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教案：25.2.2 公式法
课题 25.2.2 公式法 课型 新授课
课时 1课时（45分钟） 教材版本 人教版九年级上册 第二十五章
教学方法 启发引导、问题驱动、讲练结合 教学用具 多媒体课件
教材分析 本节课选自人教版九年级上册第二十五章"一元二次方程"中25.2.2公式法。学生在前面学习了配方法解一元二次方程，已经掌握了"降次"的基本思想，具备了将任意一元二次方程通过配方转化为(x+n) =p形式的能力。本节课在此基础上，引导学生用配方法从一般形式ax +bx+c=0(a≠0)推导出求根公式，理解根的判别式Δ=b -4ac的意义，并能运用公式法熟练解一元二次方程。公式法是一元二次方程求根的通法，是本章的核心内容，也是后续学习二次函数与x轴交点问题的基础。
学情分析 学生已掌握配方法解一元二次方程，但对配方法中"两边同时加上一次项系数一半的平方"这一步的计算仍可能出现错误。学生具备一定的代数运算能力和符号运算能力，但从一般形式ax +bx+c=0推导出求根公式，涉及的符号运算和分类讨论思维要求较高，是本节课的难点。学生对判别式Δ的理解可能停留在口诀层面，需要在教学中加强"为什么Δ决定根的情况"的本质理解。
一、核心素养目标
1. 数学运算
能用配方法从一般形式ax +bx+c=0(a≠0)推导出求根公式，理解公式中每个符号的含义；能正确运用公式法解一元二次方程，提高代数运算的准确性和规范性。
2. 逻辑推理
通过求根公式的推导过程，体会分类讨论思想——根据b -4ac的符号讨论方程根的情况；通过判别式与根的情况的关系的探究，发展逻辑推理能力。
3. 数学抽象
从具体的配方法解方程中抽象出一般公式，理解求根公式是将解法"程序化"的体现；体会从特殊到一般、再从一般到特殊的数学思想方法。
二、教学重难点
教学重点
1. 求根公式的推导过程，理解推导中配方法和分类讨论的结合。
2. 掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤：化、求、判、代。
教学难点
1. 求根公式推导中的符号运算，特别是配方过程中对系数a,b,c的处理。
2. 理解根的判别式Δ=b -4ac与方程根的情况之间的本质联系，避免机械记忆。
三、教学过程
环节一：情境导入（3分钟）
【教师活动】同学们，上节课我们学习了用配方法解一元二次方程。请同学们回忆一下，用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？
【学生活动】配方法的一般步骤是：一移——将常数项移到方程的右边；二化——二次项系数化为1；三配——方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方；四开——利用平方根的意义直接开平方；五解——解两个一元一次方程。
【教师活动】非常好！那么配方法有什么优点和不足呢？
【学生活动】配方法可以解任何一元二次方程，但是当系数较大或者分数时，计算会比较繁琐。
【教师活动】说得很好。今天我们就来探究一种更"通用"的方法——从配方法出发，推导出一个可以直接代入系数求解的公式，这就是公式法。
【过渡语】从配方法的复习入手，引出公式法的探究需求，激发学生的学习兴趣。
【设计意图】通过复习配方法的步骤，为公式法的推导做好知识铺垫，同时让学生感受到配方法虽然万能但计算繁琐，从而自然引出公式法的必要性。
环节二：复习回顾（5分钟）
【教师活动】首先，我们用配方法来解一个具体的方程：
用配方法解方程：
【教师活动】请同学们动手完成这个方程的配方法求解过程。
【学生活动】移项得3x +8x=3，两边除以3得x +()x=1，配方得x +()x+() =1+() ，即(x+) =，开平方得x+=±，所以x = ，x =-3。
【教师活动】非常正确！现在老师有一个问题：既然配方法可以解任何一元二次方程，那我们能不能用配方法来解一般形式的一元二次方程——ax +bx+c=0(a≠0)呢？如果能解出来，那么我们以后解任何一元二次方程，只需要把a,b,c代入求出的结果就可以了！
【过渡语】从一个具体方程的配方法求解，过渡到一般形式方程的推导，体现从特殊到一般的思想。
【设计意图】通过一个具体方程的配方法求解，检验学生对配方法的掌握程度，同时自然地引出核心问题：能否用配方法推导出一般形式一元二次方程的求根公式？
