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1.4相似三角形的判定第4课时教学设计
学科 数学 年级 九 课型 新授课 单元 一
课题 1.4相似三角形的判定第4课时 课时 1
课标要求 依据2022版义务教育数学课程标准,本节课属于图形与几何领域图形的相似主题,要求学生探索并掌握三边成比例的两个三角形相似的判定定理,掌握直角三角形相似的特殊判定方法；经历观察、猜想、证明、应用的推理过程,发展逻辑推理、几何直观与运算素养；能灵活选用四种判定方法解决综合问题,完善相似判定知识体系；体会类比、转化、从一般到特殊的数学思想,提升几何建模与综合解题能力。
教材分析 本节是湘教版九年级上册相似三角形判定的收官课时,承接平行判定、两角判定、两边夹角判定,完成最后一个“三边成比例”判定定理的学习。教材由前序定理证明思路迁移,通过构造平行线与全等三角形完成定理推导,延伸得出直角三角形相似的简化判定,搭配中点三角形、方格纸三角形、直角三角形等典型例题,实现判定方法的综合运用。内容系统性强、结构完整,既是对全节知识的整合升华,也是后续相似性质、应用及几何综合题的核心基础,对培养学生逻辑推理与方法选择能力至关重要。
学情分析 九年级学生已掌握三种相似判定方法,具备比例计算、几何证明与图形分析能力,但面对多方法选择时易混乱；对三边成比例定理的证明思路、辅助线构造理解薄弱；在方格纸、不规则图形中难以规范排序、计算边长比例；直角三角形相似判定易与全等判定混淆。学生善于归纳总结,适合通过表格梳理、模型对比、变式训练完成知识整合,需强化方法选择、比例计算与规范书写。
教学目标 1.理解并掌握三边成比例的两个三角形相似的判定定理,掌握直角三角形相似的特殊判定方法,能规范书写推理过程; 2.经历定理猜想、证明与应用过程,提升逻辑推理、边长计算、比例化简与几何表达能力; 3.能根据题目条件灵活选择最优判定方法,解决综合判定、证明与计算问题; 4.整合相似三角形全部判定方法,构建完整知识体系,体会类比与归纳思想.
教学重点 1.三边成比例判定定理的理解与应用; 2.直角三角形相似的特殊判定及多判定方法灵活选用.
教学难点 三边成比例定理的证明思路与辅助线构造,以及多方法情境下最优判定策略选择.
教学过程
教学步骤 教学主要内容 教师活动 学生活动 设计意图
环节一:依标靠本,独立研学 复习回顾 1.已学的相似三角形判定方法有哪些？ 2.全等三角形中只和边有关的判定定理是什么？ 探究问题 类比全等判定,猜想:三条边满足什么关系时,两个三角形一定相似？请说明依据。 答案 1.平行截相似、两角分别相等、两边成比例且夹角相等。 2.SSS(三边分别相等)。 3.猜想:三边对应成比例的两个三角形相似；依据:三角形具有稳定性,三边比例确定则形状固定,对应角必相等。 回顾已学三种相似判定方法，类比全等 SSS 引导猜想三边判定思路。 梳理旧知，对比全等与相似条件，提出三边成比例的相似猜想。 以旧引新，构建知识迁移路径，降低定理理解难度。
探究活动一:相似三角形的判定定理3 思考:如图1.4-13,已知,然后作一个,使的各边与的各边对应成比例,即满足(常数).与相似吗？为什么？ 从前面两个相似三角形判定定理的证明受到启发,若能在中用平行于边的直线截得,使它与全等,则. 由此猜测:三边成比例的两个三角形相似. 下面我们来证明上述猜测成立. 如图,在的边上取一点,使. 过点作,交于点. 因为, 所以, 从而. 又,, 于是. 因此,, 从而,因此. 故. 我们将上述猜测称为相似三角形的判定定理3. 总结归纳： 1.证明思路：构造平行线→得相似三角形→证全等→传递相似关系。 2.核心结论：三边对应成比例的两个三角形相似。 3.关键操作：先按大小排序，再计算三组对应边比值，比值相等即可判定。 4.符号语言：. 引导构造辅助线完成证明，规范定理表述与几何语言书写。 合作完成证明，归纳定理内容，准确书写符号语言。 经历完整推理过程，培养逻辑推理与几何直观素养。
环节二:同伴分享,互助研学 探究活动二:相似三角形的判定定理3的应用 例6:如图,在和中,.求证:. 证明:设,则.由勾股定理,得 , 所以,从而. 因此(三边成比例的两个三角形相似). 例7:判断图中的两个三角形是否相似,并说明理由. 解:在中,, 在中,. 因为,, 所以. 因此. 方法总结: 1.直角三角形相似判定：斜边与一条直角边成比例，两直角三角形相似。 2.通用解题步骤：排序→算比→验等→判定。 3.选择策略：边齐全用三边判定；有角有边用两边夹角；只有角用两角相等。 4.易错提醒：必须是对应边成比例，非对应边不可直接判定。 引导推导直角三角形特殊判定，精讲例题并提炼解题模型。 运用勾股定理完成推导，规范解题步骤，识别常见相似模型。 巩固定理应用，强化特殊图形判定，提升综合解题能力。
