资源简介

课题 2.1 课时2 有理数的加法运算律
课型 新授课
课时 1课时
教材版本 青岛版数学七年级上册（2026-2027学年）
教学方法 探究发现法、练习法、讲练结合法、分类归纳法
教学用具 多媒体课件
一、核心素养目标
【数学抽象】通过类比小学加法运算律，理解加法交换律和结合律在有理数范围内仍然成立，体会数学知识的一致性和推广性，发展数学抽象能力
【逻辑推理】通过活动1和活动2的探究，经历从特殊到一般的归纳推理过程，验证加法运算律在有理数范围内成立，培养归纳推理能力
【数学运算】能灵活运用加法运算律简化有理数加法运算，掌握“相反数结合法”、“同号结合法”、“凑整结合法”等六种技巧，提高运算能力
【数学建模】能运用有理数加法运算律解决实际问题（如机器人移动、苹果称重等），体会数学建模思想
二、教学重难点
教学重点：有理数加法交换律和结合律的内容及其运用；利用加法运算律简化有理数加法运算的六种技巧
教学难点：灵活运用加法运算律简化运算，特别是多种技巧的综合运用（如同号结合+相反数结合+凑整结合）；在实际问题中正确选择凑整策略
三、教学过程
【回顾旧知，引入新课】（5分钟）
【教师活动】同学们，上节课我们学习了有理数的加法法则。请大家回忆一下，回答以下填空：(1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；(2)绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；(3)互为相反数的两个数相加得0；(4)一个数与0相加，仍得这个数。
【学生活动】回顾并回答有理数加法法则的四条内容，巩固上节课所学。
【教师活动】非常好！在小学阶段，我们学过加法交换律和加法结合律。谁能回忆一下这两个运算律的内容？
【学生活动】回忆：加法交换律——两个数相加，交换加数的位置，和不变，即a+b=b+a。加法结合律——三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，即(a+b)+c=a+(b+c)。
【教师活动】那么在有理数范围内，加法交换律和加法结合律还成立吗？今天我们就来探究这个问题。本节课有两个学习目标：第一，理解加法运算律在有理数范围内推广的合理性；第二，能用加法运算律简化计算，发展运算能力。
【过渡语】首先，我们通过活动1来探究加法交换律在有理数范围内是否成立。
【新知探究一：加法交换律在有理数范围内成立】（6分钟）
【教师活动】活动1：(1)比较每组中两个加数的位置及运算结果，能得到什么结论？①(-1)+(-2)=_________，(-2)+(-1)=_________；②(-3)+(+6.5)=_________，(+6.5)+(-3)=_________。
【学生活动】计算并回答：①(-1)+(-2)=-3，(-2)+(-1)=-3，结果相等；②(-3)+(+6.5)=3.5，(+6.5)+(-3)=3.5，结果相等。
【教师活动】再任取两个数相加，并交换加数的位置，还能得到相同的结论吗？请同学们自己举例验证。
【学生活动】举例验证：例如取(-5)+(+8)=3，(+8)+(-5)=3，结果相等。取(-2.5)+(-1.5)=-4，(-1.5)+(-2.5)=-4，结果相等。结论：任意两个有理数相加，交换加数的位置，和不变。
【知识点】加法交换律在有理数范围内成立：两个数相加，交换加数的位置，和不变。即a+b=b+a。
理解要点：加法交换律在有理数范围内的推广，体现了数学的“一致性”——从小学的正数扩展到有理数（包括正数、0、负数），运算律仍然成立。这为简化运算提供了工具：我们可以根据需要交换加数的位置，使计算更简便。
