资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
1.4相似三角形的判定第3课时教学设计
学科 数学 年级 九 课型 新授课 单元 一
课题 1.4相似三角形的判定第3课时 课时 1
课标要求 依据2022版义务教育数学课程标准,本节课属于图形与几何领域图形的相似主题,要求学生探索并掌握两边成比例且夹角相等的两个三角形相似的判定定理,经历观察、猜想、证明、应用的推理过程,发展逻辑推理、几何直观与数学运算素养；能准确辨析“夹角”与“对角”的区别,规范运用定理进行相似判定、几何证明与边长计算；体会类比、转化、从特殊到一般的数学思想,完善相似三角形判定体系,提升综合运用几何知识解决问题的能力。
教材分析 本节是湘教版九年级上册相似三角形判定的重要课时,承接平行判定、两角判定定理,进入“边角结合”判定阶段。教材由上一课时内容自然延伸,通过构造辅助线与全等三角形完成定理证明,明确“两边成比例且夹角相等”的核心条件,搭配直角三角形高、四边形等典型例题强化应用。内容结构严谨、层层递进,将比例运算、角的关系、相似推理高度融合,既是对前序知识的巩固提升,也是后续三边判定、相似综合应用的重要过渡,对培养学生严谨推理与几何建模能力具有关键作用。
学情分析 九年级学生已掌握两种相似判定方法,具备比例计算、几何证明与图形分析能力。但学生易混淆“夹角相等”与“两边及其中一边对角相等”,忽略夹角必须是对应边的夹角；对定理证明中辅助线构造、比例转化思路理解困难；在复杂图形中难以快速匹配成比例两边与夹角。学生善于类比迁移,适合通过对比辨析、模型归纳、变式训练突破难点,需强化条件辨析与规范书写,提升定理应用准确性。
教学目标 1.理解并掌握两边成比例且夹角相等的两个三角形相似的判定定理,能准确区分夹角与对角,规范书写推理过程。 2.经历定理的猜想、证明与应用过程,提升逻辑推理、比例运算与几何语言表达能力。 3.能识别共角、双垂直、含高型等典型图形,运用定理解决判定、证明与计算问题。 4.完善相似三角形判定知识体系,体会类比与转化思想,增强几何综合解题能力。
教学重点 1.两边成比例且夹角相等的相似判定定理的理解与规范应用。 2.准确识别成比例两边及其夹角,完成相似判定与计算。
教学难点 定理证明中辅助线构造与比例转化,以及“夹角相等”条件的精准辨析。
教学过程
教学步骤 教学主要内容 教师活动 学生活动 设计意图
环节一:依标靠本,独立研学 复习回顾 1.已学的两种相似三角形判定方法是什么？ 2.全等三角形中“两边一夹角”的判定定理是什么？ 探究问题 类比全等判定,猜想:两边成比例的两个三角形一定相似吗？需要附加什么角的条件才能确保相似？ 答案 1.平行于三角形一边的直线截得的三角形与原三角形相似；两角分别相等的两个三角形相似。 2.SAS(两边及其夹角分别相等)。 3.不一定相似；需要附加“两边的夹角对应相等”这一条件。 回顾已学相似判定方法,类比全等SAS定理引导猜想。 回忆旧知,对比全等与相似条件,提出边角判定猜想。 以旧引新,构建知识关联,降低定理理解难度。
探究活动一:相似三角形的判定定理2 思考:如图1.4-9,已知,然后作一个,使(常数).与相似吗？为什么？ 从相似三角形的判定定理1的证明受到启发,如果能在中用平行于边的直线截得一个,使它与全等,则. 由此猜测:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. *下面我们来证明上述猜测成立. 如图,在的边上取一点,使. 过点作,交于点. 因为, 所以, 从而. 又,, 因此. 于是. 又, 所以. 因此. 我们将上述猜测称为相似三角形的判定定理2. 方法总结: 1.证明思路:构造平行线→得相似三角形→证全等→传递相似关系。 2.核心结论:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 3.关键辨析:必须是两组对应边的夹角相等,非对角不可用。 4.符号语言:, 引导作图观察,示范辅助线构造,组织严谨证明并规范定理表述。 动手操作,合作完成证明,归纳结论并掌握几何语言。 经历完整推理过程,培养逻辑推理与几何直观素养。
环节二:同伴分享,互助研学 探究活动二:相似三角形的判定定理2的应用 例4:在与中,已知,如图所示.求证:. 证明:因为, 所以, , 从而. 又, 因此(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似). 例5:如图,在中,是边上的高,且.求证:. 证明:因为是边上的高, 所以. 又, 因此, 从而. 所以. 方法总结: 1.判定步骤:算比例→找夹角→判相等→证相似。 2.等角来源:公共角、直角、对顶角、平行线形成的等角。 3.解题流程:先证两边成比例,再证夹角相等,最后判定相似并利用性质计算。 4.易错警示:严禁使用“两边成比例+非夹角相等”判定相似。 精讲例题步骤,强调夹角辨析,提炼共角、直角等典型模型。 规范解题,识别模型,运用定理完成判定与计算。 强化定理应用,提升模型意识与运算求解能力。
