资源简介

课题 1.2 有理数
课型 新授课
课时 1课时
教材版本 青岛版数学七年级上册（2026-2027学年）
教学方法 任务驱动法、探究发现法、分类讨论法
教学用具 多媒体课件
一、核心素养目标
【数学抽象】通过整理已学过的数，归纳出有理数的定义，理解整数和分数统称为有理数，发展数学抽象概括能力
【逻辑推理】能按不同标准对有理数进行分类（按定义分类和按性质符号分类），体会分类讨论的数学思想，培养逻辑推理能力
【数学建模】理解“6非”概念（非负数、非正数、非负整数、非正整数、非负有理数、非正有理数），建立数域的集合模型
【数学运算】能准确判断一个数属于哪种类型，能按要求将数填入相应的集合中，提升数感
二、教学重难点
教学重点：有理数的定义（整数和分数统称为有理数）；有理数的两种分类方法（按定义分类和按性质符号分类）
教学难点：“6非”概念的理解（非负数=正数和0，非正数=负数和0等）；区分“非负整数”与“正整数”“、”非正整数”与“负整数”
三、教学过程
【情境导入：数的回顾与整理】（4分钟）
【教师活动】同学们，上一节课我们学习了正数和负数，数的范围扩大了。现在，我们一起来回顾一下：到目前为止，我们都学过哪些数？
【学生活动】回忆并回答：学过的数有正整数（如1, 2, 3...）、0、负整数（如-1, -2, -3...）；正分数（如1/2, 0.5, 3.5...）、负分数（如-1/2, -0.5, -3.5...）。
【教师活动】非常好！我们学过的数可以归纳为：正整数、0、负整数、正分数、负分数。这些数可以归为两大类——整数和分数。今天我们就来学习——有理数。
【教师活动】本节课的学习目标有两个：第一，理解有理数的意义；第二，能按一定标准对有理数进行分类。希望大家带着这两个目标来学习，体会分类讨论的数学思想。
【过渡语】首先，我们来完成第一个任务——理解有理数的定义。
【任务一：有理数的定义——观察与发现】（5分钟）
【教师活动】请同学们观察我们学过的数，它们可以怎么分类？请按“正数”“、负数”“、整数”“、分数”四个角度来思考。
【学生活动】观察思考：正数包括正整数和正分数（如+70, +92, 3, 1.8%, 3.5），负数包括负整数和负分数（如-40, -2.7%, -4.5, -1.2），整数包括正整数、0、负整数，分数包括正分数和负分数。
【教师活动】分析得很好！现在我们把注意力放在整数和分数上。正整数、零、负整数统称为整数。正分数、负分数统称为分数。那么，整数和分数合在一起，我们给它一个什么名字呢？
【学生活动】思考：整数和分数统称为有理数。
【教师活动】对！这就是有理数的定义。注意：有限小数和无限循环小数都可以化为分数，所以它们也是有理数。例如：0.5=1/2，0.333...=1/3。
【知识点】有理数的定义：整数和分数统称为有理数。整数包括正整数、0、负整数。分数包括正分数和负分数（有限小数和无限循环小数可化为分数，也属于有理数）。
理解要点：有理数就是可以表示为两个整数之比的数（分母不为0），所以叫“有理”数。整数可以看作分母为1的分数，如3=3/1。有限小数和无限循环小数都可以化为分数，所以它们都是有理数。但无限不循环小数（如π）不是有理数。
【过渡语】有理数的定义清楚了，下面我们通过例题来巩固如何判断一个数属于整数还是分数。
【例题精讲：有理数的分类判断】（6分钟）
【教师活动】例题：把下列各数分别填入相应的集合中。请同学们先自己判断，每个数属于整数还是分数。
【学生活动】判断：整数包括正整数、0、负整数。分数包括正分数和负分数。注意有限小数和无限循环小数属于分数。
【教师活动】解：整数：如正整数、0、负整数等。分数：如正分数、负分数等。注意：有限小数和无限循环小数可化为分数，所以归入分数类。
【教师活动】变式：在上面的数据中，正整数有a个，负整数有b个，负分数有c个，则a+b+c=_______。请同学们数一数。
【学生活动】计数：在上面数据中，正整数有a个，负整数有b个，负分数有c个，则a+b+c=6。
【知识点】判断有理数类型的方法：先看符号（正/负），再看是否是整数形式。整数是正整数、0、负整数；分数是正分数和负分数（含有限小数和无限循环小数）。
判断技巧：判断一个数属于哪类时，步骤：①判断符号（正/负/0）；②判断是否为整数（没有小数部分或分母为1）；③如果是整数，归入整数类；④如果是小数或分数，先看能否化为分数，能则归入分数类。注意：0是整数，但不是正数也不是负数！
