资源简介

课题 1.4 课时2 绝对值
课型 新授课
课时 1课时
教材版本 青岛版数学七年级上册（2026-2027学年）
教学方法 数形结合法、探究发现法、讲练结合法、分类讨论法
教学用具 多媒体课件、直尺
一、核心素养目标
【数学抽象】理解绝对值的概念及其几何意义，能从“数轴上点到原点的距离”这一几何直观中抽象出绝对值的代数定义，发展数学抽象能力
【逻辑推理】通过探究绝对值与数的关系，从表格数据中归纳出绝对值的三条性质，培养归纳推理能力
【数学运算】会求一个数的绝对值，能利用绝对值的性质进行化简和计算，提高数学运算能力
【直观想象】通过从数和形两个方面理解绝对值的性质，体会数形结合的思想方法，发展几何直观
二、教学重难点
教学重点：绝对值的概念（数轴上表示数a的点到原点的距离）；绝对值的性质（正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数）；绝对值的非负性（|a|≥0）
教学难点：绝对值性质的理解与应用（特别是|a|=-a当a<0时）；利用绝对值的非负性解决实际问题（如|a|+|b|=0则a=b=0）；绝对值与分类讨论思想（如求绝对值等于某数的数，需考虑正负两种情况）
三、教学过程
【情境导入：回顾旧知，引出绝对值】（5分钟）
【教师活动】同学们，上节课我们学习了相反数。请大家回忆一下：互为相反数的两个数在数轴上有什么位置关系？
【学生活动】回顾并回答：互为相反数的两个数（除0以外）只有符号不同。在数轴上，表示一个非零数与它的相反数的两个点，分别位于原点的两旁，并且它们与原点的距离相等。
【教师活动】非常好！比如-1和1，-2和2，-3和3，它们互为相反数，在数轴上分别位于原点的两侧，到原点的距离相等。那么这两个点与原点的距离如何用符号表达呢？
【学生活动】思考：需要一种符号来表示“到原点的距离”。之前我们学过数轴上两点间的距离，但原点到某点的距离还没有专门的符号。
【教师活动】今天我们就来学习一种新的数学符号——绝对值。它专门用来表示数轴上点到原点的距离。本节课有三个学习目标：第一，理解绝对值的概念及其几何意义，通过从数、形两个方面理解绝对值的性质，初步了解数形结合的思想方法；第二，会求一个数的绝对值，知道一个数的绝对值，会求这个数；第三，掌握绝对值的性质，会用绝对值的非负性解决实际问题。
【过渡语】首先，我们通过观察数轴上的点，来理解绝对值到底是什么。
【新知探究一：绝对值的概念与几何意义】（8分钟）
【教师活动】观察与发现：如图，在数轴上表示2和-2的点和原点的距离分别是多少？表示-3和3的点呢？
【学生活动】观察并回答：表示2的点到原点的距离是2个单位长度，表示-2的点到原点的距离也是2个单位长度。表示3的点到原点的距离是3个单位长度，表示-3的点到原点的距离也是3个单位长度。
【教师活动】在数轴上，表示数a的点到原点的距离叫作数a的绝对值，记作|a|。例如：数轴上表示3和-3的点到原点的距离均为3个单位长度，所以3和-3的绝对值都是3，即|3|=3，|-3|=3。0到原点的距离是0，所以|0|=0。
【学生活动】理解记忆：绝对值就是数轴上点到原点的距离。|3|读作“3的绝对值”，|-3|读作“-3的绝对值”。
【知识点】绝对值定义：在数轴上，表示数a的点到原点的距离叫作数a的绝对值，记作|a|。几何意义：|a|表示数a对应的点到原点的距离。|0|=0。
理解要点：绝对值是“距离”，所以绝对值一定是非负数（大于或等于0）。距离不可能为负数！这是绝对值最本质的特征。例如：|3|=3，|-3|=3，|0|=0，都是非负数。
【教师活动】下面我们来求一个数的绝对值。数轴上有A、B、C、D四个点，请分别写出它们的绝对值。
【学生活动】观察数轴上的点A、B、C、D，分别写出它们表示的数及绝对值。
【教师活动】发现：在数轴上一个数离原点越近绝对值越小，离原点越远绝对值越大。绝对值的大小反映了这个数对应的点到原点的距离远近。
