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4.2方差 教学设计
课题 4.2方差 单元 第四单元 学科 数学 年级 八年级（下）
教材分析 在此之前，我们学习了一些数据分析的基本知识，平均数、中位数、众数的概念以及计算，可以描述数据的一般水平或集中趋势，那么在数据分析中还有别的情况出现，本节课我们将学习如何刻画一组数据的离散程度。
核心素养 能力培养 经历思考，推理的过程，了解如何反映数据与其平均数的偏离程度，培养学生的逻辑思维能力； 经历探究的过程，学会刻画数据的离散程度，理解方差的意义，培养学生的推理能力； 通过例题与练习，能计算方差，并能利用方差解决实际问题，培养学生的运算能力以及应用能力。
教学目标 通过对问题的思考，让学生了解方差的产生以及产生的原因； 通过例题的讲解，让学生能利用公式计算离差平方和、方差； 通过习题的练习，让学生掌握方差的意义以及在实际问题的应用。
教学重点 方差产生的必然性以及计算公式
教学难点 理解方差的意义，能用方差刻画数据的离散程度
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
复习回顾 教师出示问题： 1.平均数如何计算？ 2.中位数如何计算？ 3.众数如何计算？ 教师提问，学生回答。 在生活当中，我们总会遇到各式各样的问题，比如有两个同学的射击成绩平均数一样，该怎么选出一位同学参加比赛呢；有两支仪仗队，如果是根据身高，怎么才能选出更为整齐的一支呢？学习今天的内容，我们就可以解决这些问题。 学生主动举手回答问题。 回顾旧知，考验学生对上节课知识的掌握程度。 通过问题，引出本课时的学习内容，激发学生的学习兴趣。
新知探究 1.思考 刘亮和李飞参加射击训练的成绩 (单位: 环) 如下: 刘亮: 7,8,8,9,7,8,8,9,7,9 ; 李飞: 6,8,7,7,8,9,10,7,9,9 . （1）两人的平均成绩分别是多少 （2）如何反映这两组数据与其平均数的偏离程度 （1）刘亮成绩的平均数是 李飞成绩的平均数是 即两人的平均成绩相同. （2）为了直观地看出这两组数据与其平均数的偏离程度, 可以用图 4.2-1 来表示数据的分布情况. 图4. 2-1 由上面两幅图可以发现, 刘亮的射击成绩大多集中在平均成绩 8 环附近, 而李飞的射击成绩与其平均成绩的偏离程度较大. 一组数据中的各数据与这组数据的平均数的偏离程度是数据的一个重要特征, 它反映了一组数据的离散程度或波动大小. 2.探究 如何找到一个数来刻画一组数据的离散程度呢 设一组数据为 ,则这组数据的各个数据与平均数的偏差之和为 . 这时由于出现了正负偏差抵消的情况, 因而无法用各个数据与平均数的偏差之和来刻画这组数据的离散程度. 为解决这一问题,可以用各个数据与 的差的绝对值之和,或者利用各个数据与 的差的平方和来刻画这组数据的离散程度. 例如,有两组数据: ; . 对于 (1),这组数据的平均数 为 6,则这组数据与 的差的绝对值之和、 这组数据与 的差的平方和分别为 对于 (2),这组数据的平均数 为 6,则这组数据与 的差的绝对值之和、 这组数据与 的差的平方和分别为 由此受到启发, 我们可以用各个数据与平均数的差的平方和来刻画数据的离散程度. 设一组数据为 ,各个数据与平均数 之差的平方和,称为这组数据的离差平方和,记作 ,即 离差平方和 刻画了一组数据与其平均数 的总离散程度. 为了刻画一组数据与其平均数 的平均离散程度,引入下述概念: 设一组数据为 ,各个数据与平均数 之差的平方的平均值, 称为这组数据的方差,记作 ,即 由①式和②式得, . 一组数据的方差越小, 表明这组数据的离散程度越小, 这组数据也就越稳定. 