【过渡语】例题做完了，大家对有理数的定义有了更深入的理解。接下来，我们完成第二个任务——对有理数进行分类。
【任务二：有理数的分类（一）——按定义分类】（6分钟）
【教师活动】根据有理数的定义，我们可以对有理数进行第一种分类——按定义分类。请同学们看课本中的分类图。
【教师活动】有理数按定义分为两大类：整数和分数。整数又分为正整数、0、负整数。分数又分为正分数和负分数。
【学生活动】理解分类结构：有理数→整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）。注意：有限小数和无限循环小数可化为分数，归入分数类。
【教师活动】请同学们注意：这种分类方法是按“是否为整数”来划分的。分类时要注意“不漏、不重”——每个数必须属于且仅属于其中一类，不能遗漏也不能重复。
【知识点】有理数按定义分类：有理数→整数（正整数、0、负整数）+ 分数（正分数、负分数）。分类原则：不漏（每个数都有归属），不重（每个数只属于一类）。
【过渡语】按定义分类是一种方法。你还可以按照其它标准对有理数进行分类吗？
【任务二：有理数的分类（二）——按性质符号分类】（5分钟）
【教师活动】你还可以按照其它标准对有理数进行分类吗？请同学们思考一下。
【学生活动】思考：可以按正数、0、负数来分类。即正有理数、0、负有理数。
【教师活动】非常好！根据有理数的性质符号分类：有理数分为正有理数、0、负有理数。其中正有理数包括正整数和正分数，负有理数包括负整数和负分数。
有理数按性质符号分类
【学生活动】理解：按性质符号分类是另一种分类方法：有理数→正有理数（正整数、正分数）、0、负有理数（负整数、负分数）。
【教师活动】还有其他的分类方法吗？比如：(1)按正数、0、负数分类；(2)按整数、分数分类；(3)按正有理数、0、负有理数分类。这些都是合理的分类方式，关键是要明确分类标准，做到“不漏、不重”。
【知识点】有理数按性质符号分类：有理数→正有理数（正整数+正分数）、0、负有理数（负整数+负分数）。两种分类方法按不同标准，结果都是对有理数集合的完全划分。
易错提示：分类时最常见的错误是：①遗漏0（0既不是正数也不是负数，但它是整数，也是有理数）；②把有限小数当作整数（有限小数应归入分数类）；③分类时没有明确标准，导致混乱。记住：分类先确定标准，然后做到“不漏、不重”！
【过渡语】两种分类方法都掌握了。接下来，我们学习常用的数的名称，特别是“6非”概念。
【知识拓展：常用数的名称——“6非”】（5分钟）
【教师活动】在数学中，我们经常用“非”字来描述一类数。比如“非负数”，它是什么意思？
【学生活动】思考：“非负数”就是“不是负数”的数，即正数和0。
【教师活动】正确！“非”就是“不是”的意思。我们一起来归纳“6非”：非负数→正数和0；非正数→负数和0；非负整数→正整数和0；非正整数→负整数和0；非负有理数→正有理数和0；非正有理数→负有理数和0。
【学生活动】理解记忆：“非”表示“不是”，所以“非负数”就是“不是负数”→正数和0。“非正数”就是“不是正数”→负数和0。关键是要加上0！
【教师活动】特别提醒：“非负整数”就是正整数和0，也就是自然数（0, 1, 2, 3...）。“非正整数”就是负整数和0（0, -1, -2, -3...）。注意区分“非负整数”和“正整数”的区别——前者包含0，后者不包含0！
【知识点】“6非”概念：非负数=正数+0，非正数=负数+0，非负整数=正整数+0，非正整数=负整数+0，非负有理数=正有理数+0，非正有理数=负有理数+0。核心：带“非”的名称都包含0。
重点强调：“6非”概念中，最容易出错的是区分“非负整数”和“正整数”“——前者=正整数+0，后者只是正整数。“非正整数”=负整数+0，不同于“负整数”。记住：所有带“非”的名称都包含0！
【过渡语】“6非”概念理解了吗？下面我们通过练习来巩固今天所学的所有知识。
【课堂练习：巩固与应用】（12分钟）
