资源简介

教案： 课时2 用科学记数法表示小于1的正数
课题 课时2 用科学记数法表示小于1的正数 课型 新授课
课时 1课时（45分钟） 教材版本 人教版八年级上册 第十八章 分式
教学方法 探究发现、讲练结合、归纳总结 教学用具 多媒体课件
教材分析 本节课是人教版八年级上册第十八章"分式"的第五课时——课时2用科学记数法表示小于1的正数。在之前的学习中，学生已经掌握了用科学记数法表示绝对值大于10的数，以及负整数指数幂的概念和整数指数幂的运算性质。本节课的核心任务是利用负整数指数幂，将科学记数法推广到表示绝对值小于1的正数。教材通过观察填空的方式，引导学生发现，，进而发现规律：当1前面有n个0时，就等于10的次幂。在此基础上归纳出用科学记数法表示小于1的正数的一般形式：，其中，n是正整数。教材还介绍了在实际生活中单位制词头与负指数的对应关系，如微米是 m，纳米是 m，体现了数学与科学的结合。本节课是科学记数法的一次重要扩展，完善了用科学记数法表示数的体系，方便了对极小数量级的表示，在科学计算和日常生活中都有广泛应用。
学情分析 学生在上一课时已经学习了负整数指数幂的概念和整数指数幂的运算性质，掌握了（a≠0）的计算方法，这为本节课学习用科学记数法表示小于1的正数提供了直接的知识基础。在七年级上册，学生已经学习了用科学记数法表示绝对值大于10的数，知道形式是（，n是正整数），对科学记数法的表示方法有一定的经验。学生可能存在的困难在于：第一，确定n的值时容易出错，特别是确定原数中左起第一个非零数字前面零的个数（包括小数点前的那个零）；第二，理解小数点移动位数与n的关系；第三，在单位换算中正确运用科学记数法。通过探究规律和归纳步骤，可以帮助学生突破这些困难。
教学重点 掌握用科学记数法表示绝对值小于1的正数的方法；确定中n的值；能正确进行含科学记数法的简单运算。
一、核心素养目标
1. 数学抽象
（1）通过观察，，等具体例子，抽象出指数规律：当1前面有n个0时，结果就是10的次幂，发展从具体到抽象的观察归纳能力。
（2）将科学记数法从表示绝对值大于10的数推广到表示绝对值小于1的正数，抽象出统一形式（n为整数），发展知识推广和体系构建的抽象能力。
（3）归纳出确定n的两种方法：数第一个非零数字前面零的个数，或看小数点向右移动的位数，发展方法归纳的抽象能力。
2. 逻辑推理
（1）通过从具体例子中发现10的指数与零的个数的关系，发展基于观察的归纳推理能力。
（2）类比用科学记数法表示绝对值大于10的数的方法，推理得到表示绝对值小于1的正数的方法，发展类比推理能力。
（3）通过分析小数点移动位数与n的关系，推导得出n等于移动位数，发展演绎推理能力。
3. 直观想象
（1）通过小数点移动的动态过程，直观理解n与移动位数的关系，帮助学生建立数感和直观认识。
（2）将与小数中的零的个数建立对应关系，直观理解负指数在科学记数法中的含义，发展数的直观想象能力。
（3）结合实际生活中的微米、纳米等单位，将极小数量级与负指数科学记数法建立直观联系，体会科学记数法表示极小数量级的简洁性。
4. 数学运算
（1）能正确确定中a和n的值，发展确定参数的运算能力。
（2）能正确进行含有科学记数法表示的数的乘法运算，如纳米体积计算中的幂的乘方运算，发展综合运算能力。
（3）能正确进行单位换算中的科学记数法表示，如微米换算为米，纳米换算为立方米，发展单位换算中的运算能力。
5. 数学建模
（1）完善科学记数法的知识模型：对于任意正数，无论大小，都可以用（，n为整数）表示，发展完整的知识模型构建能力。
（2）建立确定n的方法模型：n等于原数中左起第一个非零数字前零的个数（包括小数点前的零），或等于小数点向右移动的位数，发展方法建模能力。
（3）将实际生活中的极小长度、体积等问题转化为用科学记数法表示的数学问题，发展实际问题的数学建模能力。
二、教学重难点
教学重点