3.例题讲解 例1 分别计算本节 “思考” 栏目中, 刘亮和李飞的射击成绩的离差平方和与方差, 并判断谁的射击成绩更稳定. 解 由前面的计算可知, 刘亮和李飞的射击平均成绩均为 8 环, 刘亮的射击成绩的离差平方和是 于是方差 . 李飞的射击成绩的离差平方和是 于是方差 . 计算结果表明, ,因此,刘亮的射击成绩比李飞稳定. 例 2 有两个女声小合唱队, 各由 5 名队员组成. 她们的身高(单位: cm)为: 甲队: ; 乙队: . 试判断哪队队员身高比较整齐. 解 甲队队员的平均身高是 甲队队员身高的离差平方和是 于是方差 . 乙队队员的平均身高是 乙队队员身高的离差平方和是 于是方差 . 计算结果表明, ,因此,甲队队员的身高比较整齐. 在计算一组数据 的离差平方和 时,除了可利用①式外, 还可以利用下述公式: 又方差 , 于是 . 当一组数据个数很多时, 求离差平方和与方差的运算量很大, 于是常常借助计算器来求. 小贴士：可以自己尝试推导此公式, 试一试. 学生举手回答第一个问题 让学生尝试作图，思考两个图的区别，举手说出自己想法。 提出问题，学生思考，认真听讲。 学生记忆离差平方和的概念以及公式。 学生记忆方差的概念、公式及意义。 学生尝试解决问题，讨论过后派出代表举手回答。 学生自主解决例2，完成后举手回答。 学生了解，尝试自己推导此公式。 考验学生对平均数的掌握程度，是否能够熟练算出一组数据的平均数。 培养学生分析问题的能力，以及观察推理能力。 让学生通过观察摸索出各数据与这组数据的平均数的偏离程度的重要意义，提高学生的逻辑思维能力。 举例说明，加深学生的理解，逐渐引入方差这一概念。 引入离差平方和，为方差的引入做铺垫。 引入方差，并让学生理解方差引入的意义。 通过对例题的讲解以及让学生自主解决一些问题，让学生更深入理解方差，并能够合理运用方差解决现实问题。 检验学生对方差的计算以及运用是否初步掌握。、 给出方差计算的另一个公式，让学生自己尝试推导，提高学生的逻辑思维能力以及推理能力。
课堂练习 1.求下列各组数据的离差平方和与方差: (1) ; (2) . 解： (1)平均数为： =54 离差平方和为：
于是方差 . (2) 平均数为： =10 离差平方和为：
于是方差 2.李明的班上要派一名选手参加学校田径运动会的 赛跑,李明和张亮都希望自己能参加比赛, 他们在训练中 10 次的测试成绩 (单位: s) 为: 李明: 张亮: 根据两人的成绩，应该派谁去参加比赛？ 解：李明和张亮的射击平均成绩均为14.6环 于是方差 于是方差 计算结果表明, ,因此,张亮的射击成绩比李明稳定，应该派张亮去. 学生自主完成后，教师核对答案纠错，并进行分析。 学生自主完成后核对答案，听老师分析。 通过练习题反馈学生对离差平方和以及方差公式的熟练程度。锻炼学生独立思考以及解决问题的能力。
课堂小结 1.设一组数据为 ,各个数据与平均数 之差的平方和,称为这组数据的离差平方和,记作 ,即
2.离差平方和 刻画了一组数据与其平均数 的总离散程度. 3.设一组数据为 ,各个数据与平均数 之差的平方的平均值, 称为这组数据的方差,记作 ,即 . 4.一组数据的方差越小, 表明这组数据的离散程度越小, 这组数据也就越稳定. 学生归纳本节课知识。 让学生回顾离差平方和以及方差的内容，加深印象，便于做题。
课后练习 1.必做题： 教材P143页习题——学而时习之 2.选做题： 教材P143页习题——温故而知新 学生自主完成 让学生巩固本节课所学知识，
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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