资源简介

课题 2.2 课时1 有理数的乘法
课型 新授课
课时 1课时
教材版本 青岛版数学七年级上册（2026-2027学年）
教学方法 情境教学法、探究发现法、类比归纳法、讲练结合法
教学用具 多媒体课件、直尺
一、核心素养目标
【数学抽象】通过观察(+2)×3=+6、(-2)×3=-6等算式，从“相反数”的变化规律中归纳出有理数乘法法则，发展数学抽象能力
【逻辑推理】经历探索有理数乘法法则的过程，通过观察因数变化引起积的变化规律，类比归纳出“同号得正、异号得负”的法则，培养归纳推理能力
【数学运算】能熟练运用有理数乘法法则进行运算，掌握“一观察、二确定、三求积”的三步法，提高运算能力
【数学建模】能将实际问题（如小莹的收支情况）转化为有理数乘法算式，体会数学建模思想
二、教学重难点
教学重点：有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘，积仍得0
教学难点：两个负数相乘得正数（(-2)×(-3)=+6）的理解——为什么负负得正；倒数概念的理解——正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数
三、教学过程
【回顾旧知，引入新课】（4分钟）
【教师活动】同学们，在小学阶段，我们已经学习了自然数、小数及分数的乘法运算。比如3×2=6，2.5×4=10，这些乘法运算大家都非常熟悉了。引入负数后，如何进行有理数的乘法运算？比如(-2)×3等于多少？(-2)×(-3)又等于多少？
【学生活动】思考：引入负数后，乘法运算出现了负数乘正数、负数乘负数等新情况，小学学过的乘法法则需要重新审视和扩展。
【教师活动】今天我们就来学习——有理数的乘法。本节课有两个学习目标：第一，经历探索有理数乘法法则的过程，提高自主探索、归纳和概括的能力；第二，熟练运用有理数乘法法则进行运算。
【过渡语】首先，我们从小莹的收支情况出发，用实际情境来理解有理数乘法。
【探究一：正数乘正数——(+2)×3=+6】（5分钟）
【教师活动】观察与发现：(1)小莹连续3次投放可回收物，每次收入2元，共收入多少元？每次收入2元，记作+2元。连续3次投放可回收物收入6元，记作+6元。用算式表示为：(+2)×3=+6 ①。
【学生活动】理解：(+2)×3=+6，这和小学学过的2×3=6是一样的。正数乘正数，结果为正数，把绝对值相乘。
【教师活动】这个运算也可以用数轴表示。从原点出发，向右移动2个单位，重复3次，最终到达+6的位置。
【学生活动】观察数轴：正数乘正数，在数轴上表现为向右重复移动，结果为正数。这是小学已学内容，在此巩固。
【知识点】正数乘正数：积为正数，绝对值相乘。即(+2)×(+3)=+6。这和小学乘法一致。
【过渡语】正数乘正数我们会了，下面来看负数乘正数——支出2元，连续3次，结果是多少？
【探究二：负数乘正数——(-2)×3=-6】（5分钟）
【教师活动】观察与发现：(2)小莹连续3次购买文具，每次支出2元，共支出多少元？每次支出2元，记作-2元。连续3次购买文具支出6元，记作-6元。用算式表示为：(-2)×3=-6 ②。
【学生活动】理解：(-2)×3=-6，负数乘正数，结果为负数，把绝对值相乘（2×3=6，添负号）。这和加法(-2)+(-2)+(-2)=-6也是一致的。
【教师活动】这个运算也可以用数轴表示。从原点出发，向左移动2个单位，重复3次，最终到达-6的位置。负数乘正数，在数轴上表现为向左重复移动，结果为负数。
【知识点】负数乘正数：积为负数，绝对值相乘。即(-2)×3=-(2×3)=-6。负数乘正数可以理解为负数的连加。
理解要点：(-2)×3可以理解为3个(-2)相加，即(-2)+(-2)+(-2)=-6。这和加法法则一致——同号负数相加，结果为负。所以有理数乘法和加法是有内在联系的。
