资源简介

课题 2.3 课时1 有理数的乘方
课型 新授课
课时 1课时（45分钟）
教材版本 青岛版（2024版）
教学方法 探究式教学法、讲练结合法
教学用具 PPT课件、多媒体
一、核心素养目标
数学抽象
通过正方形面积和正方体体积的计算，抽象出乘方运算的概念
理解乘方、底数、指数、幂等概念及其符号表示
逻辑推理
通过探究底数为负数的幂的符号规律，培养归纳推理能力
能运用乘方的符号规律进行推理判断
数学建模
能用乘方表示实际问题中的相同因数连乘
理解乘方运算与乘法运算的转化关系
数学运算
熟练进行有理数的乘方运算
能正确区分底数为负数的乘方与带负号的乘方运算
二、教学重难点
教学重点：乘方的概念（底数、指数、幂）及有理数乘方运算的符号规律
教学难点：底数为负数的乘方运算及符号判断；区分(-a)n与-an
三、教学过程
【情境导入，引入新概念】（4分钟）
【教师活动】同学们，前面我们学习了有理数的加减乘除运算。今天我们来认识一种新的运算——乘方。请看大屏幕，如图2.3-1，回答下列问题：
【教师活动】（1）怎样计算边长为7cm的正方形的面积？
【学生活动】正方形面积＝边长×边长，7×7＝49，即7 =49。
【教师活动】很好！7 读作“7的二次方”（或“7的平方”）。
【教师活动】（2）怎样计算棱长为5cm的正方体的体积？
【学生活动】正方体体积＝棱长×棱长×棱长，5×5×5＝125，即5 =125。
【教师活动】没错！5 读作“5的三次方”（或“5的立方”）。
【教师活动】观察这两个算式，7 是2个7相乘，5 是3个5相乘。它们都是相同因数的乘法。这种求几个相同因数积的运算，就是我们今天要学习的——乘方。
从学生熟悉的几何图形面积和体积计算出发，自然引出乘方概念，降低认知难度。
【知识点】7 ＝49（读作：7的二次方或7的平方）
【知识点】5 ＝125（读作：5的三次方或5的立方）
【知识点】相同因数的乘法可以简写为乘方
提示：乘方是相同因数乘法的简便写法。2个7相乘记作7 ，3个5相乘记作5 ，n个a相乘记作a 。
【探究乘方的表示方法】（4分钟）
【教师活动】请同学们思考：(-2)×(-2)×(-2)×(-2)×(-2)可以怎样简写？
【学生活动】可以记作(-2) 。
【教师活动】正确！读作什么？
【学生活动】读作“负二””五次方”，或“负二的五次幂”。
【教师活动】那么(-1/4)×(-1/4)×(-1/4)×(-1/4)可以记作什么？
【学生活动】记作(-1/4) ，读作“负四分之一的四次方”。
【过渡语】通过以上例子，我们来总结乘方的一般定义。
【知识点】(-2) 表示5个(-2)相乘
【知识点】(-1/4) 表示4个(-1/4)相乘
提示：底数为负数时，必须用括号括起来！(-2) 与-2 是不同的，前者底数是-2，后者底数是2。
【乘方的定义及结构】（5分钟）
【教师活动】一般地，n个相同的因数a相乘，即a×a×…×a（n个），记作a 。
【教师活动】在a 中，a叫作底数，n叫作指数。当a 看作a的n次方的结果时，也可读作a的n次幂。
【教师活动】请大家看这个表格，五种运算——加、减、乘、除、乘方，它们的结果分别叫什么？
【学生活动】加法的结果是和，减法的结果是差，乘法的结果是积，除法的结果是商，乘方的结果是幂。
【教师活动】注意：单独一个数可以看作这个数本身的一次方，如5就是5 ，指数1通常省略不写。
【教师活动】把乘方运算转化成乘法运算来完成——这是计算乘方的基本方法。
系统讲解乘方的定义、结构和读法，帮助学生建立完整的知识框架。
【知识点】乘方定义：a ＝a×a×…×a（n个a相乘）
【知识点】底数：a；指数：n；结果：幂
