资源简介

教案：18.3课时2 分式的混合运算
课题 18.3课时2 分式的混合运算 课型 新授课
课时 1课时（45分钟） 教材版本 人教版八年级上册 第十八章 分式
教学方法 类比教学、探究式教学、讲练结合 教学用具 多媒体课件
教材分析 本节课是人教版八年级上册第十八章"分式"的第五课时——18.3课时2 分式的混合运算。本节课是在学生已经系统学习了分式的加减法、乘除法、乘方法则的基础上，进一步学习将多种分式运算综合在一起的混合运算。教材首先通过回顾分数的混合运算顺序——先算乘方再算乘除最后算加减、同级运算从左到右、有括号先算括号内的，引导学生通过类比推理得出分式的混合运算顺序。然后通过两道典型例题——一道不带括号的分式混合运算和一道带括号的分式混合运算，详细展示分式混合运算的解题思路和规范步骤。最后通过一个行程问题的实际应用，展示分式混合运算在解决实际问题中的价值。本节课是分式运算的综合运用，在整章中具有提升运算能力和综合应用能力的重要地位。
学情分析 学生已经系统学习了分式的加减法、乘除法和乘方法则，能够独立进行单一类型的分式运算。在算术方面，学生熟练掌握分数的混合运算顺序——先乘方、再乘除、最后加减，同级运算从左到右，有括号先算括号内。这为本课类比学习分式混合运算提供了认知基础。学生在前几课时中已经多次运用"类比"策略将分数运算推广到分式运算，具备较强的类比推理意识。但将多种分式运算综合在一起进行混合运算时，学生可能存在以下困难：第一，运算顺序的判断——面对包含乘方、乘除、加减等多种运算的复杂表达式，学生可能不能准确判断运算的先后顺序；第二，除法转化为乘法的意识——在混合运算中需要将除法转化为乘法来简化运算，学生可能忘记这一关键步骤；第三，因式分解的时机——在混合运算中，需要先对分子和分母进行因式分解，学生可能忽略这一前置步骤；第四，符号处理——特别是当分母出现()这样的式子时，需要提取负号转化为()，学生容易在符号处理上出错。
教学重点 分式的混合运算顺序——先乘方，再乘除，然后加减；将除法转化为乘法来计算；分子或分母是多项式的先因式分解；计算结果化为最简分式。
一、核心素养目标
1. 数学抽象
（1）能从分数的混合运算顺序中抽象出分式的混合运算顺序的一般规律，理解运算顺序的普适性，发展从具体算术到抽象代数的数学抽象能力。
（2）能从具体的分式混合运算例题中抽象出"因式分解→除转乘→约分→化为最简"的规范操作流程，发展从操作到方法的抽象能力。
2. 逻辑推理
（1）能通过类比分数的混合运算顺序，合情推理出分式的混合运算顺序，发展类比推理能力。
（2）能在分式混合运算的每一步中，依据法则和运算顺序进行严密的逻辑推理，确保每一步运算的合理性和正确性，发展基于法则的逻辑推理能力。
3. 直观想象
（1）能通过张华和李明行走的实际情境图，直观感受用分式表示时间并比较大小的问题本质，发展实际问题与数学表达之间的直观对应能力。
4. 数学运算
（1）能正确判断分式混合运算的运算顺序——先乘方，再乘除，然后加减，同级从左到右，有括号先算括号内，发展运算规划能力。
（2）能正确进行不带括号的分式混合运算——先因式分解，将除法转化为乘法，约分化简，发展综合运算能力。
（3）能正确进行带括号的分式混合运算——先算括号内的运算，再算括号外的运算，发展多步骤综合运算能力。
5. 数学建模
（1）能通过张华和李明的行程问题，建立用分式表示时间并比较大小的数学模型，体会分式混合运算在实际问题中的应用价值，发展数学建模意识。
（2）能通过"分数混合运算→分式混合运算"的类比，体会"数、式通性"的数学建模思想。
二、教学重难点
教学重点
1. 分式的混合运算顺序——先乘方，再乘除，然后加减；同级运算从左到右；有括号先算括号内的。
2. 除法转化为乘法的技巧——在混合运算中，将除法转化为乘法来计算，即除以一个分式等于乘以它的倒数。
3. 分子或分母是多项式的因式分解——在进行约分之前，先对分子或分母的多项式进行因式分解。
4. 计算结果化为最简分式——混合运算的最终结果必须化为最简分式或整式。
教学难点
