资源简介

2.7 分段计费的实际问题
教学内容
人教版教材五年级上册第19页例 8 、第20页“做一做”第2题。
内容简析
教材以出租车车费为生活化载体，完整遵循 “阅读理解 — 分析解答 — 回顾反思” 解题流程：先解读起步价、超里程加价、里程进一三大核心规则；再用线段图直观拆分起步里程与超出里程，建立总费用 = 起步费用 + 超出部分费用的解题模型；最后通过价格表格梳理规律，“做一做”中的水费习题实现方法迁移，同时引导学生发现生活各类分段计费场景。本课重点培养学生提取分层条件、数形结合分析复杂问题的能力，建立标准化分段计费解题思路，为电费、快递费、通话费等同类难题提供通用解题方法。
教学目标
1.读懂分段计费规则，掌握里程进一取整方法，能借助线段图拆分数量，运用 “起步价 + 超出费用”模型计算分段计费问题。
2.经历读题分析规则、画图拆分、列式计算、表格梳理、方法迁移的完整探究流程，发展数形结合、分层分析的逻辑推理能力。
3.感受分段计费在租车、用水、用电等生活场景中的广泛应用，养成分层梳理条件、规范分步列式的严谨解题习惯。
教学重难点
1.重点：理解分段计费两层收费标准，掌握总费用分层计算的解题模型，能规范分步列式计算车费、水费。
2.难点：准确理解 “不足 1km 按 1km 计算” 的进一规则，正确拆分基础段与超出段里程；灵活迁移模型解决不同场景分段计费问题。
教法与学法
1.教法：教师采用情境教学法、数形结合法、启发探究法、对比迁移法、多媒体直观演示法展开教学。创设出租车出行、家庭缴纳水费等生活化情境，拉近数学与生活的距离；借助线段图、计费表格开展数形结合教学，直观拆分两段计费里程，突破进一取整、分段计算难点；以阶梯式问题层层启发学生解读收费规则、推导解题思路，引导自主探究分段计费模型；通过出租车、水费习题对比，实现解题方法迁移；利用课件动态演示里程拆分、进一取值过程，清晰呈现分层收费逻辑。
2.学法：学生通过画图建模、合作探究、迁移应用、辨析归纳开展学习。通过绘制线段图拆分里程，直观理解分段计费的数量本质；小组合作交流进一取值、分层列式的思考过程，互相辨析易错点；将出租车计费模型迁移到水费同类题型中解决拓展问题；归纳出分段计费通用解题步骤，形成标准化解题思路。
承前启后链
教学过程
一、情境创设,导入课题
预设1：谈话导入法
师：同学们平时出门打车坐过出租车吗？大家有没有观察过出租车计价器，不是每千米价钱都一样，起步一段路程统一收一笔钱，走远了再加钱。今天李叔叔打车行驶 6.3km，我们一起来算一算他需要付多少车费。
课件出示出租车计价标准图，提问：计价规则分两段，里程不是整数怎么算费用？顺势板书课题《分段计费》。
【设计意图：选取学生熟悉的打车出行场景，贴合真实生活，通过计价器两段收费的生活常识制造探究疑问，自然引出分层计费、进一取值两大核心知识点，激发学生探究需求。】
预设2：课件导入法
课件出示习题：一条线段长 6.3m，分成2段，一段长3m，剩余一段，学生画图拆分。
师：之前我们用线段图解决小数应用题，今天打车里程 6.3 km，收费分3 km 及以内、超过 3km 两部分，同样可以用线段图拆分路程；还有一条特殊规则，不足 1km 要按整 1km 算，今天我们结合小数乘法学习分段计费问题。
【设计意图：衔接数形结合解题旧知，铺垫线段图分析工具，同时抛出“不足 1km 按 1km 算” 的新规则制造认知冲突，清晰搭建新旧知识桥梁，顺畅切入新课。】
二、师生合作，探究新知
活动一：阅读理解，拆解出租车计价全部规则（5 分钟）
步骤 1：全班齐读例题题干与计价标准
师：谁能说一说题目给出了哪些信息，收费分为哪两档？
生 1：总路程 6.3km，3km 及以内统一收 8 元；超过 3km 的部分每千米 1.5 元；不足 1km 按 1km 计算。
师：最特殊的一句“不足 1km，按 1km 计算”是什么意思？举个例子说一说。
生：比如开了3.1km，多出 0.1km 也要多算 1km，按 4km 收费；5.9km 按 6km 算。
师：那么本题 6.3km，小数部分 0.3km 也要进一，应该按多少千米算总里程？
生：6.3km 整体要按 7km 计算总里程。
步骤 2：同桌互说两层收费标准，梳理解题前提
师：算车费，第一步要先确定实际计费的总里程，再把里程分成两段分别计算，最后相加。
【设计意图：分层拆解计价标准，结合举例理解进一取值难点，把繁杂文字条件转化为清晰两层收费逻辑，扫清审题障碍，为画图计算做好铺垫。】
活动二：线段图建模，分层列式计算出租车车费（14 分钟）
步骤 1：画图拆分里程，师生同步对话
师：我们画一条线段代表 7km 计费里程，怎么分出两段收费区间？
生：前 3km 是第一段，收费 8 元；剩下 7-3=4（km） 是第二段，每千米 1.5 元。
师板书线段图，标注 0—3km 收费 8 元，3—7km 每千米 1.5 元。
师：实际行驶6.3km ，为什么超出部分要按 4km 算？
生：0.3km 不足 1km，要进一，总里程进一为 7km，减去基础 3km，超出 4km。
步骤 2：分步梳理计算逻辑，规范板书算式
师：总车费由两部分组成，谁能说出数量关系式？
生：总车费 = 3km 以内起步费 + 超出 3km 部分的费用
师：起步费用固定是多少？超出部分总价怎么算？
