资源简介

课题 2.2 课时2 有理数的乘法运算律
课型 新授课
课时 1课时（45分钟）
教材版本 青岛版（2024版）
教学方法 探究式教学法、讲练结合法
教学用具 PPT课件、多媒体
一、核心素养目标
数学抽象
通过探究活动，抽象概括出有理数乘法运算律
理解乘法交换律、结合律、分配律的字母表达式
逻辑推理
通过具体计算发现规律，经历归纳推理的过程
运用乘法运算律进行简便运算，培养推理能力
数学建模
能用字母表示乘法运算律，体会符号化思想
运用运算律简化有理数乘法运算
数学运算
熟练运用乘法运算律进行有理数乘法运算
掌握多个有理数相乘时积的符号法则
二、教学重难点
教学重点：有理数乘法运算律（交换律、结合律、分配律）及其应用
教学难点：灵活运用乘法运算律简化运算；多个有理数相乘的符号法则
三、教学过程
【复习回顾，引入新课】（3分钟）
【教师活动】同学们，上节课我们学习了有理数的乘法法则，请大家回顾一下：两数相乘的法则是什么？
【学生活动】两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0相乘都得0。
【教师活动】很好！在小学阶段，我们学过乘法的运算律，包括乘法交换律、乘法结合律和乘法分配律。那么，这些运算律在有理数范围内是否仍然成立呢？今天我们就来探究这个问题。
【过渡语】下面，我们先通过具体的计算来验证乘法交换律在有理数范围内是否成立。
【知识点】有理数乘法法则回顾
【知识点】小学乘法运算律回顾
【探究乘法交换律】（5分钟）
【教师活动】请同学们计算以下两组算式，比较每组中两个因数的位置和运算结果，你能得到什么结论？
【教师活动】第一组：① (-2)“×”(-6)＝________；② (-6)“×”(-2)＝________。
【学生活动】(-2)“×”(-6)＝12，(-6)“×”(-2)＝12，两个算式的结果相等。
【教师活动】再任取两个数相乘，并交换因数的位置，还能得到相同的结论吗？请同学们自己举例验证。
【学生活动】例如：(-3)“×”5＝-15，5“×”(-3)＝-15，结果相同。
【教师活动】通过以上计算，我们发现：在有理数范围内，交换两个因数的位置，积不变。这就是乘法交换律。
通过具体计算让学生自主发现规律，培养归纳概括能力。
【知识点】乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即a×b＝b×a
提示：乘法交换律在有理数范围内仍然成立，与小学阶段一致。交换律只改变因数的顺序，不改变运算结果。
【探究乘法结合律】（5分钟）
【教师活动】接下来，我们探究乘法结合律。任取三个有理数a、b、c（至少有一个负数），分别计算(a×b)×c与a×(b×c)，能得到什么结论？
【教师活动】请计算：[3×(-5)]×(-2)＝________；3×[(-5)×(-2)]＝________。
【学生活动】[3×(-5)]×(-2)＝(-15)×(-2)＝30；3×[(-5)×(-2)]＝3×10＝30，结果相等。
【教师活动】再计算一组：[(-4)×(-2)]×(-3)＝________；(-4)×[(-2)×(-3)]＝________。
【学生活动】[(-4)×(-2)]×(-3)＝8×(-3)＝-24；(-4)×[(-2)×(-3)]＝(-4)×6＝-24，结果也相等。
【教师活动】由此，我们可以得出结论：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。这就是乘法结合律。三个以上有理数相乘，可以根据需要交换因数的位置，也可以先把其中的几个数相乘。
通过两组计算验证，让学生确信乘法结合律在有理数范围内成立。
【知识点】乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等，即(a×b)×c＝a×(b×c)
提示：多个有理数相乘时，可以灵活运用交换律和结合律，先凑整或先约分，使计算简便。
【探究乘法对加法的分配律】（5分钟）
【教师活动】最后，我们探究乘法对加法的分配律。任取三个有理数a、b、c，计算(a＋b)×c与a×c＋b×c，能得到什么结论？
【教师活动】请计算：(-2)×[(-3)＋4]＝________；(-2)×(-3)＋(-2)×4＝________。
【学生活动】(-2)×[(-3)＋4]＝(-2)×1＝-2；(-2)×(-3)＋(-2)×4＝6＋(-8)＝-2，结果相等。
【教师活动】由此，我们得到：一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。这就是乘法对加法的分配律。
