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1.5相似三角形的性质第1课时教学设计
学科 数学 年级 九 课型 新授课 单元 一
课题 1.5相似三角形的性质第1课时 课时 1
课标要求 依据2022版义务教育数学课程标准,本节课属于图形与几何领域图形的相似主题,要求学生探索并掌握相似三角形对应线段(高、中线、角平分线)的比等于相似比的性质；经历观察、猜想、证明、归纳的推理过程,发展逻辑推理、几何直观与数学运算素养；能运用性质进行边长、线段长度计算与简单证明,体会相似比的核心作用与转化思想；建立“相似→对应线段成比例”的思维模型,为后续面积比、周长比学习及几何综合应用提供重要支撑。
教材分析 本节是湘教版九年级上册相似三角形性质的开篇课时,承接相似三角形判定与相似比概念,是从“判定”到“应用”的关键转变。教材以对应高为切入点,通过相似判定推导性质,再依次推广至角平分线、中线,最终归纳出“对应线段的比等于相似比”的统一结论,结构由特殊到一般、由分散到统一。内容突出推理严谨性与应用广泛性,既是对相似判定知识的巩固深化,也是相似性质体系的核心基础,对培养学生几何推理、归纳概括与模型化思维具有重要作用。
学情分析 九年级学生已熟练掌握相似三角形判定、相似比及基本几何线段知识,具备初步推理与比例运算能力。但学生对“对应线段”的内涵理解不全面,易混淆高、中线、角平分线的对应关系；对性质推导中“用相似证相似”的推理链条不熟悉；在实际问题中难以快速定位对应线段。学生善于归纳总结,适合通过探究、类比、变式训练完成学习,需强化模型识别与规范书写,提升性质应用的准确性与灵活性。
教学目标 1.理解并掌握相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比,归纳得出对应线段的比等于相似比的核心性质,能规范表述与应用。 2.经历性质的猜想、证明、归纳过程,提升逻辑推理、几何表达与知识迁移能力。 3.能在几何图形与实际问题中识别对应线段,运用性质进行计算与证明。 4.体会从特殊到一般、转化与类比的数学思想,完善相似三角形知识体系。
教学重点 1.相似三角形对应线段的比等于相似比的性质理解与推导。 2.运用性质解决对应线段长度计算与证明问题。
教学难点 “用相似证明相似”的推理链条构建与复杂图形中对应线段的准确识别。
教学过程
教学步骤 教学主要内容 教师活动 学生活动 设计意图
环节一:依标靠本,独立研学 复习回顾 1.相似三角形最核心的两个性质是什么？ 2.相似比指的是哪两组线段的比？ 探究问题 相似三角形对应边成比例,那么三角形中三条重要线段——高、中线、角平分线,它们的比是否也等于相似比？请提出你的猜想。 答案 1.对应角相等,对应边成比例。 2.相似三角形对应边的比叫作相似比。 3.猜想:相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比。 回顾相似三角形定义与相似比,引导回顾判定方法,为性质探究铺垫。 回忆旧知,口述相似三角形核心特征。 以旧引新,构建判定与性质的逻辑关联。
探究活动一:相似三角形对应高的比 前面已经知道,相似三角形对应边的比等于相似比,那么相似三角形对应边上的高(中线)、对应的角平分线等对应线段的比是否也等于相似比？相似三角形面积的比与相似比之间又有什么关系呢？下面我们来分别进行研究. 思考:如图,已知,分别为对应边上的高,那么吗？ 因为,所以. 又, 因此. 所以. 类似地,我们可以得到其余两组对应边上的高的比也等于相似比. 由此得到,相似三角形对应边上的高的比等于相似比. 例1:如图,已知,,.点在一条直线上,点也在一条直线上.若与的距离是,求点到直线的距离. 解：因为,所以. 如图,过点作,交的延长线于点. 设交的延长线于点, 因此. 由“相似三角形对应边上的高的比等于相似比”可得, . 又, 于是, 因此. 即点到直线的距离为. 总结归纳: 1.证明思路:利用相似得角相等,结合直角条件,再证小三角形相似,推出对应高成比例。 2.核心结论:相似三角形对应高的比等于相似比。 3.应用要点:找准对应边与对应高,依据性质列比例式求解长度。 引导观察、猜想对应高的比,组织推理证明,规范结论表述。 动手推导,证明对应高的比等于相似比,理解推理过程。 从特殊线段切入,落实逻辑推理素养,建立性质认知。
