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1.2平行线分线段成比例教学设计
学科 数学 年级 九 课型 新授课 单元 一
课题 1.2平行线分线段成比例 课时 1
课标要求 依据2022版义务教育数学课程标准,本节课属于图形与几何领域中图形的相似主题,要求学生探索并掌握平行线分线段成比例的基本事实,能利用该事实进行简单推理与计算,理解其在三角形中的推论并规范应用；通过观察、操作、猜想、证明等活动,发展几何直观、逻辑推理与数学运算素养,体会数形结合与转化思想；能运用结论解决简单几何计算与证明问题,为相似三角形的判定与性质奠定重要理论基础,强化数学应用意识与推理论证能力。
教材分析 本节是湘教版九年级上册第一章《图形的相似》1.2节内容,承接成比例线段与比例性质,是连接比例知识与三角形相似的核心桥梁。教材由“等分线段”特例入手,通过面积法推导一般结论,得出平行线分线段成比例基本事实,再推广到三角形中的重要推论,结构由特殊到一般、由直观到严谨。内容兼具操作性与逻辑性,既是比例知识的几何应用,又是相似三角形判定的核心依据,突出推理过程与方法渗透,为整章学习提供关键支撑,对培养学生演绎推理能力具有重要作用。
学情分析 九年级学生已掌握比例性质、成比例线段及平行线相关知识,具备初步几何推理与面积计算能力,能进行简单比例计算。但对“平行线与比例”的关联理解薄弱,难以自主用面积法推导结论；对“对应线段”识别易出错,三角形推论的应用不够灵活。学生乐于动手探究,适合操作观察与合作推导,需通过直观演示、阶梯问题、变式训练,突破结论理解与对应关系识别障碍,提升推理严谨性与应用熟练度。
教学目标 1.掌握平行线分线段成比例基本事实及其三角形推论,能正确识别对应线段,进行简单计算与证明。 2.经历观察、猜想、推导、验证过程,提升几何直观、逻辑推理与数学表达能力。 3.体会转化、数形结合、从特殊到一般思想,发展推理意识与几何建模能力。 4.主动参与探究活动,养成严谨论证、规范书写的习惯。
教学重点 1.平行线分线段成比例基本事实的理解与直接应用。 2.三角形中平行截比例推论的掌握与运用。
教学难点 平行线分线段成比例的推导过程与“对应线段”的准确识别。
教学过程
教学步骤 教学主要内容 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 复习回顾 1.成比例线段的定义是什么？ 2.若,同底等高的三角形面积有什么关系？ 探究问题 用三根水平平行线截两条倾斜直线,截得线段分别为和,猜测的值,并说明依据。 答案 1.四条线段中两条线段的比等于另外两条线段的比,即成比例线段。 2.同底等高的三角形面积相等。 3.由比例相等得,解得；依据是平行线截线段对应成比例。 提问成比例线段定义与同底等高三角形面积关系,衔接新知探究。 回忆旧知,准确口述概念与性质,为推导做准备。 巩固前置知识,搭建比例与面积法推导的思维桥梁。
讲授新课 探究活动一:平行线间的线段 思考：如图,已知直线,直线被直线a,b,c截得的线段分别为和,若,则吗？ 如图,过点作直线,分别与直线a,c相交于点.由于,因此由“夹在两平行线间的平行线段相等”可知,. 在和中, , 因此, 从而,所以. 由此可以得到： 两条直线被一组平行线所截,如果在其中一条直线上截得的线段相等,那么在另一条直线上截得的线段也相等. 引导观察、猜想、证明,借助全等三角形推导等分结论。 动手作图、推理证明,归纳平行线等分线段规律。 从特殊入手,渗透转化思想,为一般结论奠基。
探究活动二:平行线分线段成比例 探究：在前面”思考”栏目中,若,如图所示,则与相等吗？任意平移直线与还会相等吗？ 如图,连接. 由于底边上的高、底边上的高、底边上的高是同一条高线,因而由三角形的面积计算公式可得,它们的面积比等于底边长之比,即 ,. 又由于底边上的高、底 边上的高、底边上的高也相同, 则它们的面积比也等于底边长之比,即 ,. 由于是平行线a,b之间同底等高的两个三角形, 因此.① 由于是平行线b,c之间同底等高的两个三角形, 因此.② ①+②得, , 即. 于是 , , 同理可得： . 由此得到以下基本事实： 两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.以上基本事实简称为平行线分线段成比例. 方法总结: 1.推导依据：利用同底等高三角形面积相等与三角形面积比等于底之比,将线段比转化为面积比进行推导。 2.核心结论：两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例,比例式具有顺序性与对应性,不可随意颠倒。 3.关键思路：先构造三角形、利用平行线间距离相等得到面积相等,再通过面积比与底之比的关系推出线段成比例,体现数形结合与转化思想。 4.使用要点：必须是一组平行线截两条直线,找准“上/下、上/全、下/全”三类对应比例关系。 引导用面积法推导比例关系,规范证明思路与书写。 合作推导、归纳结论,理解“对应线段成比例”内涵。 经历严谨推理,落实逻辑推理与几何直观素养。