环节三：新知探究（15分钟）
一、求根公式的推导
【教师活动】下面我们一起来用配方法推导一般形式一元二次方程的求根公式。
用配方法解一般形式的一元二次方程：
【教师活动】第一步，移项。把常数项c移到等号右边。
解：移项，得
【教师活动】第二步，二次项系数化为1。因为a≠0，两边同除以a。
二次项系数化为1，得
【教师活动】第三步，配方。两边同时加上一次项系数一半的平方。一次项系数是b/a，它的一半是b/(2a)，平方是(b/(2a)) =b /(4a )。
配方，得
即
【教师活动】现在，我们得到了类似(x+n) =p的形式。接下来需要讨论右边的表达式。因为a≠0，所以4a >0。那么右边是一个正数、零还是负数，取决于分子b -4ac的符号。
【教师活动】我们来分类讨论。
第一种情况：b -4ac > 0
当时，
，直接开平方，得
所以
此时方程有两个不相等的实数根。
第二种情况：b -4ac = 0
当时，
，直接开平方，得
所以
此时方程有两个相等的实数根。
第三种情况：b -4ac < 0
当时，
，而
，
所以方程无实数根。
【知识点】一般地，式子b -4ac叫作一元二次方程ax +bx+c=0(a≠0)的根的判别式，用希腊字母"Δ"表示，即Δ=b -4ac。当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根。
【教师活动】同学们，当Δ≥0时，方程的根就可以用刚才推导出的公式来表示。
【知识点】一元二次方程ax +bx+c=0(a≠0)的求根公式：当Δ=b -4ac≥0时，x=(-b±√(b -4ac))/(2a)。
【过渡语】从配方法推导出求根公式，是本节课的核心环节，需要放慢节奏，确保学生理解每一步。
【设计意图】求根公式的推导是本节课的重点和难点。通过配方法的三步（移项、化1、配方），将一般形式转化为(x+n) =p的形式，然后根据b -4ac的符号分类讨论，自然地引出判别式的概念和三种情况。整个过程体现了"从特殊到一般"的数学思想方法。
二、牛刀小试——判别式练习
教师活动】请同学们运用判别式判断下列方程根的情况，并独立完成。
【设计意图】通过牛刀小试的4道判别式练习题，及时巩固判别式的应用，检验学生对Δ>0、Δ=0、Δ<0三种情况的判断能力。
三、公式法的定义
【知识点】用求根公式解一元二次方程的方法叫作公式法。注意：用公式法解一元二次方程时，首先要将方程化为一般式，然后当Δ=b -4ac≥0时，才可以用求根公式。
【教师活动】同学们，公式法给我们提供了一种"程序化"的解方程方法——只要把方程化为一般式，确定a,b,c，计算判别式，代入求根公式就可以了。
重要提醒：使用公式法前必须先将方程化为一般形式ax +bx+c=0(a≠0)，且必须满足Δ=b -4ac≥0才能代入求根公式。
【过渡语】下面我们通过视频来直观感受公式法的推导过程，加深理解。
（播放公式法推导视频，帮助学生直观理解配方法到求根公式的推导过程。）
【过渡语】视频播放完毕，接下来我们通过例题来学习如何运用公式法解一元二次方程。
【设计意图】公式法的定义和使用条件是本节课的基础知识。通过视频辅助教学，让学生更直观地理解公式法的来龙去脉，为后续例题教学做好铺垫。
环节四：例题精讲（10分钟）
例3 用公式法解下列方程：
（1）x -4x-7=0
【教师活动】请同学们观察这个方程，它已经是一般形式了吗？
【学生活动】是的，已经是ax +bx+c=0的形式，其中a=1，b=-4，c=-7。
【教师活动】很好。第一步，先确定a,b,c的值。第二步，计算判别式Δ。
解：
a=1，b=-4，c=-7
Δ=b -4ac=(-4) -4×1×(-7)=16+28=44>0
因为Δ>0，所以方程有两个不相等的实数根。
代入求根公式：
因为，所以
即
【教师活动】注意，当判别式不是完全平方数时，根号需要化简。
（2）5x -3x=x+1
【教师活动】这个方程是一般形式吗？需要先做什么？
【学生活动】不是。需要先化为一般形式，把所有项移到等号左边。
【教师活动】对。移项后合并同类项，化为一般形式。
解：方程化为
a=5，b=-4，c=-1
Δ=b -4ac=(-4) -4×5×(-1)=16+20=36>0
代入求根公式：
即
【教师活动】注意，当方程不是一般形式时，一定要先化为一般形式，再确定a,b,c。