环节三:巩固内化,拓展延伸 课堂练习 1.下列条件中可以判定△ABC∽△A'B'C'的是( ) A.= B.=,∠B=∠B' C.=,∠A=∠A' D.= 2.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,要使△ABC∽△BCD,需添加的条件是( ) A.BC=CD B.= C.= D.= 3.如图,△ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,请你添加一个条件使△ADE∽△ACB:　　. 4.如图,点D为△ABC边AB上一点,AD=2,BD=6,AC=4.求证:△ACD∽△ABC. 5.如图,已知∠1=∠2,那么添加下列一个条件后,不能判定△ABC∽△ADE的是( ) A.∠C=∠E B.∠B=∠ADE C.= D.= 6.如图,在钝角三角形ABC中,AB=6cm,AC=12cm,动点D从A点出发到B点止,动点E从C点出发到A点止.点D运动的速度为1cm/秒,点E运动的速度为2cm/秒.如果两点同时运动,那么当以点A,D,E为顶点的三角形与△ABC相似时,运动的时间是( ) A.3秒或4.8秒 B.3秒 C.4.5秒 D.4.5秒或4.8秒 7.如图,BD,CE是△ABC的高,图中与△ADE相似的三角形是　　. 8.已知,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,点D在边BC上,点E在边AC上,CE=1.6,BD=　　　时,则△ABD与△CDE相似. 9.在△ABC中,∠C=90°,AC=6cm,BC=8cm,点P沿AC边从A向终点C以1cm/s的速度移动,同时点Q沿CB边从C向终点B以2cm/s的速度移动,且当其中一点到达终点时,另一点也随之停止移动,问点P,Q出发几秒后△PCQ与△ABC相似. 10.如图,P是正方形ABCD边BC上的一点,且BP=3PC,Q是CD的中点. (1)求证:△ADQ∽△QCP. (2)试问:AQ与PQ有什么关系 1.C;2.C;3.∠ADE=∠C或∠AED=∠B或=; 4.证明:∵AD=2,BD=6,∴AB=8, ∴==,==, ∴=, 又∵∠A=∠A, ∴△ACD∽△ABC. 5.D;6.A; 7.△ABC; 8.2或4或; 9.解:设点P,Q出发t秒后△PCQ与△ABC相似,则PC=(6-t)cm,CQ=2tcm, ∴要使△PCQ与△ABC相似,则有: ①=,∴=,解得:t=, ②=,∴=,解得:t=, ∴点P,Q出发秒或秒后△PCQ与△ABC相似. 10.解:(1)∵四边形ABCD是正方形, ∴AD=CD,∠C=∠D=90°; 又∵Q是CD中点,∴CQ=DQ=AD; ∵BP=3PC,∴CP=AD, ∴==, 又∵∠C=∠D=90°,∴△ADQ∽△QCP; (2)AQ=2PQ,且AQ⊥PQ.理由如下: 由(1)知,△ADQ∽△QCP,==, 则===,AQ=2PQ; ∵△ADQ∽△QCP,∴∠AQD=∠QPC,∠DAQ=∠PQC, ∴∠PQC+∠DQA=∠DAQ+∠AQD=90°,∴AQ⊥QP. 巡视课堂迅速掌握学情 当堂小测,用所学知识解决问题,学生代表回答。 学以致用,及时获知学生对所学知识的掌握情况,明确哪些学生需要在课后加强辅导,达到全面提高的目的
课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？ 知识点: 1.相似判定定理:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 2.条件要求:两组对应边成比例,且夹角对应相等。3.符号书写:规范书写比例式与等角条件,注明判定依据。 4.等角常见类型:公共角、直角、对顶角、平行线产生的等角。 5.判定步骤:计算对应边比值→确定夹角→证明角相等→判定相似。 6.易错点:两边成比例但角不是夹角,不能判定相似。 7.应用方向:用于三角形相似判定、边长计算、角度推导、几何证明。 教师以提问的形式小结 学生思考自由回答,自我小结 课堂小结可以帮助学生理清所学知识的层次结构,掌握其外在的形式和内在联系,形成知识系列及一定的结构框架。
板书设计 1.4相似三角形的判定(第3课时) 判定定理:两边成比例且夹角相等 两三角形相似 符号语言:, 关键:必须是对应边的夹角 解题步骤:算比例→找夹角→证相等→判相似 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知,可以帮助学生理解掌握知识,形成完整的知识体系。