通过具体计算验证分配律在有理数范围内的正确性。
【知识点】乘法对加法的分配律：一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加，即a×(b＋c)＝a×b＋a×c
提示：分配律中的“分配”是指把因数a分别与b和c相乘，注意符号不要出错。a×(b-c)＝a×b-a×c也成立。
【概括三大运算律】（2分钟）
【教师活动】通过以上探究，我们确认了小学学过的乘法运算律在有理数范围内仍然成立。下面我们一起来概括一下：
【教师活动】乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即a×b＝b×a。
【教师活动】乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等，即(a×b)×c＝a×(b×c)。
【教师活动】乘法对加法的分配律：一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加，即a×(b＋c)＝a×b＋a×c。
【过渡语】掌握了这三个运算律，下面我们通过例题来看看如何灵活运用它们来简化计算。
【知识点】乘法交换律：a×b＝b×a
【知识点】乘法结合律：(a×b)×c＝a×(b×c)
【知识点】乘法分配律：a×(b＋c)＝a×b＋a×c
提示：三大运算律是进行有理数简便运算的基础，必须熟练掌握字母表达式和具体运用方法。
【例1精讲——运用交换律和结合律】（5分钟）
【教师活动】请同学们看例1：计算 (-3/4)×5×4/3×2。
【教师活动】这道题有四个因数，如果直接按顺序从左到右计算，会比较麻烦。我们观察一下这些因数，有没有什么特点？
【学生活动】-3/4和4/3互为倒数，相乘得-1，可以先算。
【教师活动】非常好！所以我们先利用乘法交换律，把4/3移到-3/4的旁边。然后利用乘法结合律，把(-3/4)×4/3和5×2分别结合起来计算。
【教师活动】解：(-3/4)×5×4/3×2
＝(-3/4)×4/3×5×2（乘法交换律）
＝[(-3/4)×4/3]×(5×2)（乘法结合律）
＝(-1)×10
＝-10
通过例1演示如何利用交换律和结合律，将互为倒数的因数配对，简化计算。
【知识点】运用乘法交换律和结合律简化计算
【知识点】互为倒数的因数可配对相乘得±1
提示：观察因数中是否有互为倒数的分数（如3/4和4/3），或乘积为整十整百的数，优先配对计算。
【探究多个有理数相乘的符号法则】（5分钟）
【教师活动】接下来，我们来探究多个有理数相乘时，积的符号有什么规律。请写出下列算式的结果，与例1相比较，你能发现什么规律？
【教师活动】第一组：1×(-2)×(-5)＝________
【学生活动】1×(-2)×(-5)＝10。这里有2个负因数，积为正。
【教师活动】第二组：(-1)×2×(-5)＝________
【学生活动】(-1)×2×(-5)＝10。这里也有2个负因数，积为正。
【教师活动】第三组：(-1)×(-2)×(-5)＝________
【学生活动】(-1)×(-2)×(-5)＝-10。这里有3个负因数，积为负。
【教师活动】观察这三组算式，你能发现什么规律？
【学生活动】当负因数的个数为偶数时，积为正；当负因数的个数为奇数时，积为负。
【教师活动】总结得非常准确！这就是多个有理数相乘的符号法则：几个非零数相乘，积的符号取决于负因数的个数。当负因数的个数为奇数时，积为负；当负因数的个数为偶数时，积为正。简记为“奇负偶正”。注意：如果有一个因数为0，则积为0。
通过三组算式的对比，让学生自主发现符号规律，培养归纳概括能力。
【知识点】多个有理数相乘的符号法则：奇负偶正
【知识点】负因数的个数为奇数→积为负
【知识点】负因数的个数为偶数→积为正
【知识点】有一个因数为0→积为0
提示：多个有理数相乘的步骤：一观察（确定符号），二确定（判断负因数个数），三求积（将绝对值相乘）。简记为“先定号，再求值”。
提示：判断符号时只看负因数的个数，正因数不影响符号。0乘以任何数都得0，无需判断符号。
【例2精讲——多个有理数相乘】（4分钟）
【教师活动】请同学们看例2：计算 (-2/15)×(-36/5)×(-25/24)。
【教师活动】这道题有三个因数，都是负数。按照我们刚学的符号法则，三个负因数，积的符号是什么？
【学生活动】负因数的个数为3，是奇数，所以积为负。
【教师活动】很好！确定积的符号为负后，再将绝对值相乘，并进行约分。
【教师活动】解：(-2/15)×(-36/5)×(-25/24)
＝- (2/15 × 36/5 × 25/24)