1. 用科学记数法表示绝对值小于1的正数——一般形式为，其中，n是正整数。
2. 正确确定n的值——n等于原数中左起第一个非零数字前零的个数（包括小数点前的零），或小数点向右移动的位数。
3. 含有科学记数法的数的简单运算——利用整数指数幂的运算性质进行计算。
教学难点
1. 正确确定n的值，特别是数准第一个非零数字前面零的个数，包括小数点前的那个零。突破策略：总结方法，反复练习，强调"包括小数点前的零"这一要点。
2. 理解小数点移动方向和位数与n的关系——向右移动n位，指数就是，学生容易混淆方向和符号。突破策略：通过具体例子展示移动过程，总结"右移n位得"的规律。
3. 实际问题中的单位换算——正确换算单位并表示为科学记数法。突破策略：牢记单位换算关系，分步进行换算，先换算再用科学记数法表示。
三、教学过程
环节一：情境导入——回顾与问题引入（5分钟）
【教师活动】同学们，在上一节课我们学习了负整数指数幂，知道指数的取值范围已经扩充到全体整数。在七年级的时候，我们已经学习过科学记数法，请同学们回忆一下，科学记数法是用来表示什么数的？它的形式是什么？
回顾：七年级学习的科学记数法
【教师活动】请同学们回忆，用科学记数法表示绝对值大于10的数时，形式是什么？
一般地，一个绝对值大于10的数可以表示成：
例如：
（1）
（2） =
【学生活动】我记得科学记数法主要用来表示比较大的数，特别是绝对值大于10的数，形式是a乘以10的n次方，其中a在1到10之间，不包括10，n是正整数。
【教师活动】很好！我们已经会用科学记数法表示绝对值较大的数。那么，对于绝对值较小的数，比如这样的数，我们能不能也用科学记数法来表示呢？这就是我们今天要探究的问题。
观察问题：填空探究
【教师活动】请同学们完成下面的填空，看看你能发现什么规律。
计算填空：
（1）
（2） =
（3） =
（4） =
【学生活动】通过填空，我发现：等于10的次方，等于10的次方，等于10的次方，等于10的次方。
【学生活动】规律就是：1前面有几个零，结果就是10的负几次方。比如中，1前面有3个零（个位一个零，小数点后两个零），所以就是。
【教师活动】同学们发现得非常好！这些较小的数该如何用科学记数法表示呢？这就是我们今天要学习的内容。
【知识点】知识点一：回顾用科学记数法表示绝对值大于10的数，形式为（，n为正整数）。通过填空探究，发现10的负指数与小数的关系：1前面有n个零，就是，为引入科学记数法表示小于1的正数做好铺垫。
【设计意图】通过回顾旧知识，建立知识之间的联系。通过填空探究，引导学生自主发现规律，激发学生的探究兴趣和好奇心，为后续学习做好准备。提问"这些较小的数该如何用科学记数法表示呢？"明确本节课的学习目标。
【过渡语】通过探究，我们已经发现了10的负指数与小数中零的关系。接下来，就让我们一起来探究如何用科学记数法表示小于1的正数。
环节二：探究规律（15分钟）
思考：大数与小数的科学记数法
【教师活动】我们已经会用科学记数法表示比较大的数了，那么，对于很小的小数，怎么用科学记数法来表示呢？它的形式和表示大数的时候有什么相同和不同呢？请同学们思考一下。
【学生活动】表示大数的时候用的是10的正n次方，那么表示很小的数应该用10的负n次方吧？
【学生活动】形式应该还是a乘以10的n次方，但是指数n变成负数了。
【教师活动】非常好！让我们继续探究。
继续探究：填空找规律
【教师活动】请同学们根据刚才发现的规律，继续完成下面的填空：
（1） ×
（2） ×
（3） ×
【学生活动】我来填一下：；；。
【教师活动】非常好！请同学们观察这几个例子，指数和小数点后零的个数有什么关系？
【学生活动】中，2前面有三个零：小数点前一个零，小数点后两个零，共三个零，指数就是。
【学生活动】中，5前面有四个零：小数点前一个，小数点后三个，共四个零，指数就是。