【过渡语】加法交换律在有理数范围内成立，下面我们继续探究加法结合律。
【新知探究二：加法结合律在有理数范围内成立】（5分钟）
【教师活动】活动2：(1)任取3个有理数a,b,c，如a=-2，b=5，c=-8，分别计算(a+b)+c与a+(b+c)。(2)再任取三个有理数a、b、c，分别计算(a+b)+c与a+(b+c)，还能得到相同的结论吗？
【学生活动】计算：(a+b)+c=[(-2)+5]+(-8)=3+(-8)=-5；a+(b+c)=(-2)+[5+(-8)]=(-2)+(-3)=-5。两次计算结果相同，都等于-5。
【教师活动】非常好！再任取三个数验证，比如a=-3，b=-4，c=7，结果也相同。通过探究，你能用简洁的语言描述活动1、活动2得到的结论吗？
【学生活动】归纳：在有理数范围内，加法交换律和加法结合律仍然成立。加法交换律：a+b=b+a。加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
【知识点】加法结合律在有理数范围内成立：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。即(a+b)+c=a+(b+c)。
重点强调：三个以上有理数相加，既可以根据需要交换加数的位置，也可以先把其中的几个数相加。加法交换律和结合律可以同时使用，灵活组合，以达到简化计算的目的。这是本节课的核心——用运算律简化运算！
【过渡语】运算律已经验证成立了，下面我们来看两道即时练习，检验对运算律的理解。
【即时练习：运算律辨析】（3分钟）
【教师活动】下面我们来做两道选择题，检验对加法运算律的理解。请同学们观察算式，判断运用了哪种运算律或运算技巧。
【教师活动】练习1：观察下列算式，选择正确的选项。
1．下列变形中，运用运算律正确的是 ( )
A．2+( 1)=1+2
B．3+( 2)+5=( 2+5) 3
C．[6+( 3)]+5=[6+( 5)]+3
D．1/3+( 2)+(+2/3)=(1/3+2/3)+( 2)
【学生活动】分析算式，判断运用了加法交换律还是结合律，选择D。
【教师活动】练习2：观察下列算式，选择正确的选项。
2．运用加法的运算律计算：(＋6)＋(－18)＋(＋4)＋(－6.8)＋18＋ (－3.2)最适当的是 ( )
A．[(＋6)＋(＋4)＋18]＋[(－18)＋(－6.8)＋(－3.2)]
B．[(＋6)＋(－6.8)＋(＋4)]＋[(－18)＋18＋(－3.2)]
C．[(＋6)＋(－18)]＋[(＋4)＋(－6.8)]＋[18＋(－3.2)]
D．[(＋6)＋(＋4)]＋[(－18)＋18]＋[(－3.2)＋(－6.8)]
【学生活动】分析算式，选择D。
【知识点】加法交换律和结合律的区别：交换律改变加数的位置（a+b→b+a），结合律改变运算顺序（(a+b)+c→a+(b+c)）。两者可以同时使用。
【过渡语】运算律辨析做完了，下面我们通过例题来学习如何运用运算律简化有理数加法运算。
【例题精讲：例1 运用运算律简化计算】（8分钟）
【教师活动】例1 计算：(1)(+23)+(-12)+(+7)。请同学们思考：如何运用运算律使计算更简便？
【学生活动】观察：三个加数分别是+23、-12、+7。+23和+7是同号（都为正），可以先相加得到+30，再加上-12。这样计算更简便。
【教师活动】解：(+23)+(-12)+(+7) = (+23)+(+7)+(-12) （加法交换律） = [(+23)+(+7)]+(-12) （加法结合律） = (+30)+(-12) = 18。
【教师活动】例1 计算：(2)(－1/3)＋(－5/2)＋(－2/3)＋(＋1/2).
