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教案：25.2.1 配方法 第2课时 用配方法解一元二次方程
课题 25.2.1 配方法 第2课时 用配方法解一元二次方程 课型 新授课
课时 1课时（45分钟） 教材版本 人教版九年级上册 第二十五章
教学方法 问题驱动、探究发现、讲练结合 教学用具 多媒体课件
教材分析 本节课选自人教版九年级上册第二十五章"一元二次方程"中25.2节配方法的第二课时。学生在第一课时已经学习了直接开平方法和配方法的基本思路，本节课重点学习如何运用配方法完整地解一元二次方程。配方法是一元二次方程求解的重要方法，它不仅是推导公式法的基础，而且在二次函数、因式分解等后续内容的学习中也有广泛应用。配方法的核心思想是通过配方将一元二次方程转化为可以直接开平方的形式，体现了"降次"的化归思想，这种思想方法对学生后续学习高次方程的解法具有重要的启发意义。
教学难点：理解"降次"转化的思想在解一元二次方程中的作用；当二次项系数不为1时正确进行配方，特别是分数运算；根据配方后的常数项p判断方程解的情况，理解p<0时方程无实数根。 理解"降次"转化的思想在解一元二次方程中的作用；当二次项系数不为1时正确进行配方，特别是分数运算；根据配方后的常数项p判断方程解的情况，理解p<0时方程无实数根。
一、核心素养目标
1. 数学运算
能熟练运用配方法解一元二次方程，掌握配方的基本步骤和运算技巧，提高代数运算的准确性和规范性。
2. 逻辑推理
通过配方法将一元二次方程转化为完全平方式，体会"降次"转化的思想方法，发展推理能力和化归意识。
3. 数学抽象
从具体的解方程过程中抽象出配方法解一元二次方程的一般步骤，形成程序性知识，发展从特殊到一般的抽象概括能力。
二、教学重难点
教学重点
1. 掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤，能按照步骤规范求解。
2. 能熟练地对一元二次方程进行配方，准确求出方程的解。
教学难点
1. 理解"降次"转化的思想在解一元二次方程中的作用。
2. 当二次项系数不为1时，正确进行配方，特别是分数运算。
3. 根据配方后的常数项p判断方程解的情况，理解p<0时方程无实数根。
三、教学过程
环节一：情境导入（5分钟）
【教师活动】同学们，上一节课我们学习了配方法的基本思路。请大家回忆一下，完全平方公式是什么？
【学生活动】完全平方公式有两个：
其中，左边是二次三项式，右边是完全平方式。
【教师活动】很好！完全平方公式告诉我们，形如a ±2ab+b 的式子可以写成(a±b) 。请大家利用这个规律完成下面的填空。
填空：
(1) x + 10x + ___ = (x + ___)
(2) x - 12x + ___ = (x - ___)
(3) x + 5x + ___ = (x + ___)
【学生活动】这三个填空的答案分别是：
(1) x + 10x + 25 = (x + 5)
(2) x - 12x + 36 = (x - 6)
(3)
【教师活动】非常正确！观察这三道题，你发现什么规律？
【学生活动】规律是：x ±2mx+m =(x±m) 。当二次项系数为1时，常数项等于一次项系数一半的平方。
【知识点】二次项系数为1的完全平方式：常数项等于一次项系数一半的平方。即x +2mx+m =(x+m) ，x -2mx+m =(x-m) 。这是配方的关键规律。
解题策略：配方的关键一步就是在方程两边加上"一次项系数一半的平方"。这里有两个关键词：一是"一半"，二是"平方"。必须同时满足这两个条件才能配成完全平方式。
【教师活动】我们今天这节课，就来完整地学习如何用配方法解一元二次方程。
【设计意图】通过复习完全平方公式和配方练习，帮助学生回忆二次项系数为1时配方的规律，为本节课完整学习配方法做好铺垫。填空练习选自教材，通过学生自主思考发现规律，培养归纳能力。
环节二：新知探究（18分钟）
探究：怎样解方程 x +6x+4=0 ？
【教师活动】请同学们观察这个方程：x +6x+4=0。它和我们上节课学习的可以直接开平方的方程(x+3) =5有什么不同？我们能不能把它转化为(x+n) =p的形式呢？
【学生活动】这个方程左边不是完全平方式，常数项是4，不是9。如果左边常数项是9，就能写成(x+3) 了。
【教师活动】你说得很好！那么我们怎么才能让左边变成x +6x+9呢？
【学生活动】可以先移项，把常数项4移到右边：x +6x = -4。然后在两边都加上3 也就是9，左边就变成x +6x+9 = -4+9，即(x+3) = 5。
【教师活动】非常棒！我们一步步来写清楚：
第一步：移项，把常数项移到方程右边。
第二步：配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方。一次项系数是6，一半是3，3 =9。