【知识点】运算结果名称：加→和、减→差、乘→积、除→商、乘方→幂
提示：注意区分“次方”与“次幂”的区别：看作运算时读“a的n次方”，看作结果时读“a的n次幂”。
提示：单独一个数可以看作本身的一次方，如5＝5 ，指数1通常省略不写。
【探究底数为负数的幂的符号规律】（6分钟）
【教师活动】请同学们思考：底数是负数的幂的符号与指数有什么关系？
【教师活动】算一算：2 ＝________；(-2) ＝________；(-2) ＝________；(-2) ＝________。
【学生活动】2 ＝4；(-2) ＝(-2)×(-2)×(-2)＝-8；(-2) ＝(-2)×(-2)×(-2)×(-2)＝16；(-2) ＝(-2)×(-2)×(-2)×(-2)×(-2)＝-32。
【教师活动】观察这些结果，你发现了什么规律？
【学生活动】当指数是偶数时，结果为4和16，都是正数；当指数是奇数时，结果为-8和-32，都是负数。
【教师活动】总结得非常准确！我们再来计算正数的幂：2 ＝2×2×2＝8，2 ＝2×2×2×2＝16，都是正数。
【教师活动】由此，我们可以归纳出幂的符号规律：①正数的任何次幂都是正数；②负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数；③0的任何正整数次幂都是0。
通过具体计算引导学生自主发现符号规律，培养归纳能力。
【知识点】2 ＝4
【知识点】(-2) ＝-8（奇次幂为负）
【知识点】(-2) ＝16（偶次幂为正）
【知识点】(-2) ＝-32（奇次幂为负）
【知识点】符号规律：奇负偶正
提示：负数的幂的符号规律：偶次幂得正，奇次幂得负。简记为“奇负偶正”。注意这个规律只适用于底数为负数的情况。
提示：判断符号时只看指数是奇数还是偶数，与指数的大小无关。(-2) 是正数，(-2) 是负数。
【例1精讲——基本乘方运算】（4分钟）
【教师活动】请同学们看例1：计算 (1) 0.4 ；(2) (-3) 。
【教师活动】第(1)题，0.4 表示2个0.4相乘。
【教师活动】解：(1) 0.4 ＝0.4×0.4＝0.16。正数的任何次幂都是正数。
【教师活动】第(2)题，(-3) 表示4个(-3)相乘。指数4是偶数，结果应为正数。
【教师活动】解：(2) (-3) ＝(-3)×(-3)×(-3)×(-3)＝81。负数的偶次幂是正数。
通过例1巩固基本乘方运算，并验证符号规律。
【知识点】例1(1): 0.4 ＝0.4×0.4＝0.16
【知识点】例1(2): (-3) ＝(-3)×(-3)×(-3)×(-3)＝81
提示：计算乘方时，先看底数的符号和指数的奇偶性，确定结果的符号，再计算绝对值。这样能避免符号错误。
【例2精讲——带负号的乘方运算】（5分钟）
【教师活动】请同学们看例2：计算 (1) -3 ；(2) -(-4) ；(3) -3 /4。注意：计算时注意不同形式的乘方所对应的不同底数。
【教师活动】第(1)题，-3 ，负号在3 的前面，底数是3，不是-3。先算3 ＝81，再加负号，结果为-81。
【教师活动】第(2)题，-(-4) ，括号内底数是-4，指数3是奇数，(-4) ＝-64。再加前面的负号，-(-64)＝64。
【教师活动】第(3)题，-3 /4，负号在外面，分子3 ＝9，分式＝9/4，再加负号，结果为-9/4。
【教师活动】通过例2，我们要特别注意区分(-a)^n与-a^n。前者底数是-a，后者底数是a，负号在乘方运算的外面。
通过例2重点区分(-a)n与-an的不同，这是学生最容易混淆的地方。
【知识点】例2(1): -3 ＝-(3×3×3×3)＝-81
