_____．
11．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）解一元二次方程：
(1)；
(2)．
12．（25-26九年级上·江西新余·期末）已知关于x的一元二次方程（k为常数）．
(1)若方程的一个根为，求的值；
(2)求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
13．（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）阅读下列材料，解决问题：对于两个不等的非零实数a，b，若分式的值为零，则或．又因为，所以关于x的方程 的两个解分别为
(1)方程的两个解中较大的一个为 ；
(2)解关于x的方程；
(3)关于x的方程 的两个解分别为 求 的值．
14．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）我们在探究一元二次方程根与系数关系中发现：
关于的一元二次方程的两个根是，，那么可推出，．请运用这一结论，解决下列问题：
【问题提出】
(1)若，是方程的两根，则 ， ， ；
【问题探究】
(2)如果关于的一元二次方程的两个根是，，那么关于的一元二次方程是否有实数根，如果有实数根，请求出方程的解，如果没有，请说明理由；
【问题解决】
(3)若关于的方程的两根之和是，两根之积是，请求出关于的方程的两根之积的值（用字母，表示）．
15．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段检测）阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例题：求代数式的最小值.
解：
∵∴
∴代数式的最小值为4.
(1)求代数式的最小值；
(2)某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知栅栏的总长度为18m，设较小矩形的宽为（如图）.当为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
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