1. 运算顺序的综合判断——当表达式中同时包含乘方、乘除、加减和括号时，学生需要准确判断运算的先后顺序。突破策略：通过审题训练，让学生养成"先通览全式判断运算类型和顺序，再动手计算"的习惯。
2. 符号处理——特别是遇到()这样的分母时，需要提取负号转化为-()，学生容易在提取负号时出错。突破策略：建立"遇到()和()先统一符号"的思维定式。
3. 多步骤运算的准确性——分式混合运算涉及多个步骤，每一步都可能出现错误。突破策略：建立规范的运算步骤清单，通过反复训练形成稳定的运算习惯。
三、教学过程
环节一：复习导入（5分钟）
【教师活动】同学们，我们已经学完了分式的加、减、乘、除、乘方五种运算。今天我们要把这些运算综合起来，学习分式的混合运算。在开始新课之前，我们先来复习一下分式运算的各项法则。
复习分式的五种运算法则：
1. 乘法法则：
2. 除法法则：
3. 乘方法则：
（）
4. 加减法则：
【教师活动】很好，同学们对分式的五种运算法则记忆准确。接下来，请同学们回顾一下分数的混合运算顺序，思考：当一个算式中同时包含加、减、乘、除、乘方时，应该按照怎样的顺序进行计算？
【学生活动】分数的混合运算顺序是：先算乘方，再算乘除，最后算加减。同级运算按照从左往右的顺序。有括号先算小括号里的，再算中括号里的，再算大括号里的。
【教师活动】回答得非常完整！那么，你能将分数的混合运算顺序推广到分式的混合运算中吗？
【学生活动】分式和分数有类似的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减。同级运算从左到右，有括号先算括号内。
【知识点】知识点一：分式的混合运算顺序。分式与分数有类似的混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算按照从左往右的顺序进行；如果有括号，先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的。在分式的混合运算中，除法可以转化为乘法来计算，分子或分母是多项式的要先因式分解。
【设计意图】通过系统复习分式的五种运算法则，帮助学生唤醒已有的运算知识储备，为混合运算做好前置准备。通过回顾分数的混合运算顺序并类比推广到分式，引导学生运用"数、式通性"的类比思想自主建构分式混合运算的运算顺序，降低认知坡度。
【过渡语】通过复习，我们明确了分式混合运算的运算顺序。接下来，让我们通过具体的例题，来学习如何进行分式的混合运算。
环节二：探究分式的混合运算（18分钟）
例1——不带括号的分式混合运算
【教师活动】请同学们看大屏幕上的例题。我们先来分析这道题：这道题里面有哪几种运算？运算顺序是怎样的？对于除法运算应该怎么处理呢？
例1 计算：
【学生活动】这道题包含了乘法、除法两种运算。按照运算顺序，乘法和除法是同级运算，应该从左往右依次计算。对于除法，应该将除法转化为乘法——除以一个分式等于乘以它的倒数。
【教师活动】分析得很好！但还有一个关键步骤——在做乘除运算之前，我们需要先对各分式的分子和分母进行因式分解。请同学们一起把每个分式的分子和分母因式分解。
因式分解：
【教师活动】非常好！特别要注意的是， = -()，需要提取负号。现在我们来进行完整的解答过程。
解：原式 =
【教师活动】第一步：因式分解完成。第二步：将除法转化为乘法。
=
【教师活动】第三步：约分。观察分子和分母中的公因式，逐一约去。
=
=
=
【教师活动】请同学们注意解题过程中的几个关键点：第一，因式分解要彻底——、、都要分解因式，9要提取公因式9。第二，要提取负号变成-()。第三，除法转化为乘法后，分子分母交叉约分。第四，最终结果要化为最简分式。
注意：分子或分母是多项式的先因式分解，不能分解的要视为整体。在分式的混合运算中，因式分解是约分的前提，只有先因式分解才能找出公因式进行约分。这是分式混合运算中最重要的前置步骤。
【知识点】知识点二：不带括号的分式混合运算步骤。第一步：对各分式的分子和分母分别进行因式分解；第二步：将除法转化为乘法；第三步：从左到右依次进行乘法运算，分子乘分子，分母乘分母；第四步：约去公因式；第五步：将结果化为最简分式。特别注意事项：遇到()这样的式子要提取负号化为-()。
总结——分式混合运算要点