【知识点】例2(2): -(-4) ＝-[(-4)×(-4)×(-4)]＝-(-64)＝64
【知识点】例2(3): -3 /4＝-(3×3)/4＝-9/4
【知识点】(-a)n与-an的区别：前者底数是-a，后者底数是a
提示：(-3) ＝9，但-3 ＝-9。区别在于底数不同：(-3) 底数是-3，-3 底数是3。这是考试中最常见的易错点！
提示：判断底数的方法：看指数写在谁的右上方。(-3) 的指数写在括号外面，底数是括号内的-3；-3 的指数写在3的右上方，底数只有3。
【探究与挑战——不等式与乘方】（4分钟）
【教师活动】下面我们进行一个探究与挑战：a、b都是有理数，如果a＞b，那么a 一定大于b 吗？a 一定大于b 吗？
【教师活动】请同学们分组讨论，举例验证。
【学生活动】对于a ：如果a＝3、b＝2，则a ＝9、b ＝4，a ＞b 成立；但如果a＝-2、b＝-3，则a ＝4、b ＝9，a ＜b 。所以a 不一定大于b 。
【学生活动】对于a ：a＝3、b＝2，则a ＝27、b ＝8，a ＞b ；a＝-2、b＝-3，则a ＝-8、b ＝-27，a ＞b 。所以a 一定大于b 。
【教师活动】分析得非常精彩！这是因为平方函数不具有单调性，而立方函数在全体实数上是严格递增的。大家要记住：奇次幂保持不等号方向，偶次幂不一定。
通过探究活动，加深学生对幂的符号规律的理解，同时渗透函数单调性的思想。
【知识点】a＞b时，a 不一定大于b （反例：a＝-2，b＝-3）
【知识点】a＞b时，a 一定大于b （立方函数严格递增）
提示：偶次幂不保持不等号方向，因为绝对值大的数其偶次幂也大。奇次幂保持不等号方向，因为奇次幂保持符号。
【课堂练习——基础检测】（5分钟）
【教师活动】现在进行基础检测。
【教师活动】1. (1) 在(-3/4) 中，看作乘方运算时，读作________；看作乘方运算的结果时，读作________。其中，底数是________，指数是________，幂是________。
【学生活动】看作运算时读作“负四分之三的三次方”；看作结果时读作“负四分之三的三次幂”。底数是-3/4，指数是3，幂是(-3/4) 。
【教师活动】1. (2) -11的底数是________，指数是________。
【学生活动】-11中，底数是11，指数是1。注意：-11＝-(11 )，底数是11不是-11。
【教师活动】2. 计算1 ＝________，1 ＝________，1 ＝________，你发现了什么？
【学生活动】1 ＝1，1 ＝1，1 ＝1。1的任何次幂都是1。
【教师活动】3. 计算(-1) ＝________，(-1) ＝________，(-1) ＝________。答：-1的偶次幂是________，-1的奇次幂是________。
【学生活动】(-1) ＝-1，(-1) ＝1，(-1) ＝-1。-1的偶次幂是1，-1的奇次幂是-1。
通过基础检测巩固乘方的基本概念，特别是读法、底数指数判断和1与-1的幂的特殊规律。
【知识点】(-3/4) 的底数是-3/4，指数是3
【知识点】-11的底数是11，指数是1
【知识点】1的任何次幂都是1
【知识点】-1的偶次幂是1，-1的奇次幂是-1
提示：1和-1的幂有特殊规律：1的任何次幂都是1；(-1)的偶次幂是1，(-1)的奇次幂是-1。这是常见的考点。
【课堂练习——拔高训练】（5分钟）
【教师活动】接下来进行拔高训练。
【教师活动】1. 11 表示（ ）
A. 11个8连乘 B. 11乘以8 C. 8个11连乘 D. 8个11相加
【学生活动】选C。11 表示8个11相乘，11是底数，8是指数。