【知识点】绝对值的大小反映了数在数轴上到原点的距离：离原点越近，绝对值越小；离原点越远，绝对值越大。
【过渡语】一个数的绝对值与这个数本身有什么关系呢？下面我们通过一个表格来探究。
【新知探究二：绝对值的性质】（8分钟）
【教师活动】思考与交流：请同学们完成以下表格，观察每个数及其绝对值，你有什么发现？
【学生活动】填写表格：数4→绝对值4；数-4→绝对值4；数9.8→绝对值9.8；数-9.8→绝对值9.8；数0→绝对值0。观察发现：4和-4的绝对值都是4，9.8和-9.8的绝对值都是9.8。
【教师活动】从表格中你发现了什么规律？请从三个角度来总结。
【学生活动】发现：（1）互为相反数的两个数绝对值相等；（2）正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0；（3）一个数的绝对值是正数或0，即非负数。
【教师活动】一个数的绝对值与这个数有什么关系呢？我们一起来用代数符号表示。
【学生活动】归纳：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。
【教师活动】概括与表达——绝对值的性质：（1）正数的绝对值是它本身，若a>0，则|a|=a；0的绝对值是0，若a=0，则|a|=0；负数的绝对值是它的相反数，若a<0，则|a|=-a。（2）互为相反数的两个数绝对值相等，即|a|=|-a|。（3）一个数的绝对值是正数或0，即非负数，|a|≥0。
【知识点】绝对值的性质：(1)代数性质：|a|=a(a>0)，|a|=0(a=0)，|a|=-a(a<0)；(2)对称性：|a|=|-a|；(3)非负性：|a|≥0。
易错提示：最容易出错的是：当a<0时，|a|=-a，这里的-a是正数！（因为a是负数，-a就是正数）例如：a=-5，则|a|=-(-5)=5。千万不要以为|a|=-a表示绝对值是负数，-a在这里是a的相反数，当a<0时-a>0。
重点强调：绝对值的非负性（|a|≥0）是绝对值最重要的性质之一，也是后续解决许多绝对值问题的关键。例如：若|a|+|b|=0，则必有a=0且b=0，因为两个非负数之和为0，每个都必须为0。
【过渡语】绝对值的性质已经总结出来了，下面我们通过几道练习题来检验一下对性质的理解。
【性质应用：巩固绝对值性质】（5分钟）
【教师活动】请同学们完成以下4道性质练习题，检验对绝对值性质的理解。
【教师活动】第1题：如果|a|=|-2|，那么a=_________。请思考：|-2|等于多少？|a|等于这个值，a可以是多少？
【学生活动】思考：|-2|=2，所以|a|=2。绝对值等于2的数有两个：2和-2。所以a=-2或2。
【教师活动】第2题：如果m是负数，且|m|=10，那么m=______。注意：m是负数，绝对值是10的负数只有一个。
【学生活动】思考：|m|=10，所以m=10或m=-10。又因为m是负数，所以m=-10。
【教师活动】第3题：若|a|=7，且|a|>a，则a=____。这道题需要结合绝对值的性质来分析。
【学生活动】思考：|a|=7，则a=7或a=-7。若a=7，则|a|=7，|a|>a即7>7，不成立，舍去。若a=-7，则|a|=7，|a|>a即7>-7，成立。所以a=-7。
【教师活动】第4题：若|a-3|=0，则|a+2024|=____。这道题考查绝对值为0的特殊情况。
【学生活动】思考：|a-3|=0，则a-3=0，a=3。所以|a+2024|=|3+2024|=|2027|=2027。
【知识点】性质应用关键点：(1)|a|=b(b≥0)时，a=±b，有两个解（除b=0外）；(2)若|a|=0，则a=0（唯一解）；(3)|a|>a成立时，a必定是负数（因为正数时|a|=a，|a|>a不成立）。
解题技巧：解绝对值方程的关键：|a|=b(b≥0)等价于a=±b。当b=0时，a=0（唯一）。当b>0时，a有两个值：b和-b。需要结合其他条件（如符号限制、不等式等）确定最终答案。