【过渡语】负数乘正数掌握了，下面我们通过观察更多算式来发现有理数乘法的规律。
【探究三：发现规律，归纳有理数乘法法则】（8分钟）
【教师活动】思考与交流：(1)观察①②，你发现了什么规律？①(+2)×3=+6；②(-2)×3=-6。从①到②，因数从+2变为-2（相反数），积从+6变为-6（相反数）。
【学生活动】发现规律：一个因数变成它的相反数时，积也变成原来的相反数。即：因数变化为相反数，积也变化为相反数。
【教师活动】(2)类似地，算一算：2×(-3)=？(-2)×0=？
【学生活动】计算：2×(-3)=-6（正数乘负数，积为负）；(-2)×0=0（任何数与0相乘得0）。
【教师活动】(3)按照这种规律，你能算出(-2)×(-3)等于多少吗？从(-2)×3=-6出发，因数从3变为-3（相反数），积从-6变为+6（相反数）。所以(-2)×(-3)=+6。
【学生活动】理解：(-2)×(-3)=+6。两个负数相乘，负负得正！因为一个因数变成相反数，积也变成相反数。从(-2)×3=-6，把3变成-3（相反数），则-6变成+6（相反数）。所以(-2)×(-3)=+6。
【教师活动】(4)举几个类似的算式，归纳有理数的乘法法则。请同学们自己举例验证。
【学生活动】举例：(-3)×(-4)=+12，(-5)×(-2)=+10，(-1)×(-1)=+1。验证：两个负数相乘，积为正数，把绝对值相乘。
【教师活动】概括与表达——有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0相乘，积仍得0。
【知识点】有理数乘法法则：(1)同号得正——两数同号（正正或负负），积为正，绝对值相乘；(2)异号得负——两数异号（正负或负正），积为负，绝对值相乘；(3)任何数与0相乘，积为0。
易错提示：两个负数相乘得正数，是初学者最容易困惑的地方。理解方法：从(-2)×3=-6出发，把因数3变成它的相反数-3，积也变成相反数，从-6变成+6。所以(-2)×(-3)=+6。口诀：“负负得正”是最简洁的概括，但一定要理解背后的道理——因数变相反数，积也变相反数。
解题技巧：有理数乘法运算三步法：“一观察，二确定，三求积”。第一步：观察两个因数的符号（同号还是异号？是否含0？）；第二步：确定积的符号（同号得正，异号得负，有0则得0）；第三步：求积——把绝对值相乘得到数值。按这个步骤，有理数乘法运算就不会出错。
【过渡语】法则总结出来了，下面我们通过例题来学习如何应用有理数乘法法则。
【例题精讲：例1 有理数乘法计算】（6分钟）
【教师活动】例1 计算：(1)(-4)×(-6)；(2)2.5×(-4)。请同学们按照“一观察、二确定、三求积”的步骤来解答。
【学生活动】(1)观察：两个因数都是负数（同号）。确定符号：同号得正。求积：4×6=24。所以(-4)×(-6)=+24=24。(2)观察：2.5是正数，-4是负数（异号）。确定符号：异号得负。求积：2.5×4=10。所以2.5×(-4)=-10。
【教师活动】解：(1)(-4)×(-6)=+(4×6)=24。（同号两数相乘，积的符号为正，并把绝对值相乘）
【教师活动】解：(2)2.5×(-4)=-(2.5×4)=-10。（异号两数相乘，积的符号为负，并把绝对值相乘）
【知识点】例1关键：(1)同号得正，负负得正——(-4)×(-6)=24；(2)异号得负，正负得负——2.5×(-4)=-10。注意书写格式：先写括号，括号内写绝对值相乘，括号前写符号。
重点强调：例1(1)(-4)×(-6)的书写格式：=+(4×6)=24。注意：第一步写成+（4×6），括号前标出正号，括号内写绝对值相乘。不要跳步，养成规范书写的好习惯。第二步再把+号省略，直接写24。
【过渡语】例题讲完了，下面我们来看乘法归纳表，系统总结有理数乘法的各种情况。