请同学们仿照第(1)题的步骤，写出完整过程。
【学生活动】仿照第(1)题，先观察各加数的特点，运用加法交换律将同号或能凑整的数放在一起，再用加法结合律分组计算，最后用加法法则求结果。每一步标注依据（加法交换律/加法结合律/有理数加法法则）。
【知识点】运用运算律简化计算的步骤：(1)观察——找出能凑整、同号、互为相反数的加数；(2)交换——运用交换律调整顺序；(3)结合——运用结合律分组计算；(4)计算——运用加法法则求结果。每一步标注依据。
解题技巧：运用加法运算律简化计算的“四步法”：①观察各加数的特点（符号、绝对值、能否凑整）；②用交换律把能凑整或同号的数换到一起；③用结合律分组；④用加法法则计算结果。注意：每一步都要写出依据（交换律/结合律/法则），养成规范解题的习惯。
【过渡语】例题1讲完了，下面我们来看例2，这是一道实际应用题，看看运算律在解决实际问题中的妙用。
【例题精讲：例2 实际应用——机器人移动】（5分钟）
【教师活动】例2 在一次机器人测试中，机器人要从起点开始连续移动6次，移动要求依次为：前进0.6m，前进2.2m，后退1.6m，后退2.4m，前进2.8m，后退1.8m。机器人经过6次移动后，从起点前进(或后退)了多少米？
【学生活动】思考：规定前进为正，后退为负。将6次移动用有理数表示：+0.6，+2.2，-1.6，-2.4，+2.8，-1.8。然后相加求总位移。
【教师活动】解：规定前进为正，后退为负。由题意，得 (+0.6)+(+2.2)+(-1.6)+(-2.4)+(+2.8)+(-1.8)。请观察这些数，如何运用运算律简便计算？
【学生活动】观察：+0.6和-1.6互为相反数吗？不，0.6+1.6不等于0。但+0.6和-1.6相加大约是-1。+2.2和+2.8同号可以凑整为5。(-2.4)+(-1.8)同号可以凑整为-4.2。运用运算律重新组合。
【教师活动】解：= [(+0.6)+(-1.6)]+[(+2.2)+(+2.8)]+[(-2.4)+(-1.8)] = (-1)+(+5)+(-4.2) = -0.2。所以，经过6次移动后，机器人从起点后退了0.2m。
【知识点】例2关键：(1)实际问题转化为数学算式——规定前进为正，后退为负；(2)运用运算律重新组合——把能凑整或同号的数放一起；(3)注意结果的符号——负号表示后退。
易错提示：例2中+0.6和-1.6不是互为相反数（0.6+1.6=2.2≠0），但将它们组合计算也能简化（-1）。关键是找到合适的组合策略：同号凑整（+2.2+2.8=5）、同号相加（-2.4-1.8=-4.2）、余下的组合（0.6-1.6=-1）。注意：组合策略不是唯一的，但目的都是简化计算。
【过渡语】例2做完了，下面我们系统总结一下加法运算律的应用技巧，帮助大家在做题时快速找到最佳策略。
【方法归纳：加法运算律应用六种技巧】（4分钟）
【教师活动】我们在哪些情况下考虑使用加法运算律呢？请同学们总结一下，有哪些常用的结合方法？
【学生活动】归纳：(1)互为相反数的两个数先相加；(2)符号相同的数先相加；(3)分母相同的数先相加；(4)几个数相加得到整数的先相加；(5)整数与整数、小数与小数相加；(6)带分数可拆成整数和真分数两部分来相加。
【教师活动】总结得非常全面！这六种方法分别称为：(1)相反数结合法——互为相反数相加得0，直接抵消；(2)同号结合法——符号相同的数先相加，减少符号变化；(3)同分母结合法——分母相同的分数先相加，便于通分；(4)凑整结合法——几个数相加能得到整数的先相加；(5)同形结合法——整数与整数，小数与小数分别相加；(6)拆项结合法——带分数拆成整数和真分数两部分来相加。
【知识点】加法运算律应用六种技巧：(1)相反数结合法；(2)同号结合法；(3)同分母结合法；(4)凑整结合法；(5)同形结合法；(6)拆项结合法。灵活运用这些技巧，可以大幅简化有理数加法运算。
重点强调：六种技巧的使用顺序建议：①先看有没有互为相反数的（直接抵消为0）；②再看有没有同号的（减少符号变化）；③再看有没有能凑整的（凑成整数好算）；④再看有没有同分母的（省去通分）；⑤最后看整数和小数分开、带分数拆项。灵活运用，不拘泥于顺序。