【过渡语】性质练习做完了，下面我们来看一道常考易错的例题，学习如何利用绝对值的几何意义来解题。
【例题精讲：例3 求绝对值等于7的数】（6分钟）
【教师活动】例3、求绝对值等于7的数。（常考易错）请同学们思考：绝对值等于7，从几何意义上看，是什么意思？
【学生活动】思考：绝对值等于7，就是到原点的距离为7的点。在数轴上，原点右侧距离为7的点表示7，原点左侧距离为7的点表示-7。所以有两个数：7和-7。
【教师活动】解：如图所示，到原点距离为7的点有2个，即表示7的点A和表示-7的点B，所以绝对值等于7的数是7和-7。注意：这道题体现了分类讨论的思想——原点右侧和原点左侧各有一个点。
【教师活动】变式：绝对值等于4的数是____；绝对值等于0的数是____。
【学生活动】回答：绝对值等于4的数是4和-4（两个解）；绝对值等于0的数是0（唯一解，因为0到原点的距离为0，只有原点这一个点）。
【知识点】求绝对值等于某数的数：若|a|=b(b>0)，则a=±b，有两个解；若|a|=0，则a=0，有唯一解。利用绝对值的几何意义（到原点的距离）来理解，可以避免漏解。
易错提示：常考易错点：求绝对值等于某正数的数时，容易漏掉负数解！例如：绝对值等于7的数是7和-7，不能只写7。只有绝对值等于0时，才只有一个解0。任何时候都要考虑原点两侧各有一个点（除0外）。
【过渡语】例题讲完了，下面我们通过一组练习来巩固绝对值的基本运算和性质。
【课堂练习：巩固与应用】（8分钟）
【教师活动】练习1 绝对值等于5的数是______。
【学生活动】回答：5或-5。
【教师活动】练习2 绝对值等于3的数是______。
【学生活动】回答：3或-3。
【教师活动】练习3 若|m|=3，且m<0，则m=______。
【学生活动】思考：|m|=3，则m=3或m=-3。又因为m<0，所以m=-3。
【教师活动】练习4 分别写出符合下列条件的所有数：（1）绝对值小于3.01的整数；（2）绝对值大于4且小于7的整数。
【学生活动】解：（1）绝对值小于3.01的整数：-3,-2,-1,0,1,2,3。（2）绝对值大于4且小于7的整数：-4,-5,-6,4,5,6。
【教师活动】练习5 化简：（1）+|-17|；（2）-|+6.1|；（3）-|-8.3|。
【学生活动】解：（1）原式=17；（2）原式=-6.1；（3）原式=-8.3。
【教师活动】练习6 绝对值等于本身的数是______；绝对值等于它的相反数的是______；绝对值大于它本身的是______。
【学生活动】思考：绝对值等于本身的数——正数的绝对值是它本身，0的绝对值也是0，所以是0和正数（非负数）。绝对值等于它的相反数——负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值也是0，所以是0和负数（非正数）。绝对值大于它本身——只有负数满足（因为正数时|a|=a，|a|>a不成立；0时|0|=0，|0|>0不成立）。
【知识点】练习总结：(1)求绝对值等于某数的数，注意±两个解；(2)绝对值小于a的整数，含0和对称的±整数；(3)绝对值化简：先算内层绝对值，再处理外层符号；(4)绝对值与本身的关系：非负数→等于本身，非正数→等于相反数，负数→绝对值大于本身。
重点强调：练习6是经典题型，需要从绝对值的性质出发进行推理：(1)|a|=a a≥0；(2)|a|=-a a≤0；(3)|a|>a a<0。这三个结论要牢记，是后续解决绝对值问题的关键工具。
【过渡语】基础练习大家都掌握了，下面我们挑战几道拓展题，进一步体会绝对值的非负性在解题中的应用。
【拓展提高：绝对值的非负性应用】（4分钟）
【教师活动】拓展练习1 已知|a-1|+|b-2|=0,则a+b的值为（ ）A.3 B.-3 C.1 D.2。请思考：两个绝对值之和为0，说明什么？