【学生活动】规律是：一般地，当1前面（实际上是第一个非零数字前面）有n个零，就是10的次幂。
【教师活动】同学们总结得非常好！这就是我们要找的规律。
结论：科学记数法表示小于1的正数
一般地，一个小于1的正数可以表示为：
这个a的取值范围和我们表示大数的时候是一样的，都是。区别在于指数，当表示大数的时候指数是正整数，当表示小于1的正数的时候指数是负整数。
单位制词头介绍
【教师活动】在实际生活和科学研究中，我们经常会遇到一些很小的量，这时候就会用到一些单位制词头，这些词头对应的就是负指数。请同学们看大屏幕：
微米（μm）：1 μ m
纳米（）：1 m
【教师活动】同学们注意，单位保留，只是换算单位后用科学记数法表示为10的负指数幂。负号不能遗漏！
归纳表示步骤
【教师活动】现在，让我们一起来归纳用科学记数法表示小于1的正数的步骤：
第一步：确定a，a满足。方法是将小数点向右移动，直到得到一个大于等于1且小于10的数。
第二步：确定n，n等于小数点向右移动的位数，也等于原数中左起第一个非零数字前面所有零的个数（包括小数点前面的那个零）。
第三步：写出结果，形式为。
确定n的注意事项：n等于原数中左起第一个非零数字前面零的个数，这里一定要包括小数点前面的那个零！例如：，第一个非零数字是2，2前面有3个零（小数点前1个，小数点后2个），所以，结果是，而不是。这是最容易出错的地方，同学们一定要注意！
练习1：用科学记数法表示
【教师活动】现在让我们通过练习来巩固一下，请同学们用科学记数法表示下列各数：
（1）
（2）
（3）
解答：
（1） =
（2） =
（3） =
【学生活动】通过练习，我掌握了确定n的方法：第一个非零数字前有几个零（包括小数点前的），n就是几，指数就是负n。
规律总结
【教师活动】现在我们来总结一下用科学记数法表示绝对值小于1的数的规律：
1. n等于小数点向右移动的位数，即从小数点原来的位置移到第一个非零数字后面，移动了几位，n就是几。
2. n也等于原数中左起第一个非零数字前零的个数（包括小数点前的零）。
3. 结果的形式是，其中，n是正整数。
【知识点】知识点二：用科学记数法表示小于1的正数。一般形式是（，n是正整数）。确定n的方法：n等于原数中左起第一个非零数字前面零的个数（包括小数点前的零），也等于小数点向右移动的位数。表示步骤：先确定a，再确定n，最后写出结果。科学记数法也可表示实际生活中的极小量，如1 μ m，1 m。
规律总结：用科学记数法表示小于1的正数，指数的绝对值等于第一个非零数字前零的个数，也等于小数点向右移动的位数。例如：，因为第一个非零数字3前面有4个零，小数点右移4位得到。记住这个规律，就可以快速准确地进行科学记数法表示。
【设计意图】本环节通过层层递进的探究，从填空找规律到归纳结论，再到步骤总结，引导学生自主发现用科学记数法表示小于1的正数的方法。探究过程充分发挥学生的主体作用，让学生在观察、归纳中获得知识。彩色提示框强调了确定n时的易错点，帮助学生预防常见错误。
【过渡语】我们已经掌握了用科学记数法表示小于1的正数的方法。接下来，让我们通过两个典型例题来看看它在实际问题中的应用。
环节三：例题精讲（15分钟）
例题1：头发丝直径计算
【教师活动】请同学们看这道实际应用题：
例1：人体中红细胞的直径约为 m，而头发丝的直径约为70 μm。问：头发丝的直径用科学记数法表示为多少米？红细胞的直径是头发丝直径的多少分之一？也就是说，多少个红细胞并排排列才能穿过一个头发丝的直径？
【教师活动】首先，我们需要将70微米换算成米。我们知道1 μ m，所以：
解：
∵ 1 μm =
∴ 70 μ ×
= m =
【教师活动】所以，头发丝的直径用科学记数法表示为 m。接下来计算红细胞直径是头发丝直径的多少分之一：
红细胞直径 ≈ m
头发丝直径 = m
倍数：
所以头发丝直径是红细胞直径的
也就是说，大约9个红细胞并排排列才能达到一根头发丝的直径。可见红细胞是非常细小的。