第三步：降次，直接开平方。
第四步：解一次方程，得到方程的解。
x = -3 ±
所以，x = -3 + ，x = -3 - 。
【教师活动】这样我们就完整地解出了方程。请大家思考：我们每一步的目的是什么？
【学生活动】移项是为了把含未知数的项放在左边，常数项放在右边，方便配方；配方是为了把左边变成完全平方式，把方程转化为可以直接开平方的形式；开平方实现了"降次"，把一元二次方程转化为一元一次方程来解。
【知识点】配方法定义：通过配成完全平方式来解一元二次方程，这种方法叫做配方法。基本思路：将一元二次方程配方转化为(x+n) =p的形式，然后开平方降次求解。方法：在方程两边都加上一次项系数一半的平方。注意：必须在二次项系数为1的前提下才能这样配方。
易错防范：配方时，一定要在方程两边都加上一次项系数一半的平方，不能只在左边加。如果只在左边加，方程两边就不相等了。这是学生在配方时最容易犯的错误之一。
【过渡语】我们已经理解了配方法的基本思路和步骤，接下来通过几个完整的例题来巩固如何用配方法解一元二次方程。
【设计意图】通过对具体方程x +6x+4=0的逐步探究，让学生亲身经历用配方法解一元二次方程的完整过程，理解每一步的目的和依据，体会"降次"转化的思想方法。学生在探究过程中自主思考，主动建构知识。
环节三：例题精讲（8分钟）
例1 用配方法解下列方程：
(1) x - 8x + 1 = 0
【教师活动】请同学们按照我们刚才探究的步骤来解这个方程。第一步应该做什么？
【学生活动】第一步移项，把常数项移到右边：x - 8x = -1。
【教师活动】第二步呢？
【学生活动】第二步配方，一次项系数是-8，一半是-4，平方是16。两边都加上16：x - 8x + 16 = -1 + 16，即(x - 4) = 15。
【教师活动】很好！接下来呢？
【学生活动】开平方：x - 4 = ±，所以x = 4 ±。因此方程的两个根是：x = 4 + ，x = 4 - 。
完整解题过程：
解：移项，得
配方，得
开平方，得
所以
即 x = 4 + ，x = 4 -
(2) 2x + 1 = 3x
【教师活动】这个方程和上一个方程有什么不同？应该怎么处理？
【学生活动】这个方程的二次项系数是2，不是1。我们需要先把二次项系数化为1。
【教师活动】说得对！当二次项系数不为1时，我们第一步先把二次项系数化为1，然后再配方。让我们一起解这个方程。
解：移项，得
二次项系数化为1，得
配方，得
一次项系数是，一半是，平方是。
开平方，得
所以
即
(3) 3x - 6x + 4 = 0
【教师活动】请同学们自己尝试解这个方程，注意观察配方后得到什么结果。
【学生活动】我来解一下：移项得3x - 6x = -4，二次项系数化为1得
【学生活动】配方得
【学生活动】即
【学生活动】。因为平方不可能是负数，所以方程没有实数根！
【教师活动】你发现得非常准确！我们来看标准解题过程：
解：移项，得
二次项系数化为1，得
配方，得
因为任何实数的平方都不会是负数，即
，所以原方程无实数根。
知识要点：用配方法解一元二次方程的一般步骤：①移项——将常数项移到方程右边；②二次项系数化为1——方程两边同除以二次项系数；③配方——方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；④写成(x+n) =p的形式；⑤根据p的符号判断解的情况。
知识要点：当配方得到(x+n) =p时，根据p的符号，方程解的情况分为三种：当p>0时，方程有两个不相等的实数根；当p=0时，方程有两个相等的实数根；当p<0时，方程没有实数根。
【设计意图】通过三道典型例题，覆盖了二次项系数为1、二次项系数不为1、配方后无实数根三种不同情况，让学生全面掌握配方法解一元二次方程。每道例题都有师生互动，引导学生自主思考解题步骤，然后展示完整解题过程，突出规范性。第三道例题让学生自主发现p<0时无实数根，培养学生的批判性思维。
环节四：课堂练习（11分钟）
随堂练习1
一元二次方程x - 6x - 5 = 0配方可变形为（ ）
A. (x - 3) = 14 B. (x - 3) = 4
C. (x + 3) = 14 D. (x + 3) = 4
答案：A
【教师活动】请同学们说说配方的过程，为什么选A？
【学生活动】移项得x - 6x = 5，配方：一次项系数-6，一半是-3，平方是9，两边加9得x - 6x + 9 = 5 + 9，即(x - 3) = 14。所以正确答案是A。
随堂练习2
将一元二次方程2x - 3x + 1 = 0配方，下列配方正确的是（ ）
D. 以上都不对
答案：C
【教师活动】请同学们认真计算，哪个选项正确？
【学生活动】移项得2x - 3x = -1，二次项系数化为1得
【学生活动】配方加上
【学生活动】，得
【学生活动】，即
【学生活动】，所以选项C正确。