【归纳总结：乘法算式归纳表】（3分钟）
【教师活动】我们来看乘法算式归纳表，将各种情况系统归类。请同学们观察表格，填出因数特征和积的特征。
【学生活动】观察表格：(+2)×(+3)=+6，因数特征：同号，积的特征：正；(-2)×(-3)=+6，因数特征：同号，积的特征：正；(+2)×(-3)=-6，因数特征：异号，积的特征：负；(-2)×(+3)=-6，因数特征：异号，积的特征：负；(+2)×0=0，因数特征：一个因数为0，积的特征：0；0×(-3)=0，因数特征：一个因数为0，积的特征：0。
【知识点】乘法分类归纳：(1)同号→正（正正得正，负负得正）；(2)异号→负（正负得负，负正得负）；(3)有0→0。
【过渡语】归纳完乘法法则，我们再来学习一个与乘法密切相关的新概念——倒数。
【新知拓展：倒数的概念】（5分钟）
【教师活动】观察练习中的几道题：(-1/2)×(-2)=1，(-12)×(-1/12)=1，(-2)×(-1/2)=1。这些算式有什么共同特点？
【学生活动】观察发现：每组两个数相乘，积都是1。(-1/2)×(-2)=1，(-12)×(-1/12)=1，(-2)×(-1/2)=1。
【教师活动】小学数学中，乘积是1的两个数互为倒数。在有理数范围内，倒数同样适用——乘积是1的两个有理数互为倒数。
【教师活动】注意以下四点：(1)正数的倒数是正数，负数的倒数是负数；(2)分数的倒数是分子与分母颠倒位置；(3)求小数的倒数，先化成分数，再求倒数；(4)0没有倒数。
【学生活动】理解记忆：正数的倒数还是正数（如2的倒数是1/2），负数的倒数还是负数（如-2的倒数是-1/2）。0没有倒数，因为找不到一个数与0相乘得1。
【知识点】倒数定义：乘积是1的两个有理数互为倒数。a的倒数是1/a（a≠0）。注意：(1)正数的倒数是正数；(2)负数的倒数是负数；(3)分数求倒数：分子分母颠倒；(4)小数求倒数：先化成分数；(5)0没有倒数。
易错提示：关于倒数的四个易错点：(1)负数的倒数也是负数，如-2的倒数是-1/2，不是1/2；(2)求小数的倒数必须先把小数化为分数，如0.5=1/2，倒数是2；(3)0没有倒数，因为0乘以任何数都得0，不可能得1；(4)倒数等于本身的数是1和-1，不要遗漏-1。
【过渡语】法则和倒数都学完了，下面我们通过练习来巩固有理数乘法的运算。
【课堂练习：巩固与应用】（8分钟）
【教师活动】练习1：计算下列各题。(1)(-3.6)×(-2)=？(2)(+0.4)×(-125)=？(3)(-6)×(-1)=？(4)(-6)×0=？(5)6×(-2/3)=？(6)(-1/2)×(-2)=？(7)(-12)×(-1/12)=？(8)(-2)×(-1/2)=？
【学生活动】计算：(1)(-3.6)×(-2)=7.2（同号得正）；(2)(+0.4)×(-125)=-50（异号得负）；(3)(-6)×(-1)=6（同号得正）；(4)(-6)×0=0（任何数与0相乘得0）；(5)6×(-2/3)=-4（异号得负）；(6)(-1/2)×(-2)=1（同号得正，互为倒数）；(7)(-12)×(-1/12)=1（同号得正，互为倒数）；(8)(-2)×(-1/2)=1（同号得正，互为倒数）。
【教师活动】练习2 选择题：1.若ab>0，则必有( )
A.a>0,b>0 B.a<0,b<0 C.a>0,b<0 D.a>0,b>0或a<0,b<0。请思考：ab>0说明a和b的符号是什么关系？
【学生活动】分析：ab>0，说明积为正数。根据“同号得正”，所以a和b同号。a和b同号有两种情况：都为正，或都为负。所以选D。
【教师活动】练习2 2.若ab=0，则一定有( )A.a=b=0 B.a,b至少有一个为0 C.a=0 D.a,b最多有一个为0。请思考：积为0，说明什么？