【教师活动】2. 下列各对数中，数值相等的是（ ）
A. -3 与-2 B. -2 与(-2) C. -3 与(-3) D. (-3×2) 与-3×2
【学生活动】选B。-2 ＝-8，(-2) ＝-8，数值相等。A中-3 ＝-9，-2 ＝-8，不等；C中-3 ＝-9，(-3) ＝9，不等；D中(-3×2) ＝36，-3×2 ＝-12，不等。
【教师活动】3. 下列式子中，一定成立的是（ ）
A. 5 ＝(-5) B. 5 ＝(-5) C. -5 ＝|-5| D. (-5) ＝|(-5) |
【学生活动】选A。5 ＝25，(-5) ＝25，一定成立。B中5 ＝125，(-5) ＝-125，不等；C中-5 ＝-25，|-5| ＝25，不等；D中(-5) ＝-125，|(-5) |＝125，不等。
【教师活动】4. (-1/2) 的相反数是________。
【学生活动】(-1/2) ＝-1/8，其相反数是1/8。
【教师活动】5. 对于(-2) 与-2 ，下列说法正确的是（ ）
A. 它们的意义相同 B. 它们的结果相等 C. 它们的意义不同，结果相等 D. 它们的意义不同，结果不等
【学生活动】选D。(-2) ＝16，表示4个(-2)相乘；-2 ＝-16，表示2 的相反数。意义不同，结果也不等。
通过拔高训练，强化对幂的概念理解和符号判断能力，特别是区分(-a)^n与-a^n。
【知识点】11 表示8个11连乘
【知识点】-2 ＝(-2) ＝-8
【知识点】5 ＝(-5) ＝25
【知识点】(-1/2) 的相反数是1/8
【知识点】(-2) ＝16，-2 ＝-16，意义不同结果不等
提示：判断(-a)^n与-a^n是否相等，看n的奇偶性：n为偶数时不相等（符号相反），n为奇数时相等。
【复习巩固】（2分钟）
【教师活动】最后，请比较(-1/2) 与(1/4) 的大小。
【学生活动】(-1/2) ＝1/16，(1/4) ＝1/16，两者相等。
【教师活动】很好！这说明不同形式的乘方运算可能得到相同的结果。计算乘方时，要将乘方转化为乘法，准确计算。注意(-1/2) ＝(1/2) ＝1/16，因为偶次幂消去了负号。
【知识点】(-1/2) ＝(1/4) ＝1/16
【课堂小结】（2分钟）
【教师活动】本节课我们学习了什么内容？请同学们回顾一下。
【学生活动】学习了乘方的定义：n个相同的因数a相乘，记作a 。a叫底数，n叫指数，结果叫幂。
【学生活动】还学习了幂的符号规律：正数的任何次幂都是正数；负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数；0的任何正整数次幂都是0。
【学生活动】还学会了区分(-a)^n与-a^n：前者底数是-a，后者底数是a，结果不同。
【教师活动】总结得非常全面！本节课的四大核心：1.乘方的定义和结构；2.底数和指数的概念；3.读法（次方与次幂的区别）；4.幂的符号规律。其中，区分(-a)^n与-a^n是本节课最大的难点，也是考试中最容易出错的地方，大家一定要格外注意。
【知识点】乘方定义：a ＝a×a×…×a（n个a）
【知识点】底数、指数、幂的概念
【知识点】读法：次方（运算）vs 次幂（结果）
【知识点】符号规律：正数全正，负数奇负偶正，0的幂都是0
四、板书设计
五、教学反思
1. 本节课学生哪些地方容易出错？
2. 哪些学生需要特别关注？
3. 教学时间分配是否合理？
4. 实验/探究环节是否达到预期效果？
5. 有哪些生成性问题？如何处理？
6. 下节课如何改进？

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