探究活动三:平行线分线段成比例的应用 例1:如图1.2-4,已知,,求的长. 解:由平行线分线段成比例可知, ,即, 因此,. 例2:如图,在中,已知,求证:. 解：如图,过点作直线,使. , . 因此被一组平行线所截,则由平行线分线段成比例可知, . 议一议：如图,直线分别与的边的反向延长线相交于两点,则吗？ 结论：成立。 证明：如图,过点作直线。 因为(题目隐含条件,由推论背景可得) 所以 根据平行线分线段成比例基本事实， 直线、被平行线、、所截, 所以。 一般地,可得以下结论： 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）,所得的对应线段成比例. 总结归纳: 1.定理推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）,所得的对应线段成比例,适用于三角形中的“A字型”与“8字型”模型。 2.解题步骤：先在图形中找到平行线,再准确识别对应线段,然后依据推论列出正确比例式,最后通过比例性质求解未知线段长度。 3.模型识别：在复杂图形中快速剥离出“平行+三角形”基本结构,优先使用推论简化推理过程。 4.拓展应用：比例式可双向变形,既能由平行推比例,也可由比例判断平行,为后续相似三角形判定奠定基础。 引导将定理推广到三角形,提炼推论并示范解题。 识别模型、运用推论计算,规范解题步骤。 现定理迁移应用,强化模型意识与运算能力。
课堂练习 课堂练习 1.如图,在△ABC中,点D,E分别在AB,AC上,DE∥BC,下列比例式中,不正确的是(　　) A.＝B.＝ C.＝D.＝ 2.如图,直线l1∥l2∥l3,直线AC和DF被l1、l2、l3所截,AB＝5,BC＝6,EF＝4,则DE的长为(　　) A.2B.3C.4D. 3.如图,已知直线l1∥l2∥l3,直线m、n分别与直线l1、l2、l3交于点A、B、C和D、E、F,若DE＝3,DF＝8,则的值为(　　) A.B.C.D. 4.如图,已知DE∥BC,EF∥AB,现得到下列结论:①;②;③;④.其中正确结论的个数是(　　) A.4B.3C.2D.1 5.如图,直线a∥b∥c,点B是线段AC的中点,若DE＝2,则EF＝________. 6.如图,在四边形ABCD中,AD∥EF∥GH∥BC,AE＝EG＝GB.若CD＝12,则CF＝________. 7.如图,在四边形ABCD中,点E是AB的中点,AD∥EF∥BC,对角线BD交EF于点O,若BC＝12,EF＝9,则AD的长为____________. 8.如图,在△ABC中,DE∥BC,EF∥CD,求证：＝. 9.如图,E为 ABCD的边CD的延长线上一点,连接BE,交AC于点O,交AD于点F. 求证：BO2＝OF·OE. 1.C;2.D;3.B;4.B;5.2;6;8;7.6; 8.证明：, . , . . 9.证明：∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥CD,AD∥BC. ∴＝,＝. ∴＝,即BO2＝OF·OE. 巡视课堂迅速掌握学情 当堂小测,用所学知识解决问题,学生代表回答。 学以致用,及时获知学生对所学知识的掌握情况,明确哪些学生需要在课后加强辅导,达到全面提高的目的
课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？ 知识点: 1.平行线等分线段：一组平行线截直线,若一截线段相等,则另一截线段也相等。 2.平行线分线段成比例：两条直线被一组平行线所截,所得对应线段成比例。 3.三角形推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或延长线）,所得对应线段成比例。 4.解题关键：识别平行线,找准对应线段,正确列出比例式求解。 5.思想方法：面积法、转化思想、模型思想。 教师以提问的形式小结 学生思考自由回答,自我小结 课堂小结可以帮助学生理清所学知识的层次结构,掌握其外在的形式和内在联系,形成知识系列及一定的结构框架。