（3）x +17=8x
【教师活动】这个方程也需要先化为一般形式。
解：方程化为
a=1，b=-8，c=17
Δ=b -4ac=(-8) -4×1×17=64-68=-4<0
因为Δ<0，所以方程无实数根。
【教师活动】同学们注意，这道题的关键是判断——当判别式小于0时，不需要代入求根公式，直接下结论：方程无实数根。
方法归纳：公式法解一元二次方程的步骤：①化——将方程化为一般形式ax +bx+c=0(a≠0)，确定a,b,c的值；②求——求出Δ=b -4ac的值；③判——若Δ≥0，则利用求根公式求解；若Δ<0，则方程无实数根；④代——将a,b,c代入求根公式，写出方程的根。 易错提示：公式法解一元二次方程的步骤：①化——将方程化为一般形式ax +bx+c=0(a≠0)，确定a,b,c的值；②求——求出Δ=b -4ac的值；③判——若Δ≥0，则利用求根公式求解；若Δ<0，则方程无实数根；④代——将a,b,c代入求根公式，写出方程的根。 规律总结：公式法解一元二次方程的步骤：①化——将方程化为一般形式ax +bx+c=0(a≠0)，确定a,b,c的值；②求——求出Δ=b -4ac的值；③判——若Δ≥0，则利用求根公式求解；若Δ<0，则方程无实数根；④代——将a,b,c代入求根公式，写出方程的根。
【设计意图】三道例题覆盖了公式法的三种典型情况：第(1)题Δ>0但不是完全平方数（根含根号），第(3)题需要先化为一般形式且Δ是完全平方数（根为有理数），第(4)题Δ<0（无实数根）。通过典型例题的完整讲解，让学生掌握公式法解方程的规范步骤。
环节五：课堂练习（10分钟）
随堂练习
【教师活动】请同学们独立完成以下练习，检验自己对公式法的掌握情况。
1. 一元二次方程ax +bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根，则b -4ac满足的条件是（ ）
A. b -4ac=0 B. b -4ac>0 C. b -4ac<0 D. b -4ac≥0
【教师活动】这道题考查的是判别式与根的情况的关系。
【学生活动】有两个不相等的实数根，需要Δ=b -4ac>0，选B。
答案：B
2. 已知一元二次方程：①x +2x+3=0，②x -2x-3=0。下列说法正确的是（ ）
A.①②都有实数解 B.①无实数解，②有实数解
C.①有实数解，②无实数解 D.①②都无实数解
【教师活动】请同学们分别计算两个方程的判别式。
【学生活动】方程①：Δ=2 -4×1×3=4-12=-8<0，无实数解。方程②：Δ=(-2) -4×1×(-3)=4+12=16>0，有实数解。所以选B。
答案：B
3. 用公式法解下列方程（选自教材第12页练习）：
(1) x +x-6=0
【学生活动】a=1，b=1，c=-6，Δ=1 -4×1×(-6)=1+24=25>0，
(2) 3x -6x+4=0
【学生活动】a=3，b=-6，c=4，Δ=(-6) -4×3×4=36-48=-12<0，方程无实数根。
(3) 2x -3x=0
【学生活动】a=2，b=-3，c=0，Δ=(-3) -4×2×0=9>0，
(4) x +4x+8=4x+11
【学生活动】化为一般形式：x -3=0，即x =3。a=1，b=0，c=-3，Δ=0 -4×1×(-3)=12>0，
(5) x(2x-4)=5-8x
【学生活动】化为一般形式：2x -4x=5-8x，即2x +4x-5=0。a=2，b=4，c=-5，Δ=4 -4×2×(-5)=16+40=56>0，
【过渡语】练习完成得不错，接下来我们挑战一道拓展提高题。
【设计意图】课堂练习从选择题到解方程题，难度逐步递增。选择题侧重判别式的概念理解，解方程题选自教材，全面覆盖公式法的各种情况：Δ>0为完全平方数、Δ<0无实数根、需要先化为一般形式的方程等。
拓展提高
【教师活动】下面这道题综合了判别式和几何知识，请同学们认真思考。
已知a,b,c为△ABC的三边长，且关于x的方程(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)=0有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状。
【教师活动】首先，我们需要将这个方程化为一般形式。
解：将方程左边展开整理：