【教师活动】通过对上面例题的解答，同学们有何收获？请同学们总结一下不带括号和带括号的分式混合运算分别需要注意什么。
【学生活动】对于不带括号的分式混合运算，我总结出以下要点：(1)运算顺序——先乘方再乘除然后加减；(2)计算结果要化为最简分式。
【学生活动】对于带括号的分式混合运算，要点更多：(1)将各分式的分子、分母分解因式后再进行计算；(2)先算乘方再算乘除最后算加减，若有括号先算括号内的；(3)计算结果要化为最简分式或整式。
【教师活动】总结得非常全面！接下来我们来看一道带括号的分式混合运算例题。
例2——带括号的分式混合运算
【教师活动】请同学们看大屏幕上的例2，这道题有括号，运算顺序应该怎样？
例2 计算：
【学生活动】这道题有括号，根据运算顺序，应该先算括号内的减法运算，再算括号外的除法运算。
【教师活动】完全正确！首先对分母进行因式分解。
因式分解： = ()()
解：原式 =
【教师活动】第一步：因式分解完成。第二步：先算括号内的减法运算——两个分式的分母分别是()()和()，需要先通分。
括号内第一个分式可以约分：
所以括号内变为：
【教师活动】通分，最简公分母为()()。
=
=
【教师活动】第三步：括号外的除法运算——将除法转化为乘法。
=
=
【教师活动】请同学们注意这道例题的解题要点：第一，先因式分解—— = ()()。第二，先算括号内——括号内先约分化简为1/() - 1/()，再通分计算。第三，括号外除转乘——除以/等于乘以/。第四，交叉约分——约去一个()。第五，最终结果4()/[()]。
【知识点】知识点三：带括号的分式混合运算步骤。第一步：对各分式的分子和分母分别进行因式分解；第二步：先算括号内的运算（按运算顺序）；第三步：再算括号外的运算，将除法转化为乘法；第四步：约去公因式；第五步：将结果化为最简分式或整式。
方法总结：分式混合运算的规范步骤：一因式分解，二除转乘，三约分化简，四化为最简。括号内先做，括号外后做。运算顺序——先乘方，再乘除，后加减；同级从左到右；有括号先算括号内。每一步都要规范，不能跳步。
【设计意图】两道例题的设计体现了"从简单到复杂"的梯度原则。例1是不带括号的分式混合运算，重点展示因式分解和除转乘两个关键步骤。例2是带括号的分式混合运算，在例1的基础上增加了"先算括号内"的要求，进一步提升了运算的复杂度。通过师生互动分析运算顺序、共同完成因式分解、逐步展示解答过程，帮助学生建立规范的混合运算流程。彩色提示框强调"分子或分母是多项式先因式分解"这一关键注意点，加深学生印象。
【过渡语】通过两道例题的详细讲解，我们已经掌握了分式混合运算的方法和步骤。接下来，让我们通过一个实际问题，来感受分式混合运算的应用价值。
环节三：应用——行程问题（12分钟）
【教师活动】同学们，让我们来看一个实际问题。张华和李明从甲地出发前往乙地，他们的行走速度不同。请看大屏幕上的问题情境。
【教师活动】问题1：要解决谁先到达乙地的问题，需要比较的量是什么？
【学生活动】要比较张华和李明谁先到达乙地，需要比较他们各自从甲地到乙地所用的时间。时间越短，到达越早。
【教师活动】正确！问题2：本题已知两人行走的速度，还需知道的量是什么？
【学生活动】已知两人行走的速度，还需要知道从甲地到乙地的路程。有了路程和速度，就能求出时间。
【教师活动】很好！问题3：若设从甲地到乙地的路程为s ，设张华的速度为v ，李明的速度为v ，则张华和李明从甲地到乙地的时间分别为多少？
【学生活动】根据"时间=路程÷速度"，张华从甲地到乙地的时间为 h，李明从甲地到乙地的时间为 h。
【教师活动】问题4：如何比较张华和李明从甲地到乙地的时间的大小？
【学生活动】可以用作差法比较 和 的大小。计算 - 的值：如果大于零，则张华用的时间多，李明先到达；如果小于零，则李明用的时间多，张华先到达。
【教师活动】分析得很好！让我们来看具体的解答过程。
解：设从甲地到乙地的路程为s ，张华的速度为v ，李明的速度为v （v ≠ v 且 v > 0，v > 0）。
张华从甲地到乙地的时间：
李明从甲地到乙地的时间：
比较时间大小，用差比法：
=