＝-1
通过例2演示多个有理数相乘的解题步骤：先定号，再约分求值。
【知识点】多个有理数相乘的解题步骤：先判断符号，再约分计算
提示：多个分数相乘时，先确定符号，然后将分子分母分别相乘，约分后再计算，比逐次相乘更简便。
【例3精讲——运用分配律】（4分钟）
【教师活动】请同学们看例3：计算 36×(1/4 - 7/9 + 5/12)。
【教师活动】观察这道题，括号内是三个异分母分数的加减运算，如果先通分再乘36，计算量较大。有没有更简便的方法？
【学生活动】可以用乘法分配律，把36分别与括号内的每一项相乘。
【教师活动】非常好！因为36恰好是4、9、12的公倍数，用分配律后每一项都能约分成整数，可以大大简化计算。
【教师活动】解：36×(1/4 - 7/9 + 5/12)
＝36×1/4 - 36×7/9 + 36×5/12
＝9 - 28 + 15
＝-4
通过例3演示如何利用分配律将分数运算转化为整数运算，简化计算。
【知识点】运用乘法分配律简化计算
【知识点】选择适当的方法（正向或逆向使用分配律）
提示：当括号外的因数恰好是括号内各分母的公倍数时，优先使用分配律，可以避免通分。
提示：使用分配律时，注意括号内各项的符号：a×(b-c+d)＝a×b-a×c+a×d。
【课堂练习，巩固提高】（8分钟）
【教师活动】下面我们通过练习来巩固今天所学的知识。
【教师活动】练习1：在计算 -2.5×(-4)×7×(-9/35)＝[-2.5×(-4)]×[7×(-9/35)]＝10×(-9/5)＝-18中，用到的乘法运算律是（ ）
A. 乘法交换律 B. 乘法结合律 C. 乘法分配律 D. 乘法分配律的逆运算
【学生活动】选B。原式改变了因数的组合方式，将-2.5与-4结合，7与(-9/35)结合，用的是乘法结合律。
【教师活动】练习2：下列各式乘积的符号为正的是（ ）
A. (-3)×2×5×(-4)×(-1)
B. (-5)×(-4)×3×(-2)×1
C. (-5)×(-4)×(-3)×(-2)×(-1)
D. (-2)×(-3)×(-4)×5×(-1)
【学生活动】选D。A有3个负因数（积为负），B有3个负因数（积为负），C有5个负因数（积为负），D有4个负因数（积为正）。
【教师活动】练习3：计算
(1) (-4)×5×(-0.25)
(2) 7 × (-5) + 7 × (-7 ) - 12 × 7
【教师活动】请两位同学上台板演。
【学生活动】解：(1) (-4)×5×(-0.25)＝[(-4)×(-0.25)]×5＝1×5＝5
解：(2) 7 × (-5) + 7 × (-7 ） - 12 ×7
＝7 × [(-5) - 7 - 12]
＝22/3 × (-24)
＝-176
【教师活动】练习4：用简便方法计算
(1) (-1/12 - 1/36 + 1/6)×(-36)
(2) (-99 )×24
【学生活动】解：(1) 原式＝(-1/12)×(-36) - 1/36×(-36) + 1/6×(-36)＝3 + 1 - 6＝-2
解：(2) 原式＝(-100 + 1/12)×24＝-100×24 + 1/12×24＝-2400 + 2＝-2398
通过分层练习巩固乘法运算律和符号法则，从判断运算律到符号判断，再到简便计算，层层递进。
【知识点】练习1：乘法结合律的应用
【知识点】练习2：多个有理数相乘的符号判断
【知识点】练习3：综合运用运算律
【知识点】练习4：简便计算方法
提示：练习4(2)中，将-99 转化为(-100+1/12)是简便计算的关键，利用“凑整”思想。
【课堂小结】（2分钟）
【教师活动】本节课我们学习了什么内容？请同学们回顾一下。
【学生活动】我们学习了有理数的乘法运算律：乘法交换律a×b＝b×a，乘法结合律(a×b)×c＝a×(b×c)，乘法分配律a×(b＋c)＝a×b＋a×c。
【学生活动】还学习了多个有理数相乘的符号法则：奇负偶正。
【教师活动】总结得很好！本节课我们主要学习了两大内容：一是有理数乘法运算律，二是多个有理数相乘的积的符号法则。在计算时，要灵活运用运算律简化计算，注意先判断符号再求值。
【知识点】有理数乘法运算律（交换律、结合律、分配律）
【知识点】多个有理数相乘的符号法则（奇负偶正）
四、板书设计
五、教学反思
1. 本节课学生哪些地方容易出错？
2. 哪些学生需要特别关注？
3. 教学时间分配是否合理？
4. 实验/探究环节是否达到预期效果？
5. 有哪些生成性问题？如何处理？
6. 下节课如何改进？

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