资源简介

8.3.1 用相同的正多边形
一、教学目标
理解正多边形铺设地面的情形和条件.
会判断一种正多边形能否铺满地面.
二、教学重点及难点
重点：正多边形铺满地面的条件.
难点：运用内角和公式推导并判断哪些正多边形能铺满地面.
三、教学过程
【复习引入】
提问：正多边形的内角和公式是什么？正 n 边形的每个内角等于多少度？
展示生活中各种瓷砖铺设地面的图片，提出问题：为什么这些形状的瓷砖能铺满地面而不留一点空隙？实际生活中，它们的形状大多是正多边形，今天我们就来探究其中的奥秘.
设计意图：通过复习正多边形内角和知识，为新知识的学习做好铺垫；从学生熟悉的生活场景入手，激发学生的学习兴趣和探究欲望.
【探究新知】
探究 1：正多边形铺满地面的条件
提出问题：使用给定的某种正多边形，它能否铺满地面，既不留下一丝空白，又不相互重叠呢？
引导学生思考：这显然与正多边形的内角大小有关.
组织学生完成表格（结合课件展示）：
正多边形内角相关数据表
正多边形 边数 内角和（单位：°） 每个内角的度数（单位：°）
正三角形 3 180 60.0
正方形 4 360 90.0
正五边形 5 540 108.0
正六边形 6 720 120.0
正七边形 7 900 128.6
正八边形 8 1,080 135.0
师生活动：学生独立计算，小组内交流答案，教师巡视指导，最后全班订正.
设计意图：通过计算不同正多边形的内角度数，为后续探究奠定基础，培养学生的计算能力和合作交流能力.
探究 2：哪些正多边形能铺满地面
课件展示正六边形铺满地面的图形，引导学生观察：正六边形的每个内角为 120°，三个 120° 拼在一起恰好组成周角 360°，所以全用正六边形瓷砖就可以铺满地面.
课件展示正三角形和正方形铺满地面的图形，提问：你能说明为什么正三角形和正方形能铺满地面吗？
学生思考后回答：
正三角形每个内角 60°，6 个 60° 拼在一起恰好是 360°；
正方形每个内角 90°，4 个 90° 拼在一起恰好是 360°.
课件展示正五边形和正八边形尝试铺满地面的图形，引导学生观察：
正五边形每个内角 108°，3 个 108°=324°<360°，4 个 108°=432°>360°，不能组成周角；
正八边形每个内角 135°，2 个 135°=270°<360°，3 个 135°=405°>360°，也不能组成周角.
总结规律：使用给定的某种正多边形，当围绕一点拼在一起的几个内角加在一起恰好组成一个周角（360°）时，就可以铺满地面.
思考：还能找到其他正多边形铺满地面吗？
分析推导：设正 n 边形的一个内角为 α，若能铺满地面，则 kα=360°（k 为正整数）.
因为 α=，所以 ，
化简得：k (n-2)=2n，即 .
因为 k 为正整数，所以 必须为正整数，
则 n-2 只能取 1、2、4，即 n=3、4、6.
得出结论：在正多边形里，只有正三角形、正四边形、正六边形这三种正多边形能铺满地面，其他的正多边形都不可以.
师生活动：教师引导学生观察、思考、讨论，逐步推导得出结论，学生积极参与，大胆发言.
设计意图：通过直观观察和理论推导相结合的方式，让学生深刻理解正多边形铺满地面的条件，培养学生的观察能力、逻辑推理能力和归纳总结能力.
【典型例题】
例：下列正多边形中，不能铺满地面的是（ ）
A. 正三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 正六边形
答案：C
解析：正五边形的每个内角是 108°，108° 不能整除 360°，所以不能铺满地面.
师生活动：学生独立完成，然后小组讨论，教师展示答题过程并讲解.
设计意图：通过典型例题的练习，巩固所学知识，提高学生运用知识解决问题的能力.
四、当堂检测
用形状、大小完全相同的下列图形，不能进行平面镶嵌的是（ ）
A. 正三角形 B. 正方形 C. 正六边形 D. 正八边形
只用一种正多边形铺满地面，这样的正多边形有 __种.
若用一种正多边形瓷砖铺满地面，且在每一个顶点周围有 6 个正多边形，则该正多边形是（ ）
A. 正三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 正六边形
正方形的每个内角是 °，用正方形铺满地面时，在每一个顶点周围有 __个正方形.
师生活动：通过课件展示练习题，学生独立完成，教师带领学生进行练习，核对答案并讲解.
设计意图：通过当堂检测，及时了解学生对知识的掌握情况，查漏补缺，进一步巩固新知.
五、课堂小结
今天我们学习了哪些知识？
用相同的正多边形铺满地面的条件：围绕一点拼在一起的几个内角加在一起恰好组成一个周角（360°）.
能铺满地面的正多边形：只有正三角形、正方形和正六边形三种.

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