【教师活动】因为路程，v > 0，v > 0，所以分母v v > 0。因此s(v )/(v v )的符号取决于分子(v )的符号。
讨论：
(1) 当v > v 时，v - v < 0，所以s(v )/(v v ) < 0，即 < ，张华先到达乙地。
(2) 当v < v 时，v - v > 0，所以s(v )/(v v ) > 0，即 > ，李明先到达乙地。
【教师活动】同学们注意，这道题的解答过程中用到了分式的减法运算——异分母分式相减需要先通分。具体来说， - 通分后等于( - )/(v v )，这就是我们之前学过的异分母分式减法法则的实际应用。
【知识点】知识点四：分式混合运算的实际应用——行程问题。解决行程问题的关键：用分式表示时间（时间=路程÷速度），用作差法比较两个分式的大小。比较 和 的大小，先通分化为同分母，再比较分子的大小。由于，v > 0，v > 0，差的符号取决于v 的符号。
【设计意图】行程问题的教学设计体现了"从实际问题出发，用数学方法解决"的理念。通过四个递进式的问题——"比较什么量""需要什么条件""如何表示时间""如何比较大小"，引导学生逐步建立数学模型，用分式表示时间并用差比法比较大小。解答过程展示了异分母分式减法在实际情况中的应用，帮助学生体会分式运算的实际价值。讨论环节强调分类讨论的数学思想，培养学生的严谨思维。
【过渡语】通过行程问题的分析，我们看到了分式混合运算在实际问题中的应用。接下来，让我们通过课堂练习来巩固今天所学的知识。
环节四：课堂练习与总结（10分钟）
课堂练习
【教师活动】请同学们独立完成以下练习，检验今天的学习成果。
1. 阳阳同学在复习老师已经批阅的作业本时，发现有一道填空题破了一个洞（如图所示），□表示破损的部分，则破损部分的式子可能是( )
化简：(□ - 3/()) ÷ (x/()) = ()/()
A. ()/()
B. ()/()
C. ()/()
D. 3/()
答案：A
【教师活动】我们来分析这道题。等式右边()/()是化简的结果，等式左边是化简前的表达式。我们需要逆推求出□的值。
解题思路：
由(□ - 3/()) ÷ (x/()) = ()/()，得
□ - 3/() = ()/() · x/()
注意：3/() = 3/[-()] = /()，所以
□ - (/()) = x/()
□ + 3/() = x/()
□ = x/() - 3/() = ()/()
所以□ = ()/()，选A。
2. 计算：
(1) ()/() · ()/() ÷ /
解：原式 = ()()/ · ()/() · //
(2) [() - (1/())] ÷ (/)
解：原式 = [(2())/(x())] ÷ (/) = ()/[x()] · / = ()()/
4. 前年、去年、今年某地的森林面积（单位：）分别是S ，S ，S ，今年与去年相比，森林面积增长率提高了多少？
【教师活动】请同学们思考这道应用题。首先明确"增长率"的含义——增长率=(增长量)/原有量。然后分别求出去年和今年的增长率，再比较它们的差值。
解：去年森林面积增长率为：
今年森林面积增长率为：
增长率提高了：
=
=
【教师活动】这道题展示了分式减法在实际问题中的应用——比较两个增长率的大小关系。通过异分母分式的减法运算，我们得到了增长率的提高量的表达式。
解题策略：分式应用题的解题步骤：第一步，理解题意，明确已知量和未知量；第二步，用字母表示未知量，建立分式表达式；第三步，运用分式运算法则进行计算或化简；第四步，对结果进行讨论或解释实际意义。关键在于用分式正确地表示数量关系，然后准确地进行分式运算。
课堂小结
【教师活动】同学们，今天这节课我们学习了分式的混合运算。请同学们回顾一下，本节课的主要内容有哪些？
【学生活动】本节课我们学习了分式混合运算的顺序——先乘方，再乘除，后加减；同级运算从左到右；有括号先算括号内。在混合运算中，除法要转化为乘法来计算，分子或分母是多项式的要先因式分解，计算结果要化为最简分式。
【学生活动】我们还通过两道例题学习了不带括号和带括号的分式混合运算。不带括号的混合运算要先因式分解，再将除法转化为乘法，然后约分化简。带括号的混合运算要先算括号内，再算括号外。