重点强调：用科学记数法表示小数的计算，关键是把所有数值都统一为科学记数法形式，然后分别计算系数部分和10的幂次部分。系数部分按普通数字计算，10的幂次部分利用幂的运算性质：，。
例题2：纳米空间计算
【教师活动】接下来我们看第二道例题，这是一道关于纳米技术的应用题：
例2：1 m，那么 1 = 多少 ？1 的空间中能放多少个体积为1 的物体？
【教师活动】这道题需要我们进行单位换算，并利用整数指数幂的运算性质进行计算。让我们一步步来解答：
解：
∵ 1 =
∴
现在换算 1 ：
∵ 1 m
∴ 1
计算个数：
结论：1 的空间中能放 个体积为1 的物体。可见纳米尺度是非常非常小的，在这么小的空间里竟然可以放个物体，这个数量级超出了我们的日常想象。
【教师活动】通过这两道例题，我们看到科学记数法在表示极小数量级时非常简洁方便。没有科学记数法，我们写这么多零会很麻烦，而且容易数错。
易错提醒：单位换算时一定要注意单位间的进率。例如：1 μ m，1 m。如果题目给出的是 μm 单位，要先换算成 m 再写成科学记数法。另外，计算倍数时，不能直接除科学记数法的系数，要同时考虑10的幂次部分的运算。
【学生活动】确实，科学记数法让我们能一眼看出数量级的大小。比如和，一看就知道前者比后者大一个数量级，因为 > 。
【知识点】知识点三：科学记数法的实际应用。包括长度单位换算（微米换算为米、纳米换算为米）和体积单位换算，利用整数指数幂的运算性质进行计算，结果仍用科学记数法表示。例题1展示了纳米尺度在生物学中的应用，例题2展示了纳米技术中的空间计算，体现了科学记数法在科学研究中的重要价值。
【设计意图】本环节通过两个实际例题，分别展示了科学记数法在生物学和纳米技术中的应用，帮助学生掌握用科学记数法表示小于1的正数在实际问题中的运用。单位换算和整数指数幂运算相结合，巩固了之前所学的知识，培养了学生综合运用知识解决实际问题的能力。例题中涉及的微米、纳米等单位，也拓宽了学生的科学视野。
【过渡语】通过两道例题，我们已经掌握了科学记数法在实际问题中的应用。接下来，让我们通过课堂练习来巩固今天所学的知识。
环节四：课堂练习（8分钟）
选择题1：红外线波长
1. 一种红外线波长为 000 94 m，用科学记数法表示为（ ）
A. m
B. m
C. m
D. m
【教师活动】请同学们思考一下，这道题应该选哪个选项？
【学生活动】中，第一个非零数字是9，9前面共有7个零（小数点前1个，小数点后6个），所以，结果是 m，应该选A。
【学生活动】验证一下：小数点向右移动7位得到，所以指数是，确实是A。
应用题：单位换算与倍数计算
2. 已知一根均匀的细铁丝直径约为 08 m，一根头发丝直径约为 。问：头发丝直径约是铁丝直径的多少倍？
【教师活动】这道题需要先统一单位，再计算倍数。请同学们先完成单位换算，再计算。
解答：
铁丝直径： m
头发丝直径： m
计算倍数：
所以头发丝直径约是铁丝直径的0.875倍
选择题2：数轴题
3. 如图，已知a=1.2×10-2，b=1.2×10 3，则数a，b 在数轴上的位置大致是（ ）
选择B项
【知识点】知识点四：课堂练习巩固。包括选择题考查科学记数法的表示，应用题考查单位换算和倍数计算，数轴题考查对小数和科学记数法的理解。通过不同类型的练习，全面巩固本节课所学知识。
【设计意图】课堂练习环节设计了不同类型的题目，从基础的表示到综合应用，帮助学生巩固用科学记数法表示小于1的正数的方法，掌握确定n的技巧，提高单位换算和综合运算能力。不同类型的题目也能更好地考查学生对知识的理解和应用。
【过渡语】通过课堂练习，同学们已经巩固了今天所学的知识。让我们来进行课堂小结。
环节五：课堂小结（2分钟）
【教师活动】同学们，今天这节课我们学习了用科学记数法表示小于1的正数。让我们一起来梳理本节课的知识框架。
知识框架小结
科学记数法知识框架：
