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8.2 多边形的内角和与外角和（第二课时）
一、教学目标
理解并掌握多边形的外角和定理.
能运用多边形的外角和定理解决简单的计算问题.
体会将多边形问题转化为三角形问题的数学思想.
二、教学重点及难点
重点：多边形的外角和定理及其应用.
难点：多边形外角和定理的推导过程.
三、教学过程
【复习引入】
提问：n 边形的内角和等于多少度？（学生回答：(n-2)×180°）
什么是多边形的外角？（学生回答：多边形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做多边形的外角.）
一个多边形有多少个外角？（学生回答：n 边形有 2n 个外角，每个顶点处有两个相等的外角.）
设计意图：通过复习多边形内角和公式以及外角的概念，为新知识的学习做好铺垫，帮助学生建立新旧知识之间的联系.
【探究新知】
探究 1：四边形的外角和
教师展示四边形 ABCD 的图形，标出四个外角∠1、∠2、∠3、∠4.
提问：四边形的每个内角与它相邻的外角有什么关系？（学生回答：互为补角，和为 180°.）
引导学生计算：四边形的四个内角与四个外角的总和是多少？（学生计算：4×180°=720°）
再提问：四边形的内角和是多少？（学生回答：(4-2)×180°=360°）
那么四边形的外角和等于多少？（学生计算：720°-360°=360°）
探究 2：n 边形的外角和
教师引导学生按照同样的方法推导 n 边形的外角和：
n 边形的 n 个内角与 n 个外角的总和：n×180°
n 边形的内角和：(n-2)×180°
n 边形的外角和：n×180°-(n-2)×180°=n×180°-n×180°+360°=360°
教师总结：多边形的外角和定理：任意多边形的外角和都等于 360°.
强调：多边形的外角和与边数无关，恒为 360°.
【师生活动】学生先独立思考，然后小组讨论交流推导过程，最后由小组代表汇报结果，教师进行点评和总结.
设计意图：通过从特殊到一般的推导过程，让学生亲身经历多边形外角和定理的形成过程，培养学生的逻辑推理能力和数学归纳能力.
【典型例题】
例 1 一个多边形的每一个外角都等于 45°，这个多边形是几边形？它的每一个内角是多少度？
解：设这个多边形是 n 边形，根据多边形外角和定理得：
45°×n=360°
解得：n=8
每个内角的度数为：180°-45°=135°
答：这个多边形是八边形，它的每一个内角是 135°.
例 2 在一个多边形中，它的内角最多可以有几个是锐角？
解：因为多边形的外角和等于 360°，所以外角中最多有 3 个钝角（如果有 4 个钝角，外角和就会大于 360°）.
又因为内角与相邻的外角互为补角，所以内角中最多有 3 个锐角.
答：它的内角最多可以有 3 个是锐角.
【师生活动】学生先独立完成，然后在小组内讨论交流，最后教师展示规范的答题过程，并强调解题的关键步骤和注意事项.
设计意图：通过两个典型例题的讲解，让学生掌握多边形外角和定理的应用，提高学生运用所学知识解决实际问题的能力.
四、当堂检测
一个多边形的外角和是内角和的，这个多边形的边数为（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
正十边形的每一个外角的度数为（ ）
A. 36° B. 30° C. 144° D. 150°
若一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是（ ）
A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形
一个多边形的每个内角都等于 150°，则这个多边形的边数是（ ）
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
下列说法正确的是（ ）
A. 五边形的外角和是 540°
B. 多边形的外角和都等于 360°
C. 多边形的内角和都大于外角和
D. 多边形的边数越多，外角和越大
【师生活动】教师通过课件展示练习题，学生独立完成，然后教师进行批改和讲解，针对学生出现的问题进行重点辅导.
五、课堂小结
今天我们学习了哪些知识？
多边形的外角和定理：任意多边形的外角和都等于 360°.
多边形外角和定理的应用：求多边形的边数、求内角或外角的度数等.
数学思想：将多边形问题转化为三角形问题的转化思想.

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