课后提升 基础达标: 1.如图,在△ABC中,P为AB上一点,在下列四个条件中,不能判定△APC和△ACB相似的条件是( ) A.∠ACP＝∠B B.∠APC＝∠ACB C.AC2＝AP·AB D.AB·CP＝AP·CB 2.如图,在△ABC中,D为AB上一点,若AC2＝AD·AB,则( ) A.△ADC∽△CBD B.△BDC∽△BCA C.△ADC∽△ACB D.无法判断 3.在Rt△ABC和Rt△DEF中,∠C＝∠F＝90°,下列条件中不能判定这两个三角形相似的是( ) A.∠A＝55°,∠D＝35° B.AC＝9,BC＝12,DF＝6,EF＝8 C.AC＝3,BC＝4,DF＝6,DE＝8 D.AB＝10,AC＝8,DE＝15,EF＝9 4.在△ABC中,D,E分别是边AB,AC上的点,如果AD＝2,DB＝1,AE＝4,EC＝2,那么的值为____. 5.一个直角三角形的两条边分别为4和8,另一个直角三角形的两条边分别为3和6,那么这两个直角三角形_______(选填“一定”“不一定”或“一定不”)相似. 6.已知:如图,在四边形ABCD中,∠B＝∠ACD,AB＝6,BC＝4,AC＝5,,则AD的长为____. 能力提升: 7.如图,∠1＝∠2,＝,求证:∠C＝∠D. 8.如图,已知AD·AC＝AB·AE,∠DAE＝∠BAC. 求证:∠DBA＝∠ECA. 9.如图,每个小网格均为正方形网格,带阴影部分的三角形中与△A1B1C1相似的是( ) 10.已知△ABC中,D,E分别在AB,AC上,下列条件中,能推断△ADE与△ABC相似的有( ) ①∠BDE＋∠C＝180°； ②AD·AB＝AE·AC； ③AD·BC＝AB·DE； ④∠A＝90°,且＝. A.1个B.2个C.3个D.4个 11.如图,△ABC中,∠B＝65°,AB＝3,BC＝6.将△ABC沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( ) 12.如图,在△ABC中,∠BAC＝90°,AB＝6,AC＝8,N是AC上的点,且AN＝AB,连接BN,作AD⊥BN于D,点M是BC上的动点,则当BM＝__________时,△BMD∽△BCN. 拓展迁移: 13.如图,△ABC中,AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E,AD,BE交于点O,连接D,E. (1)依题意补全图形. (2)△OAB与△OED相似吗？说明理由. 14.如图,在△ABC中,AB＝AC,点D在边BC上移动(点D不与点B,C重合),满足∠EDF＝∠B,且点E,F分别在边AB,AC上. (1)求证:△BDE∽△CFD. (2)连接EF,当点D移动到BC的中点时,求证:FD平分∠EFC. 1.D;2.C;3.C;4.2/3;5.不一定;6.25/4; 7.证明:∵∠1＝∠2, ∴∠1＋∠CAE＝∠2＋∠CAE, ∴∠BAC＝∠EAD,∵＝, ∴△BAC∽△EAD,∴∠C＝∠D. 8.证明:∵AD·AC＝AB·AE, ∴＝, ∵∠DAE＝∠BAC, ∴∠DAE－∠BAE＝∠BAC－∠BAE, 即∠DAB＝∠EAC, ∴△ADB∽△AEC, ∴∠DBA＝∠ECA. 9.B;10.C;11.C;12.5; 13.解:(1)依题意补全图形如图所示: (2)△OAB与△OED相似,理由如下: ∵AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E, ∴∠ADC＝∠BEC＝90°, ∵∠C＝∠C, ∴△ADC∽△BEC,∴∠DAC＝∠EBC, 又∵∠BOD＝∠AOE,∴△BOD∽△AOE, ∴OB∶AO＝OD∶OE, ∵∠AOB＝∠EOD, ∴△AOB∽△EOD. 14.证明:(1)∵AB＝AC,∴∠B＝∠C, ∵∠BED＝180°－∠B－∠BDE, ∠CDF＝180°－∠EDF－∠BDE, ∵∠EDF＝∠B,∴∠BED＝∠CDF, ∴△BDE∽△CFD. (2)∵△BDE∽△CFD,∴＝, ∵点D是BC的中点,∴BD＝CD, ∴＝, ∵∠EDF＝∠C,∴△DEF∽△CDF, ∴∠DFE＝∠CFD,∴FD平分∠EFC.
教学反思 本节课以旧知类比引入,紧扣2022新课标聚焦推理与运算素养,通过构造证明、辨析对比、例题变式完成教学。教学中重点强化夹角条件、规范解题步骤,帮助学生建立“找边→算比→定角→判相似”的解题思路。但部分学生对定理证明的辅助线与比例转化理解不足,易误用“非夹角”条件判定相似,计算比例时出现错误。后续应加强条件对比辨析,简化证明难点；增加图形变式与错题归因训练,设计分层任务兼顾差异,提升学生识图、辨角、算比的综合应用能力。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