【过渡语】六种技巧都总结出来了，下面我们通过练习来巩固运算律的应用。
【课堂练习：巩固与应用】（8分钟）
【教师活动】练习1 计算：请同学们运用刚学的六种技巧，选择合适的结合方法进行计算。
-20.75++( 4)+19
3+( 2)+5+( 8)
【学生活动】运用运算律，选择合适的结合方法进行计算。观察各加数的特点，选择相反数结合、同号结合、凑整结合等策略。
解：(1)原式= [-20.75+( 4)]+(+19)
=-25+20
=-5
(2)原式= (3+5)+[( 2)+( 8)]
= 9+(-11)
=-2
【教师活动】练习2 计算：请同学们写出完整的计算过程。
【学生活动】运用加法运算律，将能凑整或同号的数先结合，写出完整计算过程。
【教师活动】练习3 10筐苹果，以每筐30千克为基准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，记录如下：2，-4，2.5，3，-0.5，1.5，3，-1，0，-2.5。问这10筐苹果总共重多少千克？
【学生活动】解：根据题意得：2+(-4)+2.5+3+(-0.5)+1.5+3+(-1)+0+(-2.5) = (2+3+3)+(-4)+[2.5+(-2.5)]+[(-0.5)+(-1)+1.5] = 8+(-4) = 4。30×10+4=304（千克）。答：这10筐苹果总重量为304千克。
【知识点】练习总结：(1)练习3综合运用了同号结合法（2+3+3=8）、相反数结合法（2.5+(-2.5)=0）、凑整结合法等多种技巧；(2)最后用基准数乘以数量加上超出部分的代数和，得到总重量。这是“基准数法”的实际应用。
重点强调：练习3是“基准数法”的经典应用：先求超出（或不足）部分的代数和，再与基准总量相加。解题步骤：(1)列出所有超出/不足的数值；(2)运用运算律简化计算求代数和；(3)基准数×个数+代数和=总重量。注意：代数和为正表示超出，为负表示不足。
【过渡语】练习做完了，大家对运算律的应用已经非常熟练了。下面我们回顾本节课的知识框架。
【课堂小结：知识框架梳理】（1分钟）
【教师活动】学了本节课你有什么收获？谁来总结一下？
【学生活动】回顾总结：学会了有理数加法运算律——加法交换律（a+b=b+a）和加法结合律（(a+b)+c=a+(b+c)），它们在有理数范围内仍然成立。掌握了运用运算律简化计算的六种技巧：相反数结合法、同号结合法、同分母结合法、凑整结合法、同形结合法、拆项结合法。还学会了运用运算律解决实际问题。
【教师活动】总结得非常全面！本节课围绕两个核心内容：第一，有理数加法交换律和加法结合律——a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)，在有理数范围内仍然成立；第二，有理数加法运算律的应用技巧——六种结合法，帮助我们灵活简化计算。
【教师活动】特别提醒：(1)加法交换律和结合律可以同时使用，三个以上有理数相加时，既可以根据需要交换加数的位置，也可以先把其中的几个数相加；(2)六种结合法的核心思想是“凑整”和“抵消”——能凑成整数的先凑，能抵消（相反数）的先抵消；(3)计算时一定要标注依据，养成规范解题的习惯。
【知识点】本节课核心知识框架：1.加法运算律——交换律a+b=b+a，结合律(a+b)+c=a+(b+c)；2.应用技巧——相反数结合法、同号结合法、同分母结合法、凑整结合法、同形结合法、拆项结合法；3.核心思想——“凑整”与“抵消”。
重点强调：本节课是后续学习有理数减法、加减混合运算和有理数乘法的基础。运算律是“巧算”的工具，掌握了六种结合技巧，就能在复杂的有理数运算中快速找到最简计算路径。记住核心口诀：“相反数先抵消，同号数先合并，凑整优先算，分母同先行。”
四、板书设计
五、教学反思
1. 本节课学生哪些地方容易出错？
2. 哪些学生需要特别关注？
3. 教学时间分配是否合理？
4. 实验/探究环节是否达到预期效果？
5. 有哪些生成性问题？如何处理？
6. 下节课如何改进？

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