【教师活动】练习1 下列说法中正确的有（ ）①整数就是正整数和负整数；②0是整数，但不是自然数；③分数包括正分数、负分数；④正数和负数统称为有理数；⑤一个有理数，它不是整数就是分数。A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【学生活动】判断：①错，整数包括正整数、0、负整数，遗漏了0；②错，0是整数，也是自然数；③对，分数包括正分数和负分数；④错，正数、负数和0统称为有理数，遗漏了0；⑤对，有理数按定义分为整数和分数。所以正确的有③和⑤，共2个，选B。
【教师活动】练习2 把下列各数填在相应的集合中。注意：不漏，不重。请同学们认真判断每个数属于哪一类。
2, 0，0.314，25%，11，，，0.， 1，200%
【学生活动】按要求将各数填入相应的集合中，注意有限小数和无限循环小数归入分数类。
【教师活动】练习3 把下列数据按照两种不同的标准进行分类，请同学们讨论并回答。
-3.4, 0.5, 4.8，-0.3， 0， 6， -3/6， -6， 20%，1/2
【学生活动】答：比如(1)按正数、0、负数分类；(2)按整数、分数分类；(3)按正有理数、0、负有理数分类。这些都是合理的分类方法。
【教师活动】练习4 下列说法错误的是（ ）A.有理数可分为正有理数、零、负有理数 B.有理数可分为整数和分数 C.0既不是正数也不是负数 D.整数包括正整数、负整数
【学生活动】判断：D错误，整数包括正整数、0、负整数，D遗漏了0。A、B、C都正确。选D。
【教师活动】练习5 把下列各数分别填入相应的集合中。包括正数集合、负整数集合、正分数集合、负有理数集合、非负整数集合。
【学生活动】按要求分类填入：正数集合（正整数、正分数），负整数集合（如-6, -1等），正分数集合，负有理数集合（负整数+负分数），非负整数集合（正整数+0，如0, 2000等）。
【教师活动】练习6 下列说法正确的是（ ）①1是最小的正有理数；②-1是最大的负有理数；③0是最小的非负有理数；④0是最大的非正有理数。A.①② B.②③ C.③④ D.①④
【学生活动】判断：①错，没有最小的正有理数（如0.1比1小）；②错，没有最大的负有理数（如-0.1比-1大）；③对，0是最小的非负有理数（非负有理数≥0）；④对，0是最大的非正有理数（非正有理数≤0）。选C。
【知识点】通过练习，巩固了有理数的定义、分类方法、“6非”概念。关键点：整数包括0，分类做到“不漏、不重”，带“非”的都包含0。
重点强调：本节课最常见的错误都集中在“0”上：①忘记整数包含0；②正数+负数≠有理数（遗漏0）；③“非负整数”≠“正整数”（前者包含0）；④“非正整数”≠“负整数”（前者包含0）。记住：0是整数，也是自然数，但既不是正数也不是负数！
【过渡语】练习做完了，同学们对有理数的理解和分类掌握得很好。下面我们通过知识框架来梳理本节课的核心内容。
【课堂小结：知识框架梳理】（2分钟）
【教师活动】学了本节课你有什么收获？谁来总结一下？
【学生活动】回顾总结：学会了有理数的定义（整数和分数统称为有理数）；掌握了有理数的两种分类方法（按定义分类和按性质符号分类）；理解了“6非”概念（非负数、非正数、非负整数、非正整数、非负有理数、非正有理数）。
【教师活动】总结得非常全面！本节课的核心就两个：第一，有理数的定义和分类——整数和分数统称为有理数，可以按定义分类（整数/分数），也可以按性质符号分类（正有理数/0/负有理数）。第二，常用数的名称——“6非”，记住所有带“非”的都包含0，不要漏掉！
【知识点】本节课核心知识框架：1.有理数的定义——整数和分数统称为有理数；2.两种分类——按定义分（整数/分数）和按性质符号分（正有理数/0/负有理数）；3.“6非”——非负数=正数+0，非正数=负数+0，非负整数=正整数+0，非正整数=负整数+0，非负有理数=正有理数+0，非正有理数=负有理数+0；4.分类原则——不漏、不重。
重点强调：记住三个“0”：(1)0是整数，也是自然数；(2)0既不是正数也不是负数，是正负数的分界点；(3)所有带“非”的名称都包含0。注意：有限小数和无限循环小数可化为分数，属于有理数。分类时要做到“不漏、不重”！
四、板书设计
五、教学反思
1. 本节课学生哪些地方容易出错？
2. 哪些学生需要特别关注？
3. 教学时间分配是否合理？
4. 实验/探究环节是否达到预期效果？
5. 有哪些生成性问题？如何处理？
6. 下节课如何改进？

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