生：起步费 8 元；超出 4km，1.5×4 算出超出费用。
师生完整分步板书：
超出计费里程：7-3=4（km） 超出部分费用：1.5×4=6（元） 总车费：8+6=14（元）
步骤 3：易错点辨析拓展
师：如果行驶 2.8km，需要分段算吗？为什么？
生：不用，2.8 不足 3km，全部在起步里程内，直接收 8 元。
师：行驶 7.8km 要按几千米计费？超出几千米？
生：按 8km 算，超出 5km。
【设计意图：依托线段图把抽象里程分层直观可视化，搭配递进式师生对话，讲清进一取值、两段拆分、分层求和完整步骤；增设不足 3km、7.8km 变式辨析，规避学生直接用原小数里程计算的高频错误，突破本课两大教学难点，建立标准分段计费解题模型。】
活动三：回顾反思，借助价格表格梳理计费规律（4 分钟）
步骤 1：出示里程车费对照表，学生观察表格数据。
师：表格里行驶 2km 收费 8 元、3km 也是 8 元，说明什么？
生：只要不超过 3km，不管走 1km、2km、3km，全部收起步价 8 元。
师：里程超过 3km 后，每多 1km 车费增加多少钱？
生：多 1km 多 1.5 元，和计价标准一致。
步骤 2：小组讨论核心问题：生活中为什么采用分段计费？
小组代表发言：
生 1：短途出行成本低，统一低价起步；长途出行消耗更多资源，加价收费更公平。
生 2：水费分段计费，低价鼓励节约，超量加价提醒少用水。
师小结：分段计费兼顾公平与节约，是生活常用的收费方式。
【设计意图：通过表格数据直观固化两层收费规律，拓展讨论生活计费意义，打通数学与生活的联系，完善学生对分段计费的整体认知。】
三、巩固练习，学有所得
练习：完成教材第20页2题
步骤 1：出示水费习题，学生自主读题梳理两层收费规则
师：水费标准分哪两段？和出租车计费有什么相同点？
生：12 吨以内每吨 2.5 元，超过 12 吨每吨 3.8 元；都是分基础段、超出段两层收费。
步骤 2：分层解决两个小问，指名上台板书。
第（1）问：小云家 11 吨，未超过 12 吨，只用基础单价计算：11×2.5
第（2）问：小可家 17 吨，超出 17-12=5（吨），分层列式：12×2.5 + 5×3.8
师：对比打车和水费两道题，通用解题步骤是什么？
生：先看用量是否超基础标准，没超直接单段计算；超了就分两段分别算，最后相加。
步骤 3：全班交流生活其他分段计费现象：电费、快递、手机通话费、停车费等。
【设计意图：更换用水场景实现解题模型迁移，让学生掌握通用分层计算思路；交流生活实例拓宽认知，巩固分段计费在各类生活场景的应用。】
四、课末小结,融会贯通
今天我们学习了出租车、水费两类分段计费问题，谁能完整说一说解决分段计费问题的完整步骤，还有特殊取值规则是什么？引导学生分享：
1.先分清收费分几段，找准基础段标准、两段不同单价；遇到路程、时长小数不是整数时，要根据收费规则，多数用进一法取整。
2.用量没超过基础标准，直接单段相乘；用量超出基础标准，拆成基础段、超出段分别算总价，两段费用相加得到总费用。
3.打车、用水、停车、电费都用分段计费，这种收费方式兼顾公平，引导节约资源。
师总结：本节课建立的分层求和解题模型，是所有分段计费问题的通用解法，数形结合画图拆分、分层梳理条件的分析方法，生活中遇到阶梯收费问题都可以用今天的方法解决。
【设计意图：从审题规则、解题模型、生活应用三层梳理内容，提炼通用数形结合分析方法，打通数学解题与真实生活的联系。】
五、教海拾遗,反思提升
1.回味课堂，发现亮点之处：本节课以出租车打车真实情境为主线，线段图建模、分层列式、水费题型迁移贯穿全课。探究例题时，学生能准确说出“不足 1km 进一取整”的规则，借助线段图自主拆分两段里程，规范完成分层求和计算；表格梳理环节学生能自主发现起步价固定、起步里程内费用恒定的计费规律；水费拓展题学生可自主迁移解题模型，不用教师提示就能分层列式。
2.反思过程，有待改进之处：部分学生容易忽略进一取值规则，直接用原小数里程计算超出费用；少数学生分不清基础段、超出段的计算顺序，列式时颠倒两段单价；小组讨论环节，审题、计算薄弱的学困生缺少上台画图板书、口述思路的机会。后续教学中，增设“进一取值专项判断”练习，强化小数进一的取值逻辑；设计分段计费错题辨析，集中展示忘记进一、单价混用的典型错误，集体订正；小组采用强弱互助搭配，指定学困生优先画图讲解拆分思路；课后补充停车、快递分层计费拓展习题，巩固通用分层解题模型。
我的反思:
板书设计
分段计费的实际问题
例 8 出租车计费
计价标准：3 km 及以内 8 元；超 3 km的部分，每千米1.5 元，不足1 km 按 1 km 算。
总里程 6.3 km → 进一取整 7 km
线段拆分：0～3 km（起步价8 元） 3～7 km（4 km）
数量关系：总车费 = 起步费 + 超出部分费用
7-3=4（km） 1.5×4=6（元） 8+6=14（元）
答：应付车费 14 元。
通用解题步骤：
审题：分层读收费标准，小数进一取整
判断：用量不大于基础标准 → 单段计算
用量大于基础标准 → 分两段分别算，再求和
迁移拓展：水费、停车费、电费、快递费均适用。

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