环节三:巩固内化,拓展延伸 课堂练习 1.已知△ABC三边长是,,2,与△ABC相似的三角形三边长可能是( ) A.1,, B.1,, C.1,, D.1,, 2.一个三角形木架三边长分别是75cm,100cm,120cm,现要再做一个与其相似的三角形木架,而只有长为60cm和120cm的两根木条.要求以其中一根为一边,从另一根截下两段作为另两边(允许有余料),则不同的截法有( ) A.一种 B.两种 C.三种 D.四种 3.如图,在△ABC中,点D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,求证:△ABC∽△EFD. 4.如果一个直角三角形的两条边分别是6和8,另一个与它相似的直角三角形边长分别是3,4及x,那么x的值( ) A.只有1个 B.可以有2个 C.可以有3个 D.无数个 5.在△ABC和△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,下列条件不能判定它们相似的是( ) A.∠A=∠B' B.AC=BC,A'C'=B'C' C.AB=3A'B',BC=3B'C' D.△ABC中有两边长为3,4,△A'B'C'有两边长为6,8 6.如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,则在下列五个条件中: ①∠AED=∠B;②DE∥BC;③=;④AD·BC=DE·AC; ⑤∠ADE=∠C,能满足△ADE∽△ACB的条件有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7.如图,从点A(0,2)发出的一束光,经x轴反射,过点B(5,3),则这束光从点A到点B所经过的路径的长为　　. 8.如图,在△ABC中,D是AB边上的一点,且AD=3BD,连接CD并取CD的中点E,连接BE,若∠ACD=∠BED=45°,且CD=6,则AB的长为　　. 9.如图,正方形ABCD中,M为BC上一点,F是AM的中点,EF⊥AM,垂足为F,交AD的延长线于点E,交DC于点N. (1)求证:△ABM∽△EFA; (2)若AB=12,BM=5,求DE的长. 1.A;2.B; 3.证明:∵点D,E,F分别是AB,BC,CA的中点, ∴DF,EF,DE是△ABC的中位线, ∴DF=BC,EF=AB,DE=AC, ∴===,∴△ABC∽△EFD. 4.B;5.D;6.C;7.;8.; 9.解:(1)∵四边形ABCD是正方形, ∴AB=AD,∠B=90°,AD∥BC, ∴∠AMB=∠EAF, 又∵EF⊥AM,∴∠AFE=90°, ∴∠B=∠AFE,∴△ABM∽△EFA; (2), , ∵F是AM的中点, , ∵, ∴,即, ∴AE=16.9,∴DE=AE-AD=4.9. 巡视课堂迅速掌握学情 当堂小测,用所学知识解决问题,学生代表回答。 学以致用,及时获知学生对所学知识的掌握情况,明确哪些学生需要在课后加强辅导,达到全面提高的目的
课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？ 知识点: 1.三边成比例判定定理：三边对应成比例的两个三角形相似。 2.直角三角形相似判定：斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似。 3.判定步骤：将三角形三边按大小排序，计算对应比值，比值相等即成比例。 4.相似判定方法汇总：平行判定、两角相等、两边夹角相等、三边成比例。 5.方法选择技巧：边多用三边，角多用两角，边角混合用两边夹角。 6.书写规范：注明判定依据，对应顶点写在对应位置。 7.核心思想：类比思想、转化思想、模型思想。 教师以提问的形式小结 学生思考自由回答,自我小结 课堂小结可以帮助学生理清所学知识的层次结构,掌握其外在的形式和内在联系,形成知识系列及一定的结构框架。
板书设计 1.4 相似三角形的判定（第 4 课时） 判定定理 4：三边成比例 两三角形相似 直角△相似：斜边、直角边成比例 相似 符号语言：. 方法选择：看边、看角、选最优判定 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知,可以帮助学生理解掌握知识,形成完整的知识体系。