环节二:同伴分享,互助研学 探究活动二:相似三角形对应角平分线的比 例2如图,已知,分别为,的角平分线.求证:. 证明:因为, 所以. 又分别为对应角的平分线, 于是, 因此, 所以. 类似地,我们可以得到另外两组对应角平分线的比也等于相似比. 由此得到,相似三角形对应角平分线的比等于相似比. 方法总结: 1.证明思路:由原三角形相似得角相等,结合角平分线分得等角,证小三角形相似。 2.核心结论:相似三角形对应角平分线的比等于相似比。 3.关键技巧:抓住角平分线分得的角为原角一半,构造相似条件。 引导类比对应高的推导方法,指导证明对应角平分线的性质。 类比推理,完成证明,归纳角平分线性质。 渗透类比思想,巩固相似证相似的推理模式。
环节三:全班展学,互动深入 探究活动三:相似三角形对应角中线的比 议一议:已知,若分别为的中线,则成立吗？由此你能得出什么结论？ 如图,由可得,. 又,则,于是, 从而,所以. 类似地,我们可以得到另外两组对应边上的中线的比也等于相似比. 由此得到,相似三角形对应边上的中线的比等于相似比. 综上所述,可得相似三角形的性质定理1: 相似三角形对应线段的比等于相似比. 总结归纳: 1.证明思路:利用中线将边平分,结合相似比例,证含中线的小三角形相似。 2.核心结论:相似三角形对应中线的比等于相似比。 3.统一归纳:相似三角形所有对应线段的比都等于相似比。 引导利用中线定义与相似条件,完成对应中线性质的推导。 合作探究,证明结论,统一归纳对应线段性质。 由特殊到一般,完善性质体系,培养归纳概括能力。
环节四:巩固内化,拓展延伸 课堂练习 1.下列有关相似三角形的性质,正确的是( ) A.如果两个相似三角形的相似比为4:9,那么它们对应角平分线的比为16:81 B.如果两个相似三角形的相似比为4:9,那么它们的对应高的比为4:9 C.如果两个相似三角形的相似比为4:9,那么它们的面积的比为2:3 D.如果两个相似三角形的相似比为4:9,那么它们对应中线的比为2:3 2.如果两个相似三角形对应角平分线之比是2:3,那么它们的对应边之比是( ) A.2:3 B.4:9 C.16:81 D. 3.如图,在菱形ABCD中,E,F分别是边AB,AD的中点,连接CE,CF交对角线BD于点M,N,连接EF,则BM:EF=( ) A.1:1B.1:2C.2:3D.3:2 4.已知△ABC∽△A'B'C'且相似比为,△A'B'C'∽△A″B″C″且相似比为,则△ABC与△A″B″C″的对应角平分线比为(　　) A.B.C.D. 5.已知△ABC∽△A1B1C1,顶点A,B,C分别与A1,B1,C1对应,AC＝12,A1C1＝8,△ABC的高AD为6,那么△A1B1C1的高A1D1为____. 6.如图,已知△ABC∽△DEF,AB:DE=1:2,点M,N分别是BC,EF的中点,则AM:DN=　 　. 7.如图,某校宣传栏后面2 m处种了一排树,每隔2 m一棵,共种了6棵,小勇站在距宣传栏中间位置的垂直距离3 m处,正好看到这排树两端的树干,其余的4棵均被挡住,那么宣传栏的长为　 　m.(不计宣传栏的厚度) 8.如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,CD⊥AB于点D ,DE⊥AC于点E,DF⊥BC于点F.若AC＝3,AB＝5,求DE:DF的值. 9.如图,已知△ABC∽△ACD,AC=6,AD=4,CD=2AD,求BD和BC的长. 1.B;2.A;3C.;4.B;5.4;6.1:2;7.6; 8. 解:∵∠ACB＝90°,CD⊥AB于点D,AC＝3,AB＝5, ∴BC＝4,∠ACB＝∠ADC＝∠BDC＝90°, ∴∠A＋∠ACD＝∠ACD＋∠BCD＝90°, ∴∠A＝∠BCD,∴△ACD∽△CBD, ∵DE⊥AC于点E,DF⊥BC于点F, ∴＝＝. 9. 解:∵AD=4,CD=2AD,∴CD=8, ∵△ABC∽△ACD,∴==,即==, 解得:AB=9,BC=12, ∴BD=AB-AD=5. 巡视课堂迅速掌握学情 当堂小测,用所学知识解决问题,学生代表回答。 学以致用,及时获知学生对所学知识的掌握情况,明确哪些学生需要在课后加强辅导,达到全面提高的目的
课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？ 知识点: 1.相似三角形对应高的比等于相似比。 2.相似三角形对应角平分线的比等于相似比。 3.相似三角形对应中线的比等于相似比。 4.统一性质:相似三角形对应线段的比等于相似比。 5.证明方法:通过 “相似→角相等→再证小三角形相似” 推导。 6.应用步骤:确定相似关系→找准对应线段→依据性质列比例→计算求解。 7.思想方法:类比思想、转化思想、从特殊到一般。 教师以提问的形式小结 学生思考自由回答,自我小结 课堂小结可以帮助学生理清所学知识的层次结构,掌握其外在的形式和内在联系,形成知识系列及一定的结构框架。