一、表示小于1的正数
一般形式：，，n为正整数
二、确定n的方法
方法1：数原数中左起第一个非零数字前面零的个数（包括小数点前的零）
方法2：小数点向右移动的位数就是n
三、实际应用
单位换算：1 μ m，1 m
含有科学记数法的运算：利用整数指数幂的运算性质计算
【教师活动】今天这节课我们完善了科学记数法的知识体系：现在，无论是绝对值很大的数，还是绝对值很小的数，我们都可以用科学记数法来表示了。统一形式都是，其中，n是整数。当表示绝对值大于10的数时n为正整数，当表示绝对值小于1的正数时n为负整数。请同学们课后完成教材上的练习题，巩固今天所学的知识。
方法总结：用科学记数法表示小于1的正数的步骤：（1）确定a：移动小数点得到；（2）确定n：n等于第一个非零数字前零的个数（包括小数点前的），或小数点向右移动的位数；（3）写出结果：。关键是正确确定n，不要遗漏小数点前的零。
【知识点】知识点五：完整知识框架小结。本节课的知识体系：用科学记数法表示小于1的正数的一般形式，确定n的两种方法，实际应用中的单位换算和运算。完善了科学记数法的完整知识体系，无论数的大小都可以用科学记数法表示。
【设计意图】课堂小结环节通过知识框架梳理，帮助学生将本节课的知识整合成完整的体系，明确方法步骤和易错点，巩固记忆。方法总结提供了清晰的步骤，帮助学生建立规范的解题流程。
四、板书设计
一、科学记数法（小于1的正数） ，，n为正整数
n = 第一个非零数字前零的个数（含小数点前）
n = 小数点向右移动的位数
二、单位换算 1 μ m
三、确定n的易错点 必须包括小数点前面的那个零
例如： → （不是）
四、科学记数法完整体系 |a| > 10 → n为正整数
0 < |a| < 1 → n为负整数
统一形式：（，n为整数）
课题：人教版 八年级上册 课时2
用科学记数法表示小于1的正数
五、教学反思
1. 探究式教学的效果如何？本节课采用"观察填空——探究规律——归纳结论"的探究式教学，引导学生从具体例子中自主发现指数与零的个数的关系。从课堂反应来看，学生能够较快发现规律，对1前面有n个零就是这一结论接受度较好。这种探究式学习能够充分调动学生的积极性，发挥学生的主体作用。
2. 学生在确定n时的错误率如何？确定n是本节课最容易出错的地方，最常见的错误就是遗漏小数点前面的那个零，比如会误写为而不是正确的。从课堂练习来看，部分学生仍然会犯这样的错误，说明需要在练习中反复强调这一要点。建议在后续练习中增加针对性训练，让学生养成"数零包括小数点前"的习惯。
3. 类比教学的效果如何？本节课通过类比七年级学习的科学记数法表示大数的方法，帮助学生建立知识之间的联系，学生能够较快理解a的取值范围和表示大数时一样，区别只在于指数的符号。这种类比教学帮助学生将新知识纳入已有的知识体系，构建完整的科学记数法知识框架，效果较好。
4. 实际应用题的教学是否充分？本节课选择了头发丝直径计算和纳米空间计算两个实际例题，分别结合了生物学和纳米技术的背景，既考查了科学记数法的应用，又拓宽了学生的科学视野。单位换算环节部分学生容易出错，说明需要放慢换算步骤，每一步都清晰展示，帮助学生掌握换算过程。
5. 时间分配是否合理？本节课五个环节的时间分配为：导入（5分钟）+ 探究规律（15分钟）+ 例题精讲（15分钟）+ 课堂练习（8分钟）+ 小结（2分钟）= 45分钟。从实际教学来看，探究规律环节学生讨论充分，时间安排合理；例题精讲环节单位换算需要细致讲解，时间安排合理；课堂练习时间基本能够完成三道练习题；小结简洁明了。总体而言，时间分配合理，节奏适中。
6. 是否需要补充更多练习？从课堂反馈来看，学生对基本方法掌握较好，但在确定n时仍有个别错误。建议在课后作业中安排一定量的针对性练习，特别是针对"数零"和"小数点移动"的练习，帮助学生熟练掌握确定n的方法，减少错误率。

展开更多......

收起↑