【学生活动】此外，我们还学习了分式混合运算的应用——行程问题中用分式表示时间并比较大小，以及增长率问题中用分式表示增长率并进行比较。
【教师活动】同学们总结得非常全面！本节课的核心方法是"类比"——通过类比分数的混合运算顺序，得出分式的混合运算顺序，体现了"数、式通性"的数学思想。希望同学们在课后练习中，严格按照运算顺序和规范步骤进行计算，养成规范的运算习惯。
【知识点】知识框架总结：分式混合运算的运算顺序——先乘方，再乘除，后加减；同级从左到右；有括号先算括号内。运算规范——因式分解→除转乘→约分→化为最简。核心思想——类比"数、式通性"。应用——行程问题（时间=路程÷速度）、增长率问题。
【设计意图】课堂练习设计了选择题、计算题和应用题三种题型。选择题通过"破损部分还原"的趣味情境，考查学生逆推分式运算的能力。计算题两道分别考查不带括号和带括号的分式混合运算，覆盖了本课的核心内容。应用题通过森林面积增长率的实际问题，考查学生建立分式模型并进行运算的能力。课堂小结通过学生自主回顾和教师补充，帮助学生系统梳理本课的知识要点，形成完整的知识网络。
【过渡语】通过课堂练习和总结，我们巩固了今天所学的分式混合运算知识。希望同学们在课后继续练习，熟练掌握分式混合运算的方法和步骤。
六、板书设计
18.3课时2 分式的混合运算
一、分式的混合运算顺序
先乘方，再乘除，后加减
同级从左到右，有括号先算括号内
除法转化为乘法
二、不带括号的分式混合运算步骤
因式分解 → 除转乘 → 约分 → 最简分式
例1：()/() · (9)/() ÷ ()/()
结果：()/[()]
三、带括号的分式混合运算步骤
先算括号内，再算括号外
例2：[()/() - 1/()] ÷ /
结果：4()/[()]
四、分式混合运算的应用
行程问题：时间=路程÷速度
增长率问题：增长率=(增长量)/原有量
七、教学反思
1. 类比策略的运用效果如何？本节课以"类比"为核心教学策略，从分数的混合运算顺序出发，引导学生类比得出分式的混合运算顺序。从课堂反馈来看，学生对"先乘方再乘除后加减"的运算顺序能够准确理解和应用，说明类比策略在本课中发挥了良好的作用。但部分学生在面对复杂表达式时，对运算顺序的判断仍存在犹豫，需要在后续教学中加强审题训练。
2. 因式分解的前置步骤是否到位？两道例题都强调了"先因式分解，再进行运算"这一关键步骤。从课堂练习来看，大部分学生能够在运算前先进行因式分解，但仍有少数学生跳过这一步直接计算，导致约分不彻底。建议在后续教学中将因式分解作为分式混合运算的强制第一步，形成"看多项式就因式分解"的思维定式。
3. 除法转化为乘法的意识是否建立？在混合运算中，将除法转化为乘法是简化运算的关键步骤。从例1的解答过程来看，学生对这一步骤的理解和执行较为到位。但在带括号的例2中，部分学生在完成括号内运算后，忘记将括号外的除法转化为乘法，直接进行了除法运算。建议在后续教学中强化"除即乘倒数"的意识。
4. 符号处理是本课的一个难点，特别是 = -()的转换。从课堂练习来看，当分母为()这样的式子时，部分学生忘记提取负号，导致后续约分出错。建议在后续练习中增加此类专项训练，帮助学生建立"遇到()先化为-()"的条件反射。
5. 行程问题的教学效果如何？行程问题将分式混合运算与实际问题相结合，通过"时间=路程÷速度"的基本关系，用分式表示时间并比较大小。从课堂反馈来看，学生能够正确建立数学模型，但在作差法比较两个分式大小时，通分步骤中出现了一些计算错误。建议在后续教学中增加分式大小比较的专项练习。
6. 时间分配与教学节奏是否合理？本节课四个环节的时间分配为：复习导入5分钟、探究分式混合运算18分钟、应用——行程问题12分钟、课堂练习与总结10分钟，总计45分钟。从实际教学来看，探究环节的两道例题花费时间较多，特别是因式分解的逐步展示需要充分的时间。部分教学进度较快的班级可以在练习环节适当增加题目数量；进度较慢的班级可以适当压缩应用环节，确保探究环节的充分展开。总体而言，时间分配合理，教学节奏适中。

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