板书设计 1.5 相似三角形的性质(第1课时) 对应高的比 = 相似比 对应角平分线的比 = 相似比 对应中线的比 = 相似比 性质:相似三角形对应线段的比等于相似比 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知,可以帮助学生理解掌握知识,形成完整的知识体系。
作业设计 基础达标: 1.如图,△ABO∽△CDO,若AB＝6,CD＝2,则CD边上的高与AB边上的高之比是(　 　) A.1:2 B.1:3 C.2:1 D.3:1 2.已知△ABC∽△DEF,若△ABC与△DEF的相似比为,则△ABC与△DEF对应中线的比为(　 　) A. B. C. D. 3.若两个相似三角形对应边上的高线之比为3:1,则对应角平分线之比为(　 　) A.9:1 B.6:1 C.3:1 D.:1 4.如图,在△ABC中,BC＝120,高AD＝60,正方形EFGH的一边在BC上,点E,F分别在AB,AC上,AD交EF于点N,则AN的长为(　 　) A.15 B.20 C.25 D.30 5.(1)相似三角形对应高的比等于________. (2)相似三角形对应的角平分线的比等于________. (3)相似三角形对应边上的中线的比等于________. 6.如图,已知在△ABC与△DEF中,∠A＝∠D,∠B＝∠E, CM,FN分别平分∠ACB,∠DFE.若＝,AB＝6,则DE的长为________. 能力提升: 7.如图,在△ABC中,AD,BE分别是BC,AC边上的中线,且AD⊥BE,垂足为点F,设BC＝a,AC＝b,AB＝c,则下列表达式中成立的是(　 　)　 A.a2＋b2＝5c2 B.a2＋b2＝4c2 C.a2＋b2＝3c2 D.a2＋b2＝2c2 8.如图,在矩形ABCD中,AB＝6,BC＝10,点E,F在AD边上,BF和CE交于点G,若EF＝AD,则图中阴影部分的面积为(　 　) A.25 B.30 C.35 D.40 9.顺次连接三角形三边的中点,所成的三角形与原三角形对应高的比是( ) A.1:4 B.1:3 C.2:1 D.1:2 10.已知D,E分别是△ABC中的AB,AC边上的点,DE∥BC,且AD:BD=4:5,那么△ADE与△ABC对应高的比是( ) A. B. C. D. 11.如果两个相似三角形的两条对应边长分别是20 cm和25 cm,其中一个三角形最大内角的平分线长是12 cm,那么另一个三角形对应角的平分线长是____________cm. 12.如图,矩形EFGH内接于△ABC ,且边FG落在BC上,若BC＝3,AD＝2,EF＝EH,则EH的长为___________. 拓展迁移: 13.如图,在△ABC中,D,E分别是△ABC的边AB,AC上的点,DE∥BC,CF,EG分别是△ABC,△ADE的中线.已知AD:DB＝4:3,EG＝4,求CF的长. 14.如图,△ABC∽△A′B′C′,相似比为k,AD,A′D′分别是边BC,B′C′上的中线,求证:＝k. 1.B;2.A;3.C;4.B;5. 相似比 相似比 相似比;6.9; 7.A;8.C;9.D;10.D;11. 15或9.6;12.3/2; 13. 解:∵AD:DB＝4:3,∴AD:AB＝4:7. 又∵DE∥BC,∴△ABC∽△ADE. ∵CF,EG分别是△ABC与△ADE的中线, ∴＝,∴＝, ∴CF＝7. 14. 证明:∵△ABC∽△A′B′C′, ∴＝＝＝k,∠B＝∠B′. 又∵AD,A′D′分别是边BC,B′C′上的中线, ∴＝＝. ∴＝. 又∵∠B＝∠B′,∴△ABD∽△A′B′D′. ∴＝＝k.
教学反思 本节课以旧知引新知,通过探究—证明—归纳完成性质构建,紧扣2022新课标落实推理与应用素养。教学中突出“对应”二字,强化模型识别与规范书写,帮助学生建立统一性质认知。但部分学生对性质推导的逻辑衔接不够清晰,在复杂图形中易找错对应线段,实际问题中距离转化能力不足。后续应增加图形变式训练,简化推理难点；加强实际问题与几何模型的结合,设计分层任务兼顾差异,提升学生识图、辨对应、用性质的综合能力。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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