【学生活动】分析：ab=0，积为0。根据“任何数与0相乘得0”，所以a和b中至少有一个为0。选B。不需要两个都为0，只要有一个为0，积就是0。
【教师活动】练习3 3.若ab=|ab|，则必有( )A.a与b同号 B.a与b异号 C.a与b中至少有一个等于0 D.以上都不对。这道题需要结合绝对值的性质来分析。
【学生活动】分析：ab=|ab|，说明积等于积的绝对值，即积是非负数。积为非负数，说明a和b同号或至少有一个为0（同号得正，正数等于其绝对值；有0则积为0，也等于其绝对值）。A只说了同号，漏了0的情况；B异号得负，不成立；C说至少有一个等于0，但同号也可以。所以A和C都不全面，选D。
【知识点】练习总结：(1)8道计算题涵盖了同号、异号、含0、倒数等多种情况；(2)3道选择题考查了对乘法法则符号规律的深入理解——ab>0 同号，ab=0 至少一个为0，ab=|ab| ab≥0 同号或至少一个为0。
重点强调：练习3中的ab=|ab|，可以转化为ab≥0。因为|ab|≥0，所以ab≥0。ab≥0的两种情况：(1)ab>0，即a和b同号；(2)ab=0，即a和b至少有一个为0。所以正确答案是“a与b同号，或a与b中至少有一个为0”，但选项中没有这个组合，所以选D（以上都不对）。这说明对符号规律的理解必须全面。
【过渡语】练习做完了，大家对有理数乘法法则的掌握非常好。下面我们回顾本节课的知识框架。
【课堂小结：知识框架梳理】（1分钟）
【教师活动】学了本节课你有什么收获？谁来总结一下？
【学生活动】回顾总结：学会了有理数乘法法则——两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0相乘，积仍得0。掌握了有理数乘法运算的三步法：一观察，二确定，三求积。还学习了倒数的概念——乘积是1的两个有理数互为倒数，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数。
【教师活动】总结得非常全面！本节课核心内容：1.有理数乘法法则——两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0相乘，积仍得0。步骤：一观察，二确定，三求积。2.倒数——乘积是1的两个有理数互为倒数。正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数。
【教师活动】特别提醒：(1)“负负得正”的本质——因数变相反数，积也变相反数；(2)运算时严格按照“一观察二确定三求积”的步骤，先定号再求值；(3)书写要规范，如(-4)×(-6)=+(4×6)=24；(4)0没有倒数，倒数是本身的数有1和-1；(5)ab>0 同号，ab=0 至少一个为0，ab<0 异号。
【知识点】本节课核心知识框架：1.乘法法则——同号得正，异号得负，绝对值相乘；2.运算步骤——一观察，二确定，三求积；3.倒数——乘积为1的两数互为倒数，0没有倒数；4.符号规律——ab>0 同号，ab=0 有0，ab<0 异号。
重点强调：有理数乘法是后续学习有理数除法、乘方和混合运算的基础。记住口诀：“同号得正，异号得负，绝对值相乘。有零则零，零无倒数。”符号规律要牢记：ab>0 a和b同号（都正或都负）；ab=0 a和b至少有一个为0；ab<0 a和b异号。这些规律在后续的不等式、方程中会经常用到。
四、板书设计
五、教学反思
1. 本节课学生哪些地方容易出错？
2. 哪些学生需要特别关注？
3. 教学时间分配是否合理？
4. 实验/探究环节是否达到预期效果？
5. 有哪些生成性问题？如何处理？
6. 下节课如何改进？

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