随堂练习3（选自教材第9页练习第2题）
用配方法解下列方程：
(1) x + 10x + 9 = 0
解：移项得 x + 10x = -9
配方得 x + 10x + 25 = -9 + 25
开平方得 x + 5 = ±4
所以 x = -1，x = -9
(2) 3x + 6x - 4 = 0
解：移项得 3x + 6x = 4
二次项系数化为1得
配方得
开平方得
所以
(3) 4x - 6x - 3 = 0
解：移项得 4x - 6x = 3
二次项系数化为1得
配方得
开平方得
(4) x + 4x - 9 = 2x - 11
解：移项整理得 x + 2x + 2 = 0
配方得 x + 2x + 1 = -2 + 1
因为-1 < 0，所以原方程无实数根。
(5) x(x + 4) = 8x + 12
解：去括号得 x + 4x = 8x + 12
移项整理得 x - 4x - 12 = 0
移项得 x - 4x = 12
配方得 x - 4x + 4 = 12 + 4
开平方得 x - 2 = ±4
所以 x = 6，x = -2
拓展提高
已知 2x + y + 4x - 6y + 11 = 0，求xy的值。
【教师活动】这道题有两个未知数x和y，但只有一个方程，我们怎么求x和y的值呢？
【学生活动】这可能需要用配方法，分别对x和y配方，把方程写成几个平方和等于0的形式，利用平方的非负性求解。
【教师活动】思路很清晰！我们来试试。
解：对x和y分别配方：
2x + 4x + y - 6y + 11 = 0
提公因式2：2(x + 2x) + y - 6y + 11 = 0
配方：2(x + 2x + 1 - 1) + (y - 6y + 9 - 9) + 11 = 0
整理得：2(x + 1) - 2 + (y - 3) - 9 + 11 = 0
因为平方为非负，所以2(x+1) ≥ 0，(y-3) ≥ 0，它们的和等于0，只有当：
所以 x = -1，y = 3
因此 xy = (-1) × 3 = -1
方法归纳：对于多个未知数的方程，如果要求未知数的值，常常考虑对各个未知数分别配方，利用"几个非负数的和等于0，则每一个非负数都等于0"这一性质求解。这是一种重要的解题方法，在后续学习中会经常遇到。
【设计意图】通过不同层次的练习，帮助学生巩固配方法解一元二次方程。随堂练习1和2侧重对配方过程的理解，随堂练习3选自教材，涵盖了各种不同情况，让学生得到充分的训练。拓展提高题将配方法应用于更复杂的情境，培养学生灵活运用知识的能力。
环节五：课堂小结（3分钟）
【教师活动】今天我们学习了用配方法解一元二次方程，请同学们回顾一下，配方法的一般步骤是什么？
【学生活动】配方法解一元二次方程的一般步骤是：
第一步：移项——将常数项移到方程右边；
第二步：二次项系数化为1——方程两边同除以二次项系数；
第三步：配方——方程两边都加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式；
第四步：写成(x+n) =p的形式；
第五步：根据p的符号判断解的情况——p>0时两个不等实根，p=0时两个相等实根，p<0时无实根。
【教师活动】配方法的核心思想是什么？
【学生活动】配方法的核心思想是"降次"，通过配方把一元二次方程转化为(x+n) =p的形式，然后开平方降次，转化为一元一次方程求解，体现了化归的数学思想。
【教师活动】非常正确！配方法不仅是解一元二次方程的一种重要方法，也是我们后续学习二次函数等内容的基础。希望同学们通过练习，熟练掌握配方的技巧。
四、板书设计
一、复习回顾 二、探究新知
完全平方公式： a +2ab+b =(a+b) a -2ab+b =(a-b) 规律：x ±2mx+m =(x±m) 解方程x +6x+4=0 移项→配方→开平方→求解 (x+3) =5 → x=-3±
三、配方法定义 四、配方法步骤
通过配成完全平方式 来解一元二次方程 基本思路： (x+n) =p → 降次 ①移项 ②二次项系数化为1 ③配方 ④写成(x+n) =p ⑤根据p判断解的情况
五、解的情况
五、教学反思
1. 学生对配方步骤的掌握是否到位？哪些步骤学生容易出错？如何在后续教学中进行针对性强化？
2. 二次项系数不为1时，学生对"先化为1"这一步骤的必要性理解是否深刻？在配方过程中分数运算的准确性如何？
3. 对于p<0时方程无实数根，学生是否真正理解其原因？是否还存在认知误区？
4. "降次转化"的思想方法是否真正被学生领会？如何更好地帮助学生体会这种重要的数学思想？
5. 课堂练习的题量和难度是否合适？是否需要调整练习的梯度和密度？
6. 如何更好地引导学生自主探究配方的过程？如何设计更有启发性的问题？

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