【学生活动】思考：因为|a-1|≥0，|b-2|≥0，且它们的和为0，所以|a-1|=0且|b-2|=0。则a-1=0，b-2=0，所以a=1，b=2。a+b=3，选A。
【教师活动】拓展练习2 已知a,b是有理数，且|a|=-a，|b|=b,|a|>|b|，若用数轴上的点来表示a，b，正确的是（ ）。请分析：由|a|=-a可以得出什么？
【学生活动】分析：|a|=-a，说明a≤0（非正数）。|b|=b，说明b≥0（非负数）。又因为|a|>|b|，即a到原点的距离大于b到原点的距离。在数轴上，a在原点左侧（或原点），b在原点右侧（或原点），且a离原点更远。选A。
【教师活动】拓展练习3 若|a|+|b|=0，求a、b的值。请写出完整的推理过程。
【学生活动】解：因为|a|≥0，|b|≥0，且|a|+|b|=0，则|a|=0，|b|=0，所以a=0，b=0。
【教师活动】结论：几个有理数的绝对值的和等于0，则这几个数都是0。这是由绝对值的非负性决定的——非负数之和为0，则每个非负数都必须为0。这个结论非常重要，在后续学习中会经常用到。
【知识点】绝对值的非负性应用：若|a|+|b|+…+|n|=0，则a=b=…=n=0。因为每个绝对值都是非负数，非负数之和为0，每个都必须为0。
重点强调：绝对值的非负性是解决“几个绝对值之和为0”类问题的关键。解题步骤：(1)写出每个绝对值≥0；(2)由和为0推出每个绝对值=0；(3)解每个绝对值=0的方程；(4)得出结论。这个模型在有理数、整式、方程中都有广泛应用。
【过渡语】拓展练习完成了，大家对绝对值的理解和应用已经非常深入。下面我们回顾本节课的知识框架。
【课堂小结：知识框架梳理】（1分钟）
【教师活动】学了本节课你有什么收获？谁来总结一下？
绝对值知识框架
【学生活动】回顾总结：学会了绝对值的概念——数轴上表示数a的点到原点的距离叫作a的绝对值，记作|a|。掌握了绝对值的性质——正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数。知道了绝对值具有非负性（|a|≥0）。还学会了利用绝对值的性质解决实际问题，如求绝对值等于某数的数、利用非负性求未知数的值。
【教师活动】总结得非常全面！我们来看知识框架图。本节课围绕“绝对值”，从三个方面展开：第一，定义——在数轴上，表示数a的点到原点的距离叫作数a的绝对值，记作|a|；第二，性质——正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数，即|a|=a(a>0),|a|=0(a=0),|a|=-a(a<0)；第三，非负性——|a|≥0，几个绝对值的和为0则每个数都为0。
【教师活动】特别提醒：(1)绝对值是“距离”，所以一定是非负数；(2)当a<0时，|a|=-a，这里的-a是正数；(3)绝对值等于某正数的数有两个（±），绝对值等于0的数只有一个（0）；(4)几个绝对值的和为0，则每个数都是0。
【知识点】本节课核心知识框架：1.定义——数轴上点到原点的距离，|a|；2.性质——|a|=a(a>0),|a|=0(a=0),|a|=-a(a<0)；3.非负性——|a|≥0；4.应用——求绝对值等于某数的数（分类讨论），非负性解方程。
重点强调：绝对值是后续学习有理数加减法、有理数大小比较的重要基础。记住三个核心点：(1)几何意义——到原点的距离；(2)代数性质——分段表示（正数、0、负数）；(3)非负性——|a|≥0。从“数”和“形”两个角度理解绝对值，是数形结合思想的重要体现！
四、板书设计
五、教学反思
1. 本节课学生哪些地方容易出错？
2. 哪些学生需要特别关注？
3. 教学时间分配是否合理？
4. 实验/探究环节是否达到预期效果？
5. 有哪些生成性问题？如何处理？
6. 下节课如何改进？

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