课后提升 基础达标: 1.已知△ABC三边长是,3,,与△ABC相似的三角形三边长可能是( ) A.1,, B.1,, C.1,, D.1,, 2.甲三角形的三边长分别为9,6,12,乙三角形的三边长分别为4,6,8,则这两个三角形( ) A.一定不相似 B.不一定相似 C.一定相似 D.无法判断是否相似 3.在△ABC中,AB＝8,AC＝6,在△DEF中,DE＝4,DF＝3,当＝____时,△ABC∽△DEF. 4.判断图中的两个三角形是否相似,并说明理由. 5.下列两个三角形不相似的是( ) A.一个三角形的两个角分别是40°,80°；另一个三角形的两个角分别是60°,80° B.一个三角形的三边长分别是4cm,6cm,8cm；另一个三角形的三边长分别是12cm,18cm,21cm C.一个三角形的两边长分别是2cm和5cm,夹角是40°；另一个三角形的两边长分别是3cm和7.5cm,夹角是40° D.各有一个角是120°的两个等腰三角形 6.如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,CD⊥AB于点D,已知AD＝9,BD＝4,那么BC＝____. 能力提升: 7.如图,在△ABC和△A′B′C′中,D,D′分别是AB,A′B′上一点,,当时,求证△ABC∽△A′B′C′. 8.如图,在4×4的正方形网格中,画2个相似三角形,在下列各图中,正确的画法有( ) A.1个 B.2个　　　C.3个　　　D.4个 9.如图,△ABC中,AB＝12,AC＝15,D为AB上一点,且AD＝AB,在AC上取一点E,使以A,D,E为顶点的三角形与△ABC相似,则AE等于____. 10.已知:在△ABC中,AB＝4,BC＝5,CA＝6. (1)如果DE＝10,那么当EF＝____, FD＝____时,△DEF∽△ABC； (2)如果DE＝10,那么当EF＝____, FD＝____时,△FDE∽△ABC. 11.已知AD为∠BAC的平分线,EF为AD的垂直平分线,求证:FD2＝FB·FC. 拓展迁移: 12.如图,在△ABC中,D是BC上的点,E是AD上一点,且＝＝, (1)求证:AC2＝BC·CD； (2)若AD是△ABC的中线,求的值. 13.如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,△ABC和△DEF的顶点都在格点上,P1,P2,P3,P4,P5是△DEF边上的5个格点,请按要求完成下列各题: (1)试证明△ABC是直角三角形. (2)判断△ABC和△DEF是否相似,并说明理由. (3)画一个三角形,使它的三个顶点为P1,P2,P3,P4,P5中的3个格点,并且与△ABC相似. 1.A;2.C;3.2; 4.解:△ABC∽△DEF. 理由如下:∵AC＝3,BC＝3.5,AB＝4,DF＝1.8,EF＝2.1,DE＝2.4, ∴＝＝＝, ∴△ABC∽△DEF. 5.B;6.; 7.证明:∵＝,∴＝, ∵＝＝, ∴＝＝, ∴△ADC∽△A′D′C′,∴∠A＝∠A′, ∵＝,∴△ABC∽△A′B′C. 8.D;9.10或6.4;10.12.5;15;12;8. 11.证明:∵AD为∠BAC的平分线, ∴∠BAD＝∠DAC, ∵EF为AD的垂直平分线,∴FA＝FD, ∴∠FAD＝∠FDA, ∵∠FAB＝∠FAD＋∠BAD,∠FCA＝∠ADC＋∠DAC,∴∠FCA＝∠FAB, 又∵∠AFC＝∠BFA,∴△AFC∽△BFA, ∴＝,∴FA2＝FC·FB, ∴FD2＝FB·FC. 12.解:(1)∵＝＝, ∴△BAD∽△ACE, ∴∠B＝∠EAC,又∠ACB＝∠DCA, ∴△ABC∽△DAC,∴＝, ∴AC2＝BC·CD； (2)∵∠ADC是△ABD的外角,∠CED是△ACE的外角, ∴∠ADC＝∠B＋∠BAD,∠CED＝∠CAE＋∠ECA, 由(1)可知,∠B＝∠EAC,∠BAD＝∠ECA, ∴∠ADC＝∠CED,∴CE＝CD, ∵AD是△ABC的中线,∴BC＝2CD, ∴BC＝2CE,由(1)得:AC2＝BC·CD, ∴AC2＝2CE·CE, ∴＝,即＝. 13.解:(1)根据勾股定理,得AB＝2,AC＝,BC＝5, ∴AB2＋AC2＝BC2.∴△ABC为直角三角形. (2)△ABC和△DEF相似.理由: 根据勾股定理,得AB＝2,AC＝,BC＝5, DE＝4,DF＝2,EF＝2. ∵＝＝＝, ∴△ABC∽△DEF. (3)如图所示,△P2P4P5即为所求.
教学反思 本节课以旧知迁移引入,紧扣2022新课标落实推理与整合素养,完成定理证明与方法体系构建。教学中重视思路归纳、规范书写与变式训练,帮助学生建立“看条件→选方法→严推理→得结论”的解题路径。但部分学生对定理证明的辅助线构造理解困难,方格纸中边长计算与排序易出错,多方法选择时不够果断。后续应简化证明难点,强化边长排序训练；增加综合题型与错题辨析,设计分层任务兼顾差异,提升学生方法选择、快速计算与规范推理能力。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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