(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)
= (x -ax-bx+ab)+(x -bx-cx+bc)+(x -cx-ax+ac)
= 3x -2(a+b+c)x+ab+bc+ac=0
所以方程化为一般形式：
【教师活动】现在，方程有两个相等的实数根，说明什么？
【学生活动】说明Δ=0。
【教师活动】对。我们来计算判别式。
Δ=[-2(a+b+c)] -4×3×(ab+bc+ac)
= 4(a+b+c) -12(ab+bc+ac)
= 4[a +b +c +2ab+2bc+2ac-3ab-3bc-3ac]
= 4(a +b +c -ab-bc-ac)
因为Δ=0，所以
即
两边同乘2，得
配方得
【教师活动】三个非负数的和为0，每个都等于0，所以？
【学生活动】所以a-b=0，b-c=0，a-c=0，即a=b=c，△ABC是等边三角形。
所以，△ABC是等边三角形。
解题策略：对于判别式与几何综合题，关键是将方程化为一般形式后正确计算Δ，然后利用Δ=0的条件得到系数之间的关系，再通过配方或因式分解得出几何结论。
【设计意图】拓展提高题将判别式与三角形知识综合，考查学生综合运用代数知识解决几何问题的能力，体现了数形结合的思想。配方过程(a-b) +(b-c) +(a-c) =0是本题的关键，需要学生具备较强的代数变形能力。
环节六：课堂小结（2分钟）
【教师活动】同学们，今天这节课我们学习了公式法解一元二次方程。请大家一起来回顾一下本节课的核心内容。
【学生活动】公式法就是用求根公式解一元二次方程的方法。求根公式是x=(-b±√(b -4ac))/(2a)，其中Δ=b -4ac。
【学生活动】当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根。
【学生活动】用公式法解方程的一般步骤是：化——求——判——代。
【教师活动】总结得非常全面！公式法是从配方法推广而来的"通法"，它让解一元二次方程变得"程序化"。无论是什么系数，只要Δ≥0，代入公式就能求出根。
【知识点】一、公式法：用求根公式解一元二次方程的方法。二、求根公式：x=(-b±√(b -4ac))/(2a)(Δ≥0时)。三、判别式Δ=b -4ac：Δ>0→两个不等实根；Δ=0→两个相等实根；Δ<0→无实数根。四、解题步骤：化→求→判→代。
【设计意图】通过师生共同总结，梳理本节课的核心知识——求根公式、判别式、公式法步骤，帮助学生形成完整的知识体系。强调公式法的"通法"地位，激励学生课后勤加练习。
四、板书设计
一、求根公式的推导 二、根的判别式
配方法：ax +bx+c=0(a≠0) 移项→化1→配方 →(x+b/(2a)) =(b -4ac)/(4a ) Δ=b -4ac Δ>0：两个不等实根 Δ=0：两个相等实根 Δ<0：无实数根
三、求根公式 四、公式法步骤
x=(-b±√(b -4ac))/(2a) (当Δ≥0时) （1）化：化为一般形式 确定a,b,c （2）求：求Δ的值 （3）判：判断Δ的符号 （4）代：代入求根公式
五、例题
例3(1) x -4x-7=0 →Δ=44>0 →x=2±√11 例3(3) 5x -3x=x+1 →化为5x -4x-1=0 →Δ=36>0→x =1,x =- 例3(4) x +17=8x →Δ=-4<0→无实数根
五、教学反思
1. 学生是否真正理解了求根公式的推导过程？能否独立完成从ax +bx+c=0到求根公式的推导？配方法中的符号运算（特别是配方和化简步骤）学生是否掌握？
2. 学生对判别式Δ=b -4ac的理解是否到位？能否自主解释"为什么Δ决定根的情况"的本质原因，而非仅仅机械记忆口诀？
3. 公式法解方程的"化—求—判—代"四步流程，学生是否能够规范运用？在确定a,b,c时是否存在符号错误（如x -4x-7=0中c=-7）？
4. 对于需要先化为一般形式的方程（如5x -3x=x+1），学生能否准确完成移项和合并同类项？是否会忘记先化一般式直接代入公式？
5. 课堂练习的题量和难度是否适合学生的实际水平？学生是否能用公式法熟练解各种类型的一元二次方程？
6. 如何在本节课后进一步巩固公式法，为后续学习因式分解法做好衔接？是否需要增加公式法与配方法的对比练习？

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