板书设计 1.2平行线分线段成比例 平行线等分线段：截得线段相等 基本事实： 三角形推论： 核心：找平行、定对应、列比例 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知,可以帮助学生理解掌握知识,形成完整的知识体系。
作业设计 基础达标: 1.如图,两条直线被三条平行线所截,若=,则的值为( ) A. B. C. D. 2.如图,直线l1∥l2∥l3,直线AC与l1,l2,l3分别交于点A,B,C,直线DF与l1,l2,l3分别交于点D,E,F.若DE=3,EF=6,AB=4,则AC的长是( ) A.6 B.8 C.9 D.12 3.如图,直线AD,BC交于点O,AB∥EF∥CD,若AO=2,OF=1,FD=2,则的值为　. 4.如图,在△ABC中,点D在边AB上,过点D作DE∥BC,交AC于点E.若AD=2,BD=3,则的值是( ) A. B. C. D. 5.如图,已知在△ABC中,点D,E,F分别是边AB,AC,BC上的点,DE∥BC,EF∥AB,且AD∶DB=4∶7,那么CF∶CB等于( ) A.7∶11 B.4∶8 C.4∶7 D.3∶7 6.如图,练习本中的横格线都平行,且相邻两条横格线间的距离都相等,同一条直线上的三个点A,B,C都在横格线上.若线段AB=4cm,则线段BC=　　cm. 能力提升: 7.如图,在△ABC中,D,E分别是AB和AC上的点,且DE∥BC. (1)如果AD=7,DB=3,EC=2,那么AE的长是多少 (2)如果AB=10,AD=6,EC=3,那么AE的长是多少 8.如图,AB∥CD,OH分别与AB,CD交于点F,H,OG分别与AB,CD交于点E,G,若=,OF=12,则OH的长为() A.39 B.27 C.12 D.26 9.如图,l1∥l2∥l3,l4与l5交于点P,PA=a,AB=b,BC=c,PD=d,DE=e,EF=f,则bf=() A.ab B.bd C.ae D.ce 10.如图,△ABC中,D、F在AB边上,E、G在AC边上,DE∥FG∥BC,且AD∶DF∶FB=3∶2∶1,若AG=15,则CE的长为() A.9 B.15 C.12 D.6 11.如图,直线l1∥l2∥l3,直线AB分别与l1,l2,l3相交于点A,B,C,直线DF分别与l1,l2,l3相交于点D,E,F,已知=,DE=6,则DF的长为　　. 12.如图,在中,延长至点D,使,在上取一点F,连接交于点E,过F点作交于点H,已知2. (1)________； (2)求AF的长. 拓展迁移: 13.如图,已知四边形ABCD,点E,F分别在BC,CD上,且CE∶BE=2∶3,DF∶CF=1∶2,BF与DE相交于点G,则DG∶GE=　　. 14.如图,在△ABC中,EF∥CD,DE∥BC. (1)求证:AF∶FD=AD∶DB; (2)若AB=15,AD∶BD=2∶1,求DF的长. 1.B;2.D;3.3/2;4.A;5.A;6.12; 7.解:(1)∵DE∥BC,∴=, ∴=,∴AE=. (2)∵AB=10,AD=6,∴BD=10-6=4, ∵DE∥BC,∴=, ∴=,∴AE=. 8.A;9.D;10.A;11.10; 12.解:(1)因为 所以, 又因为 所以 所以； 故答案为：； （2）解：因为 所以 因为, 所以, 又因为 所以 13.5:6; 14.解:(1)∵EF∥CD,∴=, ∵DE∥BC,∴=, ∴=. (2)∵AD∶BD=2∶1,∴BD=AD, ∴AD+AD=15,∴AD=10, ∵AF∶FD=AD∶DB, ∴AF∶FD=2∶1,∴AF=2DF, ∵AF+DF=10,∴2DF+DF=10, ∴DF=.
教学反思 本节课以旧引新、探究推导展开教学,紧扣2022新课标落实推理与直观素养。教学中重视结论生成过程,用面积法搭建理解桥梁,通过例题与变式强化应用。但部分学生对“对应线段”判断仍不准确,推导步骤不够规范,三角形推论应用不熟练。后续应增加图形变式训练,强化对应关系识别；简化推导难点,突出结论应用；设计分层任务兼顾不同层次学生,加强几何语言规范训练,提升学生推理严谨性与解题准确性,